6.2 二次函数的图象和性质(2)

1. 用描点法画二次函数图象的步骤有哪些 ?1. 用描点法画二次函数图象的步骤有哪些 ?

列表、描点、连线

2. 二次函数的图象是什么？

y=ax2 (a≠0) a>0 a<0

图象

开口方向顶点坐标

对称轴增减性

极值

x

y

O

y

xO

向上 向下(0 ,0) (0 ,0)

y 轴 y 轴当 x<0 时，y 随着 x 的增大而减小。当 x>0 时，y 随着 x 的增大而增大。

当 x<0 时 ,y 随着 x 的增大而增大。当 x>0 时，y 随着 x 的增大而减小。

x=0 时 ,y 最小 =0

x=0 时 ,y 最大 =0抛物线 y=ax2 (a≠0) 的形状是由 |a| 来确定的 , 一般说

来 , |a| 越大 , 抛物线的开口就越小 .

在同一个坐标系中，作出二次函数 与 的图象 .在同一个坐标系中，作出二次函数 与 的图象 .12 xy 12 xy

-6 -4 -2 2 4 6

6

5

4

3

2

1

-1

-2

11

11

22

22

33

33

44

44

55

55

-1-1

00-2-2 -1-1-3-3 xx

yy

1 2xy

2xy1 2xy

-6 -4 -2 2 4 6

6

5

4

3

2

1

-1

-2

11

11

22

22

33

33

44

44

55

55

-1-1

00-2-2 -1-1-3-3 xx

yy

1 2xy

2xy1 2xy

请观察 ,这三个函数的图象有哪些异同点 ? 请观察 ,这三个函数的图象有哪些异同点 ?

A′A′

AA

Ａ″Ａ″

-6 -4 -2 2 4 6

6

5

4

3

2

1

-1

-2

11

11

22

22

33

33

44

44

55

55

-1-1

00-2-2 -1-1-3-3 xx

yy

2xy

1 2xy

从动画中看出 ,抛物线 y=x 怎么移会得到函数 y=x +1 的图象 ?从动画中看出 ,抛物线 y=x 怎么移会得到函数 y=x +1 的图象 ?

22

22

Ａ′Ａ′

AA

向上平移1个单位向上平移1个单位

顶点 A(0,0)顶点 A(0,0)

顶点 A′(0,1)顶点 A′(0,1)向上平移1个单位向上平移1个单位

BB

-6 -4 -2 2 4 6

6

5

4

3

2

1

-1

-2

11

11

22

22

33

33

44

44

55

55

-1-1

00-2-2 -1-1-3-3 xx

yy

1 2xy

22y=xy=x

抛物线 y=x 怎么移会得到函数 y=x -1的图象 ?抛物线 y=x 怎么移会得到函数 y=x -1的图象 ?

22 22

2a.gsp

函数 y=ax2 (a≠0) 和函数 y=ax2+c (a≠0) 的图象形状 ，只是位置不同；当 c>0 时，函数 y=ax2+c的图象可由 y=ax2 的图象向 平移 个单位得到，当 c 〈 0 时，函数 y=ax2+c 的图象可由 y=ax2 的图象

向 平移 个单位得到。

4

2

-2

-4

-6

-8

y

-10 -5 5 10xO

y=-x2-2

y=-x2+3

y=-x2

图象向上移还是向下移 , 移多少个单位长度 , 有什么规律吗 ?

上加下减

相同上 c

下 |c|

改一下函数解析式 , 继续寻找它们的变化规律

当 a>0 时，抛物线 y=ax2+c 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧， y 随 x的增大而 ，在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而 ，当 x= 时，取得最 值，这个值等于 ； 当 a<0 时 , 抛物线 y=ax2+c 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧， y 随 x的增大而 ，在对称轴的右侧 ,y 随 x 的增大而 ，当 x= 时，取得最 值，这个值等于 。

4

2

-2

-4

-6

-8

y

-10 -5 5 10xO

10

8

6

4

2

-2

y

-10 -5 5 10xO

y=-x2-2

y=-x2+3

y=-x2

y=x2-2

y=x2+1

y=x2

上y轴

(0,c)减小 增大

0 小 c下

y轴

(0,c)增大 减小

0 大 c

y=ax2+c (a≠0) a>0 a<0

开口方向顶点坐标

对称轴增减性

极值

向上 向下(0 ,c) (0 ,c)

y 轴 y 轴当 x<0 时，y 随着 x 的增大而减小。当 x>0 时，y 随着 x 的增大而增大。

当 x<0 时 ,y 随着 x 的增大而增大。当 x>0 时，y 随着 x 的增大而减小。

x=0 时 ,y 最小 =0

x=0 时 ,y 最大 =0

抛物线 y=ax2 +c (a≠0) 的图象可由 y=ax2 的图象通过上下平移得到 .

函数解析式 开口方向 顶点坐标 对称轴

（ 1 ）、请分别指出下列抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴。

52 2 xy

32

1 2 xy

63 2 xy

向下

（ 0 ，3 ）

向上

向下

y 轴（ 0 ， -5 ）

y 轴

y 轴（ 0 ，6 ）

（ 2 ）抛物线 y=-3x2+5 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而 ，在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而 ，当 x= 时，取得最 值，这个值等于 。（ 3 ）抛物线 y=7x2-3 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧， y 随 x 的增大而 ，在对称轴的右侧， y 随 x 的增大而 ，当 x= 时，取得最 值，这个值等于 。

下 y 轴(0,5)

减小增大0 大 5

上 y 轴(0,-3)

减小 增大 0 小 -3

（ 4 ）将抛物线 向上平移 5 个单位，所得抛物线的函数关系式为 。

23 2 xy33 2 xy

例 1 、一条抛物线与它的对称轴交于点（ 0 ， -2 ），且抛物线经过点（ 1,1 ）。求这条抛物线的函数关系式。

例 2. 已知 y =(m+1)x 是二次函数且其图象开口向上 ,(1) 求 m 的值和函数解析式 ;(2)x 在何范围内 ,y 随 x 的增大而增大 ? y 随 x 的增大而减小 ?

m2+m

)7,5(

例 3 、二次函数 y=ax2+c (a≠0) 的图象经过点 A（ 1 ， -1 ）， B （ 2 ， 5 ），则函数 y=ax2+c的表达式为 。若点 C(-2,m),D （ n ,7 ）也在函数的图象上，则点 C 的坐标为 点 D 的坐标为 .

y=2x2-3(-2,5)

)7,5(

(1). 一次函数 y=ax+b 与 y=ax2-b 在同一坐标系中的大致图象是（ ）

x0

y

x0

x0 x0

x

x

y

yy

B.A.

C. D.

B

x2x1

BA

o

y

x

（ 2 ）已知二次函数 y=ax2+c ，当 x 取 x1,x2(x1≠x

2,

x1,x2 分别是 A,B 两点的横坐标 ) 时，函数值相等，

则当 x 取 x1+x2 时，函数值为 （ ） A. a+c B. a-c C. –c D. c

D

x2x1

BA

o

y

x

（ 2 ）已知二次函数 y=ax2+c ，当 x 取 x1,x2(x1≠x

2,

x1,x2 分别是 A,B 两点的横坐标 ) 时，函数值相等，

则当 x 取 x1+x2 时，函数值为 （ ） A. a+c B. a-c C. –c D. c

D

2. 把函数 y=3x2+2 的图象沿 x 轴对折，得到的图象的函数解析式为 _______.

例题讲解

合作小结

能作出 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象，并能够比较它们与 y=x2 的异同，理解a与 c对二次函数图象的影响 .

说出 y=ax2 和 y=ax2+c 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标 .以及他们之间的联系 .