Лекц№ 3

Функцийн уламжлал,

дифференциалчлах

Функцийн уламжлал

y=f(x) функц [а,b] дээр

тодорхойлогдсон байг. Дурын

х[a,b] цэг авч х+∆х[а,b] байхаар

∆х өөрчлөлт өгье. Функцийн

өөрчлөлтийг х цэгт олъѐ.

Тодорхойлолт1:Функцийн

өөрчлөлтийг харгалзсан аргументын

өөрчлөлтөнд харьцуулсан харьцаа

∆х→0 үед тодорхой хязгаартай байвал

тэр хязгаарыг у=f(х) функцийн х цэг

дээрхи уламжлал хэмээн нэрлээд у'

буюу f '(х) гэж тэмдэглэнэ.

Ө.х байна.0

' limx

yy

x

Жишээ1. функцийн уламжлалыг дурын

х цэг дээр олъѐ.

Бодолт. х цэг дээр ∆х өөрчлөлт өгвөл

болно. Иймд (1) томъѐо

ѐсоор

буюу байна.

y x

y x x x

0 0' lim lim

x x

y x x x x x xy

x x x x x

0 0

1 1lim lim

2x x

x x x

x x x xx x x x

1'

2x

x

Уламжлалын геометр утга нь у =f(х) муруйн х

абсцисстэй цэгт татсан шүргэгчийн өнцгийн

коэффициент юм.

Функцийн уламжлал олох үйлдлийг функцийг

дифференциалчлах гэх ба төгсгөлөг

уламжлалтай функцийг дифференциалчлагдах

функц гэнэ. Дифференциалчлагдах функц

бүхэн тасралтгүй байна.

Теорем: у=f(х) функц х цэг дээр

дифференциалчлагдах гарцаагүй нөхцөл нь уг

функц х цэг дээр тасралтгүй байх явдал юм.

Дифференциалчлах дүрмүүд

1.Нийлбэрийн уламжлал. Төгсгөлөг тооны

дифференциалчлагдах функцийн алгебрын

нийлбэрийн уламжлал нэмэгдэхүүн тус бүрийн

уламжлалын алгебрын нийлбэртэй тэнцүү

байна. Ө.х:

2.Үржвэрийн уламжлал. u(x),v(x) нь

дифференциалчлагдах функцүүд байг. Тэгвэл

байна. Тогтмол үржигдэхүүнийг уламжлалын

тэмдгийн гадна гаргаж болно.

1 2 1 2... ' ' ' ... '

n nu u u u u u

' ' 'u v u v u v

' 'c u c u

3.Ноогдворын уламжлал.

u(х),v(х) дифференциалчлагдах функцүүд ба

байг. Тэгвэл

Тухайн тохиолдолд

Жишээ: y=(tgx)’=?

0v x/

2

' 'u u v u v

v v

/

2

'c c v

v v

/

2 2

sin ' cos sin cos 'sin 1'

cos cos cos

x x x xxy tgx

x x x

4.Давхар функцийн уламжлал. X муж дээр

тодорхойлогдсон функц авч үзье.

Хэрэв функцүүд

дифференциалчлагдах байвал

байна.

Жишээ:

y f x

,z x y f z

/

' ' 'y f x f x x

/3' sin ?y x

3 3 3 2 3' sin sin 3 cosy x x x x x

5. Урвуу функцийн уламжлал. Хэрэв у = f(х)

нь х дээр дифференциалчлагдах бөгөөд

байхаас гадна х=g(у) гэсэн урвуу

функц нь оршин байвал

байна.

Жишээ:

нь функцийн урвуу функц

' 0f x

1y

x

xy

' ( ) ?xy a

' ( )xy a loga

x y

1' ln

log

x

x

ay

yy a a

ex

6.Параметрт хэлбэрээр өгөгдсөн функцийн

уламжлал.

Функц

гэсэн параметрт тэгшитгэлээр өгөгдсөн гэж

үзье.

функц дифференциалчлагдах ба

гэж авья. Тэгвэл

байна.

0,

x tt t T

y t

,t t

0t

''

'

ty

t

Жишээ. функцийнуламжлалыг ол.

Бодолт.

байна.

cos , sinx a t y b t

cos

sin

tx

t

y b t by ctgt

a t ax

7.Далд хэлбэрээр өгөгдсөн функцийн

уламжлалыг давхар функцийн уламжлалыг

ашиглан хялбархан олж болохыг жишээгээр

үзүүлэе.

Ж: далд функцийн

уламжлалыг y-ээс x-ээр авсан уламжлалыг

олъѐ.

х-ээр уламжлал авбал

болох ба эндээс y’-ийг олбол

x xy y a

'1 ' 0

2

y xyy

xy

болно. Энд учир

гэж гарна.

2 ' 2 0y xy y x xy

2'

2

y xyy

x xy

xy a x y

2'

2

y a x yy

x a x y

2 2'

2 2

a x yy

a y x

Уламжлалын ашиглан дурын муруйд татсан

шүргэгч ба нормалын тэгшитгэлийг бичиж

болно.

Хэрэв муруй у=f(х) тэгшитгэлээр өгөгдсөн

бөгөөд муруйн х0 абцисстэй цэгт татсан

шүргэгч Ох тэнхлэгийн эерэг чиглэлтэй α

өнцөг үүсгэдэг бол f '(х0)=tgα байна. Иймд

у=f(х) муруйн М(х0,у0) цэгт татсан шүргэгчийн

тэгшитгэл

болно.

0 0 0'y y f x x x

Муруйн шүргэгчид перпендикуляр бөгөөд

шүргэлтийн цэгийг дайрсан шулууныг муруйн

нормаль гэдэг. Муруйн М0(х0,у0) цэгт татсан

нормалийн тэгшитгэл

байна.

М0(х0,у0) цэгт огтлолцсон хоѐр муруй у=f1(х),

у=f2(x)-н хоорондох өнцөг гэж эдгээр муруйн

М0 цэгт татсан шүргэгчүүдийн хоорондох

өнцгийг хэлнэ. Энэ өнцгийг хоѐр шулууны

хоорондох өнцгийг

томъѐогоор бодно.

0 0

0

1

'y y x x

f x

2 0 1 0

/ /

1 0 2 0

' '

1

f x f xtg

f x f x

Жишээ. у = х3 муруйн М0 (1;1) цэгт татсан

шүргэгч ба нормалийн тэгшитгэл бич.

Бодолт. у'=f'(х)=3х2 учир шүргэгчийн өнцгийн

коэффициент f'(1)=3 болно. Иймд шүргэгчийн

тэгшитгэл

буюу у = Зх — 2 ба нормалийн тэгшитгэл

болно.

1 3 1y x

1 4

3 3y x

Функцийн уламжлалын томъёонууд

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

1

2

2

2

2

'

sin ' cos

cos ' sin

1'

cos

1'

sin

1log '

ln

' ln

1arcsin '

1

1arc '

1

a

x x

y x y x

y x y x

y x y x

y tgx yx

y ctgx yx

y x yx x

y a y a a

y x yx

y tgx yx

Функцийн дифференциал

y=f(х) функц (а,b) хэрчим дээр тодорхойлогдсон

бөгөөд дифференциалчлагдах юм гэж үзье.

Тэгвэл

байх ба эндээс болно.

Эндээс харвал функцийн бүтэн өөрчлөлт нь

аргументын өөрчлөлттэй шугаман хэсэг ба

түүнээс дээд эрэмбийн багасаж барагдашгүй

хэмжигдэхүүн хоѐрын нийлбэрт тавигдаж байна.

Эхний нэмэгдэхүүнийг функцын өөрчлөлтийн

гол хэсэг гэдэг.

0lim 'x

yf x

x

'y

f xx

Тодорхойлолт 8.1 Функцийн өөрчлөлтийн

гол хэсэг болох f ' (х)х-г у=f(х) функцийн х

цэг дээрх дифференциал гэж нэрлээд dу гэж

тэмдэглэнэ.

Иймд dу =f'(х) • х болох ба f(х)=х функцийн

хувьд dх=х учир dу=f'(х)•х болно. Эндээс

харвал функцийн дифференциал нь түүний

уламжлалыг аргументын дифференциалаар

үржүүлсэнтэй тэнцүү байна. Иймд функцийн

дифференциалын томъѐо болон дүрмийг шууд

бичиж болно.

1. d(u v) = du dv

2. d(u v) = du v + u dv

3. d(cu) = c du

4.

5. y = xa dy= x-1dx

6. y = ax dy=ax lna dx

7. y = logax

8. y = sin x dy = cos x dx

2

u u dv v dud

v v

ln

dxdy

x a

9. y = cosx dy = -sin x dx

10. y = tgx dy = dx

11. y = ctgx dy= dx

12. y = arcsinx dy =

13. y = arccosx dy =

14. y = arctgx dy=

15. y=arcctgx dy=

2

1

cos x

2

1

sin x

2

1

1dx

x

2

1

1dx

x

2

1

1dx

x

2

1

1dx

x