第十六章 二次根式16.2 二次根式的乘

除（第 2 课时）

湖北省赤壁市教研室　来小静

八年级 下册

复习提问

1. 二次根式的乘法法则： 00 baabba ，

即：两个非负数算术平方根的积等于这两个数积 的算术平方根 .

乘法法则是如何得出的？除法有没有类似的法则？

2. 乘法公式的逆用： 00 babaab ，

有何作用？

即：积的算术平方根等于各因式的算术平方根的积 .

探究（ 1 ）

计算下列各式，观察计算结果，你能发现什么规律？

3

2

（ 1 ） = ， = ； 9

4

9

4

（ 2 ） = ； = ， 25

16

25

16

= ， （ 3 ） = .49

36

49

36

5

4

7

6

3

2

5

4

7

6

探究（ 1 ）二次根式的除法法则是：

00 bab

a

b

a， .

即：商的算术平方根等于算术平方根的商 .

二次根式的除法法则是类比乘法法则，采用由特殊到一般的方

法归纳得出的 .

应用（ 1 ）

例 1 计算：

（ 1 ）3

24 ； .（ 2 ）18

1

2

3

；解： 222483

24

3

24（ 1 ）

.（ 2 ） 3393182

3

18

1

2

3

18

1

2

3

18

1

2

3

运算结果中应不含能开得尽方的因数或因式 .

探究（ 2 ）把二次根式的除法法则反过来，就得到：

00 bab

a

b

a ， ，利用它可以进行二次根式的化简 .

例 2 化简：

（ 1）

；100

3 （ 2）

.27

75

（ 1）

；解：10

3

100

3

100

3

.（ 2）

3

5

3

5

33

35

27

752

2

2

2

应用（ 2 ）例 3 计算：

（ 1）

；5

3 ；（ 2） 27

23 .（ 3） a2

8

.解：5

15

5

15

5

15

55

53

5

3

5

322

（ 1）

解法 1：

.解法 2： 5

15

5

15

55

53

5

32

aa 2

先用除法法则运算，再用性质 去掉分母中的根号利用分式的基本性

质和公式 去掉分母中的根号

aa 2

应用（ 2 ）

（ 2 ）

.

27

23

33

23

33

2322

3

6

33

32

3

2

.（ 3 ）a2

8

a

a

a

a

aa

a 2

2

4

22

28

利用第（ 1 ）题中解法 2 的方法去掉分母中的根号 .

二次根式的运算中，最后结果分母一般不含二次根式 .

应用（ 2 ）

例 4 计算：

（ 1） 10

7

5

14 ； （ 2

） 6

15

2

112

.

被开方数为带分数的先化为假分数再进行运算

解：（ 1 ） 5

14

6237

10

5

21

10

7

5

21

10

7

5

21

.

应用（ 2 ）

（ 2）

5

63

5

26

2

3

5

2

6

1

2

3

5

2

6

1

2

3

5

2

6

15

2

112

.

如果根号前有系数，就把系数相除，作为

商的系数 .

最简二次根式

上述几个例题中运算的最后结果，都有如下两个特点：

（ 1 ）被开方数不含分母；

（ 2 ）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式 .

说明：二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式 .

应用 例 5 设长方形的面积为 S，相邻两边长分别为a， b. 已知 S= ， b= ，求 a.32 10

解：因为 S=ab，所以

5

30

1010

1032

10

32

b

Sa .

注意本题中去掉分母中的根号的方法，是否还有

其他方法呢？

应用

2

21

22

21

2

1

2

1

2

2

h

hh

hh

hh

h

h

hR

hR

2

1

2

2

Rh

Rh

2

21

22

21

2

1

2

1

2

2

h

hh

hh

hh

h

h

hR

hR

2

1

2

2

Rh

Rh

那么它们例 6 如果两个电视塔的高分别是

2

1

2

2

Rh

Rh

h1km

，h2km，

的传播半径之比是 .

那么它们例 6 如果两个电视塔的高分别是

2

1

2

2

Rh

Rh

h1km

，h2km，

的传播半径之比是 . 试化简该式 .

利用除法法则，分式的性质和二次根式的性质对代数式进行化简，从结果来看，这个比与地球半径无关，简化了解决问题的步骤 .

课堂小结

一、本节课的主要内容是什么？

二、运用二次根式的除法法则的关键问题是什么？

四、本节课涉及的思想方法有哪些？

三、学习最简二次根式有何意义？

作业布置

二、课外思考：

化简：

一、书面作业：教材 P10 练习第 2 题； 习题 16.2 第 8 、 11 题 .

(1)ab2

2 ；

(2) .23

23