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三角形的复习

全等三角形复习临颍县杜曲镇第一初级中学

执教教师：赵安民

教学目的：通过概念的复习和 典型例题评析，使学生 掌握三角形全等的判定、性质及其应用。教学重点：典型例型评析。教学难点：学生综合能力的提高。

全等三角形的性质 :

对应边、对应角相等， 全等三角形的判定 :

知识点

一般三角形全等的判定：SAS 、 ASA 、 AAS 、 SSS

直角三角形全等的判定： SAS 、 ASA 、 AAS 、 SSS 、 HL

三边对应相等的两个 三角形全等 .

边边边：

有两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等 .

边角边：

有两角和它们夹边对应相等的两个三角形全等

角边角：

有两角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

角角边：

有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 ( 简写成“斜边、直角边”或“ HL” ） .

探究反映的规律是：

三角形全等的识别的方法 :SSS ：三条边对应相等的两个三角形全等。SAS ：有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。ASA: 有两个角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。AAS: 有两个角和其中一个角的对边对应相等的两个 三角形全等。( 直角三角形 )HL: 斜边及一条直角边对应相等的两个直角三角形

知识点三角形全等的证题思路：

SSSHLSAS

找另一边找直角找夹角

已知两边

AASASASAS

AAS

找边的对角找夹角的另一角找夹角的另一边

边为角的邻边

找任一角边为角的对边

已知一边一角

AASASA

找任一边找夹边

已知两角

小试锋芒小试锋芒 ::已知已知 :: 如图如图∠∠ B= DEF,BC=EF∠B= DEF,BC=EF∠ ,, 补充条件补充条件求证求证 ::ΔABCΔABC ≌ ≌ ΔDEFΔDEF

∠∠ACB= DEF∠ACB= DEF∠AB=DEAB=DE

AB=DEAB=DE 、、 AC=DAC=DFFAA

BB CC

DD

EE FF

== ==

DD

EE FF

AA

BB CC

∠ ∠ A = D∠A = D∠(1)(1) 若要以“若要以“ SAS”SAS” 为依据，还缺条件 ＿＿＿＿＿为依据，还缺条件 ＿＿＿＿＿；；(2) (2) 若要以“若要以“ ASA”ASA” 为依据，还缺条件＿＿＿＿；为依据，还缺条件＿＿＿＿； (4)(4) 若要以“若要以“ SSS” SSS” 为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；为依据，还缺条件＿＿＿＿＿；(3) (3) 若要以“若要以“ AAS”AAS” 为依据，还缺条件＿＿＿＿为依据，还缺条件＿＿＿＿＿＿；；

(5)(5) 若若∠∠ B= DEF=90°∠B= DEF=90°∠ 要以“要以“ HLHL” ” 为依据，为依据， 还缺条件＿＿＿＿＿还缺条件＿＿＿＿＿AC=DF

例题选析例 1 ：如图， D 在 AB 上， E 在 AC 上，且∠ B =∠C ，那么补充下列一个条件后，仍无法判定△ ABE≌△ACD 的是 ( )

A ． AD=AE B ． ∠ AEB=∠ADC

C ． BE=CD D ． AB=AC

B

例 2 ：已知：如图， CD⊥AB ， BE⊥AC ，垂足分别为 D 、 E ， BE 、 CD 相交于 O 点，∠ 1= 2∠ ，图中全等的三角形共有 ( )

A ． 1 对 B ． 2 对 C ． 3 对 D ．4 对

D

例 3. 如图， AM=AN ， BM=BN

说明△ AMB ANB≌△ 的理由 解 : 在△ AMB 和△ ANB 中 

 

 

 

∴ ≌ （ ）

)_________(_______)(_______

____)_______(__

公共边已知BN

AM

A

N MB

AN 已知BM

AB AB

△ABM △ABN SSS

F

EDC

BA

例 4 。如图，∠ B ＝∠ E ， AB＝ EF ， BD ＝ EC ，那么△ ABC 与　△ FED 全等吗？为什么？解：全等。∵ BD=EC （已知）　　　∴BD － CD ＝ EC － CD 。即 BC ＝ ED 　　

（已证）＝（已知）＝（已知）＝

EDBCCB

EFAB在△ ABC 与△ FED 中

∴△ABC FED≌△ （ SAS ）

1. 如图，∠ 1= 2∠ ，∠ 3= 4∠ 求证： AC=AD

证明：∵∠ ABD=180 －∠ 3

　∠ ABC=180 －∠ 4

　　　而∠ 3= 4∠ （已知）　　　∴∠ ABD= ABC∠　　　在△ ABD 和△ ABC 中　　　∠ 1= 2∠ （已知 ）　　　 AB=AB （公共边） 　　　∠ ABD= ABC ∠ （已知 ） 　　　　∴△ ABD ABC≌△ （ ASA ） ∴AC=AD （全等三角形对应边相等）

巩固练习

C

A

D

B12

34

2. 已知，如图，∠ 1= 2∠ ，∠ C= D∠ 求证： AC=AD

在△ ABD 和△ ABC 中∠1= 2 ∠ （已知）∠C= D ∠ （已知）AB=AB （公共边）∴△ABD ABC ≌△ （ AAS ）∴AC=AD （全等三角形对应边相等）

证明：

C

A

D

B12

3. 如图， PA=PB ， PC 是△ PAB 的角分线，∠ A=55° 求：∠ B 的度数解：∵ PC 是△ APB 的角平分线∴∠APC= （三角形角平分线意义）在 中

_________________________________

∴ ≌ （ ）

∴∠A= B∠ （ ） ∵ ∠ A=55° （已知） ∴ ∠ B=∠A=55° （等量代换）

P

A BC第 12 题

∠BPC

△APC 和△ BPC

PA=PB( 已知 )

∠BP C∠AP C=

PC=PC( 公共边 )

△APC BPC△ SAS

全等三角形对应角相等

4 ：如图，点 A 、 F 、 E 、 C 在同一直线上， AF ＝ CE ， BE = DF ， BE∥DF ，求证： AB∥CD 。证明： CEAF

CFAE

BE又 ∥ DF

21

DFBE 又 AEB ≌ CFDCA

AB ∥ CD

在⊿ AEB 和⊿ CFD 中 AE=CF

∠1= 2 ∠ BE=DF﹛

AE

F

B

C

D

5. 已知，如图 、A 、 E、 F、 C 四点在同一直线上，AB⊥BE,CD⊥DF,AB=CD,AE=CF, 请问：BF是否等于 DE? 说明理由。

例：已知，如图 ,AB=AC,DB=DC,F 是 AD 的延长线上的一点 , 试说明 :BF=CF.

扩散一 :已知 : 如图 ,AB=AC,DB=DC,F 是 AD 延长线上一点 , 且 B,F,C 在一条直线上 , 试说明 :F是 BC 的中点 .

扩散二 : 已知 : 如图 ,AB=AC,DB=DC,F 是 AD 上的一点 , 试说明 :BF=CF.

扩散三 : 已知 : 如图 ,AB=AC,DB=DC,F 是 DA 延长线上的一点 , 试说明 :BF=CF.

扩散四 : 已知 :AB=AC,DB=DC,F 是直线 AD上一动点 ( 即点 F 在直线 AD 上运动 ), 点 F在 AD 上不停的运动 . 你发现什么规律 ? 请说出 , 并进行证明 .

扩散五 : 已知 : 如图 ,AB=AC,DB=DC,F 是 AD 延长线上一点 , 试说明点 F 到 AB,AC 的距离相等 .

扩散六 : 已知 : 如图 ,AB=AC,DB=DC,F 是 AD 上的一点 , 试说明 : 点 F 到 AB,AC 的距离相等 .

扩散七 : 已知 : 如图 ,AB=AC,DB=DC,F 是 DA 延长线上的一点 , 试 说明 : 点 F 到 AB,AC的距离相等 .

扩散八 : 已知 : 如图 ,AB=AC,DB=DC, 点 F 在直线 AD 上运动 , 那么点 F 到 AB,AC 的距离有何关系 ? 请提出你的猜想 , 并进行证明 .

小结： 本节课你有何收获？ （ 1 ）数学知识方面： （ 2 ）数学方法方面： （ 3 ）其它方面：

作业题： 课本 P115.

T2. 3 .4 .5. 6

愿你架起理想的金桥！