第七章 离散信号与系统时域分析

7-1 离散时间信号 一、定义 : 只在一系列离散的

时间点上才有确定值的信号。

取样间隔一般取均匀间隔

而在其它的时间上无意义，因此它在时间上是不连续的序列 , 并是离散时间变量的 tk 函数。

获取方法：

1 ）直接获取

2 ）连续信号取样

表示方法：

1 ）图形表示

2 ）数据表格

t 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7

u(t) 1.2 1.4 1.3 1.7 1.1 1.9 1.8

3 ）序列表示

1.0,3.0,8.0,9.0

0n

一般简化记为 f(n) 或 f(k)

,8,4,2,1,0,0,)(

0k

kf

例 : 试写出其序列形式并画出图形。

解：序列形式 波形：

序列的几种形式

单边序列：

双边序列： -<k<, f(k)0

有限序列： k1<k<k2,f(k)0

左序列： k0 ， f(k)=0

右序列： k<0 ， f(k)=0

二、离散信号时域运算

1. 相加 : 用同序号的值对应相加后构成新的序列。

y(k)=f1(k)+f2(k)

5.0,1,5.1

0

1

k

kf

1,2,3

0

2

k

kf

(k)f(k)fkf 21)(

5.1,3,5.4

0k

2. 相乘 : 同序号的数值对应相乘后构成新的序列。

5.0,1,5.1

0

1

k

kf

1,2,3

0

2

k

kf

y(k)=f1(k)f2(k)

(k)f(k)ff(k) 21

5.0,2,5.4

0k

3 、数乘 : 完成序号值的比例运算。

y(k)=Af(k)

5.0,1,5.1

0

1

k

kf

(k)fky 13)(

5.1,3,5.4

0k

4 、累加和 : 序号前 k 项值累加得到一个新序列。

(i)fy(k)k

i1

22

15.2

05.1

00

k

k

k

k

k

i

ifky )()(

三、离散信号时域变换

1. 移序 : y(k)=f(k-m)

2. 折叠 : y(k)=f(-k)

3. 倒相 : y(k)=-f(k)

4. 展缩 : y(k)=f(ak)

5. 差分 : 序列与其移序序列的差而得到一个新序列。

y(k)=f(k)-f(k-1)

y(k)=f(k+1)-f(k)

（后向差分）

（前向差分）

( 横坐标 k 只能取整数 )

即：展缩后序列 y(k) 可能会出现 k 为非整数情况，此时舍去非整数的 k 及其值

1. 单位序列（单位取样序列、单位脉冲序列、单位函数）

0,1

0,0)(

k

kk

推广：

jk

jkjk

,1

,0)()1 性质：

)(),()2 jkAkA

可见， (k) 作用类似于 (t) ，但二者有较大差别：

0)()0()()( fkfkkf

四、常用离散信号

)()()()()( mfmkmfmkkf

(t) ：奇异信号，数学抽象函数；

(k) ：非奇异信号，可实现信号。

利用单位序列 (k) 表示任意序列

m

mkmfkf )()()( 例：

注意：注意：

,0,0,3,0,5.1,1,0,

0k

kf

235.11 kkk

(t) 用面积（强度）表示， ( 幅度为 , 但强度为面积 )(k) 的值就是 k=0 时的瞬时值（不是面积）

00

0)(

t

tt

1)(

dtt

0,1

0,0)(

k

kk

2. 单位阶跃序列

0,0

0,1)(

k

kkU

0

)()3()2()1()()(i

ikkkkkkU

)1()()( kUkUk

U(k) 可以看作是无数个出现在不同序号上的单位序列信号之和。

推广：

jk

jkjkU

,1

,0)()1

)(),()2 jkAUkAU

性质：

00

0)()()(

k

kkfkUkf

U(t) ：奇异信号，数学抽象函数； U(k) ：非奇异信号，可实现信号。

可见， U(k) 作用类似于 U(t) ，但二者有较大差别：

关系：与 )()( kUk

3. 单位矩形序列（单位门序列）

Nkk

NkkGN ,0,0

10,1)(

)()()( NkUkUkGN

mNkmk

mNkmmkGN ,,0

1,1)( )()( NmkUmkU

4. 斜变序列

)()( kkUkr

5. 单边指数序列 kUakf k

递增序列正负相间递减序列正负相间

递增序列收敛序列

,:1

,:01

:1:10

a

a

aa

0 1a

1a

1a

1 0a

1a

1a

6. 正弦序列 00 cossin kkfkkf 或

ttftf 00 sin2sin 0

0

2

T

kTkTf 0sin

(T 为抽样间隔时间 )

（模拟角频率）

T00 令 0sin kkf

0

2

mN周期：

0

2

N周期：是周期的。为正整数，正弦序列 00

sin2

)1(

kN

仍是周期的。为有理数，正弦序列 00

sin2

)2(

km

N

线仍是正弦函数为非周期序列，但包络为无理数，正弦序列 00

sin2

)3(

km

N

（数字角频率）

离散正弦序列的周期

0

210N

周期： 20N周期：

112

0

mN周期： 无周期

注意：注意：

T00 :)2( 00 的关系与模拟角频率数字角频率

；表示每秒变化的弧度值单位是其中， ,s/rad0度的变化量；表示相邻两个样值间弧单位是 ,rad0

共周期的计算：周期离散正弦组合的公)3(

最小公倍数公共周期等于各周期的

中，每个分量的周期例如： kBkAkf3

cos5

sin)(

30)6,10(N,63/

2,10

5/

221 LCMNN 则公共周期

周期离散序列的定义：)1( 为大于零的整数NNkfkf ),()(

7-2 离散时间系统基本概念一、定义： 激励、响应均为离散时间信号的系统。

二、分类： 线性系统

非线性系统

线性系统：

时不变系统：

因果系统

非因果系统

因果系统

)()( 11 kykf )()( 22 kykf

)()()()( 2121 kbykaykbfkaf

)()( kykf

)()( 00 mkymkf

0)(:00)(:0 kykkfk

时不变系统

时 变 系 统

离散时间系统f(k) y(k) y(k)=T{f(k)}

三、离散时间系统模型三、离散时间系统模型

1 、差分方程描述：

例 1 ： y(k) 表示一个国家在第 k 年的人口数， a 、 b 分别代表出生率和死亡率，是常数。设 f(k) 是国外移民的净增数，则该国在第 k+1 年的人口总数 y(k+1) 为多少？

y(k+1)=y(k)+ay(k)-by(k)+f(k)=(a-b+1)y(k)+f(k)

所以，有 y(k+1)+(b-a-1)y(k)=f(k)

例 2 ：某人每月初均存入银行固定款 f(k) ，月息为 a ，每月本息不取，试求第 k 个月的初存入款时的本息和 y(k) 为多少？

有 y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k)

例例 33 ：：

T

kyky

dt

tdy 1

kykTyty

kfkTftf

kfkayT

kyky

1

kfaT

Tky

aTky

11

1

1

tftaydt

tdy

例例 44 ：：图示电路，写出节点电压关系。图示电路，写出节点电压关系。

0)(112

2

kukua

aku

讨论：讨论：

（（ 11 ））差分方程：差分方程：由激励序列由激励序列 f(k) 、响应序列、响应序列 y(k) 以及其移序序列组成的方程。以及其移序序列组成的方程。含含 y(k) ， y(k-1) ，…的差分方程的差分方程 : : 后向差分方程后向差分方程含含 y(k) ， y(k+1) ，…的差分方程的差分方程 : : 前向差分方程前向差分方程（（ 22 ））差分方程 阶数：差分方程 阶数：响应最高序号与最低序号的差值。响应最高序号与最低序号的差值。（（ 33 ））离散自变量离散自变量 kk 不一定限于时间。不一定限于时间。

22 、传输算子描述、传输算子描述 （（ 11 ）移序算子）移序算子 y(k-1)E-1 y(k) y(k+1)Ey(k)

y(k-N)E-N y(k) y(k+N)EN y(k)

E-1 : 单位延迟算子

（（ 22 ）算子形式的差分方程）算子形式的差分方程

0)(112

2)1

kukua

aku 0)()1

12( 2

kuE

a

aE

2 ） y(k)-(1+a)y(k-1)=f(k) [1-(1+a)E-1 ]y(k)=f(k)

)()()()1()( 001 kfbmkfbkyankyanky mn

)()()()( 001

1 kfbEbkyaEaE mm

nn

n

对于一般n阶离散系统，有

（（ 33 ）传输算子）传输算子

01

1

0)(aEaE

bEbEH

nn

n

mm

3. 3. 模拟框图模拟框图

（ 1 ）模拟单元

1 ）加法器

f1(k) y(k)

f2(k)

2) 比例器

y(k)=f(k-1)

3) 延迟器

f(k) y(k)f(k) y(k)

（ 2 ）模拟框图 4 、信号流图

例例 11 ：：图示框图，写出差分方程图示框图，写出差分方程。

1 kaykfky

系统的差分方程为

kfkayky 1

例例 22 ：：图示信号流图，写出传输算子。图示信号流图，写出传输算子。

一、齐次差分方程时域解7-3 离散系统时域经典分析

传输算子

1 ）自然频率全部为单根：

001

1 aEaE nn

n 即：

ki

n

iiEAky

1

0 )(

2 ）自然频率含重根：

E1=E2…=Er，其余单根

n

ri

kii

kr

i

iri EAEkAky

11

10 )(

)()()()1()( 001 kfbmkfbkyankyanky mn

)()()()( 001

1 kfbEbkyaEaE mm

nn

n

01

1

0)(aEaE

bEbEH

nn

n

mm

齐次差分方程： f(k) 及其各依序项均为零，即求解方程：

0)()( 01

1

kyaEaE nn

n

例 1 ：已知某系统激励为零，初始值 y(0) =1 ， y(1)=4 ，描述系统的差分方程为 求系统的响应 y(k) 。

0651 21 EE解：0)2(6)1(5)( kykyky

0652 EE或

系统自然频率为： 21 E 32 Ekk EAEAky 2211)( kk AA 32 21

21)0( AAy =1

21 32)1( AAy =4

11 A 22 A 0)3(2)2()( kky kk

例 2 ：已知某离散系统初始值为 y(0)=2 ， y(1)=0，传输算子

44

1)(

2

EEEH 求激励为零时系统的响应 y(k) 。

解： 0442 EE 221 EEkkAAky )2)(()( 21

1)0( Ay

)2)(()1( 21 AAy

=2

=0

21 A 22 A

0)2)(1(2)( kkky k

例 3 ：如图所示离散时间系统模拟框图，当 f(k)=0 ， y(1)=1 ， y(2)=0 ，y(3)=1 ， y(5)=1 。求响应 y(k) 。

解：

1222

14)(

234

2

EEEE

EEH由图可求得传输算子为

解：

1)2

cos(1)(

kkky

121 EE

kk jAjAkAAky )()()()( 4321

1222

14)(

234

2

EEEE

EEH

由图可求得传输算子为

，可得由 01222 234 EEEE jE 4,3

由题目给定条件，有

1)()()()1( 4321 jAjAAAy

0)2()2( 4321 AAAAy

1)()()3()3( 4321 jAjAAAy

1)()()5()5( 4321 jAjAAAy

kk jjky )(2

1)(

2

11)(

0

1

2

1

A

A

2/1

2/1

4

3

A

A

二、非齐次差分方程时域解

传输算子

齐次方程通解形式取决于系统的自然频率，即特征根的形式；

非齐次方程特解形式取决于系统的激励形式，不同激励有不同的特解形式。

001

1 aEaE nn

n

)()()()( 001

1 kfbEbkyaEaE mm

nn

n

01

1

0)(aEaE

bEbEH

nn

n

mm

时域解为 )()()( 0 kykyky t

特征方程（自然频率）

齐次方程通解 非齐次方程特解

几种典型信号激励下相应特解的形式：

mk

011

1 BkBkBkB mm

mm

ka

kBa

kaBkB )( 01

A B

krr

rr aBkBkB )( 0

11

rmm

mm kBkBkBkB )( 01

11

(含有 r 重等于 1 的特征根 )

( 不含等于 1 的特征根 )

( 不含等于 a 的特征根 )

(含一个等于 a 的特征根 )

(含有 r个等于 a 的特征根 )

例：已知描述系统的差分方程为初始条件 y(0)=0 ， y(1)=2 ，求系统的响应 y(k) 。

023)1( 2 EE

代入差分方程，可得

)(2)2(2)1(3)( kUkykyky k

解： 21 21 EEkk CCky )2()1()( 210

)(2)()2( kUkf k激励为 )2()( kt Aky

)2(3

1)( k

t ky

)2(3

1)2()1()()3( 21

kkk CCky 全响应为

0)2(3

1)2()1(

3

2)()4( kky kkk全响应为

经典法基本步骤：

1 ）求系统数学模型（差分方程、传输算子等）；

2) 写出特征方程，并求出特征根（自然频率）；

3 ）根据特征根，求对应齐次方程通解 y0(k) ；

4 ）根据激励形式、特征根，写出差分方程的特解形式，代入差分方程，求非齐次方程特解 yt(k) ；

5 ）写出非齐次方程通解

y(k)= y0(k) + yt(k) ：

6 ）根据初始值确定 y(k)中 y0(k) 部分待定系数；

7 ）写出给定条件下非齐次方程解。

三、差分方程递推求解法 )()1( kfkayky )()1( kfkayky

)1()0(1 fayy

)2()1(2 fayy … …

)()1( nfnayny

优点：任意形式激励，计算机求解容易、直观。

四、全响应分解形式)()()()1 0 kykyky t

全响应 =自由响应 +强迫响应

)()()()2 kykyky fx

)()()()3 kykyky 稳暂

全响应 =零输入响应 +零状态响应

全响应 =暂态响应 +稳态响应

缺点：难以形成封闭形式（解析式），响应规律性难以确定。

ki

n

iiECky

1

)(

自由响应

自由响应 强迫响应 零输入响应 零状态响应

)()(11

kyECECky tki

n

ifi

ki

n

ixit

五、离散系统的初始状态

y(0)=yzi(0) +ysi(0)

yzi(0): 零输入初始值，表示激励信号作用之前（零输入）系统的初始条件，与系统激励无关，是系统的初始储能，是系统真正的初始状态

y(0) ： 系统在有了激励信号之后系统的初始条件，既有零输入时初始状态（初始储能），也有激励信号的贡献

ysi(0) ： 零状态的初始值，仅有激励信号产生

六、初始状态的应用

1 、求零输入响应时，应采用零输入初始值 yzi(0)

2 、求零状态响应时，即 yzi(0)=0，而不是 y(0)=0

3 、求全响应时，用初始条件确定常数，采用 y(0)

例：已知某系统初始状态 y(-1)=0 ， y(-2)=0.5 ，描述系统的差分方程为求系统的响应 y(k) 。

023)1( 2 EE求零输入响应：

)()2

1()2(2)1(3)( kUkykyky k

解： 21 21 EEkk

x CCky )2()1()( 21

)()()()2( 0 kykyky tf 求零状态响应： kt ky )

2

1(

15

1)(

kkkf AAky )

2

1(

15

1)2()1()( 21

0)2

1(

15

1)2(

5

8)1(

3

2)( kky kkk

f

1)2(2)1( kkk

零状态下： y(-1)=y(-2)=0，并代入上式，有

)()()()3( kykyky fx

0)2

1(

15

1)2(

5

8)1(

3

2)2(2)1( kkkkkk

一、单位序列响应定义

7-4 离散系统单位序列响应

二、单位序列响应求解

1 、 一阶系统 00)(

)()1()(

kky

kfkayky

激励为单位序列信号时离散系统的零状态响应 .

当 f(k)=(k), y(k)=h(k) 时，有

)()1()( kkahkh 00)(

)()1()(

kkh

kkahkh

1)0()1()0( ahh

)()1()0()1( aahh 2)()2()1()2( aahh

)()()( nUanh n

（ 1 ） 递推法：

)()()( kUakh k

（ 2 ）等效初值法：

1)0(

0)1()(

h

kahkh

00)(

)()1()(

kkh

kkahkh

)()()( kUakh kaEaE 0

（ 3 ）传输算子法：

00)(

)()1()(

kky

kfkayky11

1)(

aEEH

aE

E

)()()( kUakh k

求齐次差分方程通解

由于单位序列 (k)仅在 k=0处等于 1 ，而在 k>0 时为零，因而在 k >0

时，系统的单位序列响应与该系统的零输入响应的函数形式相同。这样就把求单位序列响应的问题转换为求差分方程齐次解的问题，而 k=0处的值h(0) 可按零状态的条件由差分方程确定。

2 、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法

传输算子法求解 h(k)步骤：

2 、高阶系统：递推法、等效初值法、传输算子法

)()2(6)1(5)( kfkykyky

解：

例 1 ：求单位序列响应 h(k) ，已知描述系统的差分方程为

)(])3(3)2(2[)( kUkh kk )(])3()2([ 11 kUkk

3,2 21 EE

1

0652 EE

)(])3()2([)( 21 kUAAkh kk

)()2(6)1(5)( kkhkhkh

)0()2(6)1(5)0( fhhh

)1()1(6)0(5)1( hhh 5

][)0( 21 AAh

)]3()2([)1( 21 AAh 1 5

21 A 32 A

递推求初值：代入通解求待定系数：

例 2 ：求系统单位序列响应 h(k) ，已知描述系统的传输算子分别为

05.045.02.1

25.0311)(

23

23

EEE

EEEEH

解：

)(])5.0(5)5.0(10)2.0[()( kUkkh kkk

05.045.02.1

25.0311)(23

2

EEE

EE

E

EH

2

2

)5.0)(2.0(

25.0311

EE

EE2)5.0(

5

)5.0(

10

)2.0(

1

EEE

2)5.0(

5

)5.0(

10

)2.0()(

E

E

E

E

E

EEH

解：列方程

例3：已知系统框图， 0321 yyy ，求系统的单位序列响应。

kfkykykyky 32313

单位序列信号作用于系统时： kkhkhkhkh 32313

0

032313

k

khkhkhkh

01,0133 323 EEEE 322

1 CkCkCkh

62,31,10 hhh

kUkkkh

1

2

3

2

1 2

一、系统零状态响应

7-5 离散系统时域卷积和分析法

y(k)=yx (k)+ yf (k)

-m

m)-(kf(m) 记作： yf (k)=f(k)*h(k)

yx (k): 取决于系统自然频率和初始值

yf (k): 取决于系统自然频率和激励

(k) h(k)

(k-m) h(k-m)

f(m)(k-m) f(m)h(k-m) 此称为 f(k)与 h(k)的卷积和 (Convolution)

-m

m)-f(m)h(k

)(m)-(kf(m)-m

kf

)(m)-f(m)h(k-m

ky f

f (k)=f(k)* (k)

二、常用信号的卷积和二、常用信号的卷积和

)()()( NkfNkkf

k

i

ifkUkf )()(*)(2 、 f(k) 与单位阶跃序列卷积

1 、 f(k) 与单位序列信号卷积 )()()( kfkkf

)()()( NMkfNkMkf

三、卷积和的性质三、卷积和的性质1．交换律 )()()()( 1221 kfkfkfkf

2. 2. 分配律分配律 )()()()()]()([)( 3121321 kfkfkfkfkfkfkf

3. 3. 结合律结合律 )]()([)()()()( 2121 khkhkfkhkhkf

3 、 U(k) 与 akU(k) 卷积 )(1

1)(*)(

1

kUa

akUkUa

kk

四、卷积和的计算四、卷积和的计算

例： f(k)=akU(k) ， h(t)=bkU(k) ，求卷积和 y(k)=f(k)*h(k).

1．利用定义计算

2. 2. 利用常用信号卷积与有关性质计算利用常用信号卷积与有关性质计算

3. 3. 利用卷积求和表计算利用卷积求和表计算

4. 4. 利用图解法计算利用图解法计算

1 ） f(k) 、 h(k) f(m) 、 h(m)

2 ） h(m) h(-m) （折叠）

3 ） h(k-m) （平移）

4 ） f(m) h(k-m) （相乘）

5 ） 求和计算5. 5. 利用数值求和法计算利用数值求和法计算

-m

m)-f(m)h(k)(*)( khkf

0k

例：例：用图解法求图示信号的卷积和用图解法求图示信号的卷积和 y(k)=f(k)*h(k)y(k)=f(k)*h(k) 。。

)(*)()( khkfky 解：

01.0,04.0,09.0,16.0,21.0,20.0,17.0,12.0)(

0k

ky

0.12 0.09 0.06 0.03 0

0.08 0.06 0.04 0.02

0.08 0.06 0.04 0.02

0.08 0.06 0.04 0.02

0.04 0.03 0.02 0.01

01.0,04.0,09.0,16.0,21.0,20.0,17.0,12.0)(

0k

ky

6. 6. 利用列表法计算利用列表法计算

7 、序列相乘法

f(k) : 0 0.4 0.3 0.2 0.1 0

h(k): 0 0.3 0.2 0.2 0.2 0.1

X

0.04 0.03 0.02 0.01 0

0.08 0.06 0.04 0.02 0

0.08 0.06 0.04 0.02 0

0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.12 0.09 0.06 0.03 0

0.12 0.17 0.20 0.21 0.16 0.09 0.04 0.01 0

0

k

8k

01.0,04.0,09.0,16.0,21.0,20.0,17.0,12.0)(

0k

ky

说明：若 f(k) 非零值 N 个，位于 21 nkn

h(k) 非零值 M 个，位于 21 mkm

则： y(k)=f(k)*h(k) 的非零值有 (N+M-1) 个，位于 2211 nmknm

离散系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和。即

)(*)()( khkfky f

分析步骤：

1 ）求单位序列响应；

2 ）计算卷积和

五、离散系统卷积和分析五、离散系统卷积和分析

例 1 kUkhkUkf k ,10

解 :

m

m mkUmU )()(

k

m

mkU0

)( )(1

1 1

kUk

khkfky *求零状态响应

已知

1,1,1)(0k

kf ，

3,2,1)(0k

kh ，求 )(*)( khkf 。 例 2

解 : )2()1()()( kkkkf )2(3)1(2)()( kkkkh

)4(3)3(5)2(6)1(3)( kkkkk khkfky *

例 3 ： 。求单位阶跃响应已知 )(,24.0

)12()(

2kg

EE

EEEH

kUkg kk

)4.0(

3

2)6.0(

2

3

6

25

khkfky *

单位阶跃响应：当激励为 U（ k ）时系统的零状态响应即： )()()( kUkhkg

例 4: )(2)(,2213 kUkfkfkykyky k

?)(,5.02,01 kyyy 求

解 :23

)(2

2

EE

EEH 2,1 21 EE

求零输入响应：)1( kkx CCky )2()1()( 21

1)2(2)1( kkk

)(*)()()2( khkfky f 求零状态响应： )(])2(2)1([)( kUkh kk

)(2*)(])2(2)1([)(*)()( kUkUkhkfky kkkf

)(]23

1)2()1(

3

1[ kUkkk

0)2(3

1)2(

3

2)1(

3

2)()3( kky kkk全响应为

5.02,01 yy

本章要点

1 、离散信号基本概念：定义、分类、常用离散信号特性 {(k) 、 U

(k) 、 ak(k) 、 GN(k) 等 } ；

2 、离散信号时域变换与运算：折叠、时移、展缩、倒相；相加、相乘、数乘、差分和累加和；

3 、离散系统的基本概念：定义、分类、线性时不变系统的特性；

4 、时域经典法：差分方程与传输算子、差分方程求解、系统自然频率及其求解方法、全响应三种分解形式；

5 、时域卷积和法： h(k) 求解方法、零状态响应卷积和计算（卷积和定义、运算规律、主要性质、计算方法）