اختبارات جودة التوفیقاختبارات جودة التوفیق

معلمیةمعلمیةالالباستخدام الطرق اباستخدام الطرق ا

اختبارات جودة التوفیق

٢

TTeessttss GGooooddnneessss ooff FFiitt اختبارات جودة التوفيقاختبارات جودة التوفيق))١١--١١((

.ونريد أن نعرف هل هلا نفس التوزيع االحتمايل أم ال البيانات،أحيانا يكون لدينا جمموعتني أو أكثر من التوزيــع الــذي ميكــن أن ختضــع لــه البيانــات ويــتم ذلــك بــالتعرف علــى تبــدأ عمليــة توفيــق املنحنيــات بــالتكهن باســم

اهلامـــة هلـــا مثـــل الوســـط احلســـايب اإلحصـــائيةمســـتمرة وعلـــى بعـــض املقـــاييس أمطبيعــة البيانـــات هـــل هـــي متقطعـــة ونســـتخدم البيانــات املعطـــاة واالســـم ، حيـــث ميكــن افـــرتاض امســا للتوزيـــع االحتمــايل الـــخ....املعيـــاري واالحنــراف

وهـــذه هـــي مراحـــل اختبـــار جـــودة صـــحيحا،خنتـــرب إن كـــان مـــا فرضـــناه ، مثاملفـــرتض إلجيـــاد االحتمـــاالت املتوقعـــة ..التوفيق

اختبار مربع كاي لجودة التوفيق)١-١-١( Square Goodness of fit Test-The Chi

توقعـة أم ال؟ وذلـك عنـد مســتوى جيـرى ملعرفـة هـل هنـاك فرقـا معنويـا بـني التكـرارات املشـاهدة واملاختبـار مربـع كـاي نوفـق لـه البيانـات الـذيمعني ناهيك عن كيفيه حساب التكرار املتوقع حيث خيتلف باختالف أسم التوزيع معنوية

:جيرى االختبار كاآليت. :الشروط)أ(

تقسـيم كمـا ميكـن بيانات العينة تكون مستقلة بعضها عن البعض وحدة القيـاس ممكـن أن تكـون أمسيـة علـى األقـل موعات الغري متداخلة على أن تكون هذه الفئات شامله ومانعه r عدد إىل املشاهد التكرار .من الفئات أو ا

:على سبيل املثال ميكن وضع البيانات يف جدول تكراري كاآليتtotal 3……….…i……………r 2 1 categories

n O3……….Oi………….Or O2 O1 f0 هنـاك السـتكمال الفـروض نفـرض أن . iمتثـل التكـرار املشـاهد للفئـة رقـم Oi، هدة متثل التكرارات املشا f0حيث

احتمــاالتوبــذلك يكـون لـدينا iوهـو احتمـال أن تقــع مشـاهدة بطريقـة عشــوائية يف خليـة معينـة رقـم Piاحتمـال بشـرط P1,P2,…Prمنـاظرة جلميــع اخلاليــا نرمـز هلــا بــالرمز

11

r

iiP

احتمـال وقــوع مشــاهدات يف وهــي متثــليف استخدامهاتوزيع كذلك ميكن إىلوختتلف من توزيع إحصائيةهذه االحتماالت حتدد بطريقة . اخلاليا املختلفة

معىن ذلـك أنـه ميكـن احلصـول . nتوقعة بضرب هذه االحتماالت يف جمموع التكرارات احلصول على التكرارات املnP1,nP2,…nPr :علـى التكـرارات املشـاهدة كـاآليت

1

r

iinP n

وسـنرمز للتكـرارات املتوقعـة بـالرمزE1,E

2,…Er :الفروض) ب(

اختبارات جودة التوفیق

٣

:ميكن أن يكون لدينا زوج الفروض التايل البيانات هلا توزيع معني: العدمي البيانات ال تتبع ذلك التوزيع: البديل

له البيانات أما قبولنـا للفـرض البـديل يعـين رفـض االسـم يعين حتديد اسم التوزيع الذي ختضع يقبولنا للفرض العدم .اسم آخر كبديل بل تتطلب العملية مزيد من احلسابات واالختبارات إىلنتوصل إننااملقرتح للتوزيع وال يعىن ذلك

:إحصائي االختبار) ج( :حيسب إحصائي االختبار كاآليت

2

1( )

r

c i i iiO E E

مـن هـذه (r-1)تغري خيضع لتوزيع كاي تربيع حتت شروط معينة وذلـك بـدرجات حريـة حيث مت أثبات أن ذلك امل

:الشروط اآليت ٣٠أن يكون جمموع التكرارات أكرب من )١( ٥أن يكون التكرار املتوقع لكل خليه أكربمن )٢(

Kolmogorov فمسـري نـو إذا مل يتحقـق الشـرط األول فإننـا نسـتخدم اختبـار بـديل مثـل اختبـار كولـوجمروف Smirnov Test تكـرارات بعـض اخلاليـا ميكـن لنـا تطويـع البيانـات بضـم وعنـد عـدم حتقـق الشـرط الثـاين فإنـه

جـودة توفيـق بعـض التوزيعـات الختبـارعند استخدام ذلك االختبار .ضملكل عملية حريةاملتجاورة مع فقد درجه ر معـامل هـذه التوزيعـات مث نسـتمر يف عمليـة غالبا ما تكون معامل هذه التوزيعات جمهولـة ونبـدأ عمليـة التوفيـق بتقـدي

إذا كنا نوفق التوزيع الطبيعي وكـان لـدينا فمثال . هنا أن تقدير كل معلمة نفقد مقابلة درجة حرية ناالتوفيق وما يهم وقمنا بتقديرمها فأننا نفقد درجتني حريتني وبذلك ميكـن القـول بأنـه) الوسط احلسايب و التباين (معلمتني جمهولتني

عـدم القـدرة علـى إجـراء إىلأذا كان عدد الفئات قليال وفقدنا درجات حرية لسبب أو آلخر فان ذلك سيؤدي بنا .االختبار لعدم وجود درجات حرية

-:التوزيع المنتظم -١

اختبارات جودة التوفیق

٤

):١-١-١(مثال

:يف مصنع معني ألربعةا السنةوهي لعدد العمال الذين تركوا العمل يف فصول التاليةلدينا البيانات إننفرض

Season Winter Spring Summer Automn Total

F 10 22 19 9 60 وذلك عند) منتظم وزيعوفق ت( =ال ؟ أميف الفصول األربعة متساويةاخترب هل العمال الذين يرتكون العمل

؟%٥ معنويةمستوى

-:الحل البيانات تتبع التوزيع املنتظم: 0Hالفرض العدمي

البيانات ال تتبع التوزيع املنتظم :1Hالبديلالفرض مث ، ٢٥وهي اويةمتسباحلصول على االحتماالت يف كل فصل فنجدها منتظما توزيعا أوال قاالختبار نوف إلجراء

لكل خليه ١٥فيكون التكرار املتوقع هو تالتكرارابضرب االحتمال يف جمموع عالتكرار املتوقاحلصول على :التوفيق كاآليت وإجراء

2cx

iE i 0f Season 1.67 15 .25 10 Winter 3.27 15 .25 22 Spring 1.67 15 .25 19 Summer 2.40 15 .25 9 Automn 8.41 60 1 60 Total

من القانون احملسوبة 2وبذلك تكون قيمه2 2

1

( ) /r

c i i ii

x O E E

من اجلداول بدرجات ونستخرج ٨.٤١هيوبذلك نرفض الفرض القائل أن هذه البيانات تتبع ٧,٨١٥فنجدها 2قيمه% ٥ومستوى معنوية ٣حرية

التوزيع املنتظم

اختبارات جودة التوفیق

٥

)٢-١-١(مثال

:النتائج املالحظة على النحو اآليت تفكان، مره حتت نفس الشروط 420 دألقي حجر نر

الظاهرة طعددا لنقا 1 2 3 4 5 6

iOالتكرارات املشاهدة 64 72 56 80 78 70

0.01 النرد هذا متجانسا عند مستوى معنوية رهل ميكن اعتبار حج ؟

-:الحل البيانات تتبع التوزيع املنتظم: 0Hالفرض العدمي البيانات ال تتبع التوزيع املنتظم: 1Hالفرض البديل

j=1,....., 6يف هذه املسألة { };iA i وفرضيه العدم:

10 601 1 420: ( ,..., ) ,..., , 420, 706 6 6O OH p p p p n p

:صل على اجلدول اآليتحن OHبافرتاض صحة الفرضية jAالظاهرة طعددا لنقا 1 2 3 4 5 6

iOاملشاهدة تالتكرارا 64 72 56 80 78 70 inpعالتكرار املتوق 70 70 70 70 70 700 8 10 14 2 6 | |i iO np

-:وعليه القيمة املالحظة إلحصاء االختبار26

2

1

( ) 1 400(36 4 196 100 64 0) 5.71470 70

i ic

i i

O EE

2القيمة احلرجة أن ومبا0.01:5 15.086X 2فان 2

0.01:5cX X وبالتايل نقبل الفرضية oH ،أي أن حجر النرد ..متجانس

):٣-١-١(مثال

اختبارات جودة التوفیق

٦

فكانت النتائج على ،ساعة ولوحظ الوقت عليها500أخذت عينة عشوائية من ، يف إحدى معارض الساعات :النحو التايل

11 10 11 9-10 8-9 7 8 6-7 5-6 4-5 3-4 2-3 1-2 0-1 الفرتة الزمنيةiA iOالتكرار 41 34 54 39 49 45 41 33 37 41 47 39

يتبع التوزيع املنتظم املالحظ هل ميكن القول إن الوقت 0,12R 0.05عند مستوى معنوية ؟

:الحل يع املنتظمالبيانات تتبع التوز : 0Hالفرض العدمي البيانات ال تتبع التوزيع املنتظم: 1Hالفرض البديل

هنا 121, , 1, 2,....,11, 11iA i i i A وفرضية العدم: 0,......,12i i iA 0

112iH

:حنصل اجلدول0Hوبفرض صحة الفرضية

:االختبار والقيمة املالحظة إلحصاء 212

2

1

0.00 1.25 4.00 0.11 1.49 0.36 0.001.26 0.42 0.00 0.83 0.11 10.19

i ic

i i

O EE

1بـ2ومن جدول توزيع 12 1 11k درجة حرية جند القيمة احلرجة املوافقة ملستوى معنوية0.05 2تساوي

0.05:11 19.675 2ومبا أن 20.05:11c 0نقبل الفرضيةH. أي أن الوقت املالحظ خيضع

للتوزيع املنتظم 0,12R. :التوزيع الطبيعي -٢

11 10 11 9-10 8-9 7 8 6-7 5-6 4-5 3-4 2-3 1-2 0-1 iA 39 47 41 37 33 41 45 49 39 54 34 41 iO

41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 41.17 in 2.17 5.83 0.17 4.17 8.17 0.17 3.83 7.83 2.17 12.83 7.17 0.17 i iO n

اختبارات جودة التوفیق

٧

)٤-١-١ (مثال

:نفرض أن لدينا البيانات التاليةClasses 0.61- 1.21- 1.81- 2.41- 3.01- 3.61- 4.21-

1 3 4 65 180 328 408 0f Classes 4.81- 5.41- 6.01- 6.61- 7.21- 7.81- 8.41- 9.0

284 83 13 1 1 0 1 %.٥ال وذلك عند مستوى أماملطلوب اختبار هل هذه البيانات تتبع التوزيع الطبيعي

:الحل :خنترب الفرض العدمي والبديل اآلتيني

.البيانات تتبع التوزيع الطبيعي:0Hالعدمي .البيانات ال تتبع التوزيع الطبيعي:1Hالبديل

:اد االختبار نوفق أوال التوزيع الطبيعي مث خنترب جودة التوفيق كاأليتإلجي :التوفيق إىل التوزيع الطبيعي ) أ(

:الدالة االحتمالية للتوزيع الطبيعي هلا الشكل التايلx 2 21 exp / 2

2f x x

, أنحيث التوفيق بتقدير معامل التوزيع بطريقة العزوم وذلك باحلصول على ةتبدأ عملي،امل للتوزيع هي املع :املعادلتني التاليتني

2 22

/ 4.32

/ 1 0.81

i i i

i i i i

f x f

n f x f x n n

يف املذكورةنستخدم هذه التقديرات ودالة االحتمال . فيما بعداحلرية على درجات العمليةهذه تأثريالحظ وقع لكل خلية مث بالضرب يف جمموع التكرارات حنصل على التكرار املتوقع لكل احلصول على االحتمال املت

:كاأليتخلية قيمة معيارية إىل األدىنحنول ذلك احلد IiX هو iللفئة األدىناحلد أنملتوقع نفرض ل ااماالحت إلجياد

:كاأليتدر بطرح الوسط املقدر والقسمة على االحنراف املعياري املق /c cZ X M

اختبارات جودة التوفیق

٨

. فنحصل على احلدود الدنيا املعيارية للفئات املختلفة iهو احلد األدىن املعياري للفئة 1iZعلى فرض أن يستخدم جدول االحتماالت للمنحىن الطبيعي يف احلصول على االحتماالت املناظرة للحدود

11الدنيا 12Z Z ولكن التكرار املتوقع لبعض ٣٠يف مثالنا هذا نالحظ أن جمموع التكرارات أكرب مناخلاليا سيقل عن مخسة فنقوم بضم بعض اخلاليا املتجاورة مع األخذ يف االعتبار تأثري ذلك على درجات

يقة املساحات وحنن نقول وهو ميثل توفيق البيانات إىل منحىن طبيعي بطر ) ١(حنصل على جدول . احلريةسنتعرف عليها من تبطريقة املساحات ألنه توجد طريقة أخرى للتوفيق يطلق عليها اسم طريقة اإلحداثيا

ــدولج. مثال أخر ـــ ــ )١(ـــ فرق االحتمال االحتمال التكرار احلدود الدنيا

iE 2c

2.4 8 -2.37037 0.0091 0.0091 12.4852 1.611269266 2.41 65 -2.358025 0.0526 0.0435 59.682 0.473863543 3.01 180 -1.617284 0.1894 0.1368 187.6896 0.315041154 3.61 328 -0.876543 0.4443 0.2549 349.7228 1.349297329 4.21 408 -0.135802 0.7257 0.2814 386.0808 1.244432069 4.81 284 0.604938 0.9115 0.1858 254.9176 3.317879934 5.41 83 1.345679 0.9817 0.0702 96.3144 1.840568465 6.01 13 2.08642 0.9977 0.016 21.952 3.65061516 6.6 3 2.814815 0.0023 3.1556 0.007672506 موع 13.81063943 1372 ا

للحصول على إحصائي االختبار حنصل على قيمة كاي احملسوبة فنجدها 2 13.8c

وخبصم ثالث ٩ج هو احلرية فنجد عدد اخلاليا بعد الدم درجات أوالللحصول على كاي اجلدولية حندد عند مستوى معنوية . ٦اين فتكون درجات احلرية هي درجات حرية منهم درجتني مقابل تقدير الوسط والتب

الفرض العدمي طاملا أن كاي احملسوبة أكرب من رفضوبذلك ن ١٢.٥٩٢جند أن كاي اجلدولية هي % ٥ .ة إذن البيانات ال تتبع التوزيع الطبيعي اجلدولي )٥-١-١(مثال %. ٥واخترب جودة التوفيق عند اإلحداثياتالتوزيع الطبيعي بطريقة إىلوفق التاليةمن البيانات

Classes 20- 25- 30- 35- 40-45 7 25 33 27 8 0f

:لحلا

اختبارات جودة التوفیق

٩

:املطلوب توفيق توزيع طبيعي واختبار الفروض التالية .يالبيانات تتبع التوزيع الطبيع: 0Hالعدمي .البيانات ال تتبع التوزيع الطبيعي: 1Hالبديل

,حيث أن التوفيق بتقدير معامل التوزيع بطريقة العزوم وذلك باحلصول على ةتبدأ عملي،هي املعامل للتوزيع :املعادلتني التاليتني

2 22

/ 32.7

/ 1 5.314

i i i

i i i i

f x f

n f x f x n n

يق للمنحىن الطبيعي باستخدام طريقة اإلحداثيات باحلصول على القيم املعيارية املناظرة ملراكز الفئات يتم التوفمث نستخرج من جدول اخلاص بإحداثيات املنحىن الطبيعي اإلحداثي الرأسي املناظر للقيم املعيارية احملسوبة مث

طول الفئة والقسمة على االحنراف املعياري حنسب التكرار املتوقع بضرب اإلحداثيات يف جمموع التكرارات يف )٢(كما يف اجلدول

ــــدول ــ )٢(جــ f z xz

التكرار مركز الفئاتf احلدود الدنيا

0.06562 -1.9 22.5 7 20 0.26609 -0.9 27.5 25 25 0.39894 0 32.5 33 30 0.26609 0.9 37.5 27 35 0.06562 1.9 42.5 8 40

درجتني وباستخدامومن اجلداول ١.٣٥٥٩االختبار أي حنصل على كاي احملسوبة فنجدها إحصائيحنصل على .وبذلك نقبل الفرض العدمي القائل أن البيانات تتبع التوزيع الطبيعي ٥.٩٩حريتني جند أن كاي اجلدولية هي

:توزيع ذي الحدين -٣

):٦-١-١(مثال :من البيانات التالية وفق توزيع ذي احلدين

0 1 2 3 4 5 Total x 2 4 5 16 30 23 80 0f

%.٥مث اخترب جودة التوفيق عند مستوى

اختبارات جودة التوفیق

١٠

:الحل :دين واختبار الفروض التاليةنحىن ذي احلماملطلوب توفيق

.البيانات ختضع لتوزيع ذي احلدين: 0Hالعدمي .البيانات ال ختضع لتوزيع ذي احلدين :1Hالبديل

حيث n,على معلمتني جمهولني ومها متوقفةلتوفيق توزيع ذي احلدين جند أن دالة االحتمال لذلك التوزيع :أن الدالة تكون كاأليت

0,1,2, ,x n n x n xxf x q

5nمن البيانات املعطاة جند أن ويكون املطلوب تقديرقة العزوم حنسب العزم النظري طري باستخدام :األيتمث نساويه بالعزم التجرييب nللتوزيع فنجدة مساويا

/ 3.7125i i ix f x f ˆ xP

n

:وهو فنحصل على تقدير للمعلمة / 0.7425i i if x n f

,على دالة التوزيع االحتمايل لتوزيع ذي احلدين بعد التعويض عن قيمة كل منحنصل ,q n كاأليت: 0,1,2, ,5x 55 0.7425 0.2575x x

xf x ا يف التكرارات املتوقعة مث حنصل على حنصل على nهذه الدالة تستخدم يف إجياد احتماالت متوقعه وبضر

)٣(إحصائي االختبار يف جدول ـــدول )٣(جــ

2x ef 0f x 0.481 8.927 11 2 1.504 21.306 16 3 0.054 31.306 30 4 1.356 18.053 23 5 2 3.395c 80 80

ومستوى ) ٢(من جداول كاي وبدرجات حرية . مت ضم اخللية األوىل والثانية لتحقق شروط تطبيق اختبار كاي ن البيانات تتبع توزيع ذيوبذلك نقبل الفرض العدمي القائل أ ٥.٩٩١جند أن كاي اجلدولية هي % ٥معنوية .احلدين

-:توزيع بواسون -٤

اختبارات جودة التوفیق

١١

)٧-١-١(مثال

5%:معنويةمن البيانات التالية وفق توزيع بوسون مث اخترب جودة التوفيق عند مستوى X 0 1 2 3 4 5or more Total

40 35 14 8 2 1 100 0f -:الحل .البيانات تتبع توزيع بواسون: 0Hالعدمي .بواسون تتبع توزيع البيانات ال: 1Hالبديل

:للتوزيع وهي االحتماليةلتوفيق توزيع بواسون نستخدم الدالة ( ) , 0,1, 2,...

!

xef x xx

:فنحصل علىونستخدم طريقة العزوم لتقديروهي حتتوي على معلمة واحدة جمهولة ˆ / 1i i ix f x f

ـــي :وبذلك تكون دالة التوزيع املتوقعة هـ( ) 1/ ( ), 0,1, 2,...f x e x x

االختبار إحصائيمث التكرارات املتوقعة مث حنصل على املتوقعةيف احلصول على االحتماالت لدالةانستخدم :كمايلي

2x ef 0f X 0.28 36.79 40 0 0.09 36.79 35 1

1.05 18.39 14 2 1.1 8.03 11 3 or more

2.52 4 جند % 5 معنويةومستوى )2( حريةباستخدام درجات .لتحقيق شرط تطبيق االختبار األخريتنيمث ضم اخلليتني

ونرفض نقبل الفرض العدمي احملسوبةالقيمة اجلدولية اكرب من القيمة أنوحيث 5,99اجلدوليه هي 2 أن . الفرض البديل

اختبارات جودة التوفیق

١٢

)٨-١-١(مثال

على النحو تكان، أخذت عشوائيا، أسبوع 100نتيجة رصد عدد حوادث املرور على إحدى الطرق خالل :األيت6

iAعدد احلوادث األسبوعية 0 1 2 3 4 5

iOعدد األسابيع 35 30 14 8 6 5 2

لعدد حوادث املرور على تلك الطرق يف األسبوع إذا رمزنا ب 1 ; 1, ,6,iA i i 7, 6A حادثة يف األسبوع عند 1.5فهل ميكن اعتبار هذا املتغري خاضعا لتوزيع بواسون مبتوسط

0.10مستوى معنوية ؟

-:الحل .البيانات تتبع توزيع بواسون: 0Hلعدميا

.بواسون تتبع توزيع البيانات ال: 1Hالبديل

:هنا فرضية العدم 1.50 0

1.5; 0,1,...

!

x

H f x f x e xx

:حنصل على اجلدول األيت 0Hوبفرض صحة

6 5 4 3 2 1 0 األسبوعيةعدد احلوادث iA

iOالتكرارات املشاهدة 35 30 14 8 6 5 20.001 0.014 0.047 0.126 0.251 0.335 0.223 0\i iA H

iاملتوقعة تالتكرارا 22.3 33.5 25.1 12.6 4.7 1.4 0.4 iE n :مع الفئة السابقة هلا فنحصل على اجلدول األيت األخريةلذا ندمج الفئة iO= 5>2دالتكرار املشاه أننالحظ 5 4 3 2 1 0 iA 7 6 8 14 30 35 iO

0.018 0.047 0.126 0.251 0.335 0.223 ip 1.8 4,7 12.6 25.1 33.5 22.3 inp 5.2 1.3 4.6 11.1 3.5 12.7 | |i iO np

:روبالتايل القيمة املالحظة إلحصاء االختبا

اختبارات جودة التوفیق

١٣26

2

1

2 2 2 2 2 2

( )

(12.7) (3.5) (11.1) (4.6) (1.3) (5.2)22.3 33.5 25.1 12.6 4.7 1.8

7.23 0.37 4.91 1.68 0.36 15.05 29.57

i ic

i i

O npnp

0.01درجة حرية ومستوى معنوية k-1=6-1=5احلرجة املوافقة لــ القيمةجند 2ومن جدول توزيع هي20.10.;5 9.236 2 أنومبا 2

0.10;5c 0نرفض الفرضيةH، على الطريق احملدد األسبوعيةعدد احلوادث أنأي .بواسونلتوزيع خيضع ال

):٩-١-١(مثال :ماضيه أخذت عشوائيا ما خالل ستني شهرا يف مدينه الشهريةتيه تبني عدد احلرائق آلإذا كانت البيانات ا

iA الشهريةعدد احلرائق 0 1 2 3 4 5 6 iOعدد الشهور 2 16 14 10 7 6 5

معنويةعند مستوى ، يتبع توزيع بواسون ) املتغري العشوائي( الشهريةفهل ميكن اعتبار أن عدد احلرائق 0.05 ؟

-:الحل البيانات تتبع توزيع بواسون: 0Hلعدميا

بواسون تتبع توزيع البيانات ال: 1Hالبديل :هي، 0Hعند صحة الفرضية ،وهذا يعين أن صيغة دالة االحتمال للمتغري

0 0,1....X ,!

xxf x e

x

:xلعينة تقدير هلذه املعلمة هو متوسط ا وأفضل ، معلومةوهو يعتمد على معلمة واحدة غري

7

1

1 162 2.760n i i

ix O x

n

:ومن مث

1

2.7

2.7, 1, 2,.....,6

1 !

2.7, 6,7,....

!

ix

i t

i

e ij

e i

هنا 71 , 1,....,6, 6,7,...iA i i A . :األيتوعليه ميكن بناء اجلدول

اختبارات جودة التوفیق

١٤

6 5 4 3 2 1 0 الفئاتiA iOالتكرارات 2 16 14 10 7 6 5

iPاالحتمال 0.067 0.181 0.245 0.220 0.149 0.080 0.058 inPالتكرارات املتوقعة 4.02 10.86 14.70 13.2 8.94 4.8 3.48

1 أنومبا 5O 1 الفئةتضافA 2 إىلAفنحصل على: iOالتكرارات املشاهدة 18 14 10 7 6 5

inPالتكرارات املتوقعة 14.88 14.70 13.2 8.94 4.8 3.481.52 1.2 1.94 3.2 0.7 3.12

iiO nP

0.66 0.30 0.42 0.78 0.03 0.65 2/i iiO nP nP

2اختبار إلحصاء املالحظةوبالتايل c:

2

12.84

n ii

ci i

O nP

nP

1القيمة احلرجة املوافقة لـ أنجند 2ومن جدول توزيع 6 1 1 4n r املعنويةدرجات حرية ومستوى 0.05املعطى 2وي تسا

0.05,4 9.488 . 2 أنومبا 20.05:4c نقبل الفرضية.

:اآلسيالتوزيع -٥

):١٠-١-١(ثال م

مصباحا 334مؤلفة من عشوائيةأخذت عينه ، يف مصنع ما املنتجةلدراسة توزيع أعمار املصابيح الكهربائية :األيتمقدر بالشهور فكانت على النحو ) حىت حلظة االحرتاق اإلضاءةمدة ( أعمارهموسجلت

42,48 36 30 24 18 12 6 0 الفئاتiA

iOعدد املصابيح 140 80 50 30 20 8 4 2 ixمركز الفئة 3 9 15 21 27 33 39 4590 156 264 540 630 750 720 240 iiO x

)مقدرا بالشهور(عمر املصباح ) املالحظ(هنا املتغري العشوائي قيد الدراسة 6 6,6 , 1, 2,....,8iA i i i لنخترب صحة هذا االفرتاض عند .وزيع األسيهل البيانات ختضع للت

0.05مستوى معنوية ؟

اختبارات جودة التوفیق

١٥

:الحل .األسيالبيانات تتبع توزيع : 0Hلعدميا

.األسي تتبع توزيع البيانات ال: 1Hالبديل :هاوتقدير واحدة فقط ة معلميعتمد على اآلسيالنموذج أنكما نعلم

1xx

:أنمبا

8

1

1 3570 10.69334

iii

x O xn

:فان

1 0.09410.69

:وبالتايل فان

0.0940.094 , 0xf x e x 0.094 0.094 ,a bp a b F a F b e e a b

7الفئتني دمج وباستخدام هذه الصيغة بعد 8,A A الن 7 8, 5h h ميكن حساب احتماالت الفئات: 7 36,A 6 6,6 , 1,....,6iA i i i

:فمثال 0.094 60

1 1 6 01 0.5750 0.4250 0.43P P A F F e e

:األيتوبشكل مشابه حنسب احتماالت بقية الفئات كما هي واردة يف اجلدول

36 30 24 18 12 6 0 الفئاتiA االحتماالت 0.43 0.25 0.14 0.08 0.05 0.02 0.03

iP التكرارات املتوقعة 143.6 83.5 46.76 26.72 16.7 6.68 10.02

inP iOالتكرارات املشاهدة 140 80 50 30 20 8 63.98 1.32 3.3 3.28 3.24 3.5 3.6

iiO nP

1.58 0.26 0.56 0.40 0.22 0.15 0.09

2ii

i

O nP

nP

اختبارات جودة التوفیق

١٦

:االختبار هي إلحصاء املالحظة القيمةوتكون

27

2

13.35

ii

ci i

O nP

nP

0.05مستوى املعنوية املعطى أنومبا 1 احلريةودرجات 7 2 5k r 2فباستخدام جدول توزيع 2جند القيمة احلرجة

0.05,5 11.070 . 2وباملقارنة جند أن 20.05:53.35 11.070c وعلية نقبل فرضية

.خيضع لتوزيع أسي أي أن املتغري العشوائي ،العدم KKoollmmooggoorroovv SSmmiirrnnoovv ففسمير نو سمير نو اختبار كولومجروف اختبار كولومجروف ))٢٢--١١((

تعددا لفئايف جداول تكراريه ، وإذا كان املوضوعة غري وأيف حالة البيانات املستمرة االختبارنستخدم هذا ..آلخر أولسبب احلريةقليل وفقدنا درجات

التجميعي للتكرار املشاهد واملتوقع وبذلك يكون فرض العدم والفرض االحتمالعلى دالة االختباريعتمد هذا .الدالتنيالبديل حول هاتني

لعينه واحدة فاختبار كولومجروف سمير نو )١-٢-١(Sample Test –one Smirnov -Kolmogorovthe

:ميكن إجراء االختبار كاآليت -:الشروط)أ(

ا nلدينا عينه حجمها أننفرض 1بعضها عن بعض ونرمز هلا بالرموز مستقلةومفردا 2, , , nX X X هذهاسنفرتض العينة .F(x) جتميعيةمن توزيع جمهول له داله احتمالية عشوائية إ

-:الفروض) ب( :ميكن أن يكون لدينا ثالثة أزواج األول من طرفني واآلخرين من طرف واحد كاأليت

0H : ميالعد) A(الفرض 0F x F x 1والبديلH : 0F x F x 0H :العدمي )B(الفرض 0F x F x 1والبديلH : 0F x F x 0H : العدمي )C(الفرض 0F x F x 1والبديلH : 0F x F x

أنعلى افرتاض 0F x هي القيمة املفرتضة لدالة االحتمال التجميعي. :إحصائي االختبار) ج(

ب دالة االحتمال التجميعي التجريبية وهي احملسوبة من البيانات وسنرمز هلا بالرمز حنس S x وحتسب كاأليت: #Of Sample of observations less or equalxS x

n

اختبارات جودة التوفیق

١٧

:يكون إحصائي االختبار Aبالنسبة للفرض . وتتوقف قيمة إحصائي االختبار على نوع الفرض 0sup

x

D S x F x وهو اختبار من طرفني وميثل أقصى فرق مطلق بني الدالتني 0 ,F x S xبالنسبة للفرض B يكون إحصائي

:االختبار كاأليت 0sup

xD F x S x

فإن إحصائي االختبار هو Cبالنسبة للفرض ، وهو اختبار من طرف واحد وميثل أقصى فرق رأس بني الدالتني 0sup

xD S x F x

وهو أقصى فرق رأسي عندما يكون S x فوق 0F x. :القرار )د(

وعند درجات حرية تناظر جمموع التكرارات عند مستوى معنوية كولوجمروف نستخرج قيمة جدوليه من جدولجداول كولوجمروف . ونرفض الفرض العدمي عندما تزيد القيمة احملسوبة عن القيمة اجلدولية )الياليس عدد اخل(

ميكن التعويض يف املعادلة املذكورة يف ٤٠وعندما تزيد درجة احلرية عن ٤٠تبدأ من درجة حرية واحدة وحىت ).طرف ومن طرفني الختبار من عطى قيما يهذا اجلدول (اية اجلدول لنستخرج القيم اجلدولية

):١-٢- ١(مثال :نفرض أن لدينا البيانات التالية

82 86 90 70 97 58 78 84 90 84 88 76 90 83 74 70 90 59 75 86 67 110 94 70 70 93 68 80 98 84 112 92 104 82 80 86

؟%٥اخترب الفرض العدمي والبديل اآلتيني عند مستوى معنوية 0H :العدمي 0F x F x. 1H :البديل 0F x F x. أن باعتبار 0F x ؟١٥و احنراف معياري ٨٥يتوزع طبيعي مبتوسط :الحل

:باستخداممث خنترب جودة التوفيق ١٥واحنراف معياري ٨٥مبتوسط طبيعيا توزيعا نوفق أوال حنصــل علــى التوزيــع املتجمــع الصــاعد التجــرييب )١( S x ــا تصــاعديا حســب بــأن ترتــب البيانــات تر تيب

).٥( مث نقسم على جمموع التكرارات كما يف جدول xقيمة

اختبارات جودة التوفیق

١٨

:بـالتعويض يف املعادلـة xحنصل على القـيم املعياريـة املقابلـة للمتغـري )٢( 85 /15z x مث يسـتخدم .الحتماالت املناظرة هلاجدول التوزيع الطبيعي للحصول على ا

حنــول االحتمــال املســتخرج مــن جــداول التوزيــع الطبيعــي إىل احتمــال جتميعــي متوقــع فنحصــل علـــى )٣( 0F x٦(كما يف جدول.(

)٥(جـــــــدول

S x 0F x X S x 0F x X S x 0F x X 0.8056 1 92 0.3889 1 78 0.0278 1 58 0.8333 1 93 0.4444 2 80 0.0556 1 59 0.8611 1 94 0.5000 2 82 0.0833 1 67 0.8611 1 97 0.5278 1 83 0.1667 3 68 0.9167 1 98 0.6111 3 84 0.2778 4 70 0.9444 1 104 0.6389 1 86 0.3056 1 74

0.47222 1 110 0.6667 1 88 0.3333 1 75 1.0000 1 112 0.7778 4 90 0.3611 1 76

)٦(جـــــــدول 0F x Z X 0F x Z X 0F x Z X

0.6808 0.47 92 0.3192 -0.47 78 0.359 -1.80 58 0.7019 0.53 93 0.3707 -0.33 80 0.0418 -1.73 59 0.7257 0.60 94 0.4207 -0.20 82 0.1151 -1.25 67 0.7881 0.80 97 0.4483 -0.13 83 0.1292 -1.13 68 0.8078 0.87 98 0.4721 -0.07 84 0.1582 -1.00 70 0.8980 1.27 104 0.5279 0.07 86 0.2327 -0.73 74 0.9525 1.67 110 0.5793 0.20 88 0.2514 -0.67 75 0.9641 1.80 112 0.6293 0.33 90 0.2743 -0.60 76

مث احلصول على العمود 0F x بطرح القيمة املستخرجة من اجلداول من نصف. بني ) ع إمهال اإلشارة م(نوجد الفرق املطلق )٤( S x، 0F x ويكـون إحصـائي االختبـار هـو أقصـى

:فرق مطلق حيث وجد

0.1485D

اختبارات جودة التوفیق

١٩

اخذين يف االعتبار أن االختبار من % ٥ومستوى معنوية ) عدد املفردات( ٣٦باستخدام جدول ودرجات حرية القيمة اجلدوليه بالقيمة احملسوبة جند أن اجلدوليه اكرب من ةومبقارن، ٢٢١هي هاجلدولي Dجد أن قيمة طرفني و

.احملسوبة ولذا نقبل الفرض العدمي ونرفض الفرض البديلاحملسوبة عند Dيف حالة املتغريات املستمرة يفضل حساب قيمة 0iS x F x ، عند 1 0iS x F x

ا بالطرق العادية، ونأخذ أقصى فرق ممكن .أما يف حالة البيانات املتقطعة نكتفي حبسالو حسبنا الفرق املطلق باستخدام 1c iS x سنجد أن القيمة احملسوبة لإلحصائيDستظل كما هي.

):٢-٢-١(مثال

:للبيانات التاليةاستخدم اختبار كولوجمروف لتوفيق توزيع منتظم X A B C D E F

0 1 1 1 5 4 0f %.٥وذلك عند مستوى معنوية

:الحل :الفرض العدمي والبديل مها

.البيانات تتبع املنتظم:0Hالعدمي .البيانات ال تتبع املنتظم:1Hالبديل

حنصل على S x ونوجد أقصى فرق كاأليت: 0F x S x 0F x S x i 0f x

1 26 12 1 2

6 12 0 1

6 0 A

312

2 46 12 1

12 1

6 1 B

412

3 66 12 2

12 1

6 1 C

512

4 86 12 3

12 1

6 1 D

212

5 106 12 8

12 1

6 5 E

12112

1 16

4 F

:احملسوبة هيD قيمة

اختبارات جودة التوفیق

٢٠

5 0.4112

D القيمة اجلدولية لإلحصائي فنجدها % ٥ومستوى معنوية ١٢عند درجات حرية ) ١٢(نستخرج من جدول

.الفرض العدمي طاملا أن القيمة احملسوبة أكرب من اجلدوليه مرفض ٠.٣٧٥ـــخ كل االختالف عن ماهو مذكور يف مثال .......باملثل ميكن توفيق أي منحىن مستمر مثل اآلسي أو جاما ال

باستخدام دالة التوزيع االحتمايل املراد التوفيق له بدال من ) ٦(هو يف حساب االحتمال يف جدول ) ٦-٧( .ام جدول التوزيع الطبيعياستخد ):٣-٢-١(مثال

:لتكن لدينا العينة العشوائية املشاهدة 0.2,3,0.3,0.2,4,1,0.5,3.6,1.2,5x

من جمتمع ما توزيعه L تمع خيضع للتوزيع اآلسي.غري معلوم :هل ميكن اعتبار أن هذا ا

212

x

f x e

0.05ستوى معنوية عند م ؟

-:الحل البيانات تتبع توزيع بواسون: 0Hلعدميا

بواسون تتبع توزيع البيانات ال: 1Hالبديل :يف هذه احلالة تصاغ على النحو األيت0Hإن فرضية العدم

2

00

1

, 0, 0x

e

xH

x

:الختبار هذا الفرض نتبع اخلطوات الواردة اعالة :نرتب مفردات العينة املشاهدة تصاعديا فنحصل على العينة املرتبة

0.2,0.2,0.3,0.5,1.0,1.2,3,3.6,4,5 مث حنسب قيم *

0 , nF x F x املطلقة تعند املفردات املختلفة وبعد ذلك حنسب الفروقا *0nF x F x

)1.1.8(فنحصل بالنتيجة على اجلدول ــدول ــ )1.1.8(جــ

*0nF x F x 0F x *

nF x S x if x 0.09 0.09 0 0.2 2 0.2

, 0x

اختبارات جودة التوفیق

٢١

0.06 0.14 0.2 0.3 1 0.3 0.08 0.22 0.3 0.4 1 0.5 0.01 0.39 0.4 0.5 1 1 0.05 0.45 0.5 0.6 1 1.2 0.18 0.78 0.6 0.7 1 3 0.16 0.83 0.7 0.8 1 3.6 0.06 0.86 0.8 0.9 1 4 0.02 0.92 0.9 1 1 5

:نالحظ من اجلدول أن *sup 0.18n x nt D x F x F x

لعينتين فسمير نو اختبار كولومجروف )١- ٣-١(

The Kolmogorov Smirnov Two Sample Test حساسية خاصة ألي اختالف بني العينتني املستقلتني ، فهو ميكننا من ان نعرف فالختبار كولوجمروف مسري نو

..وذلك لالختصار K-S االختبار بالرمز اأن كان التوزيع االحتمايل للعينتني خمتلفا أم ال، ويرمز هلذ -:شروط االختبار

,1عينتني قيمها )١( , nX X1و, , ny y حجمهما nوm على التوايل.. ..العينتني مستقلتني )٢( ..العينتني خاصتني مبتغريين مقاسني بوحدة ترتيبيه على األقل )٣( :الفروض ) ب(

نفــرض أن 2 1F x F x وال االحتمــال التجميعــي للمجتمعــات املســحوبة منهــا العينــة األوىل والثانيــة مهــا د :ميكن اختبار فروض من طرفني ومن طرف واحد كاأليت. على التوايل

العدمي): A(الفرض 1 2F x F x : 0H، والبديل 1 2F x F x : 1H العدمي ):B(الفرض 2 1F x F x : 0H، والبديل 2 1F x F x : 1H العدمي ):C(الفرض 2 1F x F x : 0H،والبديل 2 1F x F x :1H

والفــرض البــديل يكــون صــحيحا لقيمــة xالفــرض العــدمي يف الفــروض الســابقة يكــون صــحيحا جلميــع قــيم .على األقل xواحدة من املتغري

:إحصائي االختبار) ج(

اختبارات جودة التوفیق

٢٢

ز وسنرمز هلما على التوايل بالرم x، yحنصل على دالة االحتمال التجميعي التجرييب لكل من املتغريين 2 1,S x S x ويكون إحصائي االختبار للفروض املذكورة كاأليت:

يكون Aبالنسبة للفرض 1 2maxD imum S x S x يكون Bبالنسبة للفرض 1 2maxD imum S x S x

كاأليت Cكذلك بالنسبة للفرضو 2 1maxD imum S x S x :قواعد احلكم) د(m,وقيم كل من حنصل على قيمة جدوليه عند مستوى معنوية ) ١٣(باستخدام جدول n. m,يستخدم عند تساوي) ١٣( n وعند عدم تساويهما وعندما يكون االختبار من طرف ومن طرفني. ):١-٣-١(مثال

:نفرض أن لدينا العينتني اآلتيني251 252 276 278 209 236 y

230 257 224 238 206 x :املطــلوب

:نريد اختبار الفرض العدمي والبديل االتيني% ٥ة عند مستوى معنوي

:الحل

الختبار الفروض املذكورة فأننا حنصل على 2 1,S x S x والفرق املطلق بينهما وسنرمز له بالرمز D يف ) ٧(جدول

ــدول ــ )٧(جــ 1 2S x S x 2S x 1S x y x

6/30 0 1/5 206 1/30 1/6 1/5 209 7/30 1/6 2/5 224

13/30 1/6 3/5 230

0 1 2 1 1 2: , : #H F x F x H F x F x

اختبارات جودة التوفیق

٢٣

8/30 2/6 3/5 236 14/30 2/6 4/5 238 9/30 3/6 4/5 251 4/30 4/6 4/5 252

10/30 4/6 5/5 257 5/30 5/6 5/5 276

0 6/6 5/5 278 :جند أن قيمة إحصائي االختبار يأخذ أقصى فرق ممكن وبذلك يكون) ٧(من جدول

14/30 = D وحيث أن القيمة ٣من طرفني جند ان القيمة اجلدولية هي ٦.٥% ٥مبستوى معنوية ) ١٣(ندخل جدول

ات اخرى جلودة التوفيق ولكن نكتفي بذلك توجد اختبار . احملسوبة أقل من اجلدولية نقبل الفرض البديل .القدر

):٢-٣- ١(مثال

:نفرض أن لدينا البيانات التالية 82 86 90 70 97 58 78 84 90 84 88 76 90 83 74 70 90 59 75 86 67 110 94 70 70 93 68 80 98 84 112 92 104 82 80 86

؟%٥اخترب الفرض العدمي والبديل اآلتيني عند مستوى معنوية 0H :العدمي 0F x F x. 1H :البديل 0F x F x.

باعتبار أن 0F x ١٥و احنراف معياري ٨٥يتوزع طبيعي مبتوسط.

:الحل :مث خنترب جودة التوفيق باستخدام ١٥واحنراف معياري ٨٥نوفق أوال توزيعا طبيعيا مبتوسط

حنصــل علــى التوزيــع املتجمــع الصــاعد التجــرييب )٥( S x ــا تصــاعديا حســب بــأن ترتــب البيانــات ترتيب ).٥(مث نقسم على جمموع التكرارات كما يف جدول xقيمة

اختبارات جودة التوفیق

٢٤

:بـالتعويض يف املعادلـة xحنصل على القـيم املعياريـة املقابلـة للمتغـري )٦( 85 /15z x مث يسـتخدم .وزيع الطبيعي للحصول على االحتماالت املناظرة هلاجدول الت

حنــول االحتمــال املســتخرج مــن جــداول التوزيــع الطبيعــي إىل احتمــال جتميعــي متوقــع فنحصــل علـــى )٧( 0F x٦(كما يف جدول.(

)٥(جـــــــدول

S x 0F x X S x 0F x X S x 0F x X 0.8056 1 92 0.3889 1 78 0.0278 1 58 0.8333 1 93 0.4444 2 80 0.0556 1 59 0.8611 1 94 0.5000 2 82 0.0833 1 67 0.8611 1 97 0.5278 1 83 0.1667 3 68 0.9167 1 98 0.6111 3 84 0.2778 4 70 0.9444 1 104 0.6389 1 86 0.3056 1 74

0.47222 1 110 0.6667 1 88 0.3333 1 75 1.0000 1 112 0.7778 4 90 0.3611 1 76

)٦(جـــــــدول 0F x Z X 0F x Z X 0F x Z X

0.6808 0.47 92 0.3192 -0.47 78 0.359 -1.80 58 0.7019 0.53 93 0.3707 -0.33 80 0.0418 -1.73 59 0.7257 0.60 94 0.4207 -0.20 82 0.1151 -1.25 67 0.7881 0.80 97 0.4483 -0.13 83 0.1292 -1.13 68 0.8078 0.87 98 0.4721 -0.07 84 0.1582 -1.00 70 0.8980 1.27 104 0.5279 0.07 86 0.2327 -0.73 74 0.9525 1.67 110 0.5793 0.20 88 0.2514 -0.67 75 0.9641 1.80 112 0.6293 0.33 90 0.2743 -0.60 76

مث احلصول على العمود 0F x فبطرح القيمة املستخرجة من اجلداول من نص. بني ) مع إمهال اإلشارة (نوجد الفرق املطلق )٨( S x، 0F x ويكـون إحصـائي االختبـار هـو أقصـى

:فرق مطلق حيث وجد

0.1485D أن االختبار من اخذين يف االعتبار % ٥ومستوى معنوية ) عدد املفردات( ٣٦باستخدام جدول ودرجات حرية

القيمة اجلدوليه بالقيمة احملسوبة جند أن اجلدوليه اكرب من ةومبقارن، ٢٢١اجلدولية هي Dطرفني وجد أن قيمة .احملسوبة ولذا نقبل الفرض العدمي ونرفض الفرض البديل

اختبارات جودة التوفیق

٢٥

احملسوبة عند Dيف حالة املتغريات املستمرة يفضل حساب قيمة 0iS x F x، عند 1 0iS x F x ا بالطرق العادية، ونأخذ أقصى فرق ممكن .أما يف حالة البيانات املتقطعة نكتفي حبسا

لو حسبنا الفرق املطلق باستخدام ) ٦-٧(يف املثال 1c iS x سنجد أن القيمة احملسوبة لإلحصائيD ستظل .كما هي