116

บทท 9

ความสมพนธและฟงกชน

ในบทนจะกลาวถงแนวคดพนฐานทส าคญมากอยางหนงในการศกษาสาขาคณตศาสตร นนคอแนวคดเกยวกบ ฟงกชน (function) ค าวา “ฟงกชน” ไดถกน ามาใชในสาขาคณตศาสตรราวปลายครสตศตวรรษท 17 โดยนกคณตศาสตรชาวเยอรมนชอ ไลบนตช (Gottfried Wilhelm von Leibnitz , คศ.1646-1716) ซงเปนผหนงทใหก าเนดวชาแคลคลส ส าหรบเนอหาในบทนจะไดกลาวถงผลคณคารทเซยน ความสมพนธและกราฟของความสมพนธ ฟงกชนและกราฟของฟงกชน โดยจะเนนสมบตทส าคญเปนล าดบไป

9.1ผลคณคารทเซยน

แรกสดน เราจะพจารณาค าวา คอนดบ (ordered pair) ของจ านวนจรงเสยกอนระหวางจ านวนจรงสองจ านวนใดๆ ถาเราถอเอาอนดบทเปนส าคญ เราะจะเรยกกรณอยางนวาคอนดบ ส าหรบ จะใช สญลกษณ ( ) แทนคอนดบทม a เปนสวนประกอบท 1 (first component) และม b เปนสวนประกอบ ท 2 (second component) ถงแมวาเราจะใชสญลกษณ ( ) แทนทงคอนดบ ( ) และชวงเปด ( )กจะไมท าใหสบสนเพราะเนอหาทเกยวของเมอกลาวถง ( ) จะท าใหเกดความชดเจนในตวเอง

คอนดบ (1,4) ม 1 เปนตวประกอบท 1 และม 4 เปนตวประกอบท 2 ซงมความแตกตางกบคอนดบ (4,1) ซงม 4 เปนตวประกอบท 1 และม 1 เปนตวประกอบท 2 ในกรณทวไป จะไดวาส าหรบ ถา แลว ( ) ( ) ดงนนเราอาจกลาวไดวา ( ) ( ) กตอเมอ และ ดงตวอยาง เชน

ถา ( ) ( ) แลวจะได และ นนคอ

เราจะใชแนวคดเกยวกบคอนดบเพอนยามผลคณคารทเซยนของเซตสองเซต ดงตอไปน

บทนยาม 9.1 ให A และ B เปนเซตทไมเปนเซตวาง ผลคณคารทเซยน (Cartesian product) ของ A และ B ซงเขยนแทนดวยสญลกษณ หมายถงเซตทประกอบดวยคอนดบ ( ) โดยท และ

นนคอ ( )

117

ตวอยาง 9.1 ถา และ เพราะฉะนน

วธท า ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

เราจะเหนวา ( ) แต ( )

ตวอยาง 9.2 ให และ จงหา และ

วธท า ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ขอสงเกต จากตวอยาง 9.2 จะเหนวา

ในกรณทวไป ถา แลว

ในหนงสอเลมนเราจะกลาวถงผลคณคารทเซยน และผลคณคารทเซยนของเซตทเปนเซตยอยของ เปนสวนใหญ ในบางครงผลคณคารทเซยน จะเขยนแทนดวย ซงกคอเซตของคอนดบของจ านวนจรงทงหมด นนคอ ( ) และ

9.2 ความสมพนธ

ประโยคตอไปน “วภเปนพของภผา” “กรรณการเปนคณแมของแหวนพลอย” “ ”“3 นอยกวา 5” เปนตวอยางของ ความสมพนธ (relations) ค าวา “เปนพของ” “เปนคณแมของ” “=” “นอยกวา” เปนค าทใชแสดงความสมพนธ ซงจะเหนวาความสมพนธจะเกยวของกบของสองสง (ซงอาจเหมอนกนหรอเทากน) สมการหรออสมการทแสดงความสมพนธระหวางจ านวน และ ใดๆ กเปนตวอยางความสมพนธเชนเดยวกน

บทนยาม 9.2 ถา และ เปนเซตยอย (subset) ของ จะเรยก วาเปน ความสมพนธจาก ไป (relation from to )

ถา ( ) เราจะกลาววา “ สมพนธกบ กบ ” และเขยนแทนดวยสญลกษณ

118

ตวอยาง 9.3 ให และ และให

( )

จะได ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

หรอถา ( )

จะได ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

จะพบวา และ

ดงนนจะไดวาทง และ จะเปนความสมพนธจาก ไปยง

ตวอยาง 9.4 ให และ และให

{( )

จะเปนจ านวนเตม}

เพราะฉะนน ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

สามารถเขยนรปแสดงความสมพนธ ไดดงรป 9.1

A B

1 1

2 2

3 3

4 4

5

6

รป 9.1

119

บทนยาม 9.3 ถา เปนความสมพนธจาก ไป จะเรยกวา เปน ความสมพนธใน A (relation in A)

ขอตกลง เมอ A เปนเซตใดๆ ในบางครงจะเขยน แทน และ

ตวอยาง 9.5 ถาให และให ( )

ดงนน ( ) ( ) ( ) ( )

ในทน จะเปนความสมพนธใน

ตวอยาง 9.6 ให เปนเซตของจ านวนจรง และ

( ) และ

( ) และ

จะพบวา และ เปนความสมพนธใน

บทนยาม 9.4 ให เปนความสมพนธจาก ไป

โดเมน (domain) ของ ความสมพนธ หมายถงเซตของสวนประกอบทหนงของทกคอนดบทอยใน จะเขยนแทนดวยสญลกษณ

นนคอ จะม บางตวใน ทท าให ( )

เรนจ (range) ของความสมพนธ หมายถงเซตของสวนประกอบทสองของทกคอนดบทอยใน จะเขยนแทนดวยสญลกษณ

นนคอ จะม บางตวใน ทท าให ( )

จะเหนวา และ ดงตวอยาง 9.3 จะไดวา

โดเมนของ เรนจของ

โดเมนของ เรนจของ

ตวอยาง 9.7 ให เปนเซตของจ านวนธรรมชาต และให ( ) และ

เพราะฉะนน ( ) ( )( ) ( )

ดงนนจะได ,

120

การหาโดเมนและเรนจจากตวอยางทกลาวมาขางตน เปนการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธทมจ านวนสมาชกจ ากดจงท าใหสามารถหาไดงาย แตในกรณทเปนความสมพนธใน ซงมจ านวนสมาชกไมจ ากด จะไมสามารถใชวธหาโดเมนและเรนจดวยวธการดงทกลาวไดสะดวก แตจะใชวธการตอไปน

วธหาโดเมน เขยน ในเทอมของ แลวพจารณาวาคา เปนจ านวนจรงอะไรไดบาง จงจะท าใหค านวณคา ไดเปนจ านวนจรง เซตของคาของ ทงหมดคอ โดเมน

วธหาเรนจ เขยน ในเทอมของ แลวพจารณาวาคา เปนจ านวนจรงอะไรไดบาง จงจะท าใหค านวณคา ไดเปนจ านวนจรง เซตของคาของ ทงหมดคอ เรนจ

ตวอยาง 9.8 จงหาโดเมนและเรนจของ ( ) และ

วธท า พจารณาสมการ

ถา แลวจะท าให

ซงเปนไปไมได

ดงนนจ านวนจรง จงไมอยในโดเมนของ จ านวนจรงนอกนนอยในโดเมนของ

เพราะฉะนน ( ) ( )

และจากสมการ

เขยน ในเทอมของ จะได

จะเหนวา ถา แลวจะไมสามารถหาคาของ ได

ดงนน ( ) ( )

ตวอยาง 9.9 จงหาโดเมนและเรนจของ ( )

วธท า จากสมการ จะได √ และ √

ดงนน

121

หมายเหต มสมการบางสมการทไมสามารถเขยน ในเทอมของ และเขยน ในเทอมของ

ในกรณเชนนจะใชวธการหาโดเมนและเรนจดงทกลาวมาไมได ตองใชวธการอน

9.3 ความสมพนธผกผน

สมมตให และ และให เปนความสมพนธาก ไป โดยก าหนดความสมพนธ ดงน ( )

ซงจะได ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

และ และ

ถาเราสลบทกนระหวางสวนประกอบทหนงและสวนประกอบทสองของแตละคอนดบทอยใน จะได

ความสมพนธอนใหม สมมตใหเปน นนคอ

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ซงจะไดวา เปนความสมพนธจาก ไป ซงสามารถเขยนความสมพนธ ไดดงน

( ) หรอ

( )

จะพบวา และ

เรยกความสมพนธ ทเกดขนนวาเปน ความสมพนธผกผน (inverse relation) ของความสมพนธ

122

บทนยาม 9.5 ความสมพนธผกผนของ จาก ไป คอความสมพนธจาก ไป ซงเกดจากการสลบทกนระหวางสวนประกอบทหนงกบสวนประกอบทสองของแตละคอนดบใน และเขยนแทนดวยสญลกษณ (อานวาความสมพนธผกผนของ หรออนเวอรสของ ) นนคอ ( ) ( )

ตวอยาง 9.10 ก าหนดให และ ( ) จงหา

วธท า ในทน ( ) ( ) ( ) ( )

เพราะฉะนน ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )

ตวอยาง 9.11 ถา ( ) และ

วธท า เพราะวา ( ) และ

( ) และ

( ) และ

แบบฝกหด 9.1

1. จงหาคาของ และ ถา ( ) ( )

2. จงหาคาของ และ ถา ( ) ( )

3. ให ตม แตง ตาล และ แหวน หวา จงหา

( ) ( )

( ) ( )

4. ให และ จงหา

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

123

ตงแตขอ 5 ถงขอ 6 จงหาความสมพนธผกผนของ พรอมทงหาโดเมนและเรนจของ และของความสมพนธผกผนของ ดวย

5. ถา เปนความสมพนธในเซตของจ านวนจรง ซง ( ) และ

6. ถา เปนความสมพนธในเซตของจ านวนธรรมชาต ซง ( ) และ

7. ถาให และ เปนความสมพนธในเซตของจ านวนจรง ซงก าหนดดงน

( ) และ และ

( ) และ

จะเขยนกราฟของความสมพนธ และหาโดเมนและเรนจดวย

9.4 ฟงกชน

โดยทวไปเราสนใจความสมพนธทมลกษณะชนดหนง ซงเรยกวา ฟงกชน (function) เราอาจท าความเขาใจงายๆวา “จ านวน ”เปนฟงกชนของจ านวน ถาส าหรบแตละ มวธการ(กฎหรอสตร) เพอหาคาของ

ไดเพยงหนงคาเทานนทสมนยกบคาของ “ตวอยางเชน สมการ ” เปนฟงกชน เพราะวาคาแตละคาของ จะหาคา ไดเพยงหนงคาเทานน

บทนยาม 9.6 ฟงกชน คอ ความสมพนธซงสองคอนดบใดๆ ทมสวนประกอบทหนงเหมอนกนแลว สวนประกอบทสองจะตองเหมอนกนดวย นนคอ เปนฟงกชน กตอเมอ ถา ( ) และ ( ) แลว

ตวอยาง 9.12 ก าหนดให

และ ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

จะไดวา ไมเปนฟงกชน เพราะวา ( ) และ ( ) แต

เปนฟงกชน

124

ตวอยาง 9.13 ( ) และ เปนฟงกชน

( ) และ ไมเปนฟงกชน

เพราะวา ( ) และ ( ) โดยท

เนองจากฟงกชนเปนความสมพนธ ดงนนจงมโดเมนและเรนจและมวธการหาโดเมนและเรนจเชนเดยวกบการหาโดเมนและเรนจของความสมพนธ ถา เปนฟงกชน จะเขยน และ แทนโดเมนและเรนจของ ตามล าดบ

ตวอยางท 9.14 ก าหนดให ( ) และ จงหาโดเมนและเรนจของ

พรอมทงเขยนกราฟ

วธท า จะเหนไดวา สามารถหาคาไดเสมอ ไมวา จะเปนจ านวนจรงใด

ดงนน

และจากสมการ จะไดวา

จะเหนวา ไมวา จะเปนจ านวนจรงใดๆ จะหาคา ไดเสมอ

ดงนน กราฟของ ดงรป 9.2

รป 9.2 กราฟของ

125

ตวอยาง 9.15 ก าหนดให ( ) และ √ จงหาโดเมนและเรนจของ พรอมทงเขยนกราฟ

วธท า เพราะวาส าหรบจ านวนจรง จะไดวา √ จะเปนจ านวนจรงกตอเมอ

นนคอ √ จะหาคาไดตอเมอ

ถา จะได

ดงนน และ

เพราะวา √ ดงนน

นนคอ และ กราฟของ ดงรป 9.3

รป 9.3 กราฟของ √

บทนยาม 9.7 ถา เปนความสมพนธจาก ไป ทเปนฟงกชน และ จะเรยกวา เปนฟงกชน จาก ไป (function from to ) จะเขยนแทนดวย

ถา ( ) เรยกวา เปนภาพ (image) ของ ภายใต หรอ เปนคาของฟงกชน ท

126

เขยนแทนดวย ( ) ดงรป 9.4

( )

( )

( )

( )

รป 9.4

จากบทนยาม 9.7 เซต และเซต อาจเปนเซตเดยวกน นนคอ และส าหรบในหนงสอเลมนกลาวเฉพาะกรณทเซต และเซต เปนเซตยอยของ

โดยทวไปนยมใชตวอกษร และ แทนฟงกชน และจากนยามจะเหนวาแตละ จะสมนยกบ ( ) ไดเพยงตวเดยวเทานน จงจะได เปนฟงกชน แตไมไดก าหนดวาสมาชกทตางกนของเซต จะมภาพเปนตวเดยวกนไมได นนคอสมาชกทตางกนของเซต อาจมภาพเปนตวเดยวกนได ดงรป 9.4 จะเหนวา มภาพเปนตวเดยวกนใน คอ ( )(หรอ ( ))

บทนยาม 9.8 ถา เปนฟงกชนจากเซตยอยของ ไป จะเรยกวา เปนฟงกชนคาจรง (real-value function of real variable) และถา ( ) และ ( ) นยมเขยนโดยยอวา ( )

เชน จากตวอยาง 9.15 ทก าหนดให {( )| และ √ }

จะเขยนโดยยอวา ( ) √

127

ตวอยาง 9.16 ก าหนดให ( ) และ ( )

จงหา ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( ))

วธท า ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

เพราะวา ( ) ดงนน ( ( )) ( )

เพราะวา ( ) ดงนน ( ( ) ( )

บทนยาม 9.9 ให และ เปนฟงกชน เทากบ (เขยนแทนดวย ) กตอเมอ และ

( ) ( ) ส าหรบทกๆ คา ทอยในโดเมน (หรอโดเมน )

ตวอยาง 9.17 ให และ ก าหนดให ( ) และ ( )

จะเหนวา และ ( ) ( ) ส าหรบทกคา ใน ดงนน

บทนยาม 9.10 ให และถา จะเรยกวา เปนฟงกชนจาก ไปทวถง (function from

onto ) เขยนแทนดวย →

บทนยาม 9.11 ให เรยกวา เปนฟงกชนหนงตอหนง (one to one function)

กตอเมอ ถา ( ) ( ) แลว เทานน เขยนแทนดวย →

บทนยาม 9.12 ถา เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก ไปทวถง เขยนแทนดวย

จะเรยก วาเปนการสมนยหนงตอหนง (one to one correspondence) และเรยกวา

เซต กบเซต มการสมนยแบบหนงตอหนง

128

ตวอยาง 9.18 ถาให

และก าหนด เปนฟงกชนจาก ไป ซงมลกษณะดงรป 9.5 ตอไปน

(ก) (ข)

รป 9.5

จะพบวา ไมเปนฟงกชนหนงตอหนงจาก ไปทวถง

ทงนเพราะ ( ) ( )

และเรนจของ

ในขณะเดยวกน เปนฟงกชนหนงตอหนง แต ยงคงเปนฟงกชนจาก ไป

ทงนเพราะเรนจของ

129

ตวอยาง 9.19 ถาให และ ก าหนดให เปนฟงกชนจาก ไป ดงรป 9.6

จะพบวา เปนทงฟงกชนหนงตอหนง จาก ไปทวถง

การพจารณาวาความสมพนธทก าหนดใหเปนฟงกชนหรอไม และถาเปนฟงกชนแลวเปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม นอกจากจะอาศยนยามโดยตรงแลวอาจท าไดอกวธหนงโดยการพจารณาจากกราฟของความสมพนธ ซงท าไดดงน

การพจารณาวาเปนฟงกชน ลากเสนตรงขนานแกน ใหตดกราฟของความสมพนธเปนแหงๆไป ถามเสนตรงขนานแกน เสนใดตดกราฟของความสมพนธมากกวาหนงจด แสดงวาจด หนงคาตรงจดนนใหคา ไดมากกวาหนงคา ดงนนความสมพนธนนไมเปนฟงกชน ถาไมมเสนตรงขนานแกน เสนใดตดกราฟของความสมพนธมากกวาหนงจด แสดงวาความสมพนธนนเปนฟงกชน

การพจารณาวาเปนฟงกชนหนงตอหนง ลากเสนตรงขนานแกน ใหตดกราฟของความสมพนธเปนแหงๆไป ถามเสนตรงขนานแกน เสนใดตดกราฟของความสมพนธมากกวาหนงจด แสดงวามคา หลายคาทใหคา หนงคา ดงนนความสมพนธนนไมเปนฟงกชนหนงตอหนง ถาไมมเสนตรงขนานแกน เสนใดตดกราฟของความสมพนธมากกวาหนงจด แสดงวาความสมพนธนนเปนฟงกชน

130

9.5 ฟงกชนผกผน

ในหวขอ 9.3 เราทราบแลววาเมอใหความสมพนธใดๆมา เราจะหาความสมพนธผกผนของความสมพนธนนไดเสมอและเนองจากวาถา เปนฟงกชนแลว จะตองเปนความสมพนธดวย ดงนน จงสามารถหาความ สมพนธผกผนของ ไดเสมอ เชนกน ซงความสมพนธผกผนของฟงกชน อาจจะเปนหรอไมเปนฟงกชนกได

ตวอยาง 9.20 ถาให ( ) ( ) ( ) ( )

ดงนนจะได ( ) ( ) ( ) ( )

โดยบทนยาม 9.6 จะเหนวา ทง และ เปนฟงกชน

ตวอยาง 9.21 ก าหนดให ( ) และ

เพราะฉะนน ( )

จากการสงเกต จะพบวาถา เปนฟงกชนหนงตอหนง แลว จะเปนฟงกชน และ ถา เปนฟงกชนหนงตอหนงและทวถง แลว จะเปนฟงกชนหนงตอหนงและทวถงดวย กลาวคอ ถา เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก ไปทวถง แลว เปนฟงกชนหนงตอหนงจาก ไปทวถง นนคอ ถา แลวจะได

บทนยาม 9.13 ให เปนฟงกชน ฟงกชนผกผน (inverse function) ของ คอความสมพนธผกผนของ

ทเปนฟงกชน

ถา เปนฟงกชนหนงตอหนง ก าหนดโดย ( ) สามารถหาฟงกชนผกผนของ ไดโดยเขยน ให อยในเทอมของ เพราะฉะนน ( ) และ ( )

ตวอยาง 9.22 ก าหนดให ( ) และ

วธท า จากทก าหนดให เพราะฉะนน ( )

จะเหนวา เปนฟงกชนหนงตอหนงและทวถง

ดงนน จงสามารถหาฟงกชนผกผนของ ได

จาก จะได

131

นนคอ ( ) และ

หรอ ( ) และ

9.6 พชคณตของฟงกชน

พชคณตของฟงกชน (algebra of functions) จะเปนการกลาวถงการสรางฟงกชนขนใหมจากฟงกชนคาจรงทใหมาตงแตสองฟงกชนขนไป โดยการน าฟงกชน (คาของฟงกชน) เหลานนมาบวก ลบ คณ หรอหารกน ดงบทนยามตอไปน

บทนยาม 9.14 ให และ เปนฟงกชนคาจรง จะก าหนดผลบวก ผลตาง ผลคณและผลหารของฟงกชน และ ดงน

(1) ผลบวกของฟงกชน กบ เขยนแทนดวย จะเปนฟงกชนทก าหนดโดย

( )( ) ( ) ( ) เมอ

หรอ ( ) ( ) ( ) เมอ

(2) ผลตางของฟงกชน กบ เขยนแทนดวย จะเปนฟงกชนทก าหนดโดย

( )( ) ( ) ( ) เมอ

หรอ ( ) ( ) ( ) เมอ

(3) ผลคณของฟงกชน กบ เขยนแทนดวย จะเปนฟงกชนทก าหนดโดย

( )( ) ( ) ( ) เมอ

หรอ ( ) ( ) ( ) เมอ

(4) ผลหารของฟงกชน กบ เขยนแทนดวย จะเปนฟงกชนทก าหนดโดย

( ) ( ) ( )

( ) เมอ และ ( )

หรอ ( ) ( ) ( )

( ) เมอ และ ( )

132

ตวอยาง 9.23 ให ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

จงหา

วธท า เพราะวา ดงนน จะนยามเฉพาะบน

เพราะฉะนน ( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )

ดงนน ( ) ( ) ( ) ( )

ตวอยาง 9.24 ให ( ) และ

( ) และ

จงหา ( ) ( ) ( ) ( )

วธท า ( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

หรอ ( ) และ

( ) ( )( ) ( ) ( )

( )

หรอ ( ) และ

( ) ( )( ) ( ) ( )

หรอ ( ) และ

133

( ) ( )( ) ( )

( )

หรอ ( ) และ

ตวอยาง 9.25 ให ( ) และ ( ) จงหาบทนยาม ( ) ( ) ( )

วธท า จากบทนยาม 9.14 ดงนน

( ) จะนยามวา ( )( )

และ โดเมนของ คอ ( ) จะนยามวา ( )( ) และ โดเมนของ คอ

( ) จะนยามวา ( )( )

และ โดเมนของ คอ

9.7 ฟงกชนประกอบ

พจารณาฟงกชน ( ) ( ) จะเหนวาในการด าเนนการหรอค านวณเกยวกบฟงกชนนโดยตรงอาจจะไมสะดวก แตถาเราให ( ) และ ( ) ดงนนจะได ( ) ( ) ( ( )) ซงจะเรยกวา เปนฟงกชนประกอบ (composite function) ระหวางฟงกชน กบฟงกชน ซงจะท าใหการค านวณหรอการด าเนนกานในบางครงกระท าไดสะดวกและรวดเรวยงขน กระบวนการเพอใหไดผลดงกลาวอาจเขยนเปนแผนผงไดดงรป 9.7

( ) ( ( ))

รป 9.7

134

บทนยาม 9.15 ให และ แลว การประกอบของ และ (composition of and ) จะเขยนแทนดวย ( อานวา คอมโพสท ) คอฟงกชนจาก ไป

นนคอ โดยท ( )( ) ( ( )) ส าหรบ

รป 9.8

จากรป 9.8 ถาให และ แลว

เปนฟงกชนจาก ไป โดยท ( ) หรอ ( )

เปนฟงกชนจาก ไป โดยท ( ) หรอ ( ) ( ( ))

ดงนน เปนฟงกชนจาก ไป โดยท ( ) หรอ ( ) ( ( ))

ซงจะเหนวา ( )( ) ( ( )) กลาวคอ คาของฟงกชน ท

เทากบคาของฟงกชน ท ( ) ซงมคาเทากบ นนเอง

ขอสงเกต ฟงกชนประกอบ จะหาคาไดกตอเมอ เรนจของ เปนเซตยอยของโดเมนของ

135

ตวอยาง 9.26 ให และ ก าหนดดงในรป 9.9

รป 9.9

จากรป 9.9 จะเหนวา เปนฟงกชนจาก ไป โดยท

( )( ) ( ( )) ( )

( )( ) ( ( )) ( )

( )( ) ( ( )) ( )

ดงนน ( ) ( ) ( ) ( )

ตวอยาง 9.27 ก าหนดให และ เปนฟงกชนทก าหนดดงน

( ) และ ( ) ส าหรบ จะหา และ ไดหรอไม

วธท า เพราะวา ) และ จะเหนวา ดงนนหา ได ดงน

( )( ) ( ( ))

( )

( )

136

ดงนน ( ) และ

เพราะวา และ

จะเหนชดวา ดงนน สามารถหาได ดงน

( )( ) ( ( ))

( )

( )

ดงนน ( ) และ

บทนยาม 9.16 ให ทก าหนดโดย ( ) ส าหรบทก แลว จะเรยกวา เปนฟงกชนเอกลกษณ (identity function) ในเซต เขยนแทนดวย

จากบทนยาม 9.16 จะได เปนฟงกชนเอกลกษณใน นนคอ ซงกราฟ

ดงรป 9.10

รป 9.10

137

ตวอยาง 9.28 ให ทก าหนดโดย ( ) จงหา และ

วธท า เนองจาก เปนฟงกชนหนงตอหนง ดงนนสามารถหาฟงกชนผกผนได

จาก ( ) จะได

นนคอ ( )

เนองจากโดเมนและเรนจของ และ เปนเซตของจ านวนจรง

ดงนน และ สามารถหาได โดยท

( )( ) ( ( )) (

) (

)

และ ( )( ) ( ( )) ( ) ( )

เนองจาก และ ตางกเปนฟงกชนจาก ไป ทมโดเมนเทากน และ ( )( ) ( )( )

เพราะฉะนน

ขอสงเกต 1. หรอ อาจจะหาไดหรอไมได แตถาหาได กบ อาจจะไมเทากน เชนในตวอยาง 9.27

2. ถา แลวจะได

9.8 ฟงกชนชนดตางๆ

ฟงกชน อาจมชอเรยกไดหลายชอตามลกษณะของเงอนไขหรอการนยามของ ( ) นนคอจะมแบบของฟงกชน (type of functions) ไดมากมายตามลกษณะของเงอนไข ทใชก าหนดคาของฟงกชน โดยทวไปจะแบงฟงกชนออกเปน 2 ประเภท คอ

1.ฟงกชนพชคณต (algebraic function) เปนฟงกชนทคาของฟงกชนจดอยในรปของจ านวนจรง และตวแปร เครองหมาย(การด าเนนการ)ในทางพชคณต ซงมดงน

138

(1) ฟงกชนพหนาม (polynomial function) เปนฟงกชนทจดอยในรป

( )

โดยท เปนจ านวนคาคงตว ซงจะเรยกวา สมประสทธ (coefficients) ของฟงกชนพหนาม ซง

เปนจ านวนเตมทมากกวาหรอเทากบศนย เรยกวา ระดบขน(degree) ของฟงกชนพหนาม

ตวอยางเชน

( ) เปนฟงกชนพหนาม ระดบขน 4

( ) เปนฟงกชนพหนาม ระดบขน 3

ถา จะได ( ) จะเรยกวา เปน ฟงกชนเชนเสน (linear function) ตวอยางเชน ( ) ( ) ( ) เปนตน

ถา จะได ( ) จะเรยกวา เปนฟงกชน

ก าลงสอง (quadratic function) ตวอยางเชน ( ) ( ) เปนตน

ในกรณท ( ) โดยท เปน คาคงตว (constant) จะเรยกวา เปน ฟงกชนคงตว (constant function) ตวอยางเชน ( ) ( ) ( )

แตถาฟงกชน มคาของฟงกชนเปนคาคงทในแตละชวงของโดเมนของ แลวจะเรยกวา เปนฟงกชนขนบนได (step- function)

(2) ฟงกชนตรรกยะ (rational function) เปนฟงกชนทอยในรปผลหารของพหนาม กลาวคอ

( ) ( )

( ) โดยท ( ) ( ) เปนฟงกชนพหนาม และ ( ) ตวอยางเชน

( )

( )

( )

139

จะเหนวาฟงกชนพหนามกเปนฟงกชนตรรกยะ โดยท ( ) เมอ เปนคาคงตว ดงนนจงเรยกฟงกชนพหนามไดอกอยางวา ฟงกชนตรรกยะชนดจ านวนเตม (rational integral function)

(3) ฟงกชนอตรรกยะ (irrational function) เปนฟงกชนพชคณตทไมใชฟงกชนตรรกยะ ตวอยางเชน

( ) √

( ) √

2. ฟงกชนอดสย (transcendental functions) คอฟงกชนใดๆทไมใชฟงกชนพชคณต เชนฟงกชนตรโกณ (trigonometric functions) ฟงกชนตรโกณผกผน (inverse trigonometric functions) ฟงกชนชก าลง (exponential functions) ฟงกชนลอการทม (logarithmic functions) ฟงกชนไฮเพอรโบลก (hyperbolic functions) และฟงกชนไฮเพอรโบลกผกผน (inverse hyperbolic functions) ตวอยางเชน

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

แบบฝกหด 9.2

1. ก าหนดให จงพจารณา ความสมพนธจาก ไป ตอไปนเปนฟงกชนหรอไมเพราะเหตใด

(1) ( ) ( )

(2) ( ) ( ) ( )

(3) ( ) ( ) ( )

(4) ( ) ( ) ( )

(5) ( ) ( ) ( ) ( )

2. ก าหนดให และ จงหาฟงกชนจาก ไป มาทงหมด

140

3. ให ก าหนดโดย ( ) จงหา

(1) ( ) (2) ( ) ( )

(3) ( ) (4) ( ( ))

(5) ( ) (6) ( ) ( )

4. ให ก าหนดโดย

( ) {

จงหา (1) ( ) (2) ( )

(3) ( ) (4) ( ( ))

5. ก าหนดความสมพนธในเซตของจ านวนจรงดงตอไปน

( ) และ

( ) และ

{( )| และ √ }

จงพจารณาวา

(1) เปนฟงกชนหรอไม (2) เปนฟงกชนหนงตอหนงหรอไม

(3) เปนฟงกชนจาก ไปทวถง หรอไม (4) ถาเปนฟงกชนจงหาโดเมนและเรนจของฟงกชน

(5) ถาเปนฟงกชน จงหาฟงกชนผกผน

6. จงหาโดเมนและเรนจ พรอมทงเขยนกราฟของแตละฟงกชนทก าหนดใหตอไปน

(1) ( )

(2) ( )

(3) ( )

141

(4) ( )

(5) ( ) { ถา ถา

(6) ( ) { ถา ถา ถา

7. จากฟงกชน และ ทก าหนดใหดงตอไปน จงหา และ พรอมทงหาโดเมนและเรนจของฟงกชนทเปนผลลพธดวย

(1) ( ) ( )

(2) ( ) ( )

(3) ( ) ( ) √

(4) ( ) ( )

(5) ( ) ( ) √

8. จงหา และ พรอมโดเมนและเรนจของฟงกชนทเปนผลลพธดวย ถา

( ) { ถา ถา ถา

( ) { ถา ถา ถา

9. ให ( ) และ ( )

(1) ( )( ) (2) ( )( )

(3) ( )( ) (4) ( )(

)

(5) ( )( ) (6) ( )( )

142

10. ให ( ) ( ) และ ( ) จงหา

(1) (2)

(3) (4)

(5) (6)

(7) ( ) (8) ( )

(9) ( ) (10) ( )

(11) ( ) (12) ( )

(13) ( ) (14) ( )