หน่วยที่ 6 สถิติพรรณาสำหรับการวิจัย

บทที่ 6 สถิติพรรณาสําหรบัการวิจยั

งานวิจยัจํานวนมากที่ผูวิจยัมีวัตถุประสงคเพื่อบรรยายสภาพประชากรทั้งหมดที่ศกึษา หลังจากที่กําหนดประชากรอยางชัดเจนแลวเก็บรวบรวมขอมูลโดยละเอียดทุกหนวยของประชากรดวยเครื่องมือที่มีอยางเหมาะสม การดําเนนิการเชนนี้จําเปนตองนําหลักสถิติพรรณามาใชดําเนนิการกับขอมูลเพื่อใหการพรรณาหรือบรรยายลักษณะประชากรที่ศึกษาอยาง ชัดเจนและครอบคลุมวัตถุประสงคงานวิจยัอยางครบถวน ไดแกการจัดระบบขอมลู การแจกแจงความถี่ขอมูล การหาแนวโนมสูสวนกลาง การวัดการกระจายขอมลู 1. การนําเสนอขอมูลเบือ้งตน

เมื่อผูวิจัยไดขอมูลมาไมวาจากแหลงปฐมภูมิหรือจากแหลงทุติยภูมกิต็าม จะนํามาจัดระบบ (organization of data ) โดยทั่วไปผูวิจัยมจีุดมุงหมาย 2 ประการคือเพื่อนําเสนอโดยการจัดระบบใหสะดวกในการพิจารณาและเขาใจไดงายตอผูอ่ืนอันเปนการจูงใจใหนาชมดวยวิธีการที่เหมาะเนื้อหาสาระไมขาดหายไปและเพื่อดูธรรมชาติของขอมูลดวยการแจกแจงความถี่ขอมูล (frequency of data) สําหรับนําเสนอโดยการจดัระบบใหสะดวกในการพิจารณาบรรยายประกอบนิยมนําเสนอ 6 แบบ คือ

1.1 การนําเสนอโดยบทความ (text presentation) เปนการบรรยายความเกีย่วกับสภาพของขอมูล การแสดงตัวเลข เชน รายงานอุณหภมูิอากาศประเทศไทยเมื่อเวลา 07.00 น. ภาคเหนือที่จังหวัดเชยีงใหม 20 องศาเซลเซียส ภาคใตที่จังหวัดชุมพร 32 องศาเซลเซยีส เปนตน

e-Version 2009 Tiradate Pimtongngam

94

1.2 การนาํเสนอดวยตาราง (tabular Presentation) เปนแบบหนึ่งที่ผูวจิัยนยิมนําเสนอขอมูลทางสถิติ เพราะอานงาย เขาใจงาย วิธีการคือจัดขอมลูใหสัมพันธกนัในแนวตั้งและแนวนอน ดังตารางที่ 6.1

ตารางที่ 6.1 แสดงการนําเสนอดวยตาราง

ประเภท ชาย หญิง รวม ขาราชการ 65 32 97 พนักงานรฐัวิสาหกจิ 22 55 77 พนักงานธนาคาร 24 16 40 พนักงานเอกชน 40 15 55

รวมทั้งสิ้น 151 118 269

1.3 การนาํเสนอโดยกราฟเสน (broken-line graph presentation) ผูวิจัยนิยมนําเสนอขอมูลที่ตองการใหเห็นตอเนื่อง (continuity) และเปรียบเทยีบปริมาณ 2 อยาง เชน จํานวนคนกับเวลา จํานวนสินคาสงออกกับจํานวนสินคาที่ผลิตได

1.4 การนาํเสนอโดยกราฟแทง (bar-chart presentation) กรณีผูวจิัยตองการแสดงความสัมพันธของปริมาณ 2 อยางเชนเดียวกับกราฟเสน แตความสัมพนัธที่ปรากฏแกผูพบเห็นจะมีลักษณะเปนแทงๆ อาจระบายส ี มีลวดลายที่สุภาพในแทงกราฟแตละแทงควรมฐีานกวางเทากนัทกุแทง

1.5 การนําเสนอโดยกราฟรปูภาพ (pictograph presentation) เปนกราฟที่สามารถเรียกรองความสนใจจากผูพบเห็นและสามารถเขาใจความหมายไดทันที เพราะกราฟรูปภาพจะใชภาพจริง ภาพเหมือน หรือการตนูสุภาพ เชน ขอมูลเกี่ยวกับคนจะใชภาพคนหรือรูปทรงของคน ขอมูลเกี่ยวรถยนตผูวจิัยมักจะใชภาพรถยนต เปนตน วิธีการนําเสนอก็เหมือนกับการนําเสนอโดยกราฟเสน 1.6 การนําเสนอโดยกราฟวงกลม (pie-chart presentation) บางครั้งเรียกวา แผนภาพกง วิธีนําเสนอคือ บรรจุขอมูลลงในวงกลม ซ่ึงมุมรอบจุดศูนยกลางเปน 360 องศา เทียบกับจํานวนขอมูลทั้งหมดที่มีอยู 100 เปอรเซนต โดยนําขอมูลแตละประเภทที่จะนําเสนอเทียบเปนเปอรเซนตและคามมุรอบจุดศูนยกลางวงกลมครบ 360 องศา


95

2. การแจกแจงความถี่ขอมูล สําหรับการแจกแจงความถี่ขอมูลกระทําเมือ่ผูวิจัยสนใจพรรณาเรื่องราวใด หรือเหตุการณใดและไดมีการรวบรวมขอมูลโดยวิธีการใดกต็าม เชน การสัมภาษณ การสํารวจ การทดลอง การสังเกตหรอือ่ืนๆ ผูวิจัยจะนํามาจัดระบบดวยการจัดกลุมขอมูลตามคามากนอย เราเรียกกลุมเหลานี้วา ช้ัน (class) หรือ ชวงชั้น (class Interval) เพื่อดูธรรมชาติขอมูลที่มีอยูวามีลักษณะการแจกแจง (distributions) เปนอยางไร

2.1 ตารางแจกแจงความถี ่ โดยทั่วไปตารางแจกแจงความถีจ่ะประกอบดวยคอลมัน ตัวแปร คอลัมนรอยขีด (tally ) คอลัมนความถี่ หรืออ่ืนๆที่เกีย่วของเชนรอยละ เปนตนแลวนําเสนอการแจกแจงความถีใ่นลักษณะรูปหลายเหลีย่มของความถี่ (histogram frequency polygon) และโคงความถี ่(frequency curve ) ดังตารางที่ 6.2

ตารางที่ 6.2 แสดงตารางรูปแบบทั่วไปของการแจกแจงความถี่ขอมูล

ช้ันคาขอมูล รอยขีด ความถี่ รอยละ 10-29 30-49 50-79

//// //// // //// //// //// //// //// //// //// ///

12 25 13

24 50 26

รวม 50 100 2.2 การนําเสนอการแจกแจงความถี่ หลังการแจกแจงความถี่ขอมูลแลวผูวิจยัอาจตองการแสดงใหเห็นการแจกแจงขอมูลหนึ่งในจํานวนหลายวิธีคือนําเสนอการแจกแจงความถี่ดวยฮิสโทแกรม โดยใหเกดิรอยตอระหวางแทงกราฟดวยจุดขอบเขตสูงสุดของชั้นกับชั้นถัดไปและจํานวนแทงกราฟมีจํานวนเทากับจํานวนชั้นทีก่ําหนดในตารางแจกแจงความถี่ ภาพที่ 6.1


96

ภาพที่ 6.1 แสดงการนําเสนอการแจกแจงความถี่ดวยฮิสโทแกรม

2.3 การพรรณาการแจกแจงขอมูล กรณีที่ผูวิจัยตองการเห็นลักษณะการแจกแจงขอมูลที่ไดมาชัดเจนยิ่งขึ้นจะลากเสนเชื่อมระหวางจัดกึ่งกลางยอดแตละแทงของฮีสโทแกรมกลายเปนรูปหลายเหลี่ยมของความถี่ ตามดวยการขัดเกลา (smooth) ฮีสโทแกรมเปนโคงความถี่สําหรับพรรณาการแจกแจงของตัวแปรตัวนั้นตอไปดังดังอยางการแจกแจงตัวแปรเอกซแบบตาง ๆ ภาพที่ 6.2 ถึงภาพที่ 6.5

ภาพที ่6.2 แสดงการแจกแจงทวิฐานนิยมของตัวแปร X

ภาพที ่6.3 แสดงการแจกแจงปรกติของตวัแปร X


97

ภาพที่ 6.4 แสดงการแจกแจงเบขวาของตวัแปร X

ภาพที่ 6.5 แสดงการแจกแจงเบซายของตัวแปร X

3. การหาแนวโนมเขาสูสวนกลางขอมูล เมื่อผูวิจัยตองการพรรณาเรือ่งราวใดเรื่องราวหนึ่งโดยมขีอมูลจํานวนมากจะพบวาขอมูล

ในกลุมที่ศึกษามีความโนมเอียงเขาสูคากลาง หากเราเลือกคาสังเกตมาคาหนึง่เพื่อใชเปนตัวแทนของคาสังเกตทั้งหมดในขอบเขตที่เราศึกษาอยูนัน้ แนนอนทีสุ่ดเราจะตองเลือกมัชฌิม หรือตัวที่พบบอยที่สุดของขอมูลเหลานั้น มาตรวัดหรือเครื่องมือวัดการโนมเขาสูสวนกลางที่กลาวในบทนีจ้ึงเปนการนยิามถึงเครื่องมือหรือเครื่องวดัคากลางของขอมูล

3.1 มัชฌิมเลขคณิต (arithmetic mean) เปนมาตรวัดแนวโนมเขาสูสวนกลางทีท่ฤษฎีทางคณติศาสตรใชเปนประจํา อาจเรียกเปน มัชฉิมเลขคณิต คาเฉลีย่เลขคณิต คาเฉลี่ยสวนเฉลี่ย คาคาดคะเนหรือคาคาดหมาย (expectation value) กรณีประชากรสัญญลักษณที่ใช ‘ µ ‘ (อักษรกรีกชนดิตัวพิมพเล็กชื่อ Mu : มิว) กรณีตัวอยางใช ‘ X ’ (เอกซบาร) สวนกรณคีาคาดคะเนเปนคาเฉลี่ยความนาจะเปนหรือคาเฉลี่ยระยะยาว (long run mean) ใชสัญลักษณ E(X) สถิติพรรณาเรามองภาพรวมของตัวแปรเปนประชากร ตามทฤษฎีทางคณิตศาสตรเพื่อทราบความหมายเบื้องตนของมชัฌิมเลขคณิตจึงใช สัญญลักษณ µ


98

ถากาํหนด X1, X2, X3,......, Xn เปนคาสังเกตจํานวน n คาแลว

µ = 11n i

i

n

X=∑

ตัวอยางที่ 6.1 จงหามัชฌิมเลขคณิตของ 8, 12, 4, 7 และ 5

วิธีทํา จาก µ = 11n i

i

n

X=∑

µ = )574128(51

++++

= )36(51

µ = 7.2 ตอบ

3.2 มัธยฐาน กําหนดเปนเครื่องมือสําหรบัวัดแนวโนมเขาสสวนกลางของ ตัวแปรในสัญลักษณ Me , Med หรือ Mdn. กําหนดวา มัธยฐาน คือ คาสังเกตหรือตัวแปรที่แบงจํานวนคาสังเกตออกเปนสวนที่มากกวามธัยฐานและสวนทีน่อยกวามธัยฐานไดในจาํนวน เทา ๆ กนั การหามัธยฐานของคาสงัเกตจากประชากรหรือส่ิงตัวอยาง สามารถดําเนนิการสําหรับกรณีขอมูลไมไดแจกแจงความถี่ (ungrouped data) หาคามัธยฐานไดโดย จัดเรียงลําดับคาสังเกตจากนอยไปหามาก (หรือจากมากไปหานอย) ลําดับที่ไดคือตําแหนงของคาสังเกตที ่ 1, 2, 3,..คาสังเกตที่อยูที่ตําแหนงกึง่กลางของตําแหนงทั้งหมด คือ มัธยฐาน

ตัวอยางที่ 6.2 จงหามัธยฐานของ 8, 12, 4, 6, และ 10

วิธีทํา จัดเรียงขอมูลดังนี้

เรียงลําดับ XI 4 6 8 10 12 ตําแหนง XI 1 2 3 4 5


99

จากการเรยีงลําดับตําแหนงกึง่กลางของตําแหนงทั้งหมด คือ ตําแหนงที่ 3 ตรงกับ 8 นั่นคือ มัธยฐานของขอมูลนี้ คือ 8 ตอบ ตัวอยางที่ 6.3 จงหามัธยฐานของ 3, 4, 11, 8, 10, และ 5

วิธีทํา จัดเรียงขอมูลดังนี้

เรียงลําดับ XI 3 4 5 8 10 11 ตําแหนง XI 1 2 3 4 5 6

จากการเรียงลาํดับตําแหนงกึ่งกลางของตาํแหนงทั้งหมด คือ ตําแหนงที่ 3 กับ ตําแหนงที่ 4 หรือตําแหนงที่ 3.5 ตรงกบั 5 กับ 8 หรือ (5+6)/2 =6.5 นั่นคือ มัธยฐานของขอมูลนี้ คือ 6.5 ตอบ

3.3 ฐานนิยม สถานการณจริงบางอยาง คาเฉลี่ย มัธยฐาน อาจไมเหมาะสมสําหรับเปนแนวโนมเขาสูสวนกลาง เชน รายจายของนักศกึษาหลาย ๆ คนตอวัน จํานวนชิ้นงานที่บุคคลตางผลิตไดตอวนั จํานวนบุคคลทีช่อบอาหารรสเผ็ด หรือ อ่ืน ๆ ทํานองเดียวกัน แนวโนมเขาสูสวนกลางควรจะเปนคาทีพ่บบอยหรือมีความถี่สูงที่สุด จึงกําหนด ฐานนยิม ขึ้นเปนเครื่องมือวัดอีกอนัหนึ่ง โดยกําหนดวา ฐานนิยม คอื คาสังเกตที่พบบอยที่สุดในจํานวนคาสังเกตทั้งหมดที่มีอยู สัญลักษณ Mo หรือ Mod การหาฐานนิยมของประชากรหรือส่ิงตัวอยางอาจดําเนนิการสําหรับกรณีขอมูลไมไดแจกแจงความถี่ กรณีเชนนี้เราไมจําเปนตองเรียงลําดับคาสังเกตเสียกอน เพียงแตตรวจดูอยางละเอียดถ่ีถวน วาคาสังเกตหรือขอมูลตัวใดพบบอยที่สุด ตัวนั้นจะเปนฐานนิยม ตัวอยางที่ 6.3 จงหาฐานนยิม เมื่อนักศกึษาเกษตร 10 คนสามารถเปลี่ยนยอดมะมวงดวย

วิธีการที่ถูกตองตอช่ัวโมง บันทึกจํานวนยอดไดดังนี ้


100

15, 18, 18, 17, 15, 16, 16, 15, 14, 12.

วิธีทํา ตรวจดูอยางละเอียดแลว พบวา จํานวน 15 ยอด พบบอยที่สุดคือ 3 คร้ัง

ดังนั้น ฐานนยิม คือ 15 ตอบ ในสถานการณบางอยางอาจไมพบวามีคาสังเกตตัวใดซ้ําเลย เชน ขอมูลประกอบดวย 3, 6, 4, 8, 7. จะถือวาขอมูลนี้ไมมีฐานนิยม แตในบางครั้งอาจพบฐานนิยมมากกวา 1 คา เชน ขอมูลประกอบดวย 3, 6, 7, 10, 8, 3, 9, 6, 9. มีฐานนิยมถึง 3 คา คือ 3, 6 และ 9 เพราะพบบอยที่สุด 2 คร้ังเหมือน ๆ กัน กรณีเชนนี้ควรหลีกเหลี่ยงการใชฐานนิยมเปน แนวโนมเขาสูสวนกลางและอาจถือไดวา ขอมูลดังกลาวไมมีฐานนิยมหรือเรียกอยางอื่น เชน ทวิฐานนิยม กรณีที่มีฐานนิยม 2 คา เปนตน 4. การวัดการกระจายขอมูล

คาสังเกตหรือตัวแปรทั้งหลายอันเปนคณุลักษณะของประชากรหรือส่ิงตัวอยาง จะมกีาร

โนมเขาสูสวนกลางที่เลือกเปนคุณลักษณะของประชากรหรือส่ิงตัวอยางนั้น คาการโนมเขาสูสวนกลางอาจเปน มัชฌิมเลขคณิต มัธยฐาน ฐานนิยมหรืออ่ืน ๆ เมือ่ตองการ เปรียบเทียบประชากรหรือส่ิงตัวอยาง 2 กลุม หรือมากกวา 2 กลุม อาจพบวามีคาการโนมเขาสูสวนกลางเทากันแตเมื่อพิจารณาอยางละเอียดแลว คณุลักษณะในกลุมแตกตางกนั

4.1 พิสัย (range) เปนการหาความแตกตางระหวางคาสูงสุดและคาต่ําสุดของคาสังเกต ทั้งหมด สัญลักษณแทนพิสัย คือ R หรือ RNG กําหนด X1,X2,..........,Xn เปนคาสังเกตจํานวน n คา XU เปนขีดจํากดัสูงสุด XL เปนขีดจํากดัต่ําสุด R เปนพิสัย

R = XU - XL


101

กรณีขอมูลแจกแจงความถี่แลวพบวาผลตางระหวางตัวแปรคาสูงสุดกับตัวแปรต่ําสดุเราจัดเปนพิสัยอยางคราว ๆ โดยใช Xn แทนตวัแปรคาสูงสุดและ X1 แทนตวัแปรคาต่ําสุด จะได

R = Xn - X1

อยางไรก็ด ี คาพิสัยเหมาะสมสําหรับการวัดการกระจายของคาสังเกตจํานวนนอย ๆ (small samples) เพราะงายตอการคํานวณและสามารถบอกการกระจายคาสังเกตแตละกลุมวาแตกตางกนัหรือไม ตลอดจนเปนเหตุผลนําไปสูมาตรการกระจายอืน่ ๆ ตอไป

ตัวอยาง 6.4 จงหาพิสัย ของคาสังเกตจํานวน 32 คาตอไปนี้

3 , 3 ,4 , 4 , 4 , 4 ,8 ,8 ,8 ,8 ,8 ,8 , 8 ,8 ,8 ,8 ,8 ,8 , 9 ,9 , 9 , 9 , 9 , 9 10 , 10 , 10 , 11 , 11 , 11 , 13 ,13 .

วิธีทํา (ก) กรณีขอมูลไมไดแจกแจงความถี่

จากสมการ R = XU - XL

XU = ขีดจํากดัสูงสุด = 13.5

XL = ขีดจํากดัต่าํสุด = 2.5

R = 13.5 - 2.5 = 11 ตอบ

4.2 ความแปรปรวน เปนคาที่บอกการเบี่ยงเบนจากมัชฌิมเลขคณิตตอหนึ่งหนวยคาสังเกต ทํานองเดียวกับคาเบี่ยงเบนเฉลี่ย สัญลักษณทั่วไป ที่ใชแทนคาความแปรปรวน คือ Var(X) หรือ V(X) กรณีกลาวถึงคาความแปรปรวนของประชากรจะใช σ 2 (อักษรกรีกชนิดตัวอักษรเลก็ชือ่ sigma: ซิกมา ) สวนกรณีกลาวถึงคาความแปรปรวนของสิ่งตัวอยางจะใช S2

หรือ s2 เพื่อความเขาใจเบื้องตนจะใชตัวกลางเลขคณิต (µ ) กําหนด X1, X2 ,............,Xn เปนคาสังเกตจาํนวน n คามีมัชฌิมเลขคณิตเทากับ µ แลวสมการ


102

V ( X ) = ( )nX

n

ii∑ −

=1

2µ

สําหรับคาความแปรปรวนของสิ่งตัวอยาง จะแตกตาง ออกไปโดยมีสมการเปน

S2 = ( )

11

2

−

∑ −=

nXX

n

ii

เมื่อ X เปนคาเฉลี่ยส่ิง

ตัวอยาง

4.3 คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากนยิามความแปรปรวน สังเกตวา หนวยของความแปรปรวนเปนหนวยยกกําลังสอง (square unit) ซ่ึงไมตรงกับหนวยความจริงของคาสังเกต จึงถอดรากที่สองของคาความแปรปรวนและเรียกคานีว้า “คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน” สัญลักษณ แทนคาเบี่ยงเบนมาตรฐานเชน SD. หรือ sd. กรณีประชากรใช σ และกรณีส่ิงตัวอยางใช S หรือ s เปนตน

ถากําหนด σ เปนคาเบี่ยงเบนมาตรฐาน จากคา V (X) จะไดสมการ

σ = ( )nX

n

ii∑ −

=1

2µ

ตัวอยางที่ 6.5 จงหาคาความแปรปรวนและคาเบี่ยงเบนมาตรฐานของ 16, 10, 11 , 7 , 19 , 14 ,22 , 9

วิธีทํา จากสมการ

V(X) = ( )nX

n

ii∑ −

=1

2µ ; n = 8

µ = ( 16+10+11+7+19+14+22+9 )/8 = 13.5


103

( )∑ −=

n

iX i

1

2µ = (16-13.5)2 + (10-13.5)2 + (11 -13.5)2 + (7 -13.5)2 + (9 -13.5)+(14- 13.5)2+(22-13.5)2+(9-13.5)2

( )∑ −=

n

iX i

1

2µ = (-2.5)2 + (-3.5)2+(-2.5)2+(-6.5)2+(5.5)2+(0.5)2 (8.5)2 +(-4.5)2

= 190

V(X) = 190 / 8

= 23.75

σ = 23 75.

= 4.87 ตอบ 5. การหาคาสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน

เมื่อนักวิจัยตองการเปรียบเทยีบการกระจายของประชากรสองกลุมหรือมากกวาสอง

กลุม เชน เปรียบเทยีบคาสังเกตประเภทเดียวกนัแตมาจากสองแหลงหรือหลายๆแหลง เปรียบเทียบคาสังเกตจากการทดลองสองครั้งหรือมากกวาสองครัง้ หรือเปรียบเทียบคาสังเกตที่วัดดวยหนวยที่แตกตางกนั เปนตนคาสัมประสิทธิข์องการแปรผัน สัญญลักษณแทน C.V. หรือ V. โดยเฉพาะงานวจิัยประเภทงานทดลอง คาสมัประสิทธิ์ของการแปรผันจะใชประเมินประสิทธิภาพของงานทดลองนัน้ๆดวย

กําหนด X1, X2 ,.............., Xn เปนคาสังเกตจํานวน n คา มีตัวกลางเลขคณิตเทากับ µ และคาเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากบั σ แลวจะได C.V. = σ

µ

ในสถานการณทั่วไปคา C.V. ที่คํานวณไดจะมีคาไมเกิน 1 หรือเปนทศนิยม จึง

คํานวณคา C.V. เทากับ คาเบี่ยงเบนมาตรฐานคิดเปนรอยละของมัชฌิมเลขคณิต ไดเปน


104

C.V. = σµ

× 1 0 0 %

ตัวอยางที ่ 6.6 งานวิจัยตองการเปรียบเทียบคะแนนสอบของนักเรียนสองกลุม ก คะแนนเฉลีย่เทากับ 60 คะแนน คาเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากบั 6 คะแนน. และ คะแนนสอบของนักเรียนสองกลุมกลุม ข. เฉลี่ยเทากับ 250 คะแนน. คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 7 คะแนน จงหาวาคะแนนสอบนักเรียนกลุมใดกระจายมากกวา

วิธีทาํ C.V. = σµ × 1 0 0 %

คํานวณคา C.V. จากสองแหลงแลวเปรียบเทียบกนั ถาคา C.V. สูงกวาแสดงวา คะแนนสอบกระจายมากกวา คะแนนสอบของนักเรียนสองกลุม ก. µ1 = 60 , σ1 = 6

C.V.1 = 660

100 10%× =

คะแนนสอบของนักเรียนสองกลุม ข. µ2 = 250 , σ2 = 7

C.V.2 = 7250

100 2 8%× = .

สรุปวา การกระจายของคะแนนสอบของนักเรียนสองกลุม ก มากกวากลุม ข หรือกลาวไดวาคะแนนสอบกลุม ข เกาะกลุมกันมากกวากลุม ก ตอบ 6. การหาคามาตรฐาน

หลังจากผูวิจัยดําเนนิการจัดระบบขอมูลดวยการแจกแจงความถี่และนาํเสนอการแจก

แจงความถี่ดวยฮิสโตแกรม รูปหลายเหลีย่มความถี่จนถึงโคงความถี ่ ลักษณะโคงความถีท่ี่ไดมักมีรูปลักษณะแตกตางกนัตามธรรมชาติของขอมูลหนึ่งในจํานวนการแจกแจงทัง้หลาย การแจกแจงความถี่ปรกติ (normal distribution of frequency)ก็เปนชื่อหนึ่งเปนที่ยอมรับกนัวาความเปนจริงในธรรมชาติและความเปนจริงในชีวิตประจําวนัของมนุษย ขอมูลทีพ่บอยูเสมอ เชน คะแนนสอบ คาที่วดัจากหองปฏบัิติการทางชวีวิทยา เคม ี ฟสิกส การเกษตรหรือคา


105

สังเกตเชงิธุระกิจอ่ืน ๆ มกีารแจกแจงความถี่ปรกติ ขอพึงระวงัคือตองมีการแสดงใหเห็นเสียกอนหรือเปนขอสมมุติ (assumtion) ทีข่อมูลนั้นมกีารแจกแจงความถี่ปรกต ิ

การเขียนกราฟบนพื้นระนาบที่ประกอบดวยแกนนอน X และแกนตั้ง Y โดยที่คา Y เปลี่ยนแปลงตามคา x [มักเรียกวา y เปนฟงกชนัของ x หรือแทนวา f(x)] จะไดทางเดินของจดุความสัมพันธระหวาง x และ y เปนรูปทรงตาง ๆ บนพื้นระนาบนัน้ เชน เสนตรง พาราโบลา ไฮเพอรโบลา วงกลม เสนโคง หรือ อ่ืน ๆ เสนโคงปรกติ (the normal curve)เปนทางเดนิของจุดความสัมพันธระหวาง x กับ y มีรูปลักษณะเปนระฆังคว่ํา (bell-shape curve) และม ี x คาหนึ่งเปนศูนยกลางความสามาตร (center of symmetry) ดังภาพที ่6.5

ภาพที่ 6.6 แสดงเสนโคงปรกติลักษณะเปนระฆัง

คาของ X ต้ังแต -α ถึง +α และ X มจีํานวนมากจนนับ

ไมได (uncountably infinite or non-denumerable) คาเฉลีย่เทากับ µ และคาความแปรปรวนเทากบั σ2 ศูนยกลางความสมมาตรบนแกน X คือ µ , คา

12π

เปนคาคงตวัที่ทาํใหพื้นที่ใตโคงปรกตินี้เทากับ 1 หนวย, e เปนฐานของลอการิทึม

ธรรมชาติ (natural logarithm or napierian logarithm) ซึ่งมคีาประมาณ 2.71828 และ π มีคาประมาณ 3.1416 (Keller, 2000, p. 241 )

Y = 12

12

2

σ π

µσ

−−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

Xe ; -α < X < +α


106

คา µ บอกตําแหนงศนูยกลางความสมมาตรของเสนโคงบนแกน X และคา σ2 จะบอกการกระจายและชวยในการคํานวณหาคาความโดง (Kurtosis หรือ Peakedness ) ของโคงความถี่ที่เกดิขึ้นดวย สําหรับคาสังเกตกลุมใดก็ตามเมื่อนําเสนอการแจกแจงความถีแ่ลวไดโคงความถี่เปนรูประฆังคว่ําเชนนี้จะเรียกลักษณะการแจกแจงคาสังเกตชุดนี ้ วา “คาสังเกตแจกแจงปรกต”ิ กรณี X1, X2 ,............,Xn เปนคาสังเกตจํานวน n คาที่แจกแจงปรกต ิ ตัวมัชฌิมคณิตเทากับ µ และความแปร σ2 แลวเขียนสัญญลักษณแทนเปน

X ∼ N (µ ,σ 2)

สมมุติวา X เปนคะแนนสอบวิชาหลักสถิติของนักศกึษาหลายพนัคนแจกแจงปรกติคะแนนเฉลี่ย 52 ความแปรปรวน 14 เขียนสัญญลักษณแทนเปน X ∼ N (52 ,14) เปนตน

สําหรับเสนโคงปรกติที่ม ี µ = 0 และ σ = 1 เราเรียกวา “เสนโคงปรกติมาตรฐาน” (The standard normal curve) เพื่อใหแตกตางจากเสนปรกติทั่วไป จึงกําหนดมาตราบนแกน X ของกราฟ จากเอกซสเกล (X-scale) เปนซีสเกล (Z-scale) ดังนั้นศนูยกลางความสมมาตรของเสนโคงปรกติมาตรฐานจงึอยูที ่ Z = 0 หรือ x = µ = 0 จึงทําใหสามารถเขียนสมการเสนโคงปรกติมาตรฐานไดเปน

Y = ( )1

2

12

2

π− Ze ; -α < Z < +α

สําหรับความสัมพันธ ZX

=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

µσ

หรือ Z ii

X=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µσ

คา Z

นี้เองคือ “คามาตรฐาน” (standard score หรือ Z- score) เปนตัวเลขที่บอกถงึ การเบี่ยงเบนของแตละคาสังเกตจากศูนยกลางการแจกแจง (มัชฌิมเลขคณิต) ตอคาเบี่ยงเบนมาตรฐานหนึง่หนวยนัน่เอง ใชในการแปลงขอมูลจากเอกซสเกลเปนซีสเกล หรือซีสเกลเปนเอกซสเกล โดยเฉพาะใชสําหรับการเปรียบเทียบคาสงัเกตจากประชากรหรือคาสังเกตจากสิ่งตัวอยาง สองกลุมหรือมากกวาที่มีการแจกแจงลักษณะเดียวกนั หรือแจกแจงปรกติ


107

การแปลงคาสงัเกตใดๆ ไปเปนคามาตรฐานลกัษณะการแจกแจงของคามาตรฐานที่ไดจะยังคงรักษารูปทรงการแจกแจงเดิมเอาไว ทั้งนี้เพราะคามาตรฐานทีเ่ปลี่ยนมาจากคาสังเกตใดๆ จะมีคาขึ้นลงตามกนั สังเกตไดจากตารางขางลางจะพบวา X ทัง้ 7 คามีมัชฌิมเลขคณิตเทากับ 6 และคาเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 2 สามารถแปลงไปเปน Z ไดทั้ง 7 คาโดยมีมัชฌิมเลขคณิตเทากบั 0 และคาเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 1

ตารางที่ 6.3 แสดงการเปรยีบเทียบ เอกซสเกล และซีสเกล

เอกซสเกล 3 4 5 6 7 8 9 42.0

ซีสเกล 3 62−

= -1.5

4 62−

= -1.0

5 62−

= -0.5

6 62−

= 0.0

7 62−

= 0.5

8 62−

= 1.0

9 62−

= 1.5

0.0

ภาพที่ 6.7 แสดงเสนจํานวนของ เอกซสเกล และซีสเกล จากตารางที่ 6.5

จะเห็นชัดเจนวา คามาตรฐานจะเปน + (บวก) ถาคาสังเกตตัวนั้นมากกวา µ ตรงกันขามคามาตรฐานจะเปน - (ลบ ) เมื่อคาสังเกตตัวนั้นนอยกวา µ คามาตรฐานเหลานี้อาจใชในการเปรียบเทียบคาสังเกตจากประชากร หรือส่ิงตัวอยางสองกลุมหรือมากกวาสองกลุมไดดังตวัอยางตอไปนี ้ ตัวอยางที่ 6.7 นาย ก เปนพนักงานของโรงงานหนึง่รายไดวันละ 84 บาท. ขณะที่รายไดคาเฉลี่ยพนักงานโรงงานนี้วนัละ 76 บาท. คาเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 10 บาท. และนาย ข


108

เปนพนกังานของโรงงานสองรายไดวันละ 90 บาท. ขณะที่รายไดคาเฉลี่ยพนักงานโรงงานนี้วันละ 82 บาท. คาเบี่ยงเบนมาตรฐานเปน 16 บาท. อยากทราบวา ใครมีรายไดดีกวา

วิธีทํา แปลงรายไดนาย ก และนาย ข เปนคามาตรฐาน

จาก Z ii

X=

−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

µσ

รายไดนาย ก X1 = 84 , µ1 = 76 และ σ 1 = 10

ZX

11=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

µσ

= 84 76

10−

= 0.8

รายไดนาย ข X2 = 90 , µ2 = 82 และ σ 2 = 16

ZX

22=−⎛

⎝⎜⎞⎠⎟

µσ

= 90 82

16−

= 0.5

สรุป นาย ก มีรายไดดีกวานาย ข ตอบ 7. สรุป หลักเกณฑสถิติพรรณาไดแกการนําเสนอขอมูลเบื้องตนในรูปแบบที่เหมาะสมดวยตาราง กราฟแทง รูปภาพหรืออ่ืนๆ การแจกแจงความถี่ขอมูลดวยตารางแจกแจงความถี่และการนําเสนอการแจกแจงความถี่ดวยฮีสโทแกรม การหาแนวโนมสูสวนกลางไดนําเสนอหลักการหาคาเฉลี่ยเลขคณิต ฐานนิยมและมัธยฐาน การวัดการกระจายไดเสนอการหาคาพิสัย ความแปรปรวนและคาเบีย่งเบนมาตรฐาน ในหวัขอถัดมาเปนมาตรวัดการกระจายใชในกรณีตองการเปรียบเทียบการกระจายประชากรสองประชากร สําหรับหวัขอสุดทายเปนหลักเกณฑการแปลงขอมูลที่แจกแจงปรกตเิปนคามาตรฐาน 8. แบบฝกหัดทายบท


109

1. จงนําเสนอขอมูลตามตาราง 6.1 ดวยกราฟแทง 2. จงนําเสนอขอมูลตาราง 6.1 ดวยกราฟวงกลม 3. จงแจกแจงความถี่ และแสดงคารอยละของคาสังเกตตอไปนี ้โดยมีช้ันคานอยที่สุดเปน 10 ถึง 19 77 44 49 33 38 33 76 55 68 39 44 59 36 55 47 61 53 32 65 51 29 41 32 45 83 58 73 47 40 26 59 43 66 44 41 25 39 75 37 55 34 47 66 53 55 58 49 45 61 41 55 92 83 77 45 62 45 36 78 48 54 50 51 66 80 73 57 61 56 50 45 82 71 48 46 69 38 72 56 64 38 45 51 44 41 68 45 92 43 12 37 16 44 57 63 71 40 64 57 51 4. ขอมูลประชากรประกอบดวย 7.2, 6.1, 9.7, 7.2, 5.1, 4.3, 6.4, 7.2, 7.7 และ 10.6

จงหามัชฌิมเลขคณิต มัธยฐานและฐานนิยม 5. จากขอมลูประชากรตอไปนี้ 30, 35 , 40 , 45 , 50 , 55 , 60 , 65 ,70 , 75 , 80 และ 85

จงหา (ก) พิสัย (R) (ข) ความแปรปรวน V(x)

(ค) คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน (σx)


110

6. เกษตรกรรายหนึ่งบันทึกราคาดอกกหุลาบและราคาดอกกลวยไมหลาย ๆ ป ราคาดอกกุหลาบเฉลี่ยกโิลกรัมละ 90 บาท คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 20 บาท ดอกกลวยไมเฉลี่ยกิโลกรัมละ 28 บาท คาเบี่ยงเบนมาตรฐาน 2 บาท ในเดือนเมษายน เกษตรกรผูนี้ควรเลือกปลูกอะไรในสองอยางนีจ้ึงจะไดราคาที่แนนอนกวา 7. จงเปรียบเทยีบการกระจายของคะแนนสอบจากนกัเรียน 2 กลุมจากตารางที่ 6.4 ตารางที่ 6.4 แสดงการกระจายของคะแนนสอบจากนักเรียน 2 กลุม

กลุมที่ 1. กลุมที่ 2 ก. คะแนนเฉลีย่ 30 50 ข. คาเบี่ยงเบนมาตรฐานคะแนน 5 7


111

เอกสารอางอิง

Keller, G.& Warrack, B. (2000). Statistics for Management and Economics, (5 th. Ed.). New York: Duxbury.

Loether, H. J. & McTavish, D. G. (1980). Descriptive and Inferentiol Statistics an Introduction. Boston: Allyn and Bacon.

Watson, C. J., Billingsley, P., Croft, D. J., and Huntsberger, D. V. (1990). Statistics for Management and Economics, (4 th. Ed.). Boston: Allyn and Bacon.

Wonnacott, R. J. & Wonnacott , T. H. (1985). Introductory Statistics. NewYork: John Wily & sons.


Documents

หน่วยที่ 6 สถิติพรรณาสำหรับการวิจัย