第九章 证券投资组合管理

东北财经大学金融学院

第九章 证券投资组合选择 第一节 现代证券组合理论形成与发展 第二节 （单一）证券投资的预期收益与

风险 第三节 证券投资组合理论 第四节 证券投资组合效用分析 第五节 允许无风险借贷（托宾模型） 第六节 资产组合理论的应用与实践

第一节、现代组合理论形成与发展 现代组合理论最早是由美国著名经济学家 Harry·Markowitz 于 1952

年系统提出的，他在 1952 年 3 月《金融杂志》发表的题为《资产组合的选择》的论文中阐述了证券收益和风险水平确定的主要原理和方法，建立了均值 - 方差证券组合模型基本框架，提出了解决投资决策中投资资金在投资对象中的最优化分配问题，开了对投资进行整体管理的先河，奠定了现代投资理论发展的基石。

1963 年，马柯威茨的学生威廉 · 夏普根据马柯威茨的模型，建立了一个计算相对简化的模型—单一指数模型。这一模型假设资产收益只与市场总体收益有关，使计算量大大降低，打开了当代投资理论应用于实践的大门。单指数模型后被推广到多因数模型。

夏普、林特、摩森三人分别于 1964 、 1965 、 1966 年研究马柯威茨的模型是如何影响证券的估值的，这一研究导致了资本资产定价模型 CAPM 的产生。

1976 年，理查德 · 罗尔对 CAPM 有效性提出质疑。因为，这一模型永远无法用经验事实来检验。

1976 年史蒂夫 · 罗斯突破性地发展了资产定价模型，提出了套利定价理论 APT ，发展至今，其地位已不低于 CAPM 。

第二节（单一）证券的预期收益与风险 一、证券投资收益 二、证券投资风险 三、证券投资收益与风险的权衡 （投资者效用函数与无差异曲线）

一、证券投资预期收益 1 ．证券投资收益 2 ．衡量收益的指标 3 ．预期收益率

1 ．证券投资收益 概念： 指初始投资的价值增值量 来源： 利息或股息收益 资本损益 利息或股息的再投资收益

2 ．衡量收益的指标 期间收益率（投资期为一期）：

r=( 期末价 - 期初价 + 利息 )/期初价 没有考虑利息的再投资

平均法收益率（投资期为多期）： 算术平均法

几何平均 法

几何平均法较适合作收益衡量的指标，因为算术平均收益率有偏差，容易得出错误的结论。

如：初始投资 5万元，第一年末该投资价值为 20万元，第二年末投资价值只有 5万元。 则平均收益为 =？

算术平均法为 112.5%,而这两年的实际收益为 0.

11 1 nig RR

n

rR

n

ii

1

例：某投资者三年投资的年投资收益率如下：

年份 R 1+R 1 8.0% 2 -5.0% 3 20.0%

其平均收益率 =？ 算术平均收益率 =(0.08-0.05+0.2)/3=7.667% 几何平均收益率 结论：几何平均收益率总是小于或等于算术平均收益

率，尤其是对于一种波动性证券更为明显。

1+0.08=1.08

1+(-.05)=0.95

1+0.20=1.20

%18.7120.1*95.0*08.1 31

3 ．预期收益率 E(r) 收益率的预期

一般说来，由于投资的未来收益的不确定性，人们在衡量收益时，只能是对收益进行估算，所以得到的收益率是一个预期收益率。

期望收益率：或预期收益率 E(r) 就是各种情况下收益率的加权平均，权数即各种情况出现的概率（历史数据或预测数据）。

即首先估计其概率分布，然后计算期望收益率。 计算公式

n

iiirprE

1

)(

Example: Expected Returns

Suppose you have predicted the following returns for stocks C and T in three possible states of nature. What are the expected returns?

State Probability C T Boom 0.3 0.15 0.25 Normal 0.5 0.10 0.20 Recession 0.2 0.02 0.01

E(RC )= .3(.15) + .5(.10) + .2(.02) = .099 = 9.99% E(RT )= .3(.25) + .5(.20) + .2(.01) = .177 = 17.7%

二、证券投资风险 1 ．风险的定义（风险的性质）

由于未来的不确定性，引起未来实际收益的不确定性；

或者将证券投资风险描述为未来的不确定性使投资者蒙受损失的可能性。

2 ．风险的构成 3 ．风险的度量 4. 变异系数

2 ．风险的构成总风险

系统性风险 ( 市场风险 )利率风险

购买力风险其他：如政策风险

非系统性风险经营风险财务风险违约风险

其他：如流动性风险

由共同因素引起，影响所有证券的收益，

不可分散的风险。

由特殊因素引起，影响某种股票收益，可以通过证券组合来分散

或回避风险。

3 ．证券风险的度量 差价率法： （单一证券）

范围法，最高收益率与最低收益率之间 差价率 = （ H-L） /[(H+L)/2]

标准差法：或方差（单一证券）

n

iii RERp

1

22 ))((σ

Example: Variance and Standard Deviation Consider the previous example. What are the variance and standard deviation for each stock?

Stock C 2 = .3(.15-.099)2 + .5(.1-.099)2 + .2(.02-.099)2 = .002029 = .045

Stock T 2 = .3(.25-.177)2 + .5(.2-.177)2 + .2(.01-.177)2 = .007441 = .0863

3 ．风险的度量（续）

β值： （系统风险） β系数，某一证券的收益率对市场收益率的敏感性和反映程度

2/ mimi

4 变异系数 Coeffient of Variance

一种风险的相对计量指标。 是用来计量每单位期望收益率的风险。

公式 : 例：假设有两个投资方案A 和 B, A的期望收益

率为 10%,标准差为 2%, B的期望收益率为 11%,标准差为 3%,哪个方案风险小 ?

A 的每单位收益承担的风险为 0.2 要小于 B(B为0.2727),因此 ,投资者可能更倾向于选择方案A。

)(rECV

三、单一证券收益与风险的权衡

1 ．投资准则 2 ．无差异曲线

1 ．投资准则 收益偏好：

最大收益率准则 最大期望收益率准则

风险厌恶： 一般假设投资者是风险厌恶的 最小风险准则

收益偏好与风险厌恶 在收益率一定的条件下风险最小，或在风险一定条件下收益率最大

通常用均值方差表示，也称均值方差

2 ．无差异曲线 用无差异曲线来表达如何选择最合乎需要的

证券，这些无差异曲线代表着投资者对证券收益和风险的偏好，或者说代表着投资者为承担风险而要求的收益补偿。

无差异曲线：画在一个二维坐标图上 以风险为横轴、收益为纵轴

无差异曲线特点及投资者的选择

1 、投资者对同一条曲线上任意两点其投资效用(即满意程度）一样。

无差异曲线特点及投资者的选择

2 、无差异曲线具有正的斜率。投资者一般都具有非满足性和风险回避的特征。所谓非满足性是指若要在风险相同而收益不同的投资对象中加以选择，投资者会选择收益较高的那种。

3 、投资者更偏好位于左上方的无差异曲线。 无差异曲线族：如果将满意程度一样的点连接成

线，则会形成无穷多条无差异曲线。 投资者更偏好位于左上方的无差异曲线。

4 、不同的投资者有不同类型的无差异曲线。

风险厌恶型无差异曲线： 由于一般投资者都属于尽量回避风险者，因此我们主要讨论风险厌恶型无差异曲线。

风险厌恶型无差异曲线 特征：

向右上方倾斜；随风险水平增加越来越陡；无差异曲线之间互不相交

类型： 接近水平型（对风险毫不在乎） 轻度风险厌恶型 高度风险厌恶型 接近垂直型（不能有风险）

无差异曲线的估计 无差异曲线的形式

根据风险厌恶型无差异曲线的特性，可以认为它的形状是抛物线。如果将其近似看成是线性的，即有如下形式：

风险容忍度τ： 对于额外增加的预期收益，投资者愿意接受的最大风险。换句话说，为获得 1%的额外预期收益，该投资者最多愿意承受τ倍的风险。如，截距为 5%时，投资者愿意接受期望收益率为 10%、方差为 10%的证券，则该投资者的风险容忍度τ为 2 。

如果有另一证券的投资收益率为 11%，则该证券的方差为 ? 时，投资者可以接受。

答： 12%，若超过 12%则不能接受。

21

aE

估计无差异曲线的参数 估计风险容忍度τ，

通常采用测试法，即向投资者提供一个无风险收益

率 ，以及一个收益率为 、标准差为 的风险证券，让投资者选择其一，或两者的组合 C。于是，我们可以得到：

如，提供一个无风险收益率为 5%，一个期望收益率为 10%、方差为 10%的风险证券，如投资者只选择风险证券则该投资者的风险容忍度τ为 4，如投资者选择组合，比例为一半对一半，则该投资者的风险容忍度τ为 2 。

2

2

)(

)(2

FS

SFC

rE

rE

Fr SSE

第三节 证券投资组合理论

一、证券组合选择问题 二、假设条件 三、投资组合期望收益率和风险的计算

一、证券组合选择问题 1952 年美国经济学家 Harry Markowitz，

论文“证券组合选择” 如何构建证券组合，使得投资收益最大

化的同时尽可能回避风险 均值方差模型：

偏好收益、厌恶风险假设 不同的证券组合具有不同的均值方差

二、假设条件：（ 1 ）证券市场是完善的，无交易成本，而且证券可以无限细分（即证券可以 按任一单位进行交易）；

（ 2 ）投资者是风险回避者，即在收益相等的条件下，投资者选择风险最低的投资组合；

（ 3 ）投资者追求效用最大化原则（即投资者都是非满足的）；

（ 4）投资者将根据均值、方差以及协方差来选择最佳投资组合；

（ 5 ）投资期为一期；（ 6）资金全部用于投资，但不允许卖空；（ 7）证券间的相关系数都不是 -1 ，不存在无风险

证券，而且至少有两个证券的预期收益是不同的。

三、证券组合收益与风险的计算 两个证券的组合：

实例：北大 p83

期望收益率： 方差：

协方差 是统计学上表示两个随机变量之间关系的变量 相关系数

)()()( BBAAp rEwrEwrE 22222 cov2 BBABBAAAp WWWW

B A AB AB AB cov

B A

ABAB

三、组合收益率与风险的计算 三个及三个以上证券的组合

期望收益率：

方差

从风险公式可以看出证券组合的风险取决于三个因素： （ 1 ）各种证券所占的比例， （ 2 ）各种证券的风险， （ 3 ）各种证券收益之间的关系 投资者无法改变某种证券的风险，所以，投资者能够主动降低

风险的途径为第一项和第三项。

n

iiip REWRE

1

)()(

n

i

n

jjijip WW

1 1,

2 cov

n

i

n

i

n

ijjijiii WWW

1 1,

22 cov

相关系数

投资组合风险分散效应的大小，与组合中资产收益的相关程度密切相关。

例：北大 84

三种情况：正相关 负相关 不相关BA

ABAB

1

1

0

资产数量与资产组合风险的关系

在组合中并非证券品种越多越好 .

10 15证 券 数 量N

pp

第四节 证券投资组合效用分析 一、可行集或可行区域 二、马氏有效集或有效边界 三、最优证券组合选择 四、证券组合选择步骤

一、可行集或可行区域 定义：

由所有可行证券组合的期望收益率与标准差构成的集合，或在坐标平面中形成的区域。

可行区域的形状： 两个证券：一般情况下，两个证券构成的可行集是

平面区域中的一条曲线 如果两个均是风险证券则是曲线，其曲线的弯曲程度由它们的相关系数决定，随着两风险证券间的相关系数由 1变为 -1 ，曲线向左变得愈来愈弯曲

如果其中有一个是无风险证券（无风险贷出），则曲线变为直线。该内容下一节介绍

可行区域的形状 三个及三个以上证券：

一般情况下，多个证券构成的可行集是标准差 - 期望收益率坐标系中的一个平面区域

在不允许卖空的情况下，组合中每一证券的投资比例系数均为正的，因此所形成的可行域是闭合区域（如果是两个证券则为曲线段）

在允许卖空的情况下，组合中每一证券的投资比例系数可以为负数，因此所形成的可行域就是由左上曲线构成的无限区域（如果是两个证券则为一条有延伸的曲线）

在允许无风险借贷的情况下，可行域就是由左上直线构成的无限区域（下一节考虑）

一般性质： 可行域的左边界是向左上方凸的；不会出现凹陷

二、马氏有效集或有效边界 可行区域的缩小：

根据偏好收益、厌恶风险假设，我们可将可行域的范围缩小，

实际上，依据偏好收益投资者将范围缩小到上边界，依据厌恶风险投资者将范围缩小到左边界，因此投资者将只需关注可行域的左上边界即可

有效边界： 可行域的左上边界，只有这一边界上的点（代表一

个证券组合）是有效的（偏好收益、厌恶风险原则确定）

有效组合：有效边界上的点所代表的投资组合称之为有效组合

三、最优证券组合选择 选择依据：

由于每个投资者的偏好不同，因此需要根据投资者的无差异曲线进行选择

最优证券组合： 即投资者将选择位于有效边界上的、与无差异曲线相切的点对应的证券投资组合。

由于有效边界的特性与无差异曲线的特性决定了它们之间的切点只有一个。

最优风险证券组合： 切点组合，加上无风险证券后的有效边界与风险证券

的有效边界相切的切点对应的风险证券组合。

四、证券组合选择步骤 第一，确定一系列证券作为考虑对象既考虑各种可能的证券组合

第二，估计单个证券的期望收益率、方差，以及每两个证券之间的相关系数

第三，计算有效组合（有效边界），即给定一个期望收益率计算其对应的最小方差组合

第四，根据投资者的无差异曲线来确定最优投资组合

第五节 允许无风险借贷 （托宾模型） 一、无风险证券 二、允许无风险贷出 三、允许无风险借入 四、允许同时进行无风险借贷

一、无风险证券 概念：

所谓的无风险证券，是指投资于该证券的回报率是确定的、没有风险的。如购买国债。

含义： 既然是没有风险的，因此其标准差为零。 由此可以推出，一个无风险证券的收益率与一个风

险证券的收益率之间的协方差为零。 由于无风险证券的回报率是确定的，与任何风险证

券的收益率无关，因此它们之间的相关系数为零。

无风险证券和风险证券的组合

σρ2=

σρ=

整个投资组合的风险只与其中风险证券的风险大小 σi及其在投资组合中的比重Wi有关。缩小Wi ，即可控制组合风险。

E(R)

σp

Rf A

B

22

iiW

iiW

二、允许无风险贷出 无风险贷出：

投资者对无风险证券的投资，投资者将一部分资金贷出，即买入无风险证券，也就是说投资在无风险证券的投资比例为正

无风险贷出与风险证券的组合： 投资于无风险证券与一个风险证券，见下例 投资于无风险证券与多个风险证券：将多个

风险证券看成一个组合，然后再与无风险证券进行组合。

无风险贷出组合之例 假设无风险收益率为 5%，某一风险证

券的收益率为 10%、标准差为 10%，根据组合计算公式有：

其中：

2212211 05.005.01.005.0)()()( WWWrEWrEWrE p

2222/12

22

2212121

21 1.0)2( WWWWWWp

10 2 W

, 根据上述计算收益和

风险的公式，我们便可以在确定W2取值后 ,计算出两证券各种组合的预期收益和风险 .W1 W2 E(rp)

1 0 0.05 0

0.5 0.5 0.075 0.050 1 0.1 0.1

p

无风险贷出组合之例

i

fR

iT

p

pR

iR

pi

FiFp

rRRR

无风险贷出对有效边界的影响 对有效边界的影响

由于在允许无风险贷出的情况下，可行区域有了变化，因此有效边界也随之发生了变化。

投资于无风险证券与一个风险证券： 有效边界就是可行区域

投资于无风险证券与多个风险证券： 改变了原来有效边界的左边一部分，有效边界是：

无风险收益率与切点的连线 +切点右边的上边界 无风险贷出对最佳组合选择的影响

三、允许无风险借入 无风险借入：

投资者以无风险利率借入一部分资金，或者卖空无风险证券，也就是说投资在无风险证券的投资比例为负。

无风险借入与风险证券的组合： 无风险借入与一个风险证券的组合 无风险借入与多个风险证券的组合：无风险

收益率与风险组合之间的连线的延长线上

无风险借入对有效边界的影响 无风险借入与一个风险证券的组合：

有效边界就是可行区域 无风险借入与多个风险证券的组合：

改变了原来有效边界的右边一部分，有效边界是， 切点左边的左边界 + 无风险收益率与切点连线的延长线

无风险借入对最佳组合选择的影响

四、允许同时进行无风险借贷 对有效边界的影响：

无风险借入与一个风险证券的组合：有效边界就是可行区域，射线

无风险借入与多个风险证券的组合：有效边界是无风险收益率与切点连线及其延长线

对最佳组合选择的影响

托宾效率边界与效率曲线

第六节 资产组合理论的应用与实践

北大 101

思考题 1 ．Markowitz均值方差模型的前提假设是什么？

2 ．使用Markowitz均值方差模型进行投资分析的基本步骤是什么？

3 ．解释可行区域与有效边界。在允许无风险借贷的情况下，可行集与有效边界如何变化？

4.为什么说有效边界具有凸向左上方特性？试举例说明。

习题 1 ．有一两个证券的组合，它们的期望收

益率分别为 10%与 15%，标准差分别为 20%与 25%，其权数分别为 0.35 与0.65 ，对于各种相关系数水平，最大的投资组合标准差是多少？最小的又是多少？（最终结果保留小数点后两位）

2 、三种股票组合的有关数据如下表所示，问其组合的收益和风险为多少？

股票 甲 乙 丙收益率期望值 0.08 0.16 0.06

标准差 10 14 6相关系数 甲和乙 0.5

乙和丙 0.2甲和丙 0.3

所占比例 0.3 0.3 0.4

．给定如下两种证券的信息： 

经济状态 概率 证券 I的收益率

证券 II的收益率

低增长 0.4 2% 10%

中等程度的增长

0.5 28% 40

高增长 0.1 48% 60

 

a.       计算两种证券的期望收益率。 b.       计算两种证券收益率的方差和标准差。c.       计算证券组合的期望收益率和标准差：(1) 90% 投资于证券 I ， 10%投资于证券 II；(2) 10% 投资于证券 I， 90% 投资于证券 II。d. 如果一个证券组合在每一种证券上的投资都为正，那么：（ 1 ） 组合的期望收益率是否可能高于每一种证券的期望收益率？是否可能低于每一种证券的期望收益？请解释。（ 2 ） 组合的标准差是否可能高于每一种证券的标准差？是否可能低于每一种证券的标准差？请解释。