1. Eισαγωγικά H Kινηµατική ασχολείται µε την µελέτη των κινήσεων των σωµάτων, χωρίς να ενδιαφέρεται για τις αιτίες που προκαλούν τις κινήσεις αυτές. Δηλαδή η κινηµα τική ενδιαφέρεται µόνο για την Γεωµετρία των κινήσεων των υλικών σωµάτων, χωρίς να εξετάζει τις δυνάµεις που δηµιουργούν τις κινήσεις αυτές. H ποσοτική µελέτη των κινήσεων διευκολύνεται σηµαντικά, εάν αναφερθούµε στο µοντέλο του υλικού σηµείου. Λέγοντας υλικό σηµείο εννοούµε ένα µαθηµατικό σηµείο στο οποίο έχει συγκεντρωθεί ορισµένη µάζα. Στην πράξη το υλικό σηµείο προσεγ γίζεται από ένα υλικό σώµα, του οποίου οι γεωµετρικές διαστάσεις είναι πολύ µικρές, σε σχέση µε την απόσταση από την οποία εξετάζεται. Έτσι, η πολύ µεγάλη απόσταση µεταξύ Γης και Hλιου, σε σχέση µε τις διαστάσεις των δύο αυτών ουρα νίων σωµάτων, µας επιτρέπει να δεχόµαστε την Γη ως υλικό σηµείο όταν εξετάζου µε τη µεταφορική της κίνηση ως προς τον Hλιο, τα δε θεωρητικά συµπεράσµατα που προκύπτουν από την προσέγγιση αυτή συµφωνούν πολύ καλά µε τα δεδοµένα των αστρονοµικών παρατηρήσεων. Eπίσης, όταν εξετάζεται η κίνηση ενός αεροπλά νου, το οποίο βρίσκεται σε µεγάλο ύψος από την επιφάνεια της Γης, µπορούµε να έχουµε ασφαλή συµπεράσµατα για την κίνησή του, θεωρώντας αυτό ως υλικό σηµείο. Σε πολλές όµως περιπτώσεις το είδος της κίνησης που εκτελεί ένα υλικό σώµα (λ.χ. περιστροφική κίνηση, κύλιση, στροφική ταλάντωση κ.λ.π.) µας απαγο ρεύει να το προσεγγίζουµε µε υλικό σηµείο. Στην περίπτωση αυτή το σώµα µπορεί να θεωρηθεί ως ένα σύστηµα υλικών σηµείων, οπότε η εξέταση της κίνησής του ανάγεται στη µελέτη των κινήσεων των υλικών σηµείων που το αποτελούν. Mε βά ση τα παραπάνω δικαιολογείται ο διαχωρισµός της κινηµατικής σε κινηµατική του υλικού σηµείου και σε κινηµατική του υλικού σώµατος, όπου στη µεν πρώτη θεµε λιώνονται οι βασικές έννοιες της κίνησης, δηλαδή η τροχιά η ταχύτητα και η επι τάχυνση υλικού σηµείου, ενώ στην δεύτερη εξετάζονται πιο πολύπλοκες κινήσεις, όπως λ.χ. η στροφική κίνηση, η επίπεδη κίνηση, η στροφική ταλάντωση στερεού κ.λ.π. 2. H έννοια της κίνησης υλικού σηµείου Θα λέµε ότι ένα υλικό σηµείο κινείται, όταν µεταβάλλεται η θέση του, ως προς κάποιο σύστηµα συντεταγµένων, που θεωρείται κατά συνθήκη ακίνητο. Συνήθως το σύστηµα συντεταγµένων, ως προς το οποίο αναφέρονται οι κινήσεις, είναι ακλό

νητα στερεωµένο στην επιφάνεια της Γης, την οποία δεχόµαστε κατά σύµβαση ακίνητη µέσα στο Σύµπαν. Kάθε τέτοιο σύστηµα ονοµάζεται γεωκεντρικό και έχει σχετική σηµασία, αφού η Γη αποτελεί ουράνιο σώµα που κινείται µέσα στο Hλιακό σύστηµα. H ανυπαρξία ακινήτου συστήµατος συντεταγµένων µέσα στο Σύµπαν, µας αναγκάζει να δεχθούµε ότι τα χαρακτηριστικά στοιχεία µιας κίνησης δεν είναι δυνατόν να καθοριστούν µονοσήµαντα, δηλαδή µε απόλυτο τρόπο, που σηµαίνει ότι η απόλυτη κίνηση δεν έχει κανένα νόηµα στην Φυσική. Aντίθετα η κίνηση ενός υλικού σηµείου αποκτά σηµασία, όταν αναφέρεται ως προς κάποιο σαφώς καθορισµένο σύστηµα συντεταγµένων, διότι τότε αποκτά συγκεκριµένα χαρακτηριστικά. Kάθε λοιπόν κίνηση είναι σχετική µε το σύστηµα συντεταγµέ νων, ως προς το οποίο εξετάζεται και για να γίνει κατανοητή η σχετικότητα αυτή θα αναφέρουµε τα εξής παραδείγµατα: α) Θεωρούµε ότι ένα ποδήλατο µετατοπίζεται σε ευθύγραµµο δρόµο. Tότε το πέδι λό του ως προς µεν το ποδήλατο εκτελεί κυκλική κίνηση, ενώ ως προς το έδαφος εκτελεί µια κυµατοειδή (ελικοειδή) κίνηση. Tην κυκλική κίνηση αντιλαµβάνεται ο ποδηλάτης, ενώ την ελικοειδή κίνηση αντιλαµβάνεται ένας παρατηρητής, ακίνητος στο έδαφος. β) Ένας επιβάτης βαγονιού µιας αµαξοστοιχίας, η οποία κινείται ευθύγραµµα, εκ τοξεύει κατακόρυφα προς τα πάνω µια µικρή µπάλλα. H µπάλλα, ως προς µεν το βαγόνι θα εκτελέσει ευθύγραµµη κίνηση, ενώ ως προς το έδαφος θα εκτελέσει καµπυλόγραµµη (παραβολική) κίνηση. Tην ευθύγραµµη κίνηση αντιλαµβάνεται ο επιβάτης του βαγονιού, ενώ την καµπυλόγραµµη κίνηση αντιλαµβάνεται ένας ακί νητος στο έδαφος παρατηρητής. Tο σύνολο των θέσεων από τις οποίες διέρχεται το υλικό σηµείο, κατά την εξέλιξη της κίνησής του, ονοµάζεται τροχιά αυτού είναι δε µια γραµµή που η γεωµετρική της µορφή, ως προς ένα δεδοµένο σύστηµα συντεταγµένων, εξαρτάται από το είδος της κίνησης. Έτσι αν η κίνηση είναι ευθύγραµµη, η τροχιά του υλικού σηµείου θα είναι ευθεία γραµµή, ενώ αν η κίνηση είναι επίπεδη καµπυλόγραµµη τότε η τρο χιά του είναι µια καµπύλη γραµµή, που βρίσκεται πάνω στο επίπεδο κίνησης του υλικού σηµείου. Tέλος, εάν το υλικό σηµείο κινείται διαγράφοντας µια στρεβλή (µη επίπεδη) καµπύλη γραµµή, τότε η κίνησή του είναι µη επίπεδη καµπυλόγραµ

Σχήµα 1 µη κίνηση. Aς υποθέσουµε τώρα ότι, ένα υλικό σηµείο εκτελεί επίπεδη καµπυ λόγραµµη κίνηση, διαγράφοντας ως προς ένα δεδοµένο σύστηµα ορθογώνιων αξό

νων Oxy την καµπύλη γραµµή (C) του σχήµατος (1). Eάν M είναι η θέση του υλικού σηµείου κατά την τυχαία χρονική στιγµή t, τότε το διάνυσµα

! r που έχει

αρχή το O και πέρας το σηµείο M, ονοµάζεται επιβατκή ακτίνα ή διάνυσµα θέσεως του σηµείου κατά τηn χρονική στιγµή t. Eάν γνωρίζουµε πως µεταβάλ λεται η επιβατική ακτίνα

! r µε τοn χρόνο t, δηλαδή αν γνωρίζουµε τη διανυσµατι

κή συνάρτηση ! r =! r (t) , τότε είναι γνωστή η γεωµετρική µορφή της τροχιάς (C)

του υλικού σηµείου. Eξάλλου, εάν ! x ,

�

! y είναι οι προβολές του διανύσµατος

! r

στους ορθογώνιους άξονες Ox, Oy, τότε θα ισχύει:

�

! r =! x +! y !

�

! r = x

! i + y

! j (1)

που (x, y) οι συντεταγµένες του σηµείου M και

!

i , !

j τα µοναδιαία διανύσµατα των αξόνων Ox και Oy αντιστοίχως. Eίναι προφανές ότι άν γνωρίζουµε πως µεταβάλ λονται οι συντεταγµένες x και y σε συνάρτηση µε τον χρόνο t, δηλαδή αν γνω ρίζουµε τις συναρτήσεις x=x(t) και y=y(t), τότε γνωρίζουµε και την συνάρτηση ! r =! r (t) , δηλαδή µπορούµε να καθορίσουµε την τροχιά (C) του υλικού σηµείου.

Tέλος, αν απαλείψουµε τον χρόνο t µεταξύ των σχέσεων x=x(t) και y=y(t) θα λά βουµε µια σχέση της µορφής y=f(x), η οποία ονοµάζεται εξίσωση της τροχιάς του υλικού σηµείου, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα Oxy. 3. Tαχύτητα στην επίπεδη καµπυλόγραµµη κίνηση Yποθέτουµε ότι ένα υλικό σηµείο εκτελεί επίπεδη καµπυλόγραµµη κίνηση διαγ ράφοντας, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxy την καµπύλη τροχιά (C) του σχήµατος (2). Eάν M είναι η θέση του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγ

µή t και M΄ η θέση του κατά τη χρονική στιγµή t+Δt, τότε το διάνυσµα

�

MM' ονο µάζεται µετατόπιση του υλικού σηµείου στο χρονικό διάστηµα Δt και ουσιαστικά εκφράζει την µεταβολή !

! r της επιβατικής ακτίνας του υλικού σηµείου κατά τον

χρόνο Δt, δηλαδή ισχύει:

�

MM' = !! r =

! r

2-! r

1

Σχήµα 2

Tο πηλίκο

!! r /!t αποτελεί ένα διάνυσµα συγραµµικό και οµόρροπο της µετατόπι

σης !! r του υλικού σηµείου, ορίζεται δε ως µέση ταχύτητα αυτού για το χρονικό

διάστηµα Δt και συµβολίζεται µε vµ, δηλαδή ισχύει:

! v µ = !

! r /!t (1)

Aπό τον ορισµό της µέσης ταχύτητας προκύπτει ότι, αυτή αναφέρεται σ΄ ένα χρο νικό διάστηµα, χωρίς να δίνει πληροφορίες για τον τρόπο κίνησης του υλικού σηµείου καθώς αυτό διέρχεται από τα σηµεία του τµήµατος MM΄ της τροχιάς του. Aς δεχθούµε τώρα ότι το χρονικό διάστηµα Δt είναι πάρα πολύ µικρό, δηλαδή τεί

νει στο µηδέν (Δt→0), οπότε και η αντίστοιχη µετατόπιση !! r του υλικού σηµεί

ου θα τείνει στο µηδέν ( !! r !

!

0 ). Tότε το διάνυσµα !! r /!t θα τείνει προς ένα διά

νυσµα

�

! v , το οποίο αναφέρεται στην χρονική στιγµή t, ορίζεται δε ως ταχύτητα

του υλικού σηµείου κατά την στιγµή αυτή. Δηλαδή η ταχύτητα v του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t, είναι η οριακή θέση του διανύσµατος

�

! v µ , όταν

το χρονικό διάστηµα Δt τείνει στο µηδέν. Έτσι εξ’ ορισµού θα ισχύει:

! v =

!t!0

lim!! r

!t

"

# $

%

& ' =

d! r

dt (2)

Eπειδή το διάνυσµα

!! r /!t έχει φορέα την χορδή του τόξου MM' της τροχιάς (C),

η οριακή του θέση, όταν Δt→0, θα έχει φορέα την εφαπτοµένη της τροχιάς στην θέση M αυτής. Έτσι η ταχύτητα

�

! v του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t

θα έχει φορέα την εφαπτοµένη της τροχιάς (C) στην αντίστοιχη θέση M αυτής, η φορά του θα συµπίπτει µε την φορά κίνησής του, το δε µέτρο της θα είναι:

�

v =|d! r |

dt (3)

Aπό τον ορισµό της στιγµιαίας ταχύτητας

! v του υλικού σηµείου προκύπτει ότι,

αυτή εκφράζει κάθε στιγµή το ρυθµό µεταβολής της επιβατικής του ακτίνας ! r , ή

αλλιώς δηλώνει τον ρυθµό αποµάκρυνσής του από την θέση της τροχιάς του, κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. Παρατήρηση: Eάν (x, y) είναι οι συντεταγµένες του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t, τότε η αντίστοιχη επιβατική του ακτίνα

! r θα είναι:

�

! r = x

! i + y

! j !

�

!! r = !x

! i +!y

! j (4)

όπου Δx, Δy οι µεταβολές των συντεταγµένων του υλικού σηµεόυ κατά το χρο νικό διάστηµα Δt (Tα µοναδιαία διανύσµατα

!

i , !

j δεν µεταβάλλονται µε τον χρό νο). Διαιρώντας και τα δύο µέλη της σχέσεως (4) µε Δt και λαµβάνοντας τα όρια

των δύο µελών της, όταν Δt→0, έχουµε:

�

!! r

!t=! i

!x

!t

!

" #

$

% & +! j !y

!t

!

" #

$

% & !

�

!t!0lim

!! r

!t

"

# $

%

& ' =

!t!0lim

!x

!t

"

# $

%

& '

! i +

!t!0lim

!y

!t

"

# $

%

& '

! j !

�

! v =

dx

dt

!

" #

$

% &

! i +

dy

dt

!

" #

$

% &

! j (5)

Eξάλλου εάν

! v

x,

�

! v

y είναι οι προβολές της

! v στους άξονες Ox και Oy αντιστοίχως

(σχ. 3), τότε οι αλγεβρικές τους τιµές vx και vy, θα ικανοποιούν την σχέση:

�

! v = vx

! i + vy

! j (6)

Σχήµα 3

Συνδυάζοντας τις (5) και (6) παίρνουµε τις σχέσεις: vx

= dx/dt και

�

vy =dy/dt δηλαδή οι αλγεβρικές τιµές των προβολών της

! v στους άξονες Ox και Oy προκύπ

τουν µε παραγώγιση ως προς τον χρόνο, των συναρτήσεων x=x(t) και y=y(t). 4. Eπιτάχυνση στην επίπεδη καµπυλόγραµµη κίνηση Θεωρούµε υλικό σηµείο, το οποίο εκτελεί επίπεδη καµπυλόγραµµη κίνηση διαγρά φοντας, ως προς το ορθογώνιο σύστηµα αξόνων Oxy την καµπύλη τροχιά (C) του σχήµατος (4). Eάν

! v

1,

! v

2 είναι οι ταχύτητες του υλικού σηµείου κατά τις χρονικές

στιγµές t και t+Δt αντιστοίχως, όπου αυτό βρίσκεται στις θέσεις M και M΄ της τροχιάς του, τότε η µεταβολή !

! v της ταχύτητάς του στο χρονικό διάστηµα Δt θα

είναι ίση µε τη διανυσµατική διαφορά

! v

2-! v

1, δηλαδή θα ισχύει:

�

!! v =! v 2 -

! v 1 =

! v 2 + (-

! v 1)

Tο πηλίκο

!! v /!t αποτελεί ένα διάνυσµα συγγραµµικό και οµόρροπο της µετα

βολής !! v της ταχύτητας του υλικού σηµείου, ορίζεται δε ως µέση επιτάχυνση

αυτού, για το χρονικό διάστηµα Δt και συµβολίζεται µε

! a

µ, δηλαδή ισχύει:

! a µ = !

! v /!t (1)

Aπό τον ορισµό της µέσης επιτάχυνσης προκύπτει ότι, αυτή αναφέρεται σ’ ένα χρονικό διάστηµα Δt και εποµένως δεν παρέχει πληροφορίες για τον τρόπο µεταβο

λής της ταχύτητας του υλικού σηµείου στα διάφορα σηµεία του τόξου MM' της τροχιάς του (C). Aς υποθέσουµε τώρα ότι το χρονικό διάστηµα Δt είναι πολύ

µικρό, δηλαδή τείνει στο µηδέν (Δt→0), οπότε και το διάνυσµα !! v θα τείνει στο

µηδέν (

�

!! v !

!

0 ). Όµως το διάνυσµα !! v /!t θα τείνει σ’ ένα διάνυσµα

! a , το οποίο

Σχήµα 4

αναφέρεται στην χρονική στιγµή t, ορίζεται δε ως επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατά την στιγµή αυτή. Δηλαδή η επιτάχυνση

! a είναι η οριακή θέση του διανύσ

µατος

! a

µ όταν ο χρόνος Δt τείνει στο µηδέν. Έτσι, εξ’ ορισµού θα ισχύει η σχέση:

�

! a =

!t!0

lim!! v

!t

"

# $

%

& ' =

d! v

dt (2)

Tο διάνυσµα

! a της επιτάχυνσης του υλικού σηµείου έχει κάθε χρονική στιγµή

φορά προς το κοίλο µέρος της τροχιάς (C), το δε µέτρο του ικανοποιεί την σχέση:

�

a =|d! v |

dt (3)

Aπό τον ορισµό της στιγµιαίας επιτάχυνσης

! a του υλικού σηµείου προκύπτει ότι,

αυτή εκφράζει κάθε στιγµή τον ρυθµό µεταβολής της ταχύτητάς του. Παρατήρηση: Eάν vx, vy είναι οι αλγεβρικές τιµές των προβολών

! v

x και

�

! v

y της ταχύτητας του

υλικού σηµείου, στους άξονες Ox και Oy αντιστοίχως (σχ. 5) κατά την χρονική στιγµή t, τότε θα έχουµε:

�

! v = vx

! i + vy

! j !

�

!! v = !vx

! i +!vy

! j !

�

!! v

!t=!vx

!t

! i +

!vy

!t

! j !

�

!t!0lim

!! v

!t

"

# $

%

& ' =

!t!0lim

!vx

!t

"

# $

%

& '

! i +

!t!0lim

!vy

!t

"

# $

%

& '

! j !

�

! a =

dvx

dt

!

" #

$

% &

! i +

dvy

dt

!

" #

$

% &

! j (4)

όπου Δvx, Δvy οι µεταβολές των vx και vy αντιστοίχως, κατά το χρονικό διάστηµα Δt. Eξάλλου, εάν

! a

x,

�

! a

y είναι οι προβολές της

! a στους άξονες Ox και Oy αντιστοί

χως κατά την χρονική στιγµή t, τότε οι αλγεβρικές τους τιµές ax και ay θα ικανο ποιούν την σχέση:

�

! a = ax

! i + ay

! j (5)

Σχήµα 5

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (4) και (5) παίρνουµε: ax

= dvx/dt και

�

ay = dvy/dt δηλαδή οι αλγεβρικές τιµές των προβολών της επιτάχυνσης

! a του υλικού σηµείου

στους άξονες Ox, Oy προκύπτουν µε παραγώγιση, ως προς το χρόνο t, των συναρ τήσεων vx =vx(t) και vy =vy(t). 5. Eπιτρόχια και κεντροµόλος επιτάχυνση στην επίπεδη καµπυλόγραµµη κίνηση Kατά την εξέλιξη µιας επίπεδης καµπυλόγραµµης κίνησης υλικού σηµείου, η ταχύ τητά του

! v µεταβάλλεται εν γένει κατά διεύθυνση και µέτρο. Για να καθορίσουµε

ξεχωριστά την µεταβολή µόνο της διεύθυνσης της ταχύτητας ή µόνο του µέτρου της χρησιµοποιούµε την κεντροµόλο και την επιτρόχια επιτάχυνση αντιστοίχως του υλικού σηµείου, οι οποίες επιταχύνσεις ορίζονται µε τον ακόλουθο τρόπο. Έστω

! a η επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, που

αυτό βρίσκεται στην θέση M της τροχιάς του (C). Aναλύουµε την ! a σε δύο ορθογώ

νιες συνιστώσες

! a

! και

! a ! (σχ. 6), από τις οποίες η

! a

! είναι συγγραµµική της

ταχύτητας ! v του υλικού σηµείου, δηλαδή έχει την διεύθυνση της εφαπτοµένης

της τροχιάς στο M (εφαπτοµενική συνιστώσα της ! a ), ενώ η

! a ! είναι κάθετη στην

! v , δηλαδή έχει τη διεύθυνση της ακτίνας της τροχιάς στο M (ακτινική συνιστώσα της ! a ). H συνιστώσα

! a

! ονοµάζεται επιτρόχιος επιτάχυνση του υλικού σηµείου, ενώ η συνιστώσα

! a ! ονοµάζεται κεντροµόλος επιτάχυνση αυτού. H

! a

! καθο

ρίζει την µεταβολή του µέτρου της ! v και είναι οµόρροπη της

! v , εάν το µέτρο της

ταχύτητας αυξάνεται µε τον χρόνο, είναι αντίρροπη της ! v εάν το µέτρο της ταχύ

Σχήµα 6

τητας µειώνεται µε τον χρόνο και τέλος η

! a

! είναι µηδενική, όταν το µέτρο της

! v

είναι ανεξάρτητο του χρόνου. H

! a ! καθορίζει την µεταβολή της διεύθυνσης της τα

χύτητας ! v και έχει πάντοτε φορά προς το κοίλο µέρος της τροχιάς. Όπως θα δεί

ξουµε πιο κάτω για τα µέτρα των

! a

! και

! a ! ισχύουν οι σχέσεις:

�

a!=|dv/dt| και

�

a!= v

2/! (1)

όπου dv η µεταβολή του µέτρου της ταχύτητας του υλικού σηµείου σ’ ένα πολύ µικρό χρόνο dt, ο οποίος θεωρείται µετά από τη στιγµή t, κατά την οποία εξε τάζουµε το υλικό σηµείο, v το µέτρο της ταχύτητάς του κατά την στιγµή t και ρ η ακτίνα καµπυλότητας της τροχιάς (C) στην αντίστοιχη θέση M του υλικού σηµεί ου. Mε βάση τις σχέσεις (1) µπορούµε να παρατηρήσουµε τα εξής: α. Eάν κατα την εξέλιξη της επίπεδης καµπυλόγραµµης κίνησης το µέτρο της τα χύτητας του υλικού σηµείου δεν µεταβάλλεται (οµαλή καµπυλόγραµµη κίνηση), τότε θα ισχύει

�

! a

!=

!

0 , δηλαδή αυτό θα έχει µόνο κεντροµόλο επιτάχυνση, η οποία θα συµπίπτει µε την ολική του επιτάχυνση

! a .

β. Eάν η κίνηση του υλικού σηµείου είναι ευθύγραµµη, τότε η ακτίνα καµπυλό τητας της τροχιάς σε όλα της τα σηµεία απειρίζεται (ρ→ +∞), οπότε θα ισχύει

�

! a !!

!

0 , δηλαδή το υλικό σηµείο θα έχει µόνο επιτρόχια επιτάχυνση η οποία θα συµπίπτει µε την ολική του επιτάχυνση

! a . Στην περίπτωση αυτή η ευθύγραµµη

κίνηση θα χαρακτηρίζεται ως επιταχυνόµενη, αν κάθε στιγµή η ! a είναι οµόρροπη

της ! v , θα χαρακτηρίζεται ως επιβραδυνόµενη αν κάθε στιγµή η

! a είναι αντίρροπη

της ! v και τέλος θα χαρακτηρίζεται ως οµαλή ευθύγραµµη κίνηση, αν κάθε στιγµή

ισχύει

�

! a =

!

0 . Aπόδειξη των σχέσεων (1) Έστω

! v η ταχύτητα του υλικού σηµείου κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t και

! v + d

! v η ταχύτητά του ύστερα από χρόνο dt. Tότε το κέντρο καµπυλότητας K της

τροχιάς (C) του υλικού σηµείου στη θέση M, όπου αυτό βρίσκεται τη χρονική στιγµή t, θα είναι η τοµή των καθέτων στα διανύσµατα τα

! v και

! v + d

! v , η δε

ακτίνα καµπυλότητας ρ της τροχιάς στο σηµείο M θα είναι η απόσταση KM. Eάν dφ είναι η γωνία των διανυσµάτων

! v και

! v + d

! v και ds το µήκος του τόξου MM',

θα ισχύουν οι σχέσεις:

�

ds = !d"

ds = vdt

#

$

%

!

�

!d" = vdt !

�

d!/dt = v/! (1)

Eξάλλου, εάν

d! v

!,

d! v

! είναι η εφαπτοµενική και η ακτινική συνιστώσα αντιστοί

χως της µεταβολής d! v της ταχύτητας του υλικού σηµείου στον χρόνο dt, τότε το

µέτρο της κεντροµόλου επιτάχυνσής του

! a ! κατά την στιγµή t, θα είναι:

�

a! = |d! v ! |/dt = |d

! v |"µ# /dt (2)

Eφαρµόζοντας στο σκιασµένο τρίγωνο το νόµο των ηµιτόνων, παίρνουµε:

�

|d! v |

!µd"=

v

!µ (# - d") !

�

|d! v |

!µd"#

v

!µ$ (3)

Όµως η γωνία dφ είναι πολύ µικρή, οπότε ισχύει ηµdφ≈dφ και η (3) γράφεται:

�

|d! v |

d!"

v

#µ$ !

�

|d! v |!µ" # vd$ !

�

|d! v |

dt!

v

"µ#

d$

dt (4)

Σχήµα 7

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (4) έχουµε:

�

a! =v

"µ#

d$

dt"µ# = v

d$

dt

�

!

(1)

�

a! =v

2

" (5)

Eξάλλου, επειδή η γωνία dφ είναι πολύ µικρή (dφ→ 0) τα διανύσµατα

! v + d

! v και

! v + d

! v

! έχουν περίπου το ίδιο µέτρο, οπότε το µέτρο του

d! v

! εκφράζει την απόλυ

τη τιµή της µεταβολής dv του µέτρου της ταχύτητας του υλικού σηµείου στον χρόνο dt, δηλαδή θα ισχύει:

�

|d! v !| = |dv| !

�

|d! v

!|

dt=

|dv|

dt (6)

Όµως το µέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης

! a

! του υλικού σηµείου κατά την χρονι

κή στιγµή t θα είναι:

�

a!=|d! v !|

dt

�

!

(6)

�

a!=

|dv|

dt

6. Eυθύγραµµη κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση Όταν ένα υλικό σηµείο εκτελεί ευθύγραµµη κίνηση, η κεντροµόλος επιτάχυνσή του είναι κάθε στιγµή µηδενική, αφού η ταχύτητά του δεν µεταβάλλεται κατά διεύθυνση. Aυτό σηµαίνει ότι, η επιτρόχια επιτάχυνσή του θα συµπίπτει µε την ολική του επιτάχυνση

! a , η οποία θα έχει φορέα την ευθεία (ε) πάνω στην οποία κι

νείται το υλικό σηµείο. H φορά της ! a θα είναι ίδια µε τη φορά της ταχύτητας, εάν

το µέτρο της ταχύτητας αυξάνεται µε τον χρόνο (επιταχυνόµενη ευθύγραµµη κίνη

Σχήµα 8

ση), ενώ η

! a θα είναι αντίρροπη της ταχύτητας, εάν το µέτρο της ταχύτητας µειώ

νεται µε τον χρόνο (επιβραδυνόµενη ευθύγραµµη κίνηση). Στην ειδική περίπτωση που η επιτάχυνση

! a είναι σταθερή, τότε το µέτρο της ταχύτητας θα µεταβάλλεται

µε σταθερό ρυθµό, δηλαδή κατά το ίδιο ποσό σε κάθε µονάδα χρόνου, οπότε η ευθύγραµµη κίνηση θα χαρακτηρίζεται ως οµαλά µεταβαλλόµενη (οµαλά επιτα χυνόµενη ή οµαλά επιβραδυνόµενη). Eάν

! v

0 είναι η ταχύτητα του υλικού σηµείου

κατά την χρονική στιγµή t=0, που αρχίζουµε την εξέταση της κίνησής του και ! v η

ταχύτητά του ύστερα από χρόνο t, τότε λόγω της σταθερής του επιτάχυνσης ! a , θα

ισχύει:

! v =! v

0 +! a t (1)

Πράγµατι, εάν διαµερίσουµε τον χρόνο t σε στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt1,

dt2,...dtn και ονοµάσουµε d! v

1,

d! v

2,...

d! v

n τις αντίστοιχες στοιχειώδεις µεταβολές

της ταχύτητάς του, τότε η µεταβολή

! v -! v

0 της ταχύτητάς του στο χρόνο t θα

είναι:

! v -! v

0= d! v

1+d! v

2+...+ d

! v

n !

! v -! v

0= d

! v ( )

0

t

! =! a dt( )

0

t

! !

! v -! v

0=! a dt( )

0

t

! =! a t !

! v =! v

0 +! a t

Eξάλλου, εάν

d! s

1,

d! s

2,...

d! s

n είναι οι στοιχειώδεις µετατοπίσεις του υλικού σηµεί

ου, που αντιστοιχούν στα στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα dt1, dt2,...dtn, τότε η συνολική µετατόπιση

! s αυτού στον χρόνο t θα είναι:

! s = d

! s

1+ d! s

2+...d

! s

n= d

! s ( )

0

t

! =! v dt( )

0

t

! !(1)

�

! s =

! v

0 +! a t( )dt[ ]

0

t

! =! v

0dt( ) +

! a tdt( )

0

t

!0

t

! !

�

! s =! v

0dt( ) +

! a tdt( )

0

t

!0

t

! =! v

0t +! a tdt( )

0

t

! (2)

Για τον υπολογισµό του αθροίσµατος

�

(tdt)0

t

! θεωρούµε την συνάρτηση f(t)=t της

Σχήµα 9

οποίας η γραφική παράσταση είναι η ευθεία γραµµή του σχήµατος (9). Aπό την γραφική αυτή παράσταση εύκολα προκύπτει ότι:

tdt( ) = !µ"(OMt) = t

2/2

0

t

! (3)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (2) και (3) παίρνουµε:

! s =! v

0t +! a t

2/2 (4)

Παρατηρήσεις: α. Eάν

�

! e

0 είναι το µοναδιαίο διάνύσµα της ευθείας (ε) πάνω στην οποία κινείται

το υλικό σηµείο, τότε οι σχέσεις (1) και (4) µπορούν να γραφούν ως εξής:

�

v! e

0= v

0

! e

0 + at

! e

0 ! v = v

0 +at (6)

�

s! e

0= v

0t! e

0+! e

0at

2/2 ! s = v

0t +at

2/2 (7)

όπου s, v οι αλγεβρικές τιµές των διανυσµάτων

! s και

! v αντιστοίχως κατά την

χρονική στιγµή t και v0, a οι αλγεβρικές τιµές των σταθερών διανυσµάτων

! v

0, ! a .

β. Oι διανυσµατικές σχέσεις (1) και (4) ισχύουν και στην περίπτωση της επίπεδης καµπυλόγραµµης κίνησης µε σταθερή επιτάχυνση. Σ’ αυτή την περίπτωση η σχέση (1) εκφράζει την ακόλουθη πρόταση: Kατά την επίπεδη καµπυλόγραµµη κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση, η ταχύτητα του υλικού σηµείου σε χρόνο t, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της αρχικής του ταχύτητας

! v

0 και της ταχύτητας

! a t που αποκτά στον χρόνο t, εξ’ αιτίας της σταθε

ρής επιτάχυνσης ! a (σχ. 10).

Eξάλλου, η σχέση (4) εκφράζει την πρόταση: Kατά την επίπεδη καµπυλόγραµµη κίνηση µε σταθερή επιτάχυνση, η µετατόπιση

! s

του υλικού σηµείου σε χρόνο t, είναι ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της µετατόπι σης

! v

0t που οφείλεται στην αρχική του ταχύτητα

! v

0 και της αντίστοιχης µετατόπι

σης ! a t2/2, η οποία οφείλεται στην σταθερή επιτάχυνση

! a (σχ. 11).

γ. Oι διανυσµατικές σχέσεις (1) και (4) στην περίπτωση της επίπεδης καµπυλόγ ραµµης κίνησης µε σταθερή επιτάχυνση

! a , ισοδυναµούν µε τις εξής αλγεβρικές

σχέσεις:

�

vx = v0x + axt

vy = v0y + ayt

!

"

# και

�

sx = v0xt + axt2/2

sy = v0yt + ayt2/2

!

"

#

Σχήµα 10 Σχήµα 11 όπου vx, vy οι αλγεβρικές τιµές των προβολών της

! v στους άξονες Ox και Oy αντι

στοίχως, κατά την χρονική στιγµή t, sx και sy οι αντίστοιχες αλγεβρικές τιµές των

προβολών της µετατόπισης ! s και ax και ay οι σταθερές αλγεβρικές τιµές των

προβολών της επιτάχυνσης ! a .

7. Κατακόρυφη ελεύθερη πτώση σώµατος Xαρακτηριστικό παράδειγµα ευθύγραµµης κίνησης µε σταθερή επιτάχυνση είναι η κατακόρυφη ελεύθερη πτώση ενός σώµατος. Mε τον όρο ελεύθερη πτώση εννοούµε γενικώς την κίνηση ενός σώµατος υπό την επίδραση µόνο του βάρους του (η αντί σταση του αέρα παραλείπεται). H επιτάχυνση του σώµατος σε κάθε θέση της τρο χιάς του συµπίπτει µε την επιτάχυνση

! g της βαρύτητας, η οποία µε καλή προσέγ

γιση µπορεί να θεωρηθεί σταθερή, εφ’ όσον κατά την ελεύθερη πτώση η απόσταση του σώµατος από την επιφάνεια της Γης είναι µικρή σε σχέση µε την ακτίνα της. Θα µελετήσουµε την ελεύθερη πτώση µικρού σώµατος, το οποίο εκτοξεύεται κατα κόρυφα προς τα πάνω µε αρχική ταχύτητα

! v

0, από σηµείο O που βρίσκεται σε µικ

ρό ύψος h από την επιφάνεια της Γης. Λαµβάνουµε ως αρχή µέτρη σης του χρόνου

Σχήµα 12 την στιγµή που το σώµα εκτοξεύεται στο O και συµβολίζουµε µε

�

! y την µετατό

πισή του ύστερα από χρόνο t, όπου αυτό βρίσκεται στην θέση M της κατακόρυφης τροχιάς του. Tότε θα ισχύει:

�

! y =! v 0t +

! g t2/2 (1)

H σχέση αυτή µετατρέπεται σε σχέση αλγεβρικών τιµών, εάν λάβουµε πάνω στην κατακόρυφη διεύθυνση κίνησης του σώµατος µια θετική φορά π.χ. την προς τα πά νω (σχ. 12) οπότε θα έχουµε:

�

y = v0t - gt2/2 !

�

2y = 2v0t - gt2 !

�

gt2 - 2v0t + 2y = 0 (2) όπου v0, g τα µέτρα των σταθερών διανυσµάτων

! v

0 και

! g αντιστοίχως και y η

αλγεβρική τιµή του διανύσµατος

�

! y . H (2) είναι εξίσωση δευτέρου βαθµού ως προς

t και πρέπει να έχει ρίζες πραγµατικές, δηλαδή πρέπει η διακρίνουσά της να είναι µη αρνητική, οπότε θα ισχύει η σχέση:

�

4v0

2 - 8gy ! 0 !

�

4v0

2! 8gy !

�

y ! v0

2/2g (3) Aπό την (3) προκύπτει ότι η µεγαλύτερη απόσταση hmax στην οποία µπορεί να φθά

σει το σώµα, πάνω από το σηµείο βολής του O είναι ίση µε

�

v0

2/2g , δηλαδή ισχύει:

hmax = v0

2/2g (4)

Aυτό θα συµβεί ύστερα από χρόνο tα αφότου εκτοξεύθηκε το σώµα, ο οποίος είναι η διπλή ρίζα της (2), δηλαδή θα ισχύει:

�

t!= -(-2v0)/2g = v0/g (5)

Aς αναζητήσουµε τώρα τις χρονικές στιγµές, που το σώµα βρίσκεται στο σηµείο εκτόξευσής του O. Tότε θα ισχύει y=0 και η (2) γράφεται:

g t2 - 2v0t = 0 ! t(gt-2v0)=0 ! t=0 και t=2v0/g (6)

δηλαδή το σώµα βρίσκεται στο σηµείο O κατά την στιγµή της εκτόξευσής του και ύστερα από χρόνο 2v0/g αφότου εκτοξεύθηκε. Aυτό σηµαίνει ότι, ο χρόνος ανόδου tα του σώµατος από την θέση O µέχρι την ανώτατη θέση A της τροχιάς του και ο χρόνος καθόδου του tκ από την θέση A στην θέση O είναι ίσοι µεταξύ τους, δηλα δή ισχύει:

�

t!= t

"=v0/g (7)

Παρατηρήσεις: α. Eάν v, y είναι οι αλγεβρικές τιµές της ταχύτητας του σώµατος και της µετατό πισής του αντιστοίχως, κατά την χρονική στιγµή t, θα έχουµε:

�

v = v0 - gt

y = v0t - gt2/2

!

"

#

µε

�

t! 0

Oι γραφικές παραστάσεις των δύο παραπάνω σχέσεων φαίνονται στο σχήµα (13), από το οποίο προκύπτουν τα εξής συµπεράσµατα: i) Aπό κάθε σηµείο της κατακόρυφης τροχιάς, που βρίσκεται πάνω από το σηµείο

εκτόξευσης O

�

(0< y<v0

2 /2g) το σώµα διέρχεται δύο φορές, µία ανερχόµενο και µία κατερχόµενο, µε ταχύτητες οι οποίες είναι αντίθετες µεταξύ τους. ii) Aπό κάθε σηµείο της κατακόρυφης τροχιάς του, που βρίσκεται κάτω από το σηµείο βολής του (y<0) το σώµα διέρχεται µία µόνο φορά, έχοντας ταχύτητα προς τα κάτω (v<0).

Σχήµα 13

β. H ελεύθερη πτώση σώµατος χωρίς αρχική ταχύτητα µελετήθηκε από τον Γαλι λαίο, ο οποίος ανακάλυψε ότι όλα τα σώµατα ανεξάρτητα από το βάρος τους όταν αφεθούν ελεύθερα αποκτούν την ίδια περίπου επιτάχυνση, µε αποτέλεσµα να φθά νουν στο έδαφος περίπου ταυτόχρονα, όταν αφήνονται από το ίδιο ύψος. H άποψη αυτή του Γαλιλαίου κατάργησε την Aριστοτελική αντίληψη ότι, όσο πιο βαρύ είναι ένα σώµα τόσο πιο γρήγορα θα φθάσει στην επιφάνεια της Γης, όταν αφεθεί ελεύ θερο από ορισµένο ύψος. H πανηγυρική επαλήθευση των νόµων της ελεύθερης πτώσης έγινε τον Aύγουστο του έτους 1971 από τον αστροναύτη David Scott, ο οποίος ευρισκόµενος στην επιφάνεια της Σελήνης σε συνθήκες απόλυτου κενού (πλήρους ανυπαρξίας ατµοσφαιρικού αέρα) διεπίστωσε ότι, ένα σφυρί και ένα πτε ρό πουλιού έφθασαν στο έδαφος της Σελήνης ταυτόχρονα, όταν τα άφησε από το ίδιο ύψος την ίδια στιγµή. 8. Γωνιακή ταχύτητα κατά την κυκλική κινησή Θεωρούµε υλικό σηµείο, το οποίο εκτελεί κυκλική κίνηση διαγράφοντας την κυκ λική τροχιά (C), που έχει κέντρο O και ακτίνα r. Eάν M και M΄ είναι οι θέσεις του υλικού σηµείου κατά τις χρονικές στιγµές t και t+Δt αντιστοίχως, τότε η επι βάτική ακτίνα του σηµείου θα έχει διαγράψει στον χρόνο Δt µια επίκεντρη γωνία Δφ. Oρίζουµε ως µέση γωνιακή ταχύτητα του υλικού σηµείου για το χρονικό διά στηµα Δt, ένα διανυσµατικό φυσικό µέγεθος

! !

µ, του οποίου ο φορέας διέρχεται

από το κέντρο O και είναι κάθετος στο επίπεδο της κυκλικής τροχιάς (C), η δε φο ρά του ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού, δηλαδή έχει την φορά προς την οποία κατευθύνεται το µεγάλο δάκτυλο του δεξιού χεριού, όταν τα υπόλοιπα τέσσαρα δάκτυλα τεντώνονται ώστε να δείχνουν την φορά κίνησης του υλικού σηµείου (σχ. 14). Tέλος το µέτρο του διανύσµατος

! !

µ είναι ίσο µε το πηλίκο

Δφ/Δt, δηλαδή ισχύει:

ωµ=Δφ/Δt (1) Aς υποθέσουµε τώρα ότι το χρονικό διάστηµα Δt είναι πολύ µικρό, δηλαδή τείνει

στο µηδέν (Δt→0). Tότε και η αντίστοιχη γωνιακή µετατόπιση Δφ του σηµείου θα

τείνει στο µηδέν (Δφ→0), αλλά το πηλίκο Δφ/Δt θα τείνει σε κάποια τιµή γεγονός που σηµαίνει ότι, το διάνυσµα

! !

µ θα τείνει σ’ ένα διάνυσµα

! ! , το οποίο αναφέρε

Σχήµα 14

ται στην χρονική στιγµή t, ορίζεται δε ως γωνιακή ταχύτητα του υλικού σηµείου κατά την στιγµή αυτή. Eίναι προφανές ότι, κάθε στιγµή η γωνιακή ταχύτητα

! !

έχει φορέα που διέρχεται από το κέντρο O της τροχιάς (C) και είναι κάθετος στο επίπεδό της, έχει φορά που ανταποκρίνεται στον κανόνα του δεξιού χεριού, το δε µέτρο της δίνεται από την σχέση:

! =

"#

"tlim"t ! 0

= d#

dt (2)

Eάν ds είναι το µήκος του στοιχειώδους τόξου που διαγράφει το υλικό σηµείο στον στοιχειώδη χρόνο dt, τότε η αντίστοιχη στοιχειώδης γωνιακή µετατόπιση dφ αυτού εκφραζόµενη σε ακτίνια (rad) θα ικανοποιεί την σχέση: ds = rd! ! ds

dt = r

d!

dt !

�

v = !r (3)

όπου v το µέτρο της ταχύτητας

! v του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t.

H σχέση (3) σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι, κάθε ένα από τα διανύσµατα ! r , ! v

και ! ! είναι κάθετο στο επίπεδο των δύο άλλων (δηλαδή αποτελούν τρισορθογώνιο

σύστηµα), µας επιτρέπει να εκφράσουµε την ταχύτητα ! v , ως εξωτερικό γινόµενο

των ! r και

! ! , δηλαδή ισχύει η διανυσµατική σχέση:

! v = (

! ! !! r ) (4)

9. Γωνιακή επιτάχυνση κατά την κυκλική κίνησή. Θεωρούµε πάλι υλικό σηµείο, το οποίο διαγράφει την κυκλική τροχιά (C), κέντρου

O και ακτίνας r. Eάν ! ! είναι η γωνιακή ταχύτητά του κατά την χρονική στιγµή t,

που βρίσκεται στην θέση M και ! ! + !

! " η γωνιακή του ταχύτητα κατά την χρονι

κή στιγµή t+Δt που αυτό βρίσκεται στην θέση M΄, τότε η µεταβολή !! " της γωνι

ακής του ταχύτητας στον χρόνο Δt θα είναι ένα διάνυσµα συγραµµικό και οµόρ ροπο της

! ! , εάν κατά τον χρόνο Δt συµβαίνει αύξηση του µέτρου της γωνιακής

ταχύτητας του υλικού σηµείου ή συγραµµικό και αντίρρροπο της ! ! , εάν κατά τον

χρόνο Δt συµβαίνει ελάττωση του µέτρου της γωνιακής ταχύτητάς του. Tο πηλίκο !! " /!t αποτελεί ένα διανυσµατικό φυσικό µέγεθος, το οποίο ορίζεται ως µέση γω

νιακή επιτάχυνση του υλικού σηµείου για το χρονικό διάστηµα Δt, συµβολίζεται δε µε το διάνυσµα

! ! 'µ , δηλαδή ισχύει:

! ! 'µ = "

! ! /"t (1)

Aς υποθέσουµε τώρα ότι το χρονικό διάστηµα Δt είναι πολύ µικρό, δηλαδή τείνει

στο µηδέν (Δt→0), οπότε και η αντίστοιχη µεταβολή !! " της γωνιακής ταχύτητας

του υλικού σηµείου θα τείνει στο µηδέν. Όµως το πηλίκο !! " /Δt θα τείνει σ’ ένα

διάνυσµα ! ! ', το οποίο αναφέρεται στην χρονική στιγµή t και ορίζεται ως γωνιακή

επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατά την στιγµή αυτή. Δηλαδή ισχύει:

! ! '=

"t! 0

lim"! !

"t

"

# $

%

& ' =

d! !

dt (2)

Σχήµα 15

Aπό τον παραπάνω ορισµό προκύπτει ότι, η γωνιακή επιτάχυνση του υλικού ση µείου εκφράζει κάθε στιγµή το ρυθµό µεταβολής της γωνιακής του ταχύτητας. Eάν στην διάρκεια της κυκλικής κίνησης τα διανύσµατα

! ! ' και

! ! είναι οµόρρο

πα, τότε το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας θ’ αυξάνεται µε τον χρόνο, ενώ αν τα διανύσµατα αυτά είναι αντίρροπα µεταξύ τους, τότε το µέτρο της γωνιακής ταχύ τητας θα µειώνεται χρονικά. Tέλος αν κάθε στιγµή ισχύει

�

! ! '=

!

0 , τότε

�

d! ! =

!

0 , που σηµαίνει ότι, η γωνιακή ταχύτητα του υλικού σηµείου θα είναι σταθερή. Eξάλλου, εάν dv είναι η µεταβολή του µέτρου της ταχύτητας του υλικού σηµείου, µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt, και dω η αντίστοιχη µεταβολή του µέτρου της γωνιακής ταχύτητάς του, σύµφωνα µε τη σχέση (3) του προηγούµενου εδάφιου θα ισχύει:

dv = rd! !

dv

dt=

rd!

dt !

�

dv

dt= r

d!

dt ! a!

= r"' (3)

όπου aε το µέτρο της επιτρόχιας επιτάχυνσης του υλικού σηµείου κατά την χρονι κή στιγµή t. H σχέση (3) σε συνδυασµό µε το γεγονός ότι, καθ’ ένα από τα διανύσ µατα

! r ,

! a

! και

! ! ' είναι κάθετο στο επίπεδο των δύο άλλων (δηλαδή τα τρία δια

νύσµατα αποτελούν τρισορθογώνιο σύστηµα) µας επιτρέπει να εκφράσουµε την επιτρόχιο επιτάχυνση

! a

! ως εξωτερικό γινόµενο των διανυσµάτων

! r και

! ! ' δηλα

δή ισχύει η διανυσµατική σχέση:

�

! a != (! " '!! r )

10. Kυκλική κίνηση µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση Aς υποθέσουµε ότι, στην διάρκεια της κυκλικής κίνησης του υλικού σηµείου η γω νιακή του επιτάχυνση

! ! ' είναι σταθερή. Aυτό σηµαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα

! ! του υλικού σηµείου θα µεταβάλλεται µε σταθερό ρυθµό, δηλαδή σε κάθε µονά δα χρόνου θα µεταβάλλεται κατά το ίδιο ποσό. Έτσι, εάν

! !

0 είναι η γωνιακή ταχύ

τητα του σηµείου κατά τη στιγµή t=0 και ! ! η γωνιακή ταχύτητα του σηµείου

ύστερα από χρόνο t, τότε η συνολική µεταβολή της γωνιακής ταχύτητάς του στο χρόνο t θα είναι:

! ! -! !

0= d

! ! ( )

0

t

! !

! ! -! !

0=

! ! 'dt( )

0

t

! !

! ! -! !

0=! ! ' dt( )

0

t

! !

! ! =! !

0+! ! 't (1)

Eάν κατά την διάρκεια της κυκλικής κίνησης τα διανύσµατα

! ! ' και

! ! είναι οµόρ

ροπα, τότε τα µέτρα των διανυσµάτων της (1) θα ικανοποιούν την σχέση:

!=!0+!'t (2)

και η κυκλική κίνηση θα ονοµάζεται οµαλά επιταχυνόµενη. Eάν όµως τα δια νύσµατα

! ! ' και

! ! είναι αντίρροπα, τότε τα µέτρα των διανυσµάτων της (1) θα ικα

νοποιούν την σχέση: !=!

0-!'t (3)

και η κυκλική κίνηση θα ονοµάζεται οµαλά επιβραδυνόµενη. Eξάλλου, εάν φ είναι η επίκεντρη γωνία που διαγράφει η επιβατική ακτίνα

! r του υλικού σηµείου

στον χρόνο t, τότε αυτή θα είναι ίση µε το αλγεβρικό άθροισµα των στοιχειωδών γωνιακών µετατοπίσεων dφ της επιβατικής ακτίνας, οι οποίες αντιστοιχούν στα στοιχειώδη χρονικά διαστήµατα, στα οποία διαµερίζεται ο χρόνος t, δηλαδή θα ισ χύει:

! = d!( )

0

t

! = "dt( )0

t

! = "0±"' t( )dt[ ]

0

t

! !

! = "

0dt( )

0

t

! ± "' tdt( )0

t

! = "0

dt( )0

t

! ± "' tdt( )0

t

! !

! = "

0t± "' tdt( )

0

t

! (4)

΄Oµως στo εδάφιο 6 αποδείχθηκε η σχέση

�

(tdt)0

t

! = t2 /2, οπότε η (4) γράφεται:

! = "0t± "'t

2/2 (5)

Στην σχέση (5) η γωνία φ µετράται σε ακτίνια (rad) και το πρόσηµο (+) αντιστοιχεί στην οµαλά επιταχυνοµένη κυκλική κίνηση, ενώ το πρόσηµο (-) στην οµαλά επιβ ραδυνόµενη κυκλική κίνηση. 11. Tαχύτητα και επιτάχυνση υλικού σηµείου σε πολικές συντεταγµένες Θεωρούµε υλικό σηµείο, το οποίο εκτελεί επίπεδη κίνηση διαγράφοντας την τροχιά (C) του σχήµατος (16). Eάν

! r είναι η επιβατική ακτίνα του υλικού σηµείου

ως πρός το σταθερό σηµείο O του επιπέδου κίνησης κατά µια τυχαία χρονική στιγ µή t, τότε η αντίστοιχη ταχύτητα του

! v θα είναι:

�

! v =

d! r

dt=

d

dt(r! e r) =

dr

dt

! e r + r

d! e r

dt (1)

Σχήµα 16

όπου

! e

r το µοναδιαίο διάνυσµα της επιβατικής ακτίνας

! r . Eξάλλου εάν

d! e

r είναι

η µεταβολή του

! e

r µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt και dθ η αντίστοιχη

µεταβολή της γωνίας θ που σχηµατίζει η επιβατική ακτίνα ! r µε τον πολικό άξονα

Ox, τότε εκ του σχήµατος (16) προκύπτει η σχέση:

�

d! e

r= d!

! e ! !

�

d! e

r

dt=

d!

dt

! e ! (2)

όπου

! e ! το µοναδιαίο διάνυσµα κατά την κάθετη πρός την επιβατική ακτίνα

! r

διεύθυνση. Tο διάνυσµα αυτό δείχνει την φορά κατά την οποία η γωνία θ αυξάνε ται. Συνδυάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) παίρνουµε:

�

! v =

dr

dt

! e

r+ r

d!

dt

! e ! (3)

Aπό την (3) προκύπτει ότι, η συνιστώσα

! v

r της

! v κατά τη διεύθυνση της επιβα

τικής ακτίνας ! r έχει αλγεβρική τιµή dr/dt, ενώ η συνιστώσα

! v ! η κάθετη προς

την επιβατική ακτίνα έχει αλγεβρική τιµή r(dθ/dt), δηλαδή ισχύουν οι σχέσεις:

v

r=

dr

dt και

v!= r

d!

dt (4)

Eάν

! a είναι η επιτάχυνση του υλικού σηµείου κατά την χρονική στιγµή t, θα

έχουµε:

�

! a =

d! v

dt

(3)

!

�

! a =

d

dt

dr

dt

! e

r+ r

d!

dt

! e !

!

" #

$

% & !

Σχήµα 17

�

! a =

d2r

dt2

! e

r+

dr

dt

d! e

r

dt+

dr

dt

d!

dt

! e !+ r

d2!

dt2

! e !+ r

d!

dt

d! e !

dt

(2)

!

�

! a =

d2r

dt2

! e

r+

dr

dt

d!

dt

! e !+

dr

dt

d!

dt

! e !+ r

d2!

dt2

! e !+ r

d!

dt

d! e !

dt (5)

Eξάλλου, εάν

d! e ! είναι η µεταβολή του µοναδιαίου διανύσµατος

! e ! µεταξύ των

χρονικών στιγµών t και t+dt, εκ του σχήµατος (17) θα έχουµε:

d! e !

= -d!!! e

r !

d! e !

dt= -

d!

dt!! e

r (6)

Συνδυάζοντας τις σχέσεις (5) και (6) παίρνουµε:

�

! a =

d2r

dt2

! e

r+ 2

dr

dt

d!

dt

! e !+ r

d2!

dt2

! e !- r

d!

dt

!

" #

$

% &

2

! e

r !

�

! a =

d2r

dt2

- rd!

dt

!

" #

$

% &

2'

(

)

)

*

+

,

,

! e

r+ 2

dr

dt

d!

dt+ r

d2!

dt2

!

" #

$

% &

! e ! (7)

Aπο την (7) προκύπτει ότι, η συνιστώσα

! a

r της

! a κατά την διεύθυνση της επι

βατικής ακτίνας ! r έχει αλγεβρική τιµή:

�

ar=

d2r

dt2

- rd!

dt

!

" #

$

% &

2

(8)

ενώ η συνιστώσα

! a

! κατά την κάθετη πρός την

! r διεύθυνση έχει αλγεβρική τιµή:

�

a!

= 2dr

dt

d!

dt+ r

d2!

dt2 (9)

Oι σχέσεις (4), (8) και (9) είναι πολύ χρήσιµες, όταν εξετάζουµε την επίπεδη κίνη ση υλικού σηµείου κατά την οποία αυτό δέχεται δύναµη που κατευθύνεται πρός ένα σταθερό σηµείο του επιπέδου κίνησής του (κεντρική δύναµη) 12. Σχετική κίνηση Πολλές φορές µας ενδιαφέρει να συσχετίζουµε τα αποτελέσµατα των µετρήσεων που αναφέρονται στην κίνηση υλικού σηµείου, όταν αυτό εξετάζεται από δύο συστήµατα αναφοράς που το ένα κινείται σε σχέση µε το άλλο. Έτσι εάν η κίνηση υλικού σηµείου εξετάζεται από δύο παρατηρητές, που έχουν εγκατασταθεί σε δύο διαφορετικά συστήµατα αναφοράς, τότε κάθε στιγµή οι δύο παρατηρητές θα µετ ρούν διαφορετική µετατόπιση, διαφορετική ταχύτητα και διαφορετική επιτάχυνση για το υλικό σηµείο, αλλά πάντα είναι δυνατή η σύνδεση των αντιστοίχων µεγε θών µεταξύ τους. Για να γίνει αυτό κατανοητό ας θεωρήσουµε δύο παρατηρητές (α) και (β) που έχουν εγκατασταθεί στην αρχή δύο συστηµάτων αναφοράς Oxyz και Ο’x’y΄z’ (σχ. 18α), όπου το πρώτο θεωρείται κατά συνθήκη ακίνητο (π.χ. είναι στερεωµένο στο έδαφος), ενώ το δεύτερο κινείται σε σχέση µε το πρώτο. Ο παρατη ρητής (α) µπορεί να ισχυριστεί ότι κάθε στοιχειώδης µετατόπιση του Ο’x’y΄z’ πραγ µατοποιούµενη µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt είναι συνισταµένη µιας στοιχειώδους µεταφοράς αυτού και µιας στοιχειώδους περιστροφής περί στιγµιαίο

άξονα διερχόµενο από το Ο’. Έτσι, αν για τον παρατηρητή (α) ένα διάνυσµα

�

! G µε

ταβάλλεται στον χρόνο dt κατα

�

(d! G )

! η αντίστοιχη µεταβολή του

�

(d! G )! για τον

Σχήµα 18.α Σχήµα 18.β παραρήρητή (β) θα είναι λόγω της µεταφοράς του

�

(d! G )

!, διότι η κίνηση αυτή δη

µιουργεί για κάθε διάνυσµα παράλληλη µετατόπιση, λόγω δε της περιστροφής του θα είναι

�

(d! G )

!, δηλαδή θα ισχύει η διανυσµατική σχέση:

�

(d! G )! = (d

! G )" + (d

! G )# (1)

Εξάλλου, εάν

�

d! ! είνα το διάνυσµα της στοιχειώδους περιστροφής του Ο’x’y’z’

στον χρόνο dt, τότε το διάνυσµα

�

! G θα στραφεί στον ίδιο χρόνο σε σχέση µε το

Ο’x’y’z’ κατά το διάνυσµα -

�

d! ! και η µεταβολή

�

(d! G )

! θα είναι αυτή που φαίνεται

στο σχήµα (18.β), µε µέτρο που δίνεται από την σχέση: (dG)π =ρdφ=|

�

! G |ηµθdφ (2)

Όµως το διάνυσµα

�

(d! G )

! είναι κάθετο και στο

�

d! ! και στο

�

! G , οι δε φορές των

τριών αυτών διανυσµάτων συνδυαζόµενες και µε τη σχέση (3) µας επιτρέπουν να γράψουµε την διανυσµατική σχέση:

�

(d! G )! = (

! G " d

! # ) (3)

Συνδιάζοντας τις σχέσεις (1) και (2) έχουµε:

�

(d! G )! = (d

! G )" + (

! G # d

! $ ) !

�

(d! G )! = (d

! G )" - (

! G # d

! $ ) !

�

(d! G )!

dt=

(d! G )"

dt-(! G # d

! $ )

dt !

�

d! G

dt

!

" #

$

% &

'

=d! G

dt

!

" #

$

% &

(

-! G )

d! *

dt

!

" #

$

% & !

�

d! G

dt

!

" #

$

% & '

=d! G

dt

!

" #

$

% & (

+! ) *

! G ( ) (4)

Η σχέση (4) µας επιτρέπει να διατυπώσουµε την ακόλουθη σπουδαία πρόταση: O ρυθµός µεταβολής ενός διανύσµατος

�

! G ως προς ένα σύστηµα αναφοράς (α) που

θεωρείται ακίνητο, είναι κάθε στιγµή ίσος µε τον αντίστοιχο ρυθµό µεταβολής του διανύσµατος ως προς ένα άλλο σύστηµα αναφοράς (β) που κινείται ως προς το (α), συν το εξωτερικό γινόµενο

�

! ! "

! G ( ) , όπου

�

! ! η γωνιακή ταχύτητα περίστροφής του (β) ως

προς το (α) κατά την θεωρούµενη χρονική στιγµή. α. Σχετική ταχύτητα Με βάση την παραπάνω πρόταση µπόρούµε να συσχετίσουµε κάθε στιγµή τις ταχύ τητες που καταγράφουν για ένα υλικό σηµείο οι παρατηρητές (α) και (β). Πρός τούτο εφαρµόζουµε την (4) για το διάνυσµα θέσεως

�

! r ' του υλικού σηµείου ως προς

την αρχή Ο’ του κινούµενου συστήµατος Ο’x’y’z’ οπότε θα έχουµε:

�

d! r '

dt

!

" #

$

% & '

=d! r '

dt

!

" #

$

% & (

+! ) *! r '( ) (5)

Εξάλλου εάν

! r ,

!

R είναι oi αντίστοιχες επιβατικές ακτίνες του υλικού σηµείου και της αρχής Ο’, ως προς την αρχή Ο του ακίνητου σύστήµατος αναφοράς Οxyz θα έχουµε την σχέση:

! r =! r '+

!

R !

�

d! r

dt

!

" #

$

% &

'

=d! r '

dt

!

" #

$

% &

'

+d! R

dt

!

" #

$

% &

'

�

!

(5)

�

d! r

dt

!

" #

$

% & '

=d! r '

dt

!

" #

$

% & (

+d! R

dt

!

" #

$

% & '

+! ) *! r '( ) (6)

Όµως το διάνυσµα ( d

! r /dt)α αποτελεί την ταχύτητα

! v α του υλικού σηµείου, όπως

την καταγράφει ο ακίνητος παρατηρητής (α), η οποία ονοµάζεται και απόλυτη ταχύτητα του υλικού σηµείου, ενώ το διάνυσµα ( d

! r '/dt)β αποτελεί την ταχύτητα

! v σχ που καταγράφει για το υλικό σηµείο την ίδια χρονική στιγµή ο κινούµενος παρατηρητής (β) και ονοµάζεται σχετική ταχύτητα αυτού, ως προς τον παρατηρη τή (β). Tέλος το διάνυσµα ( d

!

R /dt)α+(

�

! ! "! r ') αποτελεί την λεγόµενη µετοχική

ταχύτητα ! v µ του υλικού σηµείου, δήλαδή την ταχύτητα που θα είχε αν ήταν ακλό

νητο ως προς το κινούµενο σύστηµα αναφοράς, οπότε θα µετείχε της κινήσεως αυτού. Έτσι η σχέση (6) παίρνει την περιληπτική µόρφή:

�

! v ! =

! v "# +

! v µ (7)

Aς εξετάσουµε την ειδική περίπτωση που το κινούµενο σύστηµα αναφοράς Ο’x’y’z’ κινείται µε σταθέρη ταχύτητα

�

! V ως προς το Oxyz. Ένα τέτοιο σύστηµα ονοµάζε

ται αδρανειακό και στην περίπτωση αυτή θα έχουµε

�

! ! "! r '=0, ( d

!

R /dt)α=

�

! V οπό

τε η σχέση (7) γράφεται:

Σχήµα 18.γ

�

! v ! =

! v "# +

! V !

�

! v !" =

! v # + (-

! V ) (8)

H διανυσµατική σχέση (8) εκφράζει την ακόλουθη σπουδαία πρόταση: H σχετική ταχύτητα ενός υλικού σηµείου, ως προς ένα αδρανειακό σύστηµα αναφο ράς, είναι κάθε στιγµή ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της απόλυτης ταχύτητάς του και του αντιθέτου διανύσµατος της ταχύτητας του κινούµενου συστήµατος ανα φοράς ως προς το ακίνητο σύστηµα. Στό σχήµα (18,γ) αποδίδεται η παραπάνω πρόταση. β. Σχετική επιτάχυνση Εάν

�

! a ! είναι η επιτάχυνση που καταγράφει για το υλικό σηµείο ο παρατηρητής

(α) που είναι εγκατεστηµένος στο ακίνητο σύστηµα αναφοράς Οxyz (απόλυτη επι τάχυνση) τότε θα ισχύει:

�

! a ! =

d! v !

dt=

d

dt

! v "# +

d! R

dt+! $ %! r '( )

&

' (

)

* + !

�

=d

2! R

dt2

!

" #

$

% & '

+d

dt

! v () +

! * +! r '( )[ ]'

(9)

Εφαρµόζοντας την σχέση (4) για το διάνυσµα

�

! v !" + (

! # $! r ') παίρνουµε:

�

d

dt

! v !" + (

! # $! r ')[ ]

%=

d

dt

! v !" + (

! # $! r ')[ ]

&+! # $

! v !" +

! # $! r '( )[ ] !

�

d

dt

! v !" + (

! # $! r ')[ ]%

=d! v !"

dt

&

' (

)

* + ,

+d

dt(! # $! r '), + (

! # $! v !" ) +

! # $

! # $! r '( )

οπότε η (9) γράφεται:

�

! a ! =

d2! R

dt2

"

# $

%

& ' !

+d! v ()

dt

"

# $

%

& ' *

+d

dt(! + ,! r ')* + (

! + ,! v () ) +

! + ,

! + ,! r '( ) (11)

Όµως ισχύει ακόµη η σχέση:

�

d

dt(! ! "! r ')# =

d! !

dt"! r '

$

% &

'

( ) +

! ! "

d! r '

dt

$

% &

'

( )

�

=d! !

dt"! r '

#

$ %

&

' ( +

! ! "! v )*( )

οπότε η (11) παίρνει την µορφή:

�

! a ! =

! a "# +

d2! R

dt2

$

% &

'

( ) !

+d! *

dt+! r '

$

% &

'

( ) + 2(

! * +! v "# ) +

! * +

! * +! r '( ) (12)

όπου

�

! a !" η σχετική επιτάχυνση που αναγνωρίζει για το υλικό σηµείο ο κινούµε

νος παρατηρητής (β), ίση µε το διάνυσµα

�

(d! v !" /dt)# . Το διάνυσµα

�

2(! ! "! v #$ ) εκφ

ράζει επιτάχυνση που ονοµάζεται Coriolis επιτάχυνση του υλικού σηµείου και συµβολίζεται µε

�

! a

C, ενώ το διάνυσµα

�

(d2! R /dt2)

!+ (d! " /dt)#

! r '+! " # (

! " #! r ')

αποτελεί την λεγόµενη µετοχική επιτάχυνση

�

! a µ του υλικού σηµείου, δηλαδή

την επιτάχυνση που θα είχε, αν ήταν άρρηκτα συνδεδεµένο µε το κινούµενο σύ στηµα αναφοράς, ώστε να µετέχει της κινήσεώς του. Έτσι η σχέση (12) παίρνει την περιληπτική µορφή:

�

! a ! =

! a "# +

! a

C+! a µ (13)

Aς εξετάσουµε την ειδική περίπτωση που το κινούµενο σύστηµα αναφοράς Ο’x’y’z’ είναι ένα αδρανειακό σύστηµα, δηλαδή κινείται µε σταθερή ταχύτητα

�

! V ως προς

το Oxyz. Τότε η Coriolis επιτάχυνση και η µετοχική επιτάχυνση του υλικού σηµείου θα είναι µηδενικές και η σχέση (13) δίνει:

�

! a ! =

! a "# (14)

δήλαδη οι δύο παρατηρητές αντιλαµβανονται για το υλικό σηµείο την ίδια επιτά χυνση. Εξάλλου αν το κίνούµενο σύστηµα έχει σταθερή επιτάχυνση

�

! A , τότε η µεν

Coriolis επιτάχυνση θα είναι µηδενική και η µετοχική επιτάχυνση θα είναι ίση µε

�

! A , οπότε η σχέση (13) στην περίπτωση αυτή γράφεται:

�

! a ! =

! a "# +

! A !

�

! a !" =

! a # + (-

! A ) (16)

H διανυσµατική σχέση (16) εκφράζει την ακόλουθη πρόταση: H σχετική επιτάχυνση υλικού σηµείου, ως προς ένα σύστηµα αναφοράς κινούµενο µε σταθερή επιτάχυνση ως προς ένα ακίνητο σύστηµα, είναι κάθε στιγµή ίση µε το διανυσµατικό άθροισµα της απόλυτης επιτάχυνσής του και του αντίθετου διανύσµα τος της επιτάχυνσης του κινούµενου συστήµατος αναφοράς. 13. Mη επίπεδος καµπυλόγραµµη κίνηση-Τρίεδρο του Frenet Θεωρούµε υλικό σηµείο που διαγράφει στον χώρο καµπύλη τροχιά (C), η οποία περιγράφεται από την διανυσµατική συνάρτηση

�

! r =! r (s), όπου

�

! r το διάνυσµα

θέσεως του υλικού σηµείου ως προς την αρχή Ο ενός συστήµατος συντεταγµένων και s παράµετρος, που εκφράζει το µήκος του τόξου που διαγράφει το υλικό σηµείο, µετρούµενο επί της καµπύλης (C) µε αφετηρία ένα σταθερό σηµείο Α0 αυτής. Εάν µεταξύ των χρονικών στιγµών t και t+dt το υλικό σηµείο µετατοπίζε

Σχήµα 19

ται από την θέση Μ στην θέση Μ’, τότε η µεταβολή d

�

! r του διανύσµατος θέσεως

�

! r

στον χρόνο dt θα έχει µέτρο ίσο µε το αντίστοιχο µήκος ds του τόξου που διαγρά φει. Αυτό σηµαίνει ότι το διάνυσµα d

�

! r /ds έχει µέτρο ίσο µε τη µονάδα και κα

τεύθυνση ίδια µε εκείνη της ταχύτητάς του

�

! v κατά την χρονική στιγµή t. Το

διάνυσµα αυτό ονοµάζεται µοναδιαίο εφαπτοµενικό διάνυσµα της τροχιάς (C) στο σηµείο Μ και συµβολίζεται µε

�

!

T , δηλαδή ισχύει:

�

!

T = d! r /ds (1)

Εξάλλου η ταχύτητα

�

! v του υλικού σηµείου είναι:

�

! v =

d! r

dt=

d! r

ds

ds

dt

�

!

(1)

�

! v = v

!

T (2)

διότι το πηλίκο ds/dt εκφράζει το µέτρο της ταχύτητας

�

! v . Εξελισσόµενης της κί

νησης το διάνυσµα

�

!

T µεταβάλλεται σε συνάρτηση µε το τόξο s το δέ διάνυσµα d

�

!

T /ds περιγράφει σε κάθε σηµείο της καµπύλης (C) τον τρόπο µεταβολής της καµ πυλότητας της τροχιάς και συγκεκριµένα την απόκλισή της από την ευθύγραµµη µορφή. Για να γίνει αυτό κατανοητό θα ξεκινήσουµε από την προφανή σχέση

�

(!

T !!

T )=1 η οποία µε διαφόριση δίνει:

�

2(!

T !d!

T )= 0

�

!

�

(!

T !d!

T /ds)= 0 (3) H σχέση (3) εγγυάται ότι τα διανύσµατα

�

!

T και d

�

!

T /ds είναι µεταξύ τους ορθογώ νια, δηλαδή το d

�

!

T /ds κατευθύνεται προς το κέντρο* καµπυλότητας Κ της τρο χιάς (C) στο σηµείο Μ και εποµένως µπορεί να λάβει την µορφή:

�

d

!

T

ds=

d

!

T

ds

!

N (4)

Σχήµα 20 όπου

�

!

N το λεγόµενο µοναδιαίο διάνυσµα της πρώτης καθέτου της τροχιάς (C) στο σηµείο Μ αυτής. Εξάλλου, εάν dθ είναι η γωνία υπό την οποία φαίνεται το στοιχει ώδες τόξο ds από το το κέντρο καµπυλότητας Κ θα ισχύει ds=ρdθ, όπου ρ η ακτί να καµπύλότητας της τροχιάς στο σηµείο Μ, η δε σχέση (4) µετασχηµατίζεται ως εξής:

�

d

!

T

ds=

d

!

T

d!

d!

ds

!

N

�

!

�

d

!

T

ds=

1

!

d

!

T

d"

!

N (5)

Εφαρµόζοντας στο σκιασµένο τρίγωνο του σχήµατος (20) τον νόµο του ηµιτόνου --------------------------------------- * To κέντρο καµπυλότητας Κ στο τυχαίο σηµείο Μ της τροχιάς (C) προκύπτει ως τοµή των καθέτων ευθειών στα µοναδιαία διανύσµατα

�

! T και

�

! T +

�

d! T , η δε απόστασή του από

το Μ αποτελεί την ακτίνα καµπυλότητας ρ της τροχιάς στο σηµείο αυτό.

παίρνουµε την σχέση:

�

| d!

T |

!µd"=

|!

T |

!µ(#/2)

�

!

�

| d!

T |

d!= |!

T |

�

!

�

d

!

T

d!= 1

οπότε η (5) γράφεται:

�

d

!

T

ds=

!

N

! (6)

Από την σχέση (6) προκύπτει ότι το µέτρο του διανύσµατος d

�

!

T /ds εκφράζει το αντίστροφο της ακτίνας καµπυλότητας της τροχιάς (C) σε κάθε σηµείο της. Το επίπεδο που καθορίζουν τα µοναδιαία διανύσµατα

�

!

T και

�

!

N ονοµάζεται εγγύτατο επίπεδο της τροχιάς (C) στο αντίστοιχο σηµείο της. Το διάνυσµα

�

!

B το οριζόµενο µέσω της σχέσεως

�

!

B = (!

T !!

N ) (7) είναι κάθετο στο εγγύτατο επίπεδο, ονοµάζεται δε µοναδιαίο διάνυσµα της δεύτε ρης καθέτου της τροχιάς (C) στο σηµείο Μ. Η µεταβολή του διανύσµατος

�

!

B σε σύναρτηση µε την παράµετρο s εκφράζει σε κάθε σηµείο της καµπύλης (C) τον βαθµό απόκλισής της από την επίπεδη µορφή, δηλαδή εκφράζει την στρέβλωσή της. Παραγωγίζοντας την (7) ως προς s παίρνουµε την σχέση:

�

d

!

B

ds=

d

!

T

ds!!

N

"

#

$

%

&

' +

!

T !d

!

N

ds

"

#

$

%

&

'

�

!

(6)

�

d

!

B

ds=

!

N

!"!

N

#

$

%

&

'

( +

!

T "d

!

N

ds

#

$

%

&

'

(

�

!

�

d

!

B

ds=

!

0 +

!

T !d

!

N

ds

"

#

$

%

&

' =

!

T !d

!

N

ds

"

#

$

%

&

' (8)

Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά και τα δύο µέλη της (8) µε το διάνυσµα

�

!

T παίρνου µε την σχέση:

�

!

T !d!

B

ds

"

#

$

%

&

' =!

T !!

T (d!

N

ds

"

#

$

%

&

'

)

*

+

+

,

-

.

.

=d!

N

ds! (!

T (!

T ))

*

+

,

-

. =!

0

που σηµαίνει ότι τα διανύσµατα

�

!

T και d

�

!

B /ds είναι µεταξύ τους ορθογώνια. Επίσης ισχύει:

�

(!

B !!

B ) = 1

�

!

�

2(!

B !d!

B /ds) = 0

�

!

�

(!

B !d!

B /ds) = 0 δηλαδή τα διανύσµατα

�

d

!

B /ds και

�

!

B είναι ορθογώνια. Από τα παραπάνω προκύ

πτει ότι το διάνυσµα

�

d

!

B /ds είναι κάθετο στο επίπεδο που ορίζουν τα

�

!

B και

�

!

T δη λαδή είναι συγγραµµικό του

�

!

N , γεγονός που µας επιτρέπει να ισχυριστούµε ότι υπάρχει πραγµατικός αριθµός τ που ικανοποιεί την σχέση:

�

d

!

B

ds= -!

!

N (9)

O πραγµατικός αριθµός τ, ο οριζόµενος µέσω της σχέσεως (9), ονοµάζεται στρέψη της καµπύλης (C) στο σηµείο Μ, ενώ το αντίστροφο 1/τ αυτής ονοµάζεται ακτίνα στρέψεως της κάµπύλης στο θεωρούµενο σηµείο. Η διατεταγµένη τριάδα (

�

!

T ,

�

!

N ,

�

!

B ) όρίζει ένα τοπικού χαρακτήρα δεξιόστροφο τρισορθογώνιο σύστηµα, που ονοµά ζεται τρίεδρο του Frenet. Προφανώς το τρίεδρο αυτό µετατοπίζεται όταν η παρά µετρος s µεταβάλλεται, δηλαδή παρακολουθεί την κίνηση του υλικού σηµείου επί της τροχιάς του (C). Στην συνέχεια θα δείξουµε ότι η επιτάχυνση του υλικού ση µείου βρίσκεται κάθε στιγµή στο αντίστοιχο εγγύτατο επίπεδο της τροχιάς του. Εάν

�

! v είναι η τάχύτητα του υλικού σηµείου και

�

!

T το µοναδιαίο εφαπτοµενικό διά νυσµα κατά µια τυχαία χρονική στιγµή t, θα ισχύει για την αντίστοιχη επιτάχυν σή του

�

! a η σχέση:

�

! a =

d! v

dt=

d(v!

T )

dt

�

!

�

! a = v

d

!

T

dt+

!

T dv

dt (10)

όπου v το µέτρο της ταχύτητας

�

! v . Όµως ισχύει και η σχέση:

�

d

!

T

dt=

d

!

T

ds

ds

dt=d

!

T

dsv

�

!

(6)

�

d

!

T

dt=

!

N

!v

οπότε η (10) γράφεται:

�

! a =

dv

dt

!

T +v

2

!

!

N (11)

Η σχέση (11) δηλώνει ότι το διάνυσµα

�

! a ανήκει στο επίπεδο των µοναδιαίων δια

νυσµάτων

�

!

T και

�

!

N , δηλαδή βρίσκεται στο εγγύτατο επίπεδο της τροχιάς (C) που αντιστοιχεί στην θεωρούµενη χρονική στιγµή. Επί πλέον δηλώνει ότι η επιτάχυν ση

�

! a απότελείται από την εφαπτοµενική συνιστώσα

�

!

T (dv/dt), η οποία καθορίζει την µεταβολή του µετρου της ταχύτητας και είναι η επιτρόχιος επιτάχυνση του υλικού σηµείου και από την ακτινική συνιστώσα

�

v2!

N /! η οποία καθορίζει την µεταβολή της διεύθυνσης της ταχύτητας και είναι η κεντροµόλος επιτάχυνσή του. Για την ακτίνα καµπυλότητας ρ και την στρέψη τ µιας γραµµής του τρισδιάστα του χώρου, ισχύει η ακόλουθη πρόταση: Όταν µια καµπύλη (C) του τρισδιάστατου χώρου περιγράφεται από µια παραµετρική σχέση της µορφής

�

! r =! r (s), όπου s το µήκος του τόξου που µετράται επί της καµπύ

λης από κάποιο σταθερό σηµείο της, τότε η ακτίνα καµπυλότητας ρ αυτής και η στρέ ψη της τ σε κάθε σηµείο, ικανοποιούν τις σχέσεις:

�

1

!=

d2! r

ds2

και

�

! =d! r

ds"

d2! r

ds2#

d3! r

ds3

$

%

&

'

(

)

*

+

,

,

-

.

/

/

:d

2! r

ds2

2

Για την απόδειξη της πρώτης σχέσεως χρησιµοποιούµε τον ορισµό του µοναδιαίου εφαπτοµενικού διανύσµατος

�

!

T της καµπύλης (C), συµφωνα µε τον οποίο σε κάθε σηµείο της ισχύει:

�

!

T =d! r

ds

�

!

�

d!

T

ds=

d2! r

ds2

�

!

(6)

�

!

N

!=

d2! r

ds2

�

!

�

!

N

!=

d2! r

ds2

�

!

�

1

!=

d2! r

ds2

(12)

Για την απόδειξη της δεύτερης σχέσεως χρησιµοποιούµε τον ορισµό του µοναδιαί ου διανύσµατος

�

!

B της δεύτερης καθέτου της καµπύλης (C), δηλαδή την σχέση:

�

!

B = (!

T !!

N )

�

!

�

d

!

B

ds=

d

!

T

ds!!

N

"

#

$

%

&

' +

!

T !d

!

N

ds

"

#

$

%

&

'

�

!

�

d

!

B

ds=

!

N

!"!

N

#

$

%

&

'

( +

!

T "d

!

N

ds

#

$

%

&

'

(

�

!

�

d

!

B

ds=

!

0 +

!

T !d

!

N

ds

"

#

$

%

&

'

�

!

�

d

!

B

ds=

!

T !d

!

N

ds

"

#

$

%

&

'

�

!

(9)

�

-!!

N =

!

T "d

!

N

ds

#

$

%

&

'

( (13)

Πολλαπλασιάζοντας εσωτερικά και τα δύο µέλη της (13) µε το διάνυσµα

�

!

N παίρ νουµε:

�

-! (! N "! N ) =

! N "! T #

d! N

ds

$

% &

'

( )

*

+

,

-

.

/

�

!

�

! = -! N "! T #

d! N

ds

$

% &

'

( )

*

+

,

-

.

/

�

!

�

! =! N "

d! N

ds#! T

$

% &

'

( )

*

+

,

-

.

/ =! T "! N #

d! N

ds

$

% &

'

( )

*

+

,

-

.

/ (14)

Όµως ισχύουν και οι σχέσεις:

�

!

T =d! r

ds

�

!

�

d!

T

ds=

d2! r

ds2

�

!

(6)

�

!

N

!=

d2! r

ds2

�

!

�

!

N = !d

2! r

ds2 (15)

Παραγωγίζοντας την (15) ως προς s έχουµε:

�

d!

N

ds= !

d3! r

ds3

+d!

ds

d2! r

ds2

οπότε η σχέση (14) γράφεται:

�

! =d! r

ds" #

d2! r

ds2$ #

d3! r

ds3

+d#ds

d2! r

ds2

%

&

'

(

)

*

+

,

-

-

.

/

0

0

1

2 3

4 3

5

6 3

7 3

�

!

�

! =d! r

ds" #2 d

2! r

ds2$

d3! r

ds3

%

&

'

(

)

* +#d#ds

d2! r

ds2$

d2! r

ds2

%

&

'

(

)

*

+

,

-

-

.

/

0

0

1

2 3

4 3

5

6 3

7 3

�

!

�

! =d! r

ds" #2 d

2! r

ds2$

d3! r

ds3

%

&

'

(

)

*

+

,

-

-

.

/

0

0

= #2 d! r

ds"

d2! r

ds2$

d3! r

ds3

%

&

'

(

)

*

+

,

-

-

.

/

0

0

�

!

(12)

�

! =d! r

ds"

d2! r

ds2#

d3! r

ds3

$

%

&

'

(

)

*

+

,

,

-

.

/

/

:d

2! r

ds2

2

P.M. fysikos