Модели в виде систем одновременных уравнений

Модели в виде Модели в виде систем систем

одновременных одновременных уравненийуравнений

Оценка параметров Оценка параметров структурной формы моделиструктурной формы модели

Предполагаем, что модель идентифицируема.

Для иллюстрации этого метода, в котором каждое поведенческое уравнение модели оценивается отдельно от другого, выберем простейшую "паутинную" модель спроса-предложения товара:

σσ

σσ

0

21

2

21

2

11

110

10

vtt

utt

tttt

ttst

ttdt

pv

pu

pvMpuM

vpbby

upaay

(1.1)

Необходимо найти оценки параметров a0, a1, b0, b1, а также СКО этих оценок


Убедимся в том, что оба уравнения модели идентифицированы

Воспользуемся правилом ранга:

rk(ĀRiT)≥G-1, i=1,2

00100

00001

10000

00010

00

0

011

010

01

2

1

10

01

R

R

bb

aaA


2

01

1

00

01

1

00

10

00

00

01

00

00

0

011

010

01

1110

01

1

brkbbb

aa

RA T

Для первого уравнения системы (1.1) имеем:

Проверяем условие: rk(ĀR1T)≥G-1 2=3-1=2,

следовательно, первое уравнение точно идентифицированно

Соответственно для второго уравнения:

2

01

00

1

01

00

1

00

00

10

00

01

00

0

011

010

01 11

10

01

2

ark

a

bb

aa

RA T

rk(ĀR1T)≥G-1

2=3-1=2


Что доступно для наблюдения: (y*I, pi, pi-1)

Имеем уравнения наблюдений схемы Гаусса-Маркова:y1 = a0 + a1 · p1 + u1

y2 = a0 + a1 · p2 + u2

...................………. yn = a0 + a1 · pn + un

Однако, применить к ней МНК нельзя, т.к. COV(pi,ui)≠0Запишем приведенную форму модели для переменной pt

a

u,a

uvCOVu,pa

bCOVu,a

abCOVu,pCOV

a

uvpa

b

a

abp

ut

ttttttt

tttt

1

2

11

1

1

1

00

11

1

1

1

00

σ

(1.2)


Оценки параметров структурной формы модели оказываются смещенными и неэффективными даже при выборках большого объема

Это видно из следующих вычислений:

ux

nxx

na

uxn

xxn

axn

xxn

uaxxn

xxn

Yxxn

Yxxxa~

tTT

tTTTT

TTTTT

x11

1111

111

1

11

111

(1.2)

Из (1.2) видно, что вектор оценок параметров модели отличается от «истинных» значений на некоторую величину, которая делает оценки смещенными


Форма (1.2) оценок параметров линейной модели МНК полезна тем, что она позволяет сформулировать достаточные условия состоятельности

Условия состоятельности:

uun

limP.

xxn

limPM

матрицасуществует.

uxn

limP.

T

nu

T

nxx

T

n

1σ3

1

2

01

1

2

1

(1.3)

(1.4)

(1.5)

Косвенный метод Косвенный метод наименьших квадратовнаименьших квадратов

Косвенный метод наименьших квадратов применяется в случае точной идентифицируемости уравнений модели

Алгоритм применения КМНК:

1. От структурной формы модели переходят к приведенной

2. Определяются МНК-оценки параметров приведенной формы модели

3. По МНК-оценкам приведенной формы вычисляют-ся оценки параметров структурной формы модели.


Мы знаем связь параметров структурной и приведенной форм моделей:

М=-АВ или АМ=-В или АМ+В=0 (2.1)

Это выражение с использованием расширенной матрицы коэффициентов Ā в матричной форме имеет вид:

0

I

MAi

(2.2)

где: I – единичная матрица размером kxk

Для оценки параметров i-го уравнения необходимо добавить априорные ограничения и условия нормализации


В результате получается система алгебраических уравнений относительно элементов матрицы Ā

10

0

aRA

I

MA

ii

Tii

i

(2.3)

Доказывается, что, если i-ое уравнение точно идентифицируемо и выполнено условие нормализации, то система (2.3) имеет единственное решение


Задача. Построить модель потребления свинины на душу населения у1 (в фунтах) в зависимости от цены на нее у2 (долл/фунт), располагаемого дохода х1 (в долл) и расходов по обработке мяса х2 (% от цены)

Известно:

1. Потребление свинины пропорционально ее цене при этом потребление падает с ростом цены, и пропорционально располагаемому доходу

2. Цена растет с ростом потребления свинины и ростом стоимости ее переработки


012

2221212

1112121

avxbyayuxbyay

tttt

tttt

Решение.

1. Спецификация модели. С учетом отмеченных закономерностей спецификацию модели можно записать в виде

(2.4)

В приведенной форме модель (2.4) примет вид:

ζξ

2221212

2121111

tttt

tttt

xmxmyxmxmy (2.5)


2. Сбор исходной информации для оценки модели

ГодПотрбление

y1

Цена y2

Доход x1

Переработка

x2

1990 -3 0.6 -200 3

1991 -1 -0.4 -200 -1

1992 2 -0.2 0 -1

1993 -1 0.6 100 6

1994 3 -0.6 300 -7


3. Оценка МНК параметров приведенной формы модели

850

810

250028000060

ζ112000030

221130030

ξ26500060

22

21

212

211

.R

.R

...x.x.y

...x.x.y

tttt

tttt

(2.6)


b

b

a

aA

22

11

21

12

0

0

1

1

4. Вычисление параметров структурной формы модели

4.1 Для первого уравнения модели

Расширенная матрица коэффициентов Ā имеет вид

Система алгебраических уравнений (2.3) примет вид

00

10

0101 2221

1211

11121

mm

mm

baI

MA (2.7)


После перемножения матриц в системе (2.7) получим

m11 – a12m21 - b11=0

m12 – a12m22 = 0

Решив полученную систему относительно параметров aij получим искомые параметры для первого уравнения модели (2.4)

006700003036320060

36321120

2650

1121121111

22

1212

22

1212

....b~mamb

..

.

m~m~

a~m

ma


4.2 Рассматриваем второе уравнение моделей (2.4-2.5)

Структурные параметры для него есть решение системы уравнений:

1250265004801120

04800060

00030

00

00

10

0101

12212222

11

2121

22221121

211121

2221

1211

22212

....m~a~m~b~

..

.

m~m~

a~

bmmamma

mm

mm

baI

MA


В результате структурная форма модели (2.4) получила вид

vx.y.yux.y.y

tttt

tttt

212

121

12500480006703632

Остается проверить ее адекватность

Двухшаговый метод Двухшаговый метод наименьших квадратовнаименьших квадратов

В основе метода лежит понятие «инструментальных переменных»

Пусть имеем линейную модель множественной регрессии

0σσ

022

2211

UXCOVuuM

uxa...xaxay

t

t

tkkt

(3.1)

В модели (3.1) объясняющие переменные коррелируют со случайными возмущениями


Xzn

limPM

матрицавырожденанеиСуществует.

uzn

limP.

T

nzx

T

n

1

2

01

1

Определение. Переменные (z1t, z2t,…,zkt) называются инструментальными для модели (3.1), если они удовлетворяют двум требованиям:

Т.е. zit коррелируют в пределе с xit и не коррелируют в пределе со случайными возмущениями

Теорема. Процедура

(3.2)

(3.3)

yTa~

zxzT 1

доставляет состоятельные оценки параметров модели (3.1)

(3.4)


a

uvpa

b

a

abp tttt

11

1

1

1

00

ε110 ttt pp mm

Вопрос. Как построить инструментальные переменные?

Вернемся к уравнению (1.2)

(1.2)

Перепишем его в виде:

(3.5)

Если удастся избавиться от εt, т.е. найти переменную

εttt pz

то она могла бы выступить в качестве инструментальной переменной


Алгоритм оценки коэффициентов структурной формы уравнений ДМНК

1. Оценивание параметров приведенной формы модели для эндогенных переменных, включенных в правую часть уравнения модели с помощью МНК

2. Оцениваются параметры структурной формы уравнения модели, в правую часть которой вместо значений эндогенных переменных подставляются их оценки, рассчитанные по приведенным формам модели, которые получены на предыдущем шаге.

3. Оцениваются точностные характеристики модели


012

2221212

1112121

avxbyayuxbyay

tttt

tttt

Пример. Рассмотрим предыдущую задачу:

Оценить параметры структурной формы модели (2.4)

(2.4)

1. Оценка параметров первого уравнения

Приведенная форма уравнения для эндогенной переменной y2t имеет вид:

850250028000060

ζ11200003022

212.R...

x.x.y tttt


x.x.y~ ttt 212 112000030

Оценка эндогенной переменной ŷ2t соответственно есть

(3.6)

Исходные данные для оценки параметров первого уравнения модели (2.4)

ГодПот-ние

y1

Цена ŷ2

Доход x1

Переработка

x2

1990 -3 0.277 -200 3

1991 -1 -0.171 -200 -1

1992 2 -0.112 0 -1

1993 -1 0.702 100 6

1994 3 -0.696 300 -7

Здесь ŷ2t рассчитано по формуле (3.6)


218100302471

006703632 121

...ux.y.y tttt

00202181

00110030σ0251

2181

00112471σ

0011σσσσ

σ

1112

1

2

1

..

..~..

..~

.kn

y~y~~

~

ba

tui

u

ui

t

По данным столбцов 2, 3, 4 оцениваются структурные параметры первого уравнения модели (2.4)

2. Уточнение СКО структурных параметров

Окончательно первое уравнение модели (2.4) имеет вид

001100200251

006703632 121

...ux.y.y tttt

Documents

Модели в виде систем одновременных уравнений