Семинар 3

Иррациональ функцийг интегралчлах

хэлбэрийн интегралыг Эйлерийн орлуулгаар интегралчилна.

Үүнд тэгшитгэл нь 0-ээс ялгаатай бодит шийдтэй байна.

1. a>0 үед

2. c>0 үед

3. эсвэл

байна.

Мөн зарим үед -ийн хувьд

Биномт дифференциал:

хэлбэрийн дифференциалыг биномт дифференциал гэнэ. Үүнд: m, n, p,

a, b –тогтомол тоо байна.

дифернциалыг дараах 3 тохиолдоолд интегралчилна.

1) p – бүхэл тоо үед орлуулгаар

2) - бүхэл тоо үед

3) - бүхэл тоо үед, тус тус рациональ илэрхийлэлд шилжинэ.

Жишээ:

интегралыг бод.

Энд: p = -1 бүхэл тоо учир гэе. Тэгвэл , .

=arctg t+c=3arctga arctg .

Жишээ 2 :

интеграл бод.

Үүнд: m=3; n=2; бүхэл тоо учир

, орлуулга хийвэл

. Интеграл бодоход хүрнэ.

орлуулга хийвэл

.

Жишээ 3:

Интеграл бод.

Үүнд: m=-2, n=2, болох ба (бүхэл тоо байна).

орлуулга хийвэл

,

Үүнд: орлуулга ашиглавал ,

=

-

Тригонометр функцийн интеграл

1. R(sin ax cosbx) dx , R(cos ax cosbx) dx ,R(sin ax sin bx) dx хэлбэрийн интегралыг

бодоход үржвэрийг нийлбэрт хувиргах томъёог ашиглана.

))sin()(sin(2

1cossin

))cos()(cos(2

1coscos

))cos()(cos(2

1sinsin

Жишээ нь:

2. Rsinn x cos

m x dxnN, mN төрлийн интегралыг бодох

a. n 2k 1, kN үед t =cos x sin x dx =d (cos x) , sin x dx =dt , орлуулга ,

ашиглана.

b. m 2l 1, lN үед t =sin x cos x dx =d (sin x) , cosx dx=dt

Жишээ нь:

c. m 2l , lN n 2k үед зэрэг бууруулах болон давхар өнцгийн томъёог

ашиглаж болно.

Жишээ нь:

3. R(sin x, cos x)dx , R(sin x, cos x) хэлбэрийн sinx ба cosx -ийн хувьд рациональ

интегралыг бодоход

; ;

; орлуулыг ашиглана.

Жишээ нь:

Бодлогууд:

1. интегралыг бод.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.