Семинар 7

Сэдэв: Олон хувьсагчийн функц, тодорхойлошдох муж, тасралтгүй чанар

Тодорхойлолт 1.1 D-олонлогийн хос (x,y) D бүрд z Z гэсэн тодорхой утга харгалзаж

байвал хувьсах хэмжигдэхүүн z-ийг x,y-ээс хамаарсан хоёр хувьсагчийн функц гэнэ.

Хоѐр хувьсагчийн функцийг нэг хувьсагчтай функцийн ижлээр: z=f(x,y) z= φ(x,y), z=

z(x,y) гэх мэтчилэн тэмдэглэх бөгөөд x,y-ийг үл хамаарах хувьсагчид буюу аргументууд

гэнэ. D-олонллогийг функцийн тодорхойлогдох муж гэнэ.

(x,y) D òóë õî¸ð õóâüñàã÷èéí ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü õàâòãàé öýã¿¿äèéí îëîíëîãîîñ òîãòîíî.

S={(x,y,z) / z= f(x,y) олонллогийг z= f(x,y) ôóíêöèéí ãðàôèê ãýõ áà óã ãðàôèê íü îãòîðãóéí

ÿìàð íýã ãàäàðãóóãààð ä¿ðñëýãäýíý. ( ) öýã äýýðõ z= f(x,y) ôóíêöèéí óòãûã

áóþó ( ) ãýæ áè÷íý.

Æèøýýëáýë:

õýðýâ z= f(x,y)= áîë =f(2,3)=

Æèøýý 1. Z= ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã îë.

Áîäîëò: òýíöýòãýë áèøèéã õàíãàõ á¿õ (x,y)-èéí õóâüä Z-ôóíêö òîäîðõîéëîãäñîí íü

èëýðõèé èéìä ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ

D íü D={(x,y) } ãýñýí äóãóé ìóæèéã XOY-êîîðäèíàò õàâòãàé äýýð ä¿ðñëýíý.

Æèøýý 2. Z=5- ôóíêöèéí ò¿âøíèé øóãìóóäèéã çóðæ, ò¿¿íèé òóñëàìæòàéãààð

ãàäàðãóóã ä¿ðñýë. Áîäîëò: ôóíêöèéí ò¿âøíèé øóãаìóóä íü

=5-c ãýñýí êîíöåíòð òºâòýé òîéðãóóä áàéõ áà ãàäàðãóóã ä¿ðñýëâýë çóðàãò

¿ç¿¿ëñýí ïàðàáîëèîä áàéíà.

Оëîí õóâüñàã÷èéí ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã¿é ÷àíàð

Тодорхойлолт 2.1; Õýðýâ äóðûí ýåðýã òîî -èéí õóâüä ýåðýã òîî >0 îëäîîä

öýãèéí -îð÷íèé äóðûí Ì öýã¿¿äèéí õóâüä ,| |< íºõöºë áèåëýãäýæ

áàéâàë À òîîã Ì ¿åèéí ôóíêöèéí õÿçãààð ãýæ íýðëýõ áºãººä ¿¿íèéã

=A áóþó f(m)=A ãýæ òýìäýãëýíý.

ìàòåìàòèê òîì¸îëîîð áè÷âýë: f(M)=A ∀ε>0, ∃δ=δ(ε)>0

| -f ( )

Æèøýý 1. = + =3∙ +4∙2∙1-1=10

Жишээ 2.

болж (с) нөхцөл биелэгдэж байгаа тул М(1,2) цэг нь

тасралтын цэг байна.

Жишээ 3. функцийн тасралтын цэгийг ол.

Функц х – у = 0 эсвэл 1 – х2 – у2 = 0 нөхцлийг хангах цэгүүд дээр

тодорхойлогдохгүй. Иймд функцийн тасралтын цэгүүд нь у = х гэсэн шулуун ба

х2 + у2 = 1 тойрог дээр орших цэгүүд болно.

Санамж : Нэг хувьсагчийн функцийн тасралтгүй байх бүх чанарууд олон

хувьсагчийн функцийн хувьд биелэгдэнэ.

Хэрэв D мужийн М0( х0, у0) цэгийн дурын δ-орчин D мужид харъяалагдах ба

харъяалагдахгүй цэгүүдийг агуулж байвал М0 цэгийг мужийн хилийн цэг гэж

нэрлэнэ.

Хэрэв D муж өөрийнхөө бүх хилийн цэгүүдийг агуулж байвал энэ мужийг битүү муж

гэж нэрлэнэ.

Хэрэв D мужийг ямар нэг радиустай төгсгөлөг радиустай тойргийн дотор багтааж

болох бол энэ мужийг зааглагдсан муж гэнэ.

Дасгал ба бодлого.

1. Õýðýâ f(x,y)=2xy( )áîë f(-3,4),f(5,7),f(1, ) óòãóóäûã îë.

2. f(x,y)= , = , áîë f( ), ôóíêöóóäûí

èëýðõèéëëèéã áè÷.

Ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéã îëæ çóðãààð ä¿ðñýë.

1. Z=

2. Z=arcsin

3. Z=

Хязгаар бод.

1.

2.

3.

Өгөгдсөн функцийн тасралтын цэгүүдийг олж, тасралтын шугам ба гадаргууг зур.

4.

5.

6.

Дараах функцуудыг (0,0) цэг дээр тасралттай эсэхийг судал.

7.

8.

9.