تئوری الاستیسیته

1

2

تئوری االستیسیتهTheory of Elasticity

كريم عابديكريم عابديكريم عابديكريم عابدي

3

::فصل چهارمفصل چهارم

روش هاي انرژي

4

انرژي فصل چهارم: هاي روش

( تعاريف بنيادي1

(Workالف( كار )

ك(ه ب(ه سيس(تمي اعم(ال مي ش(ود ب(ه ان(دازه Fهرگ(اه نقط(ه اث(ر ن(يروي انج(ام dwج(زئي جابج(ا ش(ود، گفت(ه مي ش(ود ك(ه مق(دار ج(زئي ك(ار

uFdwیافته است: .

(Virtual Workب( كار مجازي )

. iiw F u @@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

هرگ(اه نقط(ه اث(ر ن(يروي حقيقي اعم(الي ب(ه سيس(تم ، ي(ك جابج(ايي تص(وري ي(ا ذه(ني را طي كن(د، در اين ص(ورت مق(دار ج(زئي ك(ار انج(ام

مي گيرد كه به آن كار مجازي اطالق مي شود:

iu

iF@@@@@@@@@@@@@@

5


(Complementary Virtual Work پ( كار مكمل مجازي )

هرگ(اه مي(دان تغي(ير مك(ان ي(ك سيس(تم تحت ن(يرو را ب(ا و تغييرمك(ان نقط(ه مشخص(ي از آن را ب(ا نش(ان دهيم، اگ(ر در هنگ(ام پدي(د آم(دن مي(دان تغييرمك(ان واقعی، ن(يروي مج(ازي را در

در نظ(ر بگ(يريم ) (، ب(ا جابج(ايي نقط(ه اث(ر اين iنقط(ه مش(خص ك(ار مكم(ل ن(يروي مج(ازي، مق(داري ك(ار مج(ازي ص(ورت مي گ(يرد ك(ه

ناميده مي شود كه به صورت زير نمايش داده مي شود:مجازي

* .i iw u F @@@@@@@@@@@@@ @

6

(Principle of Virtual Displacements( اصل تغيير مكان های مجازي )2


جس(م االس(تيك ش(كل زي(ر را در نظ(ر مي گ(يريم ك(ه مح(دوده ح(دي ي(ا ] به دو قسمت عمده مجزا تقسيم مي شود: خارجي اين جسم كامال

نش(ان داده مي ش(ود، Stك(ه ب(ا قس(مت اول نيروه(اي آن روي ب(ر ك(ه اس(ت قس(متي مح(دوده البت(ه اس(ت. ش(ده اعم(ال خ(ارجي ي(ا ن(يرو ب(ه عن(وان مح(دوده ن(يز ن(يروي ص(فر

وضعيت حدي نيرويي تلقي مي شود.

نش(ان داده مي ش(ود و منظ(ور قس(متي اس(ت ك(ه Suك(ه ب(ا قس(مت دوم تغي(ير ] داراي ب(رده مي ش(ود و عموم(ا ن(ام از آن تكي(ه گ(اه ب(ه عن(وان

مكان صفر يا جابجايي از پيش تعيين شده مي باشد.

7


حال چنانچ(ه ص(حبت از ي(ك مي(دان تغييرمك(ان مج(ازي در جس(م ف(وق باش(د، اين مي(دان را ب(ه ص(ورتي مجس(م مي ك(نيم ك(ه در روي م(رز ح(دي

Su ح(دي ش(رايط اس(ت، گرفت(ه ق(رار گ(اهي سيس(تم تكي(ه قي(ود ك(ه مي(دان را مج(ازي تغييرمك(ان مي(دان چ(نين ارض(اء ش(ود. س(ينماتيكي

به منظ(ور مطالع(ه و بررس(ي پ(يرامون اس(تنتاج رابط(ه مناس(بي ب(ر اس(اس ( نامند.admissibleمجاز يا قابل قبول )اس(تفاده از مفه(وم ك(ار مج(ازي، ابت(دا ف(رض مي ش(ود ك(ه مؤلف(ه ه(اي ي(ك

ك(ه در ش(كل Bمي(دان تغييرمك(ان ج(زئي قاب(ل قب(ول ب(راي جس(م االس(تيك زي(ر نش(ان داده ش(ده اس(ت، ب(ه ت(رتيب ب(ه ص(ورت و ي(ا در ص(ورت ل(زوم ب(ه ش(كل تعري(ف ش(ده باش(ند ك(ه هري(ك از

خواهند بود.x3 و x2 و x1 اين سه مؤلفه، تابع مختصات

8


هرگ(اه عنص(ري از جس(م ش(كل ب(اال را درنظ(ر بگ(يريم، ب(ا پدي(د آوردن مي(دان تغييرمك(ان مج(ازی، تنش ه(اي واقعی موج(ود در روي اين الم(ان ب(ه دلي(ل تغييرش(كل مج(ازي پدي(د آم(ده، مق(داري ك(ار مج(ازي انج(ام مي دهن(د. چنانچ(ه ك(ل جس(م را تحت اث(ر نيروه(اي اعم(الي خ(ارجي در ح(ال تع(ادل ف(رض ك(نيم، ك(ار مج(ازي ص(ورت گرفت(ه ش(ده ك(ل، ب(ه دلي(ل ص(فر ب(ودن منتج(ه تنش در روي ه(ر الم(اني از آن ص(فر مي باش(د. ب(ه عب(ارت دیگ(ر ک(ار مج(ازي ك(ل ك(ه ب(ا نم(ايش داده مي ش(ود، ب(ه ص(ورت زي(ر

0jiبه دست مي آيد:i i

jV

w B u dVx

معادله مذكور را مي توان به صورت زير نوشت:

0ji i ji i i ij jV

w u u B u dVx x

9


با استفاده از قضيه ديورژانس، جمله اول سمت راست را می توان به انتگرال روی سطح تبدیل کرد. به عبارت دیگر داریم:

0t

ji j i ji ij i i

s V V

w n u dS e dV B u dV St.مساحت قسمتي از سطح جسم است كه در روي آن نيرو تعريف شده است

معادله باال را مي توان به صورت زير نيز نوشت:

0t

i i ji ij i i

s V V

w q u dS e dV B u dV

عب(ارت ف(وق عب(ارت ك(ار مج(ازي ي(ك سيس(تم االس(تيك تحت ن(يرو ب(ر اث(ر اعمال ميدان جابجايي مجازي است.

0ji i ji i i ij jV

w u u B u dVx x

10


اگ(ر دقت ك(نيم ك(ه نيروه(اي خ(ارجي اعم(الي ب(ه سيس(تم، متش(كل از س(طحي حجمي qiنيروه(اي نيروه(اي و Bi مج(ازي ك(ار اس(ت،

مج(ازي )ك(ار ك(رد فرمول(ه زي(ر ب(ه ص(ورت ت(وان مي را خ(ارجي نيروه(اي و س(طحي نيروه(اي از اعم خ(ارجي نيروه(اي توس(ط

حجمي(: t

e i i i

s V

w q u dS B u dV

ان(رژي ارتج(اعي مج(ازي را ن(يز مي ت(وان ب(ه ص(ورت زي(ر نش(ان داد:

ij ij

V

U e dV

بنابراين داريم:Uwe

0t

i i ji ij i i

s V V


11


هرگ(اه ي(ك جس(م االس(تيك تحت اث(ر نیروه(ای وارده در ح(ال تع(ادل باش(د و تغي(ير مك(ان اختي(اري مج(ازي س(ازگار ب(ا ش(رايط تكي(ه گ(اهي خ(ود را تجرب(ه نيروه(اي خ(ارجي توس(ط يافت(ه انج(ام ك(ار مج(ازي اين ص(ورت در نماي(د، اعم(الي ب(ه آن، مس(اوي ك(ار مج(ازي انج(ام يافت(ه توس(ط نيروه(اي داخلي آن

چنين اصلي مستقل از خواص ماده است و در طي تحمل تغيير مكان مي باشد.مجازي، نيروها ثابت هستند.

Uweمعادله نهايي را مي توان در قالب قضيه زير بيان نمود:

معادل(ه را مي ت(وان ب(ه عن(وان ش(رط الزم و ك(افي ب(راي ارض(اي ش(رايط تع(ادل در ي(ك جس(م تلقي ك(رد. ب(ه عب(ارت ديگ(ر قض(يه

اصل تغییرمکان های مجازي به صورت زير نيز قابل بيان مي باشد:

Uwe

شرط الزم و ك(افي ب(راي تع(ادل ي(ك جس(م االس(تيك، براب(ر ب(ودن ك(ار خ(ارجي مج(ازي ص(ورت گرفت(ه ش(ده توس(ط نيروه(اي اعم(الي ب(ه آن ب(ا ك(ار داخلي مج(ازي انج(ام يافت(ه توس(ط مي(دان تنش آن در طي تجرب(ه

كردن يك ميدان تغیير مكان مجازي قابل قبول است.

12


(Principle of Virtual Forces( اصل نيروهاي مجازي )3با ارائه اصل تغيير مكان های مجازي، به وضوح ديديم كه چگونه مي توان با در نظر گرفتن يك ميدان تغيير مكان مجازي قابل قبول و استفاده از اصل مزبور،

به حل مسائل ارتجاعي پرداخت.

نش(ان را ارتج(اعي ي(ك جس(م زي(ر شكل اينك(ه ب(ر عالوه جس(م اين ك(ه ده(د مي تحت اث(ر ي(ك سيس(تم ن(يروي حقيقي ق(رار دارد ك(ه اين سيس(تم ن(يرو ب(اعث ي(ك مي(دان ] متع(ادل مي ش(ود، تحت اث(ر ي(ك تنش ك(امالگرفت(ه ق(رار ن(يز مج(ازي ن(يروي سيس(تم اس(ت ك(ه اين سيس(تم ن(يز متع(ادل ب(وده و منج(ر ب(ه ي(ك مي(دان تنش مج(ازي متع(ادل در حقیقی ن(یروی )سیس(تم ش(ود مي

شکل نشان داده نشده است(:

اکنون شکل دیگری از اصل کار مجازی را که تحت عنوان اصل نیروهای مجازی شناخته می شود، مورد دقت قرار می دهیم و نشان خواهیم داد که

چگونه با در نظر گرفتن یک سیستم نیروی مجازی متعادل در روی یک جسم ارتجاعی می توان به یک میدان تغییرمکان سازگار دست یافت.

13


0

i

j

ji Bx

V

iij

ji dVuBx

W 0*

معادل(ه ف(وق را . را ك(ار مج(ازي مكم(ل ك(ل سيس(تم مي نامن(د كه به صورت زير مي نويسيم:

سیستم نیروی مجازی را به طور سمبولیک با و میدان تنش مربوطه را با نشان می دهیم. از آنجا که مطابق فرض، سیستم

نیروی مجازی در حال تعادل است، لذا معادله تعادل زیر صادق مي باشد:

iqij

هرگ(اه ط(رفین معادل(ه ف(وق را در مولف(ه می(دان حقیقی تغییرمک(ان ضرب کرده و روی حجم سیستم انتگرال گیری کنیم، خواهیم داشت:

iu

* 0iji i ji i i

j jV

uW u B u dV

x x

14


* 0St

ji j i ji ij i i

s V V

w n u dS e dV B u dV

* 0S t

i i ji ij i i

s V V


با استفاده از قضيه ديورژانس، جمله اول سمت راست را به انتگرال روی سطح تبدیل نموده و در ضمن با توجه به تقارن جمله دوم

jiرا به شکل جدیدی به صورت زیر ارائه می کنیم:

مساحت قسمتي از سطح جسم است كه در روي آن SStکه در آن ***0تعريف شده است و باالخره، UWW e

كه در آن داريم:*

St

e i i i

s V

w qu dS B u dV مكم(ل مج(ازي كار

خ(ارجی

*ij ij

V

U e dV مج(ازي ارتج(اعي ان(رژي مكم(ل

* 0iji i ji i i

j jV

uW u B u dV

x x

15


شرط الزم و ك(افي ب(راي س(ازگار ب(ودن مي(دان تغي(ير ش(كل ي(ك سيس(تم ب(ر روي آن يافت(ه انج(ام ب(ودن ك(ار مج(ازي مكم(ل االس(تيك، مس(اوي داخلي ك(ار ب(ا تع(ادل، ح(ال در مج(ازي ن(يروي سيس(تم ي(ك توس(ط مج(ازي مكم(ل انج(ام يافت(ه توس(ط تنش ه(اي مج(ازي در طي تحم(ل مي(دان ك(رنش واقعي اس(ت. در مرحل(ه تحم(ل نيروه(اي مج(ازي، تغي(ير

شكل سيستم ثابت است.

بنابراين اصل نيروهاي مجازي به صورت زير است:

این عب(ارت ب(ه ن(ام اص(ل نیروه(ای مج(ازی ش(ناخته می ش(ود ک(ه در آن ک(ار مج(ازی مکم(ل خ(ارجی انج(ام ش(ده توس(ط ی(ک سیس(تم ن(یروی متع(ادل اس(ت وق(تی ک(ه نقط(ه اث(ر این سیس(تم ن(یروی مج(ازی، تغی(یر مک(ان حقیقی

را تحمل کرده باشد.

*eW

ان(رژی ارتج(اعی مج(ازی مکم(ل سیس(تم می باش(د. را می ت(وان ب(ه عن(وان ک(ار مج(ازی مکم(ل انج(ام یافت(ه توس(ط تنش ه(ای مج(ازی داخلی

در طی کرنش حقیقی سیستم تلقی کرد.

*U*U

16


( قانون بتي 4يافت(ه انج(ام ك(ار بارگ(ذاري، متف(اوت دو سيس(تم ب(ا االس(تيك خطي ي(ك جس(م در توس(ط سيس(تم اول نيروه(ا در طي تغي(ير مك(ان ه(اي حاص(ل از سيس(تم دوم مس(اوي اس(ت ب(ا ك(ار انج(ام یافت(ه توس(ط سيس(تم دوم نيروه(ا در طي تغي(ير مك(ان ه(اي حاص(ل

از سيستم اول.

رفت(ار خطی دارای ک(ه را ارتج(اعی ب(تی، جس(م ق(انون اثب(ات برای اس(ت، م(ورد توج(ه ق(رار داده و ف(رض می ک(نیم ک(ه این جس(م تحت اث(ر سیس(تم نیروه(ای و ب(ار دیگ(ر تحت اث(ر سیس(تم نیروه(ای از مس(تقل ک(امال اعم(ال ش(ده، ن(یروی دو سیس(تم گ(یرد. می ق(رار ب(ه ن(یرو ب(ا اعم(ال ه(ر ی(ک از دو سیس(تم هم(دیگر ف(رض می ش(وند. جس(م، دو می(دان تغییرمک(ان ک(امال متف(اوت پدی(د می آی(د ک(ه این می(دان

ها را به ترتیب با و مشخص می کنیم.

1F@@@@@@@@@@@@@@

2F@@@@@@@@@@@@@@

1u 2

u

ش(ماره گ(ذاری ش(ده iبا اعم(ال سیس(تم اول نیروه(ا در ح(التی ک(ه ب(ا ان(دیس باش(د ، تغییرمک(ان نقط(ه اث(ر سیس(تم اول را ب(ا و تغییرمک(ان ب(ا ب(العکس ب(ا نش(ان می دهیم. را نیروه(ا اث(ر سیس(تم دوم نقط(ه

ش(ماره گ(ذاری ش(ده jاعم(ال سیس(تم دوم نیروه(ا در ح(التی ک(ه ب(ا ان(دیس باش(د ، تغییرمک(ان نقط(ه اث(ر سیس(تم اول را ب(ا و تغییرمک(ان

نقطه اثر سیستم دوم نیروها را با نشان می دهیم.

1iF

@@@@@@@@@@@@@@

(1)iu

2jF

@@@@@@@@@@@@@@

(2)iu

(2)ju

(1)ju

1 2 2 1i i j jF u F u

17


1 2 1 2i i kl klF u e dV

2 1 2 1j j mn mnF u e dV

عن(وان ب(ه را نیروه(ا اول سیس(تم اعم(ال از حاص(ل تغییرمک(ان اکن(ون تغییرمک(ان مج(ازی ب(رای سیس(تم دوم نیروه(ا و ب(رعکس تغییرمک(ان حاص(ل از اعم(ال سیس(تم دوم نیروه(ا را ب(ه عن(وان تغییرمک(ان ب(رای سیس(تم اول

نیروها تلقی کرده و اصل تغییرمکان مجازی را به کار می بریم.برای سیس(تم اول نیروه(ا و تغییرمک(ان متن(اظر این نیروه(ا ک(ه از سیس(تم دوم نیروه(ا حاص(ل می ش(ود، معادل(ه اص(ل تغییرمک(ان مج(ازی ب(ه ص(ورت

زیر در می آید: 2

kle 1kl که در این معادل(ه تانس(ور تنش حاص(ل از اعم(ال سیس(تم بارگ(ذاری

اول و تانس(ور ک(رنش حاص(ل از اعم(ال سیس(تم دوم بارگ(ذاری برای سیس(تم دوم نیروه(ا و تغییرمک(ان متن(اظر این نیروه(ا ک(ه از سیس(تم است.

اول نیروه(ا حاص(ل می ش(ود، معادل(ه اص(ل تغییرمک(ان مج(ازی ب(ه ص(ورت زیر در می آید:

2mn

1mne که در این معادل(ه تانس(ور تنش حاص(ل از اعم(ال سیس(تم بارگ(ذاری

دوم و تانس(ور ک(رنش حاص(ل از اعم(ال سیس(تم اول بارگ(ذاری است.

18


Cijklبا در نظر داشتن رابطه کلی تنش-کرنش و متقارن بودن تانسور نسبت به دو اندیس اول و آخر می توان نوشت:

1 2 1 2kl kl mnkl mn kl

V

e dV C e e dV 2 1 2 1mn mn mnkl kl mn

V

e dV C e e dV

بن(ابر این س(مت راس(ت مع(ادالت اص(ل ک(ار مج(ازی در دو ح(الت مذکور عبارتند از:

1 2 2 1i i j jF u F u

1 1 1kl klmn mn mnkl mnC e C e

2 2mn mnkl klC e

مش(اهده می ش(ود ک(ه ط(رفین س(مت راس(ت این رواب(ط یکس(ان می باشند. بنابر این داریم:

1 2 1 2i i kl klF u e dV

2 1 2 1j j mn mnF u e dV

19


معادله فوق تحت عنوان قانون بتي به صورت زير بيان مي شود:

در يك جسم ارتجاعي خطي با دو سيستم بارگذاري که تغيير مكان هاي حاصل نيز به 2 و 1متعادل متفاوت

عالمت گذاري مي شود، كار انجام يافته 2 و 1ترتيب با در طي تغيير مكان هاي حاصل 1توسط سيستم نيروهاي

، مساوي است با كار انجام يافته 2از سيستم بارگذاري در طي تغيير مكان هاي حاصل 2توسط سيستم نيروهاي

.1از سيستم بارگذاري حالت خاص قانون بتي، به عنوان معادله متقابل ماكسول شناخته

مي شود كه به صورت زير تعريف مي گردد:

براثر i در يك جسم ارتجاعي خطي، تغيير مكان نقطه مساوي است با تغيير مكان jاعمال نيروي واحد در نقطه

)تغيير مكان i بر اثر اعمال نيروي واحد در نقطه jنقطه ها در راستاي نيروهاي تعميم يافته اندازه گيري مي

شوند(.

1 2 2 1i i j jF u F u

20


در این قسمت به معرفی تابعک )تابع تابع( انرژی پتانسیل کلی می ( اصل انرژي پتانسيل مينيمم5 پردازیم و سپس نشان خواهیم داد که این تابعک در حالت تعادل،

دارای کمترین مقدار نسبت به حالت های تصوری دیگر خواهد بود. این بیان تحت عنوان قضیه انرژی پتانسیل مینیمم مشهور است و

یکی از مهمترین قضایای انرژی است که از آن در حل مسائل ارتجاعی استفاده می گردد.

جسم ارتجاعی زیر را در نظر می گیریم:

21


اگ(ر در جس(م ارتج(اعي نش(ان داده ش(ده، ان(رژي ارتج(اعي واح(د حجم ب(ا را نقط(ه غيرخ(اص ي(ك ب(ه U0 نش(ان دهيم، مق(دار U0در بس(تگي

تانسور كرنش در نقطه مذكور خواهد داشت. به عبارت ديگر داريم:

0 0

0

ij

V

U U e

U U dV

قاب(ل ui با دقت در اين ك(ه تانس(ور ك(رنش برحس(ب مي(دان تغي(ير مك(انارائ(ه اس(ت، ب(ه س(ادگي مي ت(وان بي(ان داش(ت ك(ه ان(رژي ارتج(اعي، وابس(ته ب(ه مي(دان تغي(ير مك(ان اس(ت. از اين رو نتيج(ه مي گ(يريم ك(ه چگ(الي ان(رژي ارتج(اعي ب(ه ص(ورت ي(ك تابع(ك )ت(ابع ت(ابع( ظ(اهر مي

شود كه با تغيير ميدان تغيير مكان، مقدار آن تغيير مي كند.

22


فرض ك(نيم ك(ه در مي(دان تغي(ير مك(ان ي(ك سيس(تم، تغي(يري ب(ه ش(كل زي(ر به وجود مي آيد، آنگاه خواهيم داشت:

000 UUU

eee

uuu

ijijij

iii

:به عبارت ديگر خواهيم داشت

0 0

0

00

.

ij

V

ijijV V

U U e

U U dV

UU dV e dV

e

ijij

V

U e dV

با توج(ه ب(ه رابط(ه مي ت(وان نتيجه گرفت كه:

ت(وان رابط(ه ف(وق را چ(نين تفس(ير ك(رد ك(ه اگ(ر تغي(يرات تانس(ور مي ك(رنش ب(ه عن(وان ي(ك مي(دان ك(رنش مج(ازي تلقي ش(ود، در اين ص(ورت ان(رژي ارتج(اعي مج(ازي ان(رژي ارتج(اعي جس(م، چ(يزي ج(ز تغي(ير در

نخواهد بود.

23


t

i i i i

S V

V q u dS B u dV

با در نظ(ر داش(تن معادل(ه م(ذکور، تغی(یرات ان(رژی پتانس(یل ک(ه حاص(ل از تغی(یرات در جابج(ایی جس(م می باش(د )نیروه(ا در طی این تغی(یرات

نوش(ته می ش(ود، از δVث(ابت در نظ(ر گرفت(ه می ش(وند( و ب(ا عالمت معادله زیر محاسبه می گردد:

اگ(ر تغي(يرات در مي(دان تغي(ير مك(ان را ب(ه عن(وان تغي(ير مك(ان مج(ازي تلقي نم(اييم، در اين ص(ورت تغي(يرات در ان(رژي پتانس(يل نيروه(ا چ(يزي ب(ه ج(ز ك(ار مج(ازي خ(ارجي نخواه(د ب(ود. ب(ا ت(ركيب مع(ادالت مرب(وط ب(ه و ث(ابت ب(ودن نيروه(ا در طي تغي(يرات مي(دان تغي(ير مك(ان مي ب(ه ب(ا توج(ه

توان نتيجه گرفت: 0[ ]

t

i i i i

V S V

U V U dV q u ds B u dV

، qحال چنانچ(ه در سیس(تم م(ورد نظ(ر، قب(ل از اعم(ال سیس(تم نیروه(ای ان(رژی پتانس(یل نیروه(ا را ص(فر ف(رض ک(نیم، از آنج(ا ک(ه نقط(ه اث(ر نیروه(ا

جابج(ا ش(ده و ب(ه همین ت(رتیب uدر فراین(د اعم(ال ب(ه جس(م ب(ه ان(دازه نیروه(ای حجمی ن(یز نقط(ه اث(ر خ(ود را تغی(یر می دهن(د، ل(ذا در ص(ورتی ک(ه

نش(ان Vان(رژی پتانس(یل نیروه(ای خ(ارجی اعم از س(طحی و حجمی ب(ا داده شود، می توان نوشت:

t

i i i i

S V

V q u dS B u dV

24


اما با توجه به معادله اصل تغيير مكان هاي مجازي خواهيم داشت:

0 WVU

بنابراين اگر بنويسيم:U V

و را ان(رژي پتانس(يل كلي سيس(تم بن(اميم، در اين ص(ورت ش(رايط تعادل وقتي ارضاء مي شود كه معادله زير برقرار باشد:

0

می شود. معادله فوق داراي بياني به صورت زير است:(Stationary)یعنی انرژی پتانسیل مانا

در بين تمام وضعيت هاي ممكن تغيير شكل سازگار با شرايط ، تنها تغيير شكل حقيقي سيستم )تغییر شکلی که Suمرزي

تعادل را ارضا می کند( منجر به مانا شدن انرژي پتانسيل كلی سيستم مي شود.

25

انرژي فصل چهارم: هاي روشبرای بررس(ی در م(ورد ح(داقل ی(ا ح(داکثر ب(ودن ان(رژي پتانس(يل كلي در ش(رایطی ک(ه این ان(رژی مان(ا اس(ت، وض(عیت تع(ادل و وض(عیت مج(اور آن

را در نظر می گیریم. و برای وضعیت مجاور eijهرگاه تانسور کرنش را برای وضعیت تعادل با

با نشان دهیم و انرژی پتانسیل کلی مربوط به دو وضعیت ∏ و ∏ مشخص نماییم، در این صورت می توان نوشت:0مذکور را با

ij ije e

0 0 0

t

ij ij ij i i i i i

V S

i i i i i

V

U e e U e dV q u u q u dS

B u u B u dV

یا

داریم: 0 0

t

ij ij ij i i i i

V s V

U e e U e dV q u dS B u dV

26


....2

1 02

000

kkijklij

ijij

ijijij eeee

Ue

e

UeUeeU

تابع را مي توان به صورت زیر بسط داد: 0 ij ijU e e

ب(ه ∏Δبا جایگ(ذاری معادل(ه ف(وق در معادل(ه اص(لی مرب(وط خواهیم داشت:

201

.....2

t

ij kl ij ij i i i iij klV V s V

Ue e dV e dV q u dS B u dV

e e

t

ij ij i i i i

V s V

e dV q u dS B u dV

با توج(ه ب(ه اص(ل تغییرمک(ان ه(ای مج(ازی عب(ارت زی(ر مس(اوی صفر است:

0 0

t

ij ij ij i i i i

V s V

U e e U e dV q u dS B u dV

27


به صورت زیر در میآید :∏Δبنابراین 2

01...

2 ij klij klV

Ue e dV

e e

هرگاه انرژی ارتجاعی یک سیستم را در حالتی که آزاد از نیرو باشد، صفر فرض کنیم، در این صورت چگالی انرژی ارتجاعی آن در مجاورت

از معادله زیر به دست می آید: δeijوضعیت بدون بار یا وضعیت

20

0 0

1...

2ij ij ij ij ij ij klij kl

UU e e U e e e e

e e

در σijبرای استخراج معادله فرض می شود که تنش وضعیت کرنش صفر، برابر صفر است. یعنی:

0 ijU e

2

00

1...

2ij ij klij kl

UU e e e

e e

28


201

...2 ij kl

ij kl

Ue e

e e

بنابراين مي توان قضيه زير را بيان نمود:

در بين تمام وضعيت هاي ممكن تغييرشكل سازگار با شرايط مرزي تغيير مكاني، تنها تغيير شكل حقيقي سيستم )كه معادالت تعادل را ارضاء مي كند( منجر به حداقل شدن

مقدار انرژي پتانسيل كلي مي شود.

هرگاه همواره مثبت باشد، در نتیجه نیز همواره مثبت خواهد بود. بنابراین اگر مثبت باشد، نتیجه می

گیریم که عبارت زیر همواره مثبت خواهد بود: 0 ijU e 0 ijU e 0 ijU e

نیز همواره مثبت خواهد بود. به عبارت دیگر در می یابیم که ∏Δبنابراین انرژی پتانسیل کلی وضعیت مجاور تعادل، نسبت به انرژی پتانسیل کلی وضعیت تعادل افزون تر است و در نتیجه می توان اظهار داشت که در

وضعیت تعادل، انرژی پتانسیل کلی در حداقل مقدار خودش است.

29


( قضيه اول كاستيليانو6

پیش از این نش(ان دادیم ک(ه هرگ(اه ب(رای ی(ک سیس(تم ارتج(اعی، تابع(ک وج(ود داش(ته باش(د، مولف(ه ه(ای تنش ب(ا U0ان(رژی ارتج(اعي داخلی

مشتق گیری از این تابعک به شکل زیر حاصل می گردد:

ijij e

U

0

معادله فوق به صورت قضیه زیر بیان می شود: نس(بت ب(ه هري(ك از U0 مش(تق تابع(ك چگ(الي ان(رژي ارتج(اعي :قض(يه

مؤلف(ه آن ن(ام هم تنش مؤلف(ه ب(ا مس(اوي آن، ك(رنش ه(اي مؤلف(ه كرنش است.

اینک با استفاده از قضیه انرژی پتانسیل کلی مینیمم، به استخراج معادله ای نظیر معادله فوق برای نیروها و تغییرمکان های یک

سیستم می پردازیم.

30

انرژي فصل چهارم: هاي روش در حال تعادل FN تا F1جسمي را در نظر بگيريد كه تحت اثر نيروهاي

بوده و تغییرشکل حقیقی خود را دارا باشد. هرگاه تغییرمکان نقطه اثر نشان دهیم، روشن است که انرژی uN تا u1 این سیستم نیرو را با

خواهد بود و از اینرو می uN تا u1تابعی از کلیه متغیرهای Uارتجاعی توان نوشت: NuuuUU ,...,, 21

از طرف دیگر داریم:

0U V

δV:به صورت زیر نمایش داده می شود

i iV F u

تغییرات انرژی پتانسیل کلی به صورت زیر نمایش داده می شود:

ii

UU u

u

31


معادله مذكور همان قضيه اول كاستيليانو است كه به صورت زير بيان مي شود:مشتق تابعك انرژي ارتجاعي يك جسم االستيك نسبت به هر يك از اجزاء تغيير مكان آن، برابر

نيروي اعمال شده هم راستا با آن تغيير مكان در نقطه مورد نظر است.

* از اين قضيه براي استخراج ضرايب ماتريس نرمي در روش نيروها استفاده مي شود.

0i ii

UF u

u

ii

UF

u

پس از جایگذاری خواهیم داشت:

اختیاری است، نتیجه می گیریم که: δuiو چون تغییرات

32


( اصل انرژي پتانسيل مكمل مينيمم7

در ي(ك جس(م ارتج(اعي، ان(رژي مكم(ل در واح(د حجم در ي(ك نقط(ه خ(اص بس(تگي ب(ه تانس(ور تنش در نقط(ه *U0 نش(ان مي دهيم. مق(دار *U0 را ب(ا

مذكور خواهد داشت. به عبارت ديگر داريم: * *0 0

*0

ij

V

U U

U U dV

در این قسمت به معرفی تابعک )تابع تابع( انرژی پتانسیل مکمل می پردازیم و سپس نشان خواهیم داد که این تابعک در حالت تعادل

دارای کمترین مقدار نسبت به حالت های تصوری دیگر خواهد بود. این بیان تحت عنوان قضیه انرژی پتانسیل مکمل مینیمم مشهور

است و یکی از مهمترین قضایای انرژی است که از آن در حل مسائل ارتجاعی استفاده می گردد.

فرض ك(نيم ك(ه در مي(دان ن(یروی ي(ك سيس(تم، تغي(يري ب(ه ش(كل زي(ر ب(ه وجود مي آيد، آنگاه خواهيم داشت:

0 0 0

ij ij ij

U U U

33

تانس(ور ت(وان رابط(ه ف(وق را چ(نين تص(وير ك(رد ك(ه اگ(ر تغي(يرات مي اين ص(ورت تلقي ش(ود، در ي(ك مي(دان تنش مج(ازي ب(ه عن(وان تنش تغي(ير در ان(رژي ارتج(اعي مكم(ل جس(م، چ(يزي ج(ز ان(رژي مج(ازي مكم(ل

نخواهد بود.


در این صورت خواهيم داشت: * *0 0

** * * 0

0 0

ij

ijijV V V

U U

UU U dV U dV dV

با توج(ه ب(ه رابط(ه مي ت(وان نتيجه گرفت كه:

و U0چگ(الي ان(رژي ارتج(اعي ارتج((اعي ان((رژي چگ((الي

در *U0مكم(ل ت(وان مي را ب(((ه تنش-كرنش نم(((ودار

صورت زير نشان داد:

34


*00 UU

كه حاصل تغييري متعادل در سيستم Vتغيير در انرژي پتانسيل نيروهاي اعمالي است )در حاليكه جابجايي ها ثابت مي مانند(، به

.صورت زير تعيين مي شود:U

i i i i

S V

V q u dS B u dV

بديهي است كه براي اجسام ارتجاعي خطي خواهيم :داشت

تعریف شده uiقسمتی از سطح می باشد که در روی آن Suکه در آن Uاست. از تلفیق دو رابطه حاصل برای و خواهیم داشت: V

*

u

ij ij i i i i

V S V

U V e dV q u dS B u dV

*

U

ij ij i i i i

V S V

U V e dV q u dS B u dV

35


:بنابراين مي توان بيان كرد كهدر بين تمام وضعيت هاي ممكن ميدان تنش كه شرايط تعادل و

را ارضاء مي كنند، تنها وضعيتي بيانگر سيستم St شرايط مرزي حقيقي تنش است )یعنی شرایط سازگاری را ارضا می کند( كه

منجر به مانا شدن انرژي پتانسيل مكمل كلي شود.

مشخص است که با استفاده از اصل نیروهای مجازی داریم:

* 0U V

*:با فرض به عنوان انرژی پتانسیل کلی مکمل خواهیم داشت

* * * 0U V

36

انرژي فصل چهارم: هاي روشبرای بررس(ی در م(ورد ح(داقل ی(ا ح(داکثر ب(ودن ان(رژي پتانس(يل مکم(ل كلي در ش(رایطی ک(ه این ان(رژی مان(ا اس(ت، وض(عیت تع(ادل و وض(عیت مج(اور

آن را در نظر می گیریم.

0 0 0 ( )

( )

u

ij ij ij i i i i i

V S

i i i i i

V

U U dV q q u q u dS

B B u B u dV

یا

داریم:

00

u

ij ij ij i i i i

V s V

U U dV q u dS B u dV

و برای وضعیت مجاور با σijهرگاه تانسور تنش را برای وضعیت تعادل با نشان دهیم و انرژی پتانسیل کلی مکمل مربوط به دو وضعیت مذکور را با و مشخص نماییم، در این صورت می

توان نوشت:

ij ij 0

37


0

20 0

0

1....

2ij ij ij ij ij kkij ij kl

U UU U

تابع را مي توان به صورت زیر بسط داد: 0 ij ijU

201

.....2

u

ij kl ij ij i i i iij klV V s V

UdV e dV q u dS B u dV

با توج(ه ب(ه اص(ل نیروه(ای مج(ازی عب(ارت زی(ر مس(اوی ص(فر

است:

با جایگ(ذاری معادل(ه ف(وق در معادل(ه اص(لی مرب(وط ب(ه خواهیم داشت:

u

ij ij i i i i

V s V

e dV q u dS B u dV

00

u

ij ij ij i i i i

V s V

U U dV q u dS B u dV

38


201

...2 ij kl

ij klV

UdV

هرگاه انرژی ارتجاعی مکمل یک سیستم را در حالتی که آزاد از نیرو باشد، صفر فرض کنیم، در این صورت چگالی انرژی ارتجاعی مکمل آن

از معادله زیر به دست می δσijدر مجاورت وضعیت بدون بار یا وضعیت آید:

0 0

201

...2ij ij ij ij ij ij kl

ij kl

UU U e

در eijبرای استخراج معادله فرض می شود که کرنش وضعیت تنش صفر، برابر صفر است. یعنی:

0 ijU

0

201

...2ij ij kl

ij kl

UU

بنابراین به صورت زیر در میآید :

39


201

...2 ij kl

ij kl

U

بنابراين مي توان قضيه زير را بيان نمود:

هرگاه همواره مثبت باشد، در نتیجه نیز همواره مثبت خواهد بود. بنابراین اگر مثبت باشد، نتیجه می

گیریم که عبارت زیر همواره مثبت خواهد بود: 0 ijU

0 ijU

0 ijU

بنابراین نیز همواره مثبت خواهد بود. به عبارت دیگر در می یابیم که انرژی پتانسیل مکمل کلی وضعیت مجاور تعادل نسبت به انرژی

پتانسیل مکمل کلی وضعیت تعادل افزون تر است و در نتیجه می توان اظهار داشت که در وضعیت تعادل، انرژی پتانسیل مکمل کلی در حداقل

مقدار خودش است.

در بين تمام سيستم هاي مجاز تنش كه شرايط تعادل و شرايط مرزي نیرویی را ارضاء مي كنند، تنها سيستم حقيقي تنش )یعنی سیستمی که شرایط سازگاری را ارضا می کند(، منجر به حداقل

.شدن انرژي پتانسيل مكمل كلي مي شود

40


( قضيه دوم كاستيليانو8

0

ijij

Ue

معادله فوق به صورت قضیه زیر بیان می شود:

پیش از این نش(ان دادیم ک(ه هرگ(اه ب(رای ی(ک سیس(تم ارتج(اعی، تابع(ک داخلی ارتج(اعي مکم(ل ه(ای ان(رژی باش(د، مولف(ه داش(ته وج(ود

کرنش با مشتق گیری از این تابعک به شکل زیر حاصل می گردد:0U

نس(بت ب(ه مش(تق تابع(ك چگ(الي ان(رژي ارتج(اعي مکم(ل :قض(يههري(ك از مؤلف(ه ه(اي تنش آن، مس(اوي ب(ا مؤلف(ه ک(رنش هم ن(ام آن

مؤلفه تنش است.

0U

هرگاه رفتار ماده ارتجاعی، خطی باشد، در این صورت به راحتی می توان نوشت:

0 0U U

به عبارت دیگر برای اجسام ارتجاعی خطی داریم:0

ijij

Ue

41


1 2, ,..., NU U F F F

از طرف دیگر داریم:

0U V δV:به صورت زیر نمایش داده می شود

i iV u F

تغییرات انرژی پتانسیل کلی مکمل به صورت زیر نمایش داده می شود:

ii

UU F

F

اینک با استفاده از قضیه انرژی پتانسیل مکمل کلی مینیمم، به استخراج معادله ای نظیر معادله فوق برای نیروها و تغییرمکان های

تغییر uN تا u1 جسمي را در نظر بگيريد كه تحت اثر تغییر مکان هاییک سیستم می پردازیم.شکل داده باشد و برای ایجاد این سیستم تغییرمکان، سیستم نیروهای

F1 تا FN به کار رفته باشد. روشن است که انرژی ارتجاعی مکمل 0U خواهد بود و از اینرو می توان نوشت:FN تا F1تابعی از کلیه نیروهای

42


معادله مذكور همان قضيه دوم كاستيليانو است كه به صورت زير بيان مي شود:مشتق تابعك انرژي ارتجاعي )مکمل( يك جسم

االستيك خطی نسبت به هر يك از اجزاء نیروهای اعمال شده، برابر تغییرمکان هم راستا با آن

نیرو در نقطه مورد نظر است.* از اين قضيه براي استخراج ضرايب ماتريس سختی در روش تغییرمکان ها استفاده مي شود.

0i ii

Uu F

F

ii

Uu

F

پس از جایگذاری خواهیم داشت:

اختیاری است، نتیجه می گیریم که: δFiو چون تغییرات

برای اجسام ارتجاعی خطی نیز خواهیم داشت:i

i

Uu

F

…با تشکر از توجه شما …با تشکر از توجه شما

Documents

تئوری الاستیسیته