Embed Size (px)
DESCRIPTION
מבועות
Citation preview
מבוא להסתברות
בעיות
406
מבוא להסתברות
מהי הסתברות? א.
אירוע מסוים.להתרחש (שמשמעותה גם סיכוי) מייצגת את המידה שבה צפוי הסתברות
התוצאה "פלי" היא תוצאה ). "פלי"או "עץ"בהטלת מטבע יש שתי תוצאות אפשריות ( - הלדוגמ
הסיכוי שתתקבל התוצאה "פלי" הואהתוצאות האפשריות. לפיכך, 2אחת מתוך 21 .
זהו גם הסיכוי שתתקבל התוצאה "עץ".
נחשב את ההסתברות באופן הבא:
הסתברותהכלבסךהקיימותהאפשרויותמספר
לנוהרצויותהאפשרויותמספר=
הסתברות - בקצרהנגדיר זאת מצוי
רצוי=.
דוגמה א':
כחולים. בוחרים עט אחד באקראי. 3עטים, מתוכם 10בקלמר
מה ההסתברות שייבחר עט כחול?
פתרון:
הפריטים סך כל - האפשרויות הקיימות (במקרה זהסך כל ה"מצוי": מהו ראשית נבדוק מהו
.אפשרויות שונות 10קיימות עטים, כלומר, 10. בקלמר יש בסך הכל )שמתוכם צריך לבחור
אנו מעוניינים בעט כחול (שכן . המתאימות לנו האפשרויותמספר ה"רצוי": מהו כעת נבדוק מהו
. 3 האפשרויות המתאימות לנו הואמה ההסתברות שייבחר עט כחול), כלומר, מספר נשאלנו
ההסתברות לבחירת עט כחול היא: 103
=מצוי
.רצוי
דוגמה ב':
מרכיבים משקפיים. בוחרים תלמיד אחד באקראי. 7תלמידים, מתוכם 35תה א' יבכ
מרכיב משקפיים? שאינומה ההסתברות שייבחר תלמיד
פתרון:
סך כל התלמידים - ראשית נבדוק מהו ה"מצוי": מהו סך כל האפשרויות הקיימות (במקרה זה
.אפשרויות שונות 35תלמידים, כלומר, קיימות 35מהם צריך לבחור). בכיתה יש בסך הכל
מבוא להסתברות
בעיות
407
שאינוכעת נבדוק מהו ה"רצוי": מהו מספר האפשרויות המתאימות לנו. אנו מעוניינים בתלמיד
ששארמהם מרכיבים משקפיים, הרי 7 -תלמידים בסך הכל, ו 35מרכיב משקפיים. משום שיש
מרכיבים משקפיים. מספר האפשרויות המתאימות לנו אינםתלמידים, 28התלמידים, כלומר,
. 28הוא
מרכיב משקפיים היא: שאינוההסתברות לבחירת תלמיד 54
3528
==מצוי
.רצוי
דוגמה ג':
מכשירים מקולקלים. 6 -מכשירים תקינים ו 14בחנות למכשירי חשמל
בוחרים מכשיר אחד באקראי.
מה ההסתברות שייבחר מכשיר תקין?
פתרון:
סך כל המכשירים - הקיימות (במקרה זהראשית נבדוק מהו ה"מצוי": מהו סך כל האפשרויות
, כלומר, מספר )מקולקלים 6 +תקינים 14( מכשירים בסך הכל 20מהם צריך לבחור). בחנות יש
.20הוא האפשרויות הקיימות
כעת נבדוק מהו ה"רצוי": מהו מספר האפשרויות המתאימות לנו. אנו מעוניינים במכשיר תקין.
. 14ת לנו הוא כלומר, מספר האפשרויות המתאימו
ההסתברות לבחירת מכשיר תקין היא: 107
2014
==מצוי
.רצוי
:)425(פתרונות בעמוד 1תרגול
לבנות. בוחרים חולצה אחת באקראי. 7חולצות, מתוכן 15בארון .1
חולצה לבנה?לבחור מה ההסתברות
)1( 71 )2(
151 )3(
87 )4(
157
ספרי מתח. עמרי בוחר באקראי ספר אחד מתוך 12ספרים, מתוכם 64של עמרי ספרייהב .2
. ספרייהה
מה ההסתברות שיבחר בספר מתח?
)1( 163 )2(
52 )3(
133 )4(
41
מבוא להסתברות
בעיות
408
. בוחרים באקראי כדור אחד. שחורים 18כדורים, מתוכם 60בכד .3
שחור? שאינוהסיכוי שייבחר כדור מה
)1( 61
)2( 73
)3( 103
)4( 107
יתקבל מספר זוגי?הוגנת מה הסיכוי שבהטלת קוביה .4
)1( 61
)2( 21
)3( 31
)4( 41
?4 -יתקבל מספר גדול מהוגנת מה הסיכוי שבהטלת קוביה .5
)1( 61
)2( 21
)3( 31
)4( 41
כדורים לבנים. בוחרים באקראי כדור אחד. 3x + 3-כדורים שחורים ו x + 1בכד .6
שחור? בחר כדוריימה ההסתברות ש
)1( 6x
)2( 21
)3( x31
)4( 41
באקראי כדור. בוחריםכדורים שחורים. 20 -כדורים לבנים ו 30בכד .7
בחר כדור שחור?יימה ההסתברות ש
)1( 501
)2( 201
)3( 52
)4( 53
ילדים. בוחרים אדם אחד באקראי. 15 -מבוגרים ו 30באוטובוס נוסעים .8
מה ההסתברות שייבחר מבוגר?
)1( 51
)2( 53
)3( 31
)4( 32
מבוא להסתברות
בעיות
409
.קבוצה מתוך הסך הכלהחלקה היחסי של הסיכוי לבחירת קבוצה מסוימת מייצג את
לבחור בה. סיכויה מסוימת, נוכל למצוא מהו של קבוצה גודלה אם נתון לנוכפי שראינו עד כה,
של אותה היחסי גודלה נוכל למצוא אתלבחירת קבוצה מסוימת סיכויה אם נתון לנוש כעת נראה
.קבוצה
דוגמה א':
-שיבחר כדור לבן שווה ל הסיכוידותן מעוניין לבחור כדור באקראי. כדורים. 20לדותן יש 4
1 .
כמה כדורים לבנים יש לדותן?
פתרון:
כדורים, ועלינו למצוא כמה כדורים לבנים יש לו. 20לדותן יש
-לבן שווה לשיבחר כדור שהסיכויאנו יודעים 4
1כלומר, כאשר נחלק את מספר האפשרויות .
המתאימות לנו (מספר הכדורים הלבנים) במספר האפשרויות הקיימות בסך הכל (מספר הכדורים
-הכולל), התוצאה תהיה שווה ל 4
1: נכתוב זאת כמשוואה.
41
=
הכוללהכדוריםמספר
לבניםכדורים
מצוי
רצוי.
-וה להכדורים שוכל סך מתוךהכדורים הלבנים מספר ניתן לומר שבמילים אחרות, 4
1.
כלומר, 4
1 מכדוריו של דותן הם לבנים. נחשב ונמצא, שמספר הכדורים הלבנים של דותן
5 -שווה ל
=⋅20
41.
הסיכוי לבחירת קבוצת איברים מסוימת מייצג את חלקה היחסי של אותה קבוצה :לסיכום
-לבחירת כדור לבן שווה ל הסיכויאם ( מתוך הסך הכל. 4
-להסיק ש, ניתן 1 4
מהכדורים הם 1
.)לבנים
דוגמה ב':
כלי כתיבה: עפרונות ועטים. הסיכוי לבחירת עט מהקלמר שווה לסיכוי 8בקלמר של נועה יש
לבחירת עפרון.
כמה עטים בקלמר?
פתרון:
עלינו למצוא את מספר העטים. ו ,בסך הכל כלי כתיבה 8בקלמר יש נתון ש
משום שהסיכויים לבחירת אנו יודעים שהסיכוי לבחירת עט שווה לסיכוי לבחירת עפרון.
העטים שווה מספרששגודלן שווה, כלומר, ניתן להסיק הקבוצות מייצגים את גודלן של הקבוצות,
העפרונות. למספר
מבוא להסתברות
בעיות
410
כלי כתיבה 8עפרונות. משום שבסך הכל יש x. מכאן שיש גם x -נגדיר את מספר העטים כ
-בקלמר, ניתן לומר ש
x + x = 8
2x = 8
x = 4.
עטים. 4כלומר, יש בקלמר
':גדוגמה
מהסיכוי 2בבת גדול פי שתבחרהסיכוי המורה בוחרת תלמיד באקראי. ילדים. 30 בכיתה
בבן. שתבחר
כמה בנים יש בכיתה?
פתרון:
, ועלינו למצוא את מספר הבנים. ילדים בסך הכל 30נתון שבכיתה
מהסיכוי שתבחר בבן. 2אנו יודעים שהסיכוי שהמורה תבחר באקראי בבת גדול פי
ניתן להסיק שמספר הבנות משום שהסיכויים לבחירת הקבוצות מייצגים את גודלן של הקבוצות,
ממספר הבנים. 2גדול פי
. x -ן מבין השניים) כלשם נוחות החישוב, נגדיר את מספר הבנים (שהוא הקט
:ילדים בכיתה, ניתן לומר 30. משום שבסך הכל יש 2x -מכאן שמספרן של הבנות שווה ל
2x + x = 30 3x = 30
x = 10.
בנים בכיתה. 10מייצג את מספר הבנים, ניתן לומר שיש x -משום ש
:)425(פתרונות בעמוד 2תרגול
-. הסיכוי לבחור סוכרייה בטעם תפוז שווה לסוכריות 15לאסף יש שקית סוכריות ובה .131.
כמה סוכריות בטעם תפוז יש בשקית?
)1( 12 )2( 10 )3( 3 )4( 5
קובייה לבחור באקראי בלבן ואדום. ההסתברות קוביות בצבעים כחול, 60יש גדעון ל .2
כחולה היא61
קובייה לבנה היאלבחור באקראי ב. ההסתברות 101
.
כמה קוביות אדומות יש לגדעון?
)1( 50 )2( 32 )3( 46 )4( 44
מבוא להסתברות
בעיות
411
אנשים הוגרל כרטיס טיסה. הסיכוי שעובד זוטר יזכה בכרטיס 100בחברה בה עובדים .3
מהסיכוי שעובד בכיר יזכה בכרטיס. 4גדול פי
יש בחברה? זוטריםכמה עובדים
)1( 80 )2( 20 )3( 25 )4( 75
כדורים בצבעים לבן, צהוב וירוק. 40בכד .4
,הסיכוי להוציא כדור צהוב זהה לסיכוי להוציא כדור לבן
וכפול מהסיכוי להוציא כדור ירוק.
בכד?יש צהוביםכמה כדורים
)1( 16 )2( 15 )3( 8 )4( 4
גבולות ההסתברות ב.
0≥ הסתברות ≥ 1
:יו של שבר זהההסתברות היא שבר. כעת נבחן את גבולותכפי שראינו,
, (אין אף אפשרות שמתאימה לנו) הוא אפס האפשרויות המתאימות לנוכאשר מספר
:להתרחשות המאורע היא אפס ההסתברות
== 00
מצוייםמצויים
רצויים.
משמעה: הדבר בוודאות לא יתרחש. 0הסתברות
דוגמה א':
עטים. גיא רוצה לבחור באקראי כלי כתיבה מקלמרו. 4 -עפרונות ו 5בקלמר של גיא יש
מה ההסתברות שגיא יבחר טוש?
פתרון:
שגיא יבחר ההסתברות אין סיכוי שגיא יבחר טוש, משום שאין טושים בקלמר. במילים אחרות,
.0 -, ההסתברות שווה ל0 -שווה להאפשרויות המתאימות לנו ן שאם מספר אמכ. 0 -שווה ל טוש
מבוא להסתברות
בעיות
412
דוגמה ב':
.הוגנת היקובי דפנה מטילה
?6 -מ הגדול שהתוצאה תהיהמה ההסתברות
פתרון:
משום שבקובייה אין מספרים . 6 -שדפנה תקבל תוצאה שגדולה מ למצוא מה ההסתברותעלינו
. 0, מספר האפשרויות המתאימות להגדרה זו הוא 6 -הגדולים מ
מכאן שההסתברות להתרחשות המאורע היא אפס
== 00
מצוייםמצויים
רצויים .
בהטלת הקובייה. 6 -כלומר, דפנה בוודאות לא תקבל תוצאה שגדולה מ
, האפשרויות הקיימותשווה למספר האפשרויות המתאימות לנו כאשר מספר
ההסתברות להתרחשות המאורע היא אחת
=1
מצויים
רצויים.
.בוודאות משמעה: הדבר יתרחש 1הסתברות
:הדוגמ
זוגות מכנסיים אדומים. צילה מעוניינת להוציא פריט 3 -חולצות אדומות ו 10בארון של צילה יש
לבוש מהארון.
שהפריט שתבחר יהיה אדום?הסתברות מה ה
פתרון:
הפריט שצילה תוציא מהארון יהיה בוודאות אדום, משום שכל הפריטים בארונה אדומים.
האפשרויות המתאימות , ולכן מספרם של מתאימות לנו האפשרויות הקיימותבמילים אחרות, כל
.1 -. ההסתברות במקרה כזה שווה להאפשרויות הקיימותשווה למספרם של לנו
: לסיכום
לבין סך כל האפשרויות 0משום שמספר האפשרויות המתאימות לנו חייב להיות בין
או שווה 0 -והיא יכולה להיות שווה ל( 1 -ו 0הקיימות, ניתן לומר כי גבולות ההסתברות הם
.)1 -ל
מבוא להסתברות
בעיות
413
:)425(פתרונות בעמוד 3תרגול
? 7 -מ קטןיתקבל מספר הוגנת יה ימה הסיכוי שבהטלת קוב .1
)1( 1 )2( 21
)3( 41
)4( 0
. בוחרים תלמיד אחד באקראי.12עד 7ספר יסודי לומדים תלמידים בני -בבית .2
?5 -מ קטןמה ההסתברות שייבחר תלמיד שגילו
)1( 1 )2( 0 )3( 127
)4( 51
סיכוי משלים ג.
1 –(הסיכוי שאותו דבר יקרה) =יקרה לאהסיכוי שדבר מסוים
דוגמה א':
צהובים וכדור אחד כחול. 2אדומים, 3ירוקים, 5כדורים, מתוכם 11למיכל יש
מיכל בוחרת כדור באקראי.
?יהיה ירוק לא שהכדור שמיכל תוציאהסיכוי מה
פתרון:
שהכדור שמיכל תוציאהסיכוי מה ירוקים. עלינו למצוא 5כדורים, מתוכם 11למיכל יש
למצוא כמה אפשרויות מתאימות לנו. עלינו ,הסיכוי בכדי למצוא את. יהיה ירוק לא
את מספר הכדורים שאינם מתאימים לנו (הכדורים הירוקים) ממספר הכדורים נחסרלשם כך
.(= 5 – 11) 6 הקיימים. מספר הכדורים המתאימים לנו הוא
-שווה ל שאינו ירוקלבחירת כדור הסיכוי לפיכך, 116.
מתאימות לנו, וכך שאינןהאפשרויות הקיימות את האפשרויות כלמסך חיסרנו בפתרון זה
לנו. המתאימותנשארנו עם מספר האפשרויות
:גם על ההסתברות עצמה ת החיסורפעולאת ניתן לבצע
כל האפשרויות העומדות בפני מיכל נגלה, שהיא יכולה לבחור בכדור ירוק או אם נבחן את סך
במילים אחרות, הסיכוי שהכדור בפניה אפשרויות נוספות).לא עומדות ובכדור שאינו ירוק (
(זה בוודאות יקרה). 1 -ישתייך לאחת מקבוצות אלה שווה ל תבחרשמיכל
את הסיכוי שמאורע יקרה, נישאר עם הסיכוי שהוא )1 -מה( הסיכויים אם נחסר מסך כל
יקרה. לא
מבוא להסתברות
בעיות
414
-שווה ל יהיה ירוקשהכדור שמיכל תבחר הסיכויאנו יודעים כי 11 כדורים 11משום שיש ( 5
: ניתן לומר לכן .)מתוכם ירוקים 5 -והכל בסך
−= ירוק) שאינולבחור כדור הסיכוי(1151.
= ירוק) שאינו(הסיכוי לבחור כדור 116.
משום ,1 -לבחור כדור שאינו ירוק ל הסיכוי את םמשלי לבחור כדור ירוק הסיכויכפי שראינו,
את סך כל האירועים האפשריים. יםמייצג םשיחד ה
דוגמה ב':
הסיכוי שדני יעבור את הבחינה בהיסטוריה הוא31 .
מה הסיכוי שדני יכשל בבחינה זו?
פתרון:
עבר אותה. לאאם דני נכשל בבחינה הרי שהוא
לעבור את הבחינה או להיכשל בה, ולא קיימות אפשרויות נוספות. לכן ניתן לומר דני יכול
. 1 -שהסיכויים לשני מקרים אלה משלימים זה את זה ל
את הסיכוי שדני יעבור את הבחינה בהיסטוריה, נמצא את )1 -מה(מכאן שאם נחסר מהסך הכל
הסיכוי שדני יכשל בבחינה זו.
ר את הבחינה הואיעבולא הסיכוי שדני אם כך, 32
=−
311.
:)425(פתרונות בעמוד 4תרגול
הסיכוי שגבר יבחר לראשות העיר הוא .141
.
?שה לראשות העירישתבחר א הסיכוימה
)1( 43
)2( 21
)3( 31
)4( 41
ההסתברותבכד כדורים כחולים ואדומים בלבד. ידוע, כי אם בוחרים כדור אחד באקראי, .2
כדור כחול היא לבחור52
.
?כדור אדום לבחורהסיכוי מה
)1( 51
)2( 52
)3( 53
)4( 54
מבוא להסתברות
בעיות
415
.Rהסיכוי שירד היום גשם הוא .3
ירד היום גשם? לאמה הסיכוי ש
)1( R
1 )2( R−1 )3(
R
11− )4( 1+R
R
רצף אירועים ד.
, עלינו לבדוק מהיתרחשוכאשר אנו רוצים לבדוק מה ההסתברות לכך שמספר אירועים
. האירועיםת של כל יובין ההסתברו לכפולההסתברות לכל אחד מהאירועים בנפרד, ואז
נמצא את הסיכוי לקבלת תוצאה מסוימת בהטלת רוצים ש ,למשל ,אם: בשלבים נעבודלשם כך
נחשב את הסיכוי אחר כך ו בנפרדשתי קוביות, נחשב את הסיכוי בהטלת הקובייה הראשונה
בין התוצאות שקיבלנו בכל שלב. נכפול. בסוף בנפרדבהטלת הקובייה השנייה
רעותההסתברות לכך שמספר מאורעות יקרו ברצף = כפל ההסתברויות של כל אחד מהמאו
דוגמה א':
. הוגנותקוביות 2מטילים
בקובייה השנייה? 3בקובייה הראשונה ותוצאה 2מה הסיכוי שתתקבל תוצאה
פתרון:
נבדוק מה ההסתברות בכל שלב בנפרד, כלומר בכל הטלת קובייה בנפרד.
. ההסתברות לכך היא2בשלב הראשון אנו מעוניינים לקבל תוצאה 6, שכן יש אפשרות אחת 1
שקיימות. 6מתוך )2המספר ( שמתאימה לנו
. ההסתברות לכך היא שוב3בשלב השני אנו מעוניינים לקבל תוצאה 61
, שכן יש אפשרות אחת
שקיימות. 6מתוך )3המספר ( שמתאימה לנו
ת יוברצף, עלינו לכפול בין ההסתברו יתקבלו התוצאותי תבכדי למצוא את ההסתברות לכך שש
: ונקבל ,. נכפולשל כל שלב361
6611
61
61
=⋅⋅
=⋅ .
אי(בקובייה השנייה) ה 3 -(בקובייה הראשונה) ו 2ההסתברות לקבל את הצירוף אם כן, 361
.
- הבהרה
בהטלת מצויהרצוי וה מהננסה להבין , על מנת להבין מדוע הפעולה שנעשית היא פעולת כפל
מה סך האפשרויות (צירופי המספרים) הרצויות לנו, ומה סך האפשרויות כלומר, .שתי קוביות
רופי המספרים שייתכנו בהטלת שתי קוביות).י(צהקיימות
הצירופים המתקבליםבמונחים של ,בדוגמה א'נבחן את התוצאה שקיבלנו הבה במילים אחרות,
מבוא להסתברות
בעיות
416
:קוביות 2בהטלת
בהטלה 3 -בהטלה הראשונה ו 2( צירוף אחד שמתאים לנורק שכן יש ,1קיבלנו במונה
.)השנייהאפשרויות בהטלת הקובייה 6יש ( קוביות 2צירופים בהטלת 36 קיימים, שכן 36קיבלנו במכנה
כשיש שני שלבי - אפשרויות בהטלת הקובייה השנייה. כפי שלמדנו בשיעור צירופים 6 -הראשונה ו
בכל שלב ואז כופלים בין השלבים. בחירה, בודקים כמה אפשרויות קיימות
.)צירופים קיימים 36 = 6 ⋅ 6מכאן המצויים והרצויים. הצירופיםאנו כופלים בין השלבים משום שפעולת הכפל יוצרת את מספר
המצויים.כפל המונים נותן את מספר הצרופים הרצויים. כפל המכנים נותן את מספר הצרופים
דוגמה ב':
כדורים צהובים. יוני רוצה להוציא כדור 6 -כדורים אדומים ו 5בכל אחד מהם יש שכדים, 2ליוני
אחד מכל כד.
מה ההסתברות ששני הכדורים שיוצאו יהיו אדומים?
פתרון:
נבדוק מה ההסתברות בכל שלב בנפרד, כלומר בכל הוצאת כדור בנפרד.
מהכד הראשון, ההסתברות שהכדור יהיה אדום היאוציא כדור מכשיוני 11 אפשרויות 5, שכן יש 5
. )צהובים 6+ אדומים 5( בסך הכל כדורים 11מתוך )כדורים אדומים 5(שמתאימות לנו
גם כשיוני יוציא כדור מהכד השני, ההסתברות שהכדור יהיה אדום היא115
(המצב זהה בשני
המקרים).
תיוברצף, עלינו לכפול בין ההסתברו יתרחשו האירועיםבכדי למצוא את ההסתברות לכך ששני
: ונקבל ,. נכפוליםשלבאחד מהשל כל 12125
115
115
=⋅.
:)425(פתרונות בעמוד 5תרגול
פעמיים. הוגן מטילים מטבע .1
הראשונה ו"עץ" בהטלה השנייה?מה ההסתברות לקבל "פלי" בהטלה
)1( 1 )2( 21
)3( 31
)4( 41
מבוא להסתברות
בעיות
417
פעמים. 3 הוגן מטילים מטבע .2
מה ההסתברות לקבל "פלי" בכל אחת מההטלות?
)1( 81
)2( 41
)3( 31
)4( 21
פעמים. 3 הוגנת מטילים קובייה .3
?4 -מה ההסתברות לקבל בכל אחת מההטלות תוצאה הגדולה מ
)1( 271
)2( 181
)3( 91
)4( 31
-ע לסל שווה לשגל יקלהסיכוי .441
.
פעמים, מה הסיכוי שיקלע בשלושתן? 3אם גל זורק את הכדור לסל
)1( 121
)2( 161
)3( 641
)4( 41
. הוגנותקוביות 4מטילים .5
זוגית בהטלות -מה הסיכוי לקבל תוצאה זוגית בהטלות הראשונה והשנייה, ותוצאה אי
השלישית והרביעית?
)1( 21
)2( 41
)3( 81
)4( 161
קוביות לבנות. אמיר רוצה להוציא קובייה מהשק, 2 -קוביות שחורות ו 3בשק יש .6
ולהוציא קובייה נוספת. להחזירה חזרה
מה ההסתברות ששתי הקוביות שיוציא יהיו שחורות?
)1( 52
)2( 259
)3( 103
)4( 32
מבוא להסתברות
בעיות
418
קוביות מהשק. 2קוביות לבנות. אמיר רוצה להוציא 2 -קוביות שחורות ו 3בשק יש .7
מה ההסתברות ששתי הקוביות שיוציא יהיו שחורות?
)1( 52
)2( 259
)3( 103
)4( 32
?הוגנותקוביות 2בהטלת 12מה ההסתברות לקבל סכום .8
)1( 361
)2( 181
)3( 121
)4( 31
. 4ועל צידו השני מוטבעת הספרה 3מטילים מטבע, שעל צידו האחד מוטבעת הספרה .9
?6 -מה הסיכוי שסכום התוצאות בשתי ההטלות של המטבע יהיה שווה ל
)1( 61
)2( 21
)3( 32
)4( 41
מבוא להסתברות
בעיות
419
דף סיכום
(שמשמעותה גם סיכוי) מייצגת את המידה שבה צפוי להתרחש אירוע מסוים.הסתברות .1
:נחשב אותה באופן הבא
הסתברותהכלבסךהקיימותהאפשרויותמספר
לנוהרצויותהאפשרויותמספר=
הסיכוי לבחירת קבוצה מסוימת מייצג את חלקה היחסי של הקבוצה מתוך הסך הכל. .2
- ההסתברותגבולות .3
0≥ הסתברות≥ 1
כאשר מספר האפשרויות המתאימות לנו הוא אפס, ההסתברות להתרחשות המאורע היא
אפס
== 00
מצוייםמצויים
רצויים .
משמעה: הדבר בוודאות לא יתרחש. 0הסתברות
כאשר מספר האפשרויות המתאימות לנו שווה למספר האפשרויות הקיימות, ההסתברות
להתרחשות המאורע היא אחת
=1
מצויים
רצויים .
יתרחש. משמעה: הדבר בוודאות 1הסתברות
- סיכוי משלים .4
.1 –(הסיכוי שאותו דבר יקרה) =יקרה לאהסיכוי שדבר מסוים
- רצף אירועים .5
, עלינו לבדוק מה יתרחשוכאשר אנו רוצים לבדוק מה ההסתברות לכך שמספר אירועים
ההסתברויות של כל האירועים.בין לכפולההסתברות לכל אחד מהאירועים בנפרד, ואז
ההסתברות לכך שמספר מאורעות יקרו ברצף = כפל ההסתברויות של כל אחד
מהמאורעות
מבוא להסתברות
בעיות
420
שאלות לסיכום )425(פתרונות בעמוד
ועל צידו השני 1אהרון מטיל מטבע הוגן, שעל צידו האחד מופיעה הספרה .1
. 2מופיעה הספרה
?1מה הסיכוי שהמטבע ייפול על הספרה
)1( 1 )2( 21
)3( 31
)4( 0
?3 -ה הוגנת יתקבל מספר קטן מישבהטלת קובי ההסתברותמה .2
)1( 61
)2( 21
)3( 31
)4( 41
. בוחרים באקראי צלחת אחת. מלוכלכות 12צלחות, מתוכן 18במטבח .3
נקייה?הסיכוי שתבחר צלחת מה
)1( 61
)2( 21
)3( 31
)4( 41
. בוחרים באקראי חולצה אחת. פרחוניות 20חולצות, מתוכן 45בארון .4
פרחונית? שאינההסיכוי שתבחר חולצה מה
)1( 95
)2( 94
)3( 53
)4( 54
קוביות אדומות. 2x + 10-וקוביות לבנות x + 5 בשק .5
?אדומה קובייה לבחור באקראימה ההסתברות
)1( 15x
)2( 32
)3( 31
)4( 152x
מבוא להסתברות
בעיות
421
מהתיבות יש 3בפני מתמודד בתחרות מציגים תיבות שונות, ועליו לפתוח אחת מהן. בתוך .6
התיבות יש תקליטור. 14מהתיבות יש טלוויזיה ובשאר 4מחשב, בתוך
שמתמודד יזכה במחשב? מה ההסתברות
)1( 71 )2(
61 )3(
31 )4(
212
אקראי ילד שנועל סנדלים הואבילדים. הסיכוי לבחור 24בגן יש .731 .
נועלים סנדלים?כמה מהילדים
)1( 12 )2( 8 )3( 3 )4( 10
. שולמית בוחרת , בהן יש קולה או מיץ ענביםכוסות שתייה 18על שולחן במסיבה מונחות .8
כוס עם מיץ תבחרמהסיכוי ש 2כוס עם קולה גדול פי תבחרכוס באקראי. הסיכוי ש
ענבים.
יש קולה?כמה מהכוסות ב
)1( 15 )2( 12 )3( 10 )4( 8
ההסתברות לבחור באקראי שושנה מהם שושנים והשאר חבצלות. 3פרחים, aבאגרטל יש .9
-שווה ל31 .
a = ?
)1( 1 )2( 6 )3( 9 )4( 10
הוגנת.יוחאי מטיל קובייה .10
? 0היא תיפול על המספר מה ההסתברות ש
)1( 0 )2( 21 )3(
31 )4(
61
מבוא להסתברות
בעיות
422
על תלמידי הכיתה לבחור באמצעות הגרלה נציג למועצת התלמידים. .11
הסיכוי שייבחר בן הוא 7
3.
בת? תבחרמה הסיכוי ש
)1( 101
)2( 74
)3( 43
םתלמידיהתלוי במספר )4(
עשויים מזהב. לימור בוחרת 8תכשיטים, מתוכם 20בקופסת התכשיטים של לימור .12
באקראי תכשיט אחד מתוך הקופסא.
עשוי מזהב?שאינו מה הסיכוי שלימור תבחר תכשיט
)1( 201
)2( 121
)3( 52
)4( 53
חולצות בעלות שרוולים קצרים. 7 -חולצות בעלות שרוולים ארוכים ו 5בארון של אלי .13
אלי בוחר באקראי חולצה אחת מתוך הארון.
מה ההסתברות שאלי יבחר בחולצה בעלת שרוולים קצרים?
)1( 127
)2( 75
)3( 52
)4( 43
עטים שחורים. בוחרים מתוך הקלמר עט אחד באקראי. 21 -עטים כחולים ו 9בקלמר .14
מה ההסתברות שייבחר עט כחול?
)1( 301
)2( 91
)3( 103
)4( 73
כדורים צהובים. מוציאים מהכד כדור 3A -כדורים כחולים ו 2Aכדורים ורודים, Aבכד .15
באקראי.אחד
מה הסיכוי שייבחר כדור ורוד?
)1( 61
)2( 21
)3( 31
)4( 41
מבוא להסתברות
בעיות
423
. בוחרים באקראי ילד אחד מתוך ילדי החוג. 9עד 6בחוג לבאלט לומדים ילדים בני .16
?10 -מה הסיכוי שייבחר ילד שגילו גדול מ
)1( 1 )2( 32
)3( 31
)4( 0
בקלמר יש עפרונות משני סוגים בלבד: קצרים וארוכים. ההסתברות לבחור באקראי עפרון .17
קצר היא51.
מה ההסתברות לבחור עפרון ארוך?
)1( 51
)2( 41
)3( 43
)4( 54
פעמים. 5מטילים מטבע הוגן .18
מה ההסתברות לקבל "עץ" בכל אחת מההטלות?
)1( 51
)2( 161
)3( 321
)4( 641
קוביות הוגנות? 2בהטלת 2מה ההסתברות לקבל סכום .19
)1( 361
)2( 181
)3( 121
)4( 31
פירות מהקערה. 2אגסים. איתי בוחר באקראי 5 -תפוחים ו 4בקערה יש .20
יהיו תפוחים?מה ההסתברות ששני הפירות שיבחר
)1( 61
)2( 92
)3( 31
)4( 94
מבוא להסתברות
בעיות
424
ועל צידו 5מטיל פעמיים מטבע הוגן, שעל צידו האחד מוטבעת הספרה משתתף במשחק .21
מתוצאת ההטלה הראשונה, גבוהה ההטלה השנייה. אם תוצאת 7השני מוטבעת הספרה
הוא יזכה בפרס.
מה ההסתברות שיזכה בפרס?
)1( 121
)2( 21
)3( 31
)4( 41
עניבות מפוספסות. גלעד בוחר באקראי עניבה, 6 -עניבות חלקות ו 3בארון של גלעד יש .22
מחזיר אותה לארון ובוחר עניבה נוספת.
מה ההסתברות ששתי העניבות שיוציא יהיו חלקות?
)1( 32
)2( 92
)3( 31
)4( 91
מבוא להסתברות
בעיות
425
התשובות הנכונות
1תרגול
1 2 3 4 5 6 7 8
4 1 4 2 3 4 3 4
2תרגול
1 2 3 4
4 4 1 1
3תרגול
1 2 1 2
4תרגול
1 2 3 1 3 2
5תרגול
1 2 3 4 5 6 7 8 9
4 1 1 3 4 2 3 1 4
שאלות לסיכום
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 2
12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22
4 1 3 1 4 4 3 1 1 4 4
