11

第第 11 章 离散时间信号与系统章 离散时间信号与系统 离散时间信号离散时间信号

序列的表示 序列的产生 常用序列 序列的基本运算

系统分类 线性系统 移不变系统 因果系统 稳定系统

常系数线性差分方程常系数线性差分方程 连续时间信号的抽样连续时间信号的抽样

22

x [k]={1, 1, 2, -1, 1;k=-1,0,1,2,3}

k

1

2

1

-1

-1 0 12

3

x[k]

1

}1,1,2,1,1{][

kx

离散信号 ( 序列 ) 的表示

33

对连续信号抽样 x[k]=x(kT) 信号本身是离散的 计算机产生

注意： 离散信号 : 时间上都量化的信号 数字信号 : 时间和幅度上都量化的信号

离散序列的产生

44

1 ．单位脉冲序列

00

0 1][

k

kk定义：

2. 单位阶跃序列

00

0 1][

k

kku定义：

3 ．矩形序列

otherwise0

10 1][

NkkR N

常用序列

55

4 ．指数序列Z kakx k ,][

有界序列： kZ |x [k]| Mx 。 Mx 是与 k 无关的常数

aku[k] ： 右指数序列 , |a| 1 序列有界

aku[k] ： 左指数序列 , |a| 1 序列有界

5 ．虚指数序列 ( 单频序列 )

tjetx )( 角频率为的模拟信号

kjTkjkTt eetxkx )(][

数字信号角频率 =T

66

虚指数序列 x [k]=exp( jk) 是否为周期的 ?

如是周期序列其周期为多少？

即为有理数时，信号才是周期的。

如果 m L , L, m 是不可约的整数，则信号的周期为 L 。

77

6 ．正弦型序列

2/)(cos][ kjkj eekkx

例 试确定余弦序列 x[k] = cos0k 当 (a)0=0 (b)0=0.1 (c)0=0.2 (d)0=0.8 (e)0=0.9 (f)0= 的的的的的的的解：(a)0 2 的 N=1 。(b)0 2 的 N=20 。(c)0 2 的 N=10 。(d)0 2 的 N=5 。(e)0 2N=20 。(f)0 2N=2 。

88

0 1 0 2 0 3 0 4 0

-1

0

1

x[k] = cos0

k ,0=0.2

0 1 0 2 0 3 0 4 0-1

0

1

x[k] = cos0 k ,0=0.8 0 1 0 2 0 3 0 4 0

-1

0

1

x[k] = cos0 k ,0=

0 1 0 2 0 3 0 4 0

-1

0

1

x[k] = cos0 k ,0=0

99

当 0 从增加到 2 时，余弦序列幅度的变化将会逐渐变慢。

Z nkkn 00 cos)2(cos

即两个余弦序列的角频率相差 2 的整数倍时，

所表示的是同一个序列。

cos[(20 )k]= cos(0 k)

0 的附近的余弦序列是 高频信号。0 的 2 附近的余弦序列是 低频信号。

1010

1111

][][][ nkhnxkyn

序列的基本运算

• 翻转 (time reversal) x[k]x[-k]

• 位移 ( 延迟 ) x[k] x[k-N]

• 抽取 (decimation) x[k] x[Mk]

• 内插 (interpolation)

• 卷积

1212

例：已知 x1[k] x2[k]= y[k] ，试求 y1[k]= x1[kn] x2[km] 。

结论： y1[k]= y[km+n)]

例： x[k] 非零范围为 N1 k N2 ， h[k] 的非零范围为 N3 k N4 求： y[k]=x[k] h[k] 的非零范围。

结论： N1N3 k N4N2

1313

实序列的偶部和奇部

序列的单位脉冲序列表示

)()()( mnmxnxm

)()()( nxnxnx oe

)]()([2

1)( nxnxnxe

)]()([2

1)( nxnxnxo

1414

]}[{]}[{]}[][{ 2121 kxbTkxaTkbxkaxT

系统分类 线性 (Linearity)

注意： 齐次性 叠加性

1515

例 : 设一系统的输入输出关系为 y[k]=x2[k]

试判断系统是否为线性？解：输入信号 x [k] 产生的输出信号 T{x [k]} 为

T{x [k]}=x2[k]

输入信号 ax [k] 产生的输出信号 T{ax [k]} 为 T{ax [k]}= a2x2[k]

除了 a=0,1 情况， T{ax [k]} aT{x [k]} 。故系统不满足线性系统的的定义，所以系统是非线性系统。

1616

例 y(n) ＝ T[x(n)]=5x(n)+3 所表示的系统不是线性系统。

计算 T[ax1(n)+bx2(n)]=5[ax1(n)+bx2(n)]+3 ，而 ay1(n)+by2(n) ＝ 5ax1(n)+5bx2(n)+3(a+b)

1717

时时不变 (Time-Invatiance) 定义：如 T{x [k]}=y[k] ，则 T{x [k-n]}=y[k-n] 线性时不变系统简称为： LTI 在 n 表示离散时间的情况下，“非移变”特性

就是“非时变”特性。

例 证明 y(n) ＝ T[x(n)] ＝ nx(n) 不是非移变系统。

计算 T[x(n-k)]=nx(n-k) ，而 y(n-k)=(n-k)x(n-k) 。

1818

解：输入信号 x[k] 产生的输出信号 y[k] 为 y[k]=T{ x[k]}= x[Mk]

输入信号 x[kn] 产生的输出信号 T{x[kn]} 为 T{x[kn]}= x[Mkn]

由于 x[Mkn] y[kn]故系统是时变的。

例 : 已知抽取器的输入和输出关系为 y[k]=x[Mk]

试判断系统是否为时不变的？

1919

2 3 4 51

2

64

k

0

][1 kx

-1

1

35

]2[][ 11 kxky

2 3 4 51

k0- 1

1

3

5

]1[][ 12 kxkx

2 3 4 51

2

6

4

k

0-1

1

3

5

]2[][ 22 kxky

2 3 4 51

2

64

k

0- 1

]2[][ 13 kxkx

2 3 4 51

2

6

4

k0-1

1

3

5

]2[][ 33 kxky 2 3 41

k0- 1

1

3

5

抽取器时变特性的图示说明

2020

定义： ]}[{][ kTkh

例：累加器 :][][ nxky

k

n

][][ kukh

单位脉冲响应（ Impulse response ）

2121

}][][{]}[{ n

nknxTkxT

}][{][ n

nkTnx

n

nkhnx ][][

][*][ khkx

][][][ khkxky

LTI 系统对任意输入的响应

2222

当任意输入 x(n) 用前式表示时，则系统输出为

因为系统是线性非移变的，所以

通常把上式称为离散卷积或线性卷积。这一关系常用符号“ *” 表示：

2323

离散卷积满足以下运算规律：(1) 交换律

2424

(2) 结合律

2525

(3) 分配律

2626

离散卷积的计算离散卷积的计算

2727

计算卷积的步骤如下：     (1) 折叠：先在哑变量坐标轴 k 上画出 x(k) 和 h(k) ，将 h(k) 以纵坐标为对称轴折叠成 h(-k) 。     (2) 移位：将 h(-k) 移位 n ，得 h(n-k) 。当 n 为正数时，右移 n ；当 n 为负数时，左移 n 。     (3) 相乘：将 h(n-k) 和 x(k) 的对应取样值相乘。     (4) 相加：把所有的乘积累加起来，即得 y(n) 。

上图为：

与

的线性卷积。

2828

计算线性卷积时，一般要分几个区间分别加以考虑，下面举例说明。

例 已知 x(n) 和 h(n) 分别为：

和

试求 x(n) 和 h(n) 的线性卷积。解 参看图 2. 15 ，分段考虑如下：

(1) 对于 n<0 ：(2) 对于 0≤n≤4 ：(3) 对于 n>4 ，且 n-6≤0 ，即 4<n≤6 时：(4) 对于 n>6 ，且 n-6≤4 ，即 6<n≤10 时：(5) 对于 (n-6)>4 ，即 n>10 时：

2929

x

3030

综合以上结果， y(n) 可归纳如下：

3131

卷积结果 y(n) 如图 2. 16 所示

3232

因果性因果性 定义定义 定理定理 证明（充分性、必要性）证明（充分性、必要性）

举例举例

3333

稳定性稳定性 定义定义 定理定理 证明（充分性、必要性）证明（充分性、必要性）

举例举例

3434

线性常系数差分方程线性常系数差分方程 用迭代法求解差分方程－－－求单位抽样用迭代法求解差分方程－－－求单位抽样

响应响应 差分方程的优点：差分方程的优点： 在一定条件下，可得到系统的输出在一定条件下，可得到系统的输出 可直接得到系统的结构可直接得到系统的结构

举例举例

3535

信号的抽样 连续信号频谱 X(jw) 与抽样信号频谱 X (ej

W ) 的关系 时域抽样定理 抗混叠滤波 信号的重建 连续信号的离散处理

3636

x(t)

t0 T 2T

x[k]

k0 1 2

kTttxkx

)(][

点抽样

A/Dx(t) x[k]=x(kT)

T

抽样间隔 ( 周期 ) T (s)抽样角频率 sam=2/T (rad/s)抽样频率 fsam=1/T (Hz)

)e()j( j XX

抽样过程的两种数学模型

3737

x(t)

t0 T 2T

T(t)

t0 T 2T

xs(t)

t0 T 2T

理想抽样

)()()( ttxtx Ts

)(][ kTtkxk

)()( kTttxk

3838

)]()([)]([ s ttxFtxF T

)]([)]([2

1tFtxF T

)()j(2

1samsam

nX

n

))(j(1

sam nXT n

))(j(1

)j( sams nXT

Xn

连续信号频谱 X(jw) 与理想抽样信号频谱 Xs(jw) 的关系

3939)e( jX

ttxX tss de)()j( j

tkTtkx t

k

de)(][ j

tkTtkx t

k

de)(][ j

kT

k

kx je][ )e( j TX

)/j(s TX

点抽样信号频谱 X(ejW) 与理想抽样信号频谱 Xs(jw) 的关系

4040

)e( jX )e( /js

TX

))(j(1

)j( sams nXT

Xn

)j()j(T

XX T 缩因子 )π2

j(1π2

T

nX

T n

周期化为

n T

nX

TX )

π2j(

1)e( j

连续信号频谱 X(jw) 与点抽样信号频谱 X (ejW ) 的关系

4141

X(j)=0 ||>m

称为 m 为信号的最高 ( 角 ) 频率。 ωm

)j( X

mm 0

带限 (band limit) 信号

4242

例 : 已知某带限信号抽样信号 x(t) 的频谱如图所示， 试分别抽样角频率 sam=2.5m, 2m , 1.6m 抽样时，抽样后离散序列 x[k] 的频谱。

)j( X

mm

1

0

m 5.2sam 解：

π8.05.2

π2

m

mm

T

T

1

)e( jX

0

4343

m 2sam π2

π2

m

mm

T

T

1

)e( jX

0

m 6.1sam π25.16.1

π2

m

mm

T

T

1

0

T

1

0

)e( jX

4444

T

1

)e( jX

0

m 5.2sam

T

1

)e( jX

0

m 2sam

T

1

0

)e( jXm 6.1sam

4545

设 x(t) 是带限实信号，则抽样后信号频谱不混叠的 ( 充分 ) 条件为：

T /m=1/(2fm)

时域抽样定理

fsam 2fm （或 sam 2 m ）

抽样频率 fs 满足：

或抽样间隔 T 满足

fsam = 2fm 频谱不混叠最小抽样频率 (Nyquist rate)

T=1/(2fm) 频谱不混叠最大抽样间隔

4646

例：已知 x(t)=Sa(f0t), 试确定频谱不混叠最大抽样间隔T 及抽样后的序列 x[k] 。

解：

f0

X(j)

f

f

所以 sam=2f0 ，即 T=1/f0 。

)e( jX 1

][kx ][k

若信号 x(t) 以 T 为抽样间隔抽样后的序列为 [k] ，则称该信号 Nyquist-T 信号。

在所有的 Nyquist-T 信号中，只有 x(t)=Sa(f0t) 是带限的。

4747

例：已知连续带通信号 x(t) 的频谱如下图所示 , 试分别画出 sam1=0.5m 及 sam2=0.8m 时，抽样后离散序列的频谱。

解：

m0

X(j)

m

1

sam1=0.5m , 1=2/sam1 =4m

sam2=0.8m , 2=2/sam2=2.5m

0

X(ej)

0

X(ej)

1/T

4848

抗混叠滤波

许多实际工程信号不满足带限条件

抗混叠低通滤波器

)(tx )(1 tx

)(th

)j( X

1

0

)j(1 X

mm

1

0

)j( H

mm

1

0

4949

信号的重建

D/Ax[k]

T

)(][)(s

kTtkxtxk

理想 D/A 模型框图

k

0 1 2 3 4

x[k]

t

0 T 2T 3T 4T

xs(t)

理想 D/A 输入和输出

)e()j( js

TXX

5050

)()( jTs eXjX

A/T

)(jeX

mT mT

22

A/T

)( jXs

m m 2sam

2sam

samsam

5151

A/T

)( jX s

m m 2sam

2sam

samsam

其它0

2/)( sam

r

TjH

)/(Sa)( Ttthr

)()()()( thtxtxtx rsr

)/(Sa)}(][{ TtkTtkxk

)/)((Sa][ TkTtkxk

5252

零阶保持 D/A

0 T 2T

xz(t)

t

0 1 2

x[k]

k

理想D/Ax[k]

T

hz(t)xs(t) xz(t)

0 T

1

hz(t)

t

零阶保持 D/A 模型框图

5353

零阶保持 D/A 输出信号的频谱为 Xz(j)= Hz(j) Xs(j) 2/j

z e)2/(Sa)j( TTTH

0 sam sam

|Hz(j)|

|Xs(j)|

|Xz(j)|

m0 sam samsam m

0 m sam m sam sam

(a)

(b)

(c)

5454

离散域进行补偿的 FIR 和 IIR 滤波器

211 16

1

8

9

16

1)( zzzH

12

81

1

89

)(

z

zH

sam0

-4

-3

-2

-1

0

Gai

n, d

B

samsamsamsam

IIR

FIR

20log10(|Hz(j)|)