מבוא לאלקטרו-אופטיקה

Harmonic Oscillator (c) Schechner

1 לאלקטרו-אופטיקה



מבוא לאלקטרו-אופטיקה: אוסצילטור הרמוני6פרק

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/shm2.html#c2

6.1 ספקטרא האינפרא-אדום

6.2 האוסצילטור הרמוני מקרו-סקופי

6.3 אוסצילטור הרמוני מולקולרי קלסי

6.4 אוסצילטור הרמוני סמי-קלסי

6.5 זיהוי חומרים לפי פסי בליעה

6.6 אוסצילטור אנהרמוני



פסי בליעה של מולקולת CO

Molecular Spectra and Molecular StructureI. Spectra of Diatomic Molecules.G. Herzberg. Van Nostrand Reinhold Company. 1950, p. 37

דוגמאות של ספקטרא באינפרא-אדום



T = 900 0C ב- AgClפסי בליעה של עדי

אבחנה בין איזוטופים



- ספקטרום באינרפא-אדום6.1

– פסים, ולא קווים כמו באטומים הבודדים1

– המרחק בין הפסים "נשמר" במקצת,2 לא מצטמצם כמו באטומים. המרווח בין הרמות קטן,

(n2/1)אבל לא בחריפות כמו אצל האטומים

– ספקטרום שונה לפי המסה של האטומים 3[AgClהמעורבים )איזוטופים(. ]שקף



- המודל של האוסצילטור ההרמוני6.2http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/shm2.html#c2

F = - k x

xהוא המרחק מנקודת x0 שיווי המשקל של הקשר

: הקשר בין שני אטומים במולקולה (או גביש)הנחה מתנהג כמו קפיץ, יש בו כוח מחזיר:

xx



פיתוח המודל של אוסצילטור הרמוני

F = - k x = ma = m d2xdt2

x = x0 sin)2pnt + f(

משוואה דיפרנציאלית מסדר שני

.קבוע הכוח המחזירxכיוון הפוך ל-

פתרון אפשרי 6.6ת.

מסה יציבה, קפיץ כבדהגדולה, m

x0

nosc = 12p m

k

d2xdt2m + k x = 0


8 לאלקטרו-אופטיקה xxe

V

אנרגיה פוטנציאלית של אוסצילטור הרמוני

F = - dV/dx nosc = 12p m

k

np

A

0

A

0

22osc2221 xm2kxkxdxFdxV

פונקציהפרבולית



http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/shm2.html#c2

אנרגיה של אוסצילטור הרמוני



הגדרות - אוסצילטור מולקולרי קלסי6.3

r1 = m2m1 + m2

r

r2 = m1m1 + m2

r

קפיץ m2m1

r

r1 r2

מרכז המסה

re

נקודת שיווי משקל

m = m1 m2m1 + m2

מסה מצומצמת



אוסצילטור מולקולרי

- k )r-re( = m1

d2r1dt2

- k )r-re( = m2

d2r2

dt2

- k )r-re( =

d2 rdt2

m1 m2

m1 + m2

נניח שהכוח המחזירre יחסי לסטייה מ-

F =- k x = m d2xdt2

באוסצילטור הקלסי

r1 r2

r1 = m2m1 + m2

r r2 = m1m1 + m2

r

נשתמש בהגדרות של מרכז המסה

d2 )r-re( dt2m=



הקלסיאוסצילטור מולקולרי

באוסצילטור הקלאסי התדרויות האפשריות הן רק התדירויות העצמיות

nosc = 12p m

knosc = 1

2p mk

x = x0 sin(2pnt +f)

- k x = m d2xdt2

- k )r-re( =

d2 )r-re( dt2m

)r-re( = re sin)2pnt +f(

9 June



סמי-קלסי - אוסצילטור מולקולרי6.4האנרגית

E p,classic = ½ k x2 = 2p2mn2x2 המערכת

E)v( = hnosc (v + 1/2)

v = 0, 1, 2, 3, 4…

E

rre

DE = hnosc

nosc = 12p m

k

הפרש קבוע או מכפלה)הרמויות(



)לנ"ס( טיפל לפי המכניקה הקוונטית

0(VE)hm8

zyx 2

2

2

2

2

2

2

2

p

0(kxE)hm8

x2

212

2

2

2

p

כך ש-: Eהפתרונות האפשריים, קיימים רק עבור ערכי

...2,1,0v(v)h(v)k2h(v)E 21

osc21 nmp

עבור תנועה של מסה נקודתית

בפוטנציאלשל אוסצילטור

הרמוני



nosc = 12p m

k H-H H-D

H-Cl D-ClH2O

HDO

6.5 זיהוי חומרים לפי פסי בליעה

ממירים לאחד מהיסודות את האיזוטופ. הקשר הכימי שומר על הקבוע.

המסה המצומצמת משתנה

ההמרה האיזוטופית

מאשרת את המודל

והזיהוי

, קבוע הכוח של הקשר,kניתן לאשר את ע"י המרה איזוטופית



תרגיל

לקשרים משולשים יש קבועי כוח הנעים בין1300 – 1800 N/m

נחשב את מרכז פס הבליעה עבור המקרה של (N/m 1300הקשר ה"חלש" )

C Nnosc = 1

2p mk

חישוב המסה המצומצמת

m = m1 m2m1 + m2

10-3 gNavo

Kg/pair



m = m1 m2המשך לתרגילm1 + m2

10-3 gNavo

Kg/pair

m = )12()14(12 + 14

10-3 g6.023x 1023

Kg/pair

n = 5.5 x 1013 Hz

3ת.



cm-1יחידה ספקטרלית - cm-1 = n

100 c

6.5ת.

1000 cm-1 = 11.96 kJ/mol = 2.86 kcal/mol

= 0.124 eV

E = hn = h (100 c) cm-1

והאנרגיה של הפוטון cm-1קיים קשר ישיר בין ה-

Wavenumber, n ,מספר הגל

l(micron( = 104

n

n = )100 c( cm-1



תחומים אופייניים לזוגות אטומיםl

[mm[cm-1 l

[mm[cm-1 סוג קשר

2850 2960 Stretch C – H 1340 1456 Bend C – H 700 1250 Stretch C - C

1620 1680 Stretch C = C Stretch C=N

1740 1720 Stretch C=O3640 3610 Stretch O-H

http://www.cem.msu.edu/~parrill/AIRS/acetonitrile.html

http://en.wikipedia.org/wiki/Infrared_spectroscopy_correlation_table

http://www.cem.msu.edu/~parrill/AIRS/acetonitrile.html



קבועי כח ומספר אלקטרונים בקשר

Bond k[dynes/cm]

C-C Single 0.5 x106

C=C Double 1.0 x106

C C Triple 1.5 x106

http://home.planet.nl/~skok/techniques/ir/calculator.html

http://home.planet.nl/~skok/techniques/ir/calculator.html



מדוע יש "תחומי בליעה" של אוסצילטור הרמוני?

עשויים בסביבת האוסצילטור )בקירבה של ננומטרים(להיות מבנים של מטענים )חיוביים ושליליים( שונים

3640 3610 Strech O - H

l cm-1 l cm-1 סוג קשר

קבוע הכח הוא מדיד של צפיפות האלקטרונים בקשר

O HH מים

CH

H H

O Hמתנול Si

O

Si

O

O Hאי-ניקיון בזכוכית

של סיב אופטי



דוגמה להשפעת צפיפות האלקטרונים על הקשר:

חומציות: חומרים הנוטים לשחרר פרוטונים

OHקיום מבנה של מטענים המחליש את הקשר יין וחומץ "בן-יין"

אתנול,כוהל של היין

H

CH

O HCH3 + O2

חומצת חומץ

CH3 CO

O H+ H2O



DEmin = hnosc

DE2 = 2 hnoscDE3= 3 hnosc

6.4ת rre

E

מדוע יש מרחקים דומים בין קווי הרמוניותספקטרום הוויברציה

Van der Wallsלמולקולות המסופחות, הקשורות לפי כוחות יש שינויים בקווי הבליעה. נוצר קשר שניתן להגדיר כאוסצילטור.

34עבור לשקף




rre

E

מה לא בסדר במודל האוסצילטור הרמוני

– האוסצילטור מניח שאנרגית המערכת יכולה לעלות עד 1 + E)v( = hnosc (vאינסוף.

1/2) E p,classic = ½ k x2 = 2p2mn2 x2 נובע

מהאוסצילטור המקרוסקופי

אבל, במציאות מולקולות מתפרקות,

ומוגדרתבאנרגיה גבוהה

דברים 3

לנ"ס




rre

E אבל, אנחנו יודעים שבורהפוטנציאל לא סימטרי

ומה עוד לא בסדר במודל האוסצילטור הרמוני?

E)v( = hnosc (v + 1/2) E p,classic = ½ k x2 = 2p2mn2x2

נובע מהאוסצילטור

המקרוסקופי

- המרחק בין האטומים מתנהג באופן סימטרי, האנרגיה 2הפוטנציאלית שווה כאשר האטומים מתקרבים ומתרחקים

- לא מסביר,3התקרבות פסי הבליעה

שהולך וגדלvב-

לנ"ס



לכן, על אף השימוש הנפוץ של המודלצריכים מודל אנהרמוני

מודל קוונטימניחים שהאלקטרון נמצא בבור פוטנציאל

מיוחד הניתן ע"י נוסחת

Morse Potential

V = De{1 - exp[-a(r-re)]}2

http://gozips.uakron.edu/~mattice/ps674/morse.html

לנ"ס

http://gozips.uakron.edu/~mattice/ps674/morse.html


27 rreלאלקטרו-אופטיקה

E

Anharmonic Oscillator

התקרבות בין

הגרעיניםגורמת .לדחיה

התפרקות האוסצילטור

6.7ת.

V = De{1 - exp[-a(r-re)]}2

Morse Potential

הצטופפות גבוהיםvב-

–ים קטנים vעבור ההפרש דומה להפרש

ההרמוני

לנ"ס



http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_potential

אנרגיה שיש להשקיע לפירוק הקשר

D0 = De – ½ hn0

אנרגיה ביחסל"אפס" של המערכת

½hn0

לנ"ס

http://en.wikipedia.org/wiki/Morse_potential



והפוטנציאל שווה 0 גדול מאוד האקספוננט שואף ל-rאם Deל-

, האקספוננט נהיה חיובי והפוטנציאל עולהre קטן מ-rאם חזק מאוד לאינסוף

ניתן ע"יaהקבוע

של הרמות (ערך של מצב עמיד):eigenvaluesה-

V)r ∞(= De )1 – 0(2

V)r >re(= De )1 – e+r’(2 = De (– e+r’)2

e

221

021

0 D4([v)h](v)h(v)E n

n

לנ"ס



. רשום את Morseהסתמך על הנוסחאות של המודל של הנוסחה לחישוב את אורך הגל כאשר המולקולה פולטת

. בשני המקרים vi = 2 וכאשר vi = 20פוטון שעבורו Dv = 1

שיעור בית

vi =וויברציוני בתחילת תהליך המעבר מספר קוונטי

לנ"ס



האטום והיון

Inner Shells

רמה מלאה חלקית

רמה ריקה ראשונה

+Z

גרעין

מקום בעל ההסתברות הגבוהרמות באטום בגזביותר למצוא את האלקטרון

לנ"ס



Z+ נוצרות רמות במולקולה +Z

הפנימיותהרמותZ+נשארות צמודות לגרעין +Z

חפיפה של רמות מלאות חלקית וראשונה ריקה

+Z +Z

כאשר מקרבים אטום אחד לשני

האלקטרונים של הרמות המלאות, חלקית באטומים

מאכלסים את הרמה המולקולרית

לנ"ס



+Z +Z

UV -Vis

IRהבדל בין רמות אלקטרוניות ווויברתיוניותבגללשינוי

במרחקהבין-

אטומי

Emolecule = Ekinetic + Eelectronic + Evibrational + Erotational

לנ"ס



תרגיל בית

http://www.ptc.tugraz.at/quanten/qmoszillatorE.html

k[N/m]

m]?[

cm-1

880 3962

HF

478 2886

HCl

382 2559

HBr

291 2230

HI

478 2069

DCl

320 557 Cl2

- חשב את קבוע הכח של1המולקולות הבאות מתוך

פסי הבליעה.

- תשווה את קבוע הכוח 2 לעומת HClהמתקבל מה- Cl2 וה-DClהנתונים של ה-

- הסבר את הירידה של 3 קבוע הכח של ההידרידים

של ההלוגיםעם עליית המסה שלהם

http://www.ptc.tugraz.at/quanten/qmoszillatorE.html



שאילה במבחן - חוקרים ממשרד לאיכות הסביבה 3

איתרו חומר מזהם מומס בשפכים של נחל הקישון.

החוקרים חושדים שהחומר עלול להיות אחד )או יותר( מהחומרים

הבאים:



H-C-C-Hl l

l l

H H

H H

H-C-C-C-O-Hl l I

l l IH H H

H H H H-C=C-H

l lH H

H-C-C-O-Hl l

l l

H H

H H

C=C-C-Hl l I

l IH H

H H H H-C-C=O

l

l l

H

H H

H-C=C-O-Hl l

H HH-C-C-C-H

l l I

l l IH H H

H H H

1 2 3

87

654



המשך תרגילבמדידות ספקטרליות של החומר נמצא שיש לחומר

המזהם פסי בליעה בסביבות הקווים הבאים:

l [mm] cm-1 מספר פס בליעה

1 3.45 2 6.95 3 10.60 4 5.79

2009עד כאן עליך לזהות את החומר



mm 2.5 אורך הגל הנפוץ ביותר במולקולה הוא

חשב את האנרגיה הוויברציונית של המולקולה כאשר המספר הקוונטי של הוויברציה הוא אפס

קבוע הכוח של הקשרdynes/cm הוא 60.5 x10

עבור Morseנתון תיאור סכמתי של בור הפוטנציאל של מולקולה דו-אטומית

הערך את האנרגיה הדרושה לשבירת הקשר המולקולרי

לנ"ס



Anharmonic Oscillator

rre

E V = De{1 - exp[-a(r-re)]}2

Morse Potential

A + B0.0 eV

אטמים נפרדים

AB* מולקולה מעוררת

ABDe =DHformation v = 0מולקולה עם

לנ"ס



הרוטטור הצפידm1

m2

C

r

r1 r2

מומנט אינרציה

22

21

21 rrmmmmI m

IJJhE 2

2

8)1(

p+=

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/molecule/rotrig.html#c3 הפרשי האנרגיההולכים וגדילים

לנ"ס



שילוב רמות וויברציה ורוטציה

22חזרה לשקף

לנ"ס

Documents

מבוא לאלקטרו-אופטיקה