משוואת דיפרנציאליות רגילות

ודוגמאות תיאוריהמי סיכו (05/'סמסטר ב) ר אלכס ספיבק"הרצאותיו של ד

עם הקבלה של גדלים קטנים באופן אינסופי וגדולים "המתמטיקה שהייתה בדרך כלל כה אתית , באופן אינסופיהעיקרון של תוקף מוחלט ושל הוכחה ... ירדה מגדולתה

ור של כל דבר מתמטי חלפו לעולם שאינה ניתנת לערעוהגענו לנקודה שבה רוב , חילוקי הדעות עלו לגדולה; ועד

האנשים משתמשים בנגזרות ובאינטגרלים לא משום שהם מבינים את מה שהם עושים אלא ממש רק מתוך

מפני שעד כה התוצאות שהתקבלו היו תמיד , אמונה ".נכונות

('דורינג-אנטי, 'פרידריך אנגלס)

eli_e@netvision.net.ilתום ארליך : עריכה

2

תוכן עניינים

4 .......................................................................................................................... מיון משוואות דיפרנציאליות

5 .................................................................................................................................. לקורס מנחות שאלות 5 ...............................................................................................................ראשון מסדר דיפרנציאליות משוואת

6 ..................................................................................................................... משוואות לינאריות מסדר ראשון

6 .......................................................................................................................................... פרטיים מקרים 7 .............................................................................................................................. האינטגרציה גורם שיטת

8 .......................................................................................................................... גורם אינטגרציה – 1דוגמא 9 ................................................................................................................................................... 2דוגמא 9 ............................................................................................................ בעיית התחלה מסדר ראשון – 3דוגמא

11 .............................................................................................................................. והיחידות הקיום משפט 11 ....................................................................................................................................... ברנולי משוואת

11 ......................................................................................................................... משוואת ברנולי – 4דוגמא

21 ............................................................................................................... לינאריות-משוואת מסדר ראשון לא

12 ....................................................................................................................מופרדים משתנים עם משוואות 12 ...................................................................................................... משוואה עם משתנים מופרדים – 5דוגמא

13 ................................................................................................................. ראשון רמסד הומוגניות משוואות 14 ................................................................................................... משוואות הומוגניות מסדר ראשון – 6דוגמא

21 .................................................................................................................... משוואות מדויקות מסדר ראשון

17 ...................................................................................................................... משוואות מדויקות – 7דוגמא 18 ............................................................................................... "תמרור אזהרה: "משוואות מדויקות – 8דוגמא

18 ....................................................................................................... מדויקות משוואות עבור אינטגרציה גורם 19 ........................................................................................ גורם אינטגרציה עבור משוואות מדויקות – 9דוגמא

12 ..................................................................................................................................... משוואות מסדר שני

21 ..................................................................................................................... שני מסדר הומוגניות משוואות

21נניח כי rr

22 ................................................................................... .שני שורשים ממשיים ושונים - 23 ................................................. אופיינית. קדמים קבועים ושני שורשים ממשים לממסדר שני עם מ. מ – 11דוגמא

22 ............................................................. משפטים והגדרת הורונסקיאן –פתרונות יסודיים של משוואה הומוגנית 25 ......................................................................................................... נארית בורונסקיאןתלות לי-תלות ואי

26 ............................................................................................................... שני שורשים מרוכבים וצמודים 31 ....................................................................... שני שורשים מרוכבים במשוואה הומוגנית מסדר שני – 11דוגמא

03 .................................................................................................................. שני שורשים ממשיים ושווים 31 ............................................................................. השיטה והוכחתה –שני שורשים ממשים ושווים – 12דוגמא

31 ................................................................................................................................ המשוואה סדר ורדתה 32 ............................................................................................................... הורדת סדר המשוואה – 13דוגמא

33 ................................................................................................................ הומוגניות-לא שני מסדר משוואות 03 .................................................................................................................. ידועים-שיטת המקדמים הלא

35 ........................................................................ ידועים-ניחושים שונים בשיטת המקדמים הלא – 14-19דוגמאות 39 .................................................................................................... מקדמים הלא ידועיםטבלת סיכום עבור שיטת ה 07 .................................................................................................... ('גראנז-לה)שיטת וריאציית הפרמטרים

41 ................................................................................................................ וריאציית הפרמטרים – 21דוגמא 43 ...................................................................................דוגמא נוספת עם שיטת וריאציית הפרמטרים– 21דוגמא

41 ...................................................................................................................... משוואות לינאריות מסדר גבוה

45 ................................................................................................................... גבוה דרמס הומוגניות משוואות 25 ...................................................................................................משוואות מסדר גבוה עם מקדמים קבועים

47 ....................................................................................................................... שורשים ממשיים ושונים זה מזה 48 ............................................................................ (ללא שורשים כפולים)שורשים ממשיים ושונים – 22דוגמא

48 ....................................................................................... בין שורשי הפולינום האופייני מופיעים שורשים מרוכבים 48 .................................................................................................................... שורשים מרוכבים – 23מא דוג

49 .............................................................................................................................. שורשים החוזרים על עצמם 49 ........................................................................................................ שורשים החוזרים על עצמם – 24דוגמא

49 .............................................................................................................. גבוה מסדר הומוגניות-לא משוואות 33 ................................................................................ שיטת המקדמים הלא ידועים עבור משוואות מסדר גבוה

51 .......................................................................................... סדר גבוה –מים לא ידועים שיטת מקד – 24דוגמא

3

35 .................................................................................. שיטת וריאציית הפרמטרים עבור משוואות מסדר גבוה 52 ........................................................................................ סדר גבוה –שיטת וריאציית הפרמטרים – 25דוגמא

14 .................................................................................................................................... התמרות אינטגרליות

56 ........................................................................................................... פלס מיידיות-התמרות לה – 26דוגמא 56 ............................................................................................................. פלס-לה התמרת של דיותיסו תכונות 61 ................................................................................................................ ותכונותיה הפוכה פלס-לה התמרת

61 ..................................................................................... פלס-פתרון משוואה באמצעות התמרת לה – 27דוגמא 42 ................................................................................................................. טבלת עזר –התמרות מיידיות

63 ............................................................................ דיפרנציאליות במשוואות הפתרון מציאת עבור פלס-לה שיטת 40 ................................................................................................... פלס לפתרון משוואות-שיטת לה -ם סיכו

64 .................................................................................. פלס-פתרון משוואה בעזרת התמרת לה –28-29דוגמאות

66 ............................................................................................ רציפות באגף ימין-משוואת דיפרנציאליות עם אי

66 ..................................................................................................................................... המדרגה פונקצית 68 .......................................................................................... פלס של פונקצית המדרגה-התמרת לה – 31דוגמא

69 ............................................................................ ההפוכה פלס-לה והתמרת פלס-לה התמרת של נוספות תכונות 69 ............................................................................. פלס-פתרון בעיית התחלה באמצעות התמרת לה – 31דוגמא

53 ......................................................................................................................(לסאימפו)פונקצית דלתא 71 ................................................................................................... פלס-פונקצית דלתא והתמרת לה -32דוגמא

71 ............................................................................................................................................. קונבולוציה 72 ......................................................................... פלס הפוכה באמצעות קונבולוציה-התמרת לה– 33-34מאות דוג

44 ....................................................................................... פתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות טורי חזקות

74 ..................................................................................................................................... אנליטית פונקציה 74 ................................................................................ הרגולרית הנקודה סביב דיפרנציאליות משוואות של פתרון

75 ......................................................................................... פתרון משוואה סביב הנקודה הרגולרית – 35דוגמא 56 ............................................................................................ סיכומים עבור הפתרון סביב הנקודה הרגולרית

63 ................................................................................................................................ נדר'ג-משוואת לה 83 .............................................................................. הסינגולרית הנקודה סביב דיפרנציאליות משוואות של פתרון

60 .................................................................................................................................... משוואת אוילר 64 .................................................................................................................. הומוגנית-משוואות אוילר לא

86 ............................................................................. הרגילה הסינגולרית הנקודה סביב לפיתוח הכללית התיאוריה 88 ................................................................ שימוש במשוואת אוילר לפתרון סביב הנקודה הסינגולרית – 36דוגמא

91 ................................................................................................................................... לבעיה וסיכומים הערות 91 ............................................................................... דוגמא נוספת לפתרון באמצעות משוואת אוילר – 37דוגמא

92 ................................................................. (המשך) התיאוריה סיכום – הרגילה הסינגולרית הנקודה סביב הפתרון 94 ........................................................... שורש כפול למשוואה האנדיציאלית סביב הנקודה הסינגולרית – 38דוגמא 96 ........................................................ הוא מספר שלםההפרש בין שני שורשי המשוואה האינדיציאלית – 39דוגמא

4

מיון משוואות דיפרנציאליות

חלקיות/משוואות רגילות .א

אז במשוואה יופיעו נגזרות לפי , אם הפונקציה תלויה במשתנה אחד בלבד: הגדרה ואהמשוובהתאם לזאת המשוואה נקראת ( נגזרות רגילות)אותו משתנה

.דיפרנציאלית רגילה

דוגמאות

מטען במעגל

(1.1) )()(1

)(')('' tEtQC

tRQtLQ

התפרקות חומר רדיואקטיבי

(1.2) )()('' tkRtR

אם הפונקציה שמופיעה במשוואה תלויה בכמה משתנים אז במשוואה : הגדרה : ציאלית חלקיתמשוואה דיפרנוזו –יופיעו נגזרות לפי משתנים שונים

דוגמאות

02 : משוואת הפוטנציאל( 1.3)

2

2

2 ),(),( dy

yxud

dx

yxud

dt : משוואת החום( 1.4)

txdu

dx

txud ),(),(22

2

dt : משוואת הגלים( 1.5)

txdu

dx

txuda ),(),(22

2

הקריטריון השני למיון משוואות הוא סדר המשוואה .ב

משוואה . ר שמופיע במשוואהסדר המשוואה נקבע לפי סדר הנגזרת הגבוה ביות : נראית מהצורה nמסדר

(1.6) ))(),...,('),(,( )( xyxyxyxF n

הנגזרות n-ו xוהמשתנה הבלתי תלוי yמהווה את הקשר בין F' שבה הפו

אנו מניחים שתמיד קיימת אפשרות לפתור את המשוואה ביחס . yהראשונות של ( :7)לנגזרת הגבוהה ביותר ולהציג אותה בצורה

(1.7) ))(),...,('),(,()( )1()( xyxyxyxfxy nn

5

bxaבקטע הפתוח ( 1.7)הפתרון של משוואה : הגדרה הוא)(k , :שמקיימת פונקציה גזירה וכזאת

(1.8) ))(,),('),(,()( )1()( xxxxfx nn לכל),( bax

' ולא בנק מסויםהוא תמיד בקטע , אם קיים, פתרון משוואה דיפרנציאלית: הערה .ספציפית

שאלות מנחות לקורס

האם למשוואה נתונה קיים תמיד פתרון ? נות האם קיימים עוד פתרו, נניח שלמשוואה קיים פתרון אחד? מהם התנאים המבטיחים פתרון יחיד ? כיצד לפתור משוואה ?

תליניאריו –קריטריון שלישי למיון משוואות .ג

:אם היא ניתנת להצגה בצורה תליניאריר "המדנאמר כי : הגדרה (1.9 )

)()()()(')()()()()(01

)1(

1

)( xgxyxaxyxaxyxaxyxa n

n

n

n

gaaכאשר n,,...,

0, במילים אחרות. םהן פונקציות רציפות בקטע מסוי

yואין מכפלות בין 1מופיעות בחזקה , וכל נגזרותיה' , הפו, תליניאריבמשוואה , לדוגמא. ונגזרותיה

(1.10) 01

1'sin'''''

2

y

xyxyey x

משוואת דיפרנציאליות מסדר ראשון

),(י "אלו משוואות שניתן לתאר ע yxfdx

dy .

אנו נבחן . באגף ימין fלכל פונקציה תכי לא קיימת שיטה אוניברסאלי, צייןיש ל.כמה סוגים חשובים של משוואות מסדר ראשון ונפתח שיטות מתאימות לפתרונן

6

מסדר ראשון תליניאריומשוואות

:י "הצורה הכללית ניתנת ע (2.1) )()()()(')(

210xaxyxaxyxa

כאשר210

,, aaaהן פונקציות רציפות בקטע מסוים.

0אם 0a ולהציגה בצורה ( 2.1)אז ניתן לחלק את משוואה , בכל נקודה בקטע

: סטנדרטית

(2.2) )()()()(' xqxyxpxy )(

)()(

0

1

xa

xaxp

)(

)()(

0

2

xa

xaxq

מקרים פרטיים

)(0. א xp אז נקבל)(' xqy

: הפתרון יהיה Cdxxqxy )()(.

)(0. ב xq 0 אז נקבל כי)(' yxpy

yxpxy )()('

)()(

)('xp

xy

xy

]ln))'([()( : נציג בצורה הבאה xpxy

)ln()()](ln[ Cxpxy

dxxpCxp

Ceexy)()ln()(

הפתרון הכללי )(

אפס פתרון מיידי ) (ולכן ניתן לחלק

7

)(0;)(0 (2)בו במשוואה במקרה הכללי .ג xpxq קיימת שיטת

".גורם אינטגרציה"פתרון הנקראת

שיטת גורם האינטגרציה

כך שאם , הנקראת גורם אינטגרציה x)(קיימת פונקציה : א עקרון השיטה הו

: נקבל x)('בפו( 2.2)נכפול את משוואה

(2.3) )()()]'()([ xqxxyx

Cxqxxyx כעת )()()()( ונקבל הפתרון:

(2.4 ) )(

)()()(

x

Cxqxxy

??? x)(כיצד נמצא את , תכע

yxpyתה לנו המשוואה יהי )(' ולאחר הכפל ב-)(xקיבלנו :

)()()()(')( xyxpxxyx

:אולם היינו רוצים לקבל

)()()()(')()]'()([ xyxpxxyxxyx

:חייבת לקיים , אם קיימת, פונקציה כזאת, לכן

(2.5) )()()()()(' xyxpxxyx

:yומכאן לאחר חלוקה ב

)()()(' xpxx

וכמו מקודם

(2.6) )())]'([ln()()(

)('xpxxp

x

x

: ולכן

(2.7)

dxxp

Cex)(

)(

8

הערות

ת כל מכיל בתוכו א, (2.4)יש לציין כי הביטוי המופיע באגף ימין של .אהפתרון הכללי "ולכן נקרא , (2.2)הפתרונות הקיימים למשוואה המקורית

".של המשוואה .הפתרון הכללי מתקבל לאחר שתי אינטגרציות .ב

רק לאחר כי ניתן להתחיל לחפש גורם אינטגרציה , מאוד חשוב לציין .ג .שהמשוואה הועברה לצורה הסטנדרטית

דוגמאות

גורם אינטגרציה – 1דוגמא

xeyyx 0xבקטע )1('

.רגילה, מסדר ראשון, תליניארי, משוואה דיפרנציאלית : מיון

x

ey

xy

x

11

1'

)01;0( xx

x

exq

xxp

x

1)(;

1

1)(

xeex xdx

x 1)( )1ln(1

1

xeyxxqxyx ]')1[()()(]')([

Ceyx x )1(

: פתרון כללי x

Cey

x

1

)]1('[1)1(' :בדיקת הפתרון yxyyx

yyxyx

yx

')1()1

1')(1(

9

2דוגמא

0' yy והפתרון הכללי הוא x

TotalCexy )(

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

15

20

25

0246810

C=-3

C=-2

C=-1

C=0

C=1

C=2

C=3

.אינטגרציה של המשוואה המקורית יקווים אלו נקראים קוו

קיימים הרבה מקרים בהם דורשים להוציא ממשפחה אינסופית של פתרונות פתרון

! ה יש לציין כי הפתרונות במשוואה מסדר ראשון לא נתונים באף נקוד. ספציפי

שחייבים תנאי התחלה בסגנון –מכאן 00

)( yxy .

יוצרים בעיה , ביחד עם תנאי התחלה, משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון: הגדרה ".בעיית התחלה מסדר ראשון"הנקראת

בעיית התחלה מסדר ראשון – 3דוגמא

מצאנו פתרון כללי 1בדוגמא x

Cey

x

1יה נתון למשל תנאי התחלה אם ה,

2)0( y אזי נציב:

CCe

y

1

012)0(

0

1C

: והפתרון הספציפי הוא x

ey

x

1

1

10

משפט הקיום והיחידות

)()()()(' xqxyxpxy

),()(אם הפונקציות xqxp המכיל בתוכו את , רציפות בקטע המסוים0

x , שהיאוגם כל , אזי תמיד קיים פתרון אחד ויחיד המקיים גם את המשוואה. ההתחלה' נק

-תנאי התחלה שנקבע ב0

x .כי בקטע בו , יש לציין)(),( xqxpהפתרון , רציפות .הוא רציף וגזיר

משוואת ברנולי

(3.1) )()()()()(')(210

xyxaxyxaxyxa

0אם 0a נוכל לחלק בו לקבלת תצוגה סטנדרטית, בכל נקודה בקטע:

(3.2) )()()()()(' xyxqxyxpxy )(

)()(

0

1

xa

xaxp

)(

)()(

0

2

xa

xaxq

.תליניארי( 2)אז משוואה 0אם .א

.תליניארי( 2)אז משוואה 1אם .ב

.אז זהו המקרה הכללי 0,1אם .ג

xy)(ב( 2)נחלק את משוואה :

(3.3) )()()()(' 1 xqxyxpxyy

:1ונכפיל ב

(3.4) )()1()()()1()(')1( 1 xqxyxpxyy

:הביטוי ניתן להצגה כך, כעת

(3.5 ) )'()(')1( 1 yxyy :ולכן נגדיר

(3.6) 1)( yxz

11

:נקבל משוואה חדשה

(3.7) )()1()()()1()(' xqxzxpxz

נפתור אותה לפי שיטת גורם !!! xz)(מסדר ראשון של תליניאריזוהי משוואה .ונוכל לחלץ פתרון למשוואה המקורית( 3.6)נציב במשוואה , האינטגרציה

משוואת ברנולי – 4דוגמא

yxyxy :נתונה המשוואה הבאה 24' ,יותרנעבירה לצורה מוכרת

21

21

2

2

4

10'

yayaya

xx

,ונעבור לצורה סטנדרטית

214

' yxyx

y 21

:/ y

xyx

yy 212

1 4' 2

11)1(/

2

2'

2

12

121 x

yx

yy

כעת נציב2

1

yz

)()(

2)(

2)('

xqxp

xxz

xxz

2

2lnln2)( 1)(

22

xxeeeex xxdxdxxp

x

qz: לפי גורם אינטגרציה x

zx

)'(2

1)'

1(

2

cxzx

ln2

112

)ln2

1(2 cxxz

:yנחזור ל, ולשם מציאת הפתרון הסופי

242 )ln2

1()( cxxzxy

12

תליניאריו-משוואת מסדר ראשון לא

משוואות עם משתנים מופרדים

: תליניארי-נתבונן במשוואה מסדר ראשון לא

(4.1) ),( yxfdx

dy תליניארי-לא

:בצורה הבאה( 1)קיימים מקרים בהם ניתן להציג את משוואה

(4.2) 0),(),( dx

dyyxNyxM

NMכאשר והפונקציה , לפעמים קורה. ,yxהן פונקציות של שני משתנים ,

M תלויה ב-xוהפונקציה , בלבדNתלויה בyבלבד בצורה הבאה,

)(),();(),( yNyxNxMyxM

: בצורה הבאה ( 4.2)נוכל להציג את משוואה , במקרה כזה

(4.3) dyyNdxxMdx

dyyNxM )()(0)()(

dyyNdxxMלצורה ( 4.2)אם יש אפשרות להביא את משוואה )()( אזיהיא ( 4.3)ומשוואה , ניתנת להפרדת משתניםאומרים כי המשוואה המקורית ור שבכדי שנוכל למצוא את הפתרון הכללי בר. משוואה עם משתנים מופרדים

(.4.3)מספיק לבצע אינטגרציה אחת משני הצדדים של משוואה , (4.2)במשוואה

משוואה עם משתנים מופרדים – 5דוגמא

תליניארי-נתבונן במשוואה מסדר ראשון לא2

22

2

1 y

yxx

dx

dy

: מכנה משותף וקיבוץ 2

22222

2

2

2

11 y

yxyxxx

dx

dy

y

x

dx

dy

dyydxxקבל מכן נ )1( 22 נבצע אינטגרציה בשני הצדדים ונקבל הפתרון:

cy

yx

33

33

ולא , סתומה' הפתרון הכללי במשוואה המקורית התקבל הפעם בצורת פו: הערה

, תליניאריו-יש לציין כי מצב זה הוא טבעי ברוב המשוואות הלא. בצורה מפורשת .yולא צריך לחלץ את

13

משוואות הומוגניות מסדר ראשון

נתבונן במשוואה מסדר ראשון

(5.1) ),( yxfdx

dy

' אם הפו משוואה הומוגנית מסדר ראשוןנקראת ( 1)המשוואה : הגדרה

),( yxfלא תלויה ב-xאו ב-y אבל היא תלויה במנה מהצורה , בנפרדy

xאו

x

y.

:ניתן להציג משוואה הומוגנית מסדר ראשון בצורה, במילים אחרות

(5.2) )(x

yF

dx

dy

:לדוגמא המשוואות הבאות הן משוואות הומוגניות מסדר ראשון

(5.2.1)

x

y

x

y

x

xyy

dx

dy2

22

2

2

(5.2.2)

1

1

lnlnln

y

x

y

x

y

x

yx

yxyx

dx

dy

.כ לא קשה לברר האם המשוואה המקורית היא הומוגנית או לא"בדר: הערה

השיטה לפתרון

( 5.3) :נגדיר משתנה חדשx

yxv )(

xxvyנקבל כי ( 5.3)מנוסחא :צידי המשוואה נקבלולאחר גזירת שני , )(

(5.4) )()(

xvxdx

xdv

dx

dy

: בצורה חדשה ( 5.2)נקבל את משוואה ( 5.4)-ו( 5.3)תוך שימוש בביטויים

(5.5) )(vFvxdx

dv

חלוקת מונה yומכנה ב

14

0)(0אם , כעת vvFxdx

dvcv , ( 5.3)ונציב במשוואה

אה עם משתנים מופרדים אשר אחרת ניתן להגיע לצורה של משוו. ונקבל פתרון כללי :תתקבל כך

(5.6) x

dx

vvF

dv

)(

ואינטגרציה אחת על שני , היא משוואה עם משתנים מופרדים( 5.6)קל לראות כי נקבל את הפתרון ( 5.3)אם נציב בנוסחא . vלנו פתרון כללי עבור ןהאגפים תית .yהמקורי של

משוואות הומוגניות מסדר ראשון – 6דוגמא

:( 5.2.1)נביט שנית במשוואה

x

y

x

y

dx

dy2

2

:אזי המשוואה תתקבל בצורה, ( 5.4)-ו( 5.3)אם נשתמש בנוסחאות

vvvxdx

dv22 vvx

dx

dv 2

dx :תוצג והמשוואהxvv

dv 12

: נבצע אינטגרציות

xdxx

ln1

;

dvvv

dvvv

dvdv

vv

dv

1

11

)1(2

נקבל כי, אם נבצע אינטגרציות בשני האגפים כמתואר

Cxvv lnln1lnln Cxv

vln

1ln

את (5.3)נציב בחזרה מנוסחא x

yxv )( ,ונקבל

Cx

x

yx

y

1

Cxxy

y

( 5.3)האנליזה שפותחה מראה לנו כי תוך שימוש בהחלפת משתנים מצורה : סיכוםניתן להביא משוואה הומוגנית מסדר ראשון להראות כמו משוואה עם משתנים

.מופרדים

פירוק לשברים פשוטים

15

אות מדויקות מסדר ראשוןמשוו

מהצורה תליניארי-נתבונן במשוואה לא

(6.1) 0),(),( dx

dyyxNyxM

),(כי קיימת פונקציה , נניח כעת yxf כך שמתקיים, כזאת:

(6.2) ),( yxMx

f

),( yxNy

f

Cyxf (6.3) :וכך ש ),( מגדירה אתy כפונקציה( 6.1)נקבל את משוואה , (6.2)תוך שימוש בנוסחאות , כעת. באופן לא מפורש xשל

:בצורה הבאה

(6.4) 0

x

y

y

f

x

f0 (6.4.1) או

x

y

y

f

x

x

x

f

מופיעה נגזרת מדויקת לפי כלל השרשרת של ( 6.4.1) יש לציין כי באגף שמאל של

),(הפונקציה yxf לפיdx .בצורה( 6.4.1)ניתן להציג את , במילים אחרות:

(6.5) 0),( yxfdx

d

( 6.3)כי הפתרון הכללי של המשוואה המקורית נקבע בנוסחא , נובע( 6.5)ממשוואה

Cyxf ),(.

אזי היא נקראת ( 6.5)ניתנת להצגה בצורה ( 6.1)אם המשוואה המקורית : הגדרה .משוואה מדויקת

;;),;(),(יהיו : משפט( 6.5.1) yxNyxMx

N

y

M

פונקציות רציפות בתחום

תקרא משוואה מדויקת אם ורק אם מתקיים כי ( 6.1)המשוואה . Dהמישורי

(6.6) x

N

y

M

בכל נקודה בתחום

16

),(הפונקציה , במילים אחרות yxf תהיה קיימת ( 6.2)המקיימת את משוואה

),,(),(אם ורק אם הפונקציות yxNyxM (.6.6)מקיימות את תנאי

:הוכחת המשפט כיוון ראשון

),(פונקציה נניח כי קיימת yxf א "ז, (6.2)המקיימת את תנאי:

),( yxMx

f

),(, וכן yxN

y

f

(:6.6)נוכיח כי בהכרח מתקיים תנאי .

),(),(2

yxMx

f

y

yxM

yx

f

),(),(2

yxNy

f

x

yxN

xy

f

ן שניכיוו

נניח כי x

N

y

M

),(נגיע לכך ש . yxM

x

f

,),( yxN

y

f

.

),(אם בתנאי . כי המשוואה מדויקת, נוכיח אם כן yxNy

f

נבצע אינטגרציה

אזי נקבל, dxחלקית לפי

(6.8) )(),(),( yhdxyxMyxf

בנוסחא זו גזירה נבצע, (6.8)בנוסחא yh)(הגורם על מנת שנוכל למצוא את

:dyחלקית לפי

(6.9)

)('),(' yhdxyxMy

fy

( 6.9)-ותהליך הגזירה ב, dxהיה מתבצע לפי ( 6.8)תהליך האינטגרציה בנוסחא

),(ובפונקציה , dyמתבצע לפי yxM המשתנים הם בלתי תלויים זה בזה.

),(אם הפונקציה yxf נקבל כי ( 6.2)-ו( 6.9)אזי מנוסחאות , קיימת

(6.10) dxyxMyxNyhy

),('),()('

yנגזור לפי

xנגזור לפי

x

N

y

M

(6.7) ל כיוון ראשון"מש

החלק הזה נעלם xבגזירה לפי

17

ה אמורה לתת את ואינטגרציה של אגף ז, בלבדy-באגף ימין יש ביטוי התלוי ב

)(yh . תלוי ב (6.10)נותר להראות כי האגף הימני של-yכדי להראות זאת. בלבד ,

(:6.6)ונקבל את תנאי , dxנגזור לפי

0

y

M

x

N . ל "מש

משוואות מדויקות – 7דוגמא

0'1sin2cos

),(

2

),(

yexxxexy

yxN

y

yxM

y

:הפונקציות גזירות בכל מקום

yxexy

M2cos

yxex

x

N2cos

y

M

x

N

),(ולכן קיימת פונקציה (6.6)מדויקת ומקיימת את תנאי המשוואה yxf כך ש:

yxexyMx

f2cos

1sin 2

yexxNy

f

)(sin),( 2 yhexxyMdxyxf y

1sin)('sin 2

(**)

2

yy exxyhexxy

f

Kyyhyh )(1)('

yexxyyxfאם כן y 2sin),( והפתרון הכללי למשוואה הוא:

Cyexxy y 2sin

(**)

(*) , dxאינטגרציה לפי ( *)-עתה נבצע ב

את . dyולאחר מכן גזירה לפי בכדי למצוא )**( -התוצאה נשווה ל

.בלבד y-את הגורם התלוי ב

18

"תמרור אזהרה: "משוואות מדויקות – 8דוגמא

נתונה המשוואה 0'3

)(

2

)(

2 yxyxyxy

yNxM

:אולם

yxy

M23

yxx

N

2

y

M

x

N

ולכן לא ניתן להמשיך בשיטה , למדויקות( 6.6)המשוואה אינה מקיימת את תנאי

(.מנו בשלב האינטגרציהנוכל לבדוק עצ)אחרת נקבל טעות , שלמדנו

גורם אינטגרציה עבור משוואות מדויקות

:נתבונן במשוואה

(7.1) 0'),(),( yyxNyxM מדויקת-משוואה לא

),(נניח שקיימת פונקציה yx משני ( 7.1)שאם נכפול בה את משוואה , כזו א תהיה מדויקת אשר הי, אז נקבל את המשוואה הבאה, הצדדים

(7.2) 0'),(),(),(),(

),(),( **

yxNyxM

yyxNyxyxMyx מדויקת. מ

:בצורתו החדשה( 6.6)א כי חייב להתקיים התנאי למדויקות "ז

(7.3) x

N

y

M

**

(7.4) x

NN

xy

MM

y

),(ביחס לפונקציה ( 7.4)משוואה yx אלית מסדר ראשוןהיא משוואה דיפרנצי ,ולא נדון בו , כי פתרון משוואה כזו הוא מסובך, יש לציין. וחלקית תליניארי

תהיה נסתפק בדיון בשני המקרים הפרטיים בהם הפונקציה . במסגרת הקורס .בלבד y-או ב x-תלויה ב

מקרה א

19

x)(כי נניח א "ז תלויה ב-x אזי המשוואה תתקבל בצורה . בלבד

0חדשה שכן

y

:

(7.5) x

NN

xy

M

x

N

y

M

xN

(7.6) N

x

N

y

M

x

כי אם הביטוי , מהאנליזה נובעN

x

N

y

M

אז קיים גורם , בלבד x-תלוי ב

(.7.6)המהווה פתרון של משוואה x)(אינטגרציה

במקרה

y)(נניח כי א "ז תלויה ב-y תתקבל ( 7.4)אזי המשוואה . בלבד

0בצורה חדשה שכן

x

:

(7.7) x

N

y

MM

y

y

M

x

N

yM

(7.8) M

y

M

x

N

y

כי אם הביטוי , מהאנליזה נובעM

y

M

x

N

אז קיים גורם , בלבד y-תלוי ב

(.7.8)המהווה פתרון של משוואה y)(אינטגרציה

גורם אינטגרציה עבור משוואות מדויקות – 9דוגמא

20

8משוואה מדוגמא בונן נתב 0'3

)(

2

)(

2 yxyxyxy

yNxM

כבר ראינו כי yx

y

M23

yxx

N

נבדוק אם כן גורם . 2

:בלבדx-אינטגרציה התלוי ב

xyxx

yx

xyx

yxyx

N

x

N

y

M

1

)(

2232

(:7.6)ניתן לחלץ מתוך משוואה , אשר אנו רואים כי קיים, יהואת גורם האינטגרצ

(7.6.1) xdx

d 1

ופתרונה, זוהי משוואה עם משתנים מופרדים:

xx

dxd

22* 3),()(),( xyxyxMxyxM

yxxyxNxyxN 23* ),()(),(

:כעת מתקיים התנאי למדויקות

x

Nxyx

y

M

*

2

*

23

),(וקיימת פונקציה yxf כזו כך ש:

22* 3 xyyxM

x

f

; yxxN

y

f 23*

yנבצע אינטגרציה לפי . 7בדומה לדוגמא , נבצע קצת אינטגרציות

)(2

)(),(22

323 xhyx

yxdyyxxyxf , ונגזור לפיx:

*

22

2

2 3)('2

23

M

xyyxxhxy

yxx

f

Kyx

yxyxfKxhxh 2

),()(0)('22

3

: והפתרון הכללי הואC

yxyx

2

22

3

יש לציין כי הפתרון של : הערהה הוא גם המשוואה המדויקת החדשמדויקת -הפתרון של המשוואה הלא

לא נעשה , במילים אחרות. המקוריתשום שינוי בפתרון הסופי של .המשוואה המדויקת החדשה

21

משוואות מסדר שני

)..(ההצגה הכללית היא מהצורה 2

2

dx

dyyxf

dx

yd.

:אם ניתן להציגה בצורה תליניאריהיא משוואה משוואה מסדר שני: הגדרה

(8.1) )()()()(')()('')( xGxyxRxyxQxyxP

GRQPכאשר הפונקציות אם בקטע הנתון הפונקציה . רציפות בקטע מסוים,,,

)(xPבצורה ( 8.1)ולהציג את משוואה , אז נוכל לחלק, אינה מתאפסת באף נקודה :סטנדרטית

(8.2) )()()()(')()('' xgxyxqxyxpxy כאשר:

)(

)()(

xP

xQxp ;

)(

)()(

xP

xRxq ;

)(

)()(

xP

xGxg

. כי כבר בשלב ההתחלתי חל שינוי משמעותי במבנה הפתרונות מסדר שני, יש לציין

''0אם נתבונן במשוואה , לדוגמא yy הרי שקל לראות כי קיימים לה שני

xyxyפתרונות cos,sin21 .נות אלו יכולים להיחתך אינסוף פתרו

.ללא שום סתירה למשוואה, פעמיםאז לא יהיה מספיק לקבוע תנאי , בעיית התחלה מסדר שנישאם נבנה , מכאן נובע

נהיה חייבים להוסיף , במקרה כזה. התחלה אחד בלבד כמו בבעיות מסדר ראשון .של הפתרון( נגזרתו)תנאי התחלה נוסף על שיפועו

(:8.3)לה נקבעים לפי צורה חתנאי ההת, עבור משוואות מסדר שני, במילים אחרות

(8.3) 00

)( yxy וכן10

)(' yxy

שבה 0

xוהקבועים , נקראת נקודת ההתחלה10

, yy מהווים את ערך הפתרון .ושיפועו בנקודת ההתחלה

אם משוואה הומוגנית מסדר שניתקרא ([ 8.2)וכן משוואה ], (8.1)משוואה : הגדרה

. בקטע xעבור כל 0-שווה ל xg)(הפונקציה

נקראת xg)(' והפו, מסדר שני הומוגנית-משוואה לאהמשוואה נקראת , אחרת .י של המשוואההומוגנ-האיבר הלא

משוואות הומוגניות מסדר שני

(:8.4)מאנליזה של משוואה ( 8.1)נתחיל אם כן את האנליזה של משוואה

(8.4) 0)()()(')()('')( xyxRxyxQxyxP

22

בשלב (. 8.1)נקראת המשוואה ההומוגנית המתאימה למשוואה ( 8.4)משוואה

אז תמיד ( 8.4)ואה כי אם יודעים לבנות את הפתרון של משו, מאוחר יותר נראה (.8.1)קיימת אפשרות לבנות פתרון למשוואה

מהמקרה הפשוט ביותר שבו הפונקציות ( 8.4)נתחיל לחקור את משוואה

)(),(),( xRxQxPא"ז, הן פונקציות קבועות

(8.5) 0''' cybyay cba ,,

לכן , ושתי נגזרותיה yשל יליניארמופיע צירוף ( 8.5)מאלי של משוואה באגף הששייכת למשפחה שבה כל yבאופן אינטואיטיבי מתחילים להבין כי הפונקציה

:ולכן נצא מתוך נקודת הנחה כי, הנגזרות דומות זו לזו

(8.6 ) rxexy )( כאשרr פרמטר קבוע.

נקבל כי rxrexy )(' וכן ,

rxerxy 2)('' . את ( 8.5)אם נציב במשוואה :נקבל כי, ושתי נגזרותיה( 8.6)הפונקציה

(8.7) 0)( 2 cbrarerx

ם"תתקיים אם( 8.7)נסיק כי משוואה , 0rxeמכיוון שתמיד

(8.8) 02 cbrar

המשוואה האופיינית המתאימה למשוואה נקראת ( 8.8)המשוואה : הגדרה (.8.5) המקורית

אז , (8.8)הוא השורש של משוואה r שאם הפרמטר, משמעות המשוואה הזו היא (.8.5)מהווה פתרון למשוואה המקורית ( 8.6)מנוסחא yיה הפונקצ

לכן נדון בשלושת , rהיא משוואה ריבועית אלגברית ביחס לפרמטר ( 8.8)המשוואה

.האפשרויות לגבי השורשים שלה

21נניח כי rr

.שני שורשים ממשיים ושונים -

נקבל כי , (8.6)בהתאם לנוסחא xr

exy 2)(2

;xr

exy 1)(1

,א שני פתרונות "ז, תוך שימוש בפתרונות שהתקבלו נבנה פונקציה חדשה(. 8.5)ראשוניים למשוואה

:של שני הפתרונות הראשוניים שהתקבלו יליניאראשר תהיה צירוף

(8.9) xrxr

ececxycxycxy 21

212211)()()(

מופיעים פתרונות נוספים של המשוואה ( 8.9)האם בנוסחא , נרצה כעת לבדוק

: י הצבה ישירה"וזאת ע, (8.5)המקורית

23

xrxr

ercercy 21

2211' ;

xrxrercercy 21

2

22

2

11'

0)()(

0

2

2

222

0

1

2

111

21

cbrarerccbrarerc

xrxr

י "הנתונים ע( 8.5)ות שונים של משוואה כעת הוכחנו כי קיימים אינסוף פתרונ (.8.9)נוסחא

:נתונים תנאי ההתחלה, (8.5)שיחד עם המשוואה המקורית , כעת נניח

(8.3) 00

)( yxy וכן10

)(' yxy האם ניתן לקיים את תנאי ההתחלה בעזרת המשפחה האינסופית של פתרונות

:נקבל( 8.9)בנוסחא ( 8.3)אם נציב את תנאי ? ( 8.9)וסחא שנבנתה בנ

(8.10) 02211

0201 yercercxrxr הומוגנית-ולא תליניאריזוהי מערכת

1

2

22

2

11

0201 yercercxrxr בשני נעלמים , של שתי משוואות

21,cc

אם נפתור אותה ביחס לנעלמים 21

,cc נקבל:

(8.11) 01

21

101

1

xre

rr

ryyc

;02

21

110

2

xre

rr

yryc

:סיכום

מכיוון ש21

rr , אם ידועים לנו תנאי , כלומר. קיימות מיד( 8.11)אז הנוסחאות

לחשב את , (8.11)נוכל להציבם ישירות בנוסחא , (8.3)התחלה 21

,cc , להציבםוגם ( 8.5)יוכל לקיים גם את משוואה ( 8.9)והפתרון שיתקבל בנוסחא , (8.9)בנוסחא

כי במהלך האנליזה לא ראינו שום , שוב מאוד לצייןח(. 8.3)את תנאי התחלה

מגבלות על השלישייה 100

,, yyx - נקודת ההתחלה)המהווה את תנאי ההתחלה ,קיים פתרון תמיד( 8.9)במשפחה האינסופית מכאן נובע כי(. הפתרון ושיפועו

(.8.3)וגם כל התנאי התחלה ( 8.5)המקיים גם את משוואה

קיימים שני פתרונות ממשיים ושונים זה ( 8.8)אם במשוואה אופיינית : מסקנה מכך (:8.9)ניתן להצגה בצורה ( 8.5)אזי הפתרון הכללי של , מזה

xrxr

ececxy 21

21)(

אופיינית . מסדר שני עם מקדמים קבועים ושני שורשים ממשים למ. מ – 10דוגמא

06'5'' yyy 6,5,1 cba

אם נציב rxexy )( ,ופתרונותיה, אזי תתקבל המשוואה האופיינית הבאה:

24

0652 rr 2,321

rr

xx

totalececxy 2

2

3

1)( הפתרון הכללי.

)0(2:אם בנוסף נקבל תנאי התחלה בצורת y 0(3וכן(' y ,אז: xx ececy 2

2

3

123'

221 cc

32321 cc 9,7

21 cc

:ופתרון בעיית ההתחלה הואxx

totaleexy 23 97)(

והגדרת הורונסקיאן משפטים –פתרונות יסודיים של משוואה הומוגנית

Iמשפט ( 9.1.1)

(9.1) )()()()(')()('' xgxyxqxyxpxy

gqp' שבה הפו( 9.1)נתבונן במשוואה אם . הן פונקציות רציפות בקטע מסוים,,

נקודת ההתחלה 0

x שבה נקבעו שני תנאי , ה פנימית של הקטע הנתוןהיא נקוד :ההתחלה

(9.2) 00

)( yxy וכן10

)(' yxy

וגם את ( 9.1)אז תמיד קיים פתרון אחד ויחיד שבקטע הנתון מקיים גם את משוואה

שנקבעו ללא שום מגבלות על , (9.2)תנאי ההתחלה 100

,, yyx. IIמשפט ( 9.1.2)

(9.3) 0)()()(')()('' xyxqxyxpxy

(9.4) )()()(2211

xycxycxy

),()(אם (. 9.3)נתבונן במשוואה 21

xyxy אז כל צירוף ( 9.3)הם פתרונות של (.9.3)מהווה פתרון נוסף של משוואה ( 9.4)שלהם בנוסחא יליניאר

( 9.4)האם המשפחה האינסופית של פתרונות , היאהשאלה המרכזית הנשאלת

? ( 9.3)מכילה בתוכה את כל הפתרונות של המשוואה המקורית כי התשובה לשאלה זו תהיה חיובית אם ורק אם נצליח להראות כי תמיד , יש לציין

קיימת אפשרות למצוא את הקבועים 21

,cc , עם ( 9.4)כך שהפתרון ממשפחהוגם את כל תנאי , (9.3)ים אלו יוכל לקיים גם את המשוואה המקורית קבוע

ללא שום מגבלות על השלישייה ( 9.2)ההתחלה 100

,, yyx.

25

),()(קיימים פתרונות ( 9.3)נניח כי למשוואה , אם כן21

xyxy , אזי כל צירוףהיא פתרון כללי של ( 9.4)ם השאלה היא הא(. 9.4)שלהם הוא פתרון לפי יליניאר

:המשוואה

(9.4) )()()(2211

xycxycxy

היא כן אם תמיד קיימת אפשרות למצוא את הקבועים , כפי שצוין, התשובה

21,cc , עם קבועים אלו יוכל לקיים גם את המשוואה ( 9.4)כך שהפתרון ממשפחה

כעת אם נציב את תנאי ההתחלה (. 9.2)ה וגם את כל תנאי ההתחל, (9.3)המקורית נקבל כי

(9.5)

12211

02211

)(')('

)()(

yxycxyc

yxycxyc

בשני נעלמים , הומוגנית של שתי משוואות-ולא תליניאריהיא מערכת ( 9.5)המערכת

21,cc . ביחס ל( 9.5)אם נפתור את המערכת-

21,cc ,תנקבל את שתי הנוסחאו:

(9.6 ) )()(')(')(

)(')(

02010201

010011

1xyxyxyxy

xyyxyyc

)()(')(')(

)()('

02010201

021020

1xyxyxyxy

xyyxyyc

ברור שבכדי שתהיה אפשרות לחשב את הקבועים ( 9.6)מנוסחאות 21

,cc חייבים

:כי לדרוש

(9.7) 0)(')('

)()()()(')(')(

0201

0201

02010201

xyxy

xyxyxyxyxyxy

:הגדרהורונסקיאן י השוויון נקראת באגף ימין של א( 9.7)הדטרמיננטה המופיעה בנוסחא

(Wronskian ) של פתרונות21

, yy בנקודה0

x , ובדרך כלל תסומן

))(,(021

xyyW. נובע משפטמאנליזה זו IIIמשפט ( 9.1.3)

),()(אם 0201

xyxy בנקודת כך ש, (9.4)שניהם פתרונות של משוואה מקורית

ההתחלה 0

x 0מתקיים))(,(021xyyW , אזי תמיד ניתן לבחור בקבועים

21,cc וכן , בתוספת קבועים אלו יקיים את כל תנאי ההתחלה( 9.4)כך שהפתרון

.את המשוואה המקורית

26

''5'06, 10לדוגמא נתבונן במשוואה מדוגמא yyy , ידועים לנו שני

פתרונות של משוואה זו xx eyey 2

2

3

1, . נחשב ורונסקיאן לשני

:הפתרונות שהתקבלו

02332

),( 555

32

32

32

xxx

xx

xx

xx eeeee

eeeeW

=נובע כי ניתן להשתמש ב, בכל נקודה 0W -מכיוון ש21

, yy כפתרונותכי בעזרתם תמיד ניתן לחשב את הקבועים , שוואה המקוריתלבניית פתרון כללי למ

21,cc (.9.2)ללא שום מגבלות על תנאי התחלה , (9.6)לפי נוסחאות

VIמשפט ( 9.1.5)

),()(אם 21

xyxy ובקטע הנתון קיימת , (9.3)הם שני פתרונות של משוואה

נקודה 0

x 0ה שב))(,(021xyyW מכילה בתוכה את כל ( 9.4)אז נוסחא

.ונקראת הפתרון הכללי של המשוואה( 9.3)הפתרונות של משוואה

:הגדרה

אם בנקודת ההתחלה 0

x 0מתקיים))(,(021xyyW אזי)(),(

21xyxy

לעתים אומרים כי . של המשוואה ות יסודייםפתרונאו פתרונות בסיסייםנקראים

)(),(21

xyxy של פתרונות קבוצה יסודיתיוצרים.

יהיה, מהמשפט וההגדרה נובע כי בכדי שנוכל לבנות פתרון כללי של המשוואה .מספיק למצוא שני פתרונות שלה

'''0נתבונן במשוואה עם מקדמים קבועים , לדוגמא cybyay ונניח כי

המשוואה האופיינית שלה היא בעלת שני שורשים ממשיים ושונים זה מזה21

rr .

קיימים אם כן שני פתרונות למשוואה xrxr

eyey 21

21, ,נחשב ורונסקיאן:

0)(),()(

12

21

21

21

21

21

x

xrr

xrxr

xrxr

xrxrerr

erer

eeeeW ל"מש.

xלכל

27

בורונסקיאן תליניאריתלות -תלות ואי

),()(נו כי שתי פונקציות ידוע ל xgxf המוגדרות בקטע הפתוח ba, יהיו : אם( ל"בת) תליניאריתלויות -בלתי

0)()(02121

xgcxfccc

ניקח את הפונקציות , לדוגמאxx exgexf 2)(,)( . נניח כי הפונקציות

בקטע תליניאריתלויות ba, , כלומר מתקיים השוויון

0)()( 2

2121 xx ececxgcxfc כך שאו , עבור כל נקודה בקטע

01c 0או

2c .נבחר שרירותית שתי נקודות , כעת

21xx בקטע ונקבל:

0)(0

0

21

12212121

22

11

22

11

22

2

2

2

21

2

21

xx

xxxxxxxx

xx

xx

xx

xx

eeeeeee

eeecec

ecec

והפונקציות , טריוויאלי בלבד במערכת המדוברת קיים פתרוןxx exgexf 2)(,)( ל"הן בת. Vמשפט ( 9.1.6)

),()(אם xgxf ואם קיימת נקודה , הן שתי פונקציות גזירות בקטע הפתוח0

x

),)((0בתוך הקטע שבה 0xgfW , אזי הפונקציותgf ל בקטע "הן בת ,

gfאם , אחרת. הנתון אזי נקבל כי , תליניאריהן פונקציות תלויות ,

0))(,(0xgfW לכלxבקטע.

:הוכחה

gfשל יליניארנבנה צירוף :בקטעxונניח התאפסות שלו לכל ,

0)()(21

xgcxfc ),( bax

מערכת משוואות לינארית והומוגנית ביחס ל21

,cc

28

ניקח נקודה כלשהיא 0

x ובנקודה זו נקבל כ:

0)(')('

0)()(

0201

0201

xgcxfc

xgcxfc

:דטרמיננטת המקדמים תהיה מהצורה הבאה

0))(,()(')('

)()(0

00

00 xgfW

xgxf

xgxf

0במערכת קיים פתרון טריוויאלי יחיד והוא 21 cc , ולכןgf . ל"בת ,

.ל"מש משפט ההכללה ( 9.1.7)

'')()(')()()(0( 9.3)נתבונן במשוואה xyxqxyxpxy , בה

),()(נניח כי . רציפות בקטע מסוים,qpהפונקציות 21

xyxy הם שני פתרונות

),()(אזי , בקטע הנתון( 9.3)של המשוואה 21

xyxy ל אם ורק "יהיו פתרונות בת

),)((0אם 0xgfW לכלxבקטע.

סיכום

),()(יהיו 21

xyxy הפונקציות שבה( 9.3)שני פתרונות למשוואהqp, רציפות :קולותאזי ארבע הטענות הבאות ש. בקטע מסוים

1 .)(),(21

xyxy יוצרים קבוצה בסיסית של פתרונות.

2 .)(),(21

xyxy תליניאריהם פתרונות בלתי תלויים.

3 .0))(,(0xgfW עבור

0x מסוים בתוך הקטע.

4. 0))(,(0xgfW לכלxקטעב.

משוואות עם מקדמים קבועים –המשך

שני שורשים מרוכבים וצמודים

נתבונן במשוואה

(10.1 ) 0''' cybyay cba ,,

כי אם נציב ידוע לנוrxexy )( תנקבל את המשוואה האופייני

(10.2) 02 cbrar

מערכת לינארית והומוגנית של שתי

משוואות בשני נעלמים 21

,cc

29

הם שורשים מרוכבים מהצורה( 10.2)נניח כי שני השורשים של משאווה , כעת

ir 2,1

,;0

במקרה זה נקבל כי

(10.3) xixxi

xixxi

eeexy

eeexy

)(

2

)(

1

)(

)(

)sin()cos(פורייה כי -ידוע לנו לפי אוילר xixe xi ולכן שני ,

:יתקבלו בצורה הבאה( 10.3)הפתרונות מצורה

(10.4) )sin()cos()(

)sin()cos()(

2

1

xiexexy

xiexexyxx

xx

יליניאראז כל צירוף , תליניארישאם בידנו שני פתרונות של משוואה , ידוע לנולנו ןייתאשר , הבא יהליניארנתבונן בצירוף . שלהם נותן פתרון נוסף של המשוואה

(.10.1)למשוואה המקורית ייםממששני פתרונות

(10.5)

)sin()(2

1)(2

1)(

)cos()(2

1)(2

1)(

214

213

xexyi

xyi

xy

xexyxyxy

x

x

וזאת באמצעות , ל"הם בת( 10.5)כעת רק נותר להוכיח כי הפתרונות מצורה

:ורונסקיאן שלהם

0)(

)cos()sin()sin()cos(

)sin()cos(

''

00

2

43

43

x

xxxx

xx

e

xexexexe

xexe

yy

yy

:לסיכוםאזי שני , הם מרוכבים וצמודים( 10.2)אם שני השורשים של משוואה אופיינית

והפתרון , (10.5)מופיעים בנוסחא ממשיים הבלתי תלויים של המשוואה הפתרונות ה :הכללי של המשוואה ניתן להצגה בצורה

(10.6) )]sin()cos([)(21

xCxCexy x

30

שני שורשים מרוכבים במשוואה הומוגנית מסדר שני – 11דוגמא

0''' yyy 1 cba :משוואה האופיינית היאה

irrr2

3

2

101

2,1

2

הפתרון הכללי יתקבל בצורה, (10.6)ולפי

)]2

3sin()

2

3cos([)(

21

2

1

xCxCexyx

שני שורשים ממשיים ושווים

. קיימים שני שורשים ממשיים ושווים זה לזה( 10.2)נניח כי במשוואה אופיינית

מהצורה הרגילה במקרה כזה נקבל פתרון rxexy )(

1אבל חסר לנו כעת פתרון ,

)(-שני אשר יהיה בלתי תלוי ב1

xy ,לדוגמא,

השיטה והוכחתה –שני שורשים ממשים ושווים – 12דוגמא

:נתבונן במשוואה

(10.7 ) 04'4'' yyy 4,4,1 cba :המשוואה האופיינית

204421

2 rrrr

: יש לנו ביד כעת פתרון אחד xexy 2

1)(

)()(שהביטוי , כזו xv)(כעת נניח כי קיימת פונקציה 2 xvexy x גם כן : כעת נחשב את נגזרות הפתרון. יהיה פתרון שלה

)('')('2)('2)(4)(''

)(')(2)('2

)('4

222

22

2

xvexvexvexvexy

xvexvexyx

xve

xxx

xx

x

(:10.7)נציב במשוואה

0)(4)('4)(8)('')('4)(4 2

'4

22

''

222

y

x

y

xx

y

xxx xvexvexvexvexvexve

31

0)(''2 xve x

')('')(0אז , קיימת xv)(אם 1

xvCxv ולכן:

21)( CxCxv

:כעת נקבל כי

(10.8) xx eCxeCxy 2

2

2

1)(

0,1את ( 10.8)-אם נציב ב21 CC , נקבל פתרון שני

xxexy 2

2)( . נותר

:ל"רק לבדוק כי הפתרונות אכן בת

0)()(2)()(2

22),(

22222222

222

22

22

x

xxxx

xxx

xx

xx

eexeex

exee

exeexeW

:ולכן הפתרון הכלליxx

totaleCxeCxy 2

2

2

1)(

נשארת ללא שום שינוי , כי השיטה שפותחה בדוגמא האחרונה, יש לציין: סיכום

האופיינית עבור כל משוואה עם מקדמים קבועים שבה שני השורשים של המשוואה

אם , במילים אחרות. הם ממשיים ושווים זה לזה21

rr אז

rxrx

totaleCxeCxy

21)(

הורדת סדר המשוואה

(11.1) 0)()()(')()('' xyxqxyxpxy

נניח כי . הן פונקציות רציפות בקטע מסוים,qp' שבה הפו( 11.1)נתבונן במשוואה

)(ע לנו פתרון אחד ידו1

xy בכדי שנוכל למצוא את הפתרון . של המשוואה הזו

)(-שיהיה בלתי תלוי ב, השני1

xy ,נבנה פונקציה חדשה

(11.2) )()()(1

xyxvxy

ים את משוואה מקורית יוכל לקי( 11.2)כך שהביטוי xv)(מטרתנו היא למצוא את (:11.2)כעת נבטא את נגזרותיה של (. 11.1)

32

)('')()(')('2)()(''''

)(')()()(''

111

11

xyxvxyxvxyxvy

xyxvxyxvy

נקבל( 11.1)אם נציב ביטויים אלו במשוואה מקורית

(11.3)

0)()]()(')()(''[)(')]()()('2[)(''111111

xvxyxqyxpxyxvxyxpxyxvy

)(מכיוון ש1

xy תתקבל בצורה( 11.3)משוואה , (11.1)הוא פתרון של משוואה

(11.4) 0)(')]()()('2[)(''111

xvxyxpxyxvy

')()( :אם נציב xzxv נקבל:

(11.5) 0)()]()()('2[)('111

xzxyxpxyxzy

וזוהי כבר , (11.5)שהייתה משוואה מסדר שני נתקבלה כעת בצורה ( 11.4)משוואה

את משוואה נפתור . xz)(ביחס לפונקציה תוליניארי, משוואה מסדר ראשון

נמצא את הפונקציה ( 11.2)ולבסוף באמצעות , xv)(נמצא את הפונקציה , (11.5)

)(xy.

הורדת סדר המשוואה – 13 דוגמא

2''3'0 נתבונן במשוואה 2 yxyyx וידוע כי1

1)( xxy הוא

? רון הכללי מהו הפת. פתרון של המשוואה

:נחפש 1)()( xxvxy

: נחשב נגזרות

321

21

)(2)('2)(''''

)()(''

xxvxxvxxvy

xxvxxvy

:נציב במשוואה המקורית ונקבל לאחר הצבה כי

0)(')(''2 xvxvx

')()(כעת נגדיר xzxv ונקבל ( 11.5)-ל( 11.4)כמו מעבר בין

0)()('2 xzxzx משתנים נחתור להפרדת

)(2 xzdx

dzx

33

]ln[ln2

1ln

2)(Cxz

x

dx

xz

dz ונקבל:

21

)( xCxz

xv : 2)(כעת נציב לקבלת 1

)(' xCxv KCxxv 2

3

3

2)(

:ונקבל( 11.2)נזכר בהצבה

11 21

2

3

3

2)

3

2()( KxCxxKCxxy

:נבדוק אי תלות, סוףלב

0),( 23

23

23

21

21

21

23

21

2

21

1

1

xxxxx

xxxxW

.הורונסקיאן אינו מתאפס באף נקודה, ואכן

הומוגניות-משוואות מסדר שני לא

(12.1) )()()()(')()('' xgxyxqxyxpxy

gqpשבה הפונקציות ( 12.1)נתבונן במשוואה הן פונקציות רציפות בקטע ,, יפרנציאלי כעת נגדיר אופרטור ד. מסוים

)()()(')()(''][ yyxqxyxpxyHL

:בצורה חדשה( 12.1)ובעזרתו נרשום את משוואה

(12.2) )(][ xgyL

נתבונן גם במשוואה ההומוגנית המתאימה ( 12.1)יחד עם משוואה מקורית (:12.1)למשוואה

(12.3) 0][ yL

34

Iמשפט (12.1.1)

),()(אם 21

xYxY (12.2)או ( 12.1)הומוגנית -הם שני פתרונות של משוואה לא ,

)()(אז 21

xYxY אם , בנוסף לכך. 12.3)מהווה הפתרון למשוואה ההומוגנית

)(),(21

xyxy אז ניתן להציג את הפרש ( 12.3)הם פתרונות יסודיים של

),()(הפתרונות 21

xYxY כאשר21

,CC קבועים ממשיים.

(12.4) )()()()(221121

xyCxyCxYxY 21

,CC

הוכחה

),()(מכיוון ש21

xYxY אזי , (12.2)פתרונות למשוואה:

)()]([

)()]([

2

1

xgxYL

xgxYL

:יליניאר yL][מכיוון שהאופרטור, כעת

0)]()([)]([)]([2121

xYxYLxYLxYL

)()(ולכן 21

xYxY מכיוון ש(. 12.3)הוא פתרון למשוואה ההומוגנית-

)(),(21

xyxy אזי צירוף שלהם ייתן לנו את כל , הם פתרונות יסודיים הומוגניים

וקיים זוג קבועים, (12.3)הפתרונות של משוואה 21

,CC בעזרתם נוכל לקיים את .ל"מש(. 12.4)תנאי

IIמשפט ( 12.1.2)

:ניתן להצגה בצורה( 12.1)הומוגנית -הפתרון הכללי של המשוואה הלא

(12.5 ) )()()()(2211

xYxyCxyCxytotal

),()(כאשר21

xyxy הם פתרונות יסודיים הומוגניים ו-)(xY הוא פתרון (.12.1)הומוגנית -מסוים של המשוואה הלא

:הערה

אז ידוע לנו איך מוצאים את , כאשר פותרים משוואות עם מקדמים קבועים

),()(הפתרונות 21

xyxy , לכן כעת נתרכז במציאת הפתרון המסוים של ונתאר את שתי השיטות לעשות זאת, הומוגנית-המשוואה הלא

35

ידועים-שיטת המקדמים הלא

הומוגני כאשר באגף ימין של המשוואה -שיטה זו מאפשרת למצוא פתרון מסוים לא

:מופיעות פונקציות מהצורות הבאות

פולינומים

xe

xx

)cos(),sin( )(xg

צירופים לינאריים ומכפלות שלהם

באגף ימין ניתן xg)(של השיטה הוא שלפי צורת הפונקציה העיקרון המרכזי

.ידועים-מקדמים לאשתכלול xY)(לנחש את צורת הפתרון

אם אחרי הצבת הניחוש במשוואה המקורית נראה כי קיימת אפשרות להגדיר את ונקבל , את כל המקדמיםנחשב , נסיק מכך כי ההנחה הייתה נכונה, כל המקדמים

נסיק כי , במידה ולא תהיה אפשרות לחשב את כל המקדמים. xY)(את הפונקציה ...וננסה לנחש מחדש, הניחוש לא היה נכון

ידועים-ניחושים שונים בשיטת המקדמים הלא – 14-19דוגמאות

,לדוגמאxeyyy 234'3''

''3'04פתרון הומוגני למשוואה ראשית נמצא – 'שלב א yyy באמצעות :המשוואה האופיינית

1,404321

2 rrrr

xx eCeCxy 2

4

1hom)(

מכיוון שמופיע אקספוננט – 'שלב בxe2

נחפש פתרון מהצורה xAexY 2)( .

:נחשב נגזרות רלוונטיות

x

x

AexY

AexY2

2

4)(''

2)('

נציב במשוואה המקורית

: ונקבלxxxx AeAeAeAe 2222 3464

2

1A

והפתרון המסוים הואxexY 2

2

1)(

36

:הפתרון הכללי יהיה xxx

totaleeCeCxy 2

2

4

12

1)(

ית אז הניחוש אם באגף ימין של המשוואה מופיעה פונקציה אקספוננציאל: מסקנה

נעשה בצורה xAexY )(.

,דוגמא נוספת

xyyy sin24'3''

xBxAxY : ננחש cossin)( ונחשב נגזרות רלוונטיות:

xBxAxY

xBxAxY

cossin)(''

sincos)('

נציב במשוואה המקורית

xBABxABAx sin2]43[cos]43[sin

035

235

AB

BA

17

5

17

3

34

6

A

B

xxxY cos17

3sin

17

5)(

)()sin(אם באגף ימין של המשוואה :מסקנה xxg או

)cos)( xxg הניחוש יהיה מהצורה , שלהם יליניאראו צירוף

)cos()sin()( xBxAxY .

, דוגמא נוספת

244'3'' xyyy

.כעת באגף ימין ישנו פולינום ממעלה שנייהבצורתו , ניקח פולינום מאותה המעלה, כאשר באגף ימין מופיע פולינום מסוים

:הכללית ביותר

AxY

BAxxY

CBxAxxY

2)(''

2)('

)( 2

:נציב ונקבל

37

22 4444632 xCBxAxAxBA נשווה מקדמים:

813

5.1

1

C

B

A

0432

046

44

CBA

BA

A

:

:

:2

const

x

x

: והפתרון הפרטי 8

13

2

3)( 2 xxxY

אז הניחוש עבורו מתבצע בצורת פולינום , אם באגף ימין מופיע פולינום: מסקנה

.בצורה הכללית ביותר, מאותה מעלה

, דוגמא נוספת

xeyyy x cos84'3'' :ננחש

][sin][cos)(''

][sin][cos)('

sincos)(

BABAxeBABAxexY

BAxeBAxexY

xBexAexY

xx

xx

xx

0]4332[sin

cos8]4332[cos

BBAAxe

xeABABxex

xx

25

28

25

4

50

8

A

B

07

87

BA

AB

:והפתרון הפרטי

xexexY xx sin25

4cos

25

28)(

38

משפט( 12.1.3)

: ממשפחות שונות gפונקציות אם באגף ימין מופיעות

)()()()(21

xgxgxgxgm

ואם)(),(1

xYxYm

הם

xg)(-פתרונות המתאימים לm

: הפתרון הכללי, תהליניאריולפי תכונות אזי

m

kk

xYxY1

)()(

,נתבונן כעת במקרה מעט מסובך יותר

xeyyy 34'3''

הפתרונות ההומוגניים הם , כפי שראינוxx exyexy 4

21)(,)(

.

אנו רואים כי הפונקציה , מכאןxe

ברור כי הניחוש הרגיל . מהווה פתרון הומוגני xAe

ה פתרון כי הוא מהוו, לעולם לא יוכל לקיים את המשוואה הלא הומוגנית .נוסף במשוואה ההומוגנית

:ננסה אם כן לנחש את הפונקציה בצורה הבאה

xx

xx

x

AxeAexY

AxeAexY

AxexY

2)('

)('

)(

נציב במשוואה המקורית

xxxxxx eAxeAxeAeAxeAe 34332

5

335 AeAe xx

xxexY 5

3: הפתרון הכללי, )(

xxx

toatlxeeCeCxy

5

3)( 4

21.

גף ימין של המשוואה מופיעה פונקציה המהווה אחד הפתרונות אם בא: מסקנה

.x-יערב כפל בהראשוני עבור הפונקציה אז הניחוש, ההומוגניים

,דוגמא נוספת

xeyyy 224'4'' משוואה אופיינית:

39

0442 rr 221 rr :הומוגני. פ

xx xeCxyeCxy 2

22

2

11)(,)(

כעת ננחש 22)( xAexY x

המופיעה פעמיים בקבוצה , אם באגף ימין של המשוואה מופיעה פונקציה: מסקנה

-אז הניחוש הראשוני יערב כפל ב, יסודית של פתרונות הומוגניים2x.

טבלת סיכום עבור שיטת המקדמים הלא ידועים

)(xY )(xg

)( 2

210

n

n

s xAxAxAAx n

nnxaxaxaaxP 2

210)(

xn

n

s exAxAxAAx )( 2

210

x

nexP )(

])cos()(

)sin()[(

10

10

xn

n

xn

n

s

exxBxBB

exxAxAAx

)cos(

)sin(

x

x

x

nexP )(

ותפקידו להבטיח כי ניחוש שנבצע לא 2,1,0יכול לקבל את הערכים sכאשר .יופיע בקבוצה יסודית הומוגנית

('גראנז-לה)שיטת וריאציית הפרמטרים

. גניתהומו-ומאפשרת למצוא פתרון של משוואה לא, שיטה זו היא הכללית ביותר

המופיעה בצד ימין של המשוואה xg)(שיטה זו אינה תלויה כלל בפונקציה .קבועים-ונשארת נכונה גם עבור משוואות עם מקדמים לא

(13.1) )()()()(')()('' xgxyxqxyxpxy

gqpשבה הפונקציות ( 13.1)נתבונן במשוואה ע הן פונקציות רציפות בקט,,

),()(נניח כי אנו יכולים למצוא את . מסוים21

xyxy , הפתרונות היסודיים של : משוואה ההומוגנית המתאימה

(13.2) 0)()()(')()('' xyxqxyxpxy

(:13.2)אפשר לבנות פתרון כללי למשוואה , במילים אחרות

(13.3) )()()(2211hom

xyCxyCxy

40

אבל להחליף את הקבועים , (13.3)הוא להשתמש בפורמט ' גראנז-העיקרון של לה

21,CC בפונקציות)(),(

21xuxu .לבנות פונקציה חדשה , כלומר)(xy

:בצורה

(13.4) )()()()()(2211

xyxuxyxuxy

(.13.1)כך שתוכל לקיים את המשוואה המקורית

ונציב אותה במשוואה מקורית ( 13.4)מנוסחא xy)(קציה אם ניקח את הפונ

),()(אזי נקבל משוואה אחת בשני נעלמים , (13.1)21

xuxu . מראש ניתן לצפות

),()(-שיהיו אינסוף אפשרויות לבחור ב21

xuxu , מצד שני יכול להיות שכלאנו נקבע בעצמנו תנאי במהלך הדרך , לכן. שובהאפשרויות הללו יהיו קשות לחי

),()( נוסף על הפונקציות21

xuxu בכדי לפשט את החישובים.

בשלבים, פעמיים (13.4)נגזור את , אם כן

)(')()(')()()(')()(')('22112211

xyxuxyxuxyxuxyxuxy

')(בביטוי של xy נדרוש כי החלק המכיל את הנגזרות)('),('21

xuxu יתאפס:

(13.5) 0)()(')()('2211

xyxuxyxu

:נקבל כי הנגזרת הראשונה היא, (13.5)ואם נניח את תנאי

)(')()(')()('2211

xyxuxyxuxy :נחשב נגזרת שנייה

)(')(')(')(')('')()('')()(''22112211

xyxuxyxuxyxuxyxuxy

ונציב הכל במשוואה , ושתי נגזרותיה( 13.4)מנוסחא xy)(ניקח את הפונקציה מסודרת לפי , (13.6)ונקבל את משוואה , המקורית( 13.1)

)(),(21

xuxu,)('),('21

xuxu: (13.6)

)()(')(')(')(')]()()(')()(''[)(

)]()()(')()(''[)(

2211

0

2222

0

1111

xgxyxuxyxuxyxqxyxpxyxu

xyxqxyxpxyxu

),()(-מכיוון ש21

xyxy ( 13.6)אז משוואה , הם פתרונות יסודיים הומוגניים :תתקבל בצורה

41

(13.7) )()(')(')(')('2211

xgxyxuxyxu (:.13.5)נוסיף את תנאי

0)()(')()('2211

xyxuxyxu

כי , יש לציין". מערכת של וריאציית הפרמטרים"ל יוצרות "שתי המשוואות הנ

'),(')(-הומוגנית ביחס ל-ולא ליניאריתהמערכת הזו היא מערכת 21

xuxu . ידוע .דמיםלנו כי קיום הפתרון במערכת כזו תלוי בדטרמיננטת המק

0))(),(()(')('

)()(21

21

21

x

xyxyWxyxy

xyxy

:נקבל כי ( 13.7( + )13.5)אם נרשום את המערכת

(13.8 ) ),(

)()()('

21

1

2yyW

xgxyxu

),(

)()()('

21

2

1yyW

xgxyxu

:מכאן נובע כי

(13.9 ) 1

21

2

1),(

)()()( Cdx

yyW

xgxyxu

2

21

1

2),(

)()()( Cdx

yyW

xgxyxu

),()(אם נחשב את הפונקציות 21

xuxu ונציבן בנוסחא , (13.9)י נוסחאות לפ (.13.1)נקבל את הפתרון הכללי למשוואה המקורית , (13.4)

'הערה אבמקום זאת כדאי לפתור מערכת . בעל פה( 13.9)אין שום צורך לזכור את נוסחאות

),()(ורק אחר כך להציב את ( 13.7( + )13.5)המשוואות 21

xuxu (.13.4)בנוסחא

'בהערה ( + 13.5)כי לפני שמתחילים לבנות את מערכת וריאציית הפרמטרים , יש לציין

!!!להביא את המשוואה המקורית לצורה סטנדרטית חייבים, (13.7)

וריאציית הפרמטרים – 20דוגמא

2

2

4'4''x

eyyy

x

0x

.לא ניתן להשתמש בשיטת המקדמים הלא ידועים

:הפתרונות ההומוגניים הם , 19כפי שראינו בדוגמא : פתרון הומוגני – 'א שלב

xx xeCxyeCxy 2

22

2

11)(,)(

42

:בניית מערכת של וריאציית פרמטרים – 'שלב ב

''0 (13.5-מקביל ל) 2

2

2

1 xx xeueu

(13.7-מקביל ל)2

2

22

2

2

1)2(''2

x

exeeueu

x

xxx

'' :מהמשוואה העליונה נקבל כי21

xuu . כעת נסדר את המשוואה

: התחתונה 2221

1'2''2

xxuuu ונציב :

22222222

11'

1'2''2 C

xu

xu

xxuuxu

כמו כן 22

1'

xu אז לפי הקשר הראשון :

111ln

1' Cxu

xu .

(:13.4)כעת נחזור לפורמט

)()()()()(2211

xyxuxyxuxy נציב בהתאם:

xx xeCx

eCxxy 2

2

2

1)

1()ln()(

: נעביר פתרון זה לצורה סטנדרטית של פתרון

xxxx eexxeCeCxy 222

2

2

1ln)(

:פתרון סופי

pr

xxx exxeCeCxy 2

hom

2

2

2

1ln)(

הפתרון הפרטי הזה " יחזור למשפחה שלו"

ולא ייכתב בפני עצמו

43

דוגמא נוספת עם שיטת וריאציית הפרמטרים– 21דוגמא

2'''0 נתבונן במשוואה yxyyx 0x

xxyxxy

1)(,)(

21

),()(בדוק כי .א21

xyxy ל של המשוואה"הם שני פתרונות בת.

xxyxyyx פתור את המשוואה .ב ln'''2 :פתרון

:נבצע ורונסקיאן, לאחר הצבה ובדיקה .א

0211

11

1

),(

2

1

xxx

x

xx

xW x ל"בת תוהפתרונו.

חייבים אנו לעבור לצורה סטנדרטית, ראשית .ב

x

xyy

xy

ln'

1'' גראנז-נבנה מערכת לה':

x

x

xxuxu

xxuxxu

ln1)('1)('

01

)(')('

221

21

xxxux

x

x

xu

x

xuxu

II

ln2

1)('

ln)(')(')('

22

2

2

2

1

(I) (II)

44

4ln

22

1

2

1

22

1

2;

1

;ln

ln2

1)(

22

22

22

xx

x

dxx

xx

xx

vdxx

du

xdxdvxu

xdxxxu

:לכן 2

22

2ln

48)( Cx

xxxu

1

2

11ln

4

1)(

ln

2

1)(' Cxxu

x

xxu

)()()()()( :כעת נגיע לפתרון הכללי2211

xyxuxyxuxy

8ln

4

1ln

4

11

1)ln

48()ln

4

1()(

2

21

2

22

1

2

xxxxx

xCxC

xCx

xxxCxxy

prHom

prHom

totalxxxx

xCxCxy ln

4

1ln

4

11)( 2

21

הפתרון הפרטי הזה " פחה שלויחזור למש"

ולא ייכתב בפני עצמו

45

מסדר גבוה תליניאריומשוואות

( :14.1)הנתונה בנוסחא nמסדר תהליניארינתבונן במשוואה (14.1)

)()()()(')()()()()(01

)1(

1

)( xGxyxPxyxPxyxPxyxP n

n

n

n

GPPשבה הפונקציות n,,,

0אם בקטע . הן פונקציות רציפות בקטע מסוים

הנתון הפונקציהn

Pאז ניתן לחלק את המשוואה בגורם , אינה מתאפסת באף נקודה

nPולהציגה בצורה סטנדרטית:

(14.2 )

)()()()(')()()()(1

)1(

1

)( xgxyxpxyxpxyxpxynn

nn

כי התיאוריה הכללית המתאימה למשוואות מסדר גבוה דומה מאוד , יש לצייןלכן ברוב . עבור משוואות מסדר שנילתיאורה שפותחה בשיעורים האחרונים

ובמידת הצורך , המקרים נוכל להשתמש בתוצאות אשר קיבלנו עבור משוואות כאלו .נוסף תיקונים נדרשים

אחת אחרי , אינטגרציות nנצטרך לבצע , (14.2)בכדי שנוכל לפתור את משוואה

קבועים nיכלול בתוכו ( 14.2)כי הפתרון של משוואה , מכאן נובע. השנייה

nCCC ,,,

21 .שבכדי ליצור בעיית התחלה מסדר , א"זn , אז יחד עם משוואה

:תנאי התחלה מהצורה nצריכים לקבוע ( 14.2)

(14.3) n

n uxyuxyuxy )(;;)(';)(0

)1(

2010

Iמשפט ( 14.1.1)

gppאם הפונקציות n,,,

1 המכיל בתוכו , הן פונקציות רציפות בקטע מסוים

את הנקודה 0

x (14.2)המקיים גם את משוואה , אזי תמיד קיים פתרון אחד ויחיד , (.14.3)וגם את כל תנאי ההתחלה

משוואות הומוגניות מסדר גבוה

(14.4 )

0)()()(')()()()(1

)1(

1

)(

xyxpxyxpxyxpxynn

nn

(.14.2)למשוואה המשוואה ההומוגנית המתאימהנקראת ( 14.4)המשוואה מצורה

46

IIמשפט ( 14.1.2)

אם n

yy ,,1 שלהם נותן יליניאראז כל צירוף , (14.4)הם פתרונות של משוואה

:פתרון נוסף באותה משוואה

(14.5) )()()()(2211

xyCxyCxyCxynn

מכילה את כל הפתרונות (14.5)שאלה המרכזית היא האם משפחת הפתרונות ההתשובה לשאלה תהיה חיובית אם נצליח להראות כי (. 14.4)הקיימים למשוואה

תמיד קיימת אפשרות לבחור בקבועים מתאימים n

CCC ,,,21 , כך שהפתרון

וגם את כל , (14.4)שוואה עם הקבועים הללו יוכל לקיים אם את מ( 14.5)ממשפחה (.14.3)תנאי התחלה

:נקבל( 14.3)ונציב אותו בכל תנאי התחלה ( 14.5)אם ניקח את הפתרון ממשפחה

(14.6)

n

n

nn

nn

nn

nn

uxyCxyCxyC

uxyCxyCxyC

uxyCxyCxyC

)()()(

)(')(')('

)()()(

0

)1(

0

)1(

220

)1(

11

20022011

10022011

-משוואות ב nהומוגנית של -ולא תליניאריהיא מערכת ( 14.6)מערכת המשוואות

n נעלמיםn

CCC ,,,21 .כי למערכת כזו קיים פתרון יחיד אם ורק , ידוע לנו

ידוע לנו כי אם , מצד שני. 0-במערכת שונה מ המקדמיםאם דטרמיננטת

אזי תמיד נוכל לבחור במספרים , 0-דטרמיננטת המקדמים שווה לn

uu ,1

כך :מכאן נובע כי חייבים לדרוש. תרון בכלללא יהיה פ( 14.6)שלמערכת

(14.7)

0))(,(

)(

)('

)(

)()(

)(')('

)()(

01

0

)1(

0

0

0

)1(

20

)1(

1

0201

0201

xyyW

xy

xy

xy

xyxy

xyxy

xyxy

n

n

n

n

n

nn

-מכיוון ש0

x ניתן לסכם את האנליזה בתור משפט, יכול להיות בכל מקום בקטע:

47

IIIמשפט ( 14.1.3)

אם n

yy ,,1 רונסקיאן כך שהו, בקטע הנתון( 14.4)הם פתרונות של משוואה

מכיל ( 14.5)שלהם מצורה יליניאראז צירוף , שלהם אינו מתאפס באף נקודה בקטעהפתרון הכללי של ונקרא , (14.4)את כל הפתרונות הקיימים למשוואה בתוכו

פתרונות הפתרונות הללו נקראים , באופן דומה למשוואות מסדר שני. המשוואהלהראות כי פתרונות יסודיים הינם וגם כאן ניתן, בסיסיים של המשוואה/יסודיים

(. וכן בכיוון השני) תליניאריבלתי תלויים

משוואות מסדר גבוה עם מקדמים קבועים

(15.1) 0)()(')()(01

)1(

1

)(

xyaxyaxyaxya n

n

n

n

בה המקדמים ( 15.1)נתבונן במשואה 0

,, aan הם מקדמים קבועים

0וכן , ממשייםn

a .מופיע צירוף ( 15.1)וון שבאגף שמאל של משוואה מכי

נניח כי , הנגזרות הראשונות שלה n-ו xy)(של יליניארrxexy )( כאשר

rנקבל אם כן . הוא פרמטר קבוע כלשהוא rxnnrxrx erxyerxyrexy )(,,)('',)(' )(2

:ונקבל משוואה חדשה( 15.1)יטויים במשוואה מקורית נציב את הב

(15.2) 0][01

1

1

arararae n

n

n

n

rx

( :15.3)היא קיום משוואה ( 15.2)הפשרות היחידה לקיום

(15.3) 001

1

1

ararara n

n

n

n

המשוואה האופיינית המתאימה למשוואה נקראת ( 15.3)המשוואה : הגדרה

משמעותה של . הפולינום האופייניבצד שמאל נקרא והביטוי , (15.1)מקורית

אז הפונקציה , הוא השורש שלה rשאם הפרמטר , היא 15.3)משוואה rxe מהווה

(.15.1)פתרון למשוואה מקורית לכן נצטרך , rר ביחס לפרמט nהיא משוואה אלגברית מסדר ( 15.3)המשוואה

.לדון בכל האפשרויות לגבי השורשים שלה

שורשים ממשיים ושונים זה מזה

במקרה בו n

rrr 21

קבל כי שורשים ממשיים ושונים זה מזה נ xr

n

xrxr nexyexyexy )(;;)(;)( 21

21

שמתקבלים מכיוון שכל השורשים הינם שונים זה מזה אז הפתרונות , כמו מקודם

nyy ,,

1 במילים אחרות. ל וייצרו קבוצה יסודית של פתרונות"יהיו בת:

(15.4) xr

n

xrxr

toatl

neCeCeCxy 21

21)(

48

(ללא שורשים כפולים)שורשים ממשיים ושונים – 22דוגמא

'''2'''02 : נתבונן במשוואה yyyy המשוואה האופיינית המתאימה

022 :תהייה 23 rrr ויש לו , שאם יש פולינום מסדר כלשהוא עם איבר חופשי, התיאוריה אומרת

. 2,1במקרה זה , אחד מהם הוא מחלק של האיבר החופשי, שורשים ממשיים

:ונראה כי הוא שורש 1נבחר באקראי את

2,1,1

0)2()1(

0)2()1(

0)()1(

321

2

2

rrr

rrr

rr

r

:הפתרון הכללי של המשוואהו

xxx

totaleCeCeCxy 2

321)(

!זוגית יש לפחות שורש ממשי אחד -לכל פולינום ממעלה אי: תזכורת

בין שורשי הפולינום האופייני מופיעים שורשים מרוכבים

השורשים המרוכבים תמיד מופיעים בזוגות , כי בכל משוואה אלגברית, ידוע לנו

iצמודים מהצורה כאשר, 0וכן .ידוע לנו כי , כמו כןפורייה זוג של פתרונות -לזוג פתרונות מרוכבים ניתן לבנות לפי נוסחאות אוילר

)cos(),sin(ממשיים מהצורה xexe xx גם כאן תמיד נוכל לבצע , לכן.

.נות ממשיים בצורה כזואותו תהליך ולבנות פתרו

שורשים מרוכבים – 23דוגמא

)4(0נתבונן במשוואה yy ובמשוואה האופיינית המתאימה :

irr

rr

r

4,32,1

22

4

,1

0)1)(1(

01

: לכן הפתרון הכללי יהיה

xCxCeCeCxy xx sincos)(4321

49

שורשים החוזרים על עצמם

ns), פעמים sמופיע rשורש , יניאם בין השורשים של הפולינום האופי , :פתרונות שונים בצורה הבאה sאזי מתאימים לו , (הוא סדר המשוואה nכאשר

rxsrxrxrx exexxee 12 ;;;;

iאם השורש מופיעsאז השורש הצמוד לו , פעמיםi מופיע גם כן

sכך שהשורשים הללו יגררו , פעמיםs2 פתרונות ממשיים מהצורה

)cos(,),cos(),cos(

)sin(,),sin(),sin(1

1

xexxxexe

xexxxexexsxx

xsxx

מם שורשים החוזרים על עצ – 24דוגמא

)4(''0נתבונן במשוואה ysyy ובמשוואה האופיינית המתאימה:

iir

r

rr

,

0)1(

012

4,3,2,1

22

24

:והפתרון הכללי הוא

xxCxxCxCxCxy sincossincos)(4321

הומוגניות מסדר גבוה-משוואות לא

(16.1) )()()(')()(01

)1(

1

)( xgxyaxyaxyaxya n

n

n

n

)0(

na

Iמשפט ( 16.1.1)

: ניתן להצגה בצורה ( 16.1)הומוגנית -של משוואה לא הפתרון הכללי

(16.2 ) )()()()()(2211

xYxyCxyCxyCxynntotal

כאשר n

yy ,,1 ו, הם פתרונות יסודיים הומוגניים-)(xY הוא פתרון מסוים ,

. xg)(-המתאים ל

.לנו מציאת פתרון מתאים לאגף הימניגם כאן קיימות שתי השיטות המאפשרות

50

שיטת המקדמים הלא ידועים עבור משוואות מסדר גבוה

וכל הנוסחאות אשר פותחו , כל המסקנות, הבסיסי של השיטה ןהעיקרוכי , יש לציין

.ניתן להעבירן ללא שינוי למשוואות מסדר גבוה –עבור משוואות מסדר שני

סדר גבוה –ים שיטת מקדמים לא ידוע – 24דוגמא

: נתבונן במשוואה xexxyy 24cos3'4'''

פתרון הומוגני –' שלב א

: משוואה אופיינית

2,0

0)4(04

0'4'''

3,21

23

rr

rrrr

yy

xx

HomeCeCCy 2

3

2

21

'שלב ב

)(... :ננחש פתרון פרטי מהצורה baxxY ,נמצאכבר 1-אבל בגלל ש

}1,,{בקבוצה היסודית של הפתרונות ההומוגניים 22 xx ee יש לתקן את הניחוש ,

:וצריך לכפול את כל הניחושxxexdxcbaxxxY 2sincos)()(

:נגזור

xx

xx

xx

xeexdxcxY

xeexdxcaxY

xeexdxcbaxxY

22

22

22

812cossin)('''

44sincos2)(''

2cossin2)('

נחזור למשוואה המקורית xexxyy 24cos3'4''' ,נציב ונקבל:

xx exxxxe

ddxccxbax22 4cos3]84812[

)]4([cos)]4([sin)48(

: נקבל כי לבסוף2

1,

5

3,0,

8

1 dcba

:והפתרון הכללי של המשוואה

Pr

222

3

2

212

1sin

5

3

8

1 x

Hom

xx

totalxexxeCeCCy

51

שיטת וריאציית הפרמטרים עבור משוואות מסדר גבוה

אינה תלויה כלל בפונקציה ו, שיטה זו היא הכללית ביותר, כי גם כאן, יש לציין

)(xg יש גם לציין כי שיטה זו פועלת תמיד. המשוואההמופיעה באגף ימין של , :נתבונן במשוואה. קבועים-וגם עבור משוואות עם מקדמים לא

(17.1)

)()()()(')()()()(1

)1(

1

)( xgxyxpxyxpxyxpxynn

nn

gppשבה הפונקציות n,,,

1נניח כי אנו . הן פונקציות רציפות בקטע מסוים

}),(,){(יכולים למצוא 1

xyxyn

העיקרון . סודיים הומוגנייםפתרונות י

המרכזי כאן הוא להחליף את הקבועים n

CCC ,,,21 בפתרון הכללי של

: xי פונקציות של "המשוואה ההומוגנית עn

uuu ,,,21 , כך שהפונקציה

(:17.1)תוכל לקיים את המשוואה ההומוגנית ( 17.2)החדשה הבאה

(17.2 ) )()()()()()()(2211

xyxuxyxuxyxuxynn

אזי נקבל ( 17.1)במשוואה מקורית ( 17.2)מנוסחא xy)(אם נציב את הפונקציה

פונקציות לא ידועות nמשוואה אחת עם n

uuu ,,,21 .כי , כבר עכשיו ברור לנו

יהיו אפשרויות רבות עבור n

uuu ,,,21 .מתוך האפשרויות , כמו מקודם

בה החישובים לגבי , הקיימות אנו מעוניינים באפשרות אחתn

uuu ,,,21 לא

תנאים נוספים על 1nלכן נקבע בעצמנו . יהיו ארוכים וכבדיםn

uuu ,,,21

.בעלת פתרון לא מסובך, נעלמים n-משוואות ב nכל שנבנה מערכת של (:17.2)נחשב אם כן את הנגזרת הראשונה של

)(')()(')()(')(

)]()(')()(')()('[)('

2211

2211

xyxuxyxuxyxu

xyxuxyxuxyxuxy

nn

nn

:א"ז, יתאפס( בתוך הסוגריים)נדרוש כי החלק הראשון -תנאי ראשון

0)()(')()(')()('2211

xyxuxyxuxyxunn

: נגזור פעם נוספת

)('')()('')()('')(

)](')(')(')(')(')('[)(''

2211

2211

xyxuxyxuxyxu

xyxuxyxuxyxuxy

nn

nn

52

המכיל את הנגזרות של , נבקש כי החלק בסוגריים – תנאי שניn

uuu ,,,21

:יתאפס

0)(')(')(')(')(')('2211

xyxuxyxuxyxunn

: יהיה י-n-התנאי ה

)()()(')()(')()('11

22

1

11xgxyxuxyxuxyxu

n

nn

nn

(17.3)

)()()(')()(')()('

0)(')(')(')(')(')('

0)()(')()(')()('

)1()1(

22

)1(

11

2211

2211

xgxyxuxyxuxyxu

xyxuxyxuxyxu

xyxuxyxuxyxu

n

nn

nn

nn

nn

ית הפרמטרים המתאימה למשוואה מקורית מערכת וריאצינקראת ( 17.3)מערכת

נעלמים n-משוואות ב nבעלת , הומוגנית-ולא תליניארימערכת זו היא (.17.1)

',,','21 n

uuu . היא( 17.3)קל לראות כי דטרמיננטת המקדמים במערכת :

0))(,(

)(

)('

)(

)()(

)(')('

)()(

1

)1()1(

2

)1(

1

21

21

xyyW

xy

xy

xy

xyxy

xyxy

xyxy

n

n

n

n

n

nn

.בקטע xל וזאת לכ

}),(,){(דטרמיננטת המקדמים היא ורונסקיאן של הפתרונות 1

xyxyn

,

0W-ל הרי ש"ובגלל שהם פתרונות בת ותמיד קיים פתרון , בקטע xלכל .למערכת

להיות חייבים( 17.3)ת מערכת כי לפני שמתחילים לבנות א, יש לציין: הערה

!!!הייתה בצורה סטנדרטית ( 17.1)בטוחים כי משוואה מקורית

סדר גבוה –שיטת וריאציית הפרמטרים – 25 דוגמא

xyy '''' ראשית נחפש פתרון הומוגני למשוואה המתאימה , נפתור לפי וריאציית הפרמטרים

0'''' yy .3)1)(1(0: ואה האופיינית המשו rrrrr ולכן

1,03,21

rr . 1,,{והפתרונות היסודיים הם{ xx ee :מערכת הפרמטרים.

53

xexuexu

exuexu

exuexuxu

xx

xx

xx

)(')('0

0)(')('0

0)(')(')('

32

32

321

1

2

112

)()(' Cx

xuxxu

: כמו כן

2222)(

2

1)(

2)(')('2 Cexexu

xexuxexu xx

x

x

: ולבסוף 333

)(2

1)(

2

1)(' Cexexuxexu xxx

:מכאן נובע כי

2

1

2

1

2

1

2

1

2

)2

1

2

1()

2

1

2

1()

2(

)()()()()()()(

2

321

321

2

332211

xxx

eCeCC

eCexeeCexeCx

xyxuxyxuxyxuxy

xx

xxxxxx

:והפתרון הכללי

Pr

2

3212

)(x

eCeCCxy

Hom

xx

....תם החלק הקל בקורס

אינטגרציה בחלקים

יחזרו "פתרונות פרטיים ולא " למשפחה שלהם

ייכתבו בפני עצמם

54

התמרות אינטגרליות

במציאת הפתרון של משוואות דיפרנציאליות קיימת שיטה מתקדמת הנקראת הניתן להצגה בצורה התמרה אינטגרלית מהווה את היחס . התמרות אינטגרליות

:הבאה

(18.1) ( ) ( , ) ( )b

a

F s k s t f t dt

אנו מעבירים את הפונקציה המקורית ( 18.1)כך שבעזרת האינטגרל באגף ימין של

( )f t לפונקציה חדשה( )F s ההתמרה של הפונקציההנקראת ( )f t .

)הפונקציה , )k s t העיקרון המרכזי של השיטה הוא . גרעין ההתמרהנקראת

)להפוך את הבעיה המקורית של הפונקציה )f t לבעיה חדשה עבור( )F s . אנו

)ר כ נחזור לפתרון הבעיה המקורית עבו"ואח, נפתור את הבעיה החדשה )f t . ישי הבחירה המתאימה של "כי ברוב המקרים ניתן לפשט את הבעיה המקורית ע, לציין

)הפונקציה , )k s t וגבולות האינטגרציה,a b .

)כעת נניח ), 0f t t בהמשךהמקיימת מספר תנאים שיוגדרו .

)של הפונקציה פלס-התמרת לה, אזי )f t תסומן :

(18.2 ) 0

{ ( )} ( ) ( )

, 0, ( , )

st

st

f t F s e f t dt

b a k s t e

L

.אמיתי-י אינטגרל לא"פלס מוגדרת ע-אנו רואים כי התמרת לה

דוגמאות

.א

00 0

1lim lim

01

lim( 1) 10

bbt t t

b

b

b

b

e dt e dt e

e

55

.ב

1

1 11

1

1lim lim

1

11 1

lim 11 1 0

1

b

b b

b

tdt t dt

t

b

I משפט( 18.1.1)

)נניח כי ), 0f t t 0]היא פונקציה רציפה למקוטעין בקטע, ]b 0לכלb .

0kנניח כי קיימים וכן ממשיים כך שיתקיים:

(18.3) ( ) tf t ke

)פלס עבור הפונקציה -במקרה כזה התמרת לה )f t ( 18.2)המוגדרת בנוסחא

{ ( )}f tL קיימת עבור כלs .

הוכחת המשפט

0t-להתקיים לא החל מיכול ( 18.3)אי השוויון , במקרה הכללי ביותר אלא החל

-מ0

0 t פלס של הפונקציה -נתבונן בהתמרת לה. מסוים( )f t ונציג אותה :בצורה

(18.4) 0

00 0

( ) ( ) ( ) ( )t

st st st

t

F s e f t dt e f t dt e f t dt

, אים של אינטגרל רימןכי האינטגרל הראשון באגף הימני מקיים את כל התנ, ברור :ננסה להעריך את הפונקציה שבתוכו, לגבי האינטגרל השני. ולכן מתכנס מיידית

( )

(18.1.1)

( ) ( )st st st t s te f t e f t ke e ke

(.אי השוויון נובע מתנאי המשפט)sמיד נובע כי אם נדרוש כי , בעמוד הקודם( 'א)וכן מהדוגמא , מכאן אזי

אמיתי עבור -אהאינטגרל הל( )s tke

ולפי תכונות יסודיות של , יתכנס נקבל את התכנסותו של האינטגרל , (מבחן ההשוואה)אמיתיים -אינטגרלים לא

(. 18.4)השני בימינה של משוואה

הערה למשפט

)' פו )f t פונקציה מסדר אקספוננציאלי משפט נקראת המקיימת את תנאי ה.

56

פלס מיידיות -התמרות לה – 26דוגמא

. א0 0 0

1{1} 1 lim 1 lim

1 1lim ( 1)

bb

st st st

b b

bt

b

e dt e dt es

es s

L

.ב( )

0 0

1{ } lim

bat st at s a t

be e e dt e dt

s a

L

.ג2 2

0

{sin( )} sin( )st aat e at dt

s a

L

ספל-תכונות יסודיות של התמרת לה

אם עבור : תליניאריותכונת .א1 2( ), ( ), , ( )

mf t f t f t קיימות התמרות

sפלס עבור -לה ,מהתכונות היסודיות של האינטגרל נובע אזי:

1 1 2 2 1 1 2 2{ ( ) ( ) ( )} { ( )} { ( )} { ( )}

m m m mC f t C f t C f t C f t C f t C f t L L L L

:פלס הבאה-נתבונן בהתמרת לה, לדוגמא

5

2

{11 3 12sin(2 )} 11 {1} 3 { } 12 {sin(2 )}

11 3 12 2

5 4

t ste t e t

s s s

L L L L

)אם : תכונת העתקה .ב ) { ( )}F s f t L קיימת עבורs אזי

{ ( )} ( )ate f t F s a L s a

}דרוש לחשב , לדוגמא sin( )}ate btL , אם נגדיר( ) sin( )f t atאזי:

2 2 2 2{sin( )} { sin( )}

( )

atb bbt e bt

s b s a b

L L

... לאחר אינטגרציה בחלקים

57

)אם : פלס של הנגזרת-מרת לההת .ג ), '( )f t f t הן פונקציות מסדר

,0]בקטע אקספוננציאלי ) ,פלס של הנגזרת -אזי קיימת התמרת לה : אשר תחושב באופן הבא

0{ '( )} { ( )}f t s f t f L L

:הוכחה

0 0

000

{ '( )} '( ) lim '( )

lim( ( ) ( ) ) { ( )}

st st

b

bst st

b

f t e f t dt e f t dt

e f t s e f t dt s f t f

L

L

:למשל ניתן להרחיב את התכונה עבור נגזרות מסדר גבוה: הערה

2

0 0{ ''( )} { ( )} 'f t s f t sf f L L

( ) 1 ( 2) ( 1)

0 0 0{ ( )} { ( )}n n n n nf t s f t s f sf f L L

)cos}דרוש לחשב , לדוגמא )} ?bt L . נגדיר( ) sin ( )f t t bt ונקבל:

2 2

2 2

{ ( )} '( ) cos( )

{ '( )} { cos( )}

bf t f f b bt

s b

bf t b bt s

s b

L

L L

:ונקבל כי, ונחלק בו, תהליניאריולפי תכנות , מחוץ להתמרה bציא כעת נו

2 2{cos( )}

sbt

s b

L

... לאחר אינטגרציה בחלקים

58

)פלס עבור -נניח כי קיימת התמרת לה: פלס-נגזרת של התמרת לה .ד )f t

)והיא )F s ,א "ז{ ( )} ( )f t F sL . נגזור את( )F s לפיs , ונשאל

)'האם ! שאלה )F sפלס עבור איזו שהיא -מהווה בעצמה התמרת לה

??? tפונקציה של

'( ) {???}F s L :והתוצאה היא כי , בה היא חיוביתבאופן כללי התשו

'( ) { ( )}F s t f t L IIמשפט ( 18.1.2)

)אם עבור פונקציה )f t פלס -קיימת התמרת לה( )F s אזי:

( ){ ( )} ( 1) ( )n n nt f t F s L , לדוגמא

1

2 2

1 1 1{ } { 1} ( 1) 't t

s s s

L L

)לפונקצית גאמא תכונה הקשורה .ה )t:

:מוגדרת לפי הנוסחא הבאה פונקצית גאמא

(18.5) 1

0

( ) u tt e u du

0t

0tמתכנס לכל ( 18.5)ידוע כי האינטגרל המופיע באגף ימין של . יש לציין כי .פונקצית גאמא מופיעה בשימושים רבים בפיסיקה ומתמטיקה שימושית

:תכונות יסודיות של פונקצית

1. ( 1) ( )t t t

59

:הוכחה

0 0

1

00

1

0

( 1) lim

lim( )

lim( ) lim 0 ( )

bu t u t

b

bbu t u t

b

bb t u t

b b

t e u dt e u dt

e u te u dt

e b t e u dt t t

tאם . 2 n כאשרn אזי , מספר טבעי:

00

( 1) ( ) ( 1) ( 2) ( 1) (1)

(1) lim( ) 1bu u

b

n n n n n n n n

e du e

( 1) !n n

1rלכל . 3 ניתן להגדיר:

10

1 10 0

{ } ,

1 1 1( 1)

st usr r

s

ru st

r

r r

u st tt t dt

du s dt dt du

udu u du r

s s s s

e

e e

L

rאם n מספר טבעי(n ) מהפיתוח האחרון כיאזי נקבל:

1 1

( 1) !{ }r

r r

r nt

s s

L

1nואכן אם נקבל כי2

1{ }t

sL כפי שמצאנו קודם.

60

ותכונותיה פלס הפוכה-התמרת לה

.נפתח בדוגמא

פלס-פתרון משוואה באמצעות התמרת לה – 27דוגמא ,הבבעיית ההתחלה הבאנתבונן

''y y t (0) 0, '(0) 1y y

}פלס משני צידי המשוואה המקורית ונסמן -נבצע התמרת לה } ( )y Y sL:

{ '' } { }y y t L L :פלס-נשתמש בתכונות היסודיות של התמרת לה

{ '' } { ''} { } { }y y y y t L L L L

2

2

1( ) (0) '(0) ( )s Y s sy y Y s

s

: כעת2

2

1( )[ 1] 1Y s s

s

2

2

2 2

1 1( )[ 1] 1

sY s s

s s

2

1( ) { ( )} { } ( )Y s y t t y t t

s L L

הגדרה

)פלס הפוכה עבור פונקציה -התמרת לה )F s פונקציה יחידהנקראת ( )f t כך ש :

( ) ( )F s f t , המקיימת{ ( )} ( )f t F sL .במקרה כזה נרשום כי:

-1{ ( )} ( )F s f tL דוגמאות

-1 -1 4

2

3 1{ } sin(3 ), { }

9 4

tt es s

L L

61

:פלס הפוכה-תכונות יסודיות של התמרת לה

אם קיימות :תתכונת ליניאריו .א-1 -1

1{ ( )}, , { ( )}

mF s F sL L אזי:

-1 -1 -1

1 1 1 1{ ( ) ( )} { ( )} { ( )}

m m m mC F s C F s C F s C F s L L L

, למשל

-1 -1 -1 -1

2 2 2 2

2

4 3 7 1 1{ } 4 { } 3 { } 7 { }

2 16 2 16

4 3cos(4 ) 7t

s s

s s s s s s

e t t

L L L L

אם :תכונת העתקה .ב-1{ ( )} ( )F s f tL אזי:

-1{ ( )} ( )atF s a e f t L

, למשל

-1

2 2

-1 -1 -1

2 2 2 2 22

{ } sin(2 )2

5 5 5 2 5{ } { } { } sin(2 )

2 5 ( 1) 2 2 ( 1) 2 2

t

ts

e ts s s s

L

L L L

אם :פלס הפוכה של הנגזרת-התמרת לה .ג-1{ ( )} ( )F s f tL אזי:

-1 ( ){ ( )} ( 1) ( )n n nF s t f t L

,משלל

ידוע כי -1

2

1{ } sin( )

1t

s

L לכן

2 2 2

1 2'

1 ( 1)s s

: ומכאן

-1 -1

2 2 2

2 1 1{ } sin( ) { } sin( )( 1) ( 1) 2

t t t ts s

L L

62

טבלת עזר –התמרות מיידיות

63

פלס עבור מציאת הפתרון במשוואות דיפרנציאליות -שיטת לה

" נתבונן במשוואה מסדר שני

(19.1 ) ''( ) '( ) ( )ay t by t cy g t

,כאשר ,a b c 0קבועים וכןa .פלס משני צידי המשוואה -נבצע התמרת לה

ונסמן { ( )} ( )

{ ( )} ( )

g t G s

y t Y s

L

L : כעת נקבל כי

2[ ( ) (0) '(0)] [ ( ) (0)] ( ) ( )a s Y s sy y b sY s y cY s G s

:ולאחר סידור קל

2( )[ ] (0) '(0) (0) ( )Y s as bs c asy ay by G s

:עברת אגפים וחלוקה במקדם של הנעלםה

(19.2) 2 2

( ) (0) '(0) (0)( )

G s asy ay byY s

as bs c as bs c

פלס לפתרון משוואות-שיטת לה -סיכום

( 19.2)פלס הפוכה מנוסחא -הפתרון של הבעיה יתקבל בעזרת התמרת לה .א .י פעולות אלגבריות בלבד"אשר התקבלה ע

.הומוגניות כאחד-השיטה נשארת ללא שום שינוי עבור בעיות הומוגניות ולא .ב

אם נתונים לנו תנאי התחלה בנקודה .ג0

0x אזי הפתרון שיתקבל מנוסחא .כבר מקיים את כל תנאיי הבעיה( 19.2)

נסמן את , אם לא נתונים תנאיי התחלה .ד0 0, 'y y י "ע

1 2,C C בהתאמה ,

.בל את הפתרון הכללי של המשוואהנק( 19.2)ומנוסחא

אם תנאיי ההתחלה אינם נתונים בנקודה .ה0

0x אזי , אלא בנקודה אחרתונציב בו את , ('כפי שפורט בסעיף ד)את הפתרון הכללי ( 19.2)נקבל מנוסחא

.תנאי ההתחלה הנתונים למציאת הקבועים

נשארת ללא שום שינוי גם עבור השיטה שפיתחנו עבור משוואות מסדר שני .ו .משוואות מסדר גבוה

64

פלס-פתרון משוואה בעזרת התמרת לה –28-29ות דוגמא : נתונה בעיית ההתחלה הבאה

'' 2 ' 4

(0) 2; (0) 1

ty y y e

y y

:פלס משני צידי המשוואה-התמרת לה נחשב, ראשית

{ ''} 2 { '} { } 4 { }ty y y e L L L L נסמן :{ ( )} ( )y t Y sL

,וכעת

2 4[ ( ) (0) '(0)] 2[ ( ) (0)] ( )

1s Y s sy y sY s y Y s

s

:בשלב זה נציב גם את תנאיי ההתחלה

2

2

2 3

4( )[ 1] 2 1 4

1

4( )[( 1) ] 2 3 .

1

2 3 4( ) .

( 1) ( 1)

Y s s s ss

Y s s ss

sY s

s s

:נבצע חישוב עזר להתמרה ההפוכה

2 2 2

2 3 2( 1) 1 2 1

( 1) ( 1) 1 ( 1)

s s

s s s s

:ונחזור למשוואה המקורית

2 3

2 1 2!( ) 2

1 ( 1) ( 1)Y s

s s s

:נבצע התמרה הפוכה לקבלת הפתרון הכללי

-1 2( ) { ( )} 2 t t t

totaly t Y s e te st e L

, דוגמא נוספת :נתונה בעיית ההתחלה הבאה

(4) 0

(0) ''(0) '''(0) 0

'(0) 1

y y

y y y

y

65

}נסמן ( )} ( )y t Y sL ,פלס משני הצדדים-ונבצע התמרת לה:

(4){ } { } 0y y L L

2 3 2[ ( ) (0) '(0) ''(0) '''(0)] ( ) 0s Y s s y s y sy y Y s

4 2

2 2

4 2 2

( )[ 1]

( )( 1) ( 1)( 1)

Y s s s

s sY s

s s s

כדי לפרק את הביטוי אשר בצד ימין של המשוואה האחרונה ניתן להשתמש שיטת

-ניתן להשתמש ב, מכיוון שהזמן שלרשותנו קצר, ברם. הפירוק לשברים פשוטים :ולראות בנקל כי" משחקים אלגבריים"

2

2 2 2 2

1 1 1

( 1)( 1) 2 ( 1) ( 1)

s

s s s s

:מיידיות ולקבלכעת כבר ניתן לעבור לפתרון הכללי באמצעות התמרות הפוכות

-1 1 1( ) { ( )} sinh( ) sin( )

2 2total

y t Y s t t L

יש לציין כי שיטת הפירוק לשברים פשוטים הייתה מובילה אותנו לתוצאה מהצורה

( ) cos( ) sin( )t t

totaly t Ae Be C t D t אשר היינו יכולים

.להעבירה בקלות לתוצאה הממוסגרת על סמך הגדרתו של הסינוס ההיפרבולי

תנאי התחלה

66

רציפות באגף ימין-משוואת דיפרנציאליות עם אי

פונקצית המדרגה

0cלכל מספר ממשי וחיובי : הגדרה פונקצית מדרגהנגדיר ( )c

u t באופן :הבא

0 0( )

1c

t cu t

c t

[הכנס שרטוט]

:דוגמאות נוספות

( ) 1 ( )c

y t u t 2

( ) ( ) ( )y t u t u t

1 0( )

0

t cy t

c t

0 ; 0

( ) 1 ; 2

0 ; 2

t

y t t

t

[שרטוטים] [שרטוטים]

:לפי ההגדרה, פלס של פונקצית המדרגה-נבדוק את התמרת לה

0 01

{ ( )} ( ) ( ) ( )

1 1lim lim ( )

cst st st

c c c cc

b sc

st st sb sc

b bc c

u t e u t dt e u t dt e u t dt

ee dt e e e

s s s

L

} : אם כן ( )}sc

c

eu t

s

L ( 0עבורs )

67

)כעת נניח פונקציה כללית )f t 0עבורt . ולכלt חיובי נגדיר פונקציה חדשה:

0 0( )

( )

t cg t

f t c t

[שרטוטים]

'מסקנה א

)הפונקציה החדשה )g t של הפונקציה ( או העתקה) הזזהמהווה( )f t למרחק

c בכיוון החיובי של ציר ה-t.

'מסקנה ב

)תוך שימוש בפונקצית המדרגה )c

u t , נוכל להציג את הפונקציה( )g t כך:

( ) ( ) ( )c

g t u t f t c Iמשפט ( 20.1.1)

}אם ( )} ( )f t F sL קיימת עבורs 0אזי לכלc מתקיים:

{ ( ) ( )} ( )sc

cu t f t c e F s L

(לפי הגדרה: )הוכחה

0

0

0

( )

0 0

0

{ ( ) ( )} ( ) ( ) ( )

( ) ( )0

( ) ( )

c

st st

c cc

s c s sc

sc s sc

u t f t c e u t f t c dt e f t c dt

t c t c

e f d e e f dt cdt d

t

e e f d e F s

L

:הערה למשפטכלומר אם קיימת התמרה . כי טענה הפוכה למשפט גם כן תהיה נכונה, יןיש לצי

הפוכה -1{ ( )} ( )F s f tL 0לכלc אזי יתקיים:

-1{ ( )} ( ) ( )sc

ce F s u t f t c L

68

פלס של פונקצית המדרגה-התמרת לה – 30דוגמא

} .א ( )} { ( ) 1}sc

c c

eu t u t

s

L L

)שכן ) 1f t וגם1

{1}s

L.

נתונה הפונקציה הבאה .ב

sin 04

( )

cos( ) sin4 4

t t

f t

t t t

}מצא את ( )} ???f t L. .אך דרך זו כרוכה בפתרון של אינטגרל מסובך, דרך אחת לפתרון היא לפי ההגדרה

) :במקום זאת נפרק את הפונקציה כך ) sin ( )f t t g t כאשר:

4

0 04

( ) ( ) cos( )4

cos( )4 4

t

f t u t t

t t

:לכן4

( ) sin ( ) cos( )4

f t t u t t

ומכאן:

4

4

2 2

{ ( )} {sin } { ( ) cos( )}4

1

1 1

s

f t t u t t

se

s s

L L L

69

פלס ההפוכה-פלס והתמרת לה-תכונות נוספות של התמרת לה

}אם ( )} ( )f t F sL קיימת עבורs 0אזי לכלc מתקיים:

. א1

{ ( )} ( )s

f ct Fc c

L

.ב1 1{ ( )} ( )

s tF f

c c c

L

,לדוגמא

1 1 1

2 2

1 1{ } { } { (3 )}9 12 3 (3 2) 1

F ss s s

L L L

כאשר 2

1( ) ( 2)

( 2) 1F s G s

s

וכאשר

2

1( )

1G s

s

.

, כעת1 1 2

2

1 3

{ ( )} sinh( ) { ( )} sinh( )

1{ (3 )} sinh( )

3 3

t

t

G s t F s e t

tF s e

L L

L

פלס-פתרון בעיית התחלה באמצעות התמרת לה – 31דוגמא

2 2 2 2'' ( )( 4) ( )( 2 2) ( )( 2) 2 ( )

(0) 0; '(0) 1

y y t u t t t u t t t u t t u t

y y

:ונציב תנאיי התחלה, לפלס משני הצדדים -נבצע התמרת לה

נעבור לריבוע

שלם

כך " נסדר"שיתאים לנוסחא

70

2 2

2

2 2

1

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

2 2

2 2 2 2

1( ) (0) '(0) ( ) 2

1 1 1 2( )[ 1] 1 2

1 1 2( )

( 1) ( 1)

s s

s s

s s

s s

e es Y s sy y Y s

s s s

e e sY s s e e

s s s s s s

Y s e es s s s s

:כעת נפרק לשברים פשוטים

2 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 1 1 1

( 1) 1 ( 1) 2 1s s s s s s s s

:ונסיים התרגיל

1

2( ) { ( )} ( )[ 2 sin( 2) 2 2cos( 2)]y t Y s t u t t t t L

(אימפולס)פונקצית דלתא

) פונקצית דלתא: הגדרה )tי שלוש התכונות "היא פונקציה הניתנת להגדרה ע :הבאות

0 0

0

0 0

( ) 0 ; ( ) 0 ; 0

( ) 1 ( ) 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (0)

t t t t t t

t t dt t dt

t t f t dt f t t f t dt f

ברור לנו כי פונקציה כזו אינה מקיימת את הדרישות , לפי הגדרתה של הפונקציה

פלס באופן -אבל בכל זאת נחשב עבורה התמרת לה, פלס-להלקיומה של התמרת .יפורמאל

0

0

0

0 0 00 0

0

{ ( )} ( ) ( )

( )

st st

stst st

t t

t t e t t dt e t t dt

e t t dt e e

L

לא לשכוח להזיז את התוצאה בהתאם !!!רה לנוסחת ההתמ

.א

.ב .ג

71

פלס -פונקצית דלתא והתמרת לה -32דוגמא

'' 2 ' 2 ( )

(0) '(0) 0

y y y t

y y

:נבצע התמרה משני הצדדים ונציב תנאיי התחלה

2 ( ) (0) '(0) 2[ ( ) '(0)] 2 ( ) ss Y s sy y sY s y Y s e

2

2( )[ 2 2] ( )

2 2

s

s eY s s s e Y s

s s

: נשתמש בתכונה שהוכחנו לפיה -1{ ( )} ( ) ( )sc

ce F s u t f t c L:

-1 -1

2 2

1 1{ } { } sin ( )

2 2 ( 1) 1

te t f ts s s

L L

)כעת נחזור לבעיה המקורית וניצור את ) ( )c

u t f t c:

( )

( )

0 ;0( ) ( ) sin( )

sin( )

t

t

ty t u t e t

e t t

קונבולוציה

:פלס של הפתרון ניתנת להצגה בצורה הבאה-קיימים מקרים בהם התמרת לה

(21.1 ) ( ) ( ) ( )Y s H s G s כאשר:

(21.1)

1

1

( ) { ( )}

( ) { ( )}

h t H s

g t G s

LL

האם מכאן נובע כי , השאלה הנשאלת היא???

( ) ( ) ( )y t h t g t ? התשובה .לשאלה זו היא שלילית

72

משפט( 21.1.1)

)אם הפונקציה )Y s אזי ( 21.2)ואם מתקיימות , (21.1)בצורה ניתנת להצגה: (21.3 )

1

0 0

( ) { ( )} ( ) ( ) ( ) ( )t t

y t Y s h t g d h g t d L

)הפונקציה : הערה )y t הקונבולוציה של נקראת ( 21.3)המוגדרת בנוסחא

נסמן . טגרל הקונבולוציהאינהאינטגרל בנוסחא נקרא .h-ו gהפונקציות

( ) ( )( )y t h g t

:למשל, לפעולת הקונבולוציה קיימות רוב התכונות הקיימות בכפל רגיל

1 2 1 2( )

( ) ( )

0 0 0

h g g h

h g g h g h g

f g h f g h

f f

1fלא מתקיים , באופן כללי, יחד עם זאת f . למשל אם

( ) cos( )f t t:

00

( 1)( ) cos( ) sin( ) sin cost

t

f t t d t t t

פלס הפוכה באמצעות קונבולוציה-התמרת לה– 33-34דוגמאות

נתונה 2 2 2

( )( )

aY s

s s a

.פלס ההפוכה-את התמרת להונבקש למצוא

: נעבוד בדרך הבאה , אם אין ברצוננו לעבוד עם שברים פשוטים

2 2 2

( ) ( )

1 1( )

H s G s

Y ss s a

)כעת ידוע כי ) ; ( ) sin( )h t t g t at ולכן לפי הקונבולוציה:

1

0

20 0

( ) { ( )} ( ) sin( )

sin( )sin( ) sin( )

t

t t

y t Y s t a d

at att a d a d

a

L

.א

.ב .ג

.ד

אינטגרציה בחלקים מיידי ' אינט, בימין

.בשמאל

73

:נתבונן בבעיית ההתחלה הבאה, דוגמא נוספת

'' 4 ( )

(0) 3; '(0) 1

y y g t

y y

}נסמן ( )} ( )y t Y sL ,{ ( )} ( )g t G sL ,כעת נבצע התמרה והצבות: 2

2

2 2 2 2 2 2 2

( ) (0) '(0) 4 ( ) ( )

( )[ 4] ( ) 3 1

( ) 3 1 1 2 1 2( ) ( ) 3

4 4 2 2 4 2 2

s Y s sy y Y s G s

Y s s G s s

G s s sY s G s

s s s s s

:ולבסוף

1

0

1 1( ) { ( )} 3cos(2 ) sin(2 ) ( ) sin(2 )

2 2

t

y t Y s t t g t d L

gתן לי כל פונקציה "החלק הזה בפתרון אומר בעצם "ואתן לך את הפתרון

74

פתרון משוואות דיפרנציאליות באמצעות טורי חזקות

פונקציה אנליטית

טורי חזקות –חזרה קצרה

: בצורתו הכללית נראה כך טור חזקות0

0

( )n

nn

a x x

0 רדיוס התכנסותלכל טור חזקות ישנו R .

)כי אם פונקציה , ידוע לנו )f x מוגדרת בסביבת הנקודה0

x ומקיימת שם מספרלטור אזי ניתן לפתחה , (אשר לא נלאה בהם את הקורא כעת)תנאים מסוימים

בצורה הבאה סביב הנקודה טיילור0

x x : ( )

0

00

( )( ) ( )

!

n

n

n

f xf x x x

n

:הגדרה

)פונקציה )f x פונקציה אנליטית בנקודה נקראת0

x אם ניתן לפתחה לטור

טיילור סביב הנקודה 0

x , (.שאינו אפס)המתכנס עם רדיוס התכנסות חיובי

מכפלה ומנה , הפרש, נובע כי סכום, ת של טורי חזקותומתכונות יסודיו, מהגדרה זו

של שתי פונקציות אנליטיות בנקודה 0

x - גם כן יתנו פונקציה אנליטית באותה .הנקודה

פתרון של משוואות דיפרנציאליות סביב הנקודה הרגולרית

:נתבונן במשוואה הבאה

(22.1 ) ( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0P x y x Q x y x R x y x

ואנחנו נראה כי השיטה שנפתח תישאר , היא משוואה הומוגנית( 22.1)משוואה .הומוגניות-נכונה ללא שום שינוי גם עבור משוואות לא

,קיים סוג רחב של בעיות בהן הפונקציות ,P Q R כי , יש לציין. הן פולינומים, בנוסף לזאת. וגזירה בכל מקוםמשום שהיא רציפה , פולינום מהווה פונקציה נוחה

פולינום מהווה פונקציה אנליטית כל נקודה 0

x.

)אם : הגדרה ) 0P x , אזי הנקודה0

x של משוואה נקודה רגולריתנקראת

קיימת סביבה של , במקרה כזה(. 22.1)0

x , ( 22.1)בה נוכל לחלק את המשוואה

)בפונקציה )P x ולהביאה לצורה הבאה:

(22.2) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0y x p x y x q x y x

75

המרכזי של השיטה סביב הנקודה הרגולרית הוא כי הפתרון ניתן להצגה ןהעיקרו :בצורת ההנחה הבאה

(22.3)

0 1 0 0 00

( ) ( ) ( ) ( )n n

n nn

y x a a x x a x x a x x

:מטרותינו יהיו אם כן

למצוא את כל המקדמים .אn

a (.22.3)של טור

(.22.3)למצוא את רדיוס ההתכנסות של טור .ב

תואם את כל התוצאות היסודיות עבור הפתרון של ( 22.3)להסביר כי טור .ג .תליניאריומשוואות

:נסביר באמצעות דוגמא

ביב הנקודה הרגולריתפתרון משוואה ס – 35דוגמא

)נביט במשוואה ) 1; ( ) 0; ( ) '' 0P x Q x R x x y xy

)מכיוון שהפונקציה )P xאזי כל נקודה , אינה מתאפסת באף נקודה0

x היאלכן ננסה לבנות את הפתרון סביב . נקודה רגולרית עבור המשוואה הנתונה

00x .ננסה לחפש פתרון מהצורה , במילים אחרות :

0

( ) n

nn

y x a x

.

: נחשב נגזרות

1 2

1 2

'( ) , ''( ) ( 1)n n

n nn n

y x n a x y x n n a x

:כעת נציב הטורים במשוואה המקורית ונקבל

2 1

2 0

( 1) 0n n

n nn n

n n a x a x

:י משחק עם האינדקסים"וזאת ע, ריםושני הטו xכעת נשאף להשוות חזקות של

2 10 1

( 2)( 1) 0n n

n nn n

n n a x a x

ונקבל:

2 2 11

2 2 1

2 [( 2)( 1) ] 0

0 ( 2)( 1) 0

n n

n nn

n n

a n n a x a x

a n n a a

76

:נרשום את החלק הימני של התוצאה שבמסגרת בצורה הבאה

)*( 1

2( 2)( 1)

n

n

aa

n n

עבור טור הפתרון של נוסחת הנסיגה של המקדמיםנקראת )*( נוסחא : הערה . המשוואה המקורית

".3בקפיצות של "כי ניתן למצוא את המקדמים , נובע)*( ממשוואה

0 3 6 3

1 4 7 3 1

2 5 8 3 20

n

n

n

a a a a

a a a a

a a a a

:מכאן נוכל לחשב מספר מקדמים

0 3 0 0

3 6 3

1 4 1 1

4 7 3 1

; ; ;2 3 5 6 2 3 5 6 2 3 5 6 (3 1)(3 )

; ; ;3 4 6 7 3 4 6 7 3 4 6 7 (3 )(3 1)

n

n

a a a aa a a

n n

a a a aa a a

n n

: לפי ההנחה , כעת2

0 1 2( ) n

ny x a a x a x a x ונקבל: 3 6 3

0

4 7 3 1

1

0 1 1 2

( ) 12 3 2 3 5 6 2 3 5 6 (3 1)(3 )

3 4 3 4 6 7 3 4 6 7 (3 )(3 1)

( ) ( )

n

n

x x xy x a

n n

x x xa x

n n

a y x a y x

המופיעים יחד עם נניח כי הטורים 1 0,a a מתכנסים ויש להם תחום התכנסות

אזי נוכל להציג את הפתרון בצורה , משותף0 1 1 2

( ) ( )a y x a y x.

במהלך האנליזה לא היו מגבלות בכלל על המקדמים 1 0,a a ולכן נוכל לצרף אליהם

ל את תפקידיהם המסורתיים ש1 2,C C אם ניקח פעם , נוסף לזאת. הקבועים

1 00, 1a a ופעם

1 01, 0a a נקבל כי

1 2( ), ( )y x y x שניהם

לפי התוצאות היסודיות על הפתרון הכללי של . פתרונות של המשוואה המקורית

ק לבדוק כי מספי, תליניאריומשוואות 1 2

( , )( ) 0W y y x אינו מתאפס ! בנקודה ספציפית אחת

1 2

1 2

1 2

(0) (0) 1 0( , )(0) 1 0

'(0) '(0) 0 1

y yW y y

y y

W בכל הקטע -ולכן , שונה בנקודה אחת.

77

:למבר 'לפי ד, כעת נחפש רדיוס התכנסות

1

1

2 3 5 6 (3 1)(3 ) (3 2)(3 3)( ( )) lim

2 3 5 6 (3 1)(3 )n

nn

a n n n nR y x

a n n

והטור 1( )y x מתכנס עבור כלx ממשי.

דומה ניתן להראות כי באופן 2

( ( ))R y x ותם התרגיל. גם כן....

לפתח את הפתרון סביב הנקודה , לשם הספורט, כעת ננסה0

1x . כי אנו , מכאן

מחפשים פתרון מהצורה 0

( ) ( 1)n

nn

y x a x

.נחשב נגזרות:

1 2

1 2

'( ) ( 1) , ''( ) ( 1) ( 1)n n

n nn n

y x n a x y x n n a x

:נכתוב אותה מחדש בצורה הבאה, י שנוכל להציב במשוואה בנוחותבכד

'' '' ( 1 1) '' ( 1) 0y xy y x y y x y y

: כעת במשוואה יהיו שלושה טורים במקום שניים .כמו בפיתוח הראשון" סידורים"נבצע אותם

2 1

2 0 0

2 10 1 0

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0

( 2)( 1) ( 1) ( 1) ( 1) 0

n n n

n n nn n n

n n n

n n nn n n

n n a x a x a x

n n a x a x a x

0nכעת נטפל בטורים ימין ושמאל עבור :

2 0 2 11

2 0 2 1

0 1

2 2

2 [( 2)( 1) ]( 1) 0

2 0 ( 2)( 1) 0

2 ( 2)( 1) ( 2)( 1)

n

n n nn

n n n

n n

n

a a n n a a a x

a a n n a a a

a a aa a

n n n n

:נחשב מספר מקדמים ראשונים

0 1 1 2 0 1 2 3 0 1

3 4 4; ;

6 6 12 12 24 12 20 20 30 120

a a a a a a a a a aa a a

78

:ננסה כעת לרשום את הפתרון

0 1

2 3 4 5

0

3 4 5

1

0 3 1 4

( ) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1

2 6 24 30

( 1) ( 1) ( 1)( 1)

6 12 120

( ) ( )

n

ny x a a x a x

x x x xa

x x xa x

a y x a y x

נוכל לרשום כי הפתרון הוא מהצורה , בהנחה שהטורים מתכנסים בתחום משותף

0 3 1 4( ) ( )a y x a y x.

:סיכומים עד כה

פרט לשאלה , לו בדוגמא הקודמתבבעיה זו אנו יכולים לענות על כל השאלות שנשאהסיבה לכך היא שנוסחת הנסיגה של . "?מהו רדיוס התכנסות של הפתרון : "אחת

. שניים בלבד –ובבעיה הקודמת , המקדמים בבעיה זו מכילה שלושה מקדמיםה הרבה יותר מסובכת בצורנוסחת הנסיגה של המקדמים התקבלה , במילים אחרות

יחד עם . למבר'ולא הצלחנו לבנות את הנוסחא הכללית ולהשתמש בקריטריון ד, נרצה לציין כי גם במקרים כאלה קיימת אפשרות לקבוע היכן מתכנס הפתרון, זאת

והדבר אינו תלוי כלל באם אנו יכולים או לא יכולים לבנות את הנוסחא הכללית של יותר חשוב לבנות את נוסחת הנסיגה של המקדמים הרבה, שוב נציין. המקדמים

.ובעזרת לחשב כמה מקדמים שנרצה

סיכומים עבור הפתרון סביב הנקודה הרגולרית

(23.1) ( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0P x y x Q x y x R x y x

,הפונקציות שבה ( 23.1)נתבונן במשוואה ,P Q R הן פונקציות רציפות בסביבת

הנקודה 0

x . אם בנקודה0

x הפונקציה( ) 0P x אזי נוכל , אינה מתאפסת :בצורה( 23.1)להציג את משוואה

(23.2) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0y x p x y x q x y x :כאשר

(23.3) )(

)()(

xP

xQxp ;

)(

)()(

xP

xRxq

הנקודה אם 0

x אז הפונקציות , (23.2)או ( 23.1)היא נקודה רגולרית של משוואה

( ), ( )p x q x הן פונקציות אנליטיות סביב הנקודה0

x , ואז ניתן לפתחן לטורי :טיילור המתכנסים עם רדיוסי התכנסות חיוביים

79

(23.3.1 )

00

00

( )( ) ( ) ; [ ( )] 0

( )

( )( ) ( ) ; [ ( )] 0

( )

n

nn

n

nn

Q xp x p x x R p x

P x

R xq x q x x R q x

P x

פתרון אנליטי אשר ניתן ([ 23.2)או ( ]23.1)תמיד קיים למשוואה , במקרה כזה

:להציגו בצורה

(23.4 ) 0

0

( ) ( )n

nn

y x a x x

הוא תמיד יתקבל , במשוואה המקורית( 23.4)כי אם נציב את פתרון , יש לציין :בצורה

0 1 1 2( ) ( ) ( )y x a y x a y x

:כאשר

(23.5)

2 3

1 2 0 3 0

2 3

2 0 2 0 3 0

( ) 1 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

y x a x x a x x

y x x x b x x b x x

כך שמתקיים 1 2 0

( , )( ) 1 0W y y x , והדבר מבטיח כי1 2,y y הם פתרונות

אזי , אם לא נתונים לנו תנאיי התחלה. תלויים של המשוואה-יסודיים ובלתי

המקדמים 0 1,a a ותייםנשארים שריר.

פתרון המשוואה יהיה בעל רדיוס התכנסות אשר יקיים את התנאי, כמו כן

(23.6) min{ [ ( )], [ ( )]}R R p x R q x

:קיימות שתי דרכים לקביעת מינימום לרדיוס ההתכנסות

)לחשב רדיוסים עבור הטורים .א ), ( )p x q x ולבחור את הקטן מביניהם.

P,ם המשפט הטוען כי מנתם של שני פולינומים בתורת הפונקציות קיי .ב Q

בהנחה כי )תמיד ניתנת לפיתוח לטור טיילור מתכנס 0

( ) 0P x ) וכן :שמתקיים

0,

( )( )

( )

Q xR dist x

P x

' השורש הקרוב של הפו

( )P x ,השונה מ-0

x

80

מת אפשרות כי הפונקציה היא קיי, Pכי בחישוב השורש הקרוב של , יש לזכור :לדוגמא, בעלת שורשים מרוכבים

2 4 6

2 0

2 2 2

11 ; 1, 0

1

( ) 1 0 1

Q

P

x x x x xx

P x x x i R i

P,-אנו מניחים כי ל: הערה Q לאחר צמצום במידה , א"ז)אין גורמים משותפים (.וצריך

נדר'ג-משוואת לה

:נתבונן במשוואה2

( )( ) ( )

(1 ) '' 2 ' ( 1) 0 .Q x

P x R x

x y x y y const

פתרון סביב הנקודה נבקש לפתח 0

0x .

1Rכבר בשלב זה ניתן לדעת כי . ונגזרותיםכעת נחשב טורים:

1

0 1

2

22 0

( ) ; '( ) ;

''( ) ( 1) ( 2)( 1)

n n

n nn n

n n

n nn n

y x a x y x n a x

y x n n a x n n a x

:נציב במשוואה המקורית

20 2 1 0

( 2)( 1) ( 1) 2 ( 1) 0n n n n

n n n nn n n n

n n a x n n a x n a x a x

0nנבדוק מה קורה כאשר :

2 0 0 2

( 1)2 1 ( 1) 0

2a a a a

1nנבדוק מה קורה כאשר :

3 1 1 1 3

1 3

( 1) 23 2 2 ( 1) 0

6

( 1)( 2)

6

a a a a a

a a

" נסדר"הבה נחסוך זמן וכבר מראש את האינדקסים והחזקות בהתאם

.לרצוננו

81

2nנבדוק מה קורה כאשר ( :ונקבל נוסחת , כאן כבר מתחשבים בכל הטורים : נסיגה למקדמים

2

2 2

2

2

( 2)( 1) [ ( 1) 2 ( 1)] 0

( 1) 2 ( 1)

( 2)( 1) ( 2)( 1)

( )( 1)

( 2)( 1)

n n

n n n

n n

n n a a n n n

n n n n na a a

n n n n

n na a

n n

:קדמיםנחשב עוד מספר מ

4 2 0

5 3 0

( 2)( 3) ( 1)( 2)( 3)

4 3 4!

( 3)( 4) ( 1)( 3)( 2)( 4)

5 4 5!

n na a a

n na a a

!נחתור לקבלת הפתרון

2 4

0

2

3 5

1

2

( 1) ( 1)( 2)( 3)1

2! 4!( )

( 2)( 4) ( 2 2)( 1) ( 2 1)( 1)

(2 )!

( 1)( 2) ( 1)( 3)( 2)( 4)

3! 5!

( 1)( 3) ( 2 1)( 2) ( 2 )( 1)

(2 1)!

m m

m m

nx x

y x am m

xm

nx x x

am m

xm

1

0 1 1 2( ) ( )a y x a y x

אלא 1-שווה ל-נקבל כי הרדיוס אינו רק גדול, למבר'אם נפעיל את קריטריון ד

:1 בדיוקשהוא

(2 1)(2 2)lim lim 1

( 2 )( 2 1)n

n nn a

a m mR

a m m

,שאם , יש לציין 0 אחד הטורים המופיעים אזי , מספר שלם וחיובי

עם 0 1,a a פתרון פולינומיאלי של משוואת להיתקבל בצורת פולינום סופי ויקרא-

:לדוגמא. נדר'ג

2 3

1 2 3

51 ( ) ; 2 ( ) 1 3 ; 3 ( )

3P x x P x x P x x x

82

ב'ביצ'משוואת צ

83

פתרון של משוואות דיפרנציאליות סביב הנקודה הסינגולרית

(24.1 ) ( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0P x y x Q x y x R x y x

סביב הנקודה ( 24.1)נתבונן במשוואה 0

0x , כאשר0

( ) 0P x .במקרה כזה ,

הנקודה 0

x עבור נקודה סינגולרית כבר . נקודה סינגולרית של המשוואהנקראת

לא יהיו פונקציות qאו pמפני שאו , לא נוכל להשתמש בתיאוריה הקודמת

אנליטיות סביב הנקודה 0

x.

הנקודה : הגדרה0

x אם קיימים שני הגבולות נקודה סינגולרית רגילהתקרא:

(24.2) 0 0

0 0

0 0

2 2

0 0

( )lim( ) lim( ) ( )

( )

( )lim( ) lim( ) ( )

( )

x x x x

x x x x

Q xx x x x p x

P x

R xx x x x q x

P x

,גמאלדו2

( )( ) ( )

(1 ) '' 2 ' ( 1) 0Q x

P x R x

x y x y y נדר בה 'ג-משוואת לה( ) 0P x

1xכאשר . 1בנקודה 24.2)נבדוק את קיום הגבולותx :

021

2

1

2 2 ( 1)lim( 1) lim 1

1 ( 1)( 1)

( 1)lim( 1) 0

( 1)( 1)

x x x

x

x x xx

x x x

xx x

משוואת אוילר

(25.1) 2

0 0( ) '' ( ) ' 0a x x y b x x y cy

,כאשר ,a b c 0קבועים וכןa . מספיק לחקור המשוואה סביב0

0x .

(25.1.1) 2 '' ' 0ax y bxy cy

קיום הגבולות מוכיח כי הנקודה

1x היא נקודה סינגולרית נדר'ג-רגילה של משוואת לה

84

עבור הנקודה הסינגולרית ( 24.2)נחשב את שני הגבולות 0

0x .

20

2

20

lim

lim

x

x

bx bx

ax a

c cx

ax a

:הנחה לגבי פתרונה של משוואת אוילר

(25.2) 1 2( ) ; '( ) ; ''( ) ( 1)r r ry x x y x rx y x r r x

:ונקבל( 25.1.1)נציב את הנגזרות וההנחה במשוואה המקורית

(25.3) 0

[ ( 1) ] 0rx ar r br c

:אם ורק אם

(25.4) ( 1) 0ar r br c

יש לציין כי . המשוואה האינדיציאלית של משוואות אוילרנקראת ( 25.4)ה משוואהוא השורש rוקובעת כי אם , rזוהי משוואה ריבועית ואלגברית ביחס לפרמטר

אזי הפונקציה , שלהrx (25.1.1)ון של משוואת אוילר מהווה פתר( 25.2)מנוסחא .

(.25.4)כי נצטרך לדון בכל שלושת האפשרויות לגבי שורשיה של משואה , מכאן נובע

0xיש לציין כי האנליזה תהיה נכונה בינתיים לכל : הערה ולאחר מכן , חיובי .שליליים xנסביר כיצד להרחיב האנליזה גם עבור ערכי

. א1 2r r שני שורשים ממשיים ושונים

1 :אזי 2

1 2( ) ; ( )r ry x x y x x נבנה ורונסקיאן:

1 2

1 2 1 1

1 2

2 1

1

2 1

1 2

( , ) ( ) 0

r r

r r r r

r rr r

x xW x x r r x

r x r x

1 :והפתרון הכללי של יהיה מהצורה 2

1 2( ) r r

totaly x C x C x

.ב1 2

r r r ם ממשיים וזהיםשורשי

: אזי1 2( ) ; ( ) lnr ry x x y x x x

ולכן , הגבולות הללו קיימים תמיד

הנקודה 0

0x יא נקודה ה .סינגולרית רגילה

r כאשר פרמטר קבוע

85

ראה )אם נבצע פעולות דומות לאילו שפיתחנו עבור משוואות עם מקדמים קבועים , בלתי תלוי בפתרון הראשון, אזי נקבל פתרון שני של משוואת אוילר, (פרק בנידון

1 :ולכן 2( ) lnr r

totaly x C x C x x

r. ג i 0כאשר, ,

: במקרה הזה 1,2

( ) i iy x x x x

ln ln

1 2

1 2

cos( ln ) sin( ln )

( ) cos( ln ); ( ) sin( ln )

( ) [ cos( ln ) sin( ln )]

i ii x x

total

x e e x x

y x x x y x x x

y x x C x C x

שליליים xהכללת הפתרון עבור ערכי

0xאם אזי נגדירt x 0כך שנקבלt . ניקח( ) ( )u t y x ונחליף :כעת נחפש את נגזרות הפתרון לפי כלל השרשרת, (25.1.1)במשוואה המקורית

'( ) '( ) ( 1)

'( )''( ) ( 1) ''( )

dy du dty x u t

dx dt dx

d dy du ty x u t

dx dx dt

:וכאשר נציב נקבל

(25.5) 2 ''( ) '( ) ( ) 0at u t btu t cu t

לא נצטרך , שליליים xערכי אשר עוברים לשכ, נובע( 25.5)ממשוואה : סיכום

.xב xרק נחליף את , ובנוסחאות שהתקבלו, לפתח שום נוסחא חדשה

86

הומוגנית-משוואות אוילר לא

(26.1) 2 '' ' ( )ax y bxy cy f x

ln :נשתמש בהחלפת המשתנים הבאה zz x x e ונחשב נגזרות

2

2 2

1' '( )

1 1 1 '( )'' ' '( ) '( )

1 1'( ) ''( )

dy dy dzy y z

dx dz dx x

d d dy z dzy y y z y z

dx dx x x x dz dx

y z y zx x

2

2 2

1 1 1'( ) ''( ) '( ) ( ) ( )zax y z y z bx y z cy z f e

x x x

(26.2 ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( )zay z b a y z cy z f e

עם מקדמים , הומוגנית-ולא תליניארי, מהווה משוואה מסדר שני( 26.2)המשוואה ידועים או וריאציית הפרמטרים -תה לפי שיטת המקדמים הלאונפתור או, קבועים

!!!(לא לשכוח במקרה כזה להעביר את המשוואה לצורתה הסטנדרטית )

התיאוריה הכללית לפיתוח סביב הנקודה הסינגולרית הרגילה

(27.1) ( ) ''( ) ( ) '( ) ( ) ( ) 0P x y x Q x y x R x y x

כאשר 0

( ) 0P x הגבולותוכן קיימים בו זמנית:

(27.2) 0

0

0

2

0

( )lim( )

( )

( )lim( )

( )

x x

x x

Q xx x

P x

R xx x

P x

נציב התוצאות במשוואה , כעת :המקורית

ניתן , בלי הגבלת הכלליות

לבחור 0

0x ולהציג ( :27.3)בצורה

87

(27.3) 0 0

0 0

0

2 2

0

( )lim lim ( )

( )

( )lim lim ( )

( )

x x x x

x x x x

Q xx xp x p

P x

R xx x q x q

P x

נובע כי הפונקציות ( 27.3)מנוסחאות 2( ), ( )xp x x q x הן פונקציות אנליטיות

בנקודה 0

x , וניתן להציגן בצורה :

(27.4) 2

0 0

( ) ; ( )n n

n nn n

xp x p x x q x p x

. מתכנסים עם רדיוסים חיוביים( 27.4)-כאשר הטורים ב

)בפונקציה ( 27.1)כעת נחלק את משוואה מקורית )P x ,ומייד נכפול ב-2x:

2 2 2'' ( ) ' ( ) 0x y x p x y x q x y

(27.5) 2 2'' [ ( )] ' [ ( )] 0x y x xp x y x q x y

:ונקבל( 27.3)את הטורים האנליטיים ( 27.5)אה נציב במשוו

(27.6)

2 2 2

0 1 2 0 1 2'' [ ] ' [ ] 0x y x p p x p x y q q x q x y

אז נוכל לראות כי התנהגותה של משוואה , יותר ויותר 0-אם נתחיל להתקרב ל

: תהיה דומה מאוד התנהגותה של המשוואה הבאה ( 27.6)

(27.7) 2

0 0'' ' 0x y xp y q y

. (27.1)משוואת אוילר המתאימה למשוואה מקורית את נקר( 27.7)משוואה

מתנהג באופן זהה לזה של ( 27.1)כי הפתרון של משוואה מקורית , מאנליזה זו נובע

בקרבת הנקודה( 27.7)משוואת אוילר 0

x . נוכל לומר , (27.6)-ל( 27.7)אם נשווה את : ן לחפשו בצורה הבאה נית( 27.1)כי הפתרון במשוואה מקורית

(27.8) 0 0

( ) r n n r

n nn n

y x x a x a x

.r const פרמטר

:אנו חייבים, (27.8)כאשר אנו נחפש פתרון בצורה

.היא אכן הפתרון( 27.8)עבורם נוסחא rלמצוא את ערכי .א

למצוא נוסחת נסיגה עבור המקדמים .בn

a אשר בתוך הטור.

.למצוא את רדיוס ההתכנסות של הפתרון .ג

88

שימוש במשוואת אוילר לפתרון סביב הנקודה הסינגולרית – 36דוגמא

נתבונן במשוואה22 '' ' (1 ) 0x y xy x y כאשר:

2( ) 2 ; ( ) ; ( ) (1 )P x x Q x x R x x . קל לראות כי קיימת נקודה

-ב סינגולרית רגילה 0

0x שכן:

2

0 02 20 0

1 1 1lim ;lim

2 2 2 2x x

x xx p x q

x x

: משוואת אוילר המתאימה תתקבל בצורה הבאה

2 21 1'' ' 0 2 '' ' 0

2 2x y xy y x y xy y

: נחפש פתרון ונגזרות בצורה הבאה

1 2

0 0 0

( ) ; '( ) ( ) ; '( ) ( )( 1)n r n r n r

n n nn n n

y x a x y x n r a x y x n r n r a x

ואה במשו, לא במשוואת אוילר המתאימה)נציב הטורים במשוואה המקורית

...(:המקורית

1

0 0 0 0

11

2 ( )( 1) ( )

" " " " 0

n r n r n r n r

n n n nn n n n

n r

nn

n r n r a x n r a x a x a x

a x

0nכעת נטפל במקרה בו : 0

[2 ( 1) 1] 0ra x r r r

אנו רוצים לציין כי תפקידו של , לפי המבנה של הפתרון0

a הוא לשמור על הקשר

לכן . המתאימה לה לבין משוואת אוילר, בין המשוואה המקורית0

a בשום אופן

0אינו יכול להתאפס 0a . 2 : ונקבל ( 1) 1 0r r r

. המשוואה האינדיציאלית במשוואה המקוריתהמשוואה האחרונה נקראת

ציאלית זהה לחלוטין למשוואה האינדי, כי המשוואה שהתקבלה, יש לציין .במשוואת אוילר המתאימה למשוואה המקורית

2

1 2

12 ( 1) 1 0 2 3 1 0 3,

2r r r r r r r

89

1nהחל מ (בהשמטת המקדמים החיוביים תמיד) והלאה נקבל :

1

1[2 ( 1) 1] 0

2 ( 1) 1n

n n n

aa r r r a a

r r r

: ובאופן נוח יותר ! ונוסחת הנסיגה של המקדמים התקבלה

1

( 1)(2( ) 1)n

n

aa

n r n r

:נתחיל לטפל בנוסחת הנסיגה עבור כל שורש בנפרד

. א1

1r r

)1: נוסחת הנסיגה תתקבל כך 1)(2 1)

n

n

aa r

n n

:נחשב מקדמים,

1

0 1 0 2 0

1 2 3

0

1 00 0

; ;1 3 2 5 (1 2)(3 5) 3 7 (1 2 3)(3 5 7)

( 1)![3 5 7 (2 1)]

( 1)( )

![3 5 7 (2 1)]

n

n

n n

r n

nn n

a a a a aa a a

aa

n n

xy x x a x a x

n n

.ב2

12

r r

1: נוסחת הנסיגה תתקבל כך 112

12

( )( )2 (2 1)

n n

n

a aa r

n n n n

,

:נחשב מקדמים

0 1 0

1 2

0

1

22

1

; ;1 1 2 3 (1 2)(1 3)

( 1)![1 3 5 7 (2 1)]

( 1)( )

![1 3 5 7 (2 1)]

n

n

n n

nn

a a aa a

aa

n n

xy x a x

n n

שורשי המשוואה האינדיציאלית

)ביחס ל )n r

90

: והפתרון הכללי יהיה בצורת1 1 2 2

( ) ( ) ( )total

y x C y x C y x . : למבר'הרי שקל להשתמש בד, לגבי רדיוס ההתכנסות של הפתרון

1 2

1

lim lim (2 1) ;n

n nn

aR n n R

a

.והפתרון יהיה נכון בכל קטע אשר אינו מכיל את אפס

הערות לבעיה וסיכומים

הבעיה הזאת מראה לנו כי קיימים מקרים בהם קיימים במשוואה שני .א

)*( פתרונות בלתי תלויים מהצורה0

( )r n

nn

y x x a x

.

-ונמצאת ב, 0אם הנקודה הסינגולרית היא אינה , באופן אנאלוגי .ב0

x , אזילמשוואה שני פתרונות בלתי תלויים מהצורה קיימים מקרים בהם קיימים

)**(0 0

0

( ) ( )r n

nn

y x x x a x x

.

קיימים מקרים בהם קיים למשוואה רק , כמו במשוואת אוילר, יחד עם זאת .ג

, )**(או )*( פתרון אחד בצורה 1 2r r .בעל , במקרים כאלה הפתרון השני

.יתמייכלול חלק לוגר, צורה מסובכת יותר

שכאשר השורשים של המשוואה האינדיציאלית הם , יש לציין, כמו כן .דאז , ממשיים ושונים זה מזה כך שההפרש ביניהם הוא מספר שלם וחיובי

ולשורש הקטן , מתאים רק לשורש הגדול ביניהם)**( או )*( הפתרון בצורה .מתאים פתרון עם צורה מסובכת יותר

אז ברור כי הם , אלית הם מרוכביםאם השורשים של המשוואה האינדיצי .הבמילים . לעולם לא יהיו שווים זה לזה והפרשם לעולם לא יהיה מספר שלם

)**(.או )*( תמיד יהיו במשוואה שני פתרונות מהצורה , אחרות

דוגמא נוספת לפתרון באמצעות משוואת אוילר – 37דוגמא

2 : נתבונן במשוואה '' ' 0xy y xy ,צא גבולות רלוונטיםנמ:

2

0 00 0

1lim ;lim 0

2 2 2x x

x xp x q

x x

: המשוואה האינדיציאלית

2

0 0

1 1( 1) ( 1)

2 2r r p r q r r r r r ולכן :

1 2

1; 0

2r r .

:ונמצא את נגזרותיו, נניח פתרון בצורה המוכרת

91

2

20 2

1

0

2

0

( )

'( ) ( )

''( ) ( 1)( )

n r n r

n nn n

n r

nn

n r

nn

y x a x a x

y x n r a x

y x n r n r a x

:המקורית. נציב במ

2 1 1

20 0 2

2 ( 1)( ) ( ) 0n r n r n r

n n nn n n

n r n r a x n r a x a x

נמצא מה קורה בשני האיברים , הטורים" קיפול"לשם השוואת האינדקסים ו :הראשונים

0n : 1 2 1

20 1 2[2( 1) ] 0 2 0 ; 0ra x r r r r r r r

1n :

1 1[2( ) 1 ] 0 0ra x r r r a וזאת שכןr כבר נקבע באופן סופי.

...יתן להמשיךומכאן נ

92

(המשך)סיכום התיאוריה –הפתרון סביב הנקודה הסינגולרית הרגילה

(28.1 ) 2 2'' [ ( )] ' [ ( )] 0x y x xp x y x q x y

אם הנקודה 0

0x אזי הפונקציות , היא נקודה סינגולרית רגילה 2( ), ( )xp x x q x ויהיה ניתן להציגן . ל"הנקודה הנהן פונקציות אנליטיות סביב

: המכנסים עם רדיוסים חיוביים( 28.2)י טורי טיילור בנוסחא "ע

(28.2) 2

0 0

( ) ; ( )n n

n nn n

xp x p x x q x q x

:כמו כן ידועים לנו הגבולות

(28.3) 2

0 00 0

lim ( ) ;lim ( )x x

xp x p x q x q

: (28.1)המתאימה למשוואה המקורית ( 28.4)וניתן לבנות את משוואת אוילר

(28.4) 2

0 0'' ' 0x y p xy q y

:בצורה( 28.1)במקרה כזה ניתן לחפש פתרון של משוואה מקורית

(28.5) 0 0

( ) r n n r

n nn n

y x x a x a x

כאשר0

0a

ונבצע , (28.1)במשוואה המקורית ( 28.3)-ו( 28.2)אם נציב את הטורים מנוסחאות :אזי נקבל, לות הנדרשות בין הטוריםאת כל הפעו

(28.6)

1

01 0

( ) ( ) [( ) 0n

r n r

n k n k n kn k

a F r x F r n a a n k p q x

:כאשר

(28.7) 0 0

( ) ( 1)F r r r p r q ,מכיוון ש0

0a כי ( 28.6)-נובע מ:

(28.8) ( ) 0F r משוואה אינדיציאלית

תמיד מתקבלת בצורה זהה לחלוטין למשוואה ( 28.8)כי משוואה , יש לציין

-נסמן ב(. 28.4)האינדיציאלית של משוואת אוילר 1 2,r r את השורשים של משוואה

ואם (. 28.8)1 2,r r אזי ניתן לסמן בלי הגבלת הכלליות , ממשיים

1 2r r.

:נוכל לקבל את נוסחת הנסיגה של המקדמים( 28.6)וואה ממש, לאחר מכן

(28.9) 1

0

( ) [( ) ] 0n

n k n k n kk

F n r a a n k p q

, 1n

93

כי הערך של , נובע( 28.9)מנוסחא n

a תלוי בערכו של הפרמטרr , וכן בכל

המקדמים 0 1, ,

na a

ולכן ברור כי . שקודמים לו

na תלוי גם במקדמים

0 0,p q (.28.2)מנוסחא

אם . 11 2,r r וכן , ממשיים

1r אזי ברור לנו , הוא השורש הגדול מבין השניים

כי 1

( ) 0F r n לכלn , המתאים ( 28.5)ולכן תמיד קיים פתרון מהצורה

לשורש 1r.

אם ההפרש בין . 21 2,r r אזי גם , מספר שלם אינו

2( ) 0F r n לכלn , ואז

-ניתן לבנות את הפתרון השני המתאים ל 2

r (.28.5)גם כן בצורה

אם . 31 2

*r r n כאשר*n אזי מתקיים כי , הוא משספר שלם

2

( *) 0F r n , והחל מהאיבר*n

a עקב , לא נוכל יותר לחשב מקדמים !יהיה קיים עבור השורש הגדול בלבד( 28.5)הפתרון בצורה , ולכן. 0-חלוקה ב

אם . 41 2,r r וההפרש , אז הם לעולם לא יהיו שווים זה לזה, הם מספרים מרוכבים

(.28.5)יד יהיו שני פתרונות בצורה ולכן תמ –ביניהם לעולם לא יהיה מספר שלם ניתן להשתמש , (28.5)כי לחישוב רדיוס ההתכנסות של הפתרון בנוסחא , יש לציין. 5

. באותם הנימוקים שפותחו עבור נקודה רגולרית

אז הביטוי , שליליים xאם הקטע בו אנו נמצאים מכיל ערכי , ולבסוף. 6rx יוחלף

בביטוי r

x.

אם מתקיים כי . 71 2r r אזי:

2 1

1

( ) ( )ln n r

nn

y x y x x b x

אם מתקיים כי . 81 2

*r r n , אזי:

2

2 10

( ) ( )ln n r

nn

y x Cy x x c x

94

האנדיציאלית סביב הנקודה הסינגולרית שורש כפול למשוואה – 38דוגמא

:נתבונן במשוואה2 '' ' (1 ) 0x y xy x y 0בקטעx .

ידוע לנו כי 0

0x ידוע כי המשוואה . היא נקודה סינגולרית רגילה במשוואה זו :ופתרונותיה הם, האינדיציאלית במשוואה

2

1 22 1 0 1r r r r r

ידוע כי הפתרון 1( )y x יתקבל בצורה:

2 3 1

1 0 2 20

1 1 1 1( ) 1

4 36 ( !) ( !)

n n

n

y x a x x x x xn n

נחפש פתרון 2( )y x מהצורה :

1

2 11

( ) ( )ln n

nn

y x y x x b x

ונגזור:

2 1 11

1

2 1 1 1 21

1'( ) '( ) ln ( ) ( 1)

1 1'( ) ''( ) ln 2 '( ) ( ) ( 1)

n

nn

n

nn

y x y x x y x n b xx

y x y x x y x y x n n b xx x

אם נציב את 2( )y x נקבל כי , ושתי נגזרותיו במשוואה המקורית

2 11

1 1 21

1

1 1 11 1

1 ( )''( ) ln 2 '( ) ( 1)

1'( ) ln ( ) ( 1) (1 ) ( ) ln 0

n

nn

n n

n nn n

y xx y x x y x n n b x

x x

x y x x y x n b x x y x x b xx

:נציג כך, המשוואה שהתקבלהאת 2

1 1 1 1

0

1 1 1 2

1 1 1 1

''( ) '( ) (1 ) ( ) ln 2 ( ) 2 '( )

( 1) ( 1) 0n n n n

n n n nn n n n

x y x xy x x y x x y x x y x

n n b x n b x b x b x

:והמשוואה תתקבל

2 1 2

1 1 1 12

2 ( ) 2 '( ) ( ) 0n

n nn

y x x y x b x x n b b

בחרנו שרירותית 0

1a

1

12

n

nn

b x

1

12

n

nn

b x

95

כעת נזכר כי

1

1 12 20 1

( 1)( ) ; '( )

( !) ( !)

n n

n n

x n xy x y x

n n

:וכעת נציב במשוואה ונקבל1

2 1 2

1 120 2

2( ) 0

( !)

n

n

n nn n

nxb x x n b b

n

1nעבור : 2

1 1(2 ) 0 2x b b

2nעבור :

2 1

120

20

( !)

n

n nn

nn b b x

n

:ונוסחת הנסיגה

12 2

1 2

( !)n n

nb b

n n

:נחשב מספר מקדמים ראשונים

2n :2 1

1 3( 1)

4 4b b ;3n :

2 2

1 6 11( )

9 36 108b b

לפי , הרי שהוא אינסוף, ולגבי רדיוס ההתכנסות2( )P x x ( מעט אחרי ראה

( (.23.6)משוואה

96

ההפרש בין שני שורשי המשוואה האינדיציאלית הוא מספר שלם – 39דוגמא

' :משוואהנתבונן ב 4 ' 0xy y xy 0בקטעx .

: המשוואה האינדיציאלית 2

1 23 0 0, 3r r r r

עבור 1

0r הפתרון הוא 2 4

1

1 1( ) 1

10 280y x x x

: נחפש הפתרון הכללי למשוואה בצורה 3

2 10

( ) ( )ln n

nn

y x Cy x x b x

:נגזרות, ראשית

4

2 1 10

5

2 1 1 1 20

1'( ) '( ) ln ( ) ( 3)

1 1''( ) ''( ) ln 2 '( ) ( ) ( 4)( 3)

n

nn

n

nn

y x Cy x x Cy x b n xx

y x Cy x x Cy x Cy x n n b xx x

:נציב במשוואה המקורית ונקבל

1

1 1 1 1

0

4 4 2

0 0 0

( )[ ''( ) 4 '( ) ( )] ln 3 2 '( )

( 4)( 3) 4 ( 3) 0n n n

n n nn n n

y xxy x y x xy x C x C Cy x

x

n n b x b n x b x

:ונקבל

3 41

1 1 22

( )3 2 '( ) 2 [ ( 3) ] 0n

n nn

y xC Cy x b x n n b b x

x

:כעת

2 4

1

3

1

31

1 1( ) 1

10 280

1 1'( )

5 70

( ) 1 1 1

10 280

y x x x

y x x x

y xx x

x x

: אם נציב את הביטויים הללו במשוואה האחרונה נקבל

4

22

n

nn

b x

97

3 2 1

1 2 0 1 4 2

2

5 3 6 4

0

1 2 1

2 0 3

4 2 4 5 3 5

4 0 5 3

6 4 6 7

3 1

2 0

2 ( 2 ) (3 ) (4 )

7( 10 ) (18 ) 010

0 ; 3 0 02

74 0 ; 10 0

4 8 10 10

18 018 144 28 280

1 1 1( )

2 8

b x b b x C b x b b

C b b b b x

bb b C b C

b b bb b b C b b b

b b b bb b b b

y x b x x x

1

3

2 4

3

( )

144

1 11

10 280

y x

x

b x x

חייבים לדרוש כי , ובכדי שהפתרון הזה יהיה בלתי תלוי בפתרון הראשון3

0b .

כל היתר הוא ; אלוהים ברא את המספרים השלמים" "מעשה ידי האדם

לאופולד קרונקר