Лекц №7Тодорхой интеграл, тодорхой интегралын үндсэн чанарууд,

тодорхой интегралыг бодох аргууд, геометр хэрэглээ

Математик анализын үндсэн ойлголтын нэг тодорхой интеграл нь математик , физик , механикт судалгааны хүчтэй аппарат болон хэрэглэгддэг. Дүрсийн талбай, муруйн нумын урт , биетийн эзлэхүүн, ажил , хурд , хүндийн төв, инерцийн моментууд зэргийг олох асуудал тодорхой интегралд шилждэг. Энэ бүлэгт бид тодорхой интеграл, түүний хэрэглээ, ойролцоо бодох аргыг авч үзнэ.

Интеграл нийлбэр , Тодорхой интегралын тодорхойлолт , түүний чанар

[а,b] хэрчим дээр тасралтгүй у=f(x) функц өгөгджээ. а=x0< x1<…< xn-1<хп =b байх цэгүүдийн олонлог x0, x1, … , xn -ийг [а,b] хэрчмийн хуваалт гэж нэрлэнэ. Хуваалтын [xi-1, xi] хэрчмийн уртыг xi= xi – xi-1-ээр тэмдэглэж, тэдгээрийн хамгийн их уртыг -ээр тэмдэглэж, хуваалтын алхам гэж нэрлэе. Тэгвэл =mахxi болно. [xi-1, xi],i=1,2,…n тус бүрээс j цэг сонгон авч дараах нийлбэрийг зохиоё. Үүнд:

Энэ нийлбэрийг f(х) функцийн [а,b] хэрчмийн өгсөн хуваалт, i цэгийн сонголтонд харгалзсан Риманы интеграл нийлбэр гэж нэрлэдэг.

1 1 2 21

... 1n

n n n i ii

f x f x f x f x

Тодорхойлолт 1.1 Хэрэв [а,b] хэрчмийн хуваалтын алхам 0 руу тэмүүлэх үед (1) интеграл нийлбэр нь [а,b] хэрчмийг хуваах арга, i цэгийн сонголтоос үл хамааран төгсгөлөг хязгаартай байвал f(х) функцийг [а,b] хэрчим дээр Риманаар интегралагчлагдах функц, уг хязгаарыг тодорхой интеграл гэж нэрлэнэ.

Тэмлэглэхдээ

2b

a

I f x dx

Мөн түүнийг заримдаа f(х) функцийн [а,b] хэрчим дээрх Риманы интеграл гэнэ. Тодорхойлолт ёсоор

байна. Функцийн тодорхой интеграл I нь төгсгөлөг тоо байх бөгөөд интегралын хувьсагчийг ямар үсгээр тэмдэглэснээс үл хамаарна. Ө.х

0

1

lim 3b n

i iia

I f x dx f x

b b

a a

f x dx f t dt

Риманы интеграл нийлбэрийн геометр утгыг авч үзье.

Тодорхойлолт 1.2 у=f(х) нь [а,b] дээр тасралтгүй, f(х)0 функц байг. Дээрээсээ у=f(х) функцийн график, доороосоо OX тэнхлэг, хоёр хажуу талаараа х=а, х=b шулуунаар хүрээлэгдсэн дүрсийг муруй шугаман трапец гэнэ.

(Зураг1) нь f(i)xi үржвэр нь f(i) өндөртэй, xi=xi-xi-1 суурьтай тэгш өнцөгтийн талбайтай тэнцүү, харин n нь зурагт дүрслэгдсэн шаталсан дүрсийн талбайтай тэнцүү юм.

Энэ тохиолдолд (3) хязгаар оршин байвал түүнийг муруй шугаман трапецийн талбай гэж нэрлэдэг. Иймд геометрийн үүднээс функцийн тодорхой интеграл нь харгалзах муруй шугаман трапецийн талбайтай тэнцүү байна.

Тодорхой интегралын үндсэн чанарууд

[а,b] хэрчим дээр интегралчлагдах f(х), (х) функциуд өгөгджээ. Тодорхой интегралын тодорхойлолтоос дараах чанарууд мөрдөн гардаг.

1.

интегралын дээд ба доод хязгаар тэнцүү байх тохиолдолд тодорхой интегралын утгыг тэгтэй тэнцүү гэж үзнэ.

2.

0a

a

f x dx

b

a

dx b a

3. Тодорхой интеграл нь шугаман шинж чанартай. , тогтмол тоонууд

4. Хэрэв х[а,b], f (x) 0 байвал

болно.

b b b

a a a

f x x dx f x dx x dx

0b

a

f x dx

5. Хэрэв х[а,b], f (x) (x) байвал

болно.

6.

7.

8.

b b

a a

f x dx x dx ,

b b

a a

f x dx f x dx a b

b a

a b

f x dx f x dx

b c b

a a c

f x dx f x dx f x dx

Теорем 2.1 (Дундаж утгын тухай теорем) [а,b] хэрчим дээр тасралтгүй f(х) функцийн тодорхой интегралын утга нь ]а,b[ завсрын ямар нэг с цэг дээрх функцийн утга f(с)-г хэрчмийн урт (b-a)-аар үржүүлсэнтэй тэнцүү. Өөрөөр хэлбэл:

b

a

f x dx f c b a

Ньютон-Лейбницийн томъёо

Тодорхойлолт3.1 [а,b] хэрчим дээр интегралчлагдах у=f(х) функц өгөгджээ. Тэгвэл x[а,b] цэгийн хувьд у=f(х) функц [a,x] хэрчим дээр интегралчлагдана. Энэ интегралыг

гэж тэмдэглээд хувьсах дээд хязгаартай интеграл гэнэ.

1x

a

x f t dt

Хувьсах дээд хязгаартай Ф(х) интеграл дараах үндсэн шинж чанартай.

Теорем 3.1 Хэрэв f (х) функц [а,b] хэрчим дээр интегралчлагдах бол Ф(х) функц энэхүү цэг дээр дифференциалчлагдах ба түүний уламжлал нь

Энэ теоремоос үзвэл интегралчлагдах функцийн хувьсах дээд хязгаартай интеграл нь дээд хязгаараараа тасралтгүй функц байна.

/

' 2x

a

x f t dt f x

(2) томъёоноос үзвэл Ф(х) нь f (х) функцийн [а,b] хэрчим дээрх эх функц болж байна. Энэ нь тасралтгүй функцийн хувьд эх функц оршин байхыг нотолж байна.

Математик анализын нэг гол үр дүн, тодорхойгүй ба тодорхой интегралын хоорондын холбоог тогтоосон Ньютон-Лейбницын томъёо дараах теоремоор томъёольё.

Теорем 3.2 Хэрэв [а,b] хэрчим дээр тасралтгүй f(х) функцийн эх функц нь F(х) бол

3b

a

f x dx F b F a

Тодорхой интегралыг бодох аргууд

Ньютон-Лейбницийн томъёо (4) нь тодорхой интегралыг бодоход тодорхойгүй интеграл бодох бүх аргыг хэрэглэх боломжийг олгож байна. Тодорхой интегралд орлуулга хийх, хувьсагч солих аргыг дараах теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Теорем 4.1 [а,b] хэрчимд тасралтгүй f(х) функц, [а,b] хэрчимд тасралтгүй дифференциалчлагдах ба ([,])=[а,b], ()=a, ()=b байх х=(t) функц өгөгдсөн байг. Тэгвэл тодорхой интегралд хувьсагч солих

томъёо хүчинтэй байна.

' 1b

a

f x dx f t t dt f t d t

[а,b] хэрчимд f(х)-ийн эх функц нь F(х) болог. Тэгвэл Ньютон-Лейбницын томъёогоор ,

' '

b

a

b

a

f x dx F b F a F F

d F t F t d t f t t dt