第八节 函数的图象

三年 7 考 高考指数 :★★1. 在实际情境中，会根据不同的需要选择图象法、列表法、解析法表示函数 .2. 会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题 .3. 会用数形结合思想、转化与化归思想解决数学问题 .

1. 知式选图、知图选式解决函数的性质问题与作图是高考的热点 .2. 利用数形结合思想，借助相应函数的图象研究函数的性质 ( 单调性、奇偶性、最值、值域、交点、零点 ) 、方程与不等式的解等问题是命题的重点，也是求解的难点 .3. 题型以选择题、填空题为主，属中、高档题目 .

1. 六类基本初等函数的图象 函数 图象

一次函数 y=kx+b(k≠0)

二次函数 y=ax2+bx+c (a≠0)

x

y

o

（ k>0）（ 0,b） x

y

o

（ k<0）（ 0,b）

x

y

o

（ a>0）

bx=-2a

x

y

obx=-2a（ a<0）

函数 图象反比例函数

(k≠0)

指数函数y=ax（ a>0 且 a≠1 ）

ky=x x

y

o

(k>0)

x

y

o

(k<0)

x

y

o

(a>1)

x

y

o

(0<a<1)

1 1

函数 图象 对数函数 y= ㏒ ax（ a>0 且 a≠1 ）

幂函数 y=xα（ α=-1, 1 ， 2,3 ）

1 ,2

x

y

o x

y

o

(a>1) (0<a<1)

1

y

o

-2

-1

2

-1 x1 2-2

y=x-1

y=x-1

12y x

y=xy=x2

y=x3

11

【即时应用】(1) 下列四个图象是函数 y=log2x 的图象的是 ____________.

(2) 在同一平面直角坐标系中，函数 f(x)=ax 与 g(x)=ax 的图象可能是下列四个图象中的 _____________.

(3) 二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，则点所在的象限为 ____________.

cP(a, )b

【解析】 (1)①②为指数函数图象 .③④为对数函数图象，③中底数大于 1，④中底数大于 0小于 1. 由题中对数函数底数大于 1，知③正确 .(2) 由 g(x)=ax 结合图象知 a>0 且 a≠1，故 f(x)=ax 图象为过原点且上升的直线，故①④不正确，再结合②③，分析 0<a<1及 a>1 知，②正确 .

(3) 由图象知，图象的对称轴 又抛物线的开口向下，∴ a<0 ，于是 b>0 ，由 f(0)=c 知，抛物线与 y轴的交点为 (0,c).∴c>0 ，∴ >0, 故点 P(a, ) 在第二象限 .答案： (1)③ (2)② (3) 第二象限

b bx 0, 0.2a a

即

cb

cb

2. 函数图象间的变换(1) 平移变换

左移h 个单位（ h>0)

右移h 个单位（ h>0)

上移 k （ k>0)个单位

下移 k （ k>0)个单位

y=f(x)

y=f(x)+k

y=f(x+h) y=f(x-h)

y=f(x)-k

(2) 对称变换：①y=f(x) y=________;②y=f(x) y=________;③y=f(x) y=________;④y=ax(a>0 且 a≠1) y=________________(3) 翻折变换：①y=f(x) y=_______.②y=f(x) y=_______.

关于 x 轴对称关于 y 轴对称关于原点对称

关于 y=x 对称

-f(x)f(-x)

-f(-x)logax(a>0 且 a≠1)

保留 x 轴上方图象将 x 轴下方图象翻折上去

保留 y 轴右边图象，并作其关于 y 轴对称的图象

|f(x)|f(|x|)

(4) 伸缩变换：

①y=f(x) y=______.

②y=f(x) y=______.

a>1, 横坐标缩短为原来的 倍，纵坐标不变0<a<1, 横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变a>1, 纵坐标伸长为原来的 a 倍，横坐标不变

0<a<1, 纵坐标缩短为原来的 a 倍，横坐标不变

f(ax)af(x)

1a

1a

【即时应用】(1) 判断以下四个图象是否是函数 f(x)=log22x 与 g(x)=21-x 在同一坐标系下的大致图象 .( 请在括号中填写“是”或“否” )

(2) 已知下图 (1) 中的图象对应的函数为 y=f(x) ，则下图 (2)中的图象对应的函数在下列给出的四个式子中，可能是 _____.

①y=f(|x|) ②y=|f(x)|③y=-f(|x|) ④y=f(-|x|)(3) 若 f(a+x)=f(b-x),x∈R 恒成立，则函数 y=f(x) 的图象本身关于 ___________ 对称 .(4) 若方程 |ax|=x+a(a>0) 有两个解，则 a 的取值范围为 _____.

【解析】 (1)∵f(x)=log22x=1+log2x.∴f(x)=log22x 的图象是函数 f(x)=log2x 的图象向上平移 1个单位得到的；又∵ g(x)=21-x=( )x-1 ，∴g(x)=21-x 的图象是函数 g(x)=( )x 的图象向右平移 1个单位得到的 .因此③是，①②④都不是 .

12

12

(2) 从图象中可观察到：图 (2) 中的函数图象为一个偶函数的图象，∴排除②，又∵当 x≤0 时，图 (1) 与 (2) 中函数的图象一致，④正确 .(3) 由已知可得：关于直线 对称 .a bx

2

(4) 在同一坐标系中分别作出当 0<a<1,a=1,a>1 时， y=|ax|=a|x|(a>0) 与 y=x+a(a>0) 的图象如图示，由图象得出 a>1 时符合要求 .

答案： (1)①否②否③是④否 (2)④ (3) 直线 (4)(1,+∞)

a bx2

作函数的图象【方法点睛】作函数图象的方法(1) 直接法：当函数表达式 ( 或变形后的表达式 ) 是熟悉的函数或解析几何中熟悉的曲线的局部 ( 如圆、椭圆、双曲线、抛物线的一部分 ) 时，就可根据这些函数的奇偶性、周期性、对称性或曲线的特征直接作出 .

(2) 图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称和伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响 .

(3)描点法：当函数的表达式不适合用以上两种方法时，则可采用描点法，其一般步骤为：第一步：确定函数的定义域以限制图象的范围 .第二步：化简函数表达式 .第三步：讨论函数的性质 ( 如奇偶性、单调性、周期性、对称性等 ).第四步：列表 (尤其注意特殊点，如：零点、最高点、最低点及与坐标轴的交点 ).第五步：描点、连线 .

【提醒】当函数表达式是高次、分式、指数、对数及三角函数式等较复杂的结构时，常借助于导数探究图象的变化趋势从而画出图象的大致形状 .

【例 1 】作出下列函数的图象(1)y=elnx;

(2)y=|log2(x+1)|;

(3)y=a|x|(0<a<1);

(4)y=

(5)

【解题指南】对于 (1) 先求定义域，化简解析式，用直接法画图象；对于 (2) 、 (3) 和 (4) 可通过图象变换画出图象；对于(5) 可借助于导数用描点法作出其大致图象 .

2x 1;x 1

3 21y x x 3x.3

【规范解答】 (1)∵函数的定义域为 {x|x>0} 且 y=elnx=x(x>0) ，∴其图象如图 (1).

o

y

-1

1

x1 2-1

（ 1 ）

(2) 将函数 y=log2x 的图象向左平移一个单位，再将 x轴下方的部分沿 x轴翻折上去，即可得到函数 y=|log2(x+1)| 的图象，如图 (2).

x1-1

y

o

1

-1

（ 2 ）

(3) 方法一：∵所以只需作出函数 y=ax(0<a<1) 中 x≥0的图象和 中 x<0 的图象，合起来即得函数 y=a|x| 的图象 .如图 (3).方法二：作出 y=ax(0<a<1) 的图象，去掉 y轴左边图象，保留y轴右边图象，并作关于 y轴对称的图象，即得 y=a|x| 的图象，如图 (3).

x

x x

a ,x 0y 0 a 11a ( ) ,x 0

a

， ，

x1y ( ) (0 a 1)a

x1-1

y

o-1

1 (0,1)

（ 3 ）

(4)∵ 故函数图象可由 图象向右平移 1个单位，再向上平移 2个单位而得，如图 (4).

1y 2x 1

，1yx

x1 2 3-1

y

o

1

2

3

-1

（ 4 ）

(5)∵ ∴y′=x2-2x-3. 令 y′=0,得 x1=-1 ， x2=3 ，令 y′>0 ，得单调增区间为 (-∞,-1) 和 (3,+∞). 令 y′<0, 得单调减区间为 (-1 ， 3) ，所以函数在 x1=-1,x2=3 处取得极值分别为 和 -9 ，由此可得其图象大致如图 (5).

3 21y x x 3x,3

53

【反思·感悟】要准确作出函数的大致图象，需做到：(1) 熟练掌握六类基本初等函数的图象；(2) 掌握平移变换、对称变换、翻折变换、伸缩变换以及导数法等常用的方法技巧 .

识图与辨图【方法点睛】 1. 知图选式的方法(1)从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；(2)从图象的变化趋势，观察函数的单调性；(3)从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；(4)从图象的循环往复，观察函数的周期性 .利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项 .

2. 知式选图的方法(1)从函数的定义域，判断图象左右的位置；从函数的值域，判断图象上下的位置；(2)从函数的单调性 ( 有时可借助导数判断 ) ，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的极值点判断函数图象的拐点 .利用上述方法，排除、筛选错误与正确的选项 .

【提醒】注意联系基本函数图象的模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上也能寻找突破口．

【例 2 】 (1)(2012·南阳模拟 ) 函数 y=x+cosx 的大致图象是( )

(2)定义在 R 上的偶函数 f(x) 的部分图象如图所示，则在 (-2 ，0) 上，下列函数中与 f(x) 的单调性不同的是 ( )(A)y=x2+1

(B)y=|x|+1

(C)

(D)

3

2x 1,x 0y

x 1,x 0

x

x

e ,x 0y

e ,x 0

【解题指南】 (1) 对函数求导，利用排除法求解 .(2) 由 f(x)的奇偶性作出其在 (-2 ， 0) 上的图象 .由图象判断其单调性，再逐个验证选项中函数在 (-2 ， 0) 上的单调性是否与 f(x) 在(-2 ， 0) 上的单调性不同，从而作出判断 .

【规范解答】 (1) 选 B. 由 y=x+cosx, 得 y′=1-sinx, 令 y′=0, 得sinx=1 ，∴x=2kπ+ (k∈Z) ，即函数 y=x+cosx有无穷多个极值点，从而排除 C选项，又 x=0 时， y=1, 即图象应过 (0， 1) 点，再排除A，比较 B、 D与 y轴交点纵坐标与 的大小知应选 B.

2

2

(2) 选 C. 由奇偶性知函数 f(x) 在 (-2 ， 0) 上的图象如图所示：

则知 f(x) 在 (-2 ， 0) 上为单调减函数，而 y=x2+1,y=|x|+1 和 作出其图象知在 (-2 ， 0) 上均为减函数 .又 y=x3+1,x<0 时， y′=3x2>0 ，故 y=x3+1 在 (-2 ， 0) 上为增函数，与 f(x) 的单调性不同，故选 C.

x

x

e ,x 0y

e ,x 0

，

【反思·感悟】识图与辨图是一个比较综合的问题 .解答该类问题的关键是要充分从解析式与图象中发现有价值的信息，最终使二者相吻合 .

函数图象的应用【方法点睛】 1. 利用函数的图象研究函数的性质对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质 ( 单调性、奇偶性、周期性、最值 ( 值域 ) 、零点 )常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系 .

2. 利用函数的图象研究方程根的个数当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程 f(x)=0 的根就是函数 f(x) 图象与 x 轴的交点的横坐标，方程 f(x)=g(x) 的根就是函数 f(x) 与 g(x) 图象的交点的横坐标 .3. 利用函数的图象研究不等式当不等式问题不能用代数法求解但其与函数有关时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合求解 .

【例 3 】已知函数 f(x)=x|m-x|(x∈R) ，且 f(4)=0.(1) 求实数m的值；(2) 作出函数 f(x) 的图象并判断其零点个数；(3) 根据图象指出 f(x) 的单调递减区间；(4) 根据图象写出不等式 f(x)>0 的解集；(5) 求集合M={m|使方程 f(x)=m有三个不相等的实根 }.【解题指南】求解本题先由 f(4)=0, 求得函数解析式，再根据解析式结构选择适当的方法作出函数的图象，进而应用图象求解 (3)(4)(5) 三个小题 .

【规范解答】 (1)∵f(4)=0 ，∴ 4|m-4|=0 ，即 m=4 ；(2)∵f(x)=x|m-x|

∴函数 f(x) 的图象如图：由图象知 f(x)有两个零点 .(3) 从图象上观察可知： f(x) 的单调递减区间为［ 2 ， 4］；

x(x 4),x 4,x 4 x

x(x 4),x 4.

(4) 从图象上观察可知：不等式 f(x)>0 的解集为： {x|0<x<4 或 x>4}.(5) 由图象可知若 y=f(x) 与 y=m的图象有三个不同的交点，则0<m<4,∴集合 M={m|0<m<4}.

【反思·感悟】利用函数的图象能直观地解决函数的性质问题、方程根的个数问题、函数的零点个数问题及不等式的解集与恒成立问题，但其关键是作出准确的函数图象，数形结合求解 .否则若图象出现失误，将得到错误的结果 .

【易错误区】作图不准确或数与形不吻合致误【典例】 (2011·新课标全国卷 ) 函数 的图象与函数y=2sinπx(-2≤x≤4) 的图象所有交点的横坐标之和等于 ( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8【解题指南】在同一坐标系中画出函数 和 y=2sinπx(-2≤x≤4) 的图象，然后根据图象探究交点横坐标之间满足的关系，从而求解 .

1y1 x

1y1 x

【规范解答】选 D. 由题意知 的图象是双曲线，且关于点 (1 ， 0)成中心对称，又 y=2sinπx 的周期为且也关于点 (1， 0)成中心对称；因此两图象的交点也一定关于点 (1 ， 0)成中心对称，再结合图象 (如图所示 )可知两图象在［ -2 ， 4］上有 8个交点，因此8个交点的横坐标之和 x1+x2+… +x8=4×2=8.

1 1y1 x x 1

2T 2,

备考建议

通过本题求解过程中出现的失误，在备考中我们要关注以下几点：(1) 平时涉及函数图象的问题时，要规范准确地画出图象，切忌不用尺规草草完成 .(2)加强通过解析式分析其图象的对称性、周期性等性质的训练以提高解决这类问题的能力 .(3)训练由图分析其函数性质的解题技巧 .

1.(2012·怀化模拟 ) 函数 的图象大致是 ( )lg xy

x

【解析】选 D.∵函数的定义域为 {x|x≠0} ，且 f(-x)==-f(x) ，∴f(x) 为奇函数，故排除 A、 B，又由 =0 得 x=±1. 故排除 C，所以选 D.

lg xx

lg xy

x

2.(2012·北京模拟 ) 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图所示，设M=|a+b+c|-|a-b+c|+|2a+b|-|2a-b|, 则 ( )(A)M>0 (B)M≥0

(C)M<0 (D)M=0

【解析】选 C. 由图象知

a 0a 0f 0 0c 0b 0b 0a

f 1 0 a b c 0a b c 0f 1 02a b 0b0 1

2a

得

M (a b c) (a b c) (2a b) (2a b)2(a b c) 0, C.

故选

3.(2011·天津高考 ) 对实数 a 和 b ，定义运算“ ”： a b=

设函数 f(x)=(x2-2) (x-1),x∈R. 若函数 y=f(x)-c 的图象与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 ( )(A)(-1 ， 1］∪ (2 ， +∞)(B)(-2 ， -1］∪ (1 ， 2］(C)(-∞,-2)∪(1,2］(D)［ -2,-1］

a,a b 1b,a b 1

，

【解析】选 B.f(x)=观察图象可知选项 B正确 .

2x 2( 1 x 2)x 1(x 1 x 2)

，

或

4.(2012·淮南模拟 ) 已知 则下列选项中错误的是 ( )

(A)① 是 f(x-1) 的图象 (B)② 是 f(-x) 的图象(C)③ 是 f(|x|) 的图象 (D)④ 是 |f(x)| 的图象

2

x 1 x 1,0)f x

x 1 x 0,1

［，

［ ］

【解析】选 D. 因为函数 f(x)= 的图象如图所示

按选项逐个验证知①是 f(x-1) 的图象；②是 f(-x) 的图象；③是 f(|x|) 的图象；而④不是 |f(x)| 的图象，故选 D.

2

x 1 x 1,0)

x 1 x 0,1

［

［ ］