Embed Size (px)
DESCRIPTION
二项式定理 （复习课）. (a+b) n = （ n ） , 这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n 的 ， 其中 （ r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项， 通项是指展开式的第 项， 展开式共有 个项. 二项式定理. 知 识 小 结. 展开式. 二项式系数. r+1. n+1. 定理. 1. 系数规律：. 剖 析. 2. 指数规律：. （ 1 ）各项的次数均为 n ； （ 2 ）二项和的第一项 a 的次数由 n 降到 0 ， - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
二项式定理（复习课）
二项式定理nn
nrrnr
n1n1
nn0
n bCbaCbaCaC (a+b) n=
（ n ） , 这个公式表示的定理叫做二项式定 理，公式右边的多项式叫做 (a+b) n 的 ， 其中 （ r=0,1,2,……,n ）叫做 ， 叫做二项展开式的通项， 通项是指展开式的第 项， 展开式共有 个项 .
NrnC
展开式二项式系数
rrnrn baC
r+1
n+1
知识小结
nnn
rrnrn
1n1n
n0n
n bCbaCbaCaC)ba( 定理
剖
析1. 系数规律：
nn
2n
1n
0n CCCC 、、、、
2. 指数规律：（ 1 ）各项的次数均为 n ；（ 2 ）二项和的第一项 a 的次数由 n 降到 0 ， 第二项 b 的次数由 0 升到 n.
3. 项数规律：二项和的 n 次幂的展开式共有 n+1 个项
基本题型
nnn
rrnrn
1n1n
n0n
n bCbaCbaCaC)ba( 定理
2. 求展开式中的指定项或指定项的系数 *
指定类型常见有以下几种：1 、第 n 项 2 、常数项 3 、指数项 4 、有理项 5 、系数最大项
1. 用二项式定理求二项展开式（指数低于 6次） 64 )
x
1x2()2()
x
1x()1(
方法 : 应用通项公式
1. 的展开式中，第五项是……（ ）
A. B. C. D.
2. 的展开式中，不含 a 的项是第（ ） A.7 项 B.8 项 C.9 项 D.6 项
62 )
x
a
a
x(
x
15
3
2
a
x6
x
20
x
15
153 )a
1a(
例
题D
A
求指定的项
4. 求二项式 的展开式中的有理项 .73
2
13 )(
答案：4
105
3. 多项式 (1-2x)5(2+x) 含 x3 项的系数是（ ） A.120 B.-120 C.100 D.-100
B
1. （ x-2)9 的展开式中，第 6 项的二项式系数 是……………………………………（ ） A.4032 B.-4032 C.126 D.-1262. 若 的展开式中的第三项系数 等于 6 ，则 n 等于……………………（ ） A.4 B.4 或 -3 C.12 D.3
课堂操
练
A
C
n)x(11
1
2. 二项式 的展开式中第三项系
数比第二项系数大 44 ，求第 4 项的系数 .
n)x
xx( 4
1
1.求 (x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5 的展开式 中， x2 的系数 提示：先用等比数列前 n 项和公式求和，再用 通项求系数
提示：由第三项系数比第二项系数大 44 先 求 n ，再由通项求第四项系数 .
答案： -20
答案： 165
思考
题
问题 1
问题 2
求 的展开式(1- x)5( )1 2 5 x x
用关于 的 次多项式表示( ) .r n r n 1
退出
求 的展开式(1- x)5( )1 2 5 x x
分析：由 知，原式可变形为 再展开，比直接展开简便。
a b abn n n( ) ( )1 3 5 x
解： ( ) ( )
( )
1 1
1
1 5 10 10 5
5 2 5
3 5
50
51 3
52 6
53 9
54 12
55 15
3 6 9 12 15
x x x
x
c c x c x c x c x c x
x x x x x退出
问题 3求 的展开式中第四项的二项式系数
和第四项的系数
( )
.
xx
2 10
退出
求 的展开式中第四项的二项式系数
和第四项的系数
( )
.
xx
2 10
分析：第 k+1 项的二项式系数 ---------- 第 k+1 项的系数 -------------------- 具体数值的积。
cnk
解：因为
所以第四项的二项式系数是
第四项的系数是
T T c xx
c
4 3 13
103 7 3
103
12
120
8 960
( ) ( ) ( ) ,
.
. -c103
退出
问题 4
退出
求 展开式中的常数项( ) .91
318x
x
求 展开式中的常数项( ) .91
318x
x
分析：常数项是含 的项，即不含 x 的项。x0
解： T C xx
C x
kk k k k
k k kk
k
1 1818
3
1818 18
3
2
1 91
1 91
3
( ) ( ) ( )
( )
令 则183
20 12
91
31856413 12 1 18
12 612 18
6
kk
T T C C
, .
.
退出
问题 5
退出
求 的展开式中有多少项有理项( ) .5 73 100
项求 的展开式中有多少项有理( ) .5 73 100
解： 由 知
均为整数时 为有理数
为 的倍数 且
即 为 展开式中共有 项有理项
T C
k kT
k k
k
kk k k
1 100100 2 35 7
100
2 36 0 100
0 6 12 96 17
( )
, , .
, .
, , , , , .
退出
4. 求二项式 的展开式中的有理项 .73
2
13 )(
答案：4
105
问题 6
退出
设 问在 的展开式中
最大的项是第几项
x x 5 1 15, ( ) ,
?
思考题
设 问在 的展开式中
最大的项是第几项
x x 5 1 15, ( ) ,
?
分析： 当 时 有T
TT Tk
kk k
1
11 , .
解： 由
因此最大项是第 项
T
T
C
C
k k
k k
k
k
k
k
k
k
k
k k
k k
1 15
151 1
5
5
15 16 1 5
15 15
165
80 51
40
3133
14
!( )!( )!
!( )! !
.
. 退出
(1) 求 的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 .
7)2( yx
(2) 求 的展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项 .
7)2( yx
解：（ 1 ） 中间项有两项：
（ 2） T3 ， T7 ， T12 ， T13 的系数分别为：
例 3 已知二项式 ( a + b )15
（ 1 ）求二项展开式中的中间项；
（ 2 ）比较 T3 ， T7 ， T12 ， T13 各项系数的大小，并说明理由。
8787815 6435 babaC
1215
1115
615
215 ,,, CCCC
315
1215
415
1115 CC,CC
615
415
315
215 CCCC 又
615
1115
1215
215 CCCC
例题选讲
9
8
T
T 7878715 6435 babaC
例 2、（1）求(2x+1)8展开式中含 x3的项。
（2）求 9)1
(x
x 的展开式中含 x3的项
（3）求 42 )2( xx 展开式中含 x4的项
（1）∴ 所求的项为 35338 4481)2( xxC 。
（2）分析与解：Tr+1=rrr
xxC )
1(9
9 ，
令 9-2r=3，从而得 r=3，
即 T4=3363
9 84)1
( xx
xC 。
求 的展开式(1- x)5( )1 2 5 x x
分析：由 知，原式可变形为 再展开，比直接展开简便。
a b abn n n( ) ( )1 3 5 x
解： ( ) ( )
( )
1 1
1
1 5 10 10 5
5 2 5
3 5
50
51 3
52 6
53 9
54 12
55 15
3 6 9 12 15
x x x
x
c c x c x c x c x c x
x x x x x退出
小 结
定理
应用求展开式
求指定项
定理推导
定理特征
