He phuong trinh vo ty 1

https://www.facebook.com/groups/1606604466272048/

khangvietbook.com.vn – ĐT: (08) 3910 3821

17

II. Kỹ thuật nhân lượng liên hợp để đưa về tích số

A B A B A B

A B

A B A B 2A B

A B

3 3A B 3 32 3 2A AB B 3 32 3 2A B

A AB B

3 A B 3 2 3 2A B A B 3

3 2 3 2

A B

A B A B

Phân tích bài toán và hướng tư duy đi đến lời giải (tương tự cho 3 ( ))f x

Gi ( ) ( ) ( ) 0f x g x h x

ướng ( ) ( )f x g x ( )h x

( ) ( )f x g x

23 2 1 2 3,x x x x (3 2) ( 1) 2 3x x x

22 3 (2 3)( 1)x x x x 2 3x

( ) ( )f x g x

( ),h x

ướng . PPox x ghép h ng s .

( ) ( ) ( )f X g X h X

.ox x

( ( ) ( ) ( )) : ( )o

f X g X h X X x

ox x

, m n ox x

( ), ( )o o

m f x n g x ox x

[ ( ) ] [ ( )] ( ) 0f x m n g x h x m n

( ) .h x m n

Tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải PT, BPT, HPT đại số, vô tỷ – ThS. Lê Văn Đoàn

18

câu: 23 1 6 3 14 8 0.x x x x

5x nên 3.5 1 4m ( 3 1 4)x

6 5 1n (1 6 )x 5.x

23 14 5 ( 5)(3 1)x x x x 5.x

ướng ẹp 1 2, PPx x x x ghép .ax b

ax b

, a b

( )f x 1 1

2 2

( ),

( )

f x ax ba b

f x ax b

c ( ).g x Thí d gi i: 22 3 4 3 5 9 6 13.x x x x

0, 1x x ax b

ax b 3 4x

3.0 4 .0 2

13.( 1) 4 .( 1)

a b b

aa b

2 3 4 ( 2)x x

5 9x 3. 5 9 ( 3) .x x

l sau hi nhân lượng liên hợp

( ) ( ) 0ox x f x 2( ). ( ) 0.ax bx c f x

nh ( ) 0,f x

( )f x

( ) 0,f x

( )f x

x

( )),f x suy ra ( )f x

( ) 0f x

( , ,...)A B A B ( ) 0f x

)A B k .x


19

. Liên hợp với phương trình có nghiệm hữu tỷ hoặc dễ xác định nhân t .

Nhóm I: Ghép hai căn thức để liên hợp và phân tích biểu thức còn lại

Ví dụ 21. 23 2 1 2 3x x x x ( )

Học sinh giỏi tỉnh Quảng Nam năm 2014

Lời giải 2

3x

2( 3 2 1)( 3 2 1)( ) 2 33 2 1

x x x xx x

x x

2 3(2 3)( 1) 0

3 2 1

xx x

x x

3

1 2(2 3) ( 1) 0

13 2 1 1 (1)3 2 1

x

x xx x x

x x

2

3x

2 5( ) 1 1 1

3 3f x x (2)

( ) 3 2 1g x x x 3 1 2

( ) 0, 32 3 2 2 1

g x xx x

( )g x 2

;3

nên

1 1( )

( ) 3 2 1h x

g x x x

2

;3

2 2 15; max 1

3 3 5h x h

hay ( ) 1h x (3)

( ) ( )f x h x

Kết luận 3/2.x

Bình luận. S ( )f x trong (2 3). ( ) 0x f x

1

( 1)3 2 1

XX X

( )f x ( )g x

( )f x ( ) ( )g x h x

Ví dụ 22. Gi 21 1 4 3x x x ( )

Đề thi thử Đại học khối D năm 2013 – THPT Lê Xoay – Vĩnh Phúc


20

Phân tích. Khi ghép 3 ( 1) 2 1x x x 24 1 (2 1)(2 1)x x x ế é

ẳ : ( )( )A B A B

A BA B

Lời giải 0.x

2 2 1( ) (4 1) ( 3 1) 0 (2 1)(2 1) 03 1

xx x x x x

x x

0, 0

1 1(2 1) 2 1 0 2 1 0

23 1x

x x x xx x

Kết luận 1

2x

Ví dụ 23. Gi 3.(2 2) 2 6x x x ( )

Học Viện Kỹ Thuật Quân Sự

Phân tích Rú ọ ( ) 2.(3 ) 6 3 2 6 9 18x x x x x và

ghép ( 6) (9 18) 8 24 8.(3 )x x x x 3 x ế

é ờ ả :

Lời giải 2 0

2.6 0

xx

x

8.(3 )( ) 2.(3 ) 6 9 18 2.(3 )

6 9 18

xx x x x

x x

34

(3 ) 1 06 9 18 4 (1)6 9 18

xx

x xx x

2(1) 10 12 2 ( 6)(9 18) 16 9 36 108 14 5x x x x x x

2 2 2

14 1411 3 5

5 52

9 36 108 (14 5 ) 16 176 304 0

x xx

x x x x x

Kết luận

11 3 5

3, 2

x x

Ví dụ 24. 2 22 9 2 1 4x x x x x ( )

Phân tích ế

ế ả ả

4 0 4x x ọ é ờ

(TM)

(TM)


21

: 2 2(2 9) (2 1) 2( 4)x x x x x é

4x ế ả ờ ả :

Lời giải 4 0 4.x x

2 2 2 2

2 2

( 2 9 2 1)( 2 9 2 1)( ) 4

2 9 2 1

x x x x x x x xx

x x x x

2 2(do : 2 9 2 1 2 8 4, 4)x x x x x x x

2 2

2 2

2( 4)4 2 9 2 1 2

2 9 2 1

xx x x x x

x x x x

(1)

( ), 2 2

2 2

2 9 2 1 2

2 9 2 1 4

x x x x

x x x x x

2 2 2 2 2 9 6 4(2 9) ( 6)x x x x x x

27 8 0 0x x x 8

:7

x

Kết luận 8

0, 7

x x

Bình luận ế 4,x

( ) 0f x ế ọ

đưa về hệ tạm ả V

?! TL T ờ ( ) ( ) .f x g x ax b

( ) ( ), ( ( ))f x g x hay ax b f x

é é

ế ế ờ

Ví dụ 25. Gi 2 29 24 6 59 149 5x x x x x ( )

Phân tích 2 2 2 2(6 59 149) ( 9 24) 5 50 125 5( 5)x x x x x x

5x é

Lời giải .D 2 2( ) 6 59 149 9 24 5x x x x x

2

2 2

5.( 5)5

6 59 149 9 24

xx

x x x x

2 2

5.( 5)( 5) 1 0

6 59 149 9 24

xx

x x x x


22

5x 2 26 59 149 9 24 5.( 5)x x x x x (1)

( ), (1), 2 2

2 2

9 24 6 59 149 5

6 59 149 9 24 5.( 5)

x x x x x

x x x x x

(2)

(3)

(2) (3), suy ra: 22

5 199 24 2 10

33 31 76 0

xx x x x

x x

Kết luận 19

5, 3

x x

Ví dụ 26. 3 2 2 31 2 2 3 3x x x x x ( )

Phân tích 2 2( 1) (2 3) 3 2x x x x x é

: 3 33 3 2 3 2

3 3

3 3 3 32 3 2 2 3 2

( ) ( )

( ) ( )

A B A AB B A BA B

A AB B A AB B

2 3 2,x x ờ ả :

Lời giải .D 3 2 31; 2 3a x x b x 3 2 23( ) ( 1 2 3) ( 3 2) 0x x x x x

22

2 2 2 23 3 3

3 2( 3 2) 0

( 1) ( 1)(2 3) (2 3)

x xx x

x x x x x x

2 2

2 2

11( 3 2) 1 0 3 2 0

2

xx x x x

xa ab b

Nhận xét T é ả

3 3, .a A b B ẳ

q : 2 2 3 3( ).( )a b a ab b a b :

2 22 2 3 0.

2 4

b ba ab b a

Ví dụ 27. Gi 3 32 23 32 1 2 2 1x x x x ( )

Lời giải. .D 3 32 23 3( ) ( 2 1) ( 2 1 2) 0x x x x (1)

3 32 23 32 , 1, 2 1, 2.a x b x m x n x 2 2

2 2 2 2

2 1 2 1(1) 0

x x x x

a ab b m mn n

22 2 2 2

1 1(2 1) 0 1x x x

a ab b m mn n

h

1

2x

Kết luận 0,5x và 1.x


23

Ví dụ 28. 2 2( 3 1)( 4 3) 2x x x x x x ( )

Nhận xét

ờ

ế x ế ế

ả ( 3) ( 1) 2x x ế x

ế 3 1 0x x ờ ả :

Lời giải 0x ?! 2( ) ( 1)( 3) .( 3 1)x x x x x x

2( 3) ( 1)( 3) 1 0x x x x x x x

( 3) 1( 3 ) 0 ( 3)( 1) 0x x x x x x x x x x

3 1 5

21

x xx

x x

1 13

2x

Kết luận 1 5 1 13

, 2 2

x x

Ví dụ 29. Gi i: 2 2 2 2 2( 1 4 1).( 5 1 2 1) 3x x x x x x x ( )

Phân tích 2 2 2(5 1) (2 1) 3x x x ế ả

ế ờ ả :

Lời giải .D

0x

V 0,x ta có: 2 2

2 2

2 2

1 4 1( ) 3 3

5 1 2 1

x x x xx x

x x

2 2 2 24 1 1 5 1 2 1x x x x x x (1)

Do 0x thì 2 21 4 1x x x x và 2 25 1 2 1x x nên: 2 2

2 2 2 2

3 3(1)

4 1 1 5 1 2 1

x x

x x x x x x

2 2 2 2

1 1

4 1 1 5 1 2 1x x x x x x

2 2 2 24 1 1 5 1 2 1x x x x x x (2)

(1), (2), suy ra: 2 2 2 2

2 2 2 2

4 1 1 5 1 2 1

4 1 1 5 1 2 1

x x x x x x

x x x x x x

(3)

(4)

2 2 2(3) (4) 4 1 5 1 0 0x x x x x x x 1 (TM)

Kết luận 0, 1.x x


24

Ví dụ 30. Gi

2

5.( 3)1 2 4

2 18

xx x

x ( )

Đề thi thử Đại học 2013 – THPT Chuyên Nguyễn Trãi – Hải Dương

Phân tích. Có 1 2 4 1 16 4x x x x và ( 1) (16 4 ) 5.( 3)x x x

é ờ ả sau:

Lời giải 1 4.x 2( ) 2 18.( 1 16 4 ) 5.( 3)x x x x

2

2

3 : TM5.( 3) 2 185.( 3)

2 18 1 16 4 (1)1 16

Đ

4

Kxx xx

x x xx x

2 2 2(1) 2 3 1 4 ( 1)(4 ) 4 3 4 2 3 1x x x x x x x x (2)

Nhận xét S 3

1, ,2

x x hay

2( 1).(2 3) 2 3,x x x x :

Hướng 1 A B

2

4 3 22

12 3 1 0 1

(2) 24 12 29 42 63 0

( 1)(2 3)(2 7 21) 0

x x x x

x x x xx x x x

1x 3

:2

x

Hướng 2 22 3.x x 2 2(2) (2 3) 4. ( 1) 3 4 0x x x x x

(3)

Xét 21 3 4 0 1x x x x 1x

Xét 21 3 4 0 1,x x x x ( 1;4].x 2

2

2

4.(2 3)(3) (2 3) 0

1 3 4

x xx x

x x x

2 22

0, ( 1;4].

14

(2 3) 1 0 2 3 0 31 3 4

2x

x

x x x xxx x x

Hướng 3. n na b

ẵ 2 2 2(2) 4 2.2. 3 4 ( 3 4) 6 9x x x x x x


25

2

2 2 2

2

2 3 4 3(2 3 4) ( 3)

2 3 4 3

x x xx x x

x x x

2

2

3 4 2 31

23 4 5 0 : 1;4o

x x xx x

x x x VN x

Ví dụ 31. Gi 2

6 42 4 2 2

4

xx x

x

( )

Phân tích. (2 4) (8 4 ) 6 4x x x ế ả

ế é ờ ả :

Lời giải 2 2.x

22 (6 4) 4( ) 4.( 2 4 8 4 ) 6 4 6 4

2 4 8 4

x xx x x x x

x x

2

2

24

3(6 4) 1 02 4 8 4

2 4 8 4 4 (1)

xxx

x xx x x

2 2 2(1) 2 12 2 (2 4)(8 4 ) 4 4 8 2 2 8x x x x x x x

4 3 2

2 22

4 2 2.(2) 0

( ) 4 20 32 64 0

xx

x x xf

f x x x x x

Kết luận 2

, 2.3

x x

Nhận xét Q ế 31 ế é

é ẳ S

ả q ế .

Nhóm II: S dụng casio, tìm nghiệm duy nhất PPo

x x ghép hằng số.

Ví dụ 32. Gi 23 1 6 3 14 8 0x x x x ( )

Đại học khối B năm 2010

Phân tích é

: 23 1 6 3 14 8X X X X và 2

= ả 5.X

ú 2( 3 1 6 3 14 8) : ( 5)X X X X X và

ế shift solve 2 = thì cho ế q ả ế


26

T ẳ 1 é

T é : 2( 3 1 ) ( 6 ) 3 14 8 0x m n x x x m n , m n

5,x ĩ 3 1 3.5 1 4

6 6 5 1

m x

n x

2( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0x x x x

( ) ( 5)x ờ ả ế :

Lời giải 3 1 0 1

6.6 0 3

xx

x

2( ) ( 3 1 4) (1 6 ) 3 14 5 0x x x x

3( 5) 5

(3 1)( 5) 03 1 4 1 6

x xx x

x x

3 1

( 5) 3 1 0 5.3 1 4 1 6

x x xx x

Do 1

;6 ,3

x

suy ra: 3 1

3 1 0.3 1 4 1 6

xx x

Kết luận 5.x

Ví dụ 33. Gi 2 33 10 3 3 26 5 2x x x x x ( )

Phân tích S 2x

é : ( 3 3 ), ( 5 2 )x m x n

3 3 3.2 3 3, 5 2 5 2.2 1m x n x ờ ả :


15 2 0 2

xx

x

3 2( ) ( 3 3 3) (1 5 2 ) 3 10 24 0x x x x x

23( 2) 2( 2) ( 2)( 12) 03 3 3 1 5 2

x xx x x

x x

23 2

( 2) ( 12) 03 3 3 5 2 1

x x xx x

2x 23 2

123 3 3 5 2 1

x xx x

(1)

2( ) 12f x x x 5

1;2

có 1

( ) 2 1 02

f x x x

Mà 5 33 1 49

( 1) 10, , 2 2 2 2

f f f

Suy ra: 5

1;2

max ( ) 10.f x


27

(1) ( ) 10,VP f x mà

(1)

3 2 50, 1; ,

23 3 3 5 2 1VT x

x x

Kết luận 2.x

Ví dụ 34. Gi i: 2 3 23 4 2 3 1 2 1 6 7 3 0x x x x x x ( )

Phân tích S 1x

é

1,x ờ ả :

Lời giải. 2

2 1 0; 3 1 0 1

23 4 2 0

x xx

x x

2 3 2( ) ( 3 4 2 1) ( 3 1 2) ( 2 1 1) 6 7 1 0x x x x x x

2

3 2

2

3 4 1 3 3 2 26 7 1 0

3 1 2 2 1 13 4 2 1

x x x xx x

x xx x

22

( 1)(3 1) 3( 1) 2( 1)( 1)(6 6 1) 0

3 1 2 2 1 13 4 2 1

x x x xx x x

x xx x

22

3 1 3 2( 1) 6 6 1 0

3 1 2 2 1 13 4 2 1

xx x x

x xx x

22

1

3 1 3 26 6 1 0 (1)

3 1 2 2 1 13 4 2 1

x

xx x

x xx x

2( ) 6 6 1f x x x trên 1

;2

có

1( ) 12 6 0,

2f t x x

( )f x 1

; ,2

suy ra:

1 7( )

2 2f x f

Mà 2

3 1 3 2 1( ) 0,

23 1 2 2 1 13 4 2 1

xg x x

x xx x

(1)

( ) ( ) 0,VT f x g x

Kết luận: 1.x

Ví dụ 35. Gi 2 215 3 2 8x x x ( )

Phân tích S 1,x

ghé : 2 2( ) 15 8 3 2x x x

và có 2 215 8 0, x x x ( ) 3 2 0.x V

ế


28

2

3x

Lời giải 1

2 22 2

2 2

1 1( ) 15 4 8 3 3 3 3( 1)

15 4 8 3

x xx x x x

x x

2 2

1 1( 1) 3 0

15 4 8 3

x xx

x x

1x 2 2

1 13

15 4 8 3

x x

x x

(1)

2 2

(1) 2 2 2 2

1 1 8 15 1( 1) ( 1)

15 4 8 3 ( 15 4)( 8 3)

x xVT x x

x x x x

2

,3

x suy ra: 2 2

1 0

8 15 1 0

x

x x

nên

(1) 1

0 3VT VP

Kết luận 1.x

Lời giải 2 : 2 2( ) 15 8 3 2 0x x x

2 2( ) 15 8 3 2f x x x x v x >2

3 có:

2 2

2 2 2 2

8 15 2( ) 3 . 3 0,

315 8 ( 8)( 15)

x x x xf x x x

x x x x

( )f x 2

;3

và có (1) 0,f nên 1x

Ví dụ 36. Gi 23 9 2 3 5 1 1x x x x ( )

Học sinh giỏi Tp. Hà Nội 2013

Phân tích S 1.x

é ờ ả 1 :

1

5 1 05

x x

Lời giải 1 23( ) ( 9 2) (2 5 1) 2 3 5 0x x x x

23 3

1 5( 1)( 1)(2 5) 0

( 9) 2 9 4 5 1 2

x xx x

x x x


29

23

1 5( 1) 2 5 0 1 :

( 9 1) 3 5 1 2x x x

x x

Do 23

1 5 5 2 12 5 5 0,

2 5 5( 9 1) 3 5 1 2x x

x x

Nhận xét é

( ). ( )o

x x f x ( )f x ả

q ế Đối với loại ghép h ng số

( )f x phương pháp truy ngư c d u ả ả

( )f x đối với phương trình c nghiệm duy nh t :

Bước 1. ế

23( ) 9 5 1 2 3 1 0x x x x

Bước 2 ax : é

:

3

23 3

19 2 ( 1) ,

( 9) 2 9 4x x

x x

23 3

1

( 9) 2 9 4x x :

5(1 ) 52 5 1 ( 1) ,

2 5 1 2 5 1

xx x

x x

( )m A thành ( )),A A m :

5( 1) 5 15 1 ( 5 1 2)

5 1 2

x xx x

x

5 1( 5 1 2) 5 1 2 5 1x x x x

5 1x ế ờ ả :

Lời giải 2. Ta có: 23( ) 2 9 2 5 1 4 6 2 0x x x x

232( 9 2) 5 1( 5 1 2) 4 5 0x x x x x

23 3

1 5( 1) 5 1( 1)(4 5) 0

( 9) 2 9 4 5 1 2

x x xx x

x x x

23

1 5 5 1( 1) (4 5) 0 1 0 1.

( 9 1) 3 5 1 2

xx x x x

x x

Ví dụ 37. Gi 22 4 2 5 2 5x x x x x ( )

Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – S c Trăng

5

4.2

x

Phân tích và lời giải 1. (L ờ : S 3x

é :


30

( 2 ), ( 4 ), ( 2 5 )x m x n x p , , m n p

3,x

2 1, 4 1, 2 5 1.m x n x p x

2( ) ( 2 1) ( 4 1) ( 2 5 1) 2 5 3x x x x x

3 3 2( 3)

( 3)(2 1)2 1 4 1 2 5 1

x x xx x

x x x

1 1 2

( 3) (2 1) 02 1 4 1 2 5 1

x xx x x

3

1 2 12 1 (1)

2 1 2 5 1 4 1

x

xx x x

(1) vô nghi m do 5

; 42

x

có (1)

(1)

1 2 1 23

1 12 1 2 5 1

1 52 1 2 1 2. 1 6

24 1

VTx x

VP x xx

Kết luận: So v u ki m duy nh t 3.x

Phân tích và lời giải 2. (T c d u): Sau khi chuy n vế sao cho h s

th c luôn thì 2( ) 2 5 2 4 2 5 0x x x x x nếu ghép và liên

h ờng thì 3 3

(1 2) ( ), (1 4 ) ( )1 2 1 4

x xx a x b

x x

và

2(3 ) (1 2 5) ( )

1 2 5

xx c

x

th y bi u th c ( ), ( )a c b c d u so v i bi u th c

( )b c l i theo d ng ( )m A A A m và có lời giải 2.

2( ) 2 5 2 4 2 5 0x x x x x

22( 2 1) (1 4 ) 2 5( 2 5 1) 2 8 6 0x x x x x x x

( 3) 2 3 2( 3) 2 5

2( 3)( 1) 02 1 1 4 2 5 1

x x x x xx x

x x x

2 1 2 2 5

( 3) 2( 1) 02 1 1 4 2 5 1

x xx x

x x x

35

0 : ; 4 .2 1 2 2 520 2( 1)

2 1 1 4 2 5 1

o

x

VN xx xx

x x x

Kết luận: So v u ki m duy nh t 3.x


31

Ví dụ 38. Gi 3 25 6 ( 2)( 2 2 5 )x x x x x x ( )

Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Sở Giáo Dục & Đào Tạo tỉnh Bạc Liêu

1 5.x 2( ) ( 5 6) ( 2)( 2 2 5 )x x x x x x

( 2)( 3) ( 2)( 2 2 5 )x x x x x x

( 3) 2 2 5x x x x (1) (do: : 2 0, 1;5x x Lời giải 1 1.x

2(1) ( 2 2 2) ( 5 2) ( 3 4) 0x x x x

2( 1) 1

( 1)( 4) 02 2 2 2 5

x xx x

x x

1x 2 1

42 2 2 2 5

xx x

(2)

Ta có: (2)

(2)

2 21

22 2 21; 5

14 4 3

2 5

VTx

x

VP x xx

Kết luận 1.x

Lời giải 2 ( 1). ( ) 0x f x có ( ) 0.f x

2(1) 3 2 2 5 0x x x x

22 2( 2 2 2) 2(2 5 ) 2 4 6 0x x x x x

( 1) 2 2 ( 1)

( 1)( 3) 02 2 2 2 5

x x xx x

x x

1x ho c 2 2 1

0 3 02 2 2 2 5

xx

x x

vô nghi m 1;5 .x

Kết luận 1.x

Ví dụ 39. Gi 23 6 1 1x x x ( )

1 0 1.x x

Lời giải 1. 2,x 23( ) ( 6 2) ( 1 1) 4x x x

2 33

2 2( 2)( 2)

1 1( 6) 2. 6 4

x xx x

xx x

23

1 1( 2) 2 0

( 6 1) 3 1 1x x

x x

(1)


32

Do 23

1 1 1 22 1 2 0, 1

3 3( 6 1) 3 1 1x x x x

x x

nên:

(1) 2 0 2.x x

Kết luận 2.x

Phân tích và lời giải 2. Chuyên vế thì 2 3( ) 4 4 4 6 4 1 0x x x và

ả

33 2 2( )A A m ế

ờ 3m A ờ ả : 23(2) 6 1 1x x x

2 23 34 5 6 6 ( 6) 4 4 1( 1 1) 0x x x x x x

3

2 33

( 2)( 14) 6 4( 2) 1( 2)(4 3) 0

1 1( 6) 4 6 16

x x x x xx x

xx x

3

23

0, 1

( 14) 6 4 1( 2) 4 3 0 2 0 2.

( 6 2) 12 1 1

x

x x xx x x x

x x

Kết luận 2.x

Ví dụ 40. Gi 3 2 22 2 5 2 4 5 5 4x x x x x x ( )

2 2 5 0 5

44 5 0

x xx

x

Phân tích và lời giải 1. S 1,x

é ờ ả 1 : 3 2 2( ) 2 5 4 (2 2 5) 2(3 4 5) 0x x x x x x

2

2

2

2 1 4 4( 1)( 4) 2 0

4 5 32 5 2

x x xx x x

xx x

22

( )

1 8( 1) 4 0

4 5 32 5 2f x

xx x x

xx x

(1)

2 22

1( 1) 4 2 ( 1) 1 1 1

( 1) 4 2

xx x x x

x

(2)

5

,4

x suy ra 8 8 8 8

3 34 5 3 4 5 3x x

(3)


33

2

2 11 1 1 5( ) 4 0, 3 2 12 4

f x x x x x

(4)

(1) 1 0 1.x x

Kết luận 1.x

Phân tích và lời giải 2.

T 8( 1) 4 5

2 4 5( 4 5 3)4 5 3

x xx x

x

8 4 5 50,

44 5 3

xx

x

2 4 5( 4 5 3) 2(4 5) 3.2 4 5x x x x 3 4 5x

ế 3 2(2 2 5)x x 2( ) 2 5ax b x x

.( 1)m x ọ 1a 2 .x

2

2

2

(2 2) 5( ) 2 5

2 5

b x bx b x x

x b x x

.( 1)m x

2

2 2

5

m b

m b

ả 1b 3.b

ả ọ 1b ờ ả :

3 2 2( ) 3 6 15 12 3 2 5 6 4 5 0x x x x x x

2 3 23( 1 2 5) 2 4 5( 4 5 3) 3 6 4 1 0x x x x x x x x

2

2

12( 1) 8( 1) 4 5( 1)(3 3 1) 0

4 5 31 2 5

x x xx x x

xx x x

2

2

12 8 4 5( 1) 3 3 1 0 1.

4 5 31 2 5

xx x x x

xx x x

Kết luận 1.x

Ví dụ 41. Gi (5 4) 2 3 (4 5) 3 2 2x x x x ( )

Chọn đội tuyển VMO năm 2015 – Tỉnh Đồng Nai

Phân tích S 6.x ế

ế ế

2 2(2 3)(5 4) (3 2)(4 5) 2x x x x ả

A B C ế ế ú ỉ

1 é ờ ả :

Lời giải. 3

2x

( ) (5 4) 2 3 2 (4 5) 3 2x x x x

3 2 3 250 155 152 48 48 152 155 46 4(4 5) 3 2x x x x x x x x


34

3 22 3 3 2 4(4 5) 3 2 0x x x x x (1)

3 2(4 5) 3 2.( 3 2 4) 2 15 20 12 0x x x x x x (2)

23( 6)(4 5) 3 2

( 6)(2 3 2) 03 2 4

x x xx x x

x

23(4 5) 3 2

( 6) 2 3 2 0 63 2 4

x xx x x x

x

Do 23(4 5) 3 2 3

2 3 2 0, 23 2 4

x xx x x

x

Kết luận 6.x

Bình luận T ế 1 ỹ

4(4 5)(4 3 2)x x thành (4 5) 3 2.( 3 2 4)x x x

Ví dụ 42. Gi 2( 1) 2 ( 6) 7 7 12x x x x x x ( )

2.x

Phân tích và lời giải 1. S 2,x

é

é ( 1).( 2 ), ( 6).( 7 ).x x m x x n

2( ) ( 1)( 2 2) ( 6)( 7 3) ( 2 8) 0x x x x x x

2 2( 1) ( 6) ( 2)( 4) 0

2 2 7 3

x xx x x x

x x

1 6( 2) 4 0 2.

2 2 2 3

x xx x x

x x

Do 2,x suy ra: 2 0, 6 0x x và lúc này, ta luôn có:

1 6 2 2 6 6

42 22 2 7 3 2 2 7 3

x x x x x xx

x x x x

1 2 2 6 6 1 6 1

02 2 3 2 62 2 2 2 2 2

x x x x x

x x x

Kết luận 2.x

Phân tích và lời giải 2. Nếu liên h p d ng ( 1)( 2)

( 1)( 2 2)2 2

x xx x

x

1x 2x ĩ ế

2( 2)( 1)x x sau khi ả

( 2)( 1)x x 1, 2x x

é ( ) 2ax b x


35

ả ( 2)( 1)),x x

2 2 2 2 2 2 1 4

, 3 3 1 2 1 2 1

khi x x ax b a ba b

khi x x ax b a b

é 1 4

( 1) 23 3

x x x

ả ế 3 ế

2 2( 1)( 2) ( 2)( 1)

( 1) ( 4) 3 24 3 2 4 3 2

x x x x xx x x

x x x x

ả ả

:

2( 1)0, 2.

4 3 2

xx

x x :

( 6)( 2)( 6)(3 7)

3 7

x xx x

x

6 0x 2,x : ( 6)(3 7)x x

( 2)( 6) 7

( 6) 7( 7 3)7 3

x x xx x x

x

( 6) 70, 2.

7 3

x xx

x

T ờ ả : 2( ) ( 1)( 4 3 2) ( 6) 7( 7 3) 3 10 0x x x x x x x x

2( 1) ( 2) 2( 6) 7 ( 2)( 5) 0

4 3 2 7 3

x x xx x x x

x x x

2

0, 2

( 1) ( 6) 7( 2) 5 0 2.

4 3 2 7 3

x

x x xx x x

x x x

Kết luận 2.x

Ví dụ 43. Gi 2( 1) 4 5 2( 5) 3 3 14 13x x x x x x ( )

4 5 0.x

Lời giải 1. 1x 2( ) ( 1)( 4 5 3) 2( 5)( 3 2) 3 7 10x x x x x x

4( 1).( 1) 2( 5)( 1)( 1)(3 10) 0

4 5 3 3 2

x x x xx x

x x

4( 1) 2( 5)( 1) (3 10) 0 1.

4 5 3 3 2

x xx x x

x x

Do 4 5 05

5 04

xx

x

4( 1) 2( 5)(3 10)

4 5 3 3 2

x xx

x x

4 5 4 5 2( 5) 5 25 5

3 34 5 3 3 2 4 5 3

x x x x

x x x

4 5 4 5 2( 5) 5 25 5 2 10 5

03 3 2 3 34 5 3 4 5 3

x x x x x

x x


36

Kết luận có nghi m duy nh t 1.x

Lời giải 2. 2( ) 2( 1). ( 2) 4 5 2( 5) 3.( 3 2) 2 6 8 0x x x x x x x x

22( 1) ( 1) 2( 5)(x 1) 3

2( 1)( 4) 02 4 5 3 2

x x x xx x

x x x

22( 1) 2( 5) 3

( 1) 2( 4) 0 1.2 4 5 3 2

x x xx x x

x x x

Do 22( 1) 2( 5) 3 5

2( 4) 0, 42 4 5 3 2

x x xx x

x x x

Kết luận m duy nh t 1.x

Sai lầm thường gặp i v i cách gi i 1, sai l ng g p c a h c sinh là

4( 1) 2( 5) 4 2

(3 10) ( 1) ( 5) (3 10)3 24 5 3 3 2

x xx x x x

x x

2 23 50,

3 4

xx

B i lẻ v i

5

4x thì d u c a 1x c nh âm

t.

Ví dụ 44. Gi 23 3 2 3 2 2 2 1x x x x ( )

Lời giải. 2

3x

23( ) ( 3 2 2) 2 ( 3 2 2) 2 2 2 1x x x x x

23( 3 2 2) ( 3 2 2) 2 ( 1) 2 1 0x x x x x

2 233

3( 2) 3 ( 2) 2 ( 2)0

3 2 2(3 2) 2 3 2 4 1 2 1

x x x x x

xx x x x

2 233

3 3 2( 2) 0

3 2 2(3 2) 2 3 2 4 1 2 1

x xx

xx x x x

2

23 2

3 (3 2 1 2 3 2 3 1)( 2) 0

( 3 2 1) 3 ( 3 2 2)( 1 2 1)

x x x xx

x x x x

2

2

23 2

( )

18 12 173 1

3 3 2 1 2 3 2( 2) 0

( 3 2 1) 3 ( 3 2 2)( 1 2 1)

f x

x xx x

x xx

x x x x

2 0 2.x x Do 2• 8 7 2

3 •

x xx

x

nên ( ) 0.f x


37

Kết luận 2.x

Ví dụ 45. Gi 2 18 (2 9) 3 2 5 1 0x x x x x ( )

1

5x

Lời giải 1. Liên h ng. 2( ) (2 9)( 3 2) 2(2 5 1) 3 4 0x x x x x

1 10.(1 )(2 9) ( 1)( 4) 0

3 2 5 1 2

x xx x x

x x

2 9 10( 1) 4 0

3 2 5 1 2

xx x

x x

(1)

2 9 10

( ) 43 2 5 1 2

xf x x

x x

trên

1;

5

2 2

2 3 8 3 5 1( ) 1 0,

52 3( 3 2) 5 1( 5 1 2)

x xf x x

x x x x

( )f x 1

; ,5

suy ra

1 227 94 5( ) 0

5 10f x f

(2)

1 0 1.x x

Kết luận 1.x

Lời giải 2 c d u.

( ) 3(4 18 11 3) 2 5 1( 5 1 2) ( 1)(2 1) 0x x x x x x x

( 1)(16 39) 10( 1) 5 13 ( 1)(2 1) 0

4 18 11 3 5 1 2

x x x xx x x

x x x

(16 39) 3 10 5 1( 1) (2 1) 0 1.

4 18 11 3 5 1 2

x x xx x x

x x x

Do 1

,5

x suy ra: (16 39) 3 10 5 1

2 1 0.4 18 11 3 5 1 2

x x xx

x x x

Kết luận 1.x

Nhóm III: Có nghiệm đẹp 1 2

, PPx x x x ghép bậc nhất .ax b

Ví dụ 46. Gi 2 22 3 21 17x x x x x ( )

Phân tích. S 2 22 3 21 17X X X X X

2.X

ú 2 2( 2 3 21 17) : ( 2)X X X X X X ,

1.X


38

2( 2)( 1) 3 2x x x x é

: 22 3 ( ) , ( ) 21 17x x ax b cx d x

, , , a b c d :

2 2

2 2

1 2 3 2.1 1 3 2 1

1 2 2 3 2.2 2 3 3 2

khi x x x ax b a b a

bkhi x x x ax b a b

và

1 21 17 21.1 17 2 2 3

2 5 1 2 21 17 21.2 17 5 2

khi x x cx d c d c d c

c d dkhi x x cx d c d

é ờ ả :

Lời giải. 21 17 0.x 2 2( ) 2 3 ( 1) (3 1) 21 17 ( 3 2) 0x x x x x x x

2 22

2

3 2 9( 3 2)( 3 2) 0

3 1 21 172 3 1

x x x xx x

x xx x x

2

2

1 9( 3 2) 1 0

3 1 21 172 3 1x x

x xx x x

(1)

Do 17

,21

x suy ra: 2

1 91 0

3 1 21 172 3 1 x xx x x

nên:

(1) 2 3 2 0 1x x x 2.x


Ví dụ 47. Gi 22 3 4 3 5 9 6 13x x x x ( )

u ki n: 3 4 0 4

5 9 0 3

xx

x

Phân tích S : 0, 1.x x é

2. 3 4 ( ) , 3. 5 9 ( ) ,x ax b x cx d

: 0 3 4 3.0 4 2 .0 1

2 1 3 4 3.( 1) 4 1 .( 1)

khi x x ax b a b b a

bkhi x x ax b a b a b

0 5 9 5.0 9 3 .0 1

3 1 5 9 5.( 1) 9 2 .( 1)

khi x x cx d c d d c

dkhi x x cx d c d c d

Lời giải. Ta có: 2( ) 2 3 4 ( 2) 3 5 9 ( 3)x x x x x x

2 222( ) 3( ) ( ) 0

3 4 2 5 9 3

x x x xx x

x x x x

2 2 02 3( ) 1 0 013 4 2 5 9 3

xx x x x

xx x x x


39

Do 4

,3

x suy ra: 2 3

1 0.3 4 2 5 9 3x x x x


Ví dụ 48. Gi 2 23 2 1 5 4 4x x x x ( )

Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Bình Long – Bình Phước

Phân tích S 1

, 12

x x é

V 2 1x thì

1 1 122 1 2 1 0

2 2 21

1 2 1 2.1 1 1 1.

ax x ax b a b

bx x ax b a b

V 25 4x thì 2

2 2

1 1 5 4 5 1 2 2

2 23

1 5 4 5 4.1 1

khi x x ax b a b a

bkhi x x ax b a b

Lời giải 1 5

2 2x ( )a

1

2x

V 1

2 1 2 1 02

x x x thì:

2 2( ) 3 2 1 (2 1) . 5 4 ( 2 3) 3(2 3 1) 0x x x x x x x

2 22

2

6(2 3 1) 4 (2 3 1)3(2 3 1) 0

2 1 2 1 5 4 3 2

x x x x xx x

x x x x

2

2

6 4(2 3 1) 3 0

2 1 2 1 5 4 3 2

xx x

x x x x

2 12 3 1 02

x x x (lo i) ho c 1.x

Kết luận 1

1, 2

x x

Nhận xét T ả é ờ

1

2 1 2 1 02

x x x

é ế ờ ọ .

Ví dụ 49. Gi 233 5 2 19 30 2 7 11x x x x ( )

Đề nghị Olympic 30/04/2014 – Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai – S c Trăng


40

Phân tích S 2, 3x x

é ờ ả :

Lời giải 5

3 5 03

x x ( )a

23( ) 3 5 ( 1) 2 ( 19 30 ) 2 10 12x x x x x x

2 3

2 233

3 5 ( 1) 19 302 2( 2)( 3)

3 5 1 (19 30) 19 30

x x x xx x

x x x x x x

2 233

( 2)( 3) ( 2)( 3)( 5)2 2( 2)( 3)

3 5 1 (19 30) 19 30

x x x x xx x

x x x x x x

2 233

0, ( )

1 2( 5)( 2)( 3) 2 0

3 5 1 (19 30) 19 30

x a

xx x

x x x x x x

( 2)( 3) 0 2x x x ho c 3.x


Ví dụ 50. 3 2 2( 1) 3 1 2 1 2 1 6x x x x x x x ( )

2

3 1 0 1

31 0

xx

x x

Phân tích và lời giải 1 S 2 0, 1,x x

2( 1) .x x x x D é

: 2( 1). 3 1 ( ) , 2. ( ) 1x x ax b cx d x x

:

0 3 1 1 1

1 1 3 1 2

Khi x x ax b b a

bKhi x x ax b a b

:

2

2

0 1 1 0

1 1 1 1

Khi x x x cx d d c

dKhi x x x cx d c d

T ờ ả 1 :

2 3 2( ) ( 1) 3 1 ( 1) 2(1 1) 3 4 0x x x x x x x x

2 22

2

( 1)( ) 2( )( )( 4) 0

3 1 1 1 1

x x x x xx x x

x x x x

2

2

01 2( ) 4 0

13 1 1 1 1

xxx x x

xx x x x

Do 2

1 2 1 14 2 4 1 0,

1 33 1 1 1 1

x xx x x x

xx x x x



41

Phân tích và lời giải 2 V ( )f x trong 2( ). ( )x x f x sau khi

liên : 22.(1 1)x x :

2 22. 1.( 1 1)x x x x 3 1 ( 1)x x 3 1.( 1 3 1)x x x

( )f x p T ờ ả :

2 2 3( ) 2 1( 1 1) 3 1( 1 3 1) 0x x x x x x x x x

2 2 22

2

2( ) 1 ( ) 3 1( )( 1) 0

1 3 11 1

x x x x x x xx x x

x xx x

22 2

2

02 1 3 1( ) 1 0 0

11 3 11 1

xx x xx x x x x

xx xx x

Do 1

,3

x suy ra: 2

2

2 1 3 11 0.

1 3 11 1

x x xx

x xx x


Ví dụ 51. 3 23 2 4 4 1x x x x x x x ( )

Phân tích và lời giải. S 1, 2x x

é T

é ế 2( 1)( 2) 2.x x x x

ế ế ả ọ

2 3.x 2( ) ( 3 1) ( 2 ) ( 2)( 2)x x x x x x x

2 222 2 ( 2)( 2) 0

3 1 2

x x x xx x x

x x x x

2 1 1( 2) 2 03 1 2

x x xx x x x

2 2 0 1x x x 2.x


2. Liên hợp với phương trình có nghiệm vô tỷ hoặc có sự biến đổi

Nhóm I: Đặt ẩn phụ để đơn giản hơn hoặc có sự biến đổi, rồi liên hợp

Ví dụ 52. Gi (8 13) 4 7 2( 2) 2 3 12 35x x x x x ( )

Phân tích. S 1

2x N

2 ,x ả q

1 22 3 2 3.t x x t


42

2 2 3 2( ) (4 1) 2 1 6 17 0t t t t t ú 2,t é

ờ ả :

Lời giải 2 3 0.x 22 3 0 2 3.t x x t 2 2 3 2( ) (4 1) 2 1 6 17t t t t t

2 2 3 2(4 1) 2 1 ( 1) 3 2 16 0t t t t t

2 2

2

2

(4 1)( 2 )( 2)(3 4 8) 0

2 1 1

t t tt t t

t t

2

2

0, 0

1 1( 2) 3 4 8 0 2 0 2

22 1 1t

t t t t t xt t

Kết luận 1

2x

Bình luận ế 2 3 0t x

2t é 2 2 2(4 1)( 2 1 3) ( 2)( 4 7)t t t t t

ế ẳ ả

q ế ả ế

ọ ả

2 2(4 1)( 2 1 3)t t 2 2(4 1). 2 1 ( 1)t t t

ả ả

V ế ả 1t ?! TL ở 0,t ế .( 2)t t

é ax b 0, 2)t t

é 1,t ọ

2 3 2(4 1)( 1) 4 4 1t t t t t : 3 2 23 2 16 ( 2)(3 4 8)t t t t t có 23 3 8 0, , (do : 0, 3 0).t t t a

Ví dụ 53. Gi 3 2 4 2(8 6 1) 4 21 16 12 2 21x x x x x x ( )

Chọn đội tuyển VMO năm 2014 – Tỉnh Nghệ An

Phân tích S 1.x Nh

2 ,x ả

2t x ờ ả :

Lời giải 2 .t x 3 2 4 2( ) ( 3 1) 21 3 21t t t t t t

3 2 3( 3 1) 21 ( 3 1) 21t t t t t t


43

33 2

2

21.( 3 1)( 3 1).( 21 ) 21 21

21

t tt t t t

t t

3 2 3 23 1 21 ( 3 2) ( 3 21) 0t t t t t t t t

2 2

2 2

6( 2) 6( 2)( 1) 0 ( 2) ( 1) 0

3 21 3 21

tt t t t

t t t t

2,t suy ra: 2 2 1.t x x

Kết luận 1.x

Ví dụ 54. Gi 3 3 4 3(28 4 ) 2 15 2 3 14 16x x x x x ( )

Phân tích. 3 3 4 3 3 328 4 4(7 ); 2 14 2 ( 7); 2 15 2( 7) 1x x x x x x x x

ả 3 3 37 7 7t x x t x t ờ ả :

Lời giải 3 315

2 15 02

x x

3 3 3 3( ) 2 ( 7) 3( 7) 5 4(7 ) 2( 1)x x x x x (1)

3 37 7t x x t 3 31

2 15 0 2 2 14 12

x t x t

3 3(1) 2 7 4 2 1 3 5 2 ( 7 2) 4 ( 2 1 1) 5( 1) 0t t t t t t t t t t

2 33

2 ( 1) 8 ( 1)5( 1) 0 1 2.

2 1 1( 7) 2 7 4

t t t tt t x

tt t

Do: 2 33

2 8 15 0,

22 1 1( 7) 2 7 4

t tt

tt t

Kết luận 2.x

Ví dụ 55. Gi i 2 4 2 4 291 2 2 93 2 2 2 93x x x x x x x x x

Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Phân Châu Trinh – Đà Nẵng

Lời giải 4 2

2

2 2 93 2 0

x

x x x x

4 22 2 93 0.t x x x x

Suy ra: 2 4 2 2 22 2 93 ( 2) 91.t x x x x x x

h 2 2 2 2 2

2 2 2 2

( 2) 91 2 91

91 2 2 91

x x t x x t

x t t t t x

2 2

( )( ) ( )( ) 0

2 2 91 91

x t x t x tx t x t

x t t x

( , 2)x t


44

2 2

1( ) 0 .

2 2 91 91

x tx t x t x t

x t t x

Suy ra: 2 2 2 291 2 ( 91 10) ( 2 1) ( 9)x x x x x x

2

( 3)( 3) 3( 3)( 3)

2 191 10

x x xx x

xx

2

3 1( 3) ( 3) 0 3 :

2 191 10

xx x x

xx

Do: 2

3 1 3 1( 3) ( 3) 0, 2.

102 1 2 191 10

x xx x x

x xx

Kết luận 3.x

Bình luận. Trong bài giả t n ph h i x ng

lo i II, ta s tìm hi u d u hi u nh n d th ở nh ng bài họ

n a, qua bài này tôi mu n g i m p r ng: khi g p h i x ng

lo i II ch c thì sau khi l y vế tr vế s liên h p luôn nh c ,x y ho c

có th s d ng nhân t .x y

Ví dụ 56. Gi 3 2 9

3 1 3

x x

xx x

( )

Phân tích

q

ế ú ú ọ

ế T ờ

2 1 2( ) .( )( )f x ax bx c a x x x x 1 2, x x

( ) 0f x ẳ

:

2

2 2

2 2

•

•

•

x x x x x x

x x x x

x x x x

T ế ờ ả :

Lời giải 1 0; 9 0 1 9

3 1 3 0.0 0

x x xx x

x x

( 1 2)( 1 2) 2 9( )

( 1 1)( 1 2) ( 1 1)( 1 1)

x x x

x x x x

( 1 2)( 1 1) 2 9 3 3 1 2 9 0x x x x x x

( 8) 1 2( 8)

1( 1 3) 2(1 9 ) 0 01 3 1 9

x x xx x x

x x


45

8 0 8 :x x

Do: 1 2

0, 1;9 \ 01 3 1 9

xx

x x

.

Kết luận 8.x

Ví dụ 57. Gi ( 6) 1 8 2 2 1 5

23 1

x x x x

x x

( )

Lời giải V 1,x thì ta có: 2

3 2

•

• 6 8 5 6

( 1) 2( 1) 5 1 6 ( 1 2)( 1 3)( 1 1)

x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x

1 1

21 1 0

x x

xx

( 1 2)( 1 3)( 1 1) 2 1 5 2 1 5( ) 1 3

2 2( 1 1)( 1 2)

x x x x xx

x x

x 5 nên có tách ghép:

( 2 1 3) 2

1 2 1 2( 1 2) ( 2 1 3)2

xx x x

2( 5) 2( 5) 1 1

( 5) 01 2 2 1 3 1 2 2 1 3

x xx

x x x x

5 0 1

5 :2 1 1 1 0 2 2 2 1 1

x xx

x x x x x

Kết luận 5.x

Ví dụ 58. Gi 29 14 25 ( 1 1)(2 4)

3 3 4 2 1

x x x x

xx x

( )

Phân tích và lời giải 1,x suy ra: 3 3 4 2 1 0.x x Ta có: 2 2(3 3) 4 2 1 (3 3) 4 2 1 (3 3) 16 2 1 9 14 25x x x x x x x x

29 14 25

(3 3) 4 2 13 3 4 2 1

x xx x

x x

( 1 1)(2 4)( ) 3 3 4 2 1

x xx x

x

23 3 4 2 1 (2 4) 1 2 4x x x x x x x

23 5 4 4 2 1 2( 2) 1 0x x x x x x


46

D ẵ

n nA B ẳ : 2 24 2.2 . 2 1 (2 1) ( 2) 2.( 2). 1 ( 1) 0x x x x x x x x

2 2 2 2(2 2 1) ( 2 1) 0 (2 2 1) ( 2 1)x x x x x x x x

2 2 1 2 1 1 2 1 2

2 2 1 2 1 3 2 1 2 1 0

x x x x x x x

x x x x x x x

(1)

(2)

1 ọ 1x

: 2 2(1) 3 2 2 ( 1)(2 1) 4 4 2 ( 1)(2 1) 6x x x x x x x x x

Do 1,x suy ra: 2 22 ( 1)(2 1) 2 .2 2 2. 2 6Cauchy

x x x x x x x x

S 1,x é (2) :

(2) 1 2 1( 2 1 1) ( 1) 0x x x x ỹ

2( 1) 2 1

1 ( 1) 02 1 1

x xx x

x

0, 1

2 ( 1)(2x 1)1 1 1 0 1 0 1.

2 1 1

x

xx x x x

x

Kết luận 1.x

Ví dụ 59. 3 2 3 2 23 2 9 4 4 2 2 4 1x x x x x x x ( )

32 2 2 3( ) 16 4 4 9 4 4 3 2 2 0x x x x x x x (1)

3 2 3 3 23 2 2 0 35 54 0 0x x x x x x 54

35x

TH 1 V 0x 0x

TH 2 V 54

0;35

x

0,x

32 2

1 1 1 1 2(1) 16 4 9 4 3 1

x x xx x

(2)

32

1,tx

suy ra: 3

3 2 1 112

tt

x x

6 6(2) 15 8 3 2 0t t t u ki n: 3 2 0)t 6 6

6 6

6 6

1 1( 15 4) (3 8) 3 3 3( 1)

15 4 8 3

t tt t t t

t t


47

3 2 3 2

6 6

( 1)( 1) ( 1)( 1)( 1) 3 0 1 1.

15 4 8 3

t t t t t tt t x

t t

3 2 3 2

6 6

6 6

( 1)( 1) ( 1)( 1)15 4 8 3

15 4 8 3

t t t t t tt t

t t

Suy ra: 3 2 3 2

6 6

( 1)( 1) ( 1)( 1) 23 0,

315 4 8 3

t t t t t tt

t t

TH 3 V ( ;0),x ho 0,x

32 2 2 31 1 1(1) 16 4 4 9 4 4 3. 2 2x x x x x xx x x

32 2

1 1 1 1 29 4 16 4 3 1

x x xx x

(3)

32

1,tx

suy ra: 3

3 2 1 112

tt

x x

Do 30 1 1.x t t

6 6(3) 8 15 3 2 0t t t (4)

6 6( ) 8 15 3 2f t t t t trên ( ; 1),

5

6 6

1 1( ) 3 3 0, 1.

8 15f t t t

t t

( )f t

trên ( ; 1), suy ra: 6 6( ) 8 15 3 2 f( 1) 2f t t t t (5)

5


Ví dụ 60. 2 26 1 (2 1) 2 3x x x x x ( )

Học sinh giỏi tỉnh Long An năm 2014

T nh: .D

Phân tích và lời giải 1 S

2 20 : (2 1)( 2 3 ) 6 1 2a x x x a x x ax a

p: 2 2

2

2

2 3(2 1) (6 2 ) 1 .

2 3

x x ax x a x a

x x a

: 2

2 6 2 22

3 4 1 23 1

a aa

a a

ờ ả 1 :

22 2 2

2

(2 1)( 2 1)( ) (2 1)( 2 3 2) 2 1 2 1

2 3 2

x x xx x x x x x x

x x


48

2

2

22

2 1 02 1( 2 1) 1 0

2 3 2 12 3 2

x xxx x

x x xx x

2 2

1 2 1 2

2 1 0 3 152 3 (2 1) 3

x x

xx

x x x

Kết luận 3 15

1 2, 3

x x

Lời giải 2.

Do 1

2x

22 6 1( ) 2 3 2 2

2 1

x xx x

x

22 2

22

1 22 1 02 1 2 13 152 1 2 2 3 2 12 3 2

3

xx xx x x x

x x x xx x x

Bình luận V q ế ax b ế

q ế ả hệ số x2 ng nhau nên để

đơn giản c thể thêm h ng số a T ờ ả 3 phương

pháp đ t n số phụ không hoàn toàn (nên làm khi là số chính phương):

Lời giải 3 2 2 22 3 2 2 3t x x x t x 2( ) (2 1) 4 2 0t x t x 2(2 3)t x 2t 2 1.t x

Suy ra: 2

2

2 3 21 2

2 3 2 1

x xx

x x x

3 15

3x

Ví dụ 61. 3 2

2

2

2 3 11

2

x x xx x

x

( )

Phân tích ế ế 2 2 3 2( 2) 1 ( ) 2 (3 ) 1x x x ax b x x a x b

ế ế ế ả 3

ế ế ả é

ờ ả :

Lời giải .D

2 2

2 2

5 3 5 3( ) 1 2 1 ( 2)

2 2

x xx x x x x x

x x

(1)

V 2 21 2 0 1 2 :x x x x x x

V 2 1 2 0x x x


49

2 22 2

(5 3) 5 3 3 1 1(1) 0

52 21 2 1 2

x xx

x xx x x x x x

(2)

2 2 1 3 2 5(2) 12

x x x x x

Kết luận 3 1 3 2 5

, 5 2

x x

Ví dụ 62. 2 22 16 18 1 2 4x x x x ( )

Đề nghị Olympic 30/04/2013 – Chuyên Thoại Ngọc Hầu – An Giang

2 1x 1.x

Phân tích và lời giải 1 S 1,x

2 1.x 2 1x ả 1,x ế ú

ỉ é ế 22 16 18 (2 4)x x x

ở ế ẵ

é é 2 4 0.x T ờ ả 1: 2 2( ) 2 16 18 (2 4) 1 0x x x x

2

2

2

2( 1)1 0

2 16 18 2 4

xx

x x x

2

2

2

2 11 1 0

2 16 18 2 4

xx

x x x

2 1 0 1x x 2 22 16 18 2 4 2 1x x x x (1)

2 22

2 2

2 16 18 1 2 4( ),(1) 3 1 4 8

2 16 18 2 1 2 4

x x x xx x

x x x x

2 2 2

4 8 0 2 32 3 57

79( 1) (4 8) 7 64 73 0

x xx

x x x x

Kết luận 32 3 57

1, 7

x x

Phân tích và lời giải 2 4, 1a b

ĩ

2 22 16 18 .( 2) .( 1)x x a x b x

2 2 2( ) 4( 2) 2( 1) 2( 2) 1x x x x (1)

Do 2x 2 0,x


50

2 2

2

1 1(1) 4 2 2

2( 2)

x x

xx

(2)

2 10

2

xt

x

2

2 2

00 2

(2) 4 2 2 44 2 (2 )

3

tt

t tt t t

V 2

210 0 1 0 1:2

xt x x

x

V 2

24 1 4 32 3 573 1 4( 2) :3 2 3 7

xt x x x

x

3 57 32

1, 7

x x

Ví dụ 63. 2 21 1

1 2 2 1 2 2 5x x x xx x

( )

Lời giải 0.x

2 2 2 21( ) 2 2 2 2 ( 2 2 2 2) 5x x x x x x x xx

2 22 2

1 42 2 2 2 5

2 2 2 2

xx x x x

x x x x x

2 22 2

42 2 2 2 5

2 2 2 2x x x x

x x x x

2 2 2 22 2 2 2 ( 1) 1 ( 1) 1 2.t x x x x x x

24(1) 5 5 4 0 1t t t tt

4t

Suy ra: 2 2 2 2 22 2 2 2 4 2 ( 2 2)( 2 2) 8x x x x x x x x x

4 2

4 4 2 2

6 6 6 6 2 64 6

34 12 36 12 32

x xx x x

x x x x

Nhóm II: S dụng chức năng table của casio tìm nhân t bậc hai, bậc ba

V q ọ ú

ú é ú

ờ q ả

Ví dụ 64. Gi 2

2

2

1 22. 4

4 1

x xx

x x

( )


51

Phân tích 2

2

2

1 22. 4

4 1

X XX

X X

SHIFT / CACL / 9 /

1.732050808.X T

TABLE : casio fx – 570 ES PLUS)

ế X A : ALPHA / ) / SHIFT / RCL / (–)

2( )f X A AX : MODE SETUP / 7 / ALPHA

/ (–) / 2x / / ALPHA / (–) / ALPHA / ) / / / 9 / / 9 / / 1 /

:

( )

9 1 4.732 ,

10 0 3

X F X

q ế dòng có .

T 1 0 3 2 3x

3 ( )F X : 2 .X bX c

casio fx – 570 VN PLUS ho c Vinacal 570es flus:

( )g x : MODE SETUP / 7 /

ALPHA /(–) / 2x / / ALPHA / (–) / ALPHA / ) / / / / 9 / / 9 / / 1 /

T é ờ ả :

Lời giải 2 1

0 4 0 4.4

x xx x

x

22

2

1 2( ) ( 3) 2. 1 1 0

4 1

x xx

x x

2

22

2 2

11

1 24( 3) 2. 01 1

14

x xxxx

x x x

x

2 2

2

2 2 2

2.( 3) 3( 3) 0

( 4)( 1) 4 1.( 1 2)

x xx

x x x x x x

22 2 2

32 1( 3) 1 0

3( 4)( 1) 4 1 2 1

xx

xx x x x x x

Do 2 2 2

2 11 0, 4.

( 4)( 1) 4 1 2 1x

x x x x x x


Bình luận: S 2 3,x ờ

ờ ả ọ é 1


52

2 3x ỉ “ ả ”

2 1

,4

x x

x

é

2 1

4

x xa

x

và

2 2 2 2

21 (1 ) 1 4

4 4

x x x a x aa

x x

2 3x nên t ọ 1.a “ ả ”

é q 2 3x

Ví dụ 65. Gi 2

2 2

9 2 1

42 3

x x

x x x

( )

Phân tích S 2 7x é

T ờ ả :

Lời giải 9 3x 3.x 2

22

( 7) 8 2 9( ) 0

4 23

x x

x xx

22 2

1 2 9( 7) 1 1 0

4 3 2

xx

x x x

2 2

2

2 2

1 3 2 2 9( 7) 0

4 3 2

x x x xx

x x x

2 2

2

2 2 2 2

1 7 7( 7) 0

4 3.( 3 2) 2 ( 9)( 2)

x xx

x x x x x x x

22 2 2 2

1 1 1( 7) 0

2 3.( 3 2) 2 ( 9)( 2)x

x x x x x x x

2 7 0 7x x 7.x

Do 2 2 2 2

1 1 10, ( ).

2 3.( 3 2) 2 ( 9)( 2)x a

x x x x x x x

Kết luận 7.x

Bình luận Q ế

é

ẵ T é ế :

Ví dụ 66. Gi 2 22(1 ) 2 1 2 1x x x x x ( )

21 2

2 1 02 1

xx x

x


53

Phân tích B 2 2( ).ax bx c dx e ax fx g ả

T ả 2 2 5x x :

Lời giải 2 2 5.x x 2 2( ) ( 2 5) 2( 1)( 2 1 2) 0x x x x x

22

2

22

2 5 02( 1)( 2 5)( 2 5) 0

2 1 22 1 2

x xx x xx x

x x xx x

(1)

(2)

(1) 1 6x 1 6.x

2(2) 2 1 2 :x x x

Kết luận 1 6.x

Ví dụ 67. Gi 3 3 2 27 11 5 3 5 7x x x x x x ( )

Đề nghị Olympic 30/04/2014 – THPT Chuyên Bảo Lộc – Lâm Đồng

Phân tích S 2 3x x ẵ

T é

5 7x n ghép ( ) 5 7ax b x : 2 3.x x V

1, 2a b : 2 23 (5 7) ( 2) .x x x x H 2x

2x é T ờ ả ế :

Lời giải 7

5x 3 3 27 11 5, 2.a x x x b x

32 3 2( ) ( 3) 7 11 5 ( 2) ( 2) 5 7 0x x x x x x x x

2 2

2

2 2

3 33 0

2 5 7

x x x xx x

a ab b x x

22 2

1 1 1 13( 3) 1 0

22 5 7x x x

a ab b x x

Do: 2 2

1 1 71 0,

52 5 7x

a ab b x x

Kết luận 1 13

2x

Ví dụ 68. 3 32 312 46 15 5 1 2 2x x x x x ( )

Phân tích S 2X 1

3 32 3( 12 46 15 5 1 2 2) : ( 2)X X X X X X

solve 9 = ế

2 2 1.x x


54

2 3( 2)( 2 1) 5 2x x x x x

ờ

Lời giải 3 32 312 46 15, 2 1, 5 1.a x x b x c x x

3 32 3( ) 12 46 15 (2 1) ( 5 1 1) 0x x x x x

3 3 3 3

2 2 2 2 2 2

8 40 16 5 2 8( 5 2) 5 20 0

1 1

x x x x x x x x

a ab b c c a ab b c c

3

2 2 2

0, , ,

28 1( 5 2) 0

1 1 2a b c

xx x

a ab b c c x

Kết luận 2x 1 2.x

Ví dụ 69. Gi 3 3 2 2174

16 62 78 7 365

x x x x xx

( )

Phân tích S 1X 1

3 3 2 2174

16 62 78 7 36 : ( 1)5

x x x x x Xx

và

9 = ế

2 3 11.x x

2 3 2( 1)( 3 11) 4 8 11,x x x x x x ờ ả ế :

Lời giải 5.x 3 3 2 3 2( ) ( 5) 16 62 78 2 6x x x x x x x

33 2 3 2 24 8 11 ( 5) 16 62 78 2 9 5x x x x x x x x x

33 2 3 24 8 11 ( 5) 16 62 78 ( 5)(2 1)x x x x x x x x x

33 2 3 24 8 11 ( 5). 16 62 78 (2 1)x x x x x x x x

33 2 3 2( 4 8 11) ( 5). (2 1) 16 62 78 0x x x x x x x x

3 3 22 1, 16 62 78.a x b x x x

3 2

3 2

2 2

7( 5)( 4 8 11)( 4 8 11) 0

x x x xx x x

a ab b

3 22 2

7( 5)( 4 8 11) 1 0

xx x x

a ab b

2 2

3 2

2 2

37( 5)

2 4( 4 8 11) 0

3

2 4

a ab x

x x xa a

b


55

2

2

3 2

2 2

3(2 1) 7( 5)

2 4( 4 8 11) 0

3

2 4

ab x x

x x xa a

b

2 2

3 2

2 2

12 16 143

2 4( 4 8 11) 0

3

2 4

a x xb

x x xa a

b

3 24 8 11 0 1x x x x 3 53

2x

Vì:

2

2 2 2

12 16 143 0,

30; 0

2 2 4

x x x

a a ab b

2 2

2 2

12 16 143

2 40.

3

2 4

a x xb

a ab

Kết luận 3 53

1, 2

x x

Ví dụ 70. Gi 3 2 23 2 2 4 2 11x x x x x x ( )

Phân tích S 2 2 7x x ờ ả :

Lời giải 4.x 2( ) ( 3) 2 4 ( 2) 2 1 0x x x x x

(1)

( 3) 2 4 ( 2) 2 1 0x x x x

1 2 2 :x

1 2 2 ( 3) 2 4 ( 2) 2 1 0x x x x x

2 2 2( 2 7) 2 7(1) 0

3 2 4 2 2 1

x x x x x

x x x x

2

2 1( 2 7) 03 2 4 2 2 1

xx x

x x x x

2

2

2 7 0 2 2 1.

( 2 2 1) 3 2 4 0 (2)

x x x

x x x x x

(2), ( ), 3 2 2

3 2 2

3 2 2 4 2 11

2 3 2 11 2 4

x x x x x x

x x x x x x

2 2 2 2 1 2 4 2 11 2 11 2 4 2.( 4) 11x x x x x x x x


56

2 23 1x x

Kết luận 2 2 1.x

Ví dụ 71. Gi 2 38 3 3 1x x x ( )

Phân tích S 2 1x x ờ ả :


8 3 03 3

x x

2 2( ) ( 1)( 1) (2 ) 8 3 0x x x x x

2

2

2

4( 1)( 1)( 1) 0

2 8 3

x xx x x

x x

2

2

22

1 0 (1)4

( 1) 1 0 41 0 (2)2 8 3

2 8 3

x x

x x xxx x

x x

2 1 5(1) 1 0 :2

x x x

2(2) ( 1)(2 8 3 ) 4 0x x x 2 38 3 3 1x x x 3 3( 1)(2 3 1) 4 ( 1)( 4 3) 4 0x x x x x x x

4 2 3 2 2 3( 4 4) 4 0 0 ( 2) 4 0 :x x x x x x x

Kết luận 1 5 1 5

, 2 2

x x

Ví dụ 72. Gi 2 2 3 2(3 11) 1 3 3. 8 11 3. 4x x x x x ( )

Lời giải 3 23 3. 8 11 3. 4 0x x x (1) 2 2 2 2( ) (3 11) 1 3. (3 11) 8 4x x x x x

2 22 2 2 2

2

(3 11)(1 2 )(3 11)( 1 3. ) 4(1 2 ) 4(1 2 )

1 3.

x xx x x x x

x x

22 2 2 2

2

3 11(1 2 ) 4 0 (1 2 )(3 11 4 1 4 3 ) 0

1 3.

xx x x x x

x x

2 2 2 2 2(1 2 ) ( 1 2. 1.2 2 ) 2( 2 . 3 3) 0x x x x x

(2)

2

2 2 2 2 2

1 2 0

(1 2 ) ( 1 2) 2( 3) 0 1 2 0

3 0

x

x x x x

x


57

1

2x

3 2

23

xx

x

3.x

Kết luận 2

, 3.2

x x

Bình luận T ế ả

2 20

00

AA B

B

ế ờ

ẵ ế ẳ

ỹ ở ả ẳ ả

trình : 24 3 3 4 3 2 2 1x x x x x ế ẳ

: (4 2.2. 3 3) (1 2 2 1 2 1) 0x x x x

2 2 2 3 0(2 3) (1 2 1) 0 1.1 2 1 0

xx x x

x

S ờ

ọ 1,x é

sau: 24 ( 3 2) 2( 2 1 1) 4 5 1x x x x x

14 ( 1) 4( 1)

( 1)(4 1) 4 44 1 03 2 2 1 1

3 2 2 1 1

xx x x

x x xxx x

x x

ú T q q

ọ ả

ọ ả

ọ

Ví dụ 73. Gi 33 2 38x 2 2 20 2( 1)x x x x ( )

Phân tích S 2 2 2x x ờ ả :

Lời giải 3 2 8 2 0x x x ( )a

33 2 3( ) 8 2 2 (2 4) 2 20x x x x x

3 2 3 3

33 2 2 3 3 23

8 6 (2 4) 8( 20)

8 2 2 (2 4) 2(2 4) 20 ( 20)

x x x x x

x x x x x x x

2 2

33 2 2 3 3 23

( 3)( 2 2) 48( 2 2)

8 2 2 (2 4) 2(2 4) 20 ( 20)

x x x x x

x x x x x x x

2

32 3 3 2 3 23

2 2 0 1 3

48 3 (1)

(2 4) 2(2 4) 20 ( 20) 8 2 2

x x x

x

x x x x x x x


58

V

1

Business

He phuong trinh vo ty 1