Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

实例 : 曲线形构件的质量

o x

y

A

B1nM

iM

1iM2M

1M

),( ii L

.sM 匀质之质量

分割 ,,,, 121 in sMMM

,),( iii s取 .),( iiii sM

求和 .),(1

n

iiii sM

取极限 .),(lim1

0

n

iiii sM

近似值

精确值

一、问题的提出

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

二、对弧长的曲线积分的概念

1 2 1

1

, ( , )

. , , ,

. , ( , )

,

( , ) ,

( , ) ,

n

i i i

i i i

n

i i ii

l xoy f x y

l l M M M l n

i s

i

f s

f s

设为 面内一条光滑曲线弧函数

在 上有界用 上的点 把 分成

个小段设第 个小段的长度为 又 为第

个小段上任意取定的一点作乘积

并作和

1. 定义

o x

y

A

B1nM

iM

1iM2M

1M

),( ii L

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

01

0 ,

, ( , )

, ( , ) ,

( , ) lim ( , ) .

l

n

i i ili

f x y

l

f x y ds

f x y ds f s

如果当各小弧段的长度的最大值 时这和的极限存在 则称此极限为函数在曲线弧 上对弧长的曲线积分或第一类曲

线积分 记作 即被积函数

积分弧段

积分和式

曲线形构件的质量 ( , ) .l

M x y ds

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

2. 存在条件：( , ) ,

( , ) .l

f x y l

f x y ds当 在光滑曲线弧 上连续时

对弧长的曲线积分 存在

3. 推广( , , )f x y z l函数 在空间曲线弧 上对弧长的

曲线积分为

01

( , , ) lim ( , , ) .n

i i i ili

f x y z ds f s

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

注意：

1 21. , ( )l l l l 若 是分段光滑的

1 2 1 2

( , ) ( , ) ( , ) .l l l l

f x y ds f x y ds f x y ds

2. ( , )

( , ) .l

f x y l

f x y ds函数 在闭曲线 上对弧长的

曲线积分记为

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

4. 性质 (1) [ ( , ) ( , )] ( , ) ( , ) .

L L Lf x y g x y ds f x y ds g x y ds

(2) ( , ) ( , ) ( ).L Lkf x y ds k f x y ds k 为常数

1 2

(3) ( , ) ( , ) ( , ) .L L Lf x y ds f x y ds f x y ds

1 2( ).L L L

且在 L上 ( , ) ( , )f x y g x y ，

则 ( , )Lf x y ds ( , )

Lg x y ds .

( , ) g( , )L Lf x y ds x y ds 与 都存在，(4)

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

L L( ) ( , ) .f x y ds f x y ds 且 ，

.

( , ) ( , )L Lf x y ds f x y ds 若 存在，则 也存在，

(6) ( , ) ,

,Lf x y ds L s

c

若 存在， 的弧长为

则存在常数 使得

( , ) = .Lf x y ds cs

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

三、对弧长曲线积分的计算三、对弧长曲线积分的计算定理 1

0

0

( , , ) ,

( ),

( ), ( )

( ),

( ), ( ), [ , ] ,

f x y z l l

x x t

y y t t t T

z z t

x t y t z t t T

设 在曲线弧 上有定义且连续 的

参数方程为

其中 在 上有一阶连续导数 则

0

2 2 2( , , ) [ ( ), ( ), ] ' ( ) ' ( ) ' ( )T

l tf x y z ds f x t y t z t x t y t z t dt

2 2 2' ' ' .ds x t y t z t dt 这里

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

0 0

0 1 2

, :

n

t T

t t t t

证明：在 中插入分点

1 11max , , .i i i i ii n

t t s t t 并记 为对应于区间 的一段弧长

1 , ,i i it t 在区间 上任意取一点 第一类曲线积分为

0

1

( , , ) lim , , .n

i i i ili

f x y z ds f x y z s

由弧长的公式及中值定理:

1

2 2 2' ' '

i

i

t

i ts x t y t z t dt

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

2 2 2* * *' ' 'i i i ix y z t

*1 1, ,i i i i i it t t t t 这里 为 上的某一点. 于是有

01

2 2 2* * *

( , , ) lim , ,

' ' '

n

i i ili

i i i i

f x y z ds f x y z

x y z t

等式右边的和号不是一个积分和数，将它转化为黎曼和数来计算：

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

01

2 2 2

01

( , , ) lim , ,

' ' ' lim

n

i i ili

n

i i i i i ii

f x y z ds f x y z

x y z t t

2 2 2 22 2* * *

, ,

' ' ' ' ' '

i i i i

i i i i i i

f x y z

x y z x y z

这里

a b a b 再利用不等式

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

可得

2 2 2 22 2* * *

2 2 2* * *

' ' ' ' ' '

' ' ' ' ' '

i i i i i i

i i i i i i

x y z x y z

x x y y z z

－ －

' , ' , 'f x t y t z t然后再利用 及 的连续性，容易证得

01

lim 0n

i ii

t

这样就得到公式

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

0

2 2 2

( , , )

[ ( ), ( ), ] ' ( ) ' ( ) ' ( )

l

T

t

f x y z ds

f x t y t z t x t y t z t dt

注意 :;.1 一定要小于上限定积分的下限

2. ( , , ) , , , .f x y z x y z中 不彼此独立 而是相互有关的

特殊情形：

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

曲线积分 定积分

2( , )d ( , ( )) 1 ' ( )db

l af x y s f x y x y x x

2d 1 ' ( )ds y x x

(1) : ( ), .l y y x a x b

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

2( , )d ( ( ), ) 1 ' ( )dd

L cf x y s f x y y x y y

2d 1 ' ( )s x y dy

(2) : ( ), .L x x y c y d

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

例 1. 计算 .lyds 其中 l为 y2=2x自点 (0, 0) 到点 (2,

2)的一段弧 .

2

0

1 d 2 1 d

2ly s x x

x

解 1： : 2 , 0 2.l y x x

2d

d 1 dd

ys x

x

11

2dxx

y2=2x

0 2

2

y

x 2

02 1dx x ＋ 1

(5 5 1).3

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

解 2：2

: , 0 2.2

yl x y

2 2

0 d 1 d

ly s y y y

2d

d 1 dd

xs y

y

21 dy y

1(5 5 1) .

3

0 2

2

y

x

2

2yx

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

例 2. 计算 ( )dLx y s

L: 连接 O(0, 0), A(1, 0), B(0, 2) 的闭折线 OABO.

解： L分段光滑

L OA AB BO

ds=dx1

0

1( )d ( 0)d

2OAx y s x x

OA: y=0, 0≤x≤1

O

2

A

By

x1

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

1

0( )d ( (2 2 )) 5d

ABx y s x x x

AB: y=22x, 0≤x≤12d 1 ' ds y x 5dx

35

2

2

0( )d d

BOx y s y y

BO: x=0, 0≤y≤2

ds=dy

=2

1 3 ( )d 5 2

2 2Lx y s

1(5 3 5)

2

O

2

A

By

x

1

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

例 3. 计算 2 2( )d ,Lx y s 其中 L: x2+y2=a2.

2 2( )dLx y s

2 2 2 2 2 2 2

0( cos sin ) ( sin ) ( cos ) da t a t a t a t t

2 2

0da a t

32 .a

解： : cos , sin , 0 2 .L x a t y a t t

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

例 4. 计算 3 2( )d .x y z s

其中：从点 A(3, 2, 1) 到点 O(0, 0, 0) 的直线段 .

解：直线段 AO 方程：3 2 1

x y z

化成参数方程： x=3t, y=2t, z=t, 0≤t≤1.

13 2 3 2 2 2 2

0( )d ((3 ) (2 ) ) 3 2 1 dx y z s t t t t

1 3

031 14 dt t

3114 .

4

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

例 5.)20(.

,sin,cos:,)( 222

的一段

其中求

kz

ayaxdszyxI

解 :

).43(3

2 22222 kaka

dkaa

kaa

222

222222

)cos()sin(

sincos

2

0I

2

0

22222 )( dkaka

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

例 6

.0

,

,

2222

2

zyx

azyx

dsxI

为圆周其中

求

解 : 由对称性 , 知 .222 dszdsydsx

dszyxI )(31 222故

dsa3

2

.3

2 3a ),2( 球面大圆周长 dsa

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

四、几何与物理意义,),()1( 的线密度时表示当 Lyx

;),( LdsyxM

;,1),()2( LdsLyxf 弧长时当

,),(

),()3(

处的高时柱面在点

上的表示立于当

yx

Lyxf

.),( LdsyxfS柱面面积

s

L

),( yxfz

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

思考题对弧长的曲线积分的定义中 的符号可能为负吗？

iS

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算

Yunnan

University

§1. 第一类曲线积分的计算