单元 3 材料力学基础知识

教学目标：

　　 1. 了解材料力学的研究对象及任务，了解杆件变形的分类情况；

　　 2. 理解强度、刚度、稳定性、内力、应力、应变、静矩、惯性矩等的概念；

　　 3. 掌握组合图形的形心位置确定，理解惯性矩的平行移轴定理。

本单元内容

材料力学中的几个重要概念 3.3

材料力学的研究对象及任务 3.1

平面图形的几何性质 3.4

杆件及其变形形式 3.2

3.1 　材料力学的研究对象及任务

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3.1.1 　材料力学的研究对象　　材料力学的研究对象是变形固体。　　由各种固体材料制成的构件，在荷载作用下将产生变形，统称为变形固体。　　变形固体的基本假设：　　（ 1 ）连续性假设 　　即认为组成构件的物质毫无空隙地充满到整个构件的几何容积内。　　（ 2 ）均匀性假设 　　即认为材料的各个部分的力学性能完全相同。　　（ 3 ）各向同性假设 　　即材料在各个方向的力学性能完全相同。 　　（ 4 ）小变形假设　　在材料力学中，认为构件受力后的变形量与构件原始尺寸相比是极其微小的。　　综上所述，材料力学研究的是均匀连续的、各向同性的理想弹性体，且限于小变形范围。

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3.1.2 　材料力学的研究任务

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　　材料力学的研究任务是：在保证构件满足强度、刚度和稳定性要求的前提下，以最经济的代价为构件选择最适合的材料、确定合理的截面形状及尺寸，提供必要的理论基础、计算方法和实验技术。　　构件在外力作用下抵抗破坏的能力称为构件的强度。　　构件在外力作用下抵抗变形的能力称为构件的刚度。　　构件维持原有平衡状态的能力称为构件的稳定性。

3.2 　杆件及其变形形式

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3.2.1 　杆　件

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　　实际的工程结构中，许多受力构件如桥梁、汽车传动轴、房屋的梁、柱等，其长度方向的尺寸远远大于横截面尺寸，这一类的构件在材料力学的研究中，通称为杆件。　　杆的所有横截面形心的连线，称为杆的轴线，若轴线为直线，则称为直杆；轴线为曲线，则称为曲杆。所有横截面的形状和尺寸都相同的杆称为等截面杆；否则称为变截面杆。材料力学主要研究对象为等截面直杆。

3.2.2 　杆件的变形形式

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　（ 1 ）杆件变形的基本形式　① 轴向拉伸与压缩　当作用于杆件的外力合力的作用线与杆件的轴线

重合，杆将产生轴向拉伸或压缩变形，如图 3.1 所示。　② 剪切　当杆件受到一对大小相等、方向相反、作用线相

距很近并垂直杆轴的外力作用时，将产生剪切变形，如图 3.2 所示。

图 3.1 图 3.2

3.2.2 　杆件的变形形式

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　　③ 扭转　　当在杆件的两端截面内施加大小相等、方向相反的力偶时，杆件将产生扭转变形，如图 3.3 所示。　　④ 平面弯曲　　当外力施加于杆的某个纵向平面内并垂直于杆的轴线，或者在某个纵向平面内施加力偶时，杆件轴线将由直线变成曲线，如图 3.4 所示，这种变形称为平面弯曲。

图 3.3 图 3.4

3.2.2 　杆件的变形形式

　　（ 2 ） 组合变形的常见形式　　组合变形 ：在复杂外载作用下，构件的变形会包含几种简单变形，当几种变形所对应的应力属同一量级时，不能忽略，这类构件的变形称为组合变形。　　工程中常见的组合变形模式有斜弯曲、偏心压缩（拉伸）、弯扭、拉（压）弯等。

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3.3 材料力学中的几个重要概念

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3.3.1. 　内　力

　　材料力学中的内力，是指物体内部各部分之间因外力而引起的附加相互作用力，即“附加内力”。

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3.3.2. 　截面法　　截面法是材料力学分析内力的基本方法。　　如图 3.6 所示，用截面假想地把杆件分成两部分，　　以显示并确定内力的方法称为截面法。　　截面法计算杆件内力过程中的四个要点：　　切开：沿所求截面假想地将杆件切开； 图 3.6

　　注意：在使用截面法求内力是时，杆件在被截开前，静力学中的力系等效代换及力的可传性原理是不适用的。

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　　取出：取出其中任意一部分作为研究对象；　　替代：以内力代替弃去部分对选取部分的作用；　　平衡：列平衡方程求出内力。

3.3.3. 　应　力

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　（ 1 ）应力的概念　内力在截面上一点处的分布集度称为应力。　（ 2 ）应力的分类　应力 p又称为全应力，它是一个矢量，其方向与内力的方

向相同。在材料力学中，通常将全应力 p 分解为沿截面法线方向的分量 σ 和与截面相切的分量 τ ，其中 σ 称为正应力， τ 称为剪应力。

（ 3 ）应力的单位　应力的量纲是 [ 力 ]／ [ 长度 ] ，应力的基本单位是“帕斯

卡”，简称帕 (Pa) ， 1Pa＝ 1N/m 。常用单位是兆帕 (MPa) ，1MPa=10 Pa ，另外应力的单位还有吉帕 (GPa) ， 1GPa=10 Pa 。

2 6

2

9

3.3.4. 　应　变　　（ 1 ）变形　　杆件在荷载作用下，其形状和尺寸发生变化的现象称之为变形。　　（ 2 ）应变　　应变是用以表明由外力所引起的变形体的内部的单位尺寸变化、形状变化或体积变化的重要名词。　　应变是衡量变形的尺度，通常把应变分为线应变和角应变两类，线应变和角应变是度量一点处变形程度的两个基本量。　　单位长度的变形称为线应变，用符号 ε表示，如图 3.10 （ a ）所示；单元体相邻棱边所夹直角的改变量，称为角应变或切应变，用 γ表示，如图 3.10 （ b ）所示。

图 3.10返回

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3.4 　平面图形的几何性质

　　平面图形的几何性质是影响杆件承载能力的重要因素，杆件的应力和应变不仅与杆件的内力有关，而且还与杆件截面的横截面面积、惯性矩、抗弯截面模量、极惯性矩等平面图形的几何性质密切相关。平面图形的几何性质纯粹是一个几何问题，但它是计算杆件强度、刚度、稳定性等问题中必不可少的几何参数。

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3.4.1 　静　矩3.4.1.1 静矩的定义　　一任意形状的平面图形如图 3.11 所示，面积为 A，在平面图形所在平面内内任意选取一个平面坐标系 zoy，在坐标 (z,y)处取微面积 dA，则微面积 dA与坐标 y( 或坐标 z) 的乘积称为微面积 dA对 z 轴 ( 或对 y 轴 ) 的静矩，记作dSz( 或 dSy) 。 平面图形对 z 轴的静矩用 Sz表示，平面图形对 y 轴的静矩用 Sy表示。我们定义ydAdSS AzAz

zdAdSS AyAy (3-5)

　　从静矩的定义可以看出，静矩是对特定的坐标轴而言的，选择不同的坐标轴，静矩也不同。静矩的数值可正、可负、可为零。静矩常用的单位是　　 或 　 。 3m 3mm

图 3.11

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3.4.1 　静　矩 3.4.1.2 简单图形的静矩计算

　　对于面积和形心位置均已知的简单图形，其静矩计算公式为：

z cS Ay

y cS Az （ 3-6 ）

　　即平面图形对轴（或轴）的静矩等于图形面积与形心坐标（或）的乘积。显然，当坐标轴通过图形的形心时，其静矩等于零；反之，若图形对某轴的静矩等于零，则该轴一定通过图形的形心。

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3.4.1 　静　矩

　　【例 3-1】 矩形截面尺寸如图 3.12所示，以矩形的形心 C 为原点建立坐标系zoy ， z1 通过矩形的底边，试求该矩形对z 轴的静矩和对 z1 轴的静矩。　　解 : (1) 计算矩形截面对 z 轴的静矩。由于 z 轴是矩形截面的对称轴，通过截面形心，所以矩形对 z 轴的静矩等于零， 即Sz = 0 (2) 计算矩形截面对 Z1 轴的静矩。

22

2

1bhh

bhyAS cz 图 3.12

3.4.1.2 简单图形的静矩计算

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3.4.1 　静　矩 3.4.1.3 组合图形的静矩计算

　　可以划分为若干个简单图形的图形称为组合图形，常见的组合图形有工字形、 L 形、 T字形、　 形、箱型等。　　由静矩的定义可知，组合图形的静矩为

1

( )n

iz z i ci

i

S S A y

1

( )n

iy y i ci

i

S S A z

（ 3-7 ）

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3.4.2 　组合图形的形心位置　　形心就是平面图形的几何中心。平面图形形心 C的坐标为 (zC ， yC) ，对于由若干个简单图形组成的组合图形，则其形心坐标计算公式为

A

yAy

n

icii

c

1

A

zAz

n

icii

c

1

(3-8)

　　若平面图形有一个对称轴，则形心在此对称轴上；若平面图形有两个或两个以上的对称轴，则形心一定在对称轴的汇交点上。

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3.4.2 　组合图形的形心位置　　【例 3-2】 试确定如图 3.13 所示组合截面（左右对称）的形心位置，长度单位为 cm 。

cm95.21012

5.0105121

A

yAy

n

icii

c

　　解 : 建立坐标系 zoy ，因为 y 为截面的对称轴，所以形心必在 y 轴上，故只需确定 yc 。该截面可视为由矩形Ⅰ和矩形Ⅱ组合而成。矩形Ⅰ的面积　　　　　　　 ，形心纵坐标 　　　 ；矩形Ⅱ的面积　　　　　　　 ，形心纵坐标 　　　　。

21 125.18 cmA cm51 cy

22 10101 cmA cm5.02 cy

图 3.13

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3.4.3 　惯性矩 3.4.3.1 惯性矩的定义

　　从惯性矩的定义可以看出，惯性矩的数值与图形、与坐标轴位置有关，惯性矩恒为正值，惯性矩常用的单位是　 或　　。

4m4mm

图 3.14

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　　如图 3.14 所示，在图形所在平面内任意取一个平面坐标系 zoy 。微面积dA 与坐标 y( 或坐标 z) 平方的乘积 y dA 或 (z dA) 称为微面积 dA 对 z 轴 ( 或对 y 轴 ) 的惯性矩。整个平面图形上所有微面积对 z 轴 ( 或对 y 轴 ) 的惯性矩之和，称为平面图形对 z 轴 ( 或对 y 轴 )的惯性矩，用 Iz( 或 Iy)表示，即

Az dAyI 2

Ay dAzI 2 (3-9)

2 2

3.4.3 　惯性矩 3.4.3.2 简单图形的常用惯性矩

　　如图 3.15 （ a ）所示高度为 h宽度为 b 的矩形对其形心轴和的惯性矩分别为 3

12Cz

bhI

3

12Cy

hbI ， （ 3-10 ）

　　如图 3.15 （ b ）所示直径为 d 的圆形对其形心轴和的惯性矩分别为4

64C Cz y

dI I

（ 3-11 ）

　　在建筑工程中，常用图形的惯性矩可在有关计算手册中查到，型钢截面的惯性矩可在型钢表中查找。

（ a ） （ b ） 图 3.15

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3.4.3 　惯性矩3.4.3.3 惯性矩的平行移轴公式

　　如图 3.16 所示 C点是任意平面图形的形心， zC 轴 yC 和轴是通过形心的坐标轴， zC 轴与 z 轴平行，其间距为 a ； yC 轴与y 轴平行，其间距为 b 。图形对这两对平行的坐标轴的惯性矩之间的关系是　　　　　　　　　　　　， 　　　　　　 （ 3-13 ）

2

Cz zI I a A 2

Cy yI I b A

　　式（ 3-13 ）就是惯性矩的平行移轴公式。式（ 3-13 ）表明：图形对任意轴的惯性矩，等于图形对与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴之间距离平方的乘积。在所有平行轴中，平面图形对形心轴的惯性矩为最小。

图 3.16返回

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知识拓展 平面图形的其它几何性质

　　（ 1 ）极惯性矩　　图 3.14 中微面积 dA 与坐标原点 O 的距离ρ 的平方的乘积 ρ dA 称为微面积 dA 对坐标原点 O 的极惯性矩，整个图形对坐标原点 O 的极惯性矩用积分表达为

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yzAAAp IIdAydAzdAI 222（ 3-14 ）

2

　　（ 2 ）惯性积　　如图 3.17 所示，整个图形对 z 和 y 轴的惯性积，用表示 Izy ，定义

Azy zydAI （ 3-15 ）

图 3.17

　　惯性积是平面图形对两个正交坐标轴而言的，同一图形对不同的正交坐标轴，其惯性积不同。由于 z 、 y有正有负，因此惯性积也可能有正有负，也可能为零。惯性积的常用单位是　　或　　　。4m 4mm

知识拓展 平面图形的其它几何性质

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知识拓展 平面图形的其它几何性质

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　　（ 3 ）惯性半径　　在工程中因为某些计算的特殊需要，经常将图形的惯性矩表示为图形面积 A 与某一长度平方的乘积，即

或写成

AiI zz2

AiI yy2

AiI 2

A

Ii zz

A

Ii yy

A

Ii

　　式中， iz 、 iy 、 iP 分别称为平面图形对 z 轴、 y 轴和极点的惯性半径 (又叫回转半径），单位为 m 或 mm 。在建筑力学中，分析组合截面压杆的稳定性时，常用惯性半径来表示组合图形截面的几何特征。

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知识拓展 平面图形的其它几何性质

　　（ 4 ）抗弯截面模量　　在计算抗弯杆件的应力时，经常用到抗弯截面模量的

概念，抗弯截面模量用 W表示，

maxy

IW （ 3-17 ）

式中：　 I —— 截面关于形心轴的惯性矩　　　　　—— 截面上垂直并距离形心轴最远的点到形心轴的距离。

maxy