Агасандян Г.А

Агасандян Г.А.

Континуальный критерий VaR (CC-VaR)на финансовых рынках

Часть II

Вычислительный центр РАН

• Рассматривается однопериодный финансовый рынок с n базовыми активами, значения которых образуют вектор xXn.

• Инвестор характеризуется неотрицательной, монотонно возрастающей и непрерывной функцией рисковых предпочтений (ф.р.п.) (), [0,1], определяющей его склонность к риску. Пример: ()=, [0,1], >0, при этом большие значения параметра отвечают большей готовности инвестора идти на риск ради увеличения средней доходности.

• Континуальный критерий VaR (CC-VaR) требует, чтобы при заданной инвестиционной сумме S случайный доход q, порожденный строящимся из имеющихся на рынке инструментов (оптимальным) портфелем, удовлетворял неравенствам

P{q ()} 1– для всех [0,1], где P{M} – вероятность множества M (распределение

вероятности составляет прогноз инвестора).

Многомерные рынки

Предполагается, что многомерный однопериодный рынок образован несколькими (n>1) базовыми активами. На нем обращаются также инструменты, платежные функции которых определяются в общем случае совокупностью цен всех базовых активов. Рассматривается многомерный -рынок на основе многомерных -инструментов, а также рынок опционов, на котором особую роль играют элементарные инструменты, называемые -опционами.

Вводятся x = (x1,x2,…,xn), ς = (ς1,ς2,…,ςn) и α = (α1,α2,…,αn) – векторы соответственно цен базовых активов xi, страйков ςi, iN={1,…,n}, и чисел αi{–1,1}, характеризующих тип опциона. Тогда α-опцион A(ς;α), по которому доход выплачивается в конечный момент времени, определяется платежной функцией max(0,α1(x1–ς1))...max(0,αn(xn–ςn)). Размерность доходов и цен опционов одинакова, но может не быть связана с размерностями базовых активов.

Как и в одномерном случае, благодаря теоремам паритета опционов присутствие на рынке всех 2n α-опционов для каждого ςn не является обязательным.

Многомерные рынки

Многомерный -рынок

, , 1,2, , , , ;

. . ;

( ) , , - ;

, : - : ; ;

- , , ;

i ii N

M

N n

p прогнозная совместная п в цен n базовых активов

M p d M n мерная вероятностная мера

базис инструмент

c рыночная цена инструмента c p

x

x

x x

D D x D x

x D x x D x x

X X

P

X X

X

X

( ) , , - ;

- , ; ;

;

, ;

M

M

M c d M n мерная ценовая мера

g d портфель инструментов g

g d g c d рыночная цена инструмента

g p d средний доход или справедливая для инвестора цена

M d индикатор м

x x

G x D x x x x G

G x D x x x x x G

G x x x

H D x x

C

X

X X

X

X

;

, ;

1 , , 1;

.

ножества M M M

d единичный безрисковый актив

c d r r безрисковый относительный доход r

p c функция относительных доходов

H

U H D x x

U x x

x x x

, C

CX

X

X

X

X

Многомерный рынок опционов

, , . . , { } 1;

, , - - , { } 1;

: ; , ; .

-вектор с компонентами +1 (колл) и 1 (пут), ;

i N i i

i N i

p совместная п в цен n базовых активов

c рыночная цена n мерного инструмента

x g d

n

x x

x x D x

D x x G DX

X X

X X

X

P

C

11

1 , ,

1

0, 2 -ант типа с вершиной в ;

; -опцион с ( , ), ; , max 0, ,

; ; ; , 0,1,2, ;

;;

i

nn

n n

n n n ni i i

i i i N i i ii N

i N i i i i

n

n

x i N

a x

x c d i N

x

A O x

A x x A

AA A

1

2 21

, ,

22

2 2 , ,1

; , ; , 1 ,

; 1 , 1 ; ;

;; ; , ; , ,

; , ; .

nn

n

nn

n nn n

nn

n

a

a x

c

x x

A H A

AA A x

A D A D

СС F


,, ,

†\ \ ,, ,

: 1 ; : , ; , , ,

; ; ( , ) : , \ ;

; 1

1

1 ;

i M i

N i L M

n

nK K i K i ji K i j K i j

nKN i N i ji K i j K i j

K i N i M i M K M N

L M L M N i M L F F

F F F F

F F F F

1

A

A

С С

С С С С

С С С С

1

\

; .

- : : ; ,

, 1; , 1 , . - .

Теоремы паритета:

; ,

i

i

nn

K i i ji K j N K

i i i i i i i i j

i N i i i i i N i i

i N i i i

c F

α рынок K N

ед безрисковый актив по j й коор

x x x

D

A O U

O C P U

A X U

С

; ;

1 ; , 1 ; 1.

Существенно, что, вообще говоря, .

i N i i i

n n

i N i i i i N i i

A X U

A U A

X U X

Многомерный рынок ζ-опционов

, , , { } 1; { } 1;

, одномерные бинарные опционы типа колл, пут со страйком на ;

; ; ; ; 1, ; 0, , .

-вектор с компонентами +1 (колл) и 1 (пут), ;

x x M

i N i

p c

x x x x x x M x M x

n

x x x

U U

U U

X X X

P C

X

X

0, 2 -ант типа с вершиной в .

; ; -опционы с ; , ; , 1 ,

; 1 , 1 ; .

; ; , ; .

- : : ;

n

i

n n n ni i i

n

n nn n

K i ii

x i N

z

c

ζ рынок K N

x

Z A x x

Z H Z

Z A D Z D

Z U

С

\ ,

, 1; , 1 ,

- .

Теорема паритета: 1 ; , 1 ; 1.

i

jK j N K

i i i i i i i i

j

n n

единичный безрисковый актив по j й координате

U

U U U

U

Z U Z


1 2

1 2 ; 1 2 1 2;

0 1 2

;

, , , , , , ;

:

1, 1 ; ; , , . , 1,2

i n

i n n nii N

k k l

Конечное представление базисных баттерфляев для

E M M j j j j N

Дискретный рынок - многомерные базисные баттерфляи B s

O A A

S

1 2; ; ; ;, ,

3;, , , , , ;

, , , 1.. , 1.. ;

, ; 0, , , ;

1 2 2 2

2 1 ,

i i i i j ji i j

i i j j k ki j k l l ll N

k j k k j

n n n ni N E i j N E

nnli j k N E E l N l N

n l k k n

M j M j M E j N

h

v v v

v v v v

B A A A

A A

B

; ;0.. ;2 .

опционы ; при 1, 1 , 1, 1 , 1, 1 , 1, 1

обозначаются , , , соответственно.

max 0, , min 0, ; индикатор множества .

Еще замена: ,

kk j k

n kiMk n M N E j M i N

M

h

Двумерные

z z z z x M

x

A

A

C S F P

x

; , .y s t

Двумерный рынок опционов

, , ; , 1, 1 ; , ; , ;

, , ; , 1, 1 ; , ; , ;

, , ; , 1, 1 ; , ; , ;

, , ; , 1, 1 ; , ; , ;

: , , , ,

s t s t x y s t x s y t

s t s t x y s t s x y t

s t s t x y s t s x t y

s t s t x y s t x s t y

s t s t s t s t s

C A C

S A S

P A P

F A F

C S P F XТеоремы паритета

:

;

, , , ,

:

1 ;

,

X Y

x s y t x s y t x s y t x s y t

y t x s x s y t x s x s

t

x s y t s x y t s x t y x s t y

y t x s s x t y x s s x x s y t

s t s t s t s t

x y x y x y x y

y x x y x x

s t

U Y U

C S F P U

C S

, , , ,

: ; ; .

s t s t s t s t

x s y t

F P D


1 1

1 1

2 2, ,

3 3, , , ,

3 3, , , ,

4, , ,

, : ; , : ;

, : ; , : ;

, : ; , : ;

, : ; ; , : ; ;

, : ; ; , : ; ;

,

s s

t t

s t s t

s s t s s t

s t t s t t

s s t t

s t h x s y t s t h x s y t

s t x s h y t s t s x h y t

s t h x s h y t s t h x s h y t

s t x s h y t s t x s h y t

s t h x s y t s t h x s y t

s

C S

C S

C S

C S

C S

C

4, , ,

1 1

1 1

2 2, ,

3 3, , , ,

3, , ,

: ; ; . , : ; ; .

, : ; , : ;

, : ; , : ;

, : ; , : ;

, : ; ; , : ; ;

, : ; ;

s s t t

s s

t t

s t s t

s s t s s t

s t t s

t x s y t s t x s y t

s t h x s t y s t h x s t y

s t s x h y t s t x s h y t

s t h x s h y t s t h x s h y t

s t x s h y t s t x s h y t

s t h x s y t

S

P F

P F

P F

P F

P F

3,

4 4, , , , , ,

, : ; ;

, : ; ; . , : ; ; .

t t

s s t t s s t t

s t h x s y t

s t x s y t s t x s y t

P F


†2 2 1 2 1 1 2 1

2 2 1 2 1 1 2 1

1 2 2 1 2 1

2

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

, , , , , ,

,

x t s y x t s y x t s y x t s y

x t s y x t s y x t s y x t s y

x t x t t s y s y s

x t

C C S S P P F F N

C C S S P P F F N

C S C S P P

P

Граничные значения для двумерных - опционов

2 2 1 1 1

1 1 1 12 1 2 1 1 2 1 1 2

1 1 1 12 1 1 1 1 1 1 2 1

1 1 1 11 2 2 2 1 2 1 2 2

1 12 1 1

, , , , ;

, , , , , , , ;

, , , , , , , ;

, , , , , , , ;

, , ,

s s s s

t t t t

s s s s

t t

x t t s y s y s

x t x t t x y y x y

s y s y s x y x x y

x t x t t x y y x y

s y s y

F P F C C

C N C C C C C N

C N C C C C C N

S N S C S C S N

S N S P

1 12 1 1 2 1 1

1 1 1 11 2 2 2 2 2 2 2 1

1 1 1 11 2 1 2 2 1 2 1 2

1 1 1 12 1 2 1 2 2 2 1 1

1 1 11 2 1 1

, , , , ;

, , , , , , , ;

, , , , , , , ;

, , , , , , , ;

, , , ,

t t

s s s s

t t t t

s s s s

t t t

s x y x x y

x t x t t x y y x y

s y s y s x y x x y

x t x t t x y y x y

s y s y s x

S P S N

P N P P P P P N

P N P P P P P N

F N F C F C F N

F N F P F

12 1 1 2 2

†

, , , .

нулевой инструмент, , ; 0.

ty x x y

x y

P F N

N N


2 2 2 2, 1 1 , 2 1 , 2 2 , 1 2

1 1 1 11

1 1 1 11

2, ,

, , , ,

, , : ; , , : ;

, , : ; , , : ;

,

s t s t s t s t

s s s s

t t t t

s t s t

x y x y x y x y

s t s t y t t s t s t h x s y t

s t s t x s h y t s t s t s x s

s t

C S P F U

S C C P S

S C P S P

S C

Дополнительные формулы паритета двумерных опционов

2 2 21 , , 1

3 3 3 3, , , , , , , , 1

3 3 3 3, , , , 1 , , , ,

1 1 1 11

, : ; , , : ;

, , : 0; , , : ; ;

, , : ; ; , , : 0;

, , : ; , , :

s t s t

s s t s s t s s t s s t

s t t s t t s t t s t t

s s s s

s t h y t t s t s t h x s s

s t s t s t s t x s s

s t s t y t t s t s t

s t s t t y t s t s t h x s

C P S P

S C P S D

S C D P S

F P P C F

1 1 1 11

2 2 2 2, , 1 , , 1

3 3 3 3, , , , , , , , 1

3 3, , , , 1

;

, , : ; , , : ;

, , : ; , , : ;

, , : 0; , , : ; ;

, , : ; ;

t t t t

s t s t s t s t

s s t s s t s s t s s t

s t t s t t

y t

s t s t x s h y t s t s t x s s

s t s t h y t t s t s t h x s s

s t s t s t s t x s s

s t s t y t t

F P C F C

F P P C F C

F P C F D

F P D C 3 3, , , ,, , : 0.s t t s t ts t s t F


2

1

1 2 1 2

2 2 1, ,

1 1 12 1 2 1

2 2 2 1 1 2 1 1

21 ,

, , , ; портфель в терминах .

, , ,

, , , , ,

, , , , ;

, ,

x y x y x y

x

y y y y yx

x y

x x y y

g x y dxdy g x y dx dy d g x y dy

g x y dy g x y g x y dy d g x y d g x y

g x y g x y g x y g x y

g x y a x y dxdy

G W W

J

X Y Y X Y X

Y Y Y Y

Y

X Y

2

1

2,

1 1 1 1

1 1 1 12 2 1 1

12 2 1 1

2 2 2 2

, ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, ,

x y

x

x y y x yx

y y x y

y y x y

g x y a x y dx dy

g x y d a x y dy g x y a x y g x y a x y dx dy

g x y a x y g x y a x y dy g x y a x y dy dx

g x y d a x y g x y d a x y g x y d a x y dx

g x y a x y g x

X Y X

Y X Y X

Y X Y

Y Y X Y

2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1

1 1 12 2 1 1 2 2

1 21 1 ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , .

y y x

x x y

y a x y g x y a x y g x y a x y

g x y a x y dy g x y a x y dy g x y a x y dx

g x y a x y dx g x y a x y dxdy

Y Y X

X X Y


4 22 , , , 2 2 , 2 2

2 2 22 1 , 2 1 1 2 , 1 2 1 1 , 1 1

1 2 1 2 1 22 , 2 1 , 1 2 , 2

1 2 2 21 , 1 , ,

, , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , ,

x x y y x y

x y x y x y

y x y y x y x x y

x x y x y x y

g x y a x y dxdy g x y a x y

g x y a x y g x y a x y g x y a x y

g x y a x y dy g x y a x y dy g x y a x y dx

g x y a x y dx g x y a x y dxdy

JX Y

Y Y X

X

2 2 2 22 2 , 2 2 2 1 , 2 1 1 2 , 1 2 1 1 , 1 1

1 1 1 1 2 12 2 2 2 2 1 2 1 , 2 2

1 1 1 1 2 11 2 1 2 1 1 1 1 , 1 1

1 12 2 2 2

, , , , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, ,

x y x y x y x y

y x y x y y x

y x y x y y x

x y

g x y a x y g x y a x y g x y a x y g x y a x y

g x y a x y g x y a x y g x y a x y dy

g x y a x y g x y a x y g x y a x y dy

g x y a x y

X Y

Y

Y

1 1 2 11 2 1 2 , 2 2

1 1 1 1 2 12 1 2 1 1 1 1 1 , 1 1

2 2 2, 2 2 2 2 , 2 1 2 1 , 1 2 1 2

2 3 3, 1 1 1 1 , , 2 2 , , 1 1

, , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

x y x x y

x y x y x x y

x y x y x y

x y x y y x y y

g x y a x y g x y a x y dx

g x y a x y g x y a x y g x y a x y dx

g x y a x y g x y a x y g x y a x y

g x y a x y g x y a x y dy g x y a x y dy

X

X

Y

3 3 4, , 2 2 , , 1 1 , , ,, , , , , , .x x y x x y x x y yg x y a x y dx g x y a x y dx g x y a x y dxdy

Y

X X X Y


4, , ,

1

,

, , ,

, , .

: , ,x x y y

Представления двумерного портфеля с платежной функцией g x y через

i спреды соответственно и их одномерные проекции

ii опционы соответственно и их одномерные проекции

Подстановка a x y x y

i g x

G

C S P F

C S P F

D

G C

1 21 1 , 1

1 2 2 21 , 1 , ,

1 22 1 1 , 1

1 2 2 22 , 2 , ,

1 22 2 2 , 2

1 22 , 2

, , ,

, , , , ;

, , ,

, , , , ;

, , ,

, ,

x x y

y x y x y x y

x x y

y x y x y x y

x x y

y x y

y g x y x y dx

g x y x y dy g x y x y dxdy

g x y g x y x y dx


g x y g x y x y dx

g x y x y

U C

C C

G S U S

S S

G P U P

P

X

Y X Y

X

Y X Y

X

2 2, ,

1 21 2 2 , 2

1 2 2 21 , 1 , ,

, , ;

, , ,

, , , , .

x y x y

x x y

y x y x y x y

dy g x y x y dxdy

g x y g x y x y dx


P

G F U F

F F

Y X Y

X

Y X Y


1 11 1 1 1 2 1 1 1 1 1

2 2 1 2 1, 1 1 1 1 , 1 1 , 1 1

3 3 4, , 1 1 , , 1 1 , , ,

1 12 1 2 1 2 1 2 1 1

, , ,

, , , , , ,

, , , , , , ;

, , ,

y x

x y y y x x x y

x y y x x y x x y y

y x

ii g x y g x y y g x y x

g x y x y g x y x y dy g x y x y dx

g x y x y dy g x y x y dx g x y x y dxdy

g x y g x y y g x y x

G C U C C

C C C

C C C

G S U C P

Y X

Y X X Y

2

2 2 1 2 1, 2 1 2 1 , 2 2 , 1 1

3 3 4, , 2 2 , , 1 1 , , ,

1 12 2 2 2 2 2 2 2 1 2

2 2 1, 2 2 2 2 , 2 2

, , , , , ,

, , , , , , ;

, , ,

, , , ,

x y y y x x x y

x y y x x y x x y y

y x

x y y y x




g x y x y g x y x y dy

S S S

S S S

G P U P P

P P

Y X

Y X X Y

2 1, 2 2

3 3 4, , 2 2 , , 2 2 , , ,

1 11 2 1 2 2 2 1 2 1 1

2 2 1 2 1, 1 2 1 2 , 1 1 , 2 2

3, , 1

, ,

, , , , , , ;

, , ,

, , , , , ,

,

x x y

x y y x x y x x y y

y x

x y y y x x x y

x y y

g x y x y dx




g x y x

P

P P P

G F U P C

F F F

F

Y X

Y X X Y

Y X

3 41 , , 2 2 , , ,, , , , , .x x y x x y yy dy g x y x y dx g x y x y dxdy F F

Y X X Y


, , , ,

, , , ,

, , ,

Смешанные представления двумерного портфеля с платежной функцией

g x y и с центром рынка в x y так что все опционы OoTM через

i двумерные спреды и их одномерные проекции

ii двумерные опционы и их одномерные пр

G

C S F P

C S F P

1 1

1 1

1 1

1

:

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , ,

x y

x y

x y

x

оекции

i g x y x y g x y x y dx g x y x y dy

g x y x y g x y x y dx g x y x y dy

g x y x y g x y x y dx g x y x y dy

g x y x y g x y x y dx g

G C C C

S S S

P P P

F F

2 2

1 2

1 1

2

X Y

X Y

X Y

X

1

2 2, ,

2 2 †, ,

†1 1 2 2 1 1 2 2

, ,

, , , ,

, , , , .

, , , , , , , .

y

x y x y

x y x y

x y x y dy

g x y x y dxdy g x y x y dxdy


x x x x y y y y

F

C S

P F

1

2 2 1 2

1 1 2 1

Y

X Y X Y

X Y X Y

X X Y Y


2 1

2 1

1 1 12

1

( )

, , , , , ,

, , , , , ;

, , , , , ,

,

y y y

x

Упрощение представления i применением формул паритета опционов

x y x y y x y x y x

x y x y y x y x y x

g x y x y dy g x y x y dy g x y d y

g x y x

S C C P S P

F P P C F C

C S C

S

2 2 2Y Y Y

1 11

1 1 12

1 1 11

1 12 1

1

, , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ;

, , ,

,

x x

y y y

x x x

y x

y

y dx g x y x y dx g x y d x

g x y x y dy g x y x y dy g x y d y

g x y x y dx g x y x y dx g x y d x

i g x y g x y d y g x y d x

g x y d

P P

P F P

F C C

G U C P

P

1 1 1

1 1 1

2 2 2

2 1

X X X

Y Y Y

X X X

Y X

12 1

2 2, ,

2 2, ,

,

, , , ,

, , , , .

x

x y x y

x y x y

y g x y d x



C

C S

P F

1 2

2 2 1 2

1 1 2 1

Y X

X Y X Y

X Y X Y


2 2

2 2 2 2

2 1 1, 2 1

2 2 1 2 1, , ,

3 3 4, , , , , , ,

2 1,

, , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, ,

x y y x

x y y y x x x y

x y y x x y x x y y

x y y

ii g x y x y g x y y g x y x



g x y x y g

G C C C

C C C

C C C

S

Y X

Y X X Y

2 1

2 1 1 2

12 1

2 2 1 2 1, , ,

3 3 4, , , , , , ,

2 1 1, 2 1

,

, ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , ,

x

x y y y x x x y

x y y x x y x x y y

x y y x

x

x y y g x y x



g x y x y g x y y g x y x

g

C P

S S S

S S S

P P P

Y X

Y X X Y

1 1

1 1 1 1

2 2 1 2 1, ,

3 3 4, , , , , , ,

2 1 1, 2 1

2 2, ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , ,

, , ,

y y y x x x y

x y y x x y x x y y

x y y x

x y y y x

x y x y g x y x y dy g x y x y dx


g x y x y g x y y g x y x

g x y x y g x y

P P P

P P P

F P C

F F

Y X

Y X X Y

1 2

1 2 2 1

1 2 1,

3 3 4, , , , , , ,

, , ,

, , , , , , .

x x y

x y y x x y x x y y

x y dy g x y x y dx


F

F F F

Y X

Y X X Y


1

2 2 2 2, , , ,

2,

( )

, , , , , , , ,

, , , , , , , ,

,

x y x y x y x y

x y

Упрощение представления ii применением формул паритета опционов

g x y x y g x y x y g x y x y g x y x y

g x y x y g x y x y g x y x y g x y x y

g x y g

G C S P F

C S P F

U

2, 1 2 1 2 1 2 1 2

2, 1 1 2 2

2,

1 1 1 12 2 1 2

, , , , ,

, ,

, ,

, , ;

, , ,

x y

x y

x y X Y

y x y x

x y x y x y x y x y

g x y g x y x y x y x y x y

g x y g x y x x y y

g x y g x y x y

g x y y g x y x g x y y g

C S P F

U C C P C P P C P

U C P C P

U X U Y U

G C C C

1

1 1 1 12 1 2 1

1 12 2 1 1

1 1

,

, , , ,

2 , 2 ,

2 , 2 , .

y x y x

y x

x X y Y

x y x

g x y y g x y x g x y y g x y x

g x y y y g x y x x

g x y x g x y y

P

P P P C

C P C P

X U Y U


2 2

1 2 3 3

2,

2,

1 1

2 2, 1 , 1

2, 1

,

, , , , , ,

* , *

2 , 2 ,

, ,

,

x y

x y X Y

x X y Y

x x y y

x x

ii неупрощаемая интегральная часть

g x y g x y x y x y x y x y

g x y x y

g x y x g x y y

g x y x dx g x y y dy

g x y x d

G G G G G G

G U C S P F

X U Y U

X U Y U

C C

P

X Y

1 1

2 2 2 2

2 1 1 2

1

2, 1

3 3 4, , , , , , ,

3 3 4, , , , , , ,

3 3, , , ,

,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , ,

y y

x y y x x y x x y y

x y y x x y x x y y

x y y x x y

x g x y y dy



g x y x y dy g x y x

P

C C C

S S S

P P

X Y

Y X X Y

Y X X Y

Y

1 1 1

1 2 2 1

4, , ,

3 3 4, , , , , , ,

, , ,

, , , , , , .

x x y y

x y y x x y x x y y

y dx g x y x y dxdy


P

F F F

X X Y

Y X X Y


1 12 1

1 12 1

2 2, ,

2 2, ,

2,

, , ,

, ,

, , , ,

, , , , .

, , , ,

y x

y x

x y x y

x y x y

x y

i g x y g x y d y g x y d x

g x y d y g x y d x



ii g x y g x y x y x

G U C P

P C

C S

P F

G U C S

2 1

1 2

2 2 1 2

1 1 2 1

Y X

Y X

X Y X Y

X Y X Y

2

2 1 1

2 2 2 2

1 1 2, 1

2 2 2, 1 , 1 , 1

3 3 4, , , , , , ,

3, ,

, ,

2 , 2 , ,

, , ,

, , , , , ,

x X y Y x x

y y x x y y

x y y x x y x x y y

x y y

y x y x y

g x y x g x y y g x y x dx

g x y y dy g x y x dx g x y y dy


g

P F

X U Y U C

C P P

C C C

X

Y X Y

Y X X Y

2 1 1 2

1 1 1 1

1 2 1

3 4, , , , ,

3 3 4, , , , , , ,

3 3 4, , , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

, , , , , ,

x x y x x y y

x y y x x y x x y y

x y y x x y x x y y

x y x y dy g x y x y dx g x y x y dxdy



S S S

P P P

F F F

Y X X Y

Y X X Y

Y X Y2. X


1 1

1 1 1 1

, : ; max 0, ; ; max 0, .

, 1,

2 2

колл пут x x x x

Одномерные простейшие нормированные баттерфляи :

h h

h h

O O O O

U O O O O

O O O O O OB

Дискретный по страйкам рынок опционов

1 1

1 1

1 2 1 1 1 2 1 1

1 1

,2.. 1,

,

, .

, 1 ; 1 , ;

2 ,

h h

h h

Одномерные генераторы базисных баттерфляев :

U O O O O

O O U O O

O O O O O O O O

O O O

1 1

1 1

,1..

2 , 2.. 1;

1 , 1 1.

, , , , .l

mc с с с с

l nl n

c

Генератор n - мерных базисных баттерфляев :

O O O

O O O O

B


†

1

1

1

Для компоненты "колл" базисных -баттерфляев:

1: 1 колл-спред "медведя" с ;

2, 1: 2 колл-баттерфляй;

:

h

h

h

i x x h

i k x h x x h

i k x

Платежные функции одномерных генераторов базисных баттерфляев

M

1

1

1

1

колл-спред "быка";

Для компоненты "пут" базисных -баттерфляев:

1: пут-спред "медведя";

2, 1: 2 пут-баттерфляй;

: 1 пут-спред "быка" с ;

1

h

h

h

h

h x

i x h x

i k x h x x h

i k x x h

x

M

†

смешанный пут-колл баттерфляй с ;

базисному страйку соответствует точка 0; для "усеченных" баттерфляев.

h x x x h

x

M


1 2

1 2

1 11 1 2 2

11 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

- ; , 1, 1

: 2 2

4 2 2 2 2

.

h h

h h

x h x x h y h y y h

Базисные усеченные по обоим из

Двумерные базисные C баттерфляи B

C C v C v C v C v

C v v C v v C v v C v v

S

1 2 1

2 1 2

2 1 2

1 1

1 1 11 2 1 1

†1 12 2 1 2 1 2

1 12 2 2 2 2 2 1 1 2

1 11 1 1 1 1

- :

1,1 : 1 1 1 2

1 2 ;

1, : 1 ;

,1 : 1

h h h

h h h

h h h

h h

мерениям баттерфляи (вершинные)

x x h y y h

k k k

k k k

C

M C C

C C C C v C v C v v

C C C C v C v C v v

C C

2

1 2

1 2 1 2

11 2 1 2 1 2

†

;

, : ;

минимальный маржевый инструмент, обеспечивающий неотрицательность

платежной функции инструмента ; , 1, 1 .

h

h hk k

C C v C v C v v

C C v C v C v v

M U

B


2

1 2

12 2 2 2

11 2 1 1 2 2 2

- ; , 1, 1

- :

1, 2, 1 : 1 2 1

2 2 ;

2,

h

h h

Базисные усеченные по одному измерению баттерфляи (реберные)

j k j j j

i k

Двумерные базисные C баттерфляи B

C

C C C

C v v C v C v v C v C C v

1

1 2

1 2

1 2

11 1 1 1

12 1 2 2 1 1 1

1 2

11 2 1 1 2 2 2

1 2

12 1 2 2 1 1 1

1,1 : 1 2 1

2 2 ;

, 2, 1 :

2 2 ;

2, 1, :

2 2 ;

Справ

h

h h

h h

h h

i i i

k j k

i k k

C C C

C v C v C v v C v C C v



едливо равенство: ; , 1, 1 .

Всего 6 вариантов баттерфляев: 1 внутренний, 3 вершинных, 2 реберных.

B U S


Двумерный базисный внутренний баттерфляй B[2,2]

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.25

0.5

0.75

-1

-0.5

0

0.5

1


Двумерный базисный вершинный спред B[1,k2]

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.75

1

-1

-0.5

0

0.5

1


Двумерный базисный реберный баттерспред B[2,k2]

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.25

0.5

0.75

-1

-0.5

0

0.5

1


1 2

1 2

1 11 1 2 2

11 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

- ; , 1, 1

: 2 2

4 2 2 2 2

.

h h

h h

x h x x h y h y y h


Двумерные базисные S баттерфляи B s

s

S s S s v S s v S s v S s v

S s v v S s v v S s v v S s v v

S

1 2 1

2 1 2

1 2

1 1 2

1 1 11 1 2 1 1 1 1

†1 12 2 1 2 1 2

12 2 1 1 2

1 11 1 1

- :

,1 : 1 ( ) 1 1

1 2 ;

1, : ;

1,1 : 2 1

h h h

h h h

h h

h h h

мерениям S баттерфляи (вершинные)

k h x x y y h k k

k

s M S S

S S S s S s v S s v S s v v

s S s S s v S s v S s v v

s S S S s S s v

2 1 2

2 1 2

1 11 2 2 2 2 2 1 2 1 2

†

††1

;

, : 1 ;



h h hk k k k

i

S s v S s v v

s S S S s S s v S s v S s v v

M U

B s

S P

1 2 2 1 2, , , .i j j i I j I S C


2

1 2

11 2 2 2 2

11 2 1 1 2 2 2

- ; , 1, 1

- :

, 2, 1 : 1 2 1

2 2 ;

2,

h

h h

Базисные усеченные по одному измерению S баттерфляи (реберные)

k j k j j j

i

Двумерные базисные S баттерфляи B s

s S S S

S s v v S s v S s v v S s v S s S s v

s

1

1 2

1 2

1 2

11 1 1 1

12 1 2 2 1 1 1

2

11 2 1 1 2 2 2

1 2

12 1 2 2 1 1 1

1,1 : 1 2 1

2 2 ;

1, 2, 1 :

2 2 ;

2, 1, :

2 2 ;

Справ

h

h h

h h

h h

k i i i

j k

i k k

S S S


s


s


едливо равенство: ; , 1, 1 . s B s MS


1 2

1 2

1 11 1 2 2

11 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

- ; , 1, 1

: 2 2

4 2 2 2 2

.

h h

h h

x h x x h y h y y h


Двумерные базисные P баттерфляи B s

s

P s P s v P s v P s v P s v

P s v v P s v v P s v v P s v v

S

1 2 1

2 1 2

2 1 2

1

1 1 11 2 1 2 1 1 1 1

†1 12 2 2 2 1 2 1 2

1 11 2 2 2 1 1 2

1 12 1 1

- :

, : 1 1 1

1 ;

,1 : 2 1 ;

1, : 2 1

h h h

h h h

h h h

h

мерениям P баттерфляи (вершинные)

k k x x h y y h k k

k k

k

k

s M P P

P P P s P s v P s v P s v v

s P P P s P s v P s v P s v v

s P P

1 2

1 2

1 2 1 2

11 2 1 2

†

;

1,1 : ;



h h

h h

P s P s v P s v P s v v

s P s P s v P s v P s v v

M U

B s


2

1 2

11 2 2 2 2

11 2 1 1 2 2 2

- ; , 1, 1

- :

, 2, 1 : 1 2 1

2 2 ;

2,

h

h h

Базисные усеченные по одному измерению P баттерфляи (реберные)

k j k j j j

i

Двумерные базисные P баттерфляи B s

s P P P

P s v v P s v P s v v P s v P s P s v

s

1

1 2

1 2

1 2

11 2 1 1 1

12 1 2 2 1 1 1

2

11 2 1 1 2 2 2

1

12 1 2 2 1 1 1

1, : 1 2 1

2 2 ;

1, 2, 1 :

2 2 ;

2, 1,1 :

2 2 ;

Справ

h

h h

h h

h h

k k i i i

j k

i k

P P P


s


s


едливо равенство: ; , 1, 1 . s B s MS


1 2

1 2

1 11 1 2 2

11 1 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

- ; , 1, 1

: 2 2

4 2 2 2 2

, ; .

h h

h h

x h x x h y h y y h

Базисные усеченные по обоим и

Двумерные базисные F баттерфляи B s

s

F s F s v F s v F s v F s v

F s v v F s v v F s v v F s v v F s A s

S

2 1 2

1 2 1

2 1 2

1 2

1 12 2 1 2 1 2

1 1 12 1 2 1 1

†1 12 2 2 2 2 1 1 2

11 1

- :

1,1 : 2 1 ;

1, : 1 1 1 2

1 ;

,1 :

h h h

h h h

h h h

h h

змерениям баттерфляи (вершинные)

k x x h h y y

k k

k

F

s F F F s F s v F s v F s v v

s M F F

F F F s F s v F s v F s v v

s F s F s v F s

1 1 2

2 1 2

1 11 2 1 1 1 1 1 2 1 2

†

††1 1

;

, : 1 ;



h h hk k k k

i i

v F s v v

s F F F s F s v F s v F s v v

M U

B s

F C

2 2 1 2, , , .j j i I j I F P


2

1 2

12 2 2 2

11 2 1 1 2 2 2

- ; , 1, 1

- :

1, 2, 1 : 1 2 1

2 2 ;

2,

h

h h

Базисные усеченные по одному измерению баттерфляи (реберные)

j k j j j

i

Двумерные базисные F баттерфляи B s

F

s F F F

F s v v F s v F s v v F s v F s F s v

s

1 2

1 2

1

1 2

1

12 1 2 2 1 1 1

1 2

11 2 1 1 2 2 2

11 2 1 1 1

12 1 2 2 1 1 1

1,1 :

2 2 ;

, 2, 1 :

2 2 ;

2, 1, : 1 2 1

2 2 ;

Спра

h h

h h

h

h h

k

k j k

i k k i i i


s


s F F F


ведливо равенство: ; , 1, 1 . s B s MS

Двумерный рынок опционовДвумерные базисные смешанные баттерфляи (9 вариантов)

CS

P F

Области применения -опционов C,S,P,F (все – OoTM) намножестве XY с 6 5 = 30 страйками; - центр рынка (3,3).


1 2 2 1 1 1 2 1 2

1 2 2 1 2 1 2

2 1 1

Смешение по обоим измерениям, , центр рынка :

1

1

1

i j

h h h i i

h j j

h i i

Двумерные базисные смешанные баттерфляи (9 типов)

s

B s C C C s C s v C s v C s v v

C C S s S s v S s v S s v v

P P

S

1 2 1 2

1 2 2 1 2 1 2 1 2

1 2 2 1 1 1 1 1 2 1 2

1 2 1 2

1 .

Смешение по одному измерению, ("усеченные" баттерфляи) :

1

,

h j j h h

h h h k k

P s P s v P s v P s v v

P P F s F s v F s v F s v v U

s

B s C C C s v C s C s v v C s v

F s v F s F s v v F s v s

S

1 1 1

1 2 1 2 2 2 1 2 1

2 1 2 1 2 2

1 2 2 1 1 1 2 1 2

1 2 1 2 1 1

1 2 1 2 2 2 2 2 1

, ;

2 1

, ,1 ;

2 1

, 1, ;

1

k j

h h h

i

h h h

j

h h h k k

C F

B s P P F s v F s F s v v F s v

P s v P s P s v v P s v s P F

B s P P P s v P s P s v v P s v

S s v S s S s v v S s v s P S

B s C C S s v S s S s v

2 1

2 1 2 1 2 2 2, , .i k

v S s v

C s v C s C s v v C s v s C S


1 1 2 2 1 1 1 1 1

1 1 2 1 2 2 1

1

Смешение по одному измерению, (полные баттерфляи) :

, , : 1 2 1

2 2

2

i j i i k h h h i i i

Двумерные базисные смешанные баттерфляи (9 типов)

s

s B s C C C C F

C s v C s C s v C s v v C s v C s v v

F s v F

S

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2 2 2 2 2

2 2 1 2 1 1 2

2 2 1 2 1 1 2

1 2 2 1 1 1

2 ;

, ,1 : 1 2 1

2 2

2 2 ;

, ,1 : 1 2 1

i j j j h h h j j j

i j i i h h h i i i

s F s v F s v v F s v F s v v

s B s P P P P F

F s v F s F s v F s v v F s v F s v v

P s v P s P s v P s v v P s v P s v v

s B s P P P P

1 1

1 1 2 1 2 2 1

1 1 2 1 2 2 1

2 1 2 1 2 2 2 2 2

2 2 1 2 1 1 2

2 2 1 2

2 2

2 2 ;

, , : 1 2 1

2 2

2 2

i j j j k h h h j j j

S

P s v P s P s v P s v v P s v P s v v

S s v S s S s v S s v v S s v S s v v

s B s C C C C S

S s v S s S s v S s v v S s v S s v v

C s v C s C s v C s v v 1 1 2 . C s v C s v v

Пример. Подготовка данныхX=Y=[-1,1]; p(x,y) = 13/36 - x2/6 - y2/6 (график слева);c(x,y) = 37/120 - (x+1/2)2/20 - (y-1/2)2/20 (график справа);|C(s,t)| = (1-s)2(1-t)2(28-4s-s2-t2)/480; x,s X; y,t Y;|S(s,t)| = (1+s)2(1-t)2(36-s2-t2)/480; |P(s,t)| = (1+s)2(1+t)2(28-s2+4t-t2)/480; |F(s,t)| = (1-s)2(1+t)2(20-4s-s2+4t-t2)/480; |CX(s)| = (1-s)2(25-4s-s2)/120; |CY(t)| = (1-t)2(33-t2)/120; |PY(s)| = (1+s)2(33-s2)/120; |PY(t)| = (1+t)2(25+4t-t2)/120.


-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

0.10.150.2

0.250.3

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

0.1

0.2

0.3

-1

-0.5

0

0.5

1

Пример. Базисные баттерфляи BCB[1,1]=U+(CX[2]-CX[1])/h1+(CY[2]-CY[1])/h2+(C[2,2]-C[1,2]-

C[2,1]+C[1,1])/h1/h2;

B[1,k2]=(CY[k2-1]-CY[k2])/h2+(C[1,k2]-C[2,k2]-C[1,k2-1]+C[2,k2-1]) /h1/h2;

B[k1,1]=(CX[k1-1]-CX[k1])/h1+(C[k1,1]-C[k1,2]-C[k1-1,1]+C[k1-1,2]) /h1/h2;

B[k1,k2]=(C[k1,k2]-C[k1,k2-1]-C[k1-1,k2]+C[k1-1,k2-1])/h1/h2;

B[1,j]=(CY[j-1]-2CY[j]+CY[j+1])/h2+(C[2,j-1]-2C[2,j]+C[2,j+1]-C[1,j-1]+2C[1,j]-C[1,j+1])/h1/h2, j=2,…,k2-1;

B[k1,j]=(C[k1-1,j-1]-2C[k1-1,j]+C[k1-1,j+1]-C[k1,j-1]+2C[k1,j]-C[k1,j+1])/h1/h2, j=2,…,k2-1;

B[i,1]=(CX[i-1]-2CX[i]+CX[i+1])/h1+(C[i-1,2]-2C[i,2]+C[i+1,2]-C[i-1,1]+2C[i,1]-C[i+1,1])/h1/h2, i=2,…,k1-1;

B[i,k2]=(C[i-1,k2-1]-2C[i,k2-1]+C[i+1,k2-1]-C[i-1,k2]+2C[i,k2]-C[i+1,k2])/h1/h2, i=2,…,k1-1;

B[i,j]=(4C[i,j]-2C[i+1,j]-2C[i-1,j]-2C[i,j+1]-2C[i,j-1]+C[i+1,j+1]+ C[i+1,j-1]+C[i-1,j+1]+C[i-1,j-1])/h1/h2, i=2,…,k1-1, j=2,…,k2-1;


Пример. Базисные баттерфляи BFB[1,1]=(FY[2]-FY[1])/h2+(F[2,2]-F[1,2]-F[2,1]+F[1,1])/h1/h2;

B[1,k2]=U+(FX[2]-FX[1])/h1+(FY[k2-1]-FY[k2])/h2+(F[1,k2]-F[2,k2]-F[1,k2-1]+F[2,k2-1]) /h1/h2;

B[k1,1]=(F[k1,1]-F[k1,2]-F[k1-1,1]+F[k1-1,2]) /h1/h2;

B[k1,k2]=(FX[k1-1]-FX[k1])/h1+(F[k1,k2]-F[k1,k2-1]-F[k1-1,k2]+F[k1-1, k2-1])/h1/h2;

B[1,j]=(FY[j-1]-2FY[j]+FY[j+1])/h2+(F[2,j-1]-2F[2,j]+F[2,j+1]- F[1,j-1]+2F[1,j]-F[1,j+1])/h1/h2, j=2,…,k2-1;

B[k1,j]=(F[k1-1,j-1]-2F[k1-1,j]+F[k1-1,j+1]-F[k1,j-1]+2F[k1,j]-F[k1,j+1])/h1/h2, j=2,…,k2-1;

B[i,1]=(F[i-1,2]-2F[i,2]+F[i+1,2]-F[i-1,1]+2F[i,1]-F[i+1,1])/h1/h2, i=2,…,k1-1;

B[i,k2]=(FX[i-1]-2FX[i]+FX[i+1])/h1+(F[i-1,k2-1]-2F[i,k2-1]+F[i+1, k2-1]-F[i-1,k2]+2F[i,k2]-F[i+1,k2])/h1/h2, i=2,…,k1-1;

B[i,j]=(4F[i,j]-2F[i+1,j]-2F[i-1,j]-2F[i,j+1]-2F[i,j-1]+F[i+1,j+1]+ F[i+1,j-1]+F[i-1,j+1]+F[i-1,j-1])/h1/h2, i=2,…,k1-1, j=2,…,k2-1;


Пример. Базисные смешанные баттерфляи BC,S,P,F Вершинные баттерфляи:

B[1,1]=(P[1,1]-P[1,2]-P[2,1]+P[2,2])/h1/h2;

B[1,k2]=(S[1,k2]-S[2,k2]-S[1,k2-1]+S[2,k2-1])/h1/h2;

B[k1,1]=(F[k1,1]-F[k1,2]-F[k1-1,1]+F[k1-1,2])/h1/h2;

B[k1,k2]=(C[k1,k2]-C[k1,k2-1]-C[k1-1,k2]+C[k1-1,k2-1])/h1/h2;

Смешанные реберные баттерфляи:

B[ic,k2]=(CY[k2-1]-CY[k2])/h2-(C[ic,k2-1]-C[ic,k2]-C[ic+1,k2-1]+ C[ic+1,k2] +S[ic,k2-1]-S[ic,k2]-S[ic-1,k2-1]+S[ic-1,k2])/h1/h2;

B[1,jc]=(PX[2]-PX[1])/h1-(S[1,jc+1]-S[1,jc]-S[2,jc+1]+S[2,jc]+ P[1,jc-1]-P[1,jc]-P[2,jc-1]+P[2,jc])/h1/h2;

B[ic,1]=(PY[2]-PY[1])/h2-(P[ic,2]-P[ic,1]-P[ic-1,2]+P[ic-1,1]+F[ic,2]-F[ic,1]-F[ic+1,2]+F[ic+1,1])/h1/h2;

B[k1,jc]=(CX[k1-1]-CX[k1])/h1-(C[k1,jc+1]-C[k1,jc]-C[k1-1,jc+1]+ C[k1-1,jc]+F[k1,jc-1]-F[k1,jc]-F[k1-1,jc-1]+F[k1-1,jc])/h1/h2;


Пример. Базисные смешанные баттерфляи BC,S,P,F Простые реберные баттерфляи:

B[k1,j]=(C[k1-1,j-1]-2C[k1-1,j]+C[k1-1,j+1]-C[k1,j-1]+2C[k1,j]-C[k1,j+1]) /h1/h2, j=jc+1,..,k2-1;

B[i,k2]=(C[i-1,k2-1]-2C[i,k2-1]+C[i+1,k2-1]-C[i-1,k2]+2C[i,k2]-C[i+1,k2]) /h1/h2, i=ic+1,…,k1-1;

B[1,j]=(S[2,j-1]-2S[2,j]+S[2,j+1]-S[1,j-1]+2S[1,j]-S[1,j+1])/h1/h2, j=jc+1,..,k2-1;

B[i,k2]=(S[i-1,k2-1]-2S[i,k2-1]+S[i+1,k2-1]-S[i-1,k2]+2S[i,k2]-S[i+1,k2]) /h1/h2, i=2,…,ic-1;

B[1,j]=(P[2,j-1]-2P[2,j]+P[2,j+1]-P[1,j-1]+2P[1,j]-P[1,j+1])/h1/h2, j=2,…,jc-1;

B[i,1]=(P[i-1,2]-2P[i,2]+P[i+1,2]-P[i-1,1]+2P[i,1]-P[i+1,1])/h1/h2, i=2,..,ic-1;

B[i,1]=(F[i-1,2]-2F[i,2]+F[i+1,2]-F[i-1,1]+2F[i,1]-F[i+1,1])/h1/h2, i=ic+1,.., k1-1;

B[k1,j]=(F[k1-1,j-1]-2F[k1-1,j]+F[k1-1,j+1]-F[k1,j-1]+2F[k1,j]-F[k1,j+1])/h1/h2, j=2,..,jc-1;


Пример. Базисные смешанные баттерфляи BC,S,P,F Смешанные осевые баттерфляи:B[ic,j]=(CY[j-1]-2CY[j]+CY[j+1])/h2-(C[ic,j-1]-2C[ic,j]+C[ic,j+1]-C[ic+1,j-

1]+2C[ic+1,j]-C[ic+1,j+1]+S[ic,j-1]-2S[ic,j]+S[ic,j+1]-S[ic-1,j-1]+2S[ic-1,j]-S[ic-1,j+1])/h1/h2, j=jc+1,…,k2-1;

B[i,jc]=(PX[i-1]-2PX[i]+PX[i+1])/h1-(S[i-1,jc]-2S[i,jc]+S[i+1,jc]-S[i-1,jc+1]+2S[i,jc+1]-S[i+1,jc+1]+P[i-1,jc]-2P[i,jc]+P[i+1,jc]-P[i-1,jc-1]+2P[i,jc-1]-P[i+1,jc-1])/h1/h2, i=2,…,ic-1;

B[ic,j]=(PY[j-1]-2PY[j]+PY[j+1])/h2-(P[ic,j-1]-2P[ic,j]+P[ic,j+1]-P[ic-1,j-1]+2P[ic-1,j]-P[ic-1,j+1]+F[ic,j-1]-2F[ic,j]+F[ic,j+1]-F[ic+1,j-1]+2F[ic+1,j]-F[ic+1,j+1])/h1/h2, j=2,…,jc-1;

B[i,jc]=(CX[i-1]-2CX[i]+CX[i+1])/h1-(C[i-1,jc]-2C[i,jc]+C[i+1,jc]-C[i-1,jc+1]+2C[i,jc+1]-C[i+1,jc+1]+F[i-1,jc]-2F[i,jc]+F[i+1,jc]-F[i-1,jc-1]+2F[i,jc-1]-F[i+1,jc-1])/h1/h2, i=ic+1,…,k1-1.


Пример. Базисные смешанные баттерфляи BC,S,P,F Внутренние баттерфляи:B[i,j]=(4C[i,j]-2C[i+1,j]-2C[i-1,j]-2C[i,j+1]-2C[i,j-1]+C[i+1,j+1]

+C[i+1,j-1]+C[i-1,j+1]+C[i-1,j-1])/h1/h2, i=ic+1,…,k1-1, j=jc+1,k2-1;

B[i,j]=(4S[i,j]-2S[i+1,j]-2S[i-1,j]-2S[i,j+1]-2S[i,j-1]+S[i+1,j+1]+ S[i+1,j-1]+S[i-1,j+1]+S[i-1,j-1])/h1/h2, i=2,ic-1, j=jc+1,…,k2-1;

B[i,j]=(4P[i,j]-2P[i+1,j]-2P[i-1,j]-2P[i,j+1]-2P[i,j-1]+P[i+1,j+1]+ P[i+1,j-1]+P[i-1,j+1]+P[i-1,j-1])/h1/h2, i=2,…,ic-1, j=2,…,jc-1;

B[i,j]=(4F[i,j]-2F[i+1,j]-2F[i-1,j]-2F[i,j+1]-2F[i,j-1]+F[i+1,j+1]+ F[i+1,j-1]+F[i-1,j+1]+F[i-1,j-1])/h1/h2, i=ic+1,…,k1-1, j=2,…,jc-1;

Центральный баттерфляй:B[ic,jc]=U+(CX[ic+1]-CX[ic])/h1+(CY[jc+1]-CY[jc])/h2+(PX[ic-1]-PX[ic])/

h1+(PY[jc-1]-PY[jc])/h2+(C[ic,jc]-C[ic,jc+1]-C[ic+1,jc]+ C[ic+1,jc+1]+S[ic,jc]-S[ic,jc+1]-S[ic-1,jc]+S[ic-1,jc+1]+P[ic,jc]-P[ic,jc-1]-P[ic-1,jc]+P[ic-1,jc-1]+F[ic,jc]-F[ic,jc-1]-F[ic+1,jc]+ F[ic+1,jc-1])/h1/h2;


Пример. Определение оптимального портфеля при {pS,cB}pS = {0.0179918,0.0286584,0.032214,0.0286584,0.0179918,

0.0278683,0.038535,0.0420905,0.038535,0.0278683,0.0328066, 0.0434733,0.0470288,0.0434733,0.0328066,0.0328066,0.0434733, 0.0470288,0.0434733,0.0328066,0.0278683,0.038535,0.0420905, 0.038535,0.0278683,0.0179918,0.0286584,0.032214,0.0286584, 0.0179918};

cB = {0.0292284,0.0347617,0.0384951,0.0400951,0.0396728, 0.0298765, 0.0354099,0.0391432,0.0407432,0.040321,0.0291358, 0.0346691,0.0384025,0.0400025,0.0395802,0.0269136,0.0324469,0.0361802,0.0377802,0.037358,0.0232099,0.0287432,0.0324765, 0.0340765,0.0336543,0.0183025,0.0238358,0.0275691,0.0291691,0.0287469}.

ξ = {5,1,30,10,4,2,25,15,3,20,6,9,29,26,8,14,7,11,24,19,28,21,27,16, 13, 12,23,18,17,22};

g = {0.00129482,0.0193656,0.0538469,0.0122107,0.000323704, 0.0856875,0.252012,0.1764,0.109733,0.00669838,0.286027, 0.68703,0.616852,0.214807,0.0399342,0.545191,0.924415, 0.842709,0.380471,0.0701487,0.458201,1.,0.758576,0.32873, 0.0278986,0.142816,0.49782,0.421249,0.129541,0.00291333}


Пример. Оптимальный портфель в терминах -опционов C и опционов CX и CY при p = pS, c = cB.

G = iI,jJ gij B[i,j] = 0.00129482 U+1.1119 C[1,1]-1.93761 C[1,2] +0.637968 C[1,3]-0.495872 C[1,4]+0.683605 C[1,5]+0.648179 C[2,1]+0.218282 C[2,2]-3.19406 C[2,3]+2.47241 C[2,4]-0.144813 C[2,5]-1.92342 C[3,1]+1.7962 C[3,2]+2.1911 C[3,3]-2.54095 C[3,4]+0.477073 C[3,5]+1.38265 C[4,1]-2.49407 C[4,2]+1.80581 C[4,3]+0.392654 C[4,4]-1.08705 C[4,5]-2.62027 C[5,1]+5.05454 C[5,2]-1.64117 C[5,3]+0.442252 C[5,4]-1.23535 C[5,5]+1.40096 C[6,1]-2.63735 C[6,2]+ 0.200356 C[6,3]-0.270493 C[6,4]+1.30653 C[6,5]+0.253178 CX[1]+0.34784 CX[2]+0.176474 CX[3]-1.03846 CX[4]-0.685186 CX[5]+0.946156 CX[6]+0.0451771 CY[1]+0.0410261 CY[2]-0.190294 CY[3]+0.074373 CY[4]+0.0297175 CY[5].


Пример. Портфельные доходы.A=0.290693, R=0.352913, y=0.214042


-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.75

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Пример. Определение оптимального портфеля при {pB,cB}

X=Y=[-1,1]; x,s X; y,t Y; p(x,y) = 13/36 - x2/6 - y2/6; c(x,y) = 37/120 - (x+1/2)2/20 - (y-1/2)2/20.|CP(s,t)| = (1-s)2(1-t)2(7-2s-s2-2t-t2)/144; |CPX(s)| = (1-s)2(8-2s-s2)/36; |CPY(t)| = (1-t)2(8-2t-t2)/36.

pB = {0.0188477,0.0287737,0.0323292,0.0287737,0.0188477, 0.028107,0.0380329,0.0415885,0.0380329,0.028107,0.0330453, 0.0429712,0.0465267,0.0429712,0.0330453,0.0330453,0.0429712, 0.0465267,0.0429712,0.0330453,0.028107,0.0380329,0.0415885, 0.0380329,0.028107,0.0188477,0.0287737,0.0323292,0.0287737, 0.0188477};

cB = {0.0292284,0.0347617,0.0384951,0.0400951,0.0396728, 0.0298765,0.0354099,0.0391432,0.0407432,0.040321,0.0291358, 0.0346691,0.0384025,0.0400025,0.0395802,0.0269136,0.0324469,0.0361802,0.0377802,0.037358,0.0232099,0.0287432,0.0324765, 0.0340765,0.0336543,0.0183025,0.0238358,0.0275691,0.0291691,0.0287469}.

ξ = {5,1,30,10,4,2,15,25,3,20,9,6,29,26,8,7,14,24,11,19,28,27,21,13, 16,12,23,18,22,17};


Определение суррогатных вероятностей для базисных баттерфляев взвешенным интегрированием плотности p(x,y) с их платежными функциями в качестве весовых функций; X = [a1, b1], Y = [a2, b2].


2 2

0 0

2 1

0 1

1 2

1 0

11 1 0 1 0 2

11 1 0 1 1 2

11 1 1 1 0 2

1

1,1 , , , ;

1, , , , ;

,1 , , , ;

,

x y

m

x y m

n

x y n

x y

s tB x yh h s t

s tB y m mh h s t

s tB x y nh h s t

B xh h

p h x s h y t p x y dxdy s a t a

p m h x s h y t p x y dxdy s a t b

p n h x s h y t p x y dxdy s b t a

p n m h

1 1

1 1

2 1

0 1

1 2

1 0

1 1 1 1 1 2

11 0 1

11 0 2

1

, , , ;

1, , , , 1 ;

,1 , , 1 , ;

,

n m

n m

j

x y j

i

x y i

x y

s ty n ms t

s tB x y jh h s t

s tB x i yh h s t

B x nh h

x s h y t p x y dxdy s b t b

p j h x s h y t p x y dxdy s a j m

p i h x s h y t p x y dxdy i n t a

p n j h x s h

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

11 2

1

, , , 1 ;

, , , 1 , ;

, , , 1 , 1 .

n j

n j

i m

x y i m

i j

x y i j

s ty j ns t

s tB x i y m mh h s t

s tB x i y jh h s t

y t p x y dxdy s b j m

p i m h x s h y t p x y dxdy i n t b

p i j h x s h y t p x y dxdy i n j m

Пример. Оптимальный портфель в терминах -опционов C и опционов CX и CY при p = pB, c = cB.

g = {0.00129482,0.0193656,0.0538469,0.0122107,0.000323704, 0.109733,0.210254,0.1764,0.0920461,0.00669838,0.32873, 0.68703,0.566396,0.252012,0.0295727,0.616852,1.0,0.842709, 0.380471,0.0701487,0.49782,0.914943,0.758576,0.292187, 0.0399342,0.142816,0.459271,0.421249,0.129541,0.00291333}

G = iI,jJ gij B[i,j] = 0.00129482 U + 0.618381 C[1,1] - 1.1309 C[1,2] + 0.192134 C[1,3] - 0.230572 C[1,4] + 0.550955 C[1,5] + 1.31495 C[2,1] - 1.45328 C[2,2] - 1.26651 C[2,3] + 0.927604 C[2,4] + 0.477234 C[2,5] - 1.74697 C[3,1] + 2.12289 C[3,2] + 0.240391 C[3,3] - 0.247238 C[3,4] - 0.369071 C[3,5] + 0.0684481 C[4,1] + 0.213412 C[4,2] + 0.795916 C[4,3] + 0.0168603 C[4,4] - 1.09464 C[4,5] - 1.00982 C[5,1] + 1.89047 C[5,2] + 0.460589 C[5,3] - 0.834573 C[5,4] - 0.506671 C[5,5] + 0.755007 C[6,1] - 1.64259 C[6,2] - 0.422523 C[6,3] + 0.367919 C[6,4] + 0.94219 C[6,5] + 0.325314 CX[1] + 0.331678 CX[2] + 0.207374 CX[3] - 1.22146 CX[4] - 0.707919 CX[5] + 1.06501 CX[6] + 0.0451771 CY[1] + 0.0410261 CY[2] - 0.190294 CY[3] + 0.074373 CY[4] + 0.0297175 CY[5].


Пример. Оптимальный портфель в терминах -опционов F и опционов FX и FY при {pS,cB}

G = iI,jJ gij B[i,j] = 0.000323704 U + 1.1119 F[1,1] - 1.93761 F[1,2] + 0.637968 F[1,3] - 0.495872 F[1,4] + 0.683605 F[1,5] + 0.648179 F[2,1] + 0.218282 F[2,2] - 3.19406 F[2,3] + 2.47241 F[2,4] - 0.144813 F[2,5] - 1.92342 F[3,1] + 1.7962 F[3,2] + 2.1911 F[3,3] - 2.54095 F[3,4] + 0.477073 F[3,5] + 1.38265 F[4,1] - 2.49407 F[4,2] + 1.80581 F[4,3] + 0.392654 F[4,4] - 1.08705 F[4,5] - 2.62027 F[5,1] + 5.05454 F[5,2] - 1.64117 F[5,3] + 0.442252 F[5,4] - 1.23535 F[5,5] + 1.40096 F[6,1] - 2.63735 F[6,2] + 0.200356 F[6,3] - 0.270493 F[6,4] + 1.30653 F[6,5] + 0.019124 FX[1] + 0.0805834 FX[2] - 0.00906392 FX[3] - 0.217394 FX[4] + 0.0517943 FX[5] + 0.0749559 FX[6] + 0.0451771 FY[1] + 0.0410261 FY[2] - 0.190294 FY[3] + 0.074373 FY[4] + 0.0297175 FY[5]; [GF]=[GC].


Пример. Оптимальный портфель в терминах -опционов C,S,P,F и опционов CX,CY,PX,PY при {pS,cB}; ic = 3, jc = 3.

G = iI,jJ gij B[i,j] = 0.616852 U-0.451454 C[3,3]-0.564412 C[3,4]+1.01587 C[3,5]+0.694391 C[4,3]+0.392654 C[4,4]-1.08705 C[4,5]+0.793098 C[5,3]+0.442252 C[5,4]-1.23535 C[5,5]-1.03604 C[6,3]-0.270493 C[6,4]+1.30653 C[6,5]+ 0.677571 CX[3]-0.929968 CX[4]-0.759585 CX[5]+1.01198 CX[6]-1.00511 CY[3]+0.567928 CY[4]+0.437183 CY[5]-0.163338 F[3,1]+0.0768748 F[3,2]+0.0864635 F[3,3]+1.38265 F[4,1]-2.49407 F[4,2]+1.11142 F[4,3]-2.62027 F[5,1]+5.05454 F[5,2]-2.43427 F[5,3]+1.40096 F[6,1]-2.63735 F[6,2]+1.23639 F[6,3]+1.1119 P[1,1]-1.93761 P[1,2]+0.825702 P[1,3]+ 0.648179 P[2,1]+0.218282 P[2,2]-0.866461 P[2,3]-1.76008 P[3,1]+1.71932 P[3,2]+0.0407597 P[3,3]+0.367659 PX[1]+ 0.953696 PX[2]-1.32136 PX[3]+1.00251 PY[1]-1.17795 PY[2]+ 0.175444 PY[3]-0.187733 S[1,3]-0.495872 S[1,4]+0.683605 S[1,5]-2.3276 S[2,3]+2.47241 S[2,4]-0.144813 S[2,5]+2.51533 S[3,3]-1.97654 S[3,4]-0.538792 S[3,5]; [G]= [GF]=[GC].


Трехмерный рынок опционов

1 2 3

1 2 1 3

2 3

11,2,3

1 1 11 1 2 2 3 3

1 112 12 12 12 13 13

113 13 23 23 23

- ; 1,1,1

1,1,1 : 1

1 2 1 2 1 2

1,1 2,1 1,2 2,2 1,1 2,1

1,2 2,2 1,1 2,1 1,2

i i i ihi

h h h

h h h h

h h

x x h

Трехмерные базисные C баттерфляи B s

s M

C C C C C C

C C C C C C

C C C C C

1 2 3

1 2 3

23

11 2 3

†1 2 1 3 2 3 1 2 3

11 2 3 1,2,3

11 2 3

1 2 1 3 2 3 1 2 3

†

2,2

;

, , :

.

, , но,

i

h h h

i i ihi

h h h

k k k x x h

i j i j

C

C s C s v C s v C s v

C s v v C s v v C s v v C s v v v

s



C C C

вообще говоря, , ,

, , , 1,2,3 .

i j i j

i I j I N

C C C


3

3 1 3

2 3

1 2 3

1 13 3 3 31,2

1 13 3 3 3 13 3 13 3 13 3 13 3

123 3 23 3 23 3 23 3

1

- ; 1,1,1

1,1, : 1

1 1, 2, 1, 1 2, 1

1, 2, 1, 1 2, 1

i i i ih hi

h h h

h h

h h h

k x x h x x h

k k k k k k

k k k k


s

C C C C C C

C C C C

C s C s v

1

2 3

1 2 3

1 2 3

1 2 1 3 2 3 1 2 3

1 12 3 1 1 1 2,3

123 2 3 23 2 3 23 2 3 23 2 3

11 2 3

1 2 1 3

;

1, , : 1

, 1, , 1 1, 1

i i i ih hi

h h

h h h

k k x x h x x h

k k k k k k k k

C s v C s v


s

C C C C


C s v v C s v v C s 2 3 1 2 3 ; v v C s v v v


3

3

1 3

2 3

1 13 3 3 3 31,2

13 3 3

113 13 13 13 13 13

123 23 23

- ; 1,1,1

1,1, : 1 2

1 2 1

2, 1 2 2, 2, 1 1, 1 2 1, 1, 1

2, 1 2 2, 2,

l l l lh hl

h

h h

h h

j x x h x h x x h

j j j

j j j j j j

j j j


s

C C C

C C C C C C

C C C

1 2 3

2 3 1

2

23 23 23

11 2 1 2

1 3 1 3 2 3 2 3

3 3 1 2 3 1 2 3

1 12 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 3

1

1 1, 1 2 1, 1, 1

2 2 2 2

;

1, , : 1 2

h h h

h h h

h

j j j

k j x x h x x h x h x x h

C C C

C s C s v C s v C s v v

C s v v C s v v C s v v C s v v

C s v C s v C s v v v C s v v v

s

3

1 2 3

23 2 23 2 23 2 23 2 23 2

123 2 1 2 1 2

1 3 1 3 2 3 2 3

3 3 1 2 3 1 2 3

1, 1 2 1, 1, 1 , 1 2 ,

, 1 2 2 2 2

;

h

h h h

k j k j k j k j k j

k j

C C C C C

C C s C s v C s v C s v v


C s v C s v C s v v v C s v v v


1 2 3

1 2 3

11 2 3 3 3 3 31,2

11 2 1 2

1 3 1 3 2 3 2 3

3 3 1 2 3 1

- ; 1,1,1

, , : 2

2 2 2 2

i i ih h h i

h h h

k k j x x h x h x x h


s

C s C s v C s v C s v v


C s v C s v C s v v v C s v v

2 3 1

2 3

1 2 3

2 3

1 11 1 1 2,3

123 23 23 23

23 23 23 23 23

12 2 3 3

;

1, , : 1 2

1, 1 1, 1 1, 1 1, 1

2 , 1 2 , 1 2 1, 2 1, 4 ,

4 2 2 2 2

4

l l l l lh h h l

h h

h h h

i j x x h x h x x h

i j i j i j i j

i j i j i j i j i j

v

s

C C C C

C C C C C

C s C s v C s v C s v C s v+

1 1 2 1 2 1 3 1 3

2 3 2 3 2 3 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 2 2

;

C s v C s v v C s v v C s v v C s v v


C s v v v C s v v v C s v v v C s v v v


1 2 3

1 2 3

11 1 1 1 2,3

12 2 3 3

1 1 2 1 2 1 3 1 3

2 3 2 3

- ; 1,1,1

, , : 2

4 2 2 2 2

4 2 2 2 2

l l l l lh h h l

h h h

k i j x x h x h x x h


s

C s C s v C s v C s v C s v

C s v C s v v C s v v C s v v C s v v

C s v v C s v v

1 2 3

2 3 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 11,2,3

1 1 2 2 3 3

1 2 1 2 1 2 1 2

;

: 2 8

4 4 4 4 4 4

2 2 2 2

2

i i i i i ih h h hi x h x x h

C s v v C s v v


s C s

C s v C s v C s v C s v C s v C s v


C s

S

2 3 2 3 2 3 2 3

1 3 1 3 1 3 1 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

2 2 2

2 2 2 2

.

v v C s v v C s v v C s v v





0 1 1 2 2 3 3

1 1 1 2 2 3 3

2 1 1 2 2 3 3

3

; 1, 1, 1 ;

; 1, 1, 1 ;

; 1, 1, 1 ;

; 1,

Перечень всех типов базисных баттерфляев и правила их получения

из трехмерных базисных C - баттерфляев

A A P P P

A A P P C

A A P C P

A A

1 1 2 2 3 3

4 1 1 2 2 3 3

5 1 1 2 2 3 3

6 1 1 2 2 3 3

†7 1 1 2 2 3 3

7

1, 1 ;

; 1, 1, 1 ;

; 1, 1, 1 ;

; 1, 1, 1 ;

; 1, 1, 1 ;

-баттерфляи образованы -опционами ; ( 1,2,3):

i

s правила i

P C C

A A C P P

A A C P C

A A C C P

A A C C C

C A

T

†

7 1 1 2 2 3 3

, 1, 1 1, 1 2; ; ,

Вообще говоря, .

i i i i i i i ik k

s s s

v v P C

A s C C C

Пример. Формирование данныхX=Y=Z=[–1,1]; x,r X; y,s Y; z,t Z.

p(x,y,z) = 7/40 – x2/20 – y2/20 – z2/20;

c(x,y,z) = 27/160 – (x+1/2)2/40 – (y–1/2)2/40 – (z–1/2)2/40;

|C(r,s,t)| = [(x–r)(y–s)(z–t) c(x,y,z),{x,r,1},{y,s,1},{z,t,1}] = = (1–r)2(1–s)2(1–t)2(31–4r–r2–s2–t2)/1920;

|CXY(r,s)| = [(x–r)(y–s) c(x,y,z),{x,r,1},{y,s,1},{z,–1,1}] = = (1–r)2(1–s)2(28–4r–r2–s2)/480;

|CXZ(r,t)| = (1–r)2(1+t)2(28–4r–r2–t2)/480;

|CYZ(s,t)| = (1–s)2(1–t)2(36–s2–t2)/480;

|CX(r)| = [(x–r) c(x,y,z),{x,r,1},{y,–1,1},{z,–1,1}] = = (1–r)2(25–4r–r2)/120;

|CY(s)| = (1–s)2(33–s2)/120;

|CZ(t)| = (1–t)2(33–t2)/120.

Свойство: ρ(x,y,z) = p(x,y,z)/c(x,y,z) (x,y,z) (+1,–1,–1).


Пример. Базисные баттерфляи BC (всего 27 вариантов:

8 вершинных, 12 реберных, 6 граневых, 1 внутренний)B[1,1,1]=U+(CX[2]–CX[1])/h1+(CY[2]–CY[1])/h2+(CZ[2]–CZ[1])/h3 +

(CXY[1,1]–CXY[2,1]–CXY[1,2]+CXY[2,2])/h1/h2+(CXZ[1,1]–CXZ[2,1]–CXZ[1,2]+ CXZ[2,2])/h1/h3+(CYZ[1,1]–CYZ[2,1]–CYZ[1,2]+CYZ[2,2])/h2/h3+(–C[1,1,1]+C[2,1,1]+C[1,2,1]+ C[1,1,2]–C[2,2,1]–C[2,1,2]–C[1,2,2]+C[2,2,2])/h1/h2/h3;

...B[k1,k2,k3]=(–C[k1,k2,k3]+C[k1–1,k2,k3]+C[k1,k2–1,k3]+

C[k1,k2,k3–1]–C[k1–1,k2–1,k3]–C[k1–1,k2,k3–1]–C[k1,k2–1,k3–1]+ C[k1–1,k2–1,k3–1])/h1/h2/h3;

...B[i,j,k]=(–8C[i,j,k]+4C[i+1,j,k]+4C[i–1,j,k]+4C[i,j+1,k]+4C[i,j–1,k] +

4C[i,j,k+1]+4C[i,j,k–1]–2C[i+1,j+1,k]–2C[i+1,j–1,k]–2C[i–1, j+1,k]–2C[i–1,j–1,k]–2C[i,j+1,k+1]–2C[i,j+1,k–1]–2C[i,j–1,k+1] –2C[i,j–1,k–1]–2 C[i+1,j,k+1]–2 C[i+1,j,k–1]–2 C[i–1,j,k+1]–2 C[i–1,j,k–1]+C[i+1,j+1,k+1]+C[i+1,j+1,k–1]+C[i+1,j–1,k+1]+ C[i+1,j–1,k–1]+C[i–1,j+1,k+1]+C[i–1,j+1,k–1]+C[i–1,j–1,k+1]+ C[i–1,j–1,k–1])/h1/h2/h3, i=2,…,k1–1, j=2,…,k2–1, k=2,…,k3–1.


Пример. Определение оптимального портфеля при (ε)= ε2

p = {0.00738436, 0.00935967, 0.00738436, 0.0095177, 0.011493, 0.0095177, 0.0102288, 0.0122041, 0.0102288, 0.0095177, 0.011493, 0.0095177, 0.00738436, 0.00935967, 0.00738436, 0.00935967, 0.011335, 0.00935967, 0.011493, 0.0134683, 0.011493, 0.0122041, 0.0141794, 0.0122041, 0.011493, 0.0134683, 0.011493, 0.00935967, 0.011335, 0.00935967, 0.0103473, 0.0123226, 0.0103473, 0.0124807, 0.014456, 0.0124807, 0.0131918, 0.0151671, 0.0131918, 0.0124807, 0.014456, 0.0124807, 0.0103473, 0.0123226, 0.0103473, 0.0103473, 0.0123226, 0.0103473, 0.0124807, 0.014456, 0.0124807, 0.0131918, 0.0151671, 0.0131918, 0.0124807, 0.014456, 0.0124807, 0.0103473, 0.0123226, 0.0103473, 0.00935967, 0.011335, 0.00935967, 0.011493, 0.0134683, 0.011493, 0.0122041, 0.0141794, 0.0122041, 0.011493, 0.0134683, 0.011493, 0.00935967, 0.011335, 0.00935967, 0.00738436, 0.00935967, 0.00738436, 0.0095177, 0.011493, 0.0095177, 0.0102288, 0.0122041, 0.0102288, 0.0095177, 0.011493, 0.0095177, 0.00738436, 0.00935967, 0.00738436}



c = {0.00803498, 0.0103189, 0.0108745, 0.00987942, 0.0121634, 0.0127189, 0.0111239, 0.0134078, 0.0139634, 0.0116572, 0.0139412, 0.0144967, 0.0115165, 0.0138004, 0.014356, 0.00825103, 0.010535, 0.0110905, 0.0100955, 0.0123794, 0.012935, 0.0113399, 0.0136239, 0.0141794, 0.0118733, 0.0141572, 0.0147128, 0.0117325, 0.0140165, 0.014572, 0.00800412, 0.0102881, 0.0108436, 0.00984856, 0.0121325, 0.0126881, 0.011093, 0.013377, 0.0139325, 0.0116263, 0.0139103, 0.0144658, 0.0114856, 0.0137695, 0.0143251, 0.00726337, 0.00954733, 0.0101029, 0.00910782, 0.0113918, 0.0119473, 0.0103523, 0.0126362, 0.0131918, 0.0108856, 0.0131695, 0.0137251, 0.0107449, 0.0130288, 0.0135844, 0.00602881, 0.00831276, 0.00886831, 0.00787325, 0.0101572, 0.0107128, 0.0091177, 0.0114016, 0.0119572, 0.00965103, 0.011935, 0.0124905, 0.00951029, 0.0117942, 0.0123498, 0.004393, 0.00667695, 0.00723251, 0.00623745, 0.0085214, 0.00907695, 0.00748189, 0.00976584, 0.0103214, 0.00801523, 0.0102992, 0.0108547, 0.00787449, 0.0101584, 0.010714}



ξ ={15,13,30,12,14,3,90,45,9,6,75,60,27,28,29,10,11,18,24,42,87,21, 44,43,2, 57,8,1,7,72,89,88,5,59,39,26,33,74,58,4,25,36,73,84,54,69,78,48,41,23,51, 81,63,66,40,17,22,20,56,86,71,38,16,19,55,85,37,70,35,32,53,68,83,34,50, 52,47,31,65,67,80,62,82,49,77,46,64,79,61,76}

g = {0.0783594, 0.0614338, 0.00253916, 0.168442, 0.108825, 0.00772084, 0.0841907, 0.0742798, 0.00613882, 0.0222847, 0.0258482, 0.00113206, 0.000218115, 0.0018495, 0.0000545288, 0.465158, 0.350948, 0.0289454, 0.480967, 0.382024, 0.0465821, 0.365556, 0.276404, 0.0332469, 0.178008, 0.136064, 0.0141773, 0.0164937, 0.0195337, 0.000582179, 0.759213, 0.588257, 0.143805, 0.674059, 0.569507, 0.188695, 0.531015, 0.452478, 0.12631, 0.337646, 0.261696, 0.0379541, 0.0568817, 0.0520531, 0.00464058, 0.925916, 0.741288, 0.247115, 0.888378, 0.698005, 0.289683, 0.720221, 0.611753, 0.218248, 0.498434, 0.400103, 0.0677764, 0.16072, 0.117107, 0.0115724, 0.985286, 0.846085, 0.31036, 0.948166, 0.782865, 0.323298, 0.80461, 0.634135, 0.2298, 0.547897, 0.432304, 0.0909924, 0.196914, 0.15253, 0.00945328, 1., 0.90611, 0.236934, 0.966792, 0.825361, 0.300019, 0.865007, 0.653721, 0.206097, 0.511963, 0.414774, 0.0417531, 0.101374, 0.0967266, 0.00333789}


Пример. Оптимальный портфель в терминах -опционов C и опционов CXY, CXZ, CYZ, CX, CY, CZ.

G = i,j,k gijkB[i,j,k] = 0.0783594 U+0.652028 C[1,1,1]–0.328364 C[1,1,2]–0.323664 C[1,1,3]–1.10107 C[1,2,1]+1.44477 C[1,2,2]–0.343699 C[1,2,3]+0.82855 C[1,3,1]–0.620154 C[1,3,2]–0.208396 C[1,3,3]+0.148284 C[1,4,1]–0.123879 C[1,4,2]–0.0244049 C[1,4,3]–0.527796 C[1,5,1]–0.372368 C[1,5,2]+0.900163 C[1,5,3]–0.0767373 C[2,1,1]+0.62022 C[2,1,2]–0.543483 C[2,1,3]+0.708291 C[2,2,1]–2.3426 C[2,2,2]+1.6343 C[2,2,3]–1.51307 C[2,3,1]+1.51614 C[2,3,2]–0.00307589 C[2,3,3]+0.647775 C[2,4,1]+0.365485 C[2,4,2]–1.01326 C[2,4,3]+0.233736 C[2,5,1]–0.15925 C[2,5,2]–0.0744859 C[2,5,3]–1.38698 C[3,1,1]+0.769723 C[3,1,2]+ 0.617259 C[3,1,3]+1.83324 C[3,2,1]–1.24058 C[3,2,2]–0.592661 C[3,2,3]+0.140683 C[3,3,1]–0.368137 C[3,3,2]+ 0.227454 C[3,3,3]–1.06554 C[3,4,1]+1.05961 C[3,4,2]+ 0.00592486 C[3,4,3]+0.478598 C[3,5,1]–0.220621 C[3,5,2]–0.257976 C[3,5,3]+0.582709 C[4,1,1]–0.941666 C[4,1,2]+ 0.358957 C[4,1,3]–2.19114 C[4,2,1]+3.45283 C[4,2,2] –1.2617 C[4,2,3]+2.02687 C[4,3,1]–2.44481 C[4,3,2] + 0.417943 …


… C[4,3,3]–0.0483658 C[4,4,1]–1.3254 C[4,4,2]+ 1.37377 C[4,4,3]–0.370073 C[4,5,1]+1.25905 C[4,5,2]–0.888973 C[4,5,3]–0.0122262 C[5,1,1]+0.882652 C[5,1,2]–0.870426 C[5,1,3]+0.264223 C[5,2,1]–1.33637 C[5,2,2]+ 1.07215 C[5,2,3]–0.0892028 C[5,3,1]+0.400438 C[5,3,2]–0.311235 C[5,3,3]–0.108355 C[5,4,1]+1.23585 C[5,4,2]–1.12749 C[5,4,3]–0.0544399 C[5,5,1]–1.18256 C[5,5,2]+1.237 C[5,5,3] +0.241208 C[6,1,1]–1.00256 C[6,1,2] +0.761356 C[6,1,3] +0.486448 C[6,2,1]+0.0219495 C[6,2,2]–0.508398 C[6,2,3]–1.39383 C[6,3,1]+1.51652C[6,3,2]–0.122691 C[6,3,3] + 0.4262C[6,4,1]–1.21166 C[6,4,2]+0.785463 C[6,4,3]+ 0.239974 C[6,5,1]+0.675756 C[6,5,2]–0.91573 C[6,5,3]+

1.16039 CX[1]–0.278228 CX[2]–0.382058 CX[3]–0.321999 CX[4]–0.133967 CX[5]–0.0441426 CX[6]–0.557048 CXY[1,1]+ 0.32335 CXY[1,2]–0.70862 CXY[1,3]–0.103536 CXY[1,4]+ 1.04585 CXY[1,5]–0.20018 CXY[2,1]+0.226632 CXY[2,2]+ 0.872213 CXY[2,3]–0.74719 CXY[2,4]–0.151475 CXY[2,5]+ 1.11436 CXY[3,1]–1.09546 CXY[3,2]–0.188378 CXY[3,3]+ 0.636744 CXY[3,4]–0.467259 CXY[3,5]–0.353993 CXY[4,1]+ …


… +0.726858 CXY[4,2]–0.421669 CXY[4,3]+0.376403 CXY[4,4]–0.327599 CXY[4,5]+0.0262043 CXY[5,1]+0.102564 CXY[5,2]–0.589306 CXY[5,3]+ 0.113018 CXY[5,4] +0.34752 CXY[5,5]–0.0293391 CXY[6,1]–0.28394 CXY[6,2]+ 1.03576 CXY[6,3]–0.275439 CXY[6,4]–0.447041 CXY[6,5]–0.43778 CXZ[1,1]–0.746203 CXZ[1,2]+1.18398 CXZ[1,3]+ 0.182425 CXZ[2,1]+ 0.450533 CXZ[2,2]–0.632958 CXZ[2,3]+ 0.193832 CXZ[3,1]+ 0.133447 CXZ[3,2]–0.327279 CXZ[3,3]+ 0.265944 CXZ[4,1]–0.229177 CXZ[4,2]–0.0367664 CXZ[4,3]–0.000523427 CXZ[5,1]–0.413023 CXZ[5,2]+0.413546 CXZ[5,3]–0.203897 CXZ[6,1]+ 0.804424 CXZ[6,2]–0.600527 CXZ[6,3]+ 0.225206 CY[1]–0.435833 CY[2]+0.0558623 CY[3]+0.0995985 CY[4]+0.0551665 CY[5]–0.160091 CYZ[1,1]+ 0.00180529 CYZ[1,2]+ 0.158286 CYZ[1,3]+0.346488 CYZ[2,1]–0.0645896 CYZ[2,2]–0.281898 CYZ[2,3]–0.135867 CYZ[3,1]+ 0.175099 CYZ[3,2]–0.0392312 CYZ[3,3]–0.0577742 CYZ[4,1]–0.0191148 CYZ[4,2]+ 0.076889 CYZ[4,3]+0.00724528 CYZ[5,1]–0.0931996 CYZ[5,2]+ 0.0859543 CYZ[5,3]–0.0253885 CZ[1]–0.0629535 CZ[2]+ 0.088342 CZ[3].

(Всего k1k2k3+k1k2+k1k3+k2k3+k1+k2+k3+1=168 компонент)


Пример. Портфельные доходы при z=-2/3A=0.280863, R=0.339289, y=0.208021


-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.75

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Пример. Портфельные доходы при z=0A=0.280863, R=0.339289, y=0.208021


-1

-0.5

0

0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

0.2

0.4

0.6

-1

-0.5

0

0.5

1

Пример. Портфельные доходы при z=2/3A=0.280863, R=0.339289, y=0.208021


-1

-0.5

0

0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

-1

-0.5

0

0.5

1


1 21 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 2

; ;

; ; ; ;

1 2

: , .

Смешанный тип

,

, , , , , 1.. , ; 1 .

l l

i i i ii i k k

k k k k

j

k

l l l

i i i i i i

k j i

i i i

Предварительная замена h l N

i i i N L j k k N

Автоматизированная система построения базисов

O O

O O O A

U

A

1 2

1 2

1 2

1 1 2 2

, , 1 2;, ,

, ,

; ; ;

, , , , , , 1.. , ,

max 0, , , ; 1.

Однотипный случай (единый для всех базисных инструментов вектор )

i i ik

j j jk

k

j j

k k

j j k j ij i i i

j j j j j j j

i i i i

x i i i N L j k k N

x x L j N

U

O O O A

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2

;

1 2

; , 1 2, , ,

,

,

, , , , , 1.. , , 1 .

, , , , , , 1.. , ,

max 0, , , 1.. ; 1.

k k

j

k k j j

k

j

i i

k j i

i i i j j k j ij i i i

j j j j j j j

i i i N L j k k N

x i i i N L j k k N

x x L j n

U

A

U


1 2

, , ,

1, 2, 1, 2,

1; 2; 1;

{ , }, 1, 1, 1,2

, 1; , 1 ; 1,2, , страйк;

, , ; 1 .

1; ; ,

l

l

l l l l l

i j ij i i j j

ij i j i i

l

l i j

x y x


Тип опциона

O O O

O O A O A O A U

U A A

1 2

2;

1; 1 1; 1 2; 2 2; 2

1, 2, ; 1 2

1, ,1; 2, ,2; 1 2

;

max 0, , 1.. ; max 0, , 1.. .

[ 1 2 1, 1 0,1 ]

, 2 0..3;

, , , 0,1; 1 .

1;

j j

i i i j

i j ij ij

i i i j j j

y

x x i y y j

A

Смешанный тип

O O A A

O A B O A B U

U A

1 2 1 1 2 2

1

2

; ,1; ,2; ,1; ,1; ,2; ,2;

,1; 1 1; 1

,2; 2 2; 2

; , ;

max 0, , 1.. ;

max 0, , 1.. .

ij i j i i j j

i i

j j

x y x y

x x i

y y j

B B


1 2 3

1, 2, 3, 1, 2,

Трансформации одномерных опционов в многомерные:

{ , , }, 1, 1, 1..3; , , страйк.

; ,l

i j k ijk i j ij

l i j k


Однотипные базисы и портфели.

O O O A O O A

1, 3, 2, 3,

1, 2, 3,

1; 2; 3;

1; 2; 1; 3; 2; 3;

1; 2;

, ;

, , ; 1 .

Трансформации опционов в платежные функции:

;

, , ;

, ,

i k i k j k jk

i ij j i k k ij

ijk i j k

ij i j i k i k jk j k

i i j j

x y z

x y x z y z

x y

O O A O O A

O A O A O A U

A

A A A

A A A

3;

1; 1 1; 1

2; 2 2; 2

3; 3 3; 3

; 1;

max 0, , 1.. ;

max 0, , 1.. ;

max 0, , 1.. .

k k

i i

j j

k k

z

x x i

y y j

z z k

U


31 2

1 2

1 2 3

1, 2, 3, ; 1 2 3

1, 2,

{ , , }, 1, 1, 1..3; 1 2 1, 1 0,1 .

1 ; , 4 2 0..7, 0,1;

l

i j k ijk ijk l

i j ij

l


Смешанный базис и портфель

U O O O A A

O O A B

31

32

1 2 3 1 2

; 1 2 1, 3, ; 1 3

2, 3, ; 2 3

1, ,1; 2, ,2; 3, ,3;

; ,1; ,2; ,3; ,3; ,1; ,

, 2 ; , 2 ;

, 2 ;

, , .

;

ij i k i k ik

j k jk jk

i i i j j j k k k

ijk i j k ij ix y z x

O O A B

O O A B

O A C O A C O A C

A B

1 3 2 3

1 1 2 2 3 3

1

2

3

2;

,2; ,1; ,3; ,1; ,2; ,3;

,1; ,1; ,2; ,2; ,3; ,3;

,1; 1 1; 1

,2; 2 2; 2

,3; 3 3;

,

, ;

, , ; 1;

max 0, , 1.. ;

max 0, , 1.. ;

max 0, , 1..

j

ik i k jk j k

i i j j k k

i i

j j

k k

y

x z y z

x y z

x x i

y y j

z z k

B B

C C C U

3.

Многомерный ζ-рынок

1 1 1

, - бинарные опционы типа колл, пут со страйком ;

; ; ; ; 1, ; 0, .

:

, 1,

, 2.. 1,

x x Mx x x x x x M x M

U U

U U

Одномерные сценарные базисные инструменты

U U U

D U U U U U U U

U 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1

1

, .

:

, 1 ; 1 , ;

, , 2.. 1;

1 , 1 1.

mc c c c

-

U U

Генераторы сценарных базисов

U U U U

U U U U

U U

Генератор n мерных сценарных базисных инструме

,1..

:

, , , , .ll nl n

нтов

D

Многомерный ζ-рынок

1 21 2

1 1 2 2 1 2 1 2; ; ; ;

1 2

Смешанный тип. Построение базиса и портфеля

,

, , , , 1.. , ; 1 .

Вычисление доходов от

i i i ii i k k

k k k k

j

i i i i i i

k j ii i i N L j k k N


U U U Z

U

1 2

1 2 1 2 1 2

1 1

, , 1 2; , ,

, , 0

;

портфеля

, , , , , 1.. , ,

, , ; 1.

Однотипный случай (вектор един для всех базисных инструментов)

i i ik

j j jk k k

j j j j j

j j k j ii i i j i i i

j j j j jx

i i

x i i i N L j k k N

x x L j N

Z

U

U U

2 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

; ; ;

1 2

; , 1 2, ,

, 0

,

, , , , 1.. , , 1 .

, , , , , 1.. , ,

, , 1.. ; 1.

k k k k

j

k k j jk

j j j j

i i i i

k j i

i i i j j k j ij i i i

j j j j jx

i i i N L j k k N

x i i i N L j k k N

x x L j n

U Z

U

Z

U

Двумерный ζ-рынок

1 2

, , , ,

1, 2, 1, 2,

1; 2; 1

Тип опциона { , }, 1, 1, 1,2

, 1; , 1 ; 1,2, - страйк;

, , , 1 ;

1; ;

l l

l

l l l l l l

i j ij i i j j

ij i j i

l

l

x y


U U U U

U U Z U Z U Z U

U Z Z

1 1; 2 2;

1 2

; 2;

1; 1 2; 20 0

1, 2, ; 1 2

1, ; 2, ; 1 2

, ;

, 1.. ; , 1.. .

Смешанный тип [ 1 2 1, 1 0,1 ]

, 2 0..3;

, , , 0,1; 1 .

1;

i j

i j j

i ix y

i j ij ij

i i i j j j

x y

x x i y y j

Z

U U Z Z

U Z Z U Z Z U

U Z

1 2

1 1 2 2

1 1 1;

2 2 2;

; ,1; ,2;

,1; ,1; ,2; ,2;

,1; 10

,2; 20

;

, .

, 1.. ;

, 1.. .

i

j

ij i j

i i j j

i x

i y

x y

x y

x x i

y y j

X X

Одномерная преамбула (2 слайда)Сценарные базисы:• α={–1}; D1 = Z0;1; Di = –Z0;i–1 + Z0;i, 0<i<ν1; Dν1 = U – Z0;ν1–1; • α={+1}; D1 = U – Z1;1; Di = Z1;i–1 – Z1;i, 0<i<ν1; Dν1 = Z1;ν1–1; • mix: D1 = Z0;1; Di = –Z0;i–1 + Z0;i, 0<i<ic; Dic = U – Z0;ic–1 – Z1;ic;

Di = Z1;i–1 – Z1;i, ic<i<ν1; Dν1 = Z1;ν1–1. Пример рынка: X=[–1,+1); p(x)=17/30–x2/5, c(x)=13/24+x/15–x2/8, x X.p = {0.0808, 0.0936, 0.1032, 0.1096, 0.1128, 0.1128, 0.1096, 0.1032,

0.0936, 0.0808};c = {0.076, 0.0866667, 0.0953333, 0.102, 0.106667, 0.109333, 0.11,

0.108667, 0.105333, 0.1};

Однотипные ζ-портфели:G– = 0.00652864 U – 0.323169 Z0;1 – 0.19575 Z0;2 + 0.35487 Z0;3 +

0.269606 Z0;4 + 0.125524 Z0;5 + 0.100076 Z0;6 + 0.0728621 Z0;7 + 0.0466464 Z0;8 + 0.0238867 Z0;9.

G+ = 0.481081 U + 0.323169 Z1;1 + 0.19575 Z1;2 – 0.35487 Z1;3 – 0.269606 Z1;4 – 0.125524 Z1;5 – 0.100076 Z1;6 – 0.0728621 Z1;7 – 0.0466464 Z1;8 – 0.0238867 Z1;9.


Смешанный ζ-портфельGm = 0.375524 U – 0.323169 Z0;1 – 0.19575 Z0;2 + 0.35487 Z0;3 +

0.269606 Z0;4 – 0.125524 Z1;5 – 0.100076 Z1;6 – 0.0728621 Z1;7 – 0.0466464 Z1;8 – 0.0238867 Z1;9.


1 0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Платежные функции ζ- (слева) и α- (справа) портфелей

1 0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Однотипные ζ-базисыα = {-1,-1}

D1,1 = Z1,1; D1,j = –Z1,j–1 + Z1,j; D1,n2 = Z1,∙ – Z1,n2–1; Di,1 = –Zi–1,1 + Zi,1; Di,j = Zi–1,j–1 – Zi–1,j – Zi,j–1 + Zi,j; Di,n2 = –Zi–1,∙ + Zi–1,n2–1 + Zi,∙ – Zi,n2–1; Dn1,1 = Z∙,1 – Zn1–1,1;Dn1,j = –Z∙,j–1 + Z∙,j + Zn1–1,j–1 – Zn1–1,j; Dn1,n2 = U – Z∙,n2–1 – Zn1–1,∙ + Zn1–1,n2–1;

α = {-1,+1}D1,1 = –Z1,1 + Z1,∙;D1,j = Z1,j–1 – Z1,j;D1,n2 = Z1,n2–1;Di,1 = Zi–1,1 – Zi–1,∙ – Zi,1 + Zi,∙;Di,j = –Zi–1,j–1 + Zi–1,j + Zi,j–1 – Zi,j;Di,n2 = –Zi–1,n2–1 + Zi,n2–1;Dn1,1 = U – Z∙,1 + Zn1–1,1 – Zn1–1,∙;Dn1,j = Z∙,j–1 – Z∙,j – Zn1–1,j–1 + Zn1–1,j;Dn1,n2 = Z∙,n2–1 – Zn1–1,n2–1;


Однотипные ζ-базисы (продолжение) α = {+1,-1}

D1,1 = –Z1,1 + Z∙,1;D1,j = Z1,j–1 – Z1,j – Z∙,j–1 + Z∙,j;D1,n2 = U – Z1,∙ + Z1,n2–1 – Z∙,n2–1;Di,1 = Zi–1,1 – Zi,1;Di,j = –Zi–1,j–1 + Zi–1,j + Zi,j–1 – Zi,j;Di,n2 = Zi–1,∙ – Zi–1,n2–1 – Zi,∙ + Zi,n2–1;Dn1,1 = Zn1–1,1;Dn1,j = –Zn1–1,j–1 + Zn1–1,j;Dn1,n2 = Zn1–1,∙ – Zn1–1,n2–1;

α = {+1,+1}D1,1 = U + Z1,1 – Z1,∙ – Z∙,1;

D1,j = –Z1,j–1 + Z1,j + Z∙,j–1 – Z∙,j;D1,n2 = –Z1,n2–1 + Z∙,n2–1;Di,1 = –Zi–1,1 + Zi–1,∙ + Zi,1 – Zi,∙;Di,j = Zi–1,j–1 – Zi–1,j – Zi,j–1 + Zi,j;Di,n2 = Zi–1,n2–1 – Zi,n2–1;Dn1,1 = –Zn1–1,1 + Zn1–1,∙;Dn1,j = Zn1–1,j–1 – Zn1–1,j;Dn1,n2 = Zn1–1,n2–1.


Смешанный ζ-базисD1,1 = Z0;1,1;D1,j = –Z0;1,j–1 + Z0;1,j, 0<j<jc;D1,jc = X01;1 – Z0;1,jc–1 – Z1;1,jc;D1,j = Z1;1,j–1 – Z1;1,j, jc<j<ν2;D1,ν2 = Z1;1,ν2–1;Di,1 = –Z0;i–1,1 + Z0;i,1, 0<i<ic;Di,j = Z0;i–1,j–1 – Z0;i–1,j – Z0;i,j–1 + Z0;i,j, 0<i<ic, 0<j<jc;Di,jc = –X01;i–1 + X01;i + Z0;i–1,jc–1 – Z0;i,jc–1 + Z1;i–1,jc – Z1;i,jc, 0<i<ic;Di,j = –Z1;i–1,j–1 + Z1;i–1,j + Z1;i,j–1 – Z1;i,j, 0<i<ic, jc<j<ν2;Di,ν2 = –Z1;i–1,ν2–1 + Z1;i,ν2–1, 0<i<ic;Dic,1 = X02;1 – Z0;ic–1,1 – Z2;ic,1;Dic,j = –X02;j–1 + X02;j + Z0;ic–1,j–1 – Z0;ic–1,j + Z2;ic,j–1 – Z2;ic,j, 0<j<jc;Dic,jc = U – X01;ic–1 – X02;jc–1 – X11;ic – X12;jc + Z0;ic–1,jc–1 + Z1;ic–1,jc + + Z2;ic,jc–1 + Z3;ic,jc;Dic,j = X12;j–1 – X12;j – Z1;ic–1,j–1 + Z1;ic–1,j – Z3;ic,j–1 + Z3;ic,j, jc<j<ν2;Dic,ν2 = X12;ν2–1 – Z1;ic–1,ν2–1 – Z3;ic,ν2–1;Di,1 = Z2;i–1,1 – Z2;i,1, ic<i<ν1;Di,j = –Z2;i–1,j–1 + Z2;i–1,j + Z2;i,j–1 – Z2;i,j, ic<i<ν1, 0<j<jc;Di,jc = X11;i–1 – X11;i – Z2;i–1,jc–1 + Z2;i,jc–1 – Z3;i–1,jc + Z3;i,jc, ic<i<ν1;Di,j = Z3;i–1,j–1 – Z3;i–1,j – Z3;i,j–1 + Z3;i,j, ic<i<ν1, jc<j<ν2;Di,ν2 = Z3;i–1,ν2–1 – Z3;i,ν2–1, ic<i<ν1;Dν1,1 = Z2;ν1–1,1;Dν1,j = –Z2;ν1–1,j–1 + Z2;ν1–1,j, 0<j<jc;Dν1,jc = X11;ν1–1 – Z2;ν1–1,jc–1 – Z3;ν1–1,jc;Dν1,j = Z3;ν1–1,j–1 – Z3;ν1–1,j, jc<j<ν2;Dν1,ν2 = Z3;ν1–1,ν2–1.


Однотипные ζ-портфелиα = {–1,–1}G = 0.00291333 U + 0.148254 Z1,1 – 0.110094 Z1,2 – 0.0250311 Z1,3 – 0.0911473 Z1,4 –

0.00637467 Z1,∙ + 0.191975 Z2,1 – 0.0450216 Z2,2 – 0.284921 Z2,3 – 0.071839 Z2,4 – 0.0332358 Z2,∙ – 0.0507364 Z3,1 + 0.0389278 Z3,2 – 0.11065 Z3,3 – 0.135449 Z3,4 – 0.0302145 Z3,∙ + 0.194617 Z4,1 – 0.159717 Z4,2 – 0.0041513 Z4,3 + 0.0460336 Z4,4 + 0.0422501 Z4,∙ – 0.185724 Z5,1 + 0.203401 Z5,2 + 0.174681 Z5,3 + 0.137661 Z5,4 + 0.0249853 Z5,∙ – 0.316456 Z∙,1 + 0.0380221 Z∙,2 + 0.291708 Z∙,3 + 0.126627 Z∙,4;

α ={–1,+1}G = 0.142816 U – 0.148254 Z1,1 + 0.110094 Z1,2 + 0.0250311 Z1,3 + 0.0911473 Z1,4 –

0.0843927 Z1,∙ – 0.191975 Z2,1 + 0.0450216 Z2,2 + 0.284921 Z2,3 + 0.071839 Z2,4 – 0.243042 Z2,∙ + 0.0507364 Z3,1 – 0.0389278 Z3,2 + 0.11065 Z3,3 + 0.135449 Z3,4 – 0.288122 Z3,∙ – 0.194617 Z4,1 + 0.159717 Z4,2 + 0.0041513 Z4,3 – 0.0460336 Z4,4 + 0.119032 Z4,∙ + 0.185724 Z5,1 – 0.203401 Z5,2 – 0.174681 Z5,3 – 0.137661 Z5,4 + 0.355005 Z5,∙ + 0.316456 Z∙,1 – 0.0380221 Z∙,2 – 0.291708 Z∙,3 – 0.126627 Z∙,4;

α = {+1,–1}G = 0.000323704 U – 0.148254 Z1,1 + 0.110094 Z1,2 + 0.0250311 Z1,3 + 0.0911473 Z1,4 +

0.00637467 Z1,∙ – 0.191975 Z2,1 + 0.0450216 Z2,2 + 0.284921 Z2,3 + 0.071839 Z2,4 + 0.0332358 Z2,∙ + 0.0507364 Z3,1 – 0.0389278 Z3,2 + 0.11065 Z3,3 + 0.135449 Z3,4 + 0.0302145 Z3,∙ – 0.194617 Z4,1 + 0.159717 Z4,2 + 0.0041513 Z4,3 – 0.0460336 Z4,4 – 0.0422501 Z4,∙ + 0.185724 Z5,1 – 0.203401 Z5,2 – 0.174681 Z5,3 – 0.137661 Z5,4 – 0.0249853 Z5,∙ – 0.0180708 Z∙,1 – 0.0344813 Z∙,2 + 0.0416362 Z∙,3 + 0.011887 Z∙,4;


Однотипные ζ-портфели(продолжение)α = {+1,+1}G = 0.00129482 U + 0.148254 Z1,1 – 0.110094 Z1,2 – 0.0250311 Z1,3 –

0.0911473 Z1,4 + 0.0843927 Z1,∙ + 0.191975 Z2,1 – 0.0450216 Z2,2 – 0.284921 Z2,3 – 0.071839 Z2,4 + 0.243042 Z2,∙ – 0.0507364 Z3,1 + 0.0389278 Z3,2 – 0.11065 Z3,3 – 0.135449 Z3,4 + 0.288122 Z3,∙ + 0.194617 Z4,1 – 0.159717 Z4,2 – 0.0041513 Z4,3 + 0.0460336 Z4,4 – 0.119032 Z4,∙ – 0.185724 Z5,1 + 0.203401 Z5,2 + 0.174681 Z5,3 + 0.137661 Z5,4 – 0.355005 Z5,∙ + 0.0180708 Z∙,1 + 0.0344813 Z∙,2 – 0.0416362 Z∙,3 – 0.011887 Z∙,4.

Смешанный ζ-портфельG = 0.566396 U – 0.122553 X01;1 – 0.389996 X01;2 – 0.3583 X02;1 + 0.120634 X02;2

+ 0.276313 X11;3 – 0.0841324 X11;4 – 0.337327 X11;5 – 0.351588 X12;3 – 0.174873 X12;4 + 0.148254 Z0;1,1 – 0.110094 Z0;1,2 + 0.191975 Z0;2,1 – 0.0450216 Z0;2,2 + 0.0250311 Z1;1,3 + 0.0911473 Z1;1,4 + 0.284921 Z1;2,3 + 0.071839 Z1;2,4 + 0.0507364 Z2;3,1 – 0.0389278 Z2;3,2 – 0.194617 Z2;4,1 + 0.159717 Z2;4,2 + 0.185724 Z2;5,1 – 0.203401 Z2;5,2 – 0.11065 Z3;3,3 – 0.135449 Z3;3,4 – 0.0041513 Z3;4,3 + 0.0460336 Z3;4,4 + 0.174681 Z3;5,3 + 0.137661 Z3;5,4.


Платежные функции ζ- (слева) и α- (справа) портфелейПример: X=Y=[–1,1); p(x,y) = 13/36 – x2/6 - y2/6;

c(x,y) = 37/120 – (x+1/2)2/20 – (y–1/2)2/20.


10.5

00.5

1 1

0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.751

10.5

00.5

1

10.5

00.5

1 1

0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.751

10.5

00.5

1

Трехмерный ζ-рынок

1 2 3 1, 2, 3,

1, 2, 1, 3, 2, 3,

1, 2, 3,

Трансформации одномерных опционов в многомерные:

{ , , }, 1, 1, 1..3. ;

, , ;

, , ; 1

i j k ijk

i j ij i k i k j k jk

i ij j i k k ij

Однотипные базисы и портфели.

U U U Z

U U Z U U Z U U Z

U Z U Z U Z

1 1;

2 2;

1; 2; 3;

1; 2; 1; 3; 2; 3;

1; 2; 3;

1; 10

2; 0

.


;

, , ;

, , ; 1;

, 1.. ;

,

i

j

ijk i j k

ij i j i k i k jk j k

i i j j k k

i x

j y

x y z

x y x z y z

x y z

x x i

y y

U

Z

Z Z Z

Z Z Z U

3 3;

2

3; 30

1.. ;

, 1.. .k

k z

j

z y k


31 2

1 2 1 2

31

1, 2, 3, ; 1 2 3

1, 2, ,3; 1 2

1, 3,

Трансформации одномерных опционов в многомерные [ 1 2]:

, 4 2 0..7; 1 ;

, 2 0..3;

i j k ijk ijk

i j ij ij

i k i k

Смешанные базис и портфели

U U U Z Z U

U U Z X

U U Z

1 3

3 2 32

1

,2; 1 3

2, 3, ,1; 2 3

1, ; 2, ; 3, ; 1 2 3

; ,1;

, 2 0..3;

, 2 0..3;

, , , , , 0,1.


ik

j k jk jk

i i i j j j k k k

ijk

X

U U Z X

U Z Y U Z Y U Z Y

Z

2 3 1 2

1 3 2 3

1 1 2 2 3 3

1 21 1; 2 2;

,2; ,3; ,3; ,1; ,2;

,2; ,1; ,3; ,1; ,2; ,3;

,1; ,1; ,2; ,2; ,3; ,3;

,1; 1 ,1;0 0

; ,

, ;

, , ; 1;

, 1.. ;i j

i j k ij i j

ik i k jk j k

i i j j k k

i jx y

x y z x y

x z y z

x y z

x x i y y

X

X X

Y Y Y U

3 3 3;

2

,1; 30

, 1.. ;

, 1.. .k

k z

j

z z j

Однотипный базис α = {-1,+1,-1} D1,1,1 = –Z1,1,1 + Z1,∙,1;D1,1,k = Z1,1,k–1 – Z1,1,k – Z1,∙,k–1 + Z1,∙,k;D1,1,n3 = –Z1,1,∙ + Z1,1,n3–1 + Z1,∙,∙ – Z1,∙,n3–1;D1,j,1 = Z1,j–1,1 – Z1,j,1;D1,j,k = –Z1,j–1,k–1 + Z1,j–1,k + Z1,j,k–1 – Z1,j,k;D1,j,n3 = Z1,j–1,∙ – Z1,j–1,n3–1 – Z1,j,∙ + Z1,j,n3–1;D1,n2,1 = Z1,n2–1,1;D1,n2,k = –Z1,n2–1,k–1 + Z1,n2–1,k;D1,n2,n3 = Z1,n2–1,∙ – Z1,n2–1,n3–1;Di,1,1 = Zi–1,1,1 – Zi–1,∙,1 – Zi,1,1 + Zi,∙,1;Di,1,k = –Zi–1,1,k–1 + Zi–1,1,k + Zi–1,∙,k–1 – Zi–1,∙,k+ Zi,1,k–1 – Zi,1,k – Zi,∙,k–1 + Zi,∙,k;Di,1,n3 = Zi–1,1,∙ – Zi–1,1,n3–1 – Zi–1,∙,∙ + Zi–1,∙,n3–1 – Zi,1,∙+ Zi,1,n3–1 + Zi,∙,∙ – Zi,∙,n3–1;Di,j,1 = –Zi–1,j–1,1 + Zi–1,j,1 + Zi,j–1,1 – Zi,j,1;Di,j,k = Zi–1,j–1,k–1 – Zi–1,j–1,k – Zi–1,j,k–1 + Zi–1,j,k– Zi,j–1,k–1 + Zi,j–1,k + Zi,j,k–1 – Zi,j,k;Di,j,n3 = –Zi–1,j–1,∙ + Zi–1,j–1,n3–1 + Zi–1,j,∙– Zi–1,j,n3–1 + Zi,j–1,∙ – Zi,j–1,n3–1 – Zi,j,∙+ Zi,j,n3–1;Di,n2,1 = –Zi–1,n2–1,1 + Zi,n2–1,1;Di,n2,k = Zi–1,n2–1,k–1 – Zi–1,n2–1,k – Zi,n2–1,k–1+ Zi,n2–1,k;Di,n2,n3 = –Zi–1,n2–1,∙ + Zi–1,n2–1,n3–1+ Zi,n2–1,∙ – Zi,n2–1,n3–1;Dn1,1,1 = –Z∙,1,1 + Z∙,∙,1 + Zn1–1,1,1 – Zn1–1,∙,1;Dn1,1,k = Z∙,1,k–1 – Z∙,1,k – Z∙,∙,k–1 + Z∙,∙,k – Zn1–1,1,k–1+ Zn1–1,1,k + Zn1–1,∙,k–1 – Zn1–1,∙,k;Dn1,1,n3 = U – Z∙,1,∙ + Z∙,1,n3–1 – Z∙,∙,n3–1 + Zn1–1,1,∙– Zn1–1,1,n3–1 – Zn1–1,∙,∙ + Zn1–1,∙,n3–1;Dn1,j,1 = Z∙,j–1,1 – Z∙,j,1 – Zn1–1,j–1,1 + Zn1–1,j,1;Dn1,j,k = –Z∙,j–1,k–1 + Z∙,j–1,k + Z∙,j,k–1 – Z∙,j,k+ Zn1–1,j–1,k–1 – Zn1–1,j–1,k – Zn1–1,j,k–1+ Zn1–1,j,k;Dn1,j,n3 = Z∙,j–1,∙ – Z∙,j–1,n3–1 – Z∙,j,∙ + Z∙,j,n3–1– Zn1–1,j–1,∙ + Zn1–1,j–1,n3–1 + Zn1–1,j,∙– Zn1–1,j,n3–1;Dn1,n2,1 = Z∙,n2–1,1 – Zn1–1,n2–1,1;Dn1,n2,k = –Z∙,n2–1,k–1 + Z∙,n2–1,k+ Zn1–1,n2–1,k–1 – Zn1–1,n2–1,k;Dn1,n2,n3 = Z∙,n2–1,∙ – Z∙,n2–1,n3–1 – Zn1–1,n2–1,∙+ Zn1–1,n2–1,n3–1.


Однотипный портфель α = {-1,+1,-1} G = 0.289683 U + 0.0719458 Z1,1,1 + 0.0272048 Z1,1,2 – 0.012455 Z1,1,∙ –

0.0321013 Z1,2,1 + 0.030143 Z1,2,2 + 0.0117531 Z1,2,∙ + 0.0345458 Z1,3,1 + 0.0890676 Z1,3,2 + 0.0140629 Z1,3,∙ + 0.0405706 Z1,4,1 + 0.079818 Z1,4,2 + 0.0128194 Z1,4,∙ – 0.118757 Z1,∙,1 – 0.241163 Z1,∙,2 – 0.0264062 Z1,∙,∙ – 0.0215768 Z2,1,1 + 0.100317 Z2,1,2 – 0.024241 Z2,1,∙ + 0.0680832 Z2,2,1 – 0.0710925 Z2,2,2 + 0.0542442 Z2,2,∙ – 0.0706414 Z2,3,1 – 0.00383163 Z2,3,2 + 0.0640917 Z2,3,∙ + 0.0458567 Z2,4,1 + 0.0690593 Z2,4,2 + 0.0194166 Z2,4,∙ – 0.0414198 Z2,∙,1 – 0.12514 Z2,∙,2 – 0.117872 Z2,∙,∙ – 0.0318548 Z3,1,1 + 0.00379276 Z3,1,2 – 0.0000836123 Z3,1,∙ – 0.0578945 Z3,2,1 + 0.0736296 Z3,2,2 – 0.00403864 Z3,2,∙ + 0.0985276 Z3,3,1 – 0.128407 Z3,3,2 + 0.0711606 Z3,3,∙ – 0.0589642 Z3,4,1 + 0.0717031 Z3,4,2 + 0.0190402 Z3,4,∙ + 0.01891 Z3,∙,1 – 0.0689503 Z3,∙,2 – 0.0930104 Z3,∙,∙ – 0.0370363 Z4,1,1 – 0.0115829 Z4,1,2 + 0.0290238 Z4,1,∙ – 0.0205342 Z4,2,1 – 0.0355973 Z4,2,2 + 0.029957 Z4,2,∙ – 0.0673051 Z4,3,1 + 0.0659939 Z4,3,2 – 0.00519868 Z4,3,∙ + 0.0658495 Z4,4,1 – 0.018446 Z4,4,2 + 0.0188696 Z4,4,∙ + 0.0454268 Z4,∙,1 – 0.0342641 Z4,∙,2 – 0.0705325 Z4,∙,∙ – 0.025263 Z5,1,1 + 0.0187494 Z5,1,2 + 0.00260173 Z5,1,∙ – 0.063479 Z5,2,1 + 0.0102523 Z5,2,2 + 0.00883539 Z5,2,∙ + 0.0111043 Z5,3,1 + 0.0303057 Z5,3,2 + 0.00680955 Z5,3,∙ + 0.03298 Z5,4,1 + 0.0681921 Z5,4,2 – 0.0328081 Z5,4,∙ + 0.0453105 Z5,∙,1 – 0.0807015 Z5,∙,2 + 0.0206768 Z5,∙,∙ + 0.0695667 Z∙,1,1 – 0.11311 Z∙,1,2 + 0.0103359 Z∙,1,∙ + 0.0712005 Z∙,2,1 – 0.0472814 Z∙,2,2 – 0.102333 Z∙,2,∙ – 0.0376786 Z∙,3,1 – 0.0830138 Z∙,3,2 – 0.155933 Z∙,3,∙ – 0.13053 Z∙,4,1 – 0.290278 Z∙,4,2 – 0.0384152 Z∙,4,∙ + 0.0938903 Z∙,∙,1 + 0.616427 Z∙,∙,2.


Смешанный портфельG = 0.452478 U + 0.0245874 X01;1,1 + 0.0707072 X01;2,1 – 0.0789124 X02;1,1 +

0.00508658 X02;2,1 – 0.0147498 X03;1,1 – 0.0418961 X03;1,2 – 0.076076 X03;2,1 + 0.0168483 X03;2,2 – 0.102151 X11;1,2 + 0.00100312 X11;2,2 + 0.183815 X12;1,2 + 0.0959155 X12;2,2 + 0.103131 X13;1,3 + 0.0926374 X13;1,4 + 0.0602601 X13;2,3 + 0.0884759 X13;2,4 + 0.00464822 X21;3,1 – 0.0906644 X21;4,1 + 0.0708394 X22;3,1 + 0.0121438 X22;4,1 + 0.0434315 X22;5,1 + 0.00370915 X23;3,1 + 0.0695909 X23;3,2 + 0.0174409 X23;4,1 – 0.00564038 X23;4,2 + 0.0213511 X23;5,1 + 0.0190877 X23;5,2 + 0.115122 X31;3,2 + 0.168829 X31;4,2 + 0.00847208 X32;3,2 – 0.0814444 X32;4,2 – 0.0516998 X32;5,2 + 0.0572467 X33;3,3 – 0.0907433 X33;3,4 – 0.0607952 X33;4,3 – 0.000423563 X33;4,4 – 0.0371152 X33;5,3 – 0.035384 X33;5,4 – 0.210923 Y01;1 – 0.183784 Y01;2 + 0.0602733 Y02;1 + 0.0665762 Y02;2 + 0.108243 Y03;1 + 0.0886606 Y11;3 + 0.0929961 Y11;4 + 0.0195858 Y11;5 – 0.198283 Y12;3 – 0.202142 Y12;4 – 0.331363 Y13;2 – 0.0719458 Z0;1,1,1 + 0.0321013 Z0;1,2,1 + 0.0215768 Z0;2,1,1 – 0.0680832 Z0;2,2,1 + 0.0272048 Z1;1,1,2 + 0.030143 Z1;1,2,2 + 0.100317 Z1;2,1,2 – 0.0710925 Z1;2,2,2 + 0.0345458 Z2;1,3,1 + 0.0405706 Z2;1,4,1 – 0.0706414 Z2;2,3,1 + 0.0458567 Z2;2,4,1 – 0.0890676 Z3;1,3,2 – 0.079818 Z3;1,4,2 + 0.00383163 Z3;2,3,2 – 0.0690593 Z3;2,4,2 – 0.0318548 Z4;3,1,1 – 0.0578945 Z4;3,2,1 – 0.0370363 Z4;4,1,1 – 0.0205342 Z4;4,2,1 – 0.025263 Z4;5,1,1 – 0.063479 Z4;5,2,1 – 0.00379276 Z5;3,1,2 – 0.0736296 Z5;3,2,2 + 0.0115829 Z5;4,1,2 + 0.0355973 Z5;4,2,2 – 0.0187494 Z5;5,1,2 – 0.0102523 Z5;5,2,2 – 0.0985276 Z6;3,3,1 + 0.0589642 Z6;3,4,1 + 0.0673051 Z6;4,3,1 – 0.0658495 Z6;4,4,1 – 0.0111043 Z6;5,3,1 – 0.03298 Z6;5,4,1 – 0.128407 Z7;3,3,2 + 0.0717031 Z7;3,4,2 + 0.0659939 Z7;4,3,2 – 0.018446 Z7;4,4,2 + 0.0303057 Z7;5,3,2 + 0.0681921 Z7;5,4,2.


Платежные функции ζ- (слева) и α- (справа)портфелей при z = - 2/3

Рынок: X=Y=Z=[-1,1); p(x,y,z) = 7/40 – x2/20 – y2/20 – z2/20;c(x,y,z) = 27/160 – (x+1/2)2/40 – (y–1/2)2/40 – (z–1/2)2/40.


10.5

00.5

1 1

0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.751

10.5

00.5

1

10.5

00.5

1 1

0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.751

10.5

00.5

1

Платежные функции ζ- (слева) и α- (справа)портфелей при z = +2/3

Рынок: X=Y=Z=[-1,1); p(x,y,z) = 7/40 – x2/20 – y2/20 – z2/20;c(x,y,z) = 27/160 – (x+1/2)2/40 – (y–1/2)2/40 – (z–1/2)2/40.


10.5

00.5

1 1

0.5

0

0.5

1

00.10.20.3

10.5

00.5

1

10.5

00.5

1 1

0.5

0

0.5

1

00.10.20.3

10.5

00.5

1

Комбинированные рынки

1 2 1 1 2

2 1 2 1 2

1X 1 Y 2

1;

: , , , . , 1 .

: , ; , ,

, ; 1 .

: , , 1.

: : i ij

Unique market x y dxdy c x y x y r

Splitting x y x y c x x c x y dy

c y y c x y dx r

Alternative markets c x r c x c y r c y

CombiMarket M I j J

U D D U

D D D D U

U D

i

X Y

Y

X

С X Y

С X С Y

X;

X 1; X

1Y 2 Y

V X Y

1; 1; X; 1;

1; 1; 1; X; 1

.

1st market : , .

2nd market : , .

: , , .

: , , 1 ;

, ,

i ij

k

i ij i ij i ij J j J

ij ij ij i i i i

c x x r

c y y r

Virtualization general scheme c x y x y c x c y

DiscreteMarkets p p c c r c c

p c p c p

D

D

D

С X

С Y

; X;

1; X;

11; X; 1; 1; X; 1;

, .

2,1 - : : ;

, , ; , .

i i

i ij i ij

c c c c c mi i i i i i i i i ij i ij i

c i I

Combining portfolio i M I j J

c p p c c p c p c m c c p p j J

Пример 1. X=Y=[–1,1]; x X, y Y; n1=20, n2=15; p(x,y) = 13/36 – x2/6 – y2/6;c(x,y) = 37/120 – (x+1/2)2/20 – (y–1/2)2/20.


Платежные функции сценарных 2d- и1dτ-портфелей (слева и справа соответственно)

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.75

1

-1

-0.5

0

0.5

1

1 0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Платежные функции сценарных (2,1)d-портфелей,построенных по упрощенному (слева) и строгому

(справа) методам соответственно


-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.75

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.75

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Пример 2. X=Y=[–1,1]; x X, y Y; n1=20, n2=15; p(x,y) = 3/10 – 3(x–y)2/40; c(x,y) = 29/100 – 3(x+y)2/50.


Платежные функции сценарных 2d- и1dτ-портфелей (слева и справа соответственно)

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.75

1

-1

-0.5

0

0.5

11 0.5 0.5 1

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Платежные функции сценарных (2,1)d-портфелей,построенных по упрощенному (слева) и строгому

(справа) методам соответственно


-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.75

1

-1

-0.5

0

0.5

1

-1

-0.5

0

0.5

1-1

-0.5

0

0.5

1

00.250.5

0.75

1

-1

-0.5

0

0.5

1

Таблица значений A, R, y для релевантных портфелей

Пример 1. τ=0.87; {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}• 2-dim: {0.273791, 0.335295, 0.224638}• 1-dim: {0.318633, 0.361624, 0.134922}

• 1-dim (rx): {0.277211, 0.361624, 0.304508}

• (2,1) simplified: {0.262105, 0.335284, 0.279199}• (2,1) rigorous: {0.273995, 0.350872, 0.280574}

Пример 2. τ=0.75; {0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0}• 2-dim: {0.239719, 0.335227, 0.398416}• 1-dim: {0.35538, 0.360141, 0.0133969}

• 1-dim (rx): {0.266535, 0.360141, 0.351196}

• (2,1) simplified: {0.219755, 0.335211, 0.525386}• (2,1) rigorous: {0.227555, 0.34579, 0.519586}


Портфели: одномерный – зеленая линия, смешанный – синяя.

Задачи: (2,1) – слева, (1,1) – справа. Примеры: 1 – сверху, 2 – снизу.


0.1 0.2 0.3 0.4 0.51

0.2

0.4

0.6

0.8

1

yield

0.1 0.2 0.3 0.4 0.51

0.2

0.4

0.6

0.8

1

yield

0.05 0.1 0.15 0.21

0.15

0.25

0.3

0.35

0.4

yield

0.05 0.1 0.15 0.21

0.15

0.25

0.3

0.35

0.4

yield

Сравнение рисунков с предыдущего слайда обнаруживает большее расхождение не по задачам ((2,1)d и (1,1)d), а по примерам рынков. В каждом примере графики для обеих задач качественно весьма похожи друг на друга. Расхождения, если они и есть, носят количественный характер. Меньшее значение доходности для (1,1)d- по сравнению с (2,1)d‑рынком в примере 2 в сравнении с примером 2′ обусловлено тем, что независимое задание цен смягчает противопоставление прогнозной и ценовой плотностей, свойственное примеру 2.

В примере 1′ существует такое критическое значение τcr(0.92,0.93), что при всех τ < τcr предпочтительны портфели из базисных инструментов исключительно одномерного рынка; при этом для τ > τcr предпочтительны портфели из базисных инструментов исключительно двумерного рынка (без "примеси" инструментария собственно одномерного рынка).

В примере 2′ при всех значениях τ оказываются предпочтительными портфели из базисных инструментов комбинированного двумерного (реального или виртуализованного) и одномерного рынков.


Предполагается, что на n-периодном рынке обращаются зависящие от траектории опционы (path-dependent options). Их платежные функции определяются в общем случае всей траекторией движения цены базового актива.

Пусть x = (x1,x2,…,xn) и ς = (ς1,ς2,…,ςn) – векторы соответственно цен базового актива xi и страйков ςi, iI={1,2…,n}, α = (α1,α2,…,αn) – набор чисел –1 и +1 в любом порядке, характеризующий тип опциона. Среди всех зависящих от траектории опционов выделяются α-опционы A(ς;α) с платежной функцией a(x;ς;α) = ∏iImax(0,αi(xi–ςi)). В соответствии с определением их свойства заимствуются у однопериодных многомерных α-опционов.

• По существу, лучше было бы оперировать не самими ценами актива, а его разностными (xi–xi–1) или относительными (xi/xi–1) ценами (в зависимости от ставок) с включением x0.

• Необязательно требовать присутствия на рынке всех 2n α-опционов для каждого ςn. Как и в однопериодном случае, достаточно, чтобы множество страйков, для которых определен хотя бы один тип -опциона, совпадало с n.

Многопериодный рынок

Рынок многопериодных δ-инструментов


, , , прогнозная п.в. траектории цены базового актива;

( ) , , вероятностная мера, ;

-инструмент с платежной функцией , , ;

, , рыночная цена , , ;

( ) ,

n

ni I iM

n

n

n

M

p

M p d M d dx

c c p

M c d M

x x

x x x

D x x

x x D x D x x D x x

x x

X X

P X

X

X

C X

, ценовая мера;

портфель δ-инструментов;

, , платежная функция портфеля ;

, цена , ср. доход ;

индикатор множества , ;

единичный безрисковый

n

n n

n

n

n

M

n

g d

g

g d g c d

M d M M M

d

G D

x x G

G x D x x x x x G G G G

H D x x H

U H D x x

X

X X

X

X

X C

X

актив;

1 , безрисковый относительный доход;

, , функция относительных доходов.

nn

n

c d r r

p c

U x x

x x x x

XC X

X

Рынок многопериодных α-опционов


, , , п.в. траектории цены базового актива, 1;

, , рыночная цена δ-инструмента , 1 ;

: ; ; δ-портфель;

; , ; , max 0, , -опцион с парамет

n

n n

n n

i N i i

i N i i i

p

c r

d x s g d

a x s

x x

x D x x D x

D s x s x s G s D s s

A s x s X

X X P X

X С X

1

рами ( , ),

, произвольный -вектор с компонентами +1 (колл) и 1 (пут);

; ;

: 0 2 -ант ;

;; , ; , , ,

;

n

n

n

i N i i i

n n n ni i i

n

i N in

n

n

x s c d

i I x s

as s

0

s

s

s

s

A s x x

s x s x

A sA s x s x

A s H s

X

2

2 21

, ; при ;

;; , ; , ,

; , ; .

n

n

n

F r

a xs s

c c r

A s s s

A sA s s x s

A s D s A s s s

СС



,, ,

\

1,2, , , : 1 ; , ; .

: 1 ;

: , ; , , , ; ;

( , ) : , \ ;

;

1

i

i

M i N

i L M

K K i K i ji K i j K i j

N ii

F cN n i N

r r

K i N

s i M i M K M N

L M L M N s i M L F F

F F F Fr

F Fr

1

s sA s A s

s s s s s

s s

A s s s s s

s s

С

С С

С С С С

С С

†\ ,, ,

1

;

1; .

Теоремы паритета α-опционов:

max 0, , max 0,

; , ; ;

; ,

KN i jK i j K i j

n

n

i i i i i i i N i i i N i i

i N i i i i N i i

F F

Fc c r

r s s

c x s p s x c p x s

s s r

s s

sA s D s s s

A s X U A s X

A s U

С С

С

; 1 .r A s



†

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1

Иллюстрация аналогии формулы стоимости "первой производной" α-опциона

со свойствами многомерных функций распределения для 2,3.

2 (вероятности для квадрантов) :

, , ;

, ,

n

n

x s x s F s s

x s x s F s

P

P

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1

1 2 1 2 1 2

, ;

, 1 , , , .

3 (вероятности для октантов) :

, , , , ;

, , , , , , ;

, , , ,

, , , , , ,

F s s

x s x s F s F s F s s

n

x s x s x s F s s s

x s x s x s F s s F s s s

x s x s x s F s

F s s F s s F s s

P

P

P

P

0 0

1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 2 1 3 2 3 1 2 3

1; 1 0 1; 0 1; 1 0 1; 0

0 1; 0 1; 0

, , ;

, , 1 , , , , , ,

, , , , , , , , .

1 , но 1 , 0 1;

; 1

k

n k k nk n k k n k n k k nx

k k n

F s s s

x s x s x s F s F s F s

F s s F s s F s s F s s s

r x r x k n

r r x r x r x r r

xU x x U

P

С X С X

1 10 0

11; 0 1; 0

1 0 1 0 1 0 1; 0 1 0 1 0 1; 0 1 0

f; ; 1 0 0 1 0 1; 0 0 1; 0

10 0 ; 0 0

, .

, , ;

1 ;

: ,

i ii

k k n

n n k k n k n kk k k n k

i i i i ii k i k i k i kx

k k i ik i k

x r r x r

c x rc x c x r x c x c r x c нуц

c x d c x r d r x

k n c c dx r c

x

x x x x x x x x

U U x x x x x

x x x x

X X

X 1

0 1 0 0 0 0 .ii k ix d r x r x x

X



2

Совместная ценовая плотность и безрисковый относительный доход для -периодных

и -периодных ( ) опционов соответственно:

;

-

n

ki

n

k k n

c rc r r

Согласование безрисковых о.д. для рынков, 0

A

i < k n

12

02 2 2 21 1

12 2

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 02 2 2 21 1

; ;, 1 ;

; ;, 1 .

Условия согласованности совместных ценовых плотностей (

n

k

nn n

n n

k k k k k k k

k k k k k k k

k k

r r d

c r c r r d

A A

A A

X

X

С X

С X

XY

XX 1 1 Y 2 2 1 2 XY Y

1 10 0 1 XY X Y X 1 XY Y 2 XY X 1 Y 2

следуют из теоретической

безарбитражности): | | ; 1 ,

, . , , ; ,

Форвардные безрисковые относительные доход

k kk

c x c x c y x x c y x

c c dx k n

x xX

0 0ы: : .

В -периодных α-опционах содержится вся информация относительно распределения

последовательности цен базового актива длины за исключением информации

о последовательности без

i k i k iik n r r r

n

n

рисковых относительных доходов за отдельные периоды.

Кроме того, для достаточно и обычных -периодных опционов.k n k



01 0

10

10

1; 1 1 1 0 1 1 0

1; 1 1; 1 1; 1 1 1 1; 1 1; 1 1

2 1 1; 1; 1 1 1

: , , 1 1 .

: ; ,

.

:

n

nk

k

n n n n ni xx

n k n k k n nn k k n k k k n k

x

n n n kk k k n k

x

Unique market d c x x r r

Splitting c c d

c c d

Alternative markets c

U D x x x D x U

D x D x D x x D x U x x

x U D x x x

X

X

X

С X

0

0

1X 1 1 1 Y 1 2 1

1 1 1; X;

s 1 0 1; 1 s 1 0

1f 1 0 1; 1 f 1 0

, , 1.

: : , .

Spot market : , .

Forward market : , .

k k n nk k

k nk

k k kk

x

n n nk k n k k

x

r c c r c

CombiMarket M n k

c x x r

c x x r

Virtualiza

i ij i ij

x x x x

i I I j J J

x D x

x D x

С X

С X

0V 1 0 1 s 1 0 f 1 0

1 1 1 0 1 0

V 1 0 s 1 0 fra

: : ;

: - и -рынки с ценами и : не ! ;

: ;

n n k nk

x

k n k n kk k k

n k

tion General case c x c x c x

Markov case c x c x NB

FRA case c x c x r

Process with independent increments special Markov case

x D x x x

x x x

x x

.

Пример (заимствуется из однопериодного трехмерного рынка). Формирование данных

X=Y=Z=[–1,1); xX, yY, zZ – последовательные цены.Задаются прогнозная и нормированная ценовая плотности:p(x,y,z) = 7/40 – x2/20 – y2/20 – z2/20;c*(x,y,z) = 27/160 – (x+1/2)2/40 – (y–1/2)2/40 – (z–1/2)2/40;p(x) = (17–6x2)/30 = yY, zZ p(x,y,z) dy dz;

c*(x) = (16–3x–3x2)/30 = yY, zZ c*(x,y,z) dy dz;

p(x,y) = (19–6x2–6y2)/60 = zZ p(x,y,z) dz;

c*(x,y) = (17 – 3x(1+x) + 3y(1–y))/60 = zZ c*(x,y,z) dz.

r = r03 – средний относительный доход за весь трехпериодный

горизонт инвестирования (>1); r0

1, r02 – средние относительные доходы за первый и первые два

периода инвестирования соответственно.Эти параметры задаются произвольно; с помощью них задаются

реальные (не нормированные) ценовые плотности, которые, вообще говоря, уже не вероятностные:

c(x,y,z) = c*(x,y,z)/r03; c(x) = c*(x)/r0

1; c(x,y) = c*(x,y)/r02;

при этом портфель остается прежним, а меняются лишь A и y.

Трехпериодный рынок

Пример. Оптимальный портфель в терминах -опционов C и опционов CXY, CXZ, CYZ, CX, CY, CZ.

G = i,j,k gijkB[i,j,k] = 0.0783594 U+0.652028 C[1,1,1]–0.328364 C[1,1,2]–0.323664 C[1,1,3]–1.10107 C[1,2,1]+1.44477 C[1,2,2]–0.343699 C[1,2,3]+0.82855 C[1,3,1]–0.620154 C[1,3,2]–0.208396 C[1,3,3]+0.148284 C[1,4,1]–0.123879 C[1,4,2]–0.0244049 C[1,4,3]–0.527796 C[1,5,1]–0.372368 C[1,5,2]+0.900163 C[1,5,3]–0.0767373 C[2,1,1]+0.62022 C[2,1,2]–0.543483 C[2,1,3]+0.708291 C[2,2,1]–2.3426 C[2,2,2]+1.6343 C[2,2,3]–1.51307 C[2,3,1]+1.51614 C[2,3,2]–0.00307589 C[2,3,3]+0.647775 C[2,4,1]+0.365485 C[2,4,2]–1.01326 C[2,4,3]+0.233736 C[2,5,1]–0.15925 C[2,5,2]–0.0744859 C[2,5,3]–1.38698 C[3,1,1]+0.769723 C[3,1,2]+ 0.617259 C[3,1,3]+1.83324 C[3,2,1]–1.24058 C[3,2,2]–0.592661 C[3,2,3]+0.140683 C[3,3,1]–0.368137 C[3,3,2]+ 0.227454 C[3,3,3]–1.06554 C[3,4,1]+1.05961 C[3,4,2]+ 0.00592486 C[3,4,3]+0.478598 C[3,5,1]–0.220621 C[3,5,2]–0.257976 C[3,5,3]+0.582709 C[4,1,1]–0.941666 C[4,1,2]+ 0.358957 C[4,1,3]–2.19114 C[4,2,1]+3.45283 C[4,2,2] –1.2617 C[4,2,3]+2.02687 C[4,3,1]–2.44481 C[4,3,2] + 0.417943 …


Пример. Портфельные доходы при z=2/3A=0.280863/r, R=0.339289, y=1.208021r –1


-1

-0.5

0

0.5

1 -1

-0.5

0

0.5

1

0

0.2

0.4

-1

-0.5

0

0.5

1

Принцип минимума доходности

Свойство 1. Если для некоторого выполняется (;) (;), для всех [0,1], , то для любой монотонно возрастающей и ограниченной функции () имеет место = min.

Свойство 2. Если задаче 1 = ((x), (x)), где c, p, соответствует функция (), то двойственной задаче 2 = ((x), (x)) соответствует функция *()=1–(–1)(1–), [0,1].

Свойство 3. Пусть функции 1() и 2() на отрезке [0,1] строго монотонно возрастают и не претерпевают скачков, причем 1() 2(), а 1

*() и 2*() – функции, получающиеся из 1() и

2() соответственно из свойства 2. Тогда и 1*() 2

*(), [0,1].

Свойство 4. Пусть семейства {1(;), 1} и {2(;), 1} порождены задачами 1() = {((x), (x–), 1)} и 2() = = {((x), (x–)), 1} соответственно и у первого семейства существует минимальный элемент 1(;1). Тогда функция 2

*(;2) = 1–1

(–1)(1–;1), 2 = –1, является минимальным элементом второго семейства.

1 1

0 0

1min 0

, ; , 1, ;

arg min arg max arg max ; .

R d A d y R A

y A d

Принцип минимума доходностиСвойство 5†. Функция () в задаче = ((x), (x)) с плотностями,

множества нулей которых имеют нулевую меру Лебега, строго вогнута.

Свойство 6†. Пусть p = P{(x)>0,(x)=0}, p = P{(x)=0,(x)>0}. Тогда функция () в задаче = ((x), (x)) имеет скачок в нуле величиной p и принимает постоянное значение, равное 1, на отрезке [1–p, 1] длины p. На (0, 1–p) функция () строго возрастает и вогнута (ее производная строго убывает).

Свойство 7†. Пусть p = P{(x)>0, (x)=0}, p = P{(x)=0,(x)>0}. Тогда функция () в задаче = ((x), (x)) не может иметь скачков кроме точки =0 и участков постоянства при ()1. ■

Приведенные утверждения можно с некоторыми оговорками и уточнениями распространить и на дискретные распределения, и на комбинации дискретных и непрерывных распределений.

Проверять принцип можно и на однопараметрических семействах распределения (Парето, полунормальное и пр.). В его пользу будет говорить равенство min = * (значение параметра для ценовой плотности) и, стало быть, тождество p(x,min) ≡ c(x,*).

† См. также разд. ″Процедура Неймана-Пирсона″.

Принцип минимума доходности Примеры [{,}, c, p; ()=]

Определение оптимального среднего Пример 1. (x) = ½exp(–|x|), (x) = ½exp(–|x–|/)/, x, <1,

=.

Решение. : min = 0 (;min)(;).Пример 2. (x)=½exp(–|x|), (x)=½((x–+s)+(x––s)), x, s>0,

=.

Решение. s > ln(2+1–1): min = s; s < ln(2+1–1): min = 0.Определение оптимального разброса Пример 3. (x) = R(0,2), (x) = R(,2s), x, , =s>0.

Решение. cr: (1–)(1+)=1; (,| >1 <1 & <cr): smin=1+; ow: smin=1–.

Пример 4. (x) – непрерывная симметричная плотность на отрезке [–1,1], (i) вогнутая на интервале (–1,1) или (ii) выпуклая на интервалах (–1,0) и (0,1); (x) = ½((x–+s)+(x––s)), x, , =s>0.

Решение. >1: smin=; (| ½<1): (i) smin=0, (2)>(0); smin=, (2)<(0); (ii) smin=1–, (2–1)+(1)>(0); smin=, (2–1)+(1)<(0); (| 0<½): (i) smin=0, (ii) smin=.

Принцип минимума доходности Примеры – общая дискретно-континуальная задача

p(), c, ρ() = (ρ1, ρ2, …, ρn), ρj = pj()/cj, – вектор относительных доходов; (;) = i–1 + i()(–i–1()), i–1()<≤i(), 0()=0, iI (в предположении C1).

Пример 5. c ≡ (1/6, 1/2, 1/3), p ≡ (3/4–, 1/4, ), 0≤≤3/4.Решение. min = argmin (;) = 1/2, p(min) = (1/4,1/4,1/2).

Пример 6. c ≡ (1/2, 1/2, 0), p ≡ (, 1–2, ), 0≤≤1/2; минимальной функции (;min) не существует.

Варианты:(1) () ≡ 1+, 0.Решение. : min = 1/3; p(min)=(1/3,1/3,1/3).

(2) () ≡ {1–+, 0≤≤1; {0, ≤1–1/; –+1, >1–1/}, >1}.Решение. cr=3–31/21.27. >cr: min = 0; p(min)=(0,1,0);

<cr: min = 1/3; p(min)=(1/3,1/3,1/3);.

(3) () ≡ . Решение. cr=ln2/(ln3–ln2)1.71. >cr: min = 0; p(min)=(0,1,0);

<cr: min = 1/3; p(min)=(1/3,1/3,1/3).

m – коэффициент, показывающий, какому количеству базовых акций соответствует один опцион (например 100);

– признак короткой позиции по базовому активу, т.е. = 1 для короткой позиции и = 0 – для длинной;

C0 – суммарные денежные средства на момент переформирования портфеля на маржевом счете и счете до востребования;

D0 – суммарная денежная задолженность инвестора перед брокером к моменту переформирования портфеля (возникает при покупке базового актива по маржевому счету);

Ds0 – задолженность инвестора перед брокером в акциях к моменту переформирования портфеля (возникает при короткой продаже базового актива);

A – портфель инвестора перед переформированием портфеля; f – комиссионные (fI, fT, fF – комиссионные при создании новой позиции,

трансформации портфеля и ликвидации позиции соответственно), f0 – вектор "удельных" комиссионных расходов для компонент портфеля;

n0, n1, …, nk – количества инструментов в портфеле; индекс "0" соответствует базовому активу в портфеле, остальные – опционам;

pm = (p0, p1, …, pk) – вектор рыночных цен всех инструментов из портфеля, средних между ценами покупателя и продавца;

= (0, 1,…, k) – вектор спредов цен продавца и покупателя; U – единичный портфель, тестируемый инвестором для

переформирования портфеля (например покрытая продажа колла);

Переформирование портфеля

B – портфель инвестора, получающийся в результате переформирования портфеля (B' – первая, грубая, оценка);

Eq – собственные средства в портфеле на маржевом счете при покупке базового актива по маржевому счету; Eq = 0 для короткой позиции по базовому активу;

Ed – депозит денежных средств на маржевом счете при короткой продаже базового актива по маржевому счету; Ed = 0 для длинной позиции по базовому активу;

Mis(N), Mio(N), Mi(N) = Mis(N) + Mio(N) – начальная маржа соответственно для базового актива портфеля N, опционной части портфеля и портфеля в целом (расходуется на покупку базового актива или служит обеспечением при короткой продаже и является чистым инвестиционным расходом); Mis(N) = Eq + Ed;

R – денежные средства, выделяемые инвестором в качестве резерва и откладываемые на счете до востребования для обеспечения возможных предстоящих выплат вариационной маржи брокеру на интервале инвестирования для поддержания позиции;

D1 – денежная задолженность инвестора перед брокером непосредственно после переформирования портфеля (возникает при покупке базового актива по маржевому счету);

Ds1 – задолженность инвестора перед брокером в акциях непосредственно после переформирования (возникает при короткой продаже базового актива);


T = T(A, B) – стоимость преобразования портфеля A в портфель B (деньги, потраченные на приобретение новых инструментов, за вычетом денег, полученных от продажи ненужных старых инструментов, плюс комиссионные), Ts(N), To(N), T(N) – стоимости построения с "нуля" фондовой части портфеля N, его опционной части и портфеля в целом соответственно.

S – денежные средства, получаемые при короткой продаже базовых акций, которые инвестор заимствует у брокера; эту сумму инвестор должен держать на маржевом счете до погашения акций (задолженности Ds1); для коротких акций S = –Ts(B);

In = Mi(N; p) + To(N) + f – чистая начальная инвестиционная сумма с резервом при построении портфеля N "с нуля" (используется при расчете доходности трансформации портфеля);

If = In + R – чистая начальная инвестиция, дополненная резервной суммой;

C1 = C0 – D0 + D1 – T(A, B) – суммарные денежные средства на обоих счетах инвестора сразу после переформирования портфеля;

Cm = – Ts(B) + Mis + Mio – необходимые денежные средства на маржевом счете сразу после переформирования портфеля;

Cd = C1 – Cm – денежные средства, которые сразу после трансформации портфеля можно направить на счет до востребования;

C1 = Cd – R – возникающие при переформировании портфеля излишки денежных средств, которых недостаточно, чтобы приобрести целый единичный портфель (балансовое соотношение);


Cn – суммарные денежные средства на обоих счетах на конец интервала инвестирования без учета вариационной маржи;

Следующие обозначения используются при оценивании доходности целевого портфеля. Заданные извне параметры:

– длина интервала инвестирования в годах; rm – маржевая процентная ставка;

rd – безрисковая процентная ставка по счету до востребования; d – дивиденды, выплачиваемые инвестором брокеру при короткой

продаже акций (d > 0) или получаемые на акции при их покупке (d < 0) на интервале инвестирования.

Переменные, определяемые на конец интервала инвестирования в зависимости от цены x базового актива:

x – цена базового актива в конце интервала инвестирования; Eq(x) – собственные средства в портфеле на маржевом счете при цене x

базового актива (требование возникает при покупке базового актива по маржевому счету); Eq(x) = 0 для короткой позиции по базовому активу;

Ed(x) – размер необходимого депозита денежных средств на маржевом счете при цене x базового актива (требование возникает при короткой продаже базового актива по маржевому счету); Ed(x) = 0 для длинной позиции по базовому активу;

Mm(x) – поддерживающая маржа;


a(x) (0), b(x) (0) – объемы денежных средств, которые инвестор должен вносить на маржевый счет и может изымать с маржевого счета соответственно; a(x) и b(x) не могут быть положительными одновременно;

Mvs(x), Mvo(x), Mv(x) = Mvs(x) + Mvo(x) – вариационная маржа соответственно для базовых акций, опционной составляющей портфеля и портфеля в целом; также Mv(x) = a(x) – b(x);

Isvm(x), Iovm(x), Ivm(x) = Isvm(x) + Iovm(x) – интегральные оценки на интервале инвестирования чистого инвестиционного расхода (с учетом временной стоимости денег), обусловленного вариационной маржей, соответственно для фондовой, опционной частей портфеля и портфеля в целом;

Q = mIvm(x) – эффективная (приведенная к началу временного интервала) оценка объема денежных средств, которые на рассматриваемом интервале инвестирования переводятся со счета до востребования на маржевый счет (при Q > 0) или обратно (при Q < 0) для погашения требований брокера по вариационной марже;

PB(x) – платежная функция портфеля B;

F(x) = Cn + PB(x) – Q(x)rd – капитал инвестора на конец интервала инвестирования;

Y(x) = (F(x) – Km)/(Km) – доходность трансформации портфеля за интервал инвестирования в годовом выражении.


Динамика маржевого счета для базового актива

Начальная маржа для длинной и короткой позиций задается соответственно параметрами μl < 1 и μs < 1, а поддерживающая – μml μl и μms μs; p – начальная цена базового актива, x – конечная.

Длинная позиция. Mis = Eq = μlp, M = 0, D = p – Eq = (1–μl)p, Eq(x) = x – (1–μl)p;

Eq(x) μmlx, a(x) = max[μmlx–Eq(x),0] = max[(1–μl)p–(1–μml)x, 0];

Eq(x) μlx, b(x) = max[Eq(x)–μlx,0] = max[(1–μl)(x–p),0];

p(1–μl)/(1–μml) < x < p status quo, Mv(x) = a(x) – b(x).

Короткая позиция.Mis = Ed = μsp, M = (1+μs)p, D = 0, Ed(x) = (1+μs)p – x;

Ed(x) μmsx; a(x) = max[μmsx–Ed(x),0] = max[(1+μms)x–(1+μs)p,0];

Ed(x) μsx; b(x) = max[Ed(x)–μsx,0] = max[(1+μs)(p–x),0];

p < x < p(1+μs)/(1+μms) status quo, Mv(x) = a(x) – b(x).


Упрощенная динамика собственных средств инвестора Δ = (μ–μm)p, 2/1 = a(x)/Δ, 2/ = a(x)/(a(x)+Δ); Isvm = a(x)/22/ = ½ a(x)/(1+Δ/a(x)) Isvm = ½ (a(x)/(1 + Δ/a(x)) – b(x)). Замечание. Для расчета Iovm достаточно положить Δ = 0.


0

Mi(x)

Mm(x)

E(x)

a(x)

b(x)

E(x)

Mi

Mm

E

t =1+2 1

A – портфель инвестора в текущий момент времени. Он состоит из нескольких лотов (по m = 100) акций и нескольких опционов колл и пут на эту акцию (каждый опцион на m акций). Изучается целесообразность перехода от A к портфелю B = qU где U – единичный портфель заданного типа, а q – целое число.

Вариационная маржа на момент трансформации позиции неизвестна и моделируется случайной величиной, зависящей от будущей цены базового актива. Для решения этой проблемы создается резерв на счете до востребования.

N = (n0, n1, …, nk) – портфель с n0 лотами акций и ni опционами i-го класса, iI = {1,2,…,k};

p = (p0, p1, …, pk) – совокупность рыночных цен всех инструментов из портфеля, средних между ценами покупателя и продавца;

= (0, 1, …, k), где i (>0) – спред цен для i-го инструмента; vm(N) – средняя стоимость портфеля N, s(N) – спред цен портфеля N; vl(N) – нижняя стоимость, получается при ликвидации портфеля по худшим для инвестора ценам;

vm(N) = inipi, s(N) = i|ni|δi, vl(N) = vm(N)–0.5s(N);f = (|N|, f0), где f0 – вектор удельных комиссионных для компонент

портфеля.


Шаг 1 находит величину резерва RU, необходимого для покрытия требований брокера по вариационной марже для U с вероятностью . Решается задача: Пусть цена актива x = LN(,), yi = (ln(xi)–)/ – i-квантиль для N(0,1), i = 1,2. Найти пару (x1,x2), такую что 2–1 = и RU min.

Шаг 2 оценивает располагаемый на текущий момент времени капитал инвестора. Оценки капитала Km = C0 – D0 + mvm(A), Kl = C0 – D0 + mvl(A) = Km – 0.5ms(A).

Шаг 3 определяет объем чистой начальной инвестиции In для построения портфеля U по худшим ценам, и сумму этой же инвестиции, но вместе с резервом: If = In + RU.

Шаг 4 находит портфель B' = q'U, q' – целое положительное число, который можно построить исходя из капитала Kl, q' = [Kl/(mIf)], и объем остаточных денежных средств ' = Kl – q'mIf.

Шаг 5 проводит одну итерацию располагаемого капитала с учетом сохранения части портфеля A. Количество любого инструмента в общей части G портфелей A и B' находится по правилу: ng = {0, nanb 0; sign[na]min[|na|,|nb|], nanb>0}, где na и nb – его количества в портфелях A и B' соответственно (иначе, ng = Median{0, na, nb}). Сохранение G из портфеля A для использования в портфеле B' сэкономит сумму = (|G|, δ). Поэтому K = Kl + m.


Шаг 6 проводит коррекцию полученного портфеля с учетом нового располагаемого капитала K (повторяет шаг 4). Имеем q = [K/(mIf)], B = qU, = K – qmIf.

Шаг 7 находит объем чистой начальной инвестиции (повторяет шаг 3) для портфеля B. Для него определяется и значение резерва: R = qRu.

Шаг 8 осуществляет фактическую трансформацию портфеля, т.е. определяет, что купить, что продать и сколько это будет стоить. Для портфеля N = A – B находятся его средняя стоимость vm(N) и суммарный спред цен s(N), а также рассчитываются комиссионные fT. По ним с использованием худших для инвестора цен стоимость трансформации портфеля T(A, B) = vm(N) + s(N)/2 + fT, где fT = (|N|, f0).

Шаг 9 определяет состояние денежных средств на обоих счетах непосредственно после трансформации портфеля. Суммарный объем денежных средств на обоих счетах C1 = C0 – D0 + D1 –T(A, B). Денежные средства на маржевом счете, включая сумму S = –Ts(B) в случае короткой позиции по акциям, Cm = S + Mis(B) + Mio(B) ( = 1 для короткой позиции, = 0 – для длинной). Денежные средства на счете до востребования Cd = C1 – Cm. Суммарный остаток денежных средств на счетах C1 = C1

– Cm – mR (он, как правило, положителен).


Шаг 10 дает оценку среднего капитала инвестора в конце периода и рассчитывает доходность трансформации. Средний капитал F(x) зависит от будущей цены x базового актива. В расчете используются средние цены между ценами покупателя и продавца.

F(x) = PB(x) + Cn – Q(x)rd;PB(x) = n0x + i=1,...,k (nci max[0, x – ei] + npi max[0, ei –x]);

Cn = C1 – D1(1+rm) – md – mfF + Cdrd;Q(x) = mIvm(x), где Ivm(x) – часть чистого инвестиционного расхода,

обусловленная вариационной маржей и зависящая от вида строящегося портфеля;

Y(x) = (F(x) – Km)/(Km). Замечание. Поскольку значение располагаемого капитала

варьируется в пределах от Km – 0.5ms(A) до Km + 0.5ms(A), относительная ошибка в определении доходности инвестиции за счет выбора Km не превысит ms(A)/(2Km). При сравнительном анализе всех вариантов переформирования ошибка в определении "наилучшего" целевого портфеля будет еще меньше. Учет фактора времени в последней формуле обязателен, когда сравниваются инвестиции в два портфеля, вообще говоря, с различными временными горизонтами.


Иллюстративные примеры: (1) покрытая продажа колла, (2) покрытая продажа пута В первом из них портфель "покрытая продажа колла"

трансформируется в портфель того же типа, но с бóльшим страйком у колла, а во втором – аналогичная операция проводится уже с портфелем "покрытая продажа пута". В первом примере осуществляется покупка базовой акции, а во втором – ее короткая продажа.

Общие данные: μl = μs = 0.5, μml = μms = 0.25, длительность года y = 365.25, процентная ставка по брокерскому кредиту rm = 0.1 (10%), ставка до востребования rd = 0.05 (5%), время до истечения срока опционов 91 день, или = 0.249144 года. Прогноз цены базовой акции – логнормальная случайная величина. Ее параметры: волатильность в годовом выражении = 0.3, средняя будущая цена p0 = 53.0 (равна текущей).

Цены покупателя и продавца также логнормальны. Их средние соответственно равны p0” = p0 + 0/2 = 53.8 и p0’ = p0 – 0/2 = 52.2, а волатильности совпадают с .

Все комиссионные равны нулю, равно как и дивиденды на рассматриваемом интервале времени.


Пример. Покрытая продажа коллаA = qo{1,–1,0}, qo = 37; компоненты портфеля с i=1,2 отвечают опционам

колл со страйками e1 = 50, e2 = 55; цены продавца и покупателя задаются векторами pm = {53.0, 5.0, 2.0} и δ = 2{0.8, 0.3, 0.1}; C0 = 55000, D0 = 100000, Ds0 = 0. A qU, U = {1, 0, –1}.

Шаги:#1. = 0.9; {p0” = 53.8, = 0.3} { = 3.95673, = 0.164717} {1 = 0.0 (с

высокой точностью), 2 = 0.9, x1 = 23.3471, x2 = 64.4549} Ru = 9.45488.

#2. s(A) = 81.4, Km = 132600.0, Kl = 128530.0.

#3. Ts = nsp0” = 53.8, Mis = Eq = μlTs = 26.9, D1 = Ts – Eq = 26.9; To = no(p2 – 2/2)= –1.9, Mio = nomax[p0” – e2, 0] = 0.0; Mi = Mis + Mio = 26.9; In = Mi + To = 25.0; If = In + Ru = 34.4549.

#4. q' = [Kl/(mIf)] = 37, B' = q'U = q'{1, 0, –1} = {37, 0, –37}, ' = Kl – q'mIf = 1046.93.

#5. A B' ={37, 0, 0}; = 59.2, K = 134450.0. #6. q = [K/(mIf)] = 39; B = qU = q{1, 0, –1} = {39, 0, –39}; = K – qmIf =

75.9547. #7. Ts = 2098.2, Mis = Eq = μlTs = 1049.1, D1 = 1049.1; To = –74.1, Mio = 0.0,

Mi = 1049.1, In = 975.0; R = qRu = 368.74.

#8. N = A – B = {2, 37, –39}; T = vm(N) = (N, pm) + (|N|, δ)/2 + fT = 229.6.


Пример. Покрытая продажа колла (продолжение)#9. C1 = 36950.0, Cm = 0, Cd = 36950.0 (здесь Cm = Mio), C1 = 75.9547; C1 –

= m0(qm – q') = 0 (здесь).

#10. PB(x) = m(39x – 39max[0, x–e2]) & {Ds1 = S = d = 0, C1 = Cd = 36950.0, D1 = 1049.1} Cn = –70113.5; Q(x) = mIvm (x), Ivm(x) = Ismv(x) + Iomv(x), Iomv(x) = Moi(x) – Moi = nommax[0, x – e2]; F(x) = PB(x) + Cn – Q(x)rd; Y(x) = (F(x) – Km)/(Km). На рис. представлены графики Ivm(x) (слева) и Y(x) (справа).


40 50 60

50

100

150

200

250

300

350

40 50 60

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

Пример. Покрытая продажа пута A = qo{–1,–1,0}, qo = 37; компоненты портфеля с i=1,2 отвечают опционам

пут со страйками e1 = 50, e2 = 55; цены продавца и покупателя задаются векторами pm = {53.0, 1.0, 4.0} и δ = 2{0.8, 0.1, 0.25}; C = 321000, D = 0, Ds = –37. A qU, U = {–1, 0, –1}.

Шаги:#1. = 0.9; {p0’ = 52.2, = 0.3} { = 3.94387, = 0.149743} {1 = 0.0 (с

высокой точностью), 2 = 0.9, x1 = 42.202, x2 = 72.8553} Ru = 9.99805.

#2. s(A) = 66.6, Km = 121200.0, Kl = 117870.0.

#3. Ts = ns p0’ = –52.2, Mis = Ed = –μlTs = 26.1, D1 = 0.0; To = no(p2 – 2/2) = –3.75, Mio = nomax[e2 – p0’, 0] = 2.8; Mi = Mis + Mio = 28.9; In = Mi + To = 25.15; If = In + Ru = 35.148.

#4. q' = [Kl/(mIf)] = 33, B' = q'U = q'{–1, 0, –1} = {–33, 0, –33}, ' = Kl – q'mIf = 1881.45.

#5. A B' = {–33, 0, 0}; = 52.8, K = 123150.0. #6. q = [K/(mIf)] = 35; B = qU = q{–1,0,–1} = {–35,0,–35}; = K – qmIf =

131.838. #7. Ts = –1827.0, Mis = Ed = –μlTs = 913.5, D1 = 0.0; To = –131.25, Mio = 98.0, Mi

= 1011.5, In = 880.25; R = qRu = 349.932.

#8. N = A – B = {2, 37, –35}; T = vm(N) = (N, pm) + (|N|, δ)/2 + fT = 17.05.


Пример. Покрытая продажа пута (продолжение)#9. C1 = 319295.0, Cm = 283850.0, Cd = 35445.0, (здесь Cm = S + Mi), C1 =

451.838; C1 – = m0(qm – q') = 320 (здесь).

#10. PB(x) = m(–35x – 35max[0, e2–x]) & {D1 = fF = d = 0, S = Ts(B) = –1827.0, C1, Cd} Cn = 319737.0; Q(x) = mIvm (x), Ivm(x) = max[Ismv(x), 0] + Iomv(x), Iomv(x) = Moi(x) – Moi = –nommax[0, e2–x]; F(x) = PB(x) + Cn – Q(x)rd; Y(x) = (F(x) – Km)/(Km). На рис. представлены графики Ivm(x) (слева) и Y(x) (справа).


50 55 60 65 70

-100

100

200

30050 55 60 65 70

-1.5

-1

-0.5

1. Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и критерий допустимых потерь (VaR). М.: ВЦ РАН, 2001. 34 с.

2. Агасандян Г.А. Об оптимальном поведении инвестора на рынке опционов / Труды Международной научно-практической конференции "Теория активных систем – 2001". Москва, 19-21 ноября 2001.

3. Агасандян Г.А. Многоступенчатый критерий VaR на реальном рынке опционов. М.: ВЦ РАН, 2002. 35 с.

4. Agasandian G.A. Optimal Behavior of an Investor in Option Market / International Joint Conference on Neural Networks. The 2002 IEEE World Congress on Computational Intelligence. Honolulu, Hawaii, Mai 12-17, 2002. P. 1859-1864.

5. Агасандян Г.А. Описание поведения инвестора на многопериодном рынке опционов. М.: ВЦ РАН, 2003. 29 с.

6. Агасандян Г.А. Применение инвесторами методов финансовой инженерии на рынке опционов / Труды Третьей международной конференции "Современные сложные системы управления (СССУ/HTCS‘ 2003)." Воронеж, 26-28 мая 2003.

7. Агасандян Г.А. Принцип минимума дохода для инвестора рынка опционов. М.: ВЦ РАН, 2004. 51 с.

CC-VaR: Литература

8. Агасандян Г.А. Новый подход к управлению портфелем ценных бумаг / Труды Четвертой международной конференции "Современные сложные системы управления (СССУ / HTCS‘ 2004)". Тверь, 24-25 мая 2004. С. 8-10.

9. Agasandian G.A. A portfolio management approach based on continuous VaR-criterion / Труды 4-й Московской международной конференции по исследованию операций (ORM2004). Москва, Сентябрь, 21-24, 2004. МАКС Пресс. С. 4-9.

10. Агасандян Г.А. Финансовая инженерия и континуальный критерий VaR на рынке опционов // Экономика и математические методы, 2005. Т. 41, №4. С. 88-98.

11. Агасандян Г.А. Спрэды и баттерфляи в оптимизации портфеля на рынке опционов / Труды Международной научно-практической конференции "Теория активных систем – 2005". Москва, ИПУ РАН, 16-18 ноября 2005. С. 170-171.

12. Агасандян Г.А. Многоступенчатый критерий VaR на произвольном однопериодном рынке. М.: ВЦ РАН, 2005. 45 с.

13. Агасандян Г.А. Принцип минимума относительного дохода на произвольном однопериодном рынке. М.: ВЦ РАН, 2006. 22 с.


14. Agasandian G.A. Some problems of using the multistage VaR-approach in real option markets / Труды 5-й Московской международной конференции по Исследованию Операций (ORM2007). Москва, 10-14 апреля 2007. МАКС Пресс. С. 292-293.

15. Агасандян Г.А. Особенности применения многоступенчатого критерия VaR на опционных рынках. М.: ВЦ РАН, 2007. 31 с.

16. Агасандян Г.А. Проблема переформирования портфеля ценных бумаг при наличии маржевых требований / Труды Международной научно-практической конференции "Теория активных систем – 2007". Москва, 14-15 ноября 2007. С.100-104.

17. Агасандян Г.А. О проблемах переформирования портфеля на опционных рынках. М.: ВЦ РАН, 2008. 38 с.

18. Агасандян Г.А. Проблемы управления денежными средствами на опционном рынке / Труды Восьмой международной конференции "Современные сложные системы управления (СССУ / HTCS‘ 2008)". Тверь, 6-7 мая 2008. Ч. 1. С. 7-12.


19. Агасандян Г.А. Модификация континуального критерия VaR для реального рынка опционов / Труды Восьмой международной конференции "Современные сложные системы управления (СССУ / HTCS‘ 2008)". Тверь, 6-7 мая 2008. Ч. 2. С. 31-35.

20. Агасандян Г.А. Континуальный критерий VaR при использовании коротких позиций на рынке опционов / Материалы Второй международной конференции "Управление развитием крупномасштабных систем". ИПУ РАН, 1-3 октября 2008. С. 189-191.

21. Агасандян Г.А. Континуальный критерий VaR – постановки задач и их решение. / Труды ИСА РАН "Динамика неоднородных систем". М.: ИСА РАН, 2008. Т. 39(1). С. 154-165.

22. Агасандян Г.А. Об адаптации континуального критерия VaR к дискретным рынкам. М.: ВЦ РАН, 2009. 42 с.

23. Агасандян Г.А. Основные теоретические схемы применения континуального критерия VaR. М.: ВЦ РАН, 2009. 33 с.


24. Агасандян Г.А. Основные парадигмы использования континуальной параметризации риска на финансовых рынках / Материалы Третьей международной конференции "Управление развитием крупномасштабных систем". ИПУ РАН, 1-3 октября 2009. С. 221-223.

25. Агасандян Г.А. Анализ корректности семейств функций рисковых предпочтений / Труды Международной научно-практической конференции "Теория активных систем – 2009". ИПУ РАН, 17-19 ноября 2009. Т. 2. С. 161-164.

26. Агасандян Г.А. Сравнительный анализ вариантов сценарного применения континуального критерия VaR / Труды Международной научно-практической конференции "Теория активных систем – 2009". ИПУ РАН, 17-19 ноября 2009. Т. 2. С. 165-168.

27. Агасандян Г.А. Рандомизация портфеля опционов при использовании континуального критерия VaR на дискретном рынке. М.: ВЦ РАН, 2010. 42 с.

28. Агасандян Г.А. О корректности семейств функций рисковых предпочтений инвестора для континуального критерия VaR. М.: ВЦ РАН, 2010. 32 с.


28. Агасандян Г.А. О свойствах семейств функций рисковых предпочтений инвестора для CC-VaR. / Труды 6-й Московской международной конференции по Исследованию Операций (ORM2010). Москва, 19-22 октября 2010. МАКС Пресс. С. 441-442.

29. Агасандян Г.А. Об эффективности рандомизации весов оптимального по континуальному критерию VaR портфеля. / Материалы Четвертой международной конференции "Управление развитием крупномасштабных систем" (MLSD'2010). ИПУ РАН, 4-6 октября 2010. С. 189-191.

30. Агасандян Г.А. О параметризации функций рисковых предпочтений инвестора для CC-VaR. / Материалы Четвертой международной конференции "Управление развитием крупномасштабных систем" (MLSD'2010). ИПУ РАН, 4-6 октября 2010. С. 189-191.

31. Агасандян Г.А. Многомерные финансовые рынки и CC-VaR. / Труды ИПУ РАН, Специальный выпуск "Управление большими системами – сборник "Сетевые модели в управлении". М.: ИПУ РАН, 2010. Т. 39(1). С. 154-165. ??


36. Агасандян Г.А. Применение CC-VaR к некоторым классам вероятностных распределений для базовых активов. М.: ВЦ РАН, 2011. 44 с.

37. Агасандян Г.А. О выборе опционного базиса при использовании CC-VaR на финансовых рынках. М.: ВЦ РАН, 2011. 46 с.

38. Агасандян Г.А. Применение континуального критерия VaR на финансовых рынках. М.: ВЦ РАН, 2011. 299 с.

39. Агасандян Г.А. Многомерные рынки, α-опционы и портфели двумерных опционов. М.: ВЦ РАН, 2012. 33 с.

40. Агасандян Г.А. Базисные баттерфляи на двумерных опционных рынках и построение оптимальных по CC-VaR портфелей. М.: ВЦ РАН, 2012. 37 с.

41. Агасандян Г.А. Базисные баттерфляи на трехмерных опционных рынках и построение оптимальных по CC-VaR портфелей. 2012. ?? с. Пример построения базиса из полных и усеченных баттерфляев и оптимального портфеля на трехмерном опционном рынке. М.: ВЦ РАН,



,, ,

†\ \ ,, ,

: 1 ; : , ; , , ,

; ; ( , ) : , \ ;

; 1

1

1 ;

i M i

N i L M

n

nK K i K i ji K i j K i j

nKN i N i ji K i j K i j

K i N s i M i M K M N

L M L M N s i M L F F

F F F F

F F F F

1

s s

s s s s s

A s

s s s s

s s s s

A

С С

С С С С

С С С С

1

\

; . :

, 1,; , ,

, 1.

Теоремы паритета:

; , ; ;

1 ;

i i

nn

i i iK i i j i ii K j N K

i i i

i N i i i i i N i i

i N i i i i N i i i

n

c F s s

ss K N s

s

x s s x x s

s s

s D s s s рынок

CA s O U O

P

A s X U A s X U

A s

С -

, 1 ; 1.

Существенно, что, вообще говоря, .

n

i N i i i i N i is s

U A s

X U X


†

1 1 2 2 1 2

1 1 2 2 1

Иллюстрация аналогии формулы стоимости "первой производной" α-опциона

со свойствами многомерных функций распределения для 2,3.

2 (вероятности для квадрантов) :

, , ;

, ,

n

n

x s x s F s s

x s x s F s

P

P

1 2

1 1 2 2 1 2 1 2

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3

1 1 2 2 3 3 1

1 2 1 2 1 2

, ;

, 1 , , , .

3 (вероятности для октантов) :

, , , , ;

, , , , , , ;

, , , ,

, , , , , ,

F s s

x s x s F s F s F s s

n

x s x s x s F s s s

x s x s x s F s s F s s s

x s x s x s F s

F s s F s s F s s

P

P

P

P

1 2 3

1 1 2 2 3 3 1 2 3

1 2 1 3 2 3 1 2 3

, , ;

, , 1 , , , , , ,

, , , , , , , , .

F s s s

x s x s x s F s F s F s

F s s F s s F s s F s s s

P


1,2, , индексное множество страйков для -го актива, ;

, 1|| множество "граничных" точек ;

1 м

i i

i N i i i

i N i i

I k i i N

s s k

s k

Дискретный рынок - многомерные базисные баттерфляи (аналог D(s))

s ;S S S

S

0

†1 0 1 0 0 1

†2 1 2 1 1 2

1 1 1

ножество "внутренних" точек ;

, вектор расстояний между соседними страйками;

; , , ; , ; , , ;

2 ;

2 ;

2

i

i i i

n n n n n

h i N

s i N i N i N

I

h

Z s A s s v s s v

Z s Z s v Z s Z s v

Z s Z s v Z s Z s v

Z s Z s v Z s Z

;

S

S

†

†

;

; нормированные -мерные баттерфляи ( );

их платежные функции (но не реальные цены!) не зависят от .

Если , вместо второй разности используется допустимая

n

n i N ih n

s v

B s Z s

s

S первая.


1 2

1 2 ; 1 2 1 2;

0 1 2

;

: , , , , , , ;

; , , . , , 1.. , 0.. ; ;

, ; 0, , 1. 1 , 1,2, ,

i n

i n n nii N

k k l n

k j k k j

M M j j j j N l k k n M N

M j M j M E j N

Дискретный рынок - многомерные базисные баттерфляи B s

s O A A

S

; ;0.. ;

11

2, , ,

;

2 .

; 1 2 ; 2 ;

2 ; 1 ; ;

1, ; 0, , , .

оп

kk j k

ii

i j k

n kiMk n M N E j M i N

n n ni ii N Ehi N

nni i j j k ki j N E E k N k N

i ij

n

h

v j i j i j N i N

Двумерные

B A

B s A s A s v

A s v v A s v

v

ционы ; при 1, 1 , 1, 1 , 1, 1 , 1, 1

обозначаются , , , соответственно. Также:

; платежная функция инструмента ; max 0, , min 0, ;

индикатор множества . Еще замена: , ; , .M

z z z z

x M x y s t

A s

C s S s F s P s

x W W

x s

Documents

Агасандян Г.А