Embed Size (px)
Citation preview
מבוא להסתברות
וסטטיסטיקה
ר אנה מלניקוב"ד: חברה
מבוא ודברי תודה
כל ספר . הספר הזה נולד כי לא מצאתי ספר מתאים לקורס שלי בהסתברות וסטטיסטיקה
חוץ מזה זכרתי היטב שבזמן . שפתחתי היה לטעמי או פשוט מדי או מסובך מדי או משעמם
רק כאשר התחלתי להכין . ה לי מקצוע לא מובן ולא מענייןהלימודים שלי תורת ההסתברות נרא
את הקורס שלי הוקסמתי מתורת ההסתברות והבנתי שהיא אחד מהמקצועות המתמטיים הכי
מאוד רציתי להעביר את התחושה הזאת . חשובים להשכלה כללית ולהבנת העולם סביבינו
.הצלחתי בזאת היא לשיקול הקורא. לסטודנטים שלי
בחיבור ועריכת בעיות יש הרבה . ש העיקרי בספר הזה הוא על פתרון הבעיות המעשיות ההדג
לכל פרק של בעיות יש הקדמה תאורטית המכילה כל . מטעמי האישי ותחומי ההתעניינות שלי
כמו כן . ההגדרות והמשפטים הנדרשים לפתרון הבעיות וגם פתרון של כמה בעיות לדוגמא
טורי של התפתחות תורת ההסתברות כאות תודה לאנשים על הוספתי גם את הרקע ההיס
האומץ האינטלקטואלי הגדול ביותר שהתחילו לפתח תורה מתמטית חדשה שנבנתה על היסוד של
.וודאות-אי
הספר שלה. רומה פלק מהאוניברסיטה העברית אני מודה מכל הלב לפרופסור
“To Understand Probability and Statistics” אני אסירת תודה על האישור הנדיב ביותר . כדוגמא של אוסף נפלא של בעיות מרתקות שימש לי
כל הבעיות שנלקחו מהספר שלה או בנויות על . שלה לתרגם ולהשתמש בבעיות שלה בספר הזה
. RFהרעיונות מהספר הזה מסומנות בסימן
ות לדיונים על שיטות לימוד יעילות בתורת ר דן קצין שהקדיש שע" אני מודה מאוד לעמיתי ד
כמו כן אני מודה לו ולעמיתים . ההסתברות ונתן לי טיפים נפלאים מהניסיון העשיר שלו בהוראה
ר יפים שפיגל "ר יוסף שטיין וד"ד, פרופסור טומי דרייפוס, ר איליה בריסקין"ד: אחרים שלי
. באוספי בעיות ובידע שלהםשלימדו את הקורס הזה במקביל והתחלקו איתי בנדיבות
, אני מודה לכמה דורות הסטודנטים ממכון אקדמי טכנולוגי חולון שכל כך נהנתי ללמד אותם
שמצאו פתרונות חדשים לבעיות מהספר הזה והפגינו ידע עמוק בהסתברות וסטטיסטיקה בסוף
כרת כל אחד ואחד רשימת הסטודנטים האלה ארוכה מדי מכדי להופיעה כאן אבל אני זו. הקורס
מהם
כל . שהייתה סטודנטית מצוינת ועשתה את ההגהה של הספר..... ובסוף אני רוצה להודות ל
.השגיאות שנשארו הם על מצפוני
.1 .מרחבי מאורעות והסתברות
אלגברת מאורעות. מרחב מאורעות. מאורע . 1.1
כך יהיה תמיד לפי חוק כוח . אם זורקים צלחת מזכוכית מהחלון של קומה שלישית היא נופלת למטה
אף . בלתי אפשרייםמאורעות שלא קורים אף פעם נקראים . וודאייםמאורעות כאלה נקראים . המשיכה
. זה מאורע בלתי אפשרי. מהחלון של קומה שלישית לא מרחפת עם הרוח בשמייםצלחת זכוכית שנזרקה
.מוגדרות מראש" זריקת צלחת מהחלון של קומה שלישית"תוצאות של הניסוי
. אך המציאות לא תמיד מוגדרת באופן מוחלט ולא תמיד אפשר לצפות מראש את התוצאות של הניסוי
האם לפחות חצי ? האם יעל תסכים לצאת עם אבי? י יעבור את הבחינה באינפAהאם סטודנט
התשובות לשאלות ? 6 נקבל קובייההאם בהטלת ? הם בנים" מאיר"ח "מהתינוקות שנולדו היום בבי
וליעל ואבי מצד Aאך יש הבדל גדול בין הניסויים הקשורים לסטודנט . אפשר לצפות מראש-האלה אי
וכמות יחסית של הבנים שיולדו בבית חולים מסוים ביום הקובייאחד לבין הניסויים הקשורים להטלת
לא יעבור את הבחינה מפעם Aאם סטודנט : שני הניסויים הראשונים הם חד פעמים. מסוים מצד שני
מצב רוח של יעל גם ישתנה עד פעם . ואז הסיכוי שלו ישתנה' ראשונה הוא יתחיל להתכונן למועד ב
אם אנחנו נשווה יחס בין מספר בנים למספר בנות שנולדו . והבאה כאשר אבי יבקש ממנה לצאת את
אם מטילים . היום ולפני שבוע או חודש או שנה אנחנו נראה שהוא תמיד קרוב לאחד" מאיר"ח "בבי
למלה לכלל הטלות יהיה " 6" נופלת עם צלע הקובייה הרבה פעמים אז יחס של הטלות שבהם קובייה
6קרוב ל שנותנת לנו אפשרות לחזור על יציבות סטטיסטיתבשני המקרים האלה למאורע יש . 1
. הניסוי מספר פעמים אשר נרצה
של הניסוי שאפשר לחזור עליו מספר פעמים אשר אם הוא תוצאהמקרי נקרא מאורע . 1.1.1הגדרה
.נרצה וסיכויו לא משתנים מניסוי לניסוי
.מאורע -קרי בהמשך אנו נקרא פשוט למאורע מ
1.1.2Uהגדרה מרחב מדגם
U
כל איבר . של כל התוצאות האפשריות של ניסוי של ניסוי הוא קבוצה
.אלמנטארימאורע נקרא של
U1X. הטלת מטבע–הניסוי ) 1: דוגמאות
2X
1X
2X3X4X6X
U
1X2X
3X4X
U
1X2X3X
}, פלי{= הם יםאלמנטארימאורעות . }עץ, פלי{=
.}עץ{=
U= }1 ,{ . הטלת קוביות משחק --הניסוי ) 2 הםאלמנטארייםמאורעות . }6,5,4,3,2,1{=
5X=}6{. =}5 ,{ =}4 ,{ =}3 ,{ =}2 ,{
, )פלי, עץ(, )עץ, עץ({=) . ח" ש10ח ושל " ש5מטבע של ( מטבעות שונים 2 הטלת --הניסוי ) 3
}, )פלי, עץ({ = הם אלמנטארייםמאורעות . })פלי, פלי(, )עץ, פלי( }, )עץ , עץ({ =
={ .})פלי, פלי( },)עץ, פלי({=
, פלי(, )פלי, עץ(, )עץ, עץ({=. מטבעות כאשר לא מבדילים בין המטבעות2 הטלת --הניסוי ) 4
}, )פלי, עץ({ = .})פלי, פלי({= הם אלמנטארייםמאורעות . })פלי }, )עץ , עץ({ =
1.1.3הגדרה במילים אחרות הוא אוסף של . קבוצה כלשהי של מרחב מאורעות-הוא תת מאורע
.ע המתאמים לתנאים של המאורהאלמנטארייםהמאורעות
ℑ -במלים אחרות זה קבוצה של כל תת. הוא קבוצה של כל המאורעות 1.1.4הגדרה מרחב מאורעות
.אלמנטארייםקבוצות האפשריות של מאורעות
:אנחנו נשתמש בסימונים הבאים. אנו רואים שאפשר לדבר על מאורעות בשפת הקבוצות
:B איחוד של מאורעות - ו 1. A B A+
B : A .2 חיתוך של מאורעות A -ו B⋅
: מאורע בלתי אפשרי ∅ 3.
U. מאורע וודאי : 4.
AB ⇒ B : A מאורע גורר מאורע 5.
B : הפרש בין מאורע למאורע 6. A)(\:\ BAABA = ⋅
:A מאורע משלים של 7. AUA \=
A .}6,4,2{=דוגמאות . }קבלת מספר זוגי{= A מאורע . קוביות משחק הטלת – הניסוי ) 1:
t{ }Uht },{},{, h . במקרה הזהο ℑ=/ - ועץ ב -נסמן פלי ב. הטלת מטבע–הניסוי ) 2
{ }Uhhhthhtthttthhhttt )},,(),,{()},,(),,{()},,(),,{()},,{()},,{()},,{(,
A . }קבלת לפחות פלי אחד{= A , פלי (,)פלי, עץ({=מאורע . מטבעות זהים2 הטלת --הניסוי ) 3
במקרה הזה . })פלי
ο/=ℑ
ℑℑ
CBA ,,
שבה מוגדרות שתי לפי כללים של תורת הקבוצות אנו מגדירים אלגברת מאורעות שהיא קבוצה
מאורעות (לפעולות סכום ומכפלה יש תכונות הבאות . פעולת סכום ופעולת מכפלה--פעולות
U ): מרחב מדגם-- -כלשהן ו
1.1.1משפט
1 .A=/+A6.οο /=/⋅A ο ( 11 .)() CBACBA ++=++
UU =+AUA =⋅ A ( 12 . 7 . 2 .)() CBACBA ⋅⋅=⋅⋅
( 13 .CBCACBA + ) ⋅ +⋅= ⋅ A 3 .UA =+8 .ο/=⋅ AA
4 .AAA =+ 9 .AAA ⋅ ( 14 . =)()() CBCACBA +⋅+=+⋅
5 .ABBA +=+ 10 .BA ⋅ B A= ⋅15 .BABA +=⋅ )(
16 .BABA ⋅=+ )(
במלים אחרות . שמקיים את שניהםאלמנטארי אם אין מאורע זרים שני מאורעות נקראים 1.1.5הגדרה
Aו - B זרים אם ο/=⋅ BA.
:הערה . תמיד זריםאלמנטאריים מאורעות
AB . }3 או 1קבלת {= - וA:דוגמאות }, קבלת מספר זוגי{= . הטלת קוביות משחק --הניסוי ) 1
Bזרים.
ABB. מטבעות שונים2 הטלת --הניסוי ) 2
ACAC
=⋅CBCCB
. }קבלת שני עצים{= }, קבלת פלי במטבע ראשון{=
. }קבלת לפחות עץ אחד{= - ו לא זרים כי . זרים -ו
A⋅ . עץ, עץ({ לא זרים כי({= . - ו })עץ, פלי({
12 מאורעות 1.1.6הגדרה ,,, AAAn …U
ji,nj
אם של פרוק נקראים
i ≠ iAjA כאלה ש ל 1 בין לכל .א
UUAAAA n
n
ii =+++=∑
=21
1
- ו .זרים
12 ,,, AAAn …. : .ב איחוד של הוא
A A - ו) 1 :דוגמאות
AB
CABC ,,
U . תמיד פרוק של
}, קבלת שני עצים{= }, קבלת פלי במטבע ראשון{= . מטבעות שונים2 הטלת --הניסוי ) 2
U . קבלת עץ במטבע ראשון ופלי במטבע שני{= הם פרוק של{ .
. הגדרות של הסתברות1.2
השבע עשרה בהתכתבות בין בלז פסקל רשמית תורת ההסתברות נולדה בחצי הראשון של המאה
)(Pierre Fermat) Blaise Pascal ( אבל כבר במאה השש עשרה מאה שנה לפני . ופייר פרמה
) (Girolamo Cardanoירולמו קרדנו 'ההתכתבות המפורסמת המתמטיקאי הגדול ביותר של התקופה ז
ספר " ("Liber de ludo aleae"פתר בעיות ראשונות שכולן היו קשורות למשחקי הימורים ופרסם ספר
מכספו , נציין שקרדנו היה מהמר מכור כך שהימורים גזלו הרבה מזמנו"). על משחקי הימורים
ית ורחבה בתורת אבל כנראה קרדנו הקדים את תקופת ההסתברות וההתעניינות האמית. ומהמוניטין שלו
.G(פסקל וגלילאי גלילאו , ההסתברות התעוררה רק במאה הבאה כאשר גדולי המדענים כמו פרמה
Galileo שגם היו קשורות למשחקי הימורים(לא רק פתרו הבעיות( אלא גם ניסחו את היסודות של )
. המדע החדש
n למשל בהטלת מטבע . אפשריות באותה מידהתוצאות שונות תמיד יש ) הוגנים( במשחקי הימורים
יהלום שווה 6הסיכוי להוציא ' בהוצאת קלף מחפיסת קלפי ברידג. הסיכוי של עץ שווה לסיכוי של פלי
של הסתברות מתייחסת רק למרחבי " קלאסית"לכן ההגדרה הראשונה . 'לסיכוי להוציא מלך לב וכו
במרחב מדגם אפשריים באותה אלמנטארייםלה שכל המאורעות זאת אומרת כא" סימטריים"מאורעות
. מידה
n אם במרחב מדגם יש ) קלאסית( אפשריים באותה מידה אז אלמנטאריים מאורעות 1.2.1הגדרה
היא אלמנטאריהסתברות של כל מאורע n1m A כולל אז אלמנטאריים מאורעות אם מאורע .
הסתברות שלו nm.
AA )(AP . לפי הגדרה רואים כי לכל מאורע ידי - מסמנים על הסתברות של מאורע
1)(0 ≤≤ AP .0 והסתברות המאורע הבלתי אפשרי היא 1ות המאורע הוודאי היא הסתבר .
שבליה דה . זוהי הבעיה המפורסמת מימים הראשונים של תורת ההסתברות. פרדוקס דה מרה --דוגמא
הוא ערך ניסיונות כדי . המהמר שהיי במאה השבע עשרה התעניין בתורת ההסתברות השימושית–מרה
לפי . הנה אחת מהן. כמה בעיות חשובות) בהתכתבות עם פסקל(שי וניסח לבדוק הסתברויות באופן מע
12 קוביות משחק שווה לסיכוי לקבל הסכום 3 בהטלת 11חישובים דה מרה קיבל שסיכוי לקבל הסכום
: דרכים6כי שני הסכומים אפשר לקבל ב
{ }{ })4,4,4(),5,4,3(),6,3,3(),5,5,2(),6,4,2(),6,5,1(:12
)4,4,3(),5,3,3(),5,4,2(),6,3,2(),5,5,1(),6,4,1(:11
21663 =
.וה יותר גב11אבל בבדיקות מעשיות יצא שסיכוי לקבל
מרחב המאורעות סימטרי של הניסוי הזה הוא אוסף של כל : פסקל מצא פתרון לפרדוקס דה מרה
מאורעות סך הכל המרחב כולל . השלישיות האפשריות כאשר מבדלים בין הקוביות
A= }שלישית קיבלנו ובקובייה 4ת קיבלנו אחרבקובייה, 1 אחת קיבלנו בקובייה
A=)}6,4,1,()4,6,1,()6,1,4,()1,6,4,()4,1,6,()1,4,6{(: אלמנטאריים מאורעות 6כולל } 6
)}1(),5,1,5(5,1{(
.
מאורעות 6 קוביות כולל 3שונים בהטלת ) -6 ל1בין ( מספרים נתונים 3כמו כן כל מאורע של קבלת
.אלמנטאריים
B=}אלמנטאריים מאורעות 3כולל } 5חרות קיבלנו ובשתי קוביות א1 אחת קיבלנו בקובייה : מאורע
),5, ,5,5=B
C)}4,4,4{(=
שונים ) 6 - ל1בין ( מספרים נתונים 2כמו כן כל מאורע של קבלת .
. אלמנטאריים מאורעות 3 קוביות כולל 3בהטלת
C : יחידאלמנטאריכולל מאורע } בכל שלוש הקוביות4קיבלנו {= כמו כן כל . מאורע
לכן מאורע .אלמנטארי בכל השלוש קוביות הוא מאורע -6 ל1מאורע של קבלת מספר נתון בין
636 + ומאורע אלמנטאריים מאורעות +++27336 + = }=D כולל } 11קבלת הסכום
163366 25+ + + + = E=} לפי הגדרה . אלמנטאריים מאורעות +כולל } 12קבלת הסכום
קלאסית של הסתברות 21627)( =DPו -
21625)( =EPשמסביר פרדוקס דה מרה .
אחרי שתורת ההסתברות יצאה מתחום משחקי הימורים בלבד היא התחילה להתעסק בשאלות קשורות
- זה קרה בסוף המאה השמונה. בהם כבר לא אפשריות באותה מידהאלמנטארייםלמרחבים שמאורעות
בגלל המורכבות של הבעיות החדשות היה קשה או בלתי . עשרה והיה קשור לתחילת העידן הסטטיסטי
לכן הופיע הצורך . משיקולים שונים מראשאלמנטארייםאפשרי להגדיר את הסתברויות של מאורעות
:כך נולדה הגדרה סטטיסטית. בעיות שימושיות בתורת ההסתברותבהגדרה יותר כללית שתאפשר לפתור
אם ידוע שלמאורע יש יציבות סטטיסטית ונתונים מראים ששכיחות של ) סטטיסטית (1.2.2הגדרה
mn היא Aמאורע : ניסיונות אז מגדרים מתוך nmAP =)(.
הנתונים הם אחידים . שנה באירופה רשמו את כל התינוקות כולל מינם400 -במשך יותר מ) א:דוגמאות
הסתברויות 1.2.2לפי הגדרה . בנות49% - בנים ו51%לפי הנתונים נולדים . לתקופות ומדינות שונות
)(49.0,)(51.0: הן == BPGP.
: טטיסטיים לקבוצות דם באירופה השכיחויות הןלפי נתונים ס) ב
שכיחות באחוזיםקבוצת דם
O 33%
A 42%
B 18%
AB 7%
07.0)(,16.0)(,42.0)(,33.0)( === ABPBPAPOP :והסתברויות הן בהתאם . =
רק במאה העשרים היסודות של תורת ההסתברות היו מסודרים בעבודות של אנדרי קלמוגורוב
Andrei) (Kolmogorov :גישה הכי נוחה כפי שנראתה שנקראת גישה אקסיומטית הוא המציא
ℑP הסתברות . 1.2.3הגדרה Uנתון מרחב מדגם ) אקסיומטית ( ובהתאם אלגברת מאורעות שלו
:המקיימת אקסיומות הבאותℑהיא פונקציה המעבירה את P) ( ] 0,1[לקטע ]1,0[: →ℑ
ℑ )1(Aמתקיים : - ב 0לכל מאורע 1)( ≤≤ AP
1)(
P U = )2(
)3(B)()()( BPAPBA +=+ AP אם - ו מאורעות זרים אז
ℑ :]1,0[ - מרחב מאורעות ו1.2.1משפט תהיה. תכונות של פונקצית הסתברות →ℑP
P
1)( =U
0)( =/
פונקצית
: מקיימת כללים הבאים. הסתברות
P )1(
P ο )2(
)3(B)()()( BPAPBA A P מאורעות זרים אז - ואם =+ +
)4( )(1)( APA −=
)()()\( BAPAPBA ⋅
P
P = − )5(
)6(B)()()()( BAPBPAPBA A P מתקיים - ו לכל מאורעות = + −+
1)()()( 21
⋅
)7(U kAAA ,,, 21 …P +++ kAPAPA =אם הם פרוק של אז
:הוכחה
. הם חלק מהגדרה אקסיומטית) 3 (-ו) 1(כללים
U /ο - ו) . 3(הם מסקנה ישרה מכלל ) 5 (-ו) 4(, )2(כללים
0)(1)()()()()( =−=/⇒/
:ים ומקבלים מאורעות זר
1 = + +=/= UPPPUPUPUP ο ο ο
Aו - Aמאורעות זרים ומקבלים :
)(1)()()()()( APAPAPAPAAPUP −=⇒+=+==
BA \B
1
A BAלפי הגדרה של מאורעות - זרים ו - ו\ ⋅)\()( BABAA +⋅=
)()()\()\()()( BAPAPBAPBAPBAPAP ⋅−
לכן לפי כלל
)3:(
⋅=
BBAB
+ ⇒ =
Aקודם כל ): 5(-ו) 3(הוא מסקנה של כללים ) 6(כלל +=+ \B\B
)()()()()()()()\()( BAPBPAPBPBAPAPBPBAPBAP ⋅−
מאורעות , A - ו
אזי. זרים
+=+⋅−=+=+
)()()()()()()(1 212121 kkk APAPAPAAPAPAAAPUP … +
):3(הוא הכללה כלל ) 7(כלל
=+++== + + + = = +
.קומבינטוריקה 1.3
חישוב של הסתברות של מאורע מסוים כולל
)א והסתברות שלהםאלמנטארייםהגדרה של מאורעות
)ב . שנכללים במאורע הנתוןאלמנטאריים חישוב של כל המאורעות
. אפילו בבעיות פשוטות יחסית, יכולה להיות מאוד מורכבתהשנייההמשימה
העושק בחישוב זהויות מספריות וכמויות של " ינטוריקהקומב" קיים תחום מתמטי נפרד שנקרא
.אנחנו נשתמש כאן בזהויות ושיטות קומבינטוריות כדי לחשב הסתברויות. אלמנטים בקבוצות מסוימות
?כמה שלישיות מסודרות של תוצאות קיימות. פעמים3 הוגנת קובייהמטילים : נתחיל מבעיה פשוטה
:פתרון
. אפשרויות בהטלה שלישית6 וגם שנייה אפשרויות בהטלה 6וגם , ות אפשרוי6בהטלה ראשונה יש
216666כ יש "סה =⋅ . שלישיות מסודרות⋅
בפתרון של הבעיה השתמשנו בעיקרון חשוב שנקרא :עיקרון הכפל
שלבי שכל השלבים שלו בלתי תלויים הוא מכפלה של מספר תוצאות -מספר תוצאות של ניסיון רב
. בכל אחד מהשלביםאפשריות
.נשתמש בעיקרון הכפל לקבלת זהויות קומבינטוריות חשובות
1,( קבוצה מסודרת 1.3.1הגדרה naa …nnn
nn
של ) יה מסודרת- עד 1 - מספרים שונים מ ()
חבורה נקראת קבוצה של כל התמורות האפשריות מאורך . נקרא אורך של תמורה. תמורהנקראת
.nSמסמנים אותה . סימטרית
{ })1,2,3(),2,1,3(),1,3,2(),3,1,2(),2,3,1(),3,2,1(3 S=: דוגמה
nS
n)1( −n
)1(
? כמה איברים כוללת : השאילה
: פתרון
לאחר מזה נשארו . אפשרויות למלא מקום ראשון במספר אחד כבר ( מספרים יש
)nלכן יש) השתמשנו n−2(, אפשרויות למלא מקום שני . ' אפשרויות למלא מקום שלישי וכו−
לכן יש אפשרות יחידה למלא את המקום " פנוי"ר אחד כאשר מגיעים למקום האחרון נשאר רק מספ
nSלפי עיקרון הכפל מספר איברים ב . האחרון
1)2)(1()(#: nnnnSP nn =−
:
!= = −
1!0
כדי להיות עקבים מגדירים : הערה .=
1,( קבוצה מסודרת 1.3.2הגדרה kaa …kk
n
של ) יה מסודרת- מספרים שונים מתוך קבוצה של ) (
k . . נקרא האורך של החליפהחליפה מספרים שונים נקראת
):3,2,1( אברים מתוך קבוצה 2חליפות שונות של : דוגמה
{ })2,3(),3,2(),1,3(),3,1(),1,2(),2,1(
knAkn
בדומה למספר תמורות . מספרים שונים - נסמן ב מספר של חליפות מאורך מתוך קבוצה של
:לפי עיקרון הכפל מקבלים
)!(!)1()1(kn
nknnnAkn −
=+−−=
{ }kaa ,,1 …kn מספרים קבוצה לא מסודרת של מספרים שונים מתוך קבוצה של 1.3.3הגדרה
.צירוףשונים נקראת
{ }2,1,{}3,1,{}3,2{{): 3,2,1( אברים מתוך קבוצה 2צירופים שונים של : דוגמה
knCkn
k!k
k
קבוצה של מספרים מתוך מספרים שונים -נסמן ב מספר של צירופים של
לפי מספר התמורות אנחנו רואים שכל צירוף של . נחשב את המספר איברים יוצר חליפות מאורך
:לכן.
!)!(!
! kknn
kAC
knk
n −==
knC
∑=
−=+n
i
iniin
n baCba0
)(
בפרט , מספרים מאוד שימושים בתורת ההסתברות ויש להם תכונות מאוד מעניינותכפי שנראה
. : בינומיאלייםהם מקדמים
k תכונות של 1.3.1משפט nC
knn
−11
1 ++
+ = kn
kn CCn2∑
=
=−n
k
kn
k C0
0)1(
:
∑=
=n
k
knC
0
+knC k
n CC ) ד= ) ג ) ב ) א
:כלל חשוב מאוד בפתרון של בעיות הסתברותיות הקשורות לקומבינטוריקה
מרחב מדגם סימטרי תוצאות " ואחר כך בעזרת קומבינטוריקה לחשב מספר קודם כל צריך להגדיר
. חלקי מספר תוצאות אפשריות" לטובתנו
.הסתברות מותנית. מאורעות תלויים ובלתי תלויים1.4
קיום מאורע אחד משנה הסתברות של המאורע -כאשר יש קשר בין המאורעות ידיעה על קיום או אי
.השני
61 אז 3 -אם ידוע שיצא מספר גדול מ. :דוגמה הוגנת היא הקוביי בהטלת 6הסתברות של קבלת
3 היא 6ההסתברות של .0 היא 6 אז ההסתברות של 3 -אם ידוע שיצא מספר קטן או שווה ל. 1
B במצב כזה אנחנו מגדירים הסתברות מותנית של מאורע בתנאי שמאורע A או בקיצור ( קרה
ומסמנים אותה ) :הסתברות של " B בתנאי A)|( BAP
B הסתברות מותנית של מאורע בתנאי שמאורע 1.4.1הגדרה Aידי- קרה מוגדרת על
)()()|(
BPBAPBAP ⋅
=0)( >BP . בתנאי
)(0התנאי ) 1 (:הערות >BP
)|(* B
)(AP)|()( UAPAP =
BA |
וגם , 0 -אסור לחלק ב: חינת דרישות מתמטיותהוא טבעי גם מב
B .0 - קרה לכן הסתברותו גדול ממאורע : מבחינת הגדרת הסתברות
זאת אומרת שמרחב מאורעות של . B הוא " קרה B -בתנאי ש"מרחב מותני של מאורעות ) 2 (
. B הוא
U : היא הסתברות מותנית בתנאי הסתברות רגילה ) 3 (
) 4 ( זה .לא קבוצה
: תכונות של הסתברות מותנית1.4.1משפט
1( 0)|( =/ BP ο
2( 1)|()|( == BBPBUP
)|()|()|)(( 2121 BAPBAPBAAP
21, AA= + + זרים אז אם )3
)()|()()|()( APABPBPBAPBAP ⋅
⋅ 4( = ⋅ =
kAAAלכל מאורעות )5 …,, 21
))(|()))|()()( 12112121 −⋅⋅
: מתקיים
(|( 213⋅ ⋅⋅ ⋅ ⋅⋅=⋅⋅⋅ kkk AAAAPAAPAPAAAP ……… AAAP
6( )|(1)|( BAPBAP −=
)(0- זרים וB- וA אם )7 >+ BAP אז )()(
)())(|(BPAP
APBAAP+
=+.
:הוכחה
1( 0)(
0)(
)()|( ==⋅/=/ BPBPBPBP ο ο
2( )|(1)()(
)()()|( BBP
BPBP
BPBUPBUP ===⋅ =
21, AA )3 זרים אז אם
)|()|()(
)())(
)()(
))(()|)((
21
2212121
BAPBAPBP
BAPBBP
BABAPBP
BAAPBAAP
+=
=⋅+( 1AP+
=+
⋅ ⋅ + ⋅ ⋅==
4( )(
)()|()()|()(BP
BAPBAPBPBAPBAP ⋅=⇐⋅=⋅
))(|())(|()|()()())(|()(
121213121
12112121
−
−−
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
)5 ): 4 תכונה זאת היא הכללה של
= ⋅ ⋅ =⋅⋅
kk
kkkk
AAAAPAAAPAAPAPAAAPAAAAPAAAP……
……… =
)|(1)(
)()()(
)()|( BAPBP
BAPBPBP
BAPBAP −=⋅−
=⋅
= 6(
)(0- זרים וB- וAאם ) 7 אז >+ BAP)()(
)()())(())(|(
BPAPAP
BAPBAAPBAAP
+=
++
=+
)( BAP
למשל תרגיל . 1.4.1של משפט ) 4( היא דרך תכונה ⋅לעתים קרובות הדרך היחידה למצוא
:הבא
X מנתונים סטטיסטיים ידוע . כרומוזומה-עיוורון צבעים – - דלטוניזם הוא מחלה תורשתית הקשורה ל
כרומוזומה יש תכונה -X -ת תורשתיות הקשורות ללכל המחלו. מהגברים הם עיוורי צבעים2.5%כי
p2pאם הסתברות של גבר להיוולד עם מחלה היא : הבאה בהנחה ש . אז הסתברות של אישה היא
: מאוכלוסייה גברים חשב הסתברויות הבאות50%
\ה .במדגם מקרי הוא גבר עיוור צבעים איש )א
.תנורמאלי במדגם מקרי הוא גבר עם ראיה ה\איש )ב
\ה . במדגם מקרי היא אישה עיוורת צבעים איש )ג
:פתרון
}, במדגם מקרי הוא גבר D={איש\ה {= איש\ה ) היא(במדגם מקרי הוא M: נגדיר מאורעות הבאים
:לפי נתונים מקבלים. }צבעים) עיוורת(עיוור
5.0)(,025.0)|(,000625.0025.0)|( 2 ==== MPMDPMDP
D
.
M . לכן ⋅ )א איש\ה במדגם מקרי הוא גבר עיוור צבעים זה
0125.05.0025.0)()|()( = = ⋅ MPMDPMDP = ⋅
M לכן. ⋅D זה תנורמאליה במדגם מקרי הוא גבר עם ראיה \ איש )ב
4875.05.0)025.01()()|()( =⋅−=⋅= MPMDPDMP
Mבמדגם מקרי היא אישה עיוורת צבעים זה ⋅ D . לכן איש\ה )ג
0003125.0)5.01(000625.0)()|() =−⋅=⋅=⋅ MPMDPD(MP
1.4.2Bהגדרה אם בלתי תלויים נקראים -ו A . אחרת B - ו A מאורעות )()()( BPAPBAP ⋅=⋅
.נקראים מאורעות תלויים
מאורע }, ראשונההקוביי כתוצאה מהטלת 1קבלת {=:דוגמאות A בהטלת שתי קוביות שונות מאורע
C מאורע }, השניי הקוביי כתוצאה מהטלת 3קבלת {= B=} כסכום תוצאות בהטלת שתי 4קבלת
.}קוביות
: בלתי תלוייםB- וAמאורעות 61)() == BP(AP ,A B⋅= } 1,3(קבלת זוג מסודר({ .
)()(361)( BPAPBAP ⋅==⋅.
. })C= })1,3( ,)3,1( ,)2,2: תלוייםC - וAמאורעות 121
363) ==CA ⋅ (CP ,=})1,3({ .
)()(361)( CPAPCAP ⋅≠=⋅.
)()(: תלויים 361)( CPBPCBP ⋅≠=⋅ C מאורעות B - ו
: תכונות של מאורעות בלתי תלויים1.4.2משפט
)(0 - נניח ש )1 . >BP)()|( APBAP =
0)(,0)( >> BPAP
B בלתי תלויים אם ורק אם - ו A אזי .
B . לא זרים - ו A י תלויים ו בלת אז- B - ו A אם 2(
אם 3( Aו -B בלתי תלויים אז Aו - Bבלתי תלויים ,Aו - Bבלתי תלויים ו - Aו -B בלתי
.תלויים
0)(1 -נניח ש )4 << BP . אזיAו -B בלתי תלויים אם ורק אם )|()|( BAPBAP =
:הוכחה
)( בלתי תלויים אז B- וAאם )1)(
)()()(
)()|( APBP
BPAPBP
BAPBAP =⋅
=⋅
=
)()()()|()( BPAPBPBAPBAP
אם .
B )()|( APBAP ⋅= אז =
0)()()( >⋅=⋅ BPAPBAP
A לכן - ו ⋅ = בלתי⋅
.תלויים
0)(,0)( >> BPAPA בלתי תלויים ו אז לכן - B - ו A אם 2(
B . לא זרים -ו
B בלתי תלויים אז - ו A אם 3(
)()())(1()()()()()()()( BPAPBPAPBPAPAPBAPAPBAP ⋅=−⋅=⋅−=⋅−=⋅ B- וA בלתי תלויים ו B- וA -באותה שיטה אפשר להוכיח ש. בלתי תלוייםB- וAלכן
.בלתי תלויים
nAAA מאורעות 1.4.3הגדרה ,,, 21 …jii ,,1 …
)()()()(211 jj iiiii APAPAPAAP …… ⋅
: אפשריים מתקיים נקראים בלתי תלויים אם לכל
⋅ = ⋅.
C - ו . בלתי תלויים בזוגות אך לא בלתי תלויים כולם יחדדוגמא B - נראה דוגמא ל , A
)()|( APBAP =
B A=} ראשונההקובייהטלת מספר זוגי על ,{ זוגי על -הטלת מספר אי{=. מטילים שתי קוביות שונות
.}ביותזוגי כסכום הטלות שתי קו-קבלת מספר אי{=C, }השניי הקוביי
21)()()( === CPBPAP ברור ש . בלתי תלויים B -ו Aברור ש לכן - ש- ו
21)|()|( == CBPCAP . 2)()(לכן
12
1)()|()( CPAPCPCAPCAP ⋅=⋅=⋅=⋅A ו
B Cכמו כן . בלתי תלויים -ו
אבל . בלתי תלויים C= } לכן . }השניי הקובייזוגי על -מספר אי, ראשונההקוביימספר זוגי על A -ו B⋅
))(25.0 . והם תלויים =ABPP ) =ABC
1.4.3nAAAמשפט ,,, 21 לפחות אחד ממאורעות {=… B אם נתונים מאורעות ומאורע
A ,1 nAA ,,2 (1(אז } מתקיים… 21 nAAAP …⋅−=
))(1())(1(1)( 1 nAPAPBP
((BP . בפרט אם
nAAA ,,, 21 ⋅בלתי תלויים אז .… ⋅ −−−= …
nA+
:הוכחה
nn לכן AAAAAAB …… 2121 =+++= AAB ++= - ו21…
)(1)(1)( 21 nAAAPBPBP …⋅−=−=
. נוסחת ההסתברות השלמה ומשפט בייס1.5
.בפרק הזה נדון בשני משפטים פשוטים מתמטית אך בעלי שימושים רבים
1.5.1kAAמשפט ,,1 …)(,),( 1 kAPAP … U יהיה ) משפט ההסתברות השלמה ( פרוק של עם
(יהיה . הסתברויות ידועות B מאורע עם |(,),| 1 kABPA …
)()|(()|()( 1 kk APABPAPABPBP ⋅
(BPאז, הסתברויות ידועות :
)1 += ⋅ …
kk BABAAABBUB …… +=
.
:הוכחה
: מהגדרה של פרוק אפשר לראות כי
++== 11 )(
iBA)()|()( iii APABPBAP ⋅=
) 4 (1.4.1לפי משפט . זרים ביניהם . גם ברור שכל המאורעות
:אזי
)()|()()|()()()( 111 kkk APABPAPABPBAPBAPBP ⋅+⋅=++= ……
.1.4נמשיך לפתור את תרגיל חישוב ההסתברויות של ניסוי עיוורון הצבעים מפרק : דוגמא
M איש\ה}=D במדגם מקרי הוא גבר ,{ {= איש\ה ת \עיוור) היא(במדגם מקרי הוא : נזכיר שהגדרנו
:וקבלנו לפי נתונים} צבעים
5.0)(,025.0)|(,000625.0025.0)|( 2 ==== MPMDPMDP
:ת צבעים\ה במדגם מקרי עיוור\שאישההסתברות
0128125.05.0000625.05.0025.0)()|()()|()( =⋅+⋅=⋅+⋅= MPMDPMPMDPDP
kAA ,,1 …U Bיהיה ) משפט בייס ( פרוק של ויהיה אזי, מאורע כלשהו 1.5.2משפט
)()|()()|()()|(
)()()|(
11 kk
iiii APABPAPABP
APABPBPBAPBAP
⋅+⋅⋅. ==…
)()|()( iii APABPBAP
:הוכחה
=) 4 (1.4.1לפי משפט 1.5.1 ולפי משפט ⋅
)(|()( kABPBP )|()() 11 k PABPAPA = :המסקנה מהנוסחאות האלה היא. ⋅+⋅ …
)()|()()|()()|(
)()()|(
11 kk
iiii APABPAPABP
APABPBPBAPBAP
⋅+⋅⋅
==…
kkAA ,,1 …
.
Bayes מתבטאת בכך שהמשפט מאפשר לנו לעדכן את ההסתברויות ) (החשיבות של משפט בייס
השערות זרות שהן פרוק של נניח שלפני הניסוי יש לנו . המשוערות לאחר בדיקתן בניסוי
כתוצאה של הניסוי קיבלנו . אפריוריותהסתברויות ההסתברויות של השערות שלפני הניסוי נקראות . U
B קרה כדאי לתקן את B -לאחר ש. שהסתברותו אפשר לחשב לפי משפט ההסתברות השלמה
ההסתברויות המעודכנות של . מנחה אותנו איך לעשות את זהמשפט בייס. ההסתברויות המשוערות
.הסתברויות אפוסטוריאוריותההשערות שמתקבלות לאחר הניסוי בעזרת משפט בייס נקראות
–:דוגמא זאת אומרת שמשני , " עצי-דו " מתוכם רגילים ואחד 999 מטבעות ש 1000 בשק ישנם
.ק ומתחילים להטילומוצאים מטבע מתוך ש". עץ"הצדדים שלו מוטבע
)א ? "עצי-דו"מהי הסתברות שהמטבע הוא
-דו"מה עכשיו ההסתברות שהמטבע הוא . פעמים ובכל הטלה קיבלנו עץ10 הטלנו את המטבע )ב
?"עצי
:פתרון
B .}קבלת עץ בכל העשרת הטלות{את המאורע -וב} "עצי-דו"המטבע הוא { את המאורע A -נסמן ב
001.0)(,999.0)(,1)|(,1024
1)|( ==== APAPABPABP
001980001019990: נחשבכעת 1024
1 ...)AP()AP(B|P(A)P(B|A)P(B) ≈⋅+⋅=⋅+⋅=
:הן וההסתברויות האפוסטוריאוריות
.51.000198.0
001.01)(
)()|()(
,49.000198.0
999.01024
1
)()()|()|(
≈⋅
=⋅
=
≈⋅
=⋅
=
BPAPABPBAP
BPAPABPBAP
.משתנה מקרי בדיד. 2
ממדי- משתנה מקרי בדיד חד2.1
כעת . בפרק הראשון אנחנו חקרנו מרחבי מאורעות שונים ולמדנו לחשב הסתברויות של מאורעות שונים
:נתחיל בהגדרה של משתנה מקרי. אנו מתחילים חקירה יותר מעמיקה של מרחבי מאורעות
פונקצית . מרחב מדגם 2.1.1הגדרה U יהיה RUX →:
)(AXx
A יאלמנטאר המתאימה לכל מאורע
= ).ממדי-חד( נקראת משתנה מקרי מספר ממשי
.מ כקיצור של משתנה מקרי"בהמשך נשתמש בסימון מ
קוביות כאשר מתעניינים בסכום של 2 לפעמים ערכים של משתנה מקרי הם טבעיים כמו בהטלת :הערה
ים קובעים אותם לפי טעמינו כמו בהגרלה כדור מהכד אשר בו כדורים מצבעים שונים לפעמ. מספרים
" הצלחה" תוצאות אפשריות אז לאחת קוראים 2אם לניסוי יש רק . כאשר מתעניינים בצבע הכדור
X .)כשלון=(0: מ במקרה הזה הם"הערכים המקובלים של מ". כשלון "הולשניי )הצלחה=(1, X
, משקל, למשל אם הניסוי קשור למדידת גובה. ף או בדיד בהתאם למרחב המאורעותמ יכול להיות רצי"מ
: מ יהיה בדיד"אם בניסוי מקבלים מאורעות בדידים אז מ. מ יהיה רציף"זמן או מרחק מ
12 ,, xx מ נקרא " אז מ …מ מקבל סדרה סופית או אין סופית של ערכים בדידים" אם מ2.1.2הגדרה
.מ מתאים הוא בדיד"בפרט אם מרחב מאורעות הוא קבוצה סופית אז מ. בדיד
[ ]1,0→)()( ii xPxXP ==ix : RP ידי - מוגדרת על לכל 2.1.3הגדרה במרחב מדגם פונקציה
} -ו }…,, 21 xxx∉ . X מ "רות של מנקראת פונקצית הסתב )(0 לכל =xP
נציין שבעזרת ההגדרה הזאת אנחנו מרחיבים את פונקציה P . לכל המספרים ממשיים
תכונות של פונקציה P . 2.1.1משפט
)(1 )א ≤0 ≤ ix…,2,1 P לכל i =
∑ =i
ixP )ב )(1
:הוכחה
0)(1לפי הגדרת הסתברות מקבלים ≤≤ ix…,2,1 P . בגלל שמרחב המדגם מתאים לאוסף i לכל =
{ }…,2∑ ,1 xx מקבלים =ix 1)(i
P.
X עם ערכים 2.1.4הגדרה 12מ " טבלת התפלגות של מ ,, xx
ix)( ixP
היא טבלה שבשורה עליונה שלה …
ומתחת להם .רושמים ערכים
X . הוא מספר עציםדוגמא מ " מטבעות כאשר מ3 הניסוי הוא הטלת
X 0 1 2 3
P 0.125 0.375 0.375 0.125
[ ]1,0: →R)()( xXPxF ≤= F נקראת פונקצית ידי - מוגדרת על פונקציה 2.1.5הגדרה
.Xמ "של מ) או בקצור פונקצית התפלגות(ברת התפלגות מצט
מ בדיד " הוא מ . היא פונקציה מדורגתהערות X xF)(אם ) 1
)(xF
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
≥<≤<≤<≤
<
=
3132875.0215.010125.0
00
)(
xxxx
x
xF
)(xF
במובן שכל אחת מהן מתקבלת ישירות (פונקצית התפלגות שקולה לטבלת התפלגות ) 2
.מ בדיד ורציף"מ בזה שהיא מאפשרת גישה דומה להיתרון של ). המהשניי
X " עצים" הוא מספר מ " מטבעות כאשר מ3בדוגמא של הטלת
גרף של : במקרה הזה
0.5
0.8751
0.125
310 2 X
Y
תכונות של פונקצית התפלגות2.1.2משפט
x0)(1 )א לכל . ממשי ≤xF≤
xF)( )ב .היא פונקציה מונוטונית לא יורדת
)(0 )ג =−∞F
1)( =
F∞+ )ד
.נגדיר אפיוני התפלגות
עם ערכים ,,…Xמ " תוחלת של מ2.1.6הגדרה 21 xx
∑=++==i
iiX xPxxPxxPxXE )()()()( 2211 …μ
5.1125.03375.02375.01125.00)( =⋅+
:ידי- מוגדרת על
" עצים" הוא מספר X מ " מטבעות כאשר מ3בדוגמה של הטלת
= ⋅ + ⋅XE)(XHY+ ⋅
מ אז כל פונקציה " הוא מ .מ" הוא גם מ X אם=
Y :ידי- מוגדרת על יהיה 2.1.7הגדרה מ אז תוחלת של " מ XY -מ ו" מ )(XH=
∑=++==i
iiY xPxHxPxHxPxHYE )()()()()()()( 2211 …μ
22 ))(()( XEXE בדרך כלל הערה ≠
X ידי - מוגדרת עלמ " שונות של מ 2.1.8 הגדרה
))(()( 2XXEX μ−=Var
XVarX)(ידי - מוגדרת עלXמ " סטיית תקן של מ 2.1.9הגדרה =σ.
:שונות וסטיית תקן, תכונות של תוחלת2.1.3משפט
bXaEbaXE )א ++ = )()(
0)( =
− XXE μ ב(
22 )ג )()( XXEXVar μ−=
)()( 2 XVarabaXVar =+ )ד
XbaX )ה a σσ ⋅=+
:הוכחה
∑ ∑ ∑ +=+=+= )אi
ii i
iiii xbPxPaxxPbaxbaXE )()()()()(
bXaExPbxPxai
ii
ii +=+=
∑ ∑ )()()(
Xbaכאשר לוקחים ) א-נובע מ )ב μ−== ,10)()( :=−=−=− XXXX XEXE μ μ μ μ
=−=−+=−+= Var )ג 22222 )2()2())(()( XXXXX XXEXXEXEX μμμμμ
=+−=+−=+−= ∑∑∑ 222222 )(2)()(2)()()2( XXXiiXu
iu
iXiiXu
i XEXExPxxPxxPxx μμμμμμ
22 )( XXE μ−=
∑∑ =−−+=+−+=+i
iii
ii xPbXaEbaxxPbaXEbaxbaXVar )())(()())(()( 22
)()())(( 222 XVaraxPXExai
ii∑ =−=
)ד
XbaX aXVarabaXVar σσ ==+=+ )()( 2 )ה
פונקציה ליניארית . Xσ וסטיית תקן Xμמ עם תוחלת " מX יהיה 2.1.10הגדרה X
XX
XZσμ−
=
X .נקראת נורמליזציה של
)(1,)(0: מתקייםXמ " לכל מ2.1.4משפט === XXZ ZEZVarσ.
:הוכחה
0)(1)( =−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
X
X
XX
X
XX
XX XEXE
XEZE
σμ
σσμ
σσμ
1)(1)( ==⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−= XVarXVarZVar
XX
X
XX σσ
μσ
עורכים סדרה של ניסיונות . סוף ערכים - התפלגות בדידה בעלת אין– התפלגות גיאומטרית :דוגמא
pשהסתברותה מסמנים ב" הצלחה" תוצאות אפשריות 2שבכל ניסיון יש רק
q
שהסתברותו " כשלון" ו
התפלגות . ממשיכים בניסיונות עד ההצלחה הראשונה. וכל הניסיונות בסדרה בלתי תלויים, מסמנים ב
.התפלגות גיאומטריתשל מספר הניסיונות בניסוי הזה נקראת
:טבלת התפלגות במקרה הזה
………. n …… X-1 מספר הניסיונות 2
……… pn 1−p)(X q …… q p P
:פונקצית התפלגות היא
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+<≤−−
<≤−−
<≤<
=
11
1
321
121
10
)(
2
nxnq
qp
xq
qp
xpx
xFn
: האפיונים של התפלגות גיאומטרית הם2.1.5משפט
.
;)(
;1
2
pqpqX
p
X
X
=
=
=
σ
μ
Var
:הוכחה
;)1(21
112 ∑∞
=
−−− =+−+++=n
nnnX nqpnqpqnpqpμ
∑∞
=
=1
)()(i
xfxF
∑∞
=
′=1
)()i
xf1
אם : כדי לחשב את הסכום האחרון נשתמש בכלל גזירת תורים מתכנסים בהחלת אז
′(xF . 1בפרט אם <<− x אז −11
x ∑∞
=
=0i
ixובהתאם :
21
1
)1(1
11
xxix i
−=
′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=−q
i∑∞
=
xנציב . : ונקבל =
ppp
qpnqp
n
nX
1)1(
122
1
1 ==−
== ∑=
−μ
21
1
1
1
21
1
1
12
1
122
2
1)1(
1)1(11)()(
pnqpqnnp
pnpqpqnn
ppqn
pXEXVar
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
−+−
=−+−=−=−=
∑∑
∑∑∑∞
=
−∞
=
−
∞
=
−∞
=
−∞
=
−
3: נשתמש באות טריק ונקבל1
2
1
1
)1(2
11)1()1(
xx
xxxnnxxnn
n
n
n
n
−=
″⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
−=−=− ∑∑
∞
=
−∞
=
−.
: ונקבלp
nqppq
qpqqnnp
n
n
n
n 1;2)1(
2)1(1
123
1
1 ==−
=− ∑∑∞
=
−∞
=
− qxנציב : לכן=
.)(pq
XVarX ==σ ;1)(12112)( 22222 pq
pqpq
ppq
pppqXVar =
−++ − + =−+= =
.ממדי- משתנה מקרי בדיד דו2.2למשל בצבע של כדור שהוצא מהכד או , עד עכשיו דנו בתוצאות של ניסוים הקשורים רק לפרמטר אחד
אבל לעתים קרובות משתתפים במדגם שונים זה מזה בכמה . בגובה של בן אדם שנבחר באקראי
כדורים בכד יכולים להיות לדוגמא. פרמטרים ואנחנו רוצים להבדיל בינם לפי כל הפרמטרים האלה
או סטודנטים אחרי סמסטר , פלסטיק או עץ- שחור או לבן וחומר שהם עשויים ממנו –שונים לפי צבע
או בדוגמא יותר ' אנגלית והול', פיזיקה א', אינפי א, ראשון משתנים לפי ציונים באלגברה ליניארית
, גיל: פרמטרים5ת לכל משתתף יש לפחות מתוחכמת במחקר של נטיות ממשקל תקני באוכלוסייה מסוימ
. גובה ומשקל, מבנה גוף, מין
. ממדי-מ חד"מ וקטורי שהוא הכללה טבעית של מ"ממדי למ-מ חד"בכל המקרים האלה צריך לעבור ממ
.ממדי -מ בדיד דו"אנחנו נתרכז במ
2.2.1Uהגדרה Y מאורעות ממדים במרחב-מ חד" הם מ X - ו ממדי אם -מ דו"נקרא מ) X,Y ( הזוג
U מתאים זוג .) יאלמנטארמאורע (כזה שלכל נקודה - ב A))(),((),( AYAXyx =
2.2.2X,Yהגדרה (ממדי ובדיד אז -כל אחד מהמשתנים הוא חד) X,Y ממדי -מ דו"נקרא מ) ( אם בזוג
Y .התפלגות של זוג . בדיד Xנקראת התפלגות משותפת של - ו ),( YX
),( yYxX = ),( יש הסתברות =למאורע yx
),( YX
n2X\
X,Y) אם . P(ממדי בדיד אז אפשר לבנות -מ דו" מ
Yטבלת התפלגות של זוג X : שנקראת טבלת התפלגות משותפת של - ו
x … x 1x Y
),( 1yxn),( 12 yxP),( 11 yx1 P
…
P
y
),( 2yxn),( 22 yxP),( 21 yx P
…
P
2y
),( kn yx),( 2 kyxP),( 1 kyxPk P
…
y
U:דוגמאות מרחב מאורעות הוא . מטבעות שונות2 הטלת – , )ע,פ(, )פ,ע(, )ע,ע({=הניסוי ) א
Yמ "יהיה מ. })פ,פ( X ,מ "ומ X ,1)=פלי( )עץ=(0: מתאים לתוצאה על המטבע הראשון X מתאים
X,Y)עץ=(0: לתוצאה על המטבע הראשון Y . אזי) Y ,1)=דיד וטבלת ממדי ב-מ דו"הוא מ) )פלי
:התפלגות משותפת היא
X\ 0 1Y
0.25 0.250
0.25 0.251
X : מין של משתתף אקראימ "יהיה מ.1.4נחזור לדוגמא הקשורה לעיוורון צבעים מסעיף ) ב
Y)נקבה=(0 )עיוור צבעים=(0: קיום עיוורון צבעים Y X ,מ "ומ )זכר=(1 , X ,1)= בעל ראיה
:ממדי בדיד וטבלת התפלגות משותפת היא-מ דו"הוא מ) תנורמאלי X,Y) )Y אזי .
X\ 0 1Y
0.0003125 0.01250
0.4986875 0.48751
X : מין של חולדה אקראיתמ "יהיה מ. הניסוי הוא בדיקה של מין ומשקל של חולדות במעבדה ) ג
Y)נקבה=(0 כי ) רציף(ממדי לא בדיד -מ דו"הוא מ) X,Y (אזי . משקלה Y מ "ומ, X )זכר=(1 , X הוא
.מ רציף"מ
nxx בעל ערכים Xמ "ממדי בדיד ומ-מ דו"מ) Y,X( יהיה 2.2.3הגדרה …,1
kyy ,,1 …
∑∑==
====k
jjii
n
ijij yxPxXPyxPyYP
11
),()(,),()(
)(Yn21X\
Y בעל ערכים מ "מ,
: בנפרד Y ושל X נגדיר התפלגויות של .
. ת התפלגויות שוליותהתפלגויות אלה נקראו
:ניתן להוסיף התפלגויות שוליות לטבלת התפלגות משותפת
P x … x x Y
∑=
n
ii yxP
11 ),(
),( 1yxn),( 12 yx),( 11 yx=yP 1 )(
P … P P 1y
∑=
n
ii yxP
12 ),(
),( 2yxn), 22 yx),( 21 yx2 =yP 2 )(
P … (P P y
∑=
n
iki yxP
1),(
),( kn yx),( 2 kyx),( 1 kyxk =kyP )(
P … P P y
∑∑= ,(1 ixP )jy∑=
=k
jjnn yxPxP
1
),()(∑=
=k
jjyxPx
… P1
22 ),()(∑=
=k
jjyxPxP
111 ),()()(XP
רכים בעל ע2.2.1משפט X מ "ממדי בדיד ומ-מ דו"מ) X,Y (יהיה . תכונות של התפלגות משותפת
nxx …,1kyy ,,1 Y בעל ערכים אזי. … מ "מ,
ji,. מתקיים : לכל )1( 1),(0 ≤ ≤ji yxP
∑∑= =
=n
i
k
jji yxP
1 1
1),(
)X)(YP
)2(
P) )3( התפלגויות שוליות - ו .דות רגילותממדיות בדי- הן התפלגויות חד
2.2.4nxkyyהגדרה ,,1 … x - ו1,… מ בדידים בעלי ערכים " מ Y - ו X בהתאם כאלה יהיו
j(שהתפלגות משותפת Y,X (אזי . ידועהXו -Y נקראים בלתי תלויים אם לכל i,
)()(),( jiji yPxPyxP ⋅=
: מתקיים
.
ixAX:הערות jyB)(= - כזה שAיה מאורע יה) 1 =)(
)(), ABPy j
: אזי . Y - כזה שBומאורע
. (xP i =
מובן שמושג של משתנים בלתי תלויים הוא . תלויים-אנחנו למדנו מושג של מאורעות בלתי) 2
Aאם : מושג יותר חזק במובן הבא מ בלתי תלויים ומאורע " מ Y וא מאורע כשור הX - ן
Bלמרחב מדגם של A - ו אז , Y הוא מאורע כשור למרחב מדגם של B , מאורע X --
.בלתי תלויים
X:דוגמאות , הראשונהההקוביי התוצאה מתקבלת על מ "יהיה מ. קוביות שונות2 הניסוי הוא הטלת
מ"מ, ההשניי ההקוביי התוצאה מתקבלת על Zמ"מ Y קוביות2על סכום של תוצאות מתקבלות .
: הטבלאות התפלגות הן
)(YX\ P 1 2 3 4 5 6Y
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/61
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/62
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/63
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/64
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/65
1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/66
)(XP 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1
)(XPZX \ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 0 0 0 0 1/6
0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 0 0 0 1/62
0 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 0 0 1/63
0 0 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 0 1/64
0 0 0 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 0 1/65
0 0 0 0 0 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/36 1/66
)(ZP 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 1
Z . תלויים X - ו מ "מ בלתי תלויים ומ" מ Y - ו X כפי שרואים מטבלאות
nxkyyמ בדידים בעלי ערכים " מY- וX יהיו 2.2.5הגדרה ,,1 …
Y
x בהתאם כאלה - ו1,…
סכום . ידועה) X(שהתפלגות משותפת ,YXZ ממדי שהתפלגותו מוגדרת -מ בדיד חד"הוא מ=+
)ZP=∑ידי -על=+
=zyx
jiji
yxPz ),().
nxkyyמ בדידים בעלי ערכים " מY- וX יהיו 2.2.6הגדרה ,,1 …
Y
x בהתאם כאלה - ו1,…
מכפלה . ידועה) X(שהתפלגות משותפת ,YXZ ממדי שהתפלגותו מוגדרת -ד חדמ בדי"הוא מ=⋅
.)ZP∑ידי -על=⋅
==zyx
jiji
yxPz ),()
מ"מ, הראשונהההקוביי התוצאה מתקבלת על דוגמא X מ "יהיה מ. קוביות שונות2הניסוי הוא הטלת :
Z . נגדיר. ההשניי ההקוביי התוצאה מתקבלת על YZ X Y= ממדי שטבלת -מ בדיד חד" הוא מ⋅
:אהתפלגות שלו הי
1 2 3 4 5 6 8 9 1
0
1
2
1
5
1
6
1
8
2
0
2
4
2
5
3
0
3
6
Z
361
181
361
181
181
181
361
181
91
181
361
181
91
181
363
181
181
361)(ZP
W YX +=Wממדי שטבלת התפלגות שלו היא-מ בדיד חד" הוא מ: . גדירנ
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12W
36 1
181
12 1
91
36 5
61
36 5
91
12 1
181
36 1)(WP
nx…,1kyy בעל ערכים Xמ "ממדי בדיד ומ-מ דו"מ) Y,X(אם ,,1 …
∑∑==
====n
iiiX
k
iiiY xPxXEyPyYE
11)()(,)()( μμ
)()()(,)()()(1
2
1
2i
n
iXi
k
iiYi xPxXVaryPyY ∑∑
==
−=−= μμ
x בעל ערכים Y מ "מ,
Y : כרגילפיונים של מגדרים א X - ו
- ו
Var
.אפיונים אלה נקראים אפיונים שוליים
),( YXμ μ ),( נקודה נקראת מרכז של התפלגות משותפת . 2.2.7הגדרה YX
2.2.8הגדרה nxx בעל ערכים Xמ "ממדי בדיד ומ-מ דו"מ) Y,X( יהיה …,1
kyy ,,1 …
Y בעל ערכים מ "מ,
Y :ידי- מוגדרת על - ו X קובריאנס או שונות משותפת של .
[ ])()(),( YX YXEYXCov μ μ= −⋅−
: תכונות של שונות משותפת2.2.2משפט
)1( ),(),( XYCovYXCov =
)2( )(),( XVarXXCov =
)3( ),(),( YXCovcadcYbaXCov + + = ⋅ ⋅
)4( ),(),(),( ZXCovYXCovZYXCov + = +
YXYXEYXCov μ μ= ⋅ )(),(
0),(
− ⋅ )5(
Y בלתי תלויים אזי . - ו X 6( אם מ"מ( YXCov =
X:דוגמאות ההקוביי התוצאה מתקבלת על מ "יהיה מ. קוביות שונות2 נחזור לניסוי של הטלת
Zמ "מ, הראשונה מ "מ, ההשניי ההקוביי התוצאה מתקבלת על Y2וצאות מתקבלות על סכום של ת
),(0אזי . קוביות =YXCov
917.275.3416.27)(),( ≈⋅−
Y . בלתי תלויים - ו X כי
≈⋅−⋅= ZXZXEZXCov μ μ
Y :אזי. ממדיים-מ בדידים חד" מ2.2.3משפט - ו X יהיו . תכונות של תוחלת ושונות
)1( )()()( YEXEYXE + = +
מ בלתי תלויים אז " מ Y ,X 2( אם( )()()( YEXEYXE = ⋅⋅
),(2)()()( YXCovYVarXVarYX )3( Var + = + + ⋅
Y בלתי תלויים אז - ו X מ " בפרט אם מ )4( )()()( YVarXVarYXVar +=+
),( נחשב עוד פעם :דוגמא ZXCovY XZ. מדוגמא קודמת +=
)()(
2)(2)()(
2))(()(),(
22
2222
2
XVarXE
XEXYEXE
YXXEZXEZXCov
X
XYXX
XZX
=−=
−⋅+=−+=
−+=⋅−⋅=
μ
μμμμ
μμμ
Y X , בלתי תלויים עם - ו
:לכן, אותה התפלגות
. רגרסיה ורגרסיה ליניארית2.3
מ שני"מ אחד לפי מ"של מ" טוב"השאלה העיקרית של הפרק הזה היא איך לבנות קרוב
ורוצים לבנות פונקציה ) X,Y כך XH)(( נתונה התפלגות משותפת -ליתר דיוק . בהתפלגות משותפת
Y . שהיא תהיה קרוב הכי טוב של
". קרוב הכי טוב"ה זה דבר ראשון נגדיר מ
XH)( נקרא רגרסיה של Y לפי X אם 2.3.1הגדרה
( ) ( )2
)(
2 ))(min))(( XGYEXHYEXG
−=−
baXXH
.
)(=אנחנו רוצים למצוא את הפונקציה ליניארית . נתחיל משאלה יותר פשוטה כזאת +
Y . 2.3.1ובן של הגדרה בין כל הפונקציות הליניאריות במשהיא קרוב הכי טוב של
Y לפי X אם 2.3.2הגדרה baXXH +=)(
)))(((min)))((( 2
,
2 dcXYEbaXYEdc
+−=+−
נקראת רגרסיה ליניארית של
:כדי למצוא רגרסיה ליניארית נגדיר את המקדם המתאם
0,0 -מ כאלה ש" מY- וX יהיו 2.3.3הגדרה ≠≠ XYσ σY - ו X ר מוגדהמקדם המתאם של .
: ידי-עלYX
YXCovσσ ⋅
=),(
YXr ,.
יהיה . 2.2 קוביות שונות מסעיף 2נחזור לדוגמאות קשורות להטלת תוצאה של הטלת Xדוגמאות
Z, ראשונהקובייה כפי שראינו ) א. ( סכום של שתי התוצאות-- Y - ושנייה קובייה תוצאה של הטלת
),(0 2.2בסעיף =YX0, Cov לכן גם YXr
),(,, ZXCovXZ
. =
σ σ . 2.2כפי שראינו בפרק ZXr כדי לחשב ) ב( צריך לחשב ,
)(),( XVarZXCov = ,)(XVarX =σו -
)(2()()( XVarYVarXVarZVarZ ⋅+==σ ) לכן . =
707.02
1)(2)(
)(),(, ≈==
⋅=
XVarXVarXVarZXCovr
ZXZX σσ
.
:נות של מקדם מתאם תכו2.3.1משפט
1. XYYX rr ,, =
YXdcYbaX rr ,,
.
. 2. =++
11 , ≤ 3. ≤− YXr
0,
.
מ בלתי תלויים אז " מ . Y ,X 4 אם. =YXr
1, ±=YXr. X הוא פונקציה ליניארית של Y 5 אם ורק אם.
Yהערה - ו X 2.3.1 ממשפט 4לכן הפך של סעיף , ת בין המקדם המתאם מודד רק דרגת תלות ליניארי
נגדיר טבלת התפלגות של . מ בלתי תלויים" מ -א שמזה ש"ז, הוא לא נכון Y,X YXr,0 - לא נובע ש =
: X
X -2 -1 1 2
0.25 0.25 0.25 0.25P(X)
Xμ=0מטבלה קודמת קל לראות ש 2Y X (היא: X,Y (התפלגות משותפת של . =נגדיר .
Y\X -2 -1 1 2
0 0.25 0.25 01
0.25 0 0 0.254
( ) 0025.0825.0125.0125.08),( =−⋅+⋅+⋅−⋅−=⋅−⋅= YXYXEYXCov μ μ
: משוואות רגרסיה ליניארית הן2.3.2משפט
YXYXX
Y Xr μμσσ
+−= )(ˆ,Y Y רגרסיה ליניארית של לפי X
XYYXY
X YrX μμσσ
+−= )(ˆY רגרסיה ליניארית של לפי , X
10) א:הערות ,, ≤≤ YXY
XYX
X
Y rrσσ
σσ
YX YX μμ == ˆ,ˆ
.
: מ בלתי תלויים אזי משוואות הן " מ . Y ,X אם ) ב
,,1אם ) ג =YXY
XYX
X
Y rrσσ
σσ
ˆX̂ ומשוואות Y- וXן אז יש תלות ליניארית בי
( )YX
Y- ו
.מתלכדות
μ μ,. א נקודה קו רגרסיה ליניארית תמיד עובר דרך מרכז התפלגות משותפת שהו) ד
Xדוגמאות תוצאה של הטלת יהיה . 2.2 קוביות שונות מסעיף 2 שוב נחזור לדוגמאות קשורות להטלת
Z, ראשונהקובייה אזי משוואת . סכום של שתי התוצאות-- Y - ושנייה קובייה תוצאה של הטלת
ˆ5.3רגרסיה של =5.3ˆ =X Y היא Y לפי X משוואת רגרסיה של , משוואות . Y לפי X היא
X : לפי השני הןרגרסיה של - ו Z
( )
( ) ZZXVarXVar
ZrX
XXXVarXVar
XrZ
XZZXZ
X
ZXZXX
Z
5.05.3721
)(2)(
)(ˆ
5.375.321
)()(2
)(ˆ
,
,
=+−=+−=
+=+−=+−=
μμσσ
μμσσ
.עכשיו נעבור לקו רגרסיה
:ידי- הסתברות מותנית מוגדרת על2.3.4הגדרה
)(),(
:)|()|(i
jiijij xP
yxPxyPxXyYP ====.
nkyy ממדיים עם ערכים -מ בדידים חד" מX ,Y יהיו 2.3.5הגדרה ,,1 …
)
∑=
===k
jiijjiY xXYExyPyxR
1
)|()|()(
xx ,,1 בהתאם כך -ו…
נגדיר פונקציה . ידועה) :ידי- עלXRY)(שהתפלגות משותפת X,Y
XRY)( פונקציה 2.3.3משפט
)(YRX
פונקציה . 2.3.1 במובן של הגדרה X לפי Y היא רגרסיה של
X לפי Y . באותו מובן של היא רגרסיה
Xדוגמאות תוצאה של יהיה . 2.2 קוביות שונות מסעיף 2שוב נחזור לדוגמאות קשורות להטלת ) א
- ושנייה קובייה תוצאה של הטלת Z, ראשונהקובייההטלת Y --לפי אי. סכום של שתי התוצאות -
1,61תלות בין ≤≤≤≤ ij מקבלים שלכל לכן 6 מתקיים Y - ו X 6/1)()|( == jij yPxyP
5.3=Y)( =iY xR μ .בדיוק באותו אופן מקבלים :R 5.3)( = XjX y μ עכשיו נעבור לרגרסיה . =
:של jzכדי לקצר את הטבלאות כל פעם ניקח רק . - כאלה ש X לפי Z0)|( ≠ij xzP
1| =X 2 3 4 5 76 Z
)1|( =XZP 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
5.4)1( =ZR
2| =X
3 4 5 6 87 Z
)2|( =XZP 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
5.5)2( =ZR
3| =X
4 5 6 7 9 8 Z
)3|( =XZP 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6
5.6)3( =ZR
5.7)4(,5.8)5(,5.9)6(
R = = ZZZ RR : נשווה עם רגרסיה ליניארית. = : באותו אופן נקבל
5.3ˆ += XZ .רואים שמקבלים אותו קו.
.יניארית מתלכדותאבל לא תמיד רגרסיה ורגרסיה ל
: X ידי טבלת התפלגות של - מוגדר על X נחזור לדוגמא כאשר ) ב
-2 -1 1 2X
0.25 0.25 P(X) 0.25 0.252Y X =-ו
1| −=X1|
:במקרה הזה מקבלים.
41Y X2| −=X2| =X Y Y =1 1 4 414Y
01)1|( −=XYP)1|(
XYP)2|( −=XYP)2|( =XYP 01=
0 0 11
1)1()1(,4)2()2( =− = = − = YYYY RRRR. לכן מקבלים :
XGY)(לפי הגדרת רגרסיה רואים שאם ) א:הערות )()( אז = iiY xGxR =
YxRXyR YiYXjXˆ)(,ˆ)( ==== μμ
.
מ בלתי תלויים אז " מ . Y ,X אם ) ב
. התפלגות בינומית2.4
אחת מההתפלגויות הנפוצות והשימושיות היא התפלגות ברנולי
.( Jacob Bernoulli 1654-1705)
שהסתברותה " הצלחה" תוצאות אפשריות 2 הניסיון נקרא ניסיון ברנולי אם יש לו רק 2.4.1הגדרה
X בניסיון ברנולימסמנים ב מ "מ. qשהסתברותו מסמנים ב " כשלון" ו p
: וטבלת התפלגות היא X )כשלון=(0, X )הצלחה=(1הוא בעל ערכים
0 1X
p q P(X)
סדרת ניסיונות נקראת סדרת ברנולי אם2.4.2הגדרה
nn
p
)א בסדרה יש ניסיונות כאשר .מראש נקבע
)ב .ניסיון בסדרה הוא ניסיון ברנולי כל
)ג הסתברות . נשארת קבועה לאורך כל הסדרה
)ד . כל הניסיונות בסדרה בלתי תלויים
.הדוגמא הקלאסית ביותר של ניסיון ברנולי היא הטלת מטבע הוגן) אדוגמאות
==5.0 כאן qp
p
6/1,6/5 =
.
.נשתמש בה כדי לבדוק תנאים של סדרת ניסיונות ברנולי ניקח את הדוגמא הזאת ו
זוהי סדרת ברנולי כי כל התנאים . פעמים100בוחרים מטבע הוגן ומטילים אותו )1
.מתקיימים
זוהי לא סדרת ברנולי . ראשון" עץ"בוחרים מטבע הוגן ומטילים אותו עד הופעת
.כי מספר ניסיונות לא נקבע מראש
2(
עבה ויש סיכוי קלוש שהוא ייפול באופן מאונך כך שלא בוחרים מטבע הוגן אבל )3
זוהי לא סדרת ברנולי כי . פעמים100ומטילים אותו " פלי"ולא " עץ"נקבל לא
.לכל ניסיון יש יותר משתי תוצאות
אבל באחת מהטלות המטבע מקבל , פעמים100 בוחרים מטבע הוגן ומטילים אותו )4
. משתנהי כי זוהי לא סדרת ברנול. מכה חזקה ומתעוות
, ברציפות" עצים "5 בוחרים מטבע הוגן ומטילים אותו אבל כל פעם שמקבלים )5
ורק אז ממשיכים לרשום ניסיונות " פלי"מפסקים לחשב את הניסיונות עד הופעת
.זוהי לא סדרת ברנולי כי יש תלות בין ניסיונות. רשמות100וכך עד
במקרה זה . מהווה עד דוגמא לניסיון ברנולי6ת כאשר הצלחה היא הופעת הטלת קוביה הוגנ) ב
= pqnוסדרה של . הטלות תהיה סדרת ברנולי
(Mendel) ואם . עם פרחי אפונה מקיימים תנאים סדרת ברנוליניסויים תורשתיים של מנדל ) ג
אללים מתוך קבוצה של אלל צבע 2חד מהם גן של צבע כולל הוא לקח זרעים שלכל א-נפרט
(a) כך שהסתברויות של צירופים(אדום ושל אלל צבע לבן ) A
בשאר המקרים צבעו . aa צבע של פרח לבן רק אם הצירוף הוא . שווים aa aA ,Aa -ו, AA ,
q 25.0,75.0= p = . נגדיר הצלחה כקבלת צבע לבן ונקבל . אדום –
למשל כמה הצלחות התרחשו ברציפות ומהו אורך . אם נתונה סדרת ברנולי אפשר לשואל הרבה שאלות
אבל השאלה הנפוצה ביותר היא . או מה הסדר של הצלחות וכישלונות, של סדרת הצלחות הארוכה ביותר
? ניסיונות ברנולי n מהו המספר של הצלחות בסדרת
מ שהוא מספר הצלחות בסדרה של " מ2.4.3הגדרה X nהי י
p
),( pnB
n,,1, …k
kk−knk qp −⋅
kn
ניסיונות ברנולי עם הסתברות של
Xהצלחה בניסיון בודד נסמן זאת . נקראת התפלגות ברנולי או התפלגות בינומיתהתפלגות של .
X~ .בקיצור
קרו "המאורע . אנחנו צריכים לחשב הסתברויות מתאימות. X הצלחות 0 בעל ערכים
". כישלונות - הצלחות וקרו "הוא מאורע זהה למאורע " ניסיונות ברנוליnבסדרה של
זאת היא הסתברות של כל סדרה כ
n
מספרם שווה למספר של סדרות ? כמה יש סדרות כאלה.
k−k -שונות מסודרות מnC .שהוא , אפסים :זה מוכיח את המשפט הבא - אחדים ו
),,( יהיה 2.4.1משפט pnkBnp
pq −
של תברות שבסדרה של הס ניסיונות ברנולי עם הסתברות
= -הצלחה ו 1kkn −
pnkB =),,(
אזי ). כישלונות של כישלון בניסיון בודד קרו -ו( הצלחות knkk
n qpC −.
:כמסקנה מהמשפט מקבלים
),,( 21 pnkXkB ≤ ≤ n - נסמן ב הסתברות שבסדרה של 2.4.2משפט
ppq
ניסיונות ברנולי עם
=− -לחה ו של הצהסתברות 1k2k
∑∑=
−
=
==≤≤2
1
2
1
),,( 21
k
kk
knk
kkqCpnkBpnkXkB
אזי . הצלחות 1 של כישלון בניסיון בודד קרו בין - ל
),,( kkn p
מהי הסתברות שנקבל . פעמים8בוחרים מטבע הוגן ומטילים אותו ) א 5 ? "עצים ":דוגמאות
21875.0256/1565.0)5.0,8,5( 858 =⋅== CB
00733826.05.0)5.0,80,50( 805080 ≈= CB
0796.05.0)5.0,100,50( 10050100 ≈= CB
352.0)6/5()6/1(1)6/5()6/1()6/1,18,184(3
0
1818
18
4
1818 ≈−==≤≤ ∑∑
=
−
=
−
k
kkk
k
kkk CCXB
p
? "עצים "50מהי הסתברות שנקבל . פעמים80בוחרים מטבע הוגן ומטילים אותו ) ב
? "עצים "50מהי הסתברות שנקבל . פעמים100בוחרים מטבע הוגן ומטילים אותו ) ג
? פעמים4 יופיע לפחות 6 -מהי הסתברות ש. ם פעמי18בוחרים קוביה הוגנת ומטילים אותה ) ד
נדון באפיונים של התפלגות בינומית עם . הסתברות להצלחה בניסיון בודד--
iXiiXiXiXנסמן ב
qpXEpqppqpX i =⋅+⋅=−=−⋅+⋅= 01)(,)1(01)( 2
n
nXXXX ++
האפיונים של . )כשלון=(0, )הצלחה=(1א "ז , מ של ניסיון ברנולי מספר " מ
ppVar .: הם i =
X שהוא מספר הצלחות בסדרה של ניסיונות ברנולי הוא מ " מ
= + …21
iX כאשר : מקבלים2.2.3 בלתי תלויים לכן לפי משפט
~),( יהיה 2.4.3משפט pnBX
npXEXEXEXE n =
אזי
= )א + + + )()()()( 21 …
npqXVarXVarXVarX n
Var )ב + + += )()()()( 21 … =
npqX )ג =σ
- נורמליזציה )דnpq
npXZ −=
אזי . פעמים6אותו בוחרים מטבע הוגן ומטילים ) א:דוגמאות
3)(,5.1)(,225.15.1 ==≈= XEXVarXσ
015625.05.0)5.0,6,6(
09375.05.0)5.0,6,5(234375.05.0)5.0,6,4(3125.05.0)5.0,6,3(234375.05.0)5.0,6,2(
09375.05.0)5.0,6,1(015625.05.0)5.0,6,0(
666
656
646
636
626
616
606
==
============
CB
CBCBCBCB
CBCB
.
: נחשב כל ההסתברויות
אזי . 6כאשר הצלחה בניסוי בודד היא קבלת , פעמים6 הוגנת ומטילים אותה הקובייבוחרים ) ב
16/16)(,6/5)(913.06/5 =⋅==≈= XEXVarXσ
00002.0)6/5()6/1()6/1,6,6(
006.0)6/5()6/1()6/1,6,5(008.0)6/5()6/1()6/1,6,4(
053.0)6/5()6/1()6/1,6,3(201.0)6/5()6/1()6/1,6,2(402.0)6/5()6/1()6/1,6,1(335.0)6/5()6/1()6/1,6,0(
0666
1556244
6
3336
4226
5116
6006
≈=
≈=≈=
≈=≈=≈=≈=
CB
CBCB
CBCBCBCB
:נחשב כל ההסתברויות.
kn-כפי שרואים מהדוגמאות כאשר מספר ) א:תהערו
mk
k . ההסתברות ל הצלחות עד 0 - משתנה מ
אם ( ואז יורדת מונוטונית =עולה מונוטונית עד )XE מספר שלם הקרוב ביותר ל -- np=)
)1( +),,(),,1 pnmBpn --אז ). שתי ההסתברויות הגדולות ביותר (mB pnm =− =
)(,)( XEXVar ידועות אז ובאמת אם . ידי אפיונים שלה-התפלגות בינומית מוגדרת בשלמות על) ב
qמחשבים XEXVarq :)()(
=pqp :1−= n ובסוף מחשבים אחר כך מחשבים , pXEn :)(
=
n
.
לכן 2.4.2 - ו2.4.1אז קשה להשתמש בנוסחאות של משפטים , בהתפלגות בינומית גדולהאם
. להתפלגות בינומיתינורמאלבמקרים האלה משתמשים בקרוב
יהיה ) מואבר- דה - ו2.4.4משפט – ~),משפט לפלם ( pnBX )npq
npkkZ −=)(
n
נורמליזציה -
,nqnpאם .. - מספיק גדול ו מספיק גדולים אזיXשל
2)א)(2
21),,(
kZ
X
epnkB−
≈πσ
))5.0(())5.0(()ב21),,( 12
)5.0(
)5.0(
2/21
2
1
2
−Φ−+Φ=≈≤≤ ∫+
−
− kZkZdtepnkXkBkZ
kZ
t
π
30,5,5 ≥>> nnpnq
1kk ≥
: מואבר שימושי כאשר- דה--קרוב לפלם ) א .:הערות
– -מואבר ונתונה המשימה למצוא הסתברות ש- דה בקרוב לפלס אם נתן להשתמש ) ב
:אז
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−Φ−=−=≤≤=≥
npqnpkkFnFpnnkkBpnkkB 5.01)()(),,(),,( 1
111
1kk ≤
– -מואבר ונתונה המשימה למצוא הסתברות ש- דה אם נתן להשתמש בקרוב לפלס ) ג
:אז
05.0)1()(),,0(),,( 1111 −⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+Φ=−−=≤≤=≤
npqnpkFkFpnkkBpnkkB
. התפלגות פואסון ושימושיה בהתפלגות בינומית2.5
התפלגות אחרת מאוד חשובה ונפוצה היא התפלגות פואסון
. (Simon-Denis Poisson 1781-1840)
או פניות לחדר מיון או 144למשל פניות למודיען נניח שבמשך הזמן רושמים מאורעות מסוימים
αtkת שבפרק זמן שגודלו מהי הסתברוהשאילה . התפרקות רדיואקטיבית יתקיימו בדיוק
?מאורעות
: זרם מאורעות נקרא זרם פואסוני אם מתקיימים תנאים הבאים2.5.1הגדרה
tΔ. הסתברות שמאורע אחד יקרה בפרק זמן קטן היא 1. ttotp Δ≈Δ+Δ= )(α α
tΔ. קרה יותר ממאורע אחד בפרק זמן הסתברות שי היא 2. )( to Δ
.3 . מאורעות שקורים בפרקי זמן נפרדים הם בלתי תלויים
λλידי - התפלגות מוגדרת על2.5.2הגדרה −=== ek
kPkXPk
!, פרמטר חיובי-- λכאשר , )()(:
נסמן זאת בקיצור . -- ו .ן נקראת התפלגות פואסו (Poisson))(~ λpX),()( λkkXP =
)(
p=
p…… ,,,1,0 n. הוא בעל אין סוף ערכים שלמים : λ
:נראה שזוהי באמת התפלגות
.1!!
),(;1!
),(000 0
====<=< −∞
=
−∞
=
∞
=
−− ∑∑ ∑ λλλλλ λλλλλ eek
eek
kpek
kpk
k
k k
kk
p אפיונים של2.5.1משפט )(λהם :
λ
λσλ
===
X
XXE
)()(
Var
הסתברות שמאורע אחד יקרה בפרק זמן קטן אם זרם המאורעות הוא זרם פואסוני כזה ש2.5.2משפט
tΔ tα Δt)(. , כאשר t היא אזי מספר מאורעות שקורים בפרק זמן שגודלו מתפלג לפי pλ = α λ
:דוגמא
αt.חומר רדיואקטיבי פולט חלקיקי הוא דוגמה מספר החלקיקים שמגיעים למקום מסוים במשך זמן
הליך עיטי כך במשך הזמן מספר החלקיקים הנפלטים יורד אבל זה ת. קלאסית של התפלגות פואסון
לכן בפרקי זמן קצרים יחסית הפליטה . שבמקרה של רדיום עוברות שנים רבות לפני שניתן לחוש בהבדל
, בניסוי המפורסם של רזרפורד. של החלקיקים נשארת קבועה וכל התנאים של זרם פואסוני מתקיימים
מספר כולל של . שניות7.5 פעם מספר חלקיקים שמגיעים לקולט במשך 2608דוויק ואליס הם חישבו 'צ
870.3 כך שבממוצע כל פעם נרשמו 10094החלקיקים היה 2608
10094==λ
kN)870.3,(kp⋅
בטבלה מופיעים . חלקיקים
הנתקבל לפי של פעמים שהופיעו בדיוק חלקיקים ומספר תאורתי kמספר
:אסוןהתפלגות פו
N
N )870.3,(kp⋅
kN k
0 57 54.399
1 203 210.523
2 383 407.361
3 525 525.496
4 532 508.418
5 408 393.515
6 273 253.817
7 139 140.325
8 45 67.882
9 27 29.189
10≥ 16 17.075
2608 הכ"ס2608.000
. שניתן לראות מהטבלה המספרים התיאורטיים קרובים לאלה שנתקבלו בניסויכפי
, מודיען: דוגמאות נוספות של התפלגות פואסון הן מספר פניות בפרק זמן מסוים לכל מיני מקומות כגון
.'חדר מיון וכו, תחנת דלק
npהתפלגות פואסון גם שימושית מאוד כקרוב של התפלגות בינומית כאשר
),( pnnpX
במקרים . קטנה- גדול ו
.מאורעות נדיריםהאלה אומרים שזוהי התפלגות של
λ ),(ניקח במקום . μ=נזכיר כי . B נתונה pnB)( =Xμ כאשר λpהתפלגות
),(( npkkB
.
,,(מקבלים ppn שנקרא קירוב פואסוני להתפלגות בינומית במקרה של מאורעות ≈
.p≥05.0 - וn≤100הקירוב שימושי כאשר . נדירים
n E במקרים כאשר הערה 5>= npגדול מאוד ו - קטן יכול להיות ש במקרים האלה - p.
בשאלות לגבי מספר קטן של הצלחות קירוב פואסון . אפשר להשתמש גם קירוב נורמלי גם בקירוב פואסון
.)כפי שכבר דיברנו קירוב נורמלי תמיד פחות מדויק בקצוות(! יותר מדויק
:דוגמאות
p 100=01.0). 7,7(הצלחה היא הופעת זוג . מוצאים זוגות של ספרות אקראיות)א וניקח=n
101.0100 =
,
p)1(01(נשווה תוצאות לפי . :Xμ=⋅במקרה הזה
5
.0,100(B ולפי
> 0 1 2 3 4 5k
)01.0,100,(k 0.366 0.370 0.185 0.061 0.015 0.003 0B
p )1,(k 0.368 0.368 0.184 0.061 0.015 0.003 0.001
זאת אומרת שלהורים . הרבה מחלות תורשתיות מופיעות בגלל שגיאות קבועות בתהליך שיכפול גנים) ב
למחלות מהסוג . ק שנושא גן אשר נפגם בתהליך השכפולאשר לא נושאים גנים מחלה תורשתית נולד תינו
100,000לפי מחקר ל . תסמונת דאון וכולי, המופיליה, סוכרת נעורים, הזה שייכים עיוורון צבעים
הסתברות שלילד של . שנושאים גן של המופיליה32תינוקות שנולדים להורים עם גנים תקינים יש
51032ליה יהיה גן כזה היא הורים אשר לא נושאים גנים של המופי −⋅=p
)100( ≥n
nenpnkpnkB51032555 )1032,0(1)1032,1()1032,,1(−⋅−⋅−−− =⋅⋅−=⋅⋅≥≈⋅≥
k
mmk ⋅
100>mk
לכן זוהי התפלגות בינומית
של מאורעות נדירים
n שנולדים להורים עם גנים תקינים הסתברות שלפחות לאחד יהיה בקבוצה של תינוקות
: גן של המופיליה היא
1− לפי תו תקן צריך להיות . בקונדיטוריה אופים קרואסונים עם צימוקים: בעיה של קרואסונים) ג
קרואסונים מוסיפים צימוקים כאשר לכן לבצק שממנו אופים . צימוקים לקרואסון בממוצע
i מהי ההסתברות שבקרואסון שנקנה יהיו . ? צימוקים
הסתברות של כל צימוק להיות בקרואסון הנתון היא m1
mkn =
והכנסת כל צימוק הוא ניסיון ברנולי אז יש לנו
~),1( ניסיונות ברנולי ומקבלים התפלגות בינומי m
mkBX בעלת תוחלת
km
mkX =⋅=1μ . לפי קרוב פואסון מקבלים:
!),()1,,(
ikekip
mmkiB
ik−=≈
.משתנה מקרי רציף. 3
.מ רציף ופונקצית צפיפות" מ3.1
…,, 21 xx X שמקבל סידרת הערכים . מ שטבעם רציף"אבל יש הרבה מ. מ בדיד "עד עכשיו דנו רק במ
גובה , או משקל התינוקות ברגע הלידה, למשל זמן שלוקח לסטודנט מסוים להגיע לאוניברסיטה בבוקר
.ל ודומיהם"צהחיילים מתגייסים ל
x כאשר לכל ערך ממשי , +∞ - ל− ∞Xמ רציף "נגדיר מ כמשתנה אשר מקבל כל ערך ממשי בין
)0: מתקיים =XP
)()( xXPxF
) =x .
. ת התפלגות מצטברת או בקצור פונקצית התפלגות היא פונקציפונקציה שמעניינת אותנו במקרה זה –
= .י "נזכיר שהיא מוגדרת ע ≤
מ רציף אז פונקצית התפלגות שלו "כאשר מ, מ בדיד אז פונקצית התפלגות שלו מדורגת"כאשר מ
.רציפה
Xמ רציף " תכונות של פונקצית התפלגות של מ .3.1.1משפט
x. ל לכ ממשי 0)(1 )א ≤ ≤xF
)(xF
0)(1)( =
)ב . רציפה
+ = −∞∞ FF
)(xF
)ג .
)ד . פונקציה מונוטונית לא יורדת
xF)(x)(מ רציף עם פונקצית התפלגות " מX יהיה 3.1.1הגדרה
)(xf
אם . F לא רק רציפה אך גם גזירה
מגדרים פונקצית צפיפות של התפלגות , מספר נקודות) אולי(א בכל מקום חוץ מ"ז, "כמעט בכל מקום"
xF)(הסתברויות או בקצור פונקצית צפיפות של י " ע .′ X=
Xמ רציף " תכונות של פונקצית צפיפות של מ .3.1.2משפט
x. לכל ממשי )(0 )א ≥xf
∫+∞
∞−
= 1)( dxxf
0)()( =
)ב .
∞−=∞+ )ג ff
∫∞−
=x
dttfxF )()(
)(xf)(xP
.
)ד .
במקרים האלה תפקיד של פונקצית צפיפות . מ רציפים בעלי פונקצית צפיפות"בהמשך אנחנו נדון רק במ
דומה לתפקיד של פונקצית הסתברות : כאשר מחליפים סכום באינטגרל
מ רציף"מ מ בדיד"מ
nxx ,,1 …
)(xf
1)( ≤
פיפות י פונקצית צ" מוגדר ע X מ רציף "מ) 1 X בעל הערכים מוגדר מ בדיד "מ) 1
:שמקיימתי פונקצית הסתברות "ע :שמקיימת )(xP
0) א ≤ ixP0)( ≥x
=
=n
iixP
11)(
+∞
∞−
= 1)(xf
∑∈
=Ax
ii
xPA )()(∫=A
dxxfA )()(
dXc
f א (
) ב ∫) ב ∑
A י" ע מוגדר הסתברות של מאורע ) 2 י " מוגדר ע A הסתברות של מאורע ) 2
P P
A מ "במקרה של מ. מהי הסתברות של מאורע "כפי שראינו השאלה העיקרית בתורת ההסתברות היא
" הנכונות"השאלות . 0 הוא נקודה מסוימת או אוסף סופי של נקודות היא תמיד X -רציף הסתברות ש
≥≥ -מהי הסתברות ש: מ רציף מתייחסות לקטע"במקרה של מ
∫=−=≤≤d
c
dxxfcFdFdXcP )()()()(
)
:התשובה היא ?
.
)(מ בדיד אין הבדל בין "מ רציף להבדיל ממ"במקרה של מ - ו . dXcP ( dXcP <<≤ ≤
בהתאם . מ רציף הוא מעבר מסכום לאינטגרל "מ בדיד למ"כפי שרואים השינוי הטכני במעבר ממ
:מ רציף הן"ם של מהגדרות של אפיוני
X י" מוגדרת ע3.1.2הגדרה תוחלת של . מ רציף בעל פונקצית צפיפות " מ X יהיה )(xf
∫+∞
∞−
== dxxxfXE X )()( μ
)(XGY
מ חדש " מגדרים מ שהוא פונקציה של X אם X )(=מ רציף "למ XG
⎩⎨⎧
−=≤=≤=
−
−−
1))((יורדת פונקציה G אם))((עולה פונקציה G אם
))(())(()( 1
11
yGFyGF
yGxPyxGPyFold
old
)(xFFold =
היא פונקציה הפיכה
:מ בדיד ערכים משתנים אך פונקצית התפלגות נשארת "ו במקרה של מאז כמ
X: . אנחנו יכולים עכשיו לחשב )(כאשר היא פונקציה התפלגות מצטברת של yf
( )( )
)())((
יורדת פונקציה G אם)(
))((
עולה פונקציה G אם)(
))((
1))((יורדת פונקציה G אם
)())((עולה פונקציה G אם
1
1
1
1
1
yGyGf
yGyGf
yGyGf
yGF
yGFyf
old
old
old
old
old
′=
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′−
′
=⎪⎩
⎪⎨⎧
′−
′=
−
−
−
−
−
)(xffold =
כאשר .
baX + Yבפרט אם אז =abY
aYG −=− : ומקבלים 1)(1
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=a
aby
aF
aaby
aF
yFold
old
11
1
)(<
>
אם
אם
0
0
-וa
aby
af
yfold ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=
1
)(
)(xGiyxG i =)(
)(XGY =
xחד ערכית אז צריך לוקחת בחשבון את כל - לא חד - כאלה ש והנוסחות אם
:המשפט הבא עוזר לחשב את התוחלת של . המתקבלות יותר מסובכות
Y X ידי - מוגדר על אזי3.1.3משפט מ "מ רציף ומ" מ Y יהי )(XG=
∫+∞
∞−
= dxxfxGYE )()()(
:מ הבדיד"הגדיר שונות בדיוק כמו במקרה של מהמשפט הזה מרשה לנו ל
X י" מוגדרת ע3.1.3הגדרה שונות של . מ רציף בעל פונקצית צפיפות " מ X יהיה )(xf
∫+∞
∞−
−=−= dxxfxXEX XX )()())(()( 22 μμVar
3.1.4Xהגדרה סטיית תקן של . מ רציף בעל פונקצית צפיפות " מ X יהיה )(xf י "ע מוגדרת
)(XVarX =σ.
3.1.5Xהגדרה נורמליזציה של . מ רציף בעל פונקצית צפיפות " מ X יהיה )(xf היא פונקציה
י " מוגדרת עXליניארית של X
XXZσμ−
=
:מ בדיד"מ רציף דומות לתכונות של מומנטים של מ"תכונות של מומנטים של מ
:מ רציף" תכונות של אפיונים של מ3.1.4משפט
)א2
222 )()()()( ∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−=−= dxxxfdxxfxXEXVar Xμ
)(XGY
= אם אז )ב
∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
−== 22 )()()()( YdxxfxGYVarGYE μ
baXY
,)()( dxxfx
+ =, X הוא פונקציה ליניארית של Yבפרט אם ) ג
bXaEYE
אזי
. )1(= )()( +
)()( 2 XVaraY =Var. )2 (
)3 (XY aσσ =
0
.
)( אז X הוא נורמליזציה של Zאם ) ד =ZE1 - ו=Zσ.
: דוגמאות
( (התפלגות אחידה ~),() א baUnX
X בעל פונקצית צפיפות מ רציף "מ
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<−
≤
=
bx
bxaab
axxf
0
10
)(
),(~ baUnX
),(~ baUnX
תבים בקצור כו. מ בעל התפלגות אחידה"נקרא מ .
אם אזי פונקצית התפלגות שלו היא
⎪⎩
⎪⎨
⎧
>
≤<−−
≤
=
bx
bxaaxab
axxF
1
)(10
)(
)(xFab
),(~ baUnX
היא גם גזירה בכל מקום חוץ מנקודות . היא פונקציה רציפה - ו .
אפיונים של : הם
32
12)()(
2)(
2
ab
abX
baXE
X−
=
−=
+=
σ
ab
Var
י פרמטרים "התפלגות אחידה מוגדרת ע - ו .
:דוגמאות של התפלגות אחידה
)א .התפלגות של חומר בעיקום
)ב .התקלקל) מכני( זווית שבו נעצר המחוג הגדול כאשר שעון
)ג .בוס לתחנת ביניים אם הוא יוצא מתחנה מרכזית לפי מערכת זמן שבו מגיע אוטו
~)(( התפלגות מערכית) ב ExpX.( λ
מ רציף בעל פונקצית צפיפות "מ
⎩⎨⎧
≥<
= − 000
)(xex
xf xλλ
~)(בקצור מסמנים . מ בעל התפלגות מערכית" מספר חיובי נקרא מ .λכאשר λExpX
)(~ λExpXאם
⎩⎨⎧
≥−<
= − 0100
)(xex
xF xλ
אז פונקצית התפלגות שלו
)(xF
)(~
.0מקום חוץ מנקודה היא גם גזירה בכל . היא פונקציה רציפה
ExpXאפיונים של : הם λ
λσ
λ
λ
1
1)(
1)(
2
=
=
=
X
XVar
XE
.λ י פרמטר יחיד"התפלגות מערכית מוגדרת ע
:דוגמאות של התפלגות מערכית
כמו למשל זמן שעובר מתחילת החודש עד , זמן המתנה עד מאורע ראשון בזרם פואסוני )א
' וכול144זמן שעבר מתחילת משמרת עד פניה ראשונה למודיען , השריפה הראשונה בעיר
א "ד(גות מאורעות נדירים זמן המתנה עד מאורע ראשון בהתפלגות ברנולי אם זאת התפל )ב
pח גדול "למשל זמן שעבר מתחילת התכופה עד הולדת תינוק חולה המופיליה בבי) קטן
.'וכול
)ג . אורך חיים של מכשירים חשמליים פשוטים כמו למשל נורות
. ומשפט הגבול המרכזינורמאלית התפלגות 3.2
3.2.1Xהגדרה : בעל פונקצית צפיפות מ רציף " מ
2
2
2)(
21)( σ
μ
πσ
−−
=x
exf0>σ כאשר
~),( - נורמאליתמ בעל התפלגות "נקרא מ . NX σμ
~)2,4( גרף של פונקצית צפיפות של :דוגמא NX0.2
0.15
0.1
-2.5 2.5 5 7.5
0.05
10 x (0לכל ) א:הערות מתקיים( >xf קוטביות כי לקואורדינאטות ואפשר לחשב בעזרת העברה
12
1)( 2(
∫ ∫∞
+∞
∞−
−−
== dxedxxfxσμ
πσ)(xf
)(xf
2
2)+∞
−
לכן . . היא באמת פונקצית צפיפות
לכן מחשבים פונקצית התפלגות . יטית אין פונקציה קדומה אנל לפונקציה ) ב
∫∞−
−x t
e(
π
−
= dtxF 2
2
2)
21)( σ
μ
σ. בעזרת טבלאות
σ- ו משפט הבא מסביר משמעויות של . בשלמותנורמאלית מגדרים התפלגות μפרמטרים ) ג
.הפרמטרים האלה
~),( אם אזי3.2.1משפט NX σμ
μ )אπσ
σμ
== ∫+∞
∞−
−−
dxxeXEx
2
2
2)(
21)(
22)(
2 2
2
)(2
1)( σμπσ
σμ
=−= ∫+∞
∞−
−−
dxexXx
Var ב(
~),( אם :מסקנה σμNX אזי μ הוא תוחלת של Xו - σסטיית תקן שלו .
~)1,0( 3.2.2הגדרה NXצית צפיפות שלו פונק. סטנדרטיתנורמאליתמ בעל התפלגות " נקרא מ
2/2
21)( xexf −=π
: גרף שלה.
-4 -2 2 4
0.1
0.2
0.3
0.4
~)1,0(xΦ)(נסמן ב . NX
)(x
פונקצית התפלגות של
Φלחישובים של : משתמשים בכללים הבאים
Φ 1( 5.0)0( =
5.3−≤x )(0 לכל )2 ≈Φ x4−
1)(
10בדיוק של ( )
5.3≥x Φ≈ לכל )3 x4−
5.35.3
10בדיוק של ( )
− < x)(x אם מחשבים . סטנדרטיתנורמאלית בעזרת טבלת התפלגות > 4( Φ
~),( יהיה3.2.2משפט σμNX אזי נורמליזציה שלו σ−
=XZ μ 1,0( הוא(~ NZ
⎟ -ו⎠⎞
⎜⎝⎛ −
Φ=σμxxF )(.
Xמ " רואים שתנאים הכרחיים הנדרשים כדי שמנורמאליתמהגדרה של התפלגות יהיה
: הםנורמאליתבעל התפלגות
x יש תוצאה יחידה )1( ולכלμ=x לכל : במובן הבא" הכי אפשרית" שהיאμε ≠0>
): מתקיים ) ( )ε<− xεμ ><− XPXP.
x )2( כל סטייה מתוצאה . אפשרית μ=
a≤0זאת אומרת שלכל . סטיות חיוביות ושליליות אפשריות באותה מידה )3(
)()( aXPaXP −
: מתקיים
. <=+μ μ>
הן פחות נורמאליתשל התפלגות " זנבות"לא מתקיימת אף פעם לכן תוצאות ב) 2(בפועל דרישה
.מדויקות
היא הנפוצה הנורמנית לא מתקיימים למה ההתפלגות נורמאליתאם התנאים ההכרחיים של התפלגות
? ביותר בין ההתפלגויות
תוצאה היא התפלגות " הגבול המרכזי" השפעה של גורמים רבים אז לפי משפט כאשר על התפלגות יש
: מ בלתי תלויים עם התפלגות זהה"אנו נצמצם את הדיין במשפט זה למקרה פשוט של סכום מ. נורמאלית
3.2.3nXXמשפט יהיו . משפט הגבול המרכזי ,,1 …
)()()( 112
nXEXEXVar ====== …… μσ
nXX ,,1 …
μσ nYEnY == )()( 2
יהיה . מ בלתי תלויים בעלי התפלגות זהה" מ
. )( nXVar
מ " יהיה מ סכום של אזי 1. Y
.Var )א
n ב אם . מספיק גדול אז( ),(~ nnNY σμ
nXX ,,1 … X ממוצע של א" ז אזי מ "יהיה מ 2. )(/1 1 nXXnX ++= …
μσ )א == )(/)( 2 XEnXVar.
n מספיק גדול אז )/,(~ nNX σμ. ב אם(
:הערות
iX ממשפט הגבול המרכזי לא משקפות את ההתפלגות של X וYהתפלגויות של )א
iX
30≥n
הן .
.תלויות רק באפיונים של
כפי שרואים מהציור המצורף ניתן להשתמש במשפט הגבול המרכזי ל . )ב
.מואבר הוא מקרה פרטי של משפט הגבול המרכזי- דה– משפט לפלס )ג
:נורמאליתדוגמאות של התפלגות
,יכומטריות התפלגות תוצאות בחינות פס •
, התפלגות גובה בקבוצת גיל ומין מסוימים •
, התפלגות אורך החיים של מכשירים מורכבים •
, התפלגות כמות של פרות הנקטפים מעצי דובדבן בפרדס מסוים •
, של ילדים שכבת גיל מסוימתIQהתפלגות •
. התפלגות מצב רוח של תלמידים לאחר בחינת בגרות במתמטיקה •
