加强新题型研究

落实综合能力训练

中考复习 第一轮

数学综合性试题常常是中考试卷中的把关题和压轴题 .

综合题具有知识容量大、解题方法多、能力要求高、突显数学思想方法的运用以及要求考生具有一定的创新意识和创新能力等特点 .

综合能力训练既能提高学生临场的解题能力，得到把真实水平如实反映出来的机会，同时也是一次发现问题，查漏补缺的机会 .

一、系统地、分类地做一些综合题 .

中考数学综合题类型1. 综合方程、函数等有关知识解决数学问题 .2. 在直角坐标系内 ,综合运用点的坐标、距离、函数、方程、不等式等代数知识，并结合所学的几何知识解决数学问题 .

3. 在几何图形中综合运用有关几何知识，并结合所学的代数知识解决数学问题 .

4. 运用方程、不等式或几何的有关知识解决实际问题 .

二、做适量的模拟中考题 .

根据教材应考的知识点，按照 < 中考说明> 试题卷的结构框架，精心选编考题 .

每套综合题考了教材中的哪些知识点，是以什么方式出现的；

考查了学生哪几种数学思想方法和思维能力；

给学生设置了哪些数学思维障碍

三、适量地做中考新试题 .

例如阅读理解型题、探索性题型、应用型题型、动手操作性题型、运动型题 .

很多试题以图像、图表为背景展现在考生面前，这方面的试题不拘泥于大纲和课本，形式多样，有利于培养学生的自学能力、创新思维和实践能力 .

如去年出现的“油改气”、“民工子女入学”等 . 今年这种阅读型数学题还会增加，像“全免杂费教育”、“亚太市长峰会”等都有可能进入试题 .

解答时，需要认真仔细地阅读试题，搞清题中各种量的关系、位置或数量特征，在把握本质、理解实质的基础上，根据试题所问作出正确解答 .

( 江西省南昌市， 2004 年 )例1.

质点运动型问题就是在三角形、矩形、梯形、函数图象等一些图形上，设计一个或几个动点 .

２ . 质点运动型问题

解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解 .

一般方法是抓住变化中的“不变量”，以不变应万变，用运动与变化的眼光去观察和研究图形，把握动点运动与变化的全过程，抓住其中的等量关系和变量关系，并特别关注一些不变量、不变关系或特殊关系 .

例 2.2005 温州市 ) 如图，在 Rt ABC△ 中，已知 AB ＝ CA ＝ 4cm ， AD BC⊥ 于 D ，点 P 、 Q 分别从 B 、 C 两点同时出发，其中点 P 沿 BC 向终点 C运动，速度为 1cm/s ；点 Q 沿 CA 、 AB 向终点 B运动，速度为 2cm/s ，设它们运动的时间为 x(s).

⑴ 求 x 为何值时， PQ AC⊥ ； ⑵ 设△ PQD 的面积为 y ，当 0 ＜ x＜ 2 时，求y与 x的函数关系式；

⑶ 当 0 ＜ x ＜ 2 时，求证： AD 平分△ PQD 的面积；

⑷ 探索以 PQ 为直径的圆与 AC 的位置关系 . 请写出相应位置关系的 x 的取值范围( 不要求写出过程 ).

Q

D CB

A

P

O

例 3. 在三角形 ABC 中 , B=60°,BA=24cm,B∠C=16cm ,

现有动点 P 从点 A 出发 , 沿射线 AB 向点 B 方向运动 ; 动点 Q 从点 C 出发 , 沿射线 CB 也向点 B 方向运动 . 如果点 P 的速度是 4cm / 秒 ,点 Q 的速度是 2cm / 秒 , 它们同时出发 , 求 :

(1) 几秒钟后 ,ΔPBQ 的面积是 ΔABC 的面积的一半 ?

(2) 在第 (1) 问的前提下 ,P 、 Q两点之间的距离是多少 ?

(2005 年杭州市 )

B

A C

3. 动手操作型动手操作型

新课标非常重视动手操作，新教材中有许多动手操作的内容，其目的是通过学生亲身体验数学结论的来历，在操作过程中获取“解决问题的经验”，“在学习过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能” .因此，近几年中考试题在这方面做了许多尝试 .

（ 2005 年浙江省中考题）

例 4. 请将四个全等直角梯形 ( 如图 ) ，拼成一个平行四边形，并画出两种不同的拼法示意图 ( 拼出的两个图形只要不全等就认为是不同的拼法 ) ．

例 5. 印刷一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为 4 页，再对折一次为 8 页，

连续对折三次为 16 页，……；然后再排页码 . 如果想设计一本 16 页的毕业纪念册，请你按图 1. 图 2 、图 3 （图中的 1 ， 16 表示页码）的方法 折叠，在图 4 中填上按这种折叠方法得到的各 页在该面相应位置上的页码 .

(2005 年北京市海淀区 )

4. 开放探索型问题 探索性试题具有一定的难度，它主要考查

学生的阅读能力、动手实践能力、探索发现能力、以及合情推理能力、归纳概括能力 .

1. 从一般意义上说，缺少结论的综合题，称为探索开放型题。

解答这种题型的一种思路是：“推测结论，化归命题 .”

探索型题，在解答之前，如能做出正确的判断：“能”或“否”，就会使探索型题转化为常规题 .

2. 另一种解题思路是：从正反两方面探索 .

常见的探索型问题的类型： 1 ）条件探索型——结论明确，而需探索

发现使结论成立的条件的题目 . 2 ）结论探索型——给定条件，但无明确

结论或结论不惟一 . 3 ）存在探索型——在一定条件下，需探

索发现某种数学关系是否存在 . 4 ） 规律探索型——发现数学对象所具有

的规律性与不变性的题目 .

常用的解题切入点： 1 ）利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线

段、特殊位置）进行归纳、概括，从而得出规律 . 2 ）反演推理（反证法）：根据假设进行推理，

看推导出矛盾的结果还是能与已知条件一致 . 3 ）分类讨论：当命题的题设和结论不惟一确

定时，则需对可能出现的情况做到既不重复，也不遗漏，分门别类地加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结论 .

(2005 年大连市 ) 例 6. 如图， 8 － 1 、 8 － 2 、 8－ 3 、…、 8 － n 分别是⊙ O 的内接正三角形 ABC ，正四边形 ABCD 、正五边形 ABCDE 、…、正 n 边形ABCD… ，点 M 、 N 分别从点 B 、 C 开始以相同的速度在⊙ O 上逆时针运动 .

求图 8 － 1 中∠ APN 的度数； 图 8 － 2 中，∠ APN 的度数是 _______ ， 图 8 － 3 中∠ APN 的度数是 ________. 试探索∠ APN 的度数与正多边形边数 n 的关系（直接

写答案）

A

B

M

C

PN

O

.

图 8 － 1

.

O

A

B C

D

M

NP

图 8 － 2

E

A

B

C DM

NP

. O

图 8 － 3

.

M

NP

O

图 8 － 4

A

B C

（ 2003 年苏州市中考题）例 7. 如图 1 ，⊙ O 的直径 AB ，过半径 OA 的中点 G 作弦 CE AB⊥ ，在⊙ O 上取一点 D ，分别作直线 CD 、 ED ，交直线 AB 于点 F 、 M.

（ 1 ）求∠ COA 和∠ FDM 的度数；（ 2 ）求证：△ FDM COM∽△ ；（ 3 ）如图 2 ，若将垂足 G 改取为半径 OB 上任意一点，点 D 改取在 EB 上，仍作直线 CD 、 ED ，分别交直线AB 于点 F 、 M. 试判断：此时是否仍有△ FDM COM∽△ ？

证明你的结论

D

A F

C

E

D

MO G B

A F

C

E

M

O G B

１ ２

（ 2005 江苏杨州课改）例８ : 等腰△ ABC ， AB=AC= ８，∠ BAC=120° ， P 为 BC 的中点，小慧拿着含 30° 角的透

明三角板，使 30° 角的顶点落在点 P ，三角板绕 P 点旋转． （ 1 ）如图 a ，当三角板的两边分别交 AB 、 AC 于点 E 、 F 时．

求证：△ BPE∽ CFP△ ； （ 2 ）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时，三角板的 两边分别交 BA 的延长线、边 AC 于点 E 、 F ．

探究１：△ BPE 与△ CFP 还相似吗？（只需写出结论）探究２：连结 EF ，△ BPE 与△ PFE 是否相似？请说明理由；设 EF=m ，△ EPF 的面积为 S ，试用 m 的代数式表示 S ．

A

B C

P

E FA

B C

P

E

F

图 a 图 b

5. 应用型题型 社会热点问题：例如“ SARS” 病毒的防治、

三峡水电站、神舟飞船、能源开发、环境保护、经济发展等 .

发生在学生身边的事情，如银行商标图案，骑自行车反映出来的函数图象，测量电视塔的高度，投寄平信应付的邮费，购买商品如何省钱等等，还要注意与教材上内容的类比 .

　

（ 2005 年宁德） 6 月以来 , 我省普降大雨，时有山体滑坡灾害发生，北峰小学教学楼后面紧领着一个土坡，坡上面是一块平地，如图， AF∥BC ，斜坡 AB 长 30米，坡角∠ABC=65° 。为了防止滑坡，保障安全学校决定对该土坡进行改造，经过地质人员勘测，当坡角不超过 45 ° 时，可以确保山体不滑坡 .

(1) 求坡顶与地面的距离 AD 等于多少米 ? （精确到 0.1米） (2) 为确保安全，学校计划改造时保持坡角 B 不动，坡顶 A 沿 AF削进 E 点处，求 AE至少是多少米 ? （精确到 0.1米）

例 10.

A E F

B D C

A E F

B D C

例 11. 我国年人均用纸量约为 28公斤，每个初中毕业生离校时大约有 10公斤废纸；用 1吨废纸造出的再生好纸 , 所能节约的造纸木材相当于 18棵大树，而平均每亩森林只有 50至 80棵这样的大树 .

若我市 2005 年初中毕业生中环保意识较强的 5 万人 , 能把自己离校时的全部废纸送到回收站使之制造为再生好纸 ,那么最少可使多少亩森林免遭砍伐 .

宜昌市从 2001 年初开始实施天然林保护工程 , 到 2003 年初成效显著 ,森林面积大约由 1374.094 万亩增加到 1500.545 万亩 . 假设我市年用纸量的 15％可以作为废纸回收、森林面积年均增长率保持不变，请你按宜昌市总人口约为 415 万计算 : 在从 2005 年初到 2006 年初这一年度内，我市新增加的森林面积与因回收废纸所能保护的森林面积之和最多可能达到多少亩 . （精确到 1亩）

2005 年湖北省宜昌市

　　总之， 数学复习不是简单的内容再现和重复，而是对知识的整理、疏通、升华，教会学生驾驭教材，掌握知识、灵活应用 . 中考数学新题型虽背景新颖，千变万化，但万变不离其本——书本 . 课本是新题型的直接来源，课本是解题能力的生长点 .

　　由于新题型是能力型试题，因此中考对新题型的复习必须把能力的培养落实到位 . 中考复习必须帮助

学生从总体上条理出解决问题的本质思路，引导学生 抓住贯穿于各种类型问题的“红线”，即教学观点 . 复 习过程中随时利用问题情境，帮助学生提炼教学观 点，长此以往，学生在新题型面前，就能够迅速地从 宏观上驾驭解题思路，再结合纯熟的“三基”就能够从 微观上作出正确的解答 .

最后 , 教会学生解题之后要反思 :

①思因果 ; ②思规律 ;

③思多解 ; ④思变通 ;

⑤思归类 ; ⑥思错误．

　　况且， 中考数学题是越来越灵活，新型题目形式多样，涉及的知识面也越来越宽，不仅要求教师精通教材，有良好的数学素质，而且要教师博闻强识，了解生活的方方面面，随时利用问题情境，提炼教学观点，培养数学意识 .