Рулева Т.Г.

Системы уравнений как математические модели

реальных ситуаций

МОУ «Средняя общеобразовательная школа №42 с углубленным изучением английского языка и математики»

г.Петрозаводск

Рулева Т.Г.

«Все науки настолько связаны между собою, что легче изучать их все сразу, нежели какую-либо

одну из них в отдельности от всех прочих».

Рене Декарт

Рулева Т.Г.

Методы решения систем уравнений:

- подстановки;

- алгебраического сложения;

- введения новых переменных;

- графический.

Рулева Т.Г.

Алгоритм решения задачи с помощью системы уравнений:

1.Обозначить неизвестные элементы переменными;

2.Составить по условию задачи систему уравнений;

3.Определить метод решения системы уравнений;

4.Выбрать ответ, удовлетворяющийусловию задачи.

Рулева Т.Г.

Этапы решения задачи:

• Первый этап. Составление математической модели. • Второй этап. Работа с составленной моделью. • Третий этап. Ответ на вопрос задачи.

Рулева Т.Г.

Л. Н. Толстой «Арифметика»

У двух мужиков 35 овец. У одного на 9 овец больше, чем у другого. Сколько у каждого овец? Iэтап. Обозначим х - число овец у первого мужика, у – у второго. х + у = 35 х – у = 9IIэтап.(решаем методом алгебраического сложения).IIIэтап. Ответ: 13 и 22.

Рулева Т.Г.

Илья Ильф и Евгений Петров

«Двенадцать стульев»

Рулева Т.Г.

Задача.

«Потом отец Федор подошел к комоду и вынул из конфетной коробки 50 рублей трехрублевками и пятирублевками. В коробке оставалось еще 20 рублей». Сколько трех- и пятирублевок отец Федор взял и сколько оставил? Ну, а чтобы обеспечить единственность решения, добавим условие: отец Федор взял с собой большую часть трехрублевок и большую часть пятирублевок. Теперь найдите решение.

Рулева Т.Г.

а) Пусть взято x трехрублевок и y пятирублевок 3x+5y=50 5 и 7 10 и 4 15 и 1б) а – осталось трехрублевок b – осталось пятирублевок 3а+5b=20 5 и 1 0 и 4Получим: 5 трехрублевок и 7 пятирублевок или 10 трехрублевок и 4 пятирублевок взял отец Федор.

Решение:

Рулева Т.Г.

Задачи от Н.Носова

Рулева Т.Г.

Задача № 1.

«Мальчик и девочка рвали в лесу орехи. Они

сорвали всего 120 штук. Девочка сорвала в два

раза меньше мальчика. Сколько орехов собрал

каждый из них?»Решение:Iэтап. Пусть мальчик сорвал х ор., а девочка у ор. х =2у х + у=120IIэтап. (решаем методом подстановки).IIIэтап.

Ответ: мальчик сорвал 80 ор., а девочка сорвала 40 ор.

Рулева Т.Г.

Задача № 2.

«В магазине было 8 пил, а топоров в три раза больше. Одной бригаде плотников продали половину топоров и три пилы за 84 рубля. Оставшиеся топоры и пилы продали другой бригаде плотников за 100 рублей. Сколько стоит один топор и одна пила?»Решение:Iэтап. Пусть топор стоит х руб., а пила стоит у руб. 12х +3у=84 12х +5у=100IIэтап. (решаем методом алгебраического

сложения).IIIэтап. Ответ: топор стоит 5 руб. и пила стоит 8 руб.

Рулева Т.Г.

А.П.Чехов «Репетитор»

«Купец купил 138 аршин черного и синего сукна за 540 руб. Спрашивается, сколько аршин купил он того и другого сукна, если синее стоило 5 руб. за аршин, а черное 3 руб.?»

1 аршин ≈ 71 см

Рулева Т.Г.

Решение:Iэтап. Пусть черного сукна приобрел купец – х м и

синего сукна – у м. Так как синее сукно стоит 5 руб. за 1м, а черное – 3 руб. за 1м, то составим и решим системууравнений: x + y = 138 5x + 3y = 540IIэтап. x = 138 – y 5(138 – y) + 3y = 540 5(138 – y) + 3y = 540 690 – 5y +3y = 540 -2y = -150 y = 75 x = 138 – 75 = 63.IIIэтап. Ответ: 63 (аршина) – синего и 75 (аршин) –

черного сукна приобрел купец.

Рулева Т.Г.

Имеются два сплава меди со свинцом. Один сплав содержит 15% меди, а другой 65%. Сколько нужно взять каждого сплава, чтобы получилось 200г сплава, содержащего 30% меди?

Iэтап. Пусть первого сплава взяли х г и второго – у г.

М С М С

+ =

х(г) у(г) 200(г)

IIэтап. (метод подстановки)

х + у = 200

0,15х + 0,65у =0,3*200

х = 140 и у = 60

IIIэтап. Ответ: 140г меди и 60г свинца.

15%

65%

30%

Рулева Т.Г.

Имеется руда из двух пластов с содержанием меди 6% и 11%. Сколько «бедной» руды надо взять, чтобы получить при смешивании с «богатой» 20 т руды с

содержанием меди 8%?Переведем проценты в дроби: 6%=0,06; 11%=0,11; 8%=0,08Iэтап. Пусть надо взять х т «бедной» руды и у т «богатой» руды.

Первое уравнение: х + у = 20.«Бедная» руда будет содержать 0,06х т меди, «богатая» руда будет

содержать 0,11у т меди. Получившиеся 20 т руды будут содержать 20*0,08 = 1,6 т меди.

Получим второе уравнение: 0,06х + 0,11у = 1,6. IIэтап. (метод подстановки) х + у = 20 0,06х + 0,11у = 1,6

Решим систему уравнений, получим х = 12 и у = 8.IIIэтап. Ответ: 12т руды с 6% содержанием меди.

Рулева Т.Г.

Имеются сплавы золота и серебра. В одном эти металлы находятся в отношении 2: 3, а в другом в отношении 3: 7. Сколько нужно взять от каждого

сплава, чтобы получить 1 кг нового, в котором золото и серебро находились бы в отношении 5: 11?

Iэтап. По этой схеме уравнение х + у =1 показывает массу нового сплава. Определяем массу золота в каждом сплаве и получаем уравнение

*х + *у = *1 Аналогично массу серебра и получаем уравнение

* х + * у = * 1 IIэтап. Записываем одну из систем:

*х + *у = х + у = 1 х + у = 1

х + у = IIIэтап. Решая ее, получаем х = 0,125 и у = 0,875. Ответ: 125 г и 875 г.

5

2

5

2

10

3

16

5

5

3

10

7

16

11

Золото: Серебро = 3: 7

Золото: Серебро = 5: 11

Золото: Серебро = 2: 3

Х кг У кг

10

3

16

5

5

3

10

716

11

Рулева Т.Г.

Задания из тестов ГИА:

1.Найти пары чисел, являющиеся решением системы уравнений

xy = 6,

2x − y = 11.

1) (1; 6); (6; 1) 2) (6; 1); (−0, 5; −12)

3) (1; 6); (−12;−0, 5) 4) (6; 1); (−1; −6)

Ответ: 2)

Рулева Т.Г.

2. Прямая y=2x-3 пересекает параболу y=x2-x-7 в двух точках.

Вычислите координаты точки B.

А

В

y=2x-3 y=x2-x-7 x1=-1 x2=4x=-1y=2•(-1)-3=-5

(-1;-5)

у

х0

Рулева Т.Г.

3.Вычислите координаты точки B.

А

В

2x-3y=-9x-4y=-8

x-4•1,4=-8x=-8+5,6=-2,4

(-2,4;1,4)

С

2x-3y=-9x+y=5

x-4y=-8

*(-2)

2x-3y=-9-2x+8y=16

5y=7y=1,4

у

х0

Рулева Т.Г.

Домашнее задание: задачник под ред. Мордковича А.Г.№7.37, 7.40 и 7.53).

Спасибо всем за урок! Удачи!

И помните!

Учение без размышления бесполезно,

но и размышление без учения опасно. Конфуций.