דף נוסחאות תרמודינמיקה- הוכן ע״י אמיר כהנא וחרות אוזןסטטיסטיקה והסתברות

קומבינטוריקה

.D(n,k) = תאים nעצמים ב k הערה: מס׳ האפשרויות לסדר

זהויות קומבינטוריות

התלפגות בינומית- מס׳ ההצלחות בסדרת ניסויים ב״ת N - מס׳ ניסויים, n- מס׳ הצלחות.

הבינום של ניוטון .

.n=1 התפלגות אקס׳ היא המקרה הפרטי של גמא עםהתנועה הבראונית

מהלך אקראי (שיכור) של חלקיקים בנוזל. מש׳ מסטר - מש׳ רקורסיבית שמתארת את הסיכוי למציאת החלקיק באתר

m בזמן n (בדיד). מש׳ מסטר בנוכחות כח חיצוני

p- סיכוי ללכת ימינה, q— ללכת שמאלה. א. אין ש״מ- קיימת תלות בזמן.

מהלך אקראי בהעדר כוחות חיצוניים (p=q=1/2) שמקורה בהתנגשות בין החלקיקים:

יחס איינשטין הראשון: ,

D- קבוע דיפוזיה, s- גודל הצעד, - זמן ממוצע בין ההתנגשויות.

מס׳ הצעדים הכולל t , -N- זמן כולל עד למדידה.

:n בזמן m הסיכוי להיות באתר

.f(x) פונ׳ אופיינית - התמרת פורייה ההפוכה של פונ׳ ההתפלגות

קבלת מומנטים

משפט הגבול המרכזי: עבור n משתנים אקראיים ב״ת עם ממוצע

ושונות סופיים, כאשר n גדול אז מתפלג גאוסיאנית

.

x תוחלת של

A שונות של

עבור n משתנים ב״ת מאותה התפלגות

תוחלת בגבול הרצף:

מהלך אקראי בהפעלת כח קבוע עם התנגשויות בין החלקיקים:

יחס איינשטין השני: , -מוביליות.

, n מיקום ממוצע בזמן

בגבול הרצף a ,x=ma גודל הצעד. נשים לב שלm ולn אותה זוגיות.

בש״מ המהירות הממוצעת

התפלגות של x אחרי n צעדים

ב. ש״מ תרמי- מצב שאינו משתנה בזמן ואינו תלוי בתנאי ההתחלה. במצב זה מיקום החליקיקים מתפלג לפי התפלגות בולצמן:

,

U(x)- אנ׳ פוטנציאלית. בכח קבוע ואז

.

ג. ש״מ בדיד (קיר)- מעבר למרחב בדיד. .

nkn!

(n − k)!D(n,k) =

n + k −1n −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

n + k −1k

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= n!k!(n − k)!

בלי חזרהעם חזרה

עם חשיבות לסדר

בלי חשיבות לסדר

2nn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=0

n

∑2

knk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= n

n −1k −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

n +mr

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=

n0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟mr

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+

n1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

mr −1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟+ ...+

nr

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟m0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

(a + b)n =nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=0

n

∑ akbn−k

Pn+1(m) = p ⋅Pn (m −1)+ q ⋅Pn (m +1)

D = < s2 >2τ

τ

N = t< τ >

Pn (m) =n!

n −m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ !

n +m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ !p

n+m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟q

n−m2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

< xn >= − 1in∂nϕ(t)∂t n t=0

µ

σ 2Χ =xi∑n

G(nµ,nσ 2 )

< x >= xiP(xi )i=0

N

∑Var(A) =< A2 > − < A >2

< Χ >= N < xi > Var(Χ) = N ⋅Var(xi )

g(x) = p(x)g(x)dx−∞

∞

∫

µ = DkBT

µ

< m >n= n p − q( )

< v >= µF⇒< x >= µFt

Pn (x) =12π

!f kn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟−∞

∞

∫ ⋅e− i k

nxdk

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

n

Peq (x) = Ne−U (x )kBT N = e

−U (x )kBT

−∞

∞

∫ dx⎛

⎝⎜⎞

⎠⎟

−1

U(x) = −Fx

< x >eq=kBTF

Peq (m) = e−2m(q−p)

distrubtion pdf mean var cf

binomial P(n | N ) =Nn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟pn (1− p)N−n Np Np(1− p) ϕ(t) = (1− p + peit )n

uniform f (x) = 1b − a

a < x < b 12(a + b) 1

12(b − a)2 eitb − eita

it(b − a)

normal f (x) = 12πσ 2

e− (x−µ )

2

2σ 2 µ σ 2 ϕ(t) = eiµt− σ t( )2

2

gamma f (x) = xn−1e−λxλ n

Γ(n)x ≥ 0,λ > 0 n

λnλ 2 ϕ(t) = λ

λ − it⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

exp f (x) = λe−λx 1λ

1λ 2 ϕ(t) = λ

λ − it

poission P(n) = λ n

n!e−λ λ λ ϕ(t) = eλ (e

it−1)

lorentzian − cauchy f (x) = 1π

b(x −m)2 + b2

m ∞ ϕ(t) = emit−b t

יסודות התרמודינמיקה חוקי היסוד של התרמו׳

ש״מ תרמו׳- מצב בו הגדלים המקרוסקופיים (P,V,T) של המע׳ המבודדת אינם תלויים בזמן.

מע׳ תרמו׳- מע׳ מקרוסקופית מבודדת עם מס׳ חלקיקים קבוע. מע׳ מבודדת- אינה מחליפה אנרגיה וחום עם סביבתה.

חוק ה0: 2 מע׳ בש״מ תרמי עם מע׳ שלישית יהיו בש״מ זו עם זו.

החוק ה1: חוק שימור אנרגיה .

החוק ה2: מע׳ בש״מ מוגדרת ע״י אנטרופיה כך שבמצב ש״מ הגדלים

התרמו׳ ממקסמים את האנטרופיה בהסרת האילוצים . החוק ה3: בטמפ׳ שואפות ל0 האנטרופיה שואפת לקבוע.

גז אידאלי (ג״א) גז בו אין אינטרקציה בין החלקיקים.

מש׳ המצב .

האנרגיה של חלקיק , f- דרגות חופש.

גז אידאלי מונואטומי בתלת מימד .

אנטרופיה:

במונואטומי- c=3/2, בדיאטומי c=5/2 וכו׳

התפלגות בולצמן-מקסוול ֿ

H- המילטוניאן. עבור מקרים בהם ניתן להפריד אנ׳ פוטנציאלית וקינטית נוכל לקבל התפלגויות נפרדות עבור המיקום והמהירות.

(התפלגות המהירות בלבד- התפלגות מקסוול).

בג״א

התפלגות הערך המוחלט של המהירות

טמפ׳ היא מדד סטט׳ להתפלגות האנ׳ של המע׳ (במקרה הפרטי של מקסוול הטמפ׳ היא מדד סטט׳ להתפלגות מהירות החלקיקים).

עקומות ותהליכים תרמו׳

תהליך איזותרמי- טמפ׳ קבועה .

תהליך איזוברי- לחץ קבוע .

תהליך איזוכורי- נפח קבוע .

תהליך איזואנתלפי - אנתלפיה קבועה . תהליך אדיאבטי- ללא מעבר חום .

בג״א

קבלת מש׳ האדיאבטה:

נציב dT ממש׳ המצב. תהליכים קווזי-סטטי (ק״ז)- תהליך איטי כך שכל רכיב במע׳ הוא בש״מ,

בתהליכים אלה .

תהליך הפיך: כל המע׳ בש״מ כל הזמן (סימטרי בזמן)

תהליך לא הפיך: סך המע׳ לא בש״מ (לא סימטרי בזמן)

תהליכים לא קווזי-סטטים- .

קיבול חום- כמות החום הדרושה כדי להעלות את הטמפ׳ של מע׳ במעלה אחת .

בתהליכים קווזי-סטטים

בג״א .

הגדרה:

המשוואות היסודיות ומש׳ המצב גודל אקסטנסיבי - ערכו שווה לסכום ערכי המרכיבים

.

גודל אינטנסיבי - לא תלוי בגודל המע׳

כאשר מחברים מע׳ לא זהות: הגדלים האקס׳ במע׳ החדשה הם סכום הערכים שלהם בתת המערכות והגדלים האינ׳ בד״כ יהיו ממוצע משוקלל

בין ערכי התת מערכות. מש׳ מצב - מתארת את הקשרים בין הגדלים התרמו׳ של המע׳. המש׳ היסודית של התרמו׳ בהצגת האנרגיה

המש׳ היסודית של התרמו׳ בהצגת האנטרופיה

:S הנחות על (1) רציפה וגזירה. (2) אקסטנסיבית.

(3) עולה מונוטונית עם האנ׳. (4) מתאפסת בטמפ׳ 0.

מש׳ אוילר

מש׳ גיבס-דוהם

מש׳ גיבס-דוהם המולרית

קבלת המש׳ היסודית כדי לקבל את המש׳ היסודית נזדקק ל-2 משוואת לקבלת המש׳ היסודית

עד כדי קבוע. כדי לעבור לפונ׳ ב-2 משתנים נעדיף לעבוד בהצגה המולרית ולהוסיף את התלות בN בסוף.

מש׳ יסודית אנטרופיה: מש׳ גיבס דוהם-> אוילר 1..I .ונציב במש׳ גיבס-דוהם (P/T),(1/T) ע״י u,v נביע את

.II .(P/T),(1/T) במפורש נגזור את dT,dP לקבלת המש׳ במונחי

.III .נפתור את המד״ר לקבלת ונציב במש׳ אוילר

מש׳ יסודית אנרגיה: מש׳ גיבס-דוהם המולרית->אוילר 2..I .ונציב במש׳ גיבס-דוהם המולרית T,P ע״י u,v נביע את

.II . נציב ב לקבלת הנגזרות החלקיות של

.III . נבצע אינטגרציה של הנגזרות החלקיות ונקבל את

.IV .נציב במש׳ אוילר המתאימההחוק הראשון והשני-> נגזרות חלקיות 3.

.I .(ds או) נכתוב.II .s,v ע״י P,T מהמש׳ הנתונות בשאלה נביע את

.III .(s או) u ונכתוב במפרוש את הנגזרות החלקיות של duנציב ב.IV .(S או) U נבצע אינטגרציה של הנגזרות החלקיות ונקבל את

dU = dQ − dW = dQ − PdV

ΔS ≥ 0

PV = NkBT = nRT

f 12kBT

U = 32NkBT

S(U,V ,N ) = NS0 + NkB lnUcVN cN

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

CP =52NkB CV = 3

2NkB κ T =

1P

α = 1T

F = NkBTF0

N0RT0− ln T

T0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32 VV0

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

N0

N⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

⎡

⎣

⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥

f (!r , !v) = Ne− HkBT

f (!v) = m2kBTπ

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

e− m2kBT

!v2

f (!r ) = Ne−U (!r )

kBT

f (v) = m2πkBT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

32

4πv2e− mv2

2kBT

dT = 0ΔP = 0ΔV = 0

ΔH = 0Q = 0

PV γ = const TV γ −1 = const γ = CP

CV

>1

dQ = 0⇒ dU = −PdV = CvdT

dQ = TdSΔS = 0ΔS > 0

dQ < TdS

C = dQdT

CV = dQdT V

= ∂U∂T V

CP =dQdT P

= P ∂V∂T P

+ ∂U∂T P

= ∂H∂T P

CP = T∂S∂T P

CV = T ∂S∂T V

Cp = Cv + nR

γ = CP

CV

S(λU,λV ,λN ) = λS(U,V ,N )

S(λU,λV ,λN ) = S(U,V ,N )

U =U(S,V ,N )dUdS V ,N

≡ T − dUdV S ,N

≡ P dUdN S ,V

≡ µ

S = S(U,V ,N )

∂S∂U V ,N

= 1T

∂S∂V U ,N

= PT

∂S∂N U ,N

= − µT

U = TS − PV + µN S = 1T

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟U + P

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V − µ

T⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ N

Nd µT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =Ud

1T

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +Vd

PT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

dµ = sdT + vdP

µT

dµµµ(s,v)

du = Tds − Pdv

ש״מ בין מערכות

התנאים לש״מ

מחיצה דיאתרמית- מאפשרת העברת חום, (בניגוד 1.

למחיצה אדיאבטית) ולכן בש״מ .

מחיצה ניידת - ולכן בש״מ . 2.

מחיצה מעבירת חלקיקים- ולכן בש״מ . 3.

מכניקה סטט׳

- מס׳ המצבים המיקרוסקופיים של מע׳ מקרוסקופית. בגבול הרצף

היא צפיפות המצבים באנרגיה E כך ש יהיה מס׳

המצבים. הנחת הסיכויים השווים- בהינתן מע׳ בעלת אנ׳ E, הסיכוי להימצא בכל

אחד מהמצבים הוא זהה כך ש .

האנטרופיה של בולצמן .

.E אינדקס של מצבים מיקרו׳ עם אנרגיה -i p,r ספירת מצבים במע׳ רציפה במרחב הפאזה

כאשר גבולות האינטגרציה הן העקומה

p(r) בE נתון, כלומר - מס׳ המצבים עד אנרגיה E (השטח הכלוא).

(לדוג׳ חלקיק חופשי, אוסילטור הרמוני וכו׳). .

במציאת פונ׳ צפיפות הסתברות

הסיכוי להימצא בסביבת

, P(r) דרך נוספת לחישוב

את v(r) ניתן לחלץ מהאנ׳ הנתונה ואת A נמצא ע״י נירמול.

צבר מיקרו-קנוני: מע׳ בהן האנרגיה קבועה וההסתברות מחושבת ע״י ספירת מצבים.

צבר קנוני: מע׳ המצומדות לאמבט חום.

קומפרסביליות (דחיסות) איזותרמית מתאר בכמה

ישתנה הנפח בהפעלת כח (לחץ).

מקדם התפשטות תרמית מתאר בכמה משתנה הנפח

בשינוי הטמפ׳ בלחץ קבוע.

הפוטנציאלים התרמודינמיים גדלים פיזיקאליים בעלי ממדים של אנרגיה שמשמשים לתיאור מערכות

תרמודינמיות בתנאים שונים, בהתאם לזהות המשתנים הנשלטים של המערכת.

dW עבודה כללית , ’dW עבודה לא מכנית (חשמלית, כימית, מגנטית וכו׳).

בתהליך כלשהו (בהפיך יתקבל שוויון).

דיפרנציאלים

קשרי מקסוול

מתקבלים מחוק הנגזרות המעורבות ,

כלומר כל קשר נוצר מגזירה רצופה של אחד הפוטנציאלים התרמו׳.

ריבוע הקסם דוגמא

הסבר מילולי:

נסתכל על אחד הפוטנציאלים כצלע הבסיס ואז קשר מקסוול יתקבל ע״י-

הסימן נקבע לפי החץ (עם החץ- פלוס, נגד החץ- מינוס).

dS = 1T1

− 1T2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dU1 +

P1T1

− P2T2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dV1 −

µ1T1

− µ2T2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟dN1 = 0

dU1 ≠ 0T1 = T2

dV1 ≠ 0P1 = P2dN1 ≠ 0µ1 = µ2

Ω(E)Ω(E)Ω(E)dE

P(Ei ) =1

Ω(Ei )S = −kB lnPi = kB lnΩ(E)

φ(E) = 1h03N d 3Nrd 3N p∫

φ(E)

Ω(E) = ∂φ∂E

f (x)dx = f (x(ϕ )) ∂x∂ϕ

dϕ = f (ϕ )dϕ

r0

P(r0 < r < r0 + dr) =Ω(E,r0 < r < r0 + dr)

Ω(E)

P(r)dr ∝ dt⇒ P(r) = A dtdr

= Av(r)

κ T = − 1V∂V∂P T

α = 1V∂V∂T P

Q-W אילוציםהפונקציהבקווזי-סטטי

עבודה מכנית

תנאי לש״מ

US,VdU=dQ-dWdU<0U מינ׳

SU,VTds=dQdS>0S מקס׳

F=U-TST,VdF=-dWdF<0F מינ׳

G=U-TS+PVT,PdG=-dW’dG<0G מינ׳

H=U+PVS,PdH=dQ-dW’dH<0H מינ׳

dW = PdV + dW '

dU −TdS + PdV ≤ −dW '

dU = Tds − PdV + µdNdF = −SdT − PdV + µdNdG = −SdT +VdP + µdNdH = TdS +VdP + µdN

∂2 f∂x∂y

= ∂2 f∂y∂x

∂2U∂S∂V

= ∂T∂V S

= − ∂P∂S V

− ∂2F∂T ∂V

= ∂S∂V T

= ∂P∂T V

∂2G∂P∂T

= ∂S∂P T

= − ∂V∂T P

∂2H∂S∂P

= ∂T∂P S

= ∂V∂S P

∂(up left)∂(near left) near right

= ∂(up right)∂(near right) near left

משימוש בחוקי מקסוול ובחירה של המשתנים התרמו׳ נקבל את הזהויות:

גז ואן דר-ואלס

משוואת מצב

- מייצג את מידת המשיכה בין החלקיקים.

- מייצג את הנפח שתופס כל חלקיק.

גז ואן דר ואלס אידאלי:

אנטרופיה

מקשרים אילו ניתן להגיע למש׳ המצב עבור גז אידאלי כאשר .c=3/2 ומונאטומי כאשר

זהויות לגז ואן דר ואלס-אידאלי

מש׳ האדיאבטה  .

Cp(T,V) ומכאן ניתן לקבל בקלות את

מנועים ומכונות חום אמבט חום- מאגר אנרגיה אינסופי בש״מ עם טמפ׳ T כך שאם נלקח ממנו

חום Q האמבט לא משתנה. מכונה (חיובית)- מכשיר הפועל בצורה מחזוריות ומייצר עבודה.

מכונת חום- מכשיר המצומד לאמבט חום ומפיק ממנו עבודה. מכונה מחזורית מכילה 3 מרכיבים: המע׳ התרמודינמית, 2 אמבטי חום

בעלי Th,Tc, יציאה של עבודה.

נצילות של מנוע- יחס בין העבודה לחום שהוכנס

לא ניתן להמיר את כל החום לעבודה משום שבתהלך זה מתקבלת הסתירה

הבאה לחוק השני: - ניסוח קלווין לחוק השני.

מנוע קרנו - מנוע הפיך ואוניברסלי מנוע קרנו משיג את הנצילות המקס׳ האפשרית.

4 השלבים של המנוע: התפשטות איזותרמית->התשפטות אדיאבטית->התווכצות איזותרמית->התכווצות אדיאבטית.

בג״א

נצילות

הפיתוח הויראלי של מש’ המצב: טור טיילור אינסופי של

כאשר Z הוא גורם הדחיסה- עוזר למדוד את הסטייה של גז כלשהוא לעומת גז אידיאלי (Z=1). ניתן לפתח סביב:

הצפיפות כך ש - 1.

הלחץ: 2.

קשר בין המקדמים בשני הפיתוחים:

Tds = CVdT +T ∂P∂T V

dV = CPdT −T ∂V∂T P

dP

dU = (CP − PVα )dT +V κ T P −αT( )dPdH = CPdT +V 1−αT( )dPdF = − PVα + S( )dT + PVκ TdP

Cp −CV = −T ∂V∂T P

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

2∂P∂V T

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= Tvα

2

κ T

∂cP∂P T

= −Tv α 2 + ∂α∂T P

⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

∂cv∂v T

= T ∂∂T

ακ T

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟v

⎡

⎣⎢⎢

⎤

⎦⎥⎥

∂H∂P T

=V (1−Tα ) H = G −T ∂G∂T P

= −T 2 ∂∂T

GT

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟P

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

∂v∂s P

= TvαcP

∂S∂V H

= CP

T κ TCV +Vα( )

P = RTv − b

− av2

[a]= Pa ⋅m6

mol2= J ⋅m3

mol2

[b]= m3

mol

1T= cR

u + av

S = S0 + nR ln (v − b) u +av

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟c⎡

⎣⎢

⎤

⎦⎥

a,b→ 0

v − bv0 − b

= T0T

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟c

du = cRdT + av2dv CV = cR

α (T ,V ) = R(V − b)V 2

RTV 3 − 2a(V − b)2κ T (T ,V ) =

(V − b)2V 2

RTV 3 − 2a(V − b)2

ΔU = 0⇒W =Qh −Ql

η = WQh

= 1−Ql

Qh

≤1− TlTh

ΔSres =QTres

> 0

Qh +Ql =WT = RTh lnVBVA

+ RTl lnVDVC

W = R Th −Tc( )lnVBVA

η = 1− TlTh

Z = PVnRT

ρ = nV

Z = 1+ Bρ (T )ρ +Cρ (T )ρ2...

Z = 1+ BP (T )P +CP (T )P2

Bp (T ) =Bρ (T )RT

Cp (T ) =Cρ (T )− Bρ

2 (T )(RT )2

A

BD

C

אנטלפיה מע׳ שנמצאת במגע עם אמבט לחץ (לחץ קבוע) תגיע לש״מ באנטלפיה

מינ׳. תהליך ג׳אול תומספון

גליל מבודד ( ) ובו מחיצה קבועה במקום המאפשרת מעבר

חלקיקים. ב-2 הצדדים מוצבות בוכנות ששומרות על לחץ קבוע (אמבטי

לחץ) כך ש , הפרש לחצים זה גורם לחליקיקים לעבור מהצד

השמאלי (לחץ גבוה) לצד הימני (לחץ נמוך).

חוק שימור האנטלפיה-

עבור אנטלפיה קבועה ניתן לשרטט עקומה המגדירה מתי התהליך יהווה P-T קירור או חימום של הגז. נק׳ ההיפוך- נק׳ המקס׳ של העקומה במרחב

המפרידה בין איזור החימום (מימין) לקירור (משמאל).

מקדם ג׳אול-תומפסון: שיפוע העקומה

עקום האינברסיה מתקבל ע״י אוסף הנק׳ בהן ,

טמפ׳ האינברסיה מתקבלת כאשר T(P)=const בג״א

כדי למצוא את טמפ׳ הקיצון נפתח את הביטוי של עקומת האינרסיה בפיתוח טיילור סביב P=0, את האיבר המשמעותי הראשון נציב במש׳

.Tminו Tmax המצב ונקבל 2 טמפ׳ שהן

עקומת האינברסיה של גז וד”ו -

עבור טמפ’ האינברסיה המקסימלית מתקבל: Pv=RT ומכאן ש:

מכניקה סטטיסטית:

צבר מיקרוקנוני - מע’ מבודדת -

צבר קנוני - מע’ מצומדת לאמבט חום

תהליך אקראי ארגודי תהליך אקראי שבו כל פונקציה זמנית, הפועלת על מדגם ארוך מספיק, דומה לפונקציה המתאימה על הסטטיסטיקה של

התהליך והשווין מתקיים בגבול עבור דגם אינסופי. חוק החלוקה השווה -(נכון רק במקרים קלאסיים) קובע כי האנרגיה

הפנימית במערכת מתחלקת באופן שווה בין כל דרגות החופש הריבועיות.

אנרגיה ממצועת לכל דרגת חופש : .

דרגת חופש ריבועית היא דרגה שבה האנרגיה תלויה בגודל המשתנה בריבוע (לדוג’ אנ’ פוטנציאלית של קפיץ, אנרגיה קינטית של גוף התלויה

במהירות שלו באחד הצירים). משפט הוויראליות: מערכת שתנועתה סופית (בזמן אינסופי המרחק בין k הגופים סופי) ושהאנרגיה הפוטנציאלית היא פונקציה הומוגנית מסדר

של הקורדינאטות אזי: .

הנחת בולצמן: :E בעל אנרגיה ,i התסברות למצוא את המערכת במצב

ללא ניוון-

פו’ החלוקה מגיעה מנרמול:

עם ניוון - במידה ולכל אנרגיה Es מתאימים כמה סידורים ב”ת שונים:

הנחת בולצמן בגבול הרצף: :E בעל אנרגיה i צפיפות ההסתברות שהמערכת תימצא במצב

פונקציית החלוקה הנובעת מנרמול -

כאשר r,P הם אנלוגיים למס׳ קוונטיים.

בהינתן מע’ מרובת חלקיקים ניתן לחשב את פונ’ החלוקה עבור חלקיק

בודד ולטעון שמתקיים : .

בחלקיקים שאינם ברי הבחנה:

אלגוריתם פתרון בשאלות צבר: - E של המערכת והמצבים האפשריים בכל En מציאתמציאת Z וממנה את שאר הגדלים. -

מידע הנגזר מפונקציית החלוקה:

אנרגיה ממוצעת:

פלקטואציות בE (שונות):

האנ’ החופשית של הלמהולץ:

אנטרופיה:

לחץ:

פוטנציאל כימי:

חום סגולי (מדד הפלקטואציות של אנרגיית המערכת):

ΔQ = 0

Pi > Pf

Ef + PfVf = Ei + PiVi ⇒ Hi = H f

µ = dTdP H

= V (αT −1)CP

µ = 0αT = 1

vP = ab1∓ 1− 3b

2

aP

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

Tmax =2abR

Usystem = constTsystem = const

≡

U = 12KBT

2 T = k U

Pi =e−βEi (i )

Zβ ≡ 1

KBT

Z = e−βE (i )i∑

Ps (Es ) =Ωs (Es )e

−βEs

Z,Z = Ωse

−βEs (i )i∑

PDF(r, p) = e−βE (r ,p)

Zβ ≡ 1

KBT

Z = 1h03N e−βEd 3Nr

−∞

∞

∫ d 3NP

Z = Z1N

Z = ZN!

E = EiPi =i∑ − ∂∂βln(Z )

Var(E) = ΔE2 = E2 − E 2 = ∂2

∂β 2 (lnZ ) = KBT2CV

F = −KBT ln(Z )

S = − ∂F∂T

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V ,N

= ET+ KBT ln(Z ) =

−βT

∂∂β

ln(Z )β

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

P = − ∂F∂V

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ T ,N

= 1β

∂∂V(ln(Z ))

µ = ∂F∂N

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ T ,V

= 1β

∂∂N

(ln(Z ))

CV = − ∂E∂T

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟V,N

= βT

∂2

∂β 2 (ln(Z ))

חוק קירי - סוספטביליות מגנטית של חומר פאראמגנטי נמצאת ביחס הפוך

לטמפרטורה: , כלומר כאשר היא

הסוספטביליות המגנטית. (נכון רק בטמפרטורה גבוהה או שדה מגנטי חלש)

M- מגנטיזציה. H - שדה מגנטי

T - טמפ’ C - קבוע קירי יחודי לכל חומר.

פרדוקס גיבס - סתירה לכאורה, הנוצרת כאשר האנטרופיה במערכת מחושבת ללא

התייחסות לתמורות של סידורים שונים ברמות אנרגיה זהות. האנטרופיה בחישוב זה אינה אקסטנסיבית וזוהי סתירה לחוק השני.

פתרון לסתירה: (מס’ מצבים עבור חלקיקים ניתנים לזיהוי) / N! = מס מצבים עבור חלקיקים זהים. N - מס’ החלקיקים.

מכאן מתקבל -

עיקרון אי הוודאות:

הגבול העליות בו נבחין בתופעות קלאסיות הוא ,

- אורך הגל, R- מרחק בין חלקיקים בחומר. מקרי קצה:

בטמפ’ נמוכות האיבר המשמעותי הוא מצב היסוד עם תיקונים.

תופעות קוונטיות יגיעו כאשר:

תתקבל התנהגות קלאסית כאשר:

חום סגולי של מוצקים מודל איינשטיין הוא מודל מקורב של תנודות האטומים במצב מוצק

המאפשר לחשב את הגדלים התרמו' הקשורים בתנודות אלו. המודל מבוסס על שתי הנחות:

1.כל אטום במוצק הוא מתנד הרמוני תלת ממדי עצמאי. 2.כל האטומים מתנדנדים באותה התדירות.

הבסיס להנחות אלו היה העובדה כי למוצק אופני תנודה עצמיים, שהן גלי הקול, או פונונים.

ביטויים לאנרגיה של מערכות

המילטונייאן במכניקה קלאסית:

! אוס”ה קלאסי:

אנ’ של גז יחסותי בו החלקיקים שונים:

אוס”ה קוונטי : - תדירות עצמית

חלקיק בשדה מגנטי: ,

-מומנט מגנטי, H-שדה מגנטי חיצוני

מגנטיזציה ממוצעת

התפלגות בולצמן לגודל מהירות בחד מימד:

בתלת מימד:

קבועים

המרת גדלים

M = C HT

χ ∝ 1T

χ = ∂M∂H

Z! = ZN!

ΔxΔp ≥ !2

λ ≪ Rλ

ω! ≫ KBTω! ≪ KBT

H! = P2

2m+ EP

H! = P2

2m+ 12mω 2x2

E = p!"c

En =ω!(n +12)ω

Em = −mµHµ

M = N µ

g(vx )dvx = (M

2πRT)12 ⋅e

−Mvx2

2RT dvx = (m

2πKBT)12 ⋅e

− mvx2

2KBT dvx

v = vg(v)dv = v( M2πRT

)12 ⋅e

−Mvx2

2RT dv = 0−∞

∞

∫−∞

∞

∫

σ = Var = v2 − v 2 = vrms2 − 0 = RT

Mvmd = 0

f0 (v) = 4πM

2πRT⎡⎣⎢

⎤⎦⎥

32v2e

−Mv2

2RT

vp =2RTM

v = 8RTπM

vrms =3RTM

KB = 1.38 ⋅10−23JK −1 R = 8.31JK −1mol−1 NA = 6.022 ⋅10

23

1L = 10−3m3 1Atm = 101kPa

מול - מס׳ אבוגדרו(NA) של חלקיקים.

, A- המסה האטומית.

מתמטיקה שימושית

קירוב סטרלינג

נגזרת של פונ׳ סתומה

נגזרת שרשרת

נגזרת הופכית

זהות:

� סכום של סדרה הנדסית:

טריק שימושי - נגזרת לפי קבוע:

�

כלל הגזירה של לייבניץ .

! הדיפרנציאל השלם

אינטגרלים

זהויות טריגו׳

טורי טיילור

יחידות

התמרת פורייה

N = m[gr]A

NA

n!≈ 2πn ne

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n

ln(n!) ≈ n lnn − n

dydx f

= −

∂ f∂x y

∂ f∂y x

∂y∂x f

= ∂y∂z f

∂x∂z f

∂y∂x f

= ∂x∂y f

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

−1

∂x∂y

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ z

∂y∂z

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ x

∂z∂x

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ y

= −1

Sn =a1(q

n −1)q −1

S∞ = a11− q

n = p ∂∂p

( Nn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n=0

∞

∑ pnqN−n ) = p ∂∂p((p + q)N ) = pN(1)N−1 = pN

n2 = p2 ∂2

∂p2( N

n⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n=0

∞

∑ pnqN−n )+ p2 ( Nn

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟n=0

∞

∑ pn−2qN−n ) = p2N 2 − p2N + pN

( f ⋅g)(n) =nk

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟k=0

n

∑ f (k )g(n−k )

Δf (x,y) = ∂ f∂x

Δx + ∂ f∂y

Δy

e−ax2−bx−c

−∞

∞

∫ dx = πae

(b2−4ac)4a xne−ax dx = n!

an+10

∞

∫

xsin(ax)dx = 1a2 sin(ax)− axcos(ax)( )∫ xcos(ax)dx = 1

a2 axsin(ax)+ cos(ax)( )∫x2 cos(ax)dx = 1

a3∫ a2x2 − 2( )sin(ax)+ 2axcos(ax)( )x2 sin(ax)dx = 1

a3∫ 2 − a2x2( )cos(ax)+ 2axsin(ax)( )e− x sin(ax)dx = − e− x

1+ a2 sin ax( )+ acos(ax)( )∫ x2e−ax =∫ − 2a

xe− xa

a+ e

− xa

a2

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟− x

2e− xa

a

dxx2 − a2

= acosh−1 xa

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∫

ddx

cosh−1(x)( ) = 1x −1 x +1

1a2 + u2∫ du = ar sinh(u

a)+ c 1

a2 − u2 du = a−1ar coth(u

a)+ c;∫ u2 > a2

1u a2 − u2∫ du = −a−1ar sech(u

a) 1

u a2 + u2∫ du = −a−1ar csch(ua

)

sinα sinβ = 12cos α − β( )− cos α + β( )⎡⎣ ⎤⎦ cosα cosβ = 1

2cos α − β( )+ cos α + β( )⎡⎣ ⎤⎦

sinα cosβ = 12sin α − β( )+ sin α + β( )⎡⎣ ⎤⎦

sin(α ± β ) = sinα cosβ ± cosα sinβ cos(α ± β ) = cosα cosβ ∓ sinα sinβ

ex = xn

n!= 1+ x + x

2

2!+

n=0

∞

∑ x3

3!+ ...+

log(1− x) = − xn

nn=1

∞

∑ = −x − x2

2− x

3

3− ...

log(1+ x) = (−1)n+1 xn

nn=1

∞

∑ = x − x2

2+ x

3

3− ...

11− x

= xnn=0

∞

∑ for x <1

(1+ x) = 1+ 12x − 1

8x2 + 1

16x3 − ...

1(1+ x)

= 1− 12x + 3

8x2 − 5

16x3 + ...

sin x = (−1)n x2n+1

(2n +1)!= x − x

3

2!n=0

∞

∑ + x5

4!− ...

cos x = (−1)n x2n

(2n)!= x − x

2

2!n=0

∞

∑ + x4

4!− ...

sinh x = x2n+1

(2n +1)!= x + x

3

3!n=0

∞

∑ + x5

5!+ ...

cosh x = x2n

(2n)!= 1+ x

2

2!n=0

∞

∑ + x4

4!+ ...

(1+ x)a = an

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟xn

n=0

∞

∑ for all x <1 and all complex a

n{ } = mol

{S} = {KB} = {C} = JK

= Pa*m3

K

{RgasConst} =J

K ⋅mol= Pa*m3

K ⋅mol{!} = J * s = Pa*m3 * s{U} = {W} = {Q} = {µchimical pot} = {F} = {G} = {H} = J = Pa*m3

{P} = Pa = Jm3 ≈10−5atm

{V} = m3 = 103L{T} = K = 273+1C

{avd−v} =J *m3

mol2 = pa*m6

mol2

{bvd−v} =m3

mol

{h0} = 1{r * p}

{α} = 1K

{KT } = 1Pa

!f (k) = f (x)eikx dx−∞

∞

∫f (x) = 1

2π!f (k)e− ikx dx

−∞

∞

∫