Теория вероятностей и статистикаТема 7. Статистические оценки параметров распределения

Белов А.И.

Уральский федеральный университет

Екатеринбург, 2019

Содержание

1 Точечные оценки

2 Характеристики положения

3 Характеристики рассеивания

4 Метод моментов

5 Метод наибольшего правдоподобия

6 Интервальные оценки

Точечные оценки

Необходимо определить значение неизвестного параметра 𝜃распределения случайной величины X по выборке x1, x2, . . . , xn.

Определение

Функцию 𝜃* = 𝜃*(x1, x2, . . . , xn) называют точечной оценкой(статистикой) параметра 𝜃, если мы принимаем 𝜃 ≈ 𝜃*.

Значения выборки xk реализуют наблюдения случайнойвеличины X в k-м эксперименте, так что можно считать, что

𝜃* = 𝜃*(X1,X2, . . . ,Xn)

является случайной величиной, а именно функцией отслучайных величин X1,X2, . . . ,Xn, где Xk распределеныодинаково с X и независимы в совокупности.

Точечные оценки

Необходимо определить значение неизвестного параметра 𝜃распределения случайной величины X по выборке x1, x2, . . . , xn.

Определение

Функцию 𝜃* = 𝜃*(x1, x2, . . . , xn) называют точечной оценкой(статистикой) параметра 𝜃, если мы принимаем 𝜃 ≈ 𝜃*.

Значения выборки xk реализуют наблюдения случайнойвеличины X в k-м эксперименте, так что можно считать, что

𝜃* = 𝜃*(X1,X2, . . . ,Xn)

является случайной величиной, а именно функцией отслучайных величин X1,X2, . . . ,Xn, где Xk распределеныодинаково с X и независимы в совокупности.

Точечные оценки

Необходимо определить значение неизвестного параметра 𝜃распределения случайной величины X по выборке x1, x2, . . . , xn.

Определение

Функцию 𝜃* = 𝜃*(x1, x2, . . . , xn) называют точечной оценкой(статистикой) параметра 𝜃, если мы принимаем 𝜃 ≈ 𝜃*.

Значения выборки xk реализуют наблюдения случайнойвеличины X в k-м эксперименте, так что можно считать, что

𝜃* = 𝜃*(X1,X2, . . . ,Xn)

является случайной величиной, а именно функцией отслучайных величин X1,X2, . . . ,Xn, где Xk распределеныодинаково с X и независимы в совокупности.

Точечные оценки

Необходимо определить значение неизвестного параметра 𝜃распределения случайной величины X по выборке x1, x2, . . . , xn.

Определение

Функцию 𝜃* = 𝜃*(x1, x2, . . . , xn) называют точечной оценкой(статистикой) параметра 𝜃, если мы принимаем 𝜃 ≈ 𝜃*.

Значения выборки xk реализуют наблюдения случайнойвеличины X в k-м эксперименте, так что можно считать, что

𝜃* = 𝜃*(X1,X2, . . . ,Xn)

является случайной величиной, а именно функцией отслучайных величин X1,X2, . . . ,Xn, где Xk распределеныодинаково с X и независимы в совокупности.

Несмещенные оценки

Определение

Оценка 𝜃* называется несмещенной, если

M(𝜃*) = 𝜃.

В противном случае оценка называется смещенной.

Разностьd(𝜃*) = M(𝜃*)− 𝜃

называется смещением оценки 𝜃*.

Определение

Оценка 𝜃* называется асимптотически несмещенной, если

limn→∞

M(𝜃*) = 𝜃.

Несмещенные оценки

Определение

Оценка 𝜃* называется несмещенной, если

M(𝜃*) = 𝜃.

В противном случае оценка называется смещенной.

Разностьd(𝜃*) = M(𝜃*)− 𝜃

называется смещением оценки 𝜃*.

Определение

Оценка 𝜃* называется асимптотически несмещенной, если

limn→∞

M(𝜃*) = 𝜃.

Несмещенные оценки

Определение

Оценка 𝜃* называется несмещенной, если

M(𝜃*) = 𝜃.

В противном случае оценка называется смещенной.

Разностьd(𝜃*) = M(𝜃*)− 𝜃

называется смещением оценки 𝜃*.

Определение

Оценка 𝜃* называется асимптотически несмещенной, если

limn→∞

M(𝜃*) = 𝜃.

Несмещенные оценки

Определение

Оценка 𝜃* называется несмещенной, если

M(𝜃*) = 𝜃.

В противном случае оценка называется смещенной.

Разностьd(𝜃*) = M(𝜃*)− 𝜃

называется смещением оценки 𝜃*.

Определение

Оценка 𝜃* называется асимптотически несмещенной, если

limn→∞

M(𝜃*) = 𝜃.

Несмещенные оценки

Определение

Оценка 𝜃* называется несмещенной, если

M(𝜃*) = 𝜃.

В противном случае оценка называется смещенной.

Разностьd(𝜃*) = M(𝜃*)− 𝜃

называется смещением оценки 𝜃*.

Определение

Оценка 𝜃* называется асимптотически несмещенной, если

limn→∞

M(𝜃*) = 𝜃.

Состоятельные оценки

Определение

Оценка 𝜃* называется состоятельной, если она сходится повероятности к оцениваемому параметру 𝜃,т. е. для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀) = 1.

Всякая состоятельная оценка является асимптотическинесмещенной (без док-ва).

Состоятельные оценки

Определение

Оценка 𝜃* называется состоятельной, если она сходится повероятности к оцениваемому параметру 𝜃,т. е. для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀) = 1.

Всякая состоятельная оценка является асимптотическинесмещенной (без док-ва).

Состоятельные оценки

Определение

Оценка 𝜃* называется состоятельной, если она сходится повероятности к оцениваемому параметру 𝜃,т. е. для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀) = 1.

Всякая состоятельная оценка является асимптотическинесмещенной (без док-ва).

Эффективные оценки

Пусть 𝜃*1 и 𝜃*2 — две несмещенные оценки для 𝜃 и объемвыборки фиксирован.

Определение

Оценка 𝜃*1 называется более эффективной, чем оценка 𝜃*2, если

D(𝜃*1) < D(𝜃*2).

Несмещенная оценка 𝜃* называется эффективной, если онаимеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок.

Эффективные оценки

Пусть 𝜃*1 и 𝜃*2 — две несмещенные оценки для 𝜃 и объемвыборки фиксирован.

Определение

Оценка 𝜃*1 называется более эффективной, чем оценка 𝜃*2, если

D(𝜃*1) < D(𝜃*2).

Несмещенная оценка 𝜃* называется эффективной, если онаимеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок.

Эффективные оценки

Пусть 𝜃*1 и 𝜃*2 — две несмещенные оценки для 𝜃 и объемвыборки фиксирован.

Определение

Оценка 𝜃*1 называется более эффективной, чем оценка 𝜃*2, если

D(𝜃*1) < D(𝜃*2).

Несмещенная оценка 𝜃* называется эффективной, если онаимеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок.

Эффективные оценки

Пусть 𝜃*1 и 𝜃*2 — две несмещенные оценки для 𝜃 и объемвыборки фиксирован.

Определение

Оценка 𝜃*1 называется более эффективной, чем оценка 𝜃*2, если

D(𝜃*1) < D(𝜃*2).

Несмещенная оценка 𝜃* называется эффективной, если онаимеет наименьшую дисперсию среди всех несмещенных оценок.

Выборочная средняя

Определение

Выборочной средней называют

x* =x1 + . . .+ xn

n=

1

n

n∑k=1

xk .

Если x1, . . . , xm — варианты выборки,n1, . . . , nm — соответствующие частоты, то

x* =1

n

m∑i=1

nixi .

Выборочная средняя

Определение

Выборочной средней называют

x* =x1 + . . .+ xn

n=

1

n

n∑k=1

xk .

Если x1, . . . , xm — варианты выборки,n1, . . . , nm — соответствующие частоты, то

x* =1

n

m∑i=1

nixi .

Выборочная средняя

Определение

Выборочной средней называют

x* =x1 + . . .+ xn

n=

1

n

n∑k=1

xk .

Если x1, . . . , xm — варианты выборки,n1, . . . , nm — соответствующие частоты, то

x* =1

n

m∑i=1

nixi .

Состоятельность и несмещенность выборочной средней

Теорема

Выборочная средняя является состоятельной несмещеннойоценкой математического ожидания.

Доказательство.

M(x*) = M

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n

n∑k=1

M(Xk) =1

nnM(X ) = M(X ),

т. е. x* — несмещенная оценка.

Состоятельность оценки x* следует из теоремы Хинчина,

согласно которой XP−→ a, где X =

1

n

n∑k=1

Xk и a = M(X ).

Состоятельность и несмещенность выборочной средней

Теорема

Выборочная средняя является состоятельной несмещеннойоценкой математического ожидания.

Доказательство.

M(x*) = M

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n

n∑k=1

M(Xk) =1

nnM(X ) = M(X ),

т. е. x* — несмещенная оценка.

Состоятельность оценки x* следует из теоремы Хинчина,

согласно которой XP−→ a, где X =

1

n

n∑k=1

Xk и a = M(X ).

Состоятельность и несмещенность выборочной средней

Теорема

Выборочная средняя является состоятельной несмещеннойоценкой математического ожидания.

Доказательство.

M(x*) = M

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n

n∑k=1

M(Xk) =1

nnM(X ) = M(X ),

т. е. x* — несмещенная оценка.

Состоятельность оценки x* следует из теоремы Хинчина,

согласно которой XP−→ a, где X =

1

n

n∑k=1

Xk и a = M(X ).

Состоятельность и несмещенность выборочной средней

Теорема

Выборочная средняя является состоятельной несмещеннойоценкой математического ожидания.

Доказательство.

M(x*) = M

(1

n

n∑k=1

Xk

)

=1

n

n∑k=1

M(Xk) =1

nnM(X ) = M(X ),

т. е. x* — несмещенная оценка.

Состоятельность оценки x* следует из теоремы Хинчина,

согласно которой XP−→ a, где X =

1

n

n∑k=1

Xk и a = M(X ).

Состоятельность и несмещенность выборочной средней

Теорема

Выборочная средняя является состоятельной несмещеннойоценкой математического ожидания.

Доказательство.

M(x*) = M

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n

n∑k=1

M(Xk)

=1

nnM(X ) = M(X ),

т. е. x* — несмещенная оценка.

Состоятельность оценки x* следует из теоремы Хинчина,

согласно которой XP−→ a, где X =

1

n

n∑k=1

Xk и a = M(X ).

Состоятельность и несмещенность выборочной средней

Теорема

Выборочная средняя является состоятельной несмещеннойоценкой математического ожидания.

Доказательство.

M(x*) = M

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n

n∑k=1

M(Xk) =1

nnM(X )

= M(X ),

т. е. x* — несмещенная оценка.

Состоятельность оценки x* следует из теоремы Хинчина,

согласно которой XP−→ a, где X =

1

n

n∑k=1

Xk и a = M(X ).

Состоятельность и несмещенность выборочной средней

Теорема

Выборочная средняя является состоятельной несмещеннойоценкой математического ожидания.

Доказательство.

M(x*) = M

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n

n∑k=1

M(Xk) =1

nnM(X ) = M(X ),

т. е. x* — несмещенная оценка.

Состоятельность оценки x* следует из теоремы Хинчина,

согласно которой XP−→ a, где X =

1

n

n∑k=1

Xk и a = M(X ).

Состоятельность и несмещенность выборочной средней

Теорема

Выборочная средняя является состоятельной несмещеннойоценкой математического ожидания.

Доказательство.

M(x*) = M

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n

n∑k=1

M(Xk) =1

nnM(X ) = M(X ),

т. е. x* — несмещенная оценка.

Состоятельность оценки x* следует из теоремы Хинчина,

согласно которой XP−→ a, где X =

1

n

n∑k=1

Xk и a = M(X ).

Состоятельность и несмещенность выборочной средней

Теорема

Выборочная средняя является состоятельной несмещеннойоценкой математического ожидания.

Доказательство.

M(x*) = M

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n

n∑k=1

M(Xk) =1

nnM(X ) = M(X ),

т. е. x* — несмещенная оценка.

Состоятельность оценки x* следует из теоремы Хинчина,

согласно которой XP−→ a, где X =

1

n

n∑k=1

Xk и a = M(X ).

Рассеивание выборочной средней

D(x*) = D

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n2

n∑k=1

D(Xk) =1

nnD(X ) =

1

nD(X ).

Следовательно, 𝜎(x*) =𝜎(X )√

n.

Согласно теореме Ляпунова оценка x* асимптотическинормальна, т. е. при больших объемах выборки имеетраспределение, близкое к нормальному с M(x*) = M(X )и 𝜎(x*) → 0 при n → ∞.

Рассеивание выборочной средней

D(x*) = D

(1

n

n∑k=1

Xk

)

=1

n2

n∑k=1

D(Xk) =1

nnD(X ) =

1

nD(X ).

Следовательно, 𝜎(x*) =𝜎(X )√

n.

Согласно теореме Ляпунова оценка x* асимптотическинормальна, т. е. при больших объемах выборки имеетраспределение, близкое к нормальному с M(x*) = M(X )и 𝜎(x*) → 0 при n → ∞.

Рассеивание выборочной средней

D(x*) = D

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n2

n∑k=1

D(Xk)

=1

nnD(X ) =

1

nD(X ).

Следовательно, 𝜎(x*) =𝜎(X )√

n.

Согласно теореме Ляпунова оценка x* асимптотическинормальна, т. е. при больших объемах выборки имеетраспределение, близкое к нормальному с M(x*) = M(X )и 𝜎(x*) → 0 при n → ∞.

Рассеивание выборочной средней

D(x*) = D

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n2

n∑k=1

D(Xk) =1

nnD(X )

=1

nD(X ).

Следовательно, 𝜎(x*) =𝜎(X )√

n.

Согласно теореме Ляпунова оценка x* асимптотическинормальна, т. е. при больших объемах выборки имеетраспределение, близкое к нормальному с M(x*) = M(X )и 𝜎(x*) → 0 при n → ∞.

Рассеивание выборочной средней

D(x*) = D

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n2

n∑k=1

D(Xk) =1

nnD(X ) =

1

nD(X ).

Следовательно, 𝜎(x*) =𝜎(X )√

n.

Согласно теореме Ляпунова оценка x* асимптотическинормальна, т. е. при больших объемах выборки имеетраспределение, близкое к нормальному с M(x*) = M(X )и 𝜎(x*) → 0 при n → ∞.

Рассеивание выборочной средней

D(x*) = D

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n2

n∑k=1

D(Xk) =1

nnD(X ) =

1

nD(X ).

Следовательно, 𝜎(x*) =𝜎(X )√

n.

Согласно теореме Ляпунова оценка x* асимптотическинормальна, т. е. при больших объемах выборки имеетраспределение, близкое к нормальному с M(x*) = M(X )и 𝜎(x*) → 0 при n → ∞.

Рассеивание выборочной средней

D(x*) = D

(1

n

n∑k=1

Xk

)=

1

n2

n∑k=1

D(Xk) =1

nnD(X ) =

1

nD(X ).

Следовательно, 𝜎(x*) =𝜎(X )√

n.

Согласно теореме Ляпунова оценка x* асимптотическинормальна, т. е. при больших объемах выборки имеетраспределение, близкое к нормальному с M(x*) = M(X )и 𝜎(x*) → 0 при n → ∞.

Выборочная медиана

Определение

Пусть выборка упорядочена по возрастанию, то есть

x1 6 x2 6 . . . 6 xn.

Если объем выборки — нечетное число (n = 2m + 1), товыборочной медианой называют число M*

e = xm+1.

Если объем выборки — четное число (n = 2m), то выборочной

медианой называют M*e =

xm + xm+1

2.

Выборочная медиана

Определение

Пусть выборка упорядочена по возрастанию, то есть

x1 6 x2 6 . . . 6 xn.

Если объем выборки — нечетное число (n = 2m + 1), товыборочной медианой называют число M*

e = xm+1.

Если объем выборки — четное число (n = 2m), то выборочной

медианой называют M*e =

xm + xm+1

2.

Выборочная медиана

Определение

Пусть выборка упорядочена по возрастанию, то есть

x1 6 x2 6 . . . 6 xn.

Если объем выборки — нечетное число (n = 2m + 1), товыборочной медианой называют число M*

e = xm+1.

Если объем выборки — четное число (n = 2m), то выборочной

медианой называют M*e =

xm + xm+1

2.

Выборочная медиана

Определение

Пусть выборка упорядочена по возрастанию, то есть

x1 6 x2 6 . . . 6 xn.

Если объем выборки — нечетное число (n = 2m + 1), товыборочной медианой называют число M*

e = xm+1.

Если объем выборки — четное число (n = 2m), то выборочной

медианой называют M*e =

xm + xm+1

2.

Выборочная мода дискретной случайной величины

Определение

Если X — дискретная случайная величина с небольшимчислом возможных значений, а x1, . . . , xm — вариантывыборки, а n1, . . . , nm — соответствующие частоты, товыборочной модой называют варианту c наибольшей частотой,т. е. M*

0 = xi , где ni = max {n1, . . . , nm}.

Если в статистическом распределении несколько подрядидущих вариант имеют наибольшую частоту, то в качествевыборочной моды берут их среднее арифметическое.

Выборочная мода дискретной случайной величины

Определение

Если X — дискретная случайная величина с небольшимчислом возможных значений, а x1, . . . , xm — вариантывыборки, а n1, . . . , nm — соответствующие частоты, товыборочной модой называют варианту c наибольшей частотой,т. е. M*

0 = xi , где ni = max {n1, . . . , nm}.

Если в статистическом распределении несколько подрядидущих вариант имеют наибольшую частоту, то в качествевыборочной моды берут их среднее арифметическое.

Выборочная мода дискретной случайной величины

Определение

Если X — дискретная случайная величина с небольшимчислом возможных значений, а x1, . . . , xm — вариантывыборки, а n1, . . . , nm — соответствующие частоты, товыборочной модой называют варианту c наибольшей частотой,т. е. M*

0 = xi , где ni = max {n1, . . . , nm}.

Если в статистическом распределении несколько подрядидущих вариант имеют наибольшую частоту, то в качествевыборочной моды берут их среднее арифметическое.

Выборочная мода непрерывной случайной величины

Определение

Пусть X — непрерывная случайная величина или дискретнаяслучайная величина с большим числом возможных значений иx ′0 < x ′1 < . . . < x ′n — границы интервалов группировки.

Пусть также m такое, что f *m−1 < f *m > f *m+1, где f *k = f *(xk), аf *(x) — эмпирическая функция распределения.

Тогда выборочной модой называют

M*0 = x ′m−1 +

f *m − f *m−1

2f *m − f *m−1 − f *m+1

(x ′m − x ′m−1

).

Выборочная мода непрерывной случайной величины

Определение

Пусть X — непрерывная случайная величина или дискретнаяслучайная величина с большим числом возможных значений иx ′0 < x ′1 < . . . < x ′n — границы интервалов группировки.

Пусть также m такое, что f *m−1 < f *m > f *m+1, где f *k = f *(xk), аf *(x) — эмпирическая функция распределения.

Тогда выборочной модой называют

M*0 = x ′m−1 +

f *m − f *m−1

2f *m − f *m−1 − f *m+1

(x ′m − x ′m−1

).

Выборочная мода непрерывной случайной величины

Определение

Пусть X — непрерывная случайная величина или дискретнаяслучайная величина с большим числом возможных значений иx ′0 < x ′1 < . . . < x ′n — границы интервалов группировки.

Пусть также m такое, что f *m−1 < f *m > f *m+1, где f *k = f *(xk), аf *(x) — эмпирическая функция распределения.

Тогда выборочной модой называют

M*0 = x ′m−1 +

f *m − f *m−1

2f *m − f *m−1 − f *m+1

(x ′m − x ′m−1

).

Выборочная мода непрерывной случайной величины

Определение

Пусть X — непрерывная случайная величина или дискретнаяслучайная величина с большим числом возможных значений иx ′0 < x ′1 < . . . < x ′n — границы интервалов группировки.

Пусть также m такое, что f *m−1 < f *m > f *m+1, где f *k = f *(xk), аf *(x) — эмпирическая функция распределения.

Тогда выборочной модой называют

M*0 = x ′m−1 +

f *m − f *m−1

2f *m − f *m−1 − f *m+1

(x ′m − x ′m−1

).

Геометрический смысл выборочной моды непрерывнойслучайной величины

0

Выборочные дисперсия и среднее квадратическоеотклонение

Определение

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическоеквадратов отклонений значений выборки от выборочногосреднего:

D* =1

n

n∑k=1

(xk − x*)2.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют

𝜎* =√D*.

Очевидно, что если x1, . . . , xm — варианты выборки, аn1, . . . , nm — соответствующие частоты, то

D* =1

n

m∑i=1

ni (xi − x*)2.

Выборочные дисперсия и среднее квадратическоеотклонение

Определение

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическоеквадратов отклонений значений выборки от выборочногосреднего:

D* =1

n

n∑k=1

(xk − x*)2.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют

𝜎* =√D*.

Очевидно, что если x1, . . . , xm — варианты выборки, аn1, . . . , nm — соответствующие частоты, то

D* =1

n

m∑i=1

ni (xi − x*)2.

Выборочные дисперсия и среднее квадратическоеотклонение

Определение

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическоеквадратов отклонений значений выборки от выборочногосреднего:

D* =1

n

n∑k=1

(xk − x*)2.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют

𝜎* =√D*.

Очевидно, что если x1, . . . , xm — варианты выборки, аn1, . . . , nm — соответствующие частоты, то

D* =1

n

m∑i=1

ni (xi − x*)2.

Выборочные дисперсия и среднее квадратическоеотклонение

Определение

Выборочной дисперсией называют среднее арифметическоеквадратов отклонений значений выборки от выборочногосреднего:

D* =1

n

n∑k=1

(xk − x*)2.

Выборочным средним квадратическим отклонением называют

𝜎* =√D*.

Очевидно, что если x1, . . . , xm — варианты выборки, аn1, . . . , nm — соответствующие частоты, то

D* =1

n

m∑i=1

ni (xi − x*)2.

Формула вычисления выборочной дисперсии.Состоятельность выборочной дисперсии

Легко показать, что

D* = (x2)* − x*2 =

1

n

n∑k=1

x2k − x*2 =1

n

m∑i=1

nix2i − x*2.

Теорема

Выборочная дисперсия является состоятельной оценкойдисперсии.

Без доказательства.

Формула вычисления выборочной дисперсии.Состоятельность выборочной дисперсии

Легко показать, что

D* = (x2)* − x*2

=1

n

n∑k=1

x2k − x*2 =1

n

m∑i=1

nix2i − x*2.

Теорема

Выборочная дисперсия является состоятельной оценкойдисперсии.

Без доказательства.

Формула вычисления выборочной дисперсии.Состоятельность выборочной дисперсии

Легко показать, что

D* = (x2)* − x*2 =

1

n

n∑k=1

x2k − x*2

=1

n

m∑i=1

nix2i − x*2.

Теорема

Выборочная дисперсия является состоятельной оценкойдисперсии.

Без доказательства.

Формула вычисления выборочной дисперсии.Состоятельность выборочной дисперсии

Легко показать, что

D* = (x2)* − x*2 =

1

n

n∑k=1

x2k − x*2 =1

n

m∑i=1

nix2i − x*2.

Теорема

Выборочная дисперсия является состоятельной оценкойдисперсии.

Без доказательства.

Формула вычисления выборочной дисперсии.Состоятельность выборочной дисперсии

Легко показать, что

D* = (x2)* − x*2 =

1

n

n∑k=1

x2k − x*2 =1

n

m∑i=1

nix2i − x*2.

Теорема

Выборочная дисперсия является состоятельной оценкойдисперсии.

Без доказательства.

Формула вычисления выборочной дисперсии.Состоятельность выборочной дисперсии

Легко показать, что

D* = (x2)* − x*2 =

1

n

n∑k=1

x2k − x*2 =1

n

m∑i=1

nix2i − x*2.

Теорема

Выборочная дисперсия является состоятельной оценкойдисперсии.

Без доказательства.

Смещенность выборочной дисперсии

Теорема

Выборочная дисперсия является смещенной оценкой дисперсиисо смещением

d(D*) = −D(X )

n.

Выборочная дисперсия является асимптотически несмещеннойоценкой дисперсии.

Доказательство теоремы о смещении выборочнойдисперсии

Непосредственными выкладками получаем, что

M(D*) =n − 1

nD(X ).

d(D*) = M(D*)− D(X ) =n − 1

nD(X )− D(X ) = −D(X )

n.

Поскольку limn→∞

d(D*) = limn→∞

(−D(X )

n

)= 0,

то D* — асимптотически несмещенная.

Доказательство теоремы о смещении выборочнойдисперсии

Непосредственными выкладками получаем, что

M(D*) =n − 1

nD(X ).

d(D*) = M(D*)− D(X ) =n − 1

nD(X )− D(X ) = −D(X )

n.

Поскольку limn→∞

d(D*) = limn→∞

(−D(X )

n

)= 0,

то D* — асимптотически несмещенная.

Доказательство теоремы о смещении выборочнойдисперсии

Непосредственными выкладками получаем, что

M(D*) =n − 1

nD(X ).

d(D*) = M(D*)− D(X ) =n − 1

nD(X )− D(X ) = −D(X )

n.

Поскольку limn→∞

d(D*) = limn→∞

(−D(X )

n

)= 0,

то D* — асимптотически несмещенная.

Доказательство теоремы о смещении выборочнойдисперсии

Непосредственными выкладками получаем, что

M(D*) =n − 1

nD(X ).

d(D*) = M(D*)− D(X )

=n − 1

nD(X )− D(X ) = −D(X )

n.

Поскольку limn→∞

d(D*) = limn→∞

(−D(X )

n

)= 0,

то D* — асимптотически несмещенная.

Доказательство теоремы о смещении выборочнойдисперсии

Непосредственными выкладками получаем, что

M(D*) =n − 1

nD(X ).

d(D*) = M(D*)− D(X ) =n − 1

nD(X )− D(X )

= −D(X )

n.

Поскольку limn→∞

d(D*) = limn→∞

(−D(X )

n

)= 0,

то D* — асимптотически несмещенная.

Доказательство теоремы о смещении выборочнойдисперсии

Непосредственными выкладками получаем, что

M(D*) =n − 1

nD(X ).

d(D*) = M(D*)− D(X ) =n − 1

nD(X )− D(X ) = −D(X )

n.

Поскольку limn→∞

d(D*) = limn→∞

(−D(X )

n

)= 0,

то D* — асимптотически несмещенная.

Доказательство теоремы о смещении выборочнойдисперсии

Непосредственными выкладками получаем, что

M(D*) =n − 1

nD(X ).

d(D*) = M(D*)− D(X ) =n − 1

nD(X )− D(X ) = −D(X )

n.

Поскольку limn→∞

d(D*) = limn→∞

(−D(X )

n

)= 0,

то D* — асимптотически несмещенная.

Исправленные выборочные дисперсия и среднееквадратическое отклонение

Для получения несмещенной оценки дисперсии, что особенноважно для выборок небольшого объема, используютисправленную выборочную дисперсию

S2 =n

n − 1D* =

1

n − 1

n∑k=1

(xk − x*)2.

Для оценки среднего квадратического отклонения используютисправленное выборочное среднее квадратическое отклонение

S =

√n

n − 1D* =

⎯⎸⎸⎷ 1

n − 1

n∑k=1

(xk − x*)2.

Исправленные выборочные дисперсия и среднееквадратическое отклонение

Для получения несмещенной оценки дисперсии, что особенноважно для выборок небольшого объема, используютисправленную выборочную дисперсию

S2 =n

n − 1D* =

1

n − 1

n∑k=1

(xk − x*)2.

Для оценки среднего квадратического отклонения используютисправленное выборочное среднее квадратическое отклонение

S =

√n

n − 1D* =

⎯⎸⎸⎷ 1

n − 1

n∑k=1

(xk − x*)2.

Исправленные выборочные дисперсия и среднееквадратическое отклонение

Для получения несмещенной оценки дисперсии, что особенноважно для выборок небольшого объема, используютисправленную выборочную дисперсию

S2 =n

n − 1D* =

1

n − 1

n∑k=1

(xk − x*)2.

Для оценки среднего квадратического отклонения используютисправленное выборочное среднее квадратическое отклонение

S =

√n

n − 1D* =

⎯⎸⎸⎷ 1

n − 1

n∑k=1

(xk − x*)2.

Эмпирический начальный момент k-го порядка

Определение

Эмпирическим (выборочным) начальным моментом k-гопорядка называется

𝜈*k =1

n

n∑i=1

xki .

При k = 1 имеем 𝜈*1 = x*.

Эмпирический начальный момент k-го порядка

Определение

Эмпирическим (выборочным) начальным моментом k-гопорядка называется

𝜈*k =1

n

n∑i=1

xki .

При k = 1 имеем 𝜈*1 = x*.

Эмпирический начальный момент k-го порядка

Определение

Эмпирическим (выборочным) начальным моментом k-гопорядка называется

𝜈*k =1

n

n∑i=1

xki .

При k = 1 имеем 𝜈*1 = x*.

Несмещенность эмпирического начального момента

Теорема

Эмпирический начальный момент k-порядка являетсянесмещенной оценкой начального момента k-го порядка.

Доказательство.

M(𝜈*k ) = M

(1

n

n∑i=1

X ki

)=

1

n

n∑i=1

M(X ki

)=

1

nnM(X k) =

= M(X k) = 𝜈k .

Несмещенность эмпирического начального момента

Теорема

Эмпирический начальный момент k-порядка являетсянесмещенной оценкой начального момента k-го порядка.

Доказательство.

M(𝜈*k ) = M

(1

n

n∑i=1

X ki

)=

1

n

n∑i=1

M(X ki

)=

1

nnM(X k) =

= M(X k) = 𝜈k .

Несмещенность эмпирического начального момента

Теорема

Эмпирический начальный момент k-порядка являетсянесмещенной оценкой начального момента k-го порядка.

Доказательство.

M(𝜈*k ) = M

(1

n

n∑i=1

X ki

)=

1

n

n∑i=1

M(X ki

)=

1

nnM(X k) =

= M(X k) = 𝜈k .

Несмещенность эмпирического начального момента

Теорема

Эмпирический начальный момент k-порядка являетсянесмещенной оценкой начального момента k-го порядка.

Доказательство.

M(𝜈*k ) = M

(1

n

n∑i=1

X ki

)

=1

n

n∑i=1

M(X ki

)=

1

nnM(X k) =

= M(X k) = 𝜈k .

Несмещенность эмпирического начального момента

Теорема

Эмпирический начальный момент k-порядка являетсянесмещенной оценкой начального момента k-го порядка.

Доказательство.

M(𝜈*k ) = M

(1

n

n∑i=1

X ki

)=

1

n

n∑i=1

M(X ki

)

=1

nnM(X k) =

= M(X k) = 𝜈k .

Несмещенность эмпирического начального момента

Теорема

Эмпирический начальный момент k-порядка являетсянесмещенной оценкой начального момента k-го порядка.

Доказательство.

M(𝜈*k ) = M

(1

n

n∑i=1

X ki

)=

1

n

n∑i=1

M(X ki

)=

1

nnM(X k) =

= M(X k) = 𝜈k .

Несмещенность эмпирического начального момента

Теорема

Эмпирический начальный момент k-порядка являетсянесмещенной оценкой начального момента k-го порядка.

Доказательство.

M(𝜈*k ) = M

(1

n

n∑i=1

X ki

)=

1

n

n∑i=1

M(X ki

)=

1

nnM(X k) =

= M(X k)

= 𝜈k .

Несмещенность эмпирического начального момента

Теорема

Эмпирический начальный момент k-порядка являетсянесмещенной оценкой начального момента k-го порядка.

Доказательство.

M(𝜈*k ) = M

(1

n

n∑i=1

X ki

)=

1

n

n∑i=1

M(X ki

)=

1

nnM(X k) =

= M(X k) = 𝜈k .

Эмпирический центральный момент k-го порядка

Определение

Эмпирическим (выборочным) центральным моментом k-гопорядка называется

𝜇*k =

1

n

n∑i=1

(xi − x*)k .

При k = 2 имеем 𝜇*2 = D*.

Согласно теореме о смещении выборочной дисперсии этосмещенная оценка.

Эмпирический центральный момент k-го порядка

Определение

Эмпирическим (выборочным) центральным моментом k-гопорядка называется

𝜇*k =

1

n

n∑i=1

(xi − x*)k .

При k = 2 имеем 𝜇*2 = D*.

Согласно теореме о смещении выборочной дисперсии этосмещенная оценка.

Эмпирический центральный момент k-го порядка

Определение

Эмпирическим (выборочным) центральным моментом k-гопорядка называется

𝜇*k =

1

n

n∑i=1

(xi − x*)k .

При k = 2 имеем 𝜇*2 = D*.

Согласно теореме о смещении выборочной дисперсии этосмещенная оценка.

Эмпирический центральный момент k-го порядка

Определение

Эмпирическим (выборочным) центральным моментом k-гопорядка называется

𝜇*k =

1

n

n∑i=1

(xi − x*)k .

При k = 2 имеем 𝜇*2 = D*.

Согласно теореме о смещении выборочной дисперсии этосмещенная оценка.

Состоятельность эмпирических центральных моментов.Исправленные эмпирические центральные моменты

Теорема

Эмпирический центральный момент k-порядка являетсясостоятельной и, следовательно, асимптотически несмещеннойоценкой центрального момента k-го порядка.

Без доказательства.

Исправленные эмпирические центральные моменты малыхпорядков:

m*2 = S2 =

n

n − 1𝜇*2,

m*3 =

n2

(n − 1)(n − 2)𝜇*3,

m*4 =

n(n2 − 2n + 3)𝜇*4 − 3n(2n − 3)(𝜇*

2)2

(n − 1)(n − 2)(n − 3).

Состоятельность эмпирических центральных моментов.Исправленные эмпирические центральные моменты

Теорема

Эмпирический центральный момент k-порядка являетсясостоятельной и, следовательно, асимптотически несмещеннойоценкой центрального момента k-го порядка.

Без доказательства.

Исправленные эмпирические центральные моменты малыхпорядков:

m*2 = S2 =

n

n − 1𝜇*2,

m*3 =

n2

(n − 1)(n − 2)𝜇*3,

m*4 =

n(n2 − 2n + 3)𝜇*4 − 3n(2n − 3)(𝜇*

2)2

(n − 1)(n − 2)(n − 3).

Состоятельность эмпирических центральных моментов.Исправленные эмпирические центральные моменты

Теорема

Эмпирический центральный момент k-порядка являетсясостоятельной и, следовательно, асимптотически несмещеннойоценкой центрального момента k-го порядка.

Без доказательства.

Исправленные эмпирические центральные моменты малыхпорядков:

m*2 = S2 =

n

n − 1𝜇*2,

m*3 =

n2

(n − 1)(n − 2)𝜇*3,

m*4 =

n(n2 − 2n + 3)𝜇*4 − 3n(2n − 3)(𝜇*

2)2

(n − 1)(n − 2)(n − 3).

Состоятельность эмпирических центральных моментов.Исправленные эмпирические центральные моменты

Теорема

Эмпирический центральный момент k-порядка являетсясостоятельной и, следовательно, асимптотически несмещеннойоценкой центрального момента k-го порядка.

Без доказательства.

Исправленные эмпирические центральные моменты малыхпорядков:

m*2 = S2 =

n

n − 1𝜇*2,

m*3 =

n2

(n − 1)(n − 2)𝜇*3,

m*4 =

n(n2 − 2n + 3)𝜇*4 − 3n(2n − 3)(𝜇*

2)2

(n − 1)(n − 2)(n − 3).

Состоятельность эмпирических центральных моментов.Исправленные эмпирические центральные моменты

Теорема

Эмпирический центральный момент k-порядка являетсясостоятельной и, следовательно, асимптотически несмещеннойоценкой центрального момента k-го порядка.

Без доказательства.

Исправленные эмпирические центральные моменты малыхпорядков:

m*2 = S2 =

n

n − 1𝜇*2,

m*3 =

n2

(n − 1)(n − 2)𝜇*3,

m*4 =

n(n2 − 2n + 3)𝜇*4 − 3n(2n − 3)(𝜇*

2)2

(n − 1)(n − 2)(n − 3).

Состоятельность эмпирических центральных моментов.Исправленные эмпирические центральные моменты

Теорема

Эмпирический центральный момент k-порядка являетсясостоятельной и, следовательно, асимптотически несмещеннойоценкой центрального момента k-го порядка.

Без доказательства.

Исправленные эмпирические центральные моменты малыхпорядков:

m*2 = S2 =

n

n − 1𝜇*2,

m*3 =

n2

(n − 1)(n − 2)𝜇*3,

m*4 =

n(n2 − 2n + 3)𝜇*4 − 3n(2n − 3)(𝜇*

2)2

(n − 1)(n − 2)(n − 3).

Состоятельность эмпирических центральных моментов.Исправленные эмпирические центральные моменты

Теорема

Эмпирический центральный момент k-порядка являетсясостоятельной и, следовательно, асимптотически несмещеннойоценкой центрального момента k-го порядка.

Без доказательства.

Исправленные эмпирические центральные моменты малыхпорядков:

m*2 = S2 =

n

n − 1𝜇*2,

m*3 =

n2

(n − 1)(n − 2)𝜇*3,

m*4 =

n(n2 − 2n + 3)𝜇*4 − 3n(2n − 3)(𝜇*

2)2

(n − 1)(n − 2)(n − 3).

Оценка коэффициентов асимметрии и эксцесса

Смещенные и несмещенные оценки коэффициента симметрии

𝛾*1 =𝜇*3

𝜎*3 , g*1 =

m*3

S3

Смещенные и несмещенные оценки коэффициента эксцесса

𝛾*2 =𝜇*4

𝜎*4 − 3, g*2 =

m*4

S4− 3.

Оценка коэффициентов асимметрии и эксцесса

Смещенные и несмещенные оценки коэффициента симметрии

𝛾*1 =𝜇*3

𝜎*3 , g*1 =

m*3

S3

Смещенные и несмещенные оценки коэффициента эксцесса

𝛾*2 =𝜇*4

𝜎*4 − 3, g*2 =

m*4

S4− 3.

Оценка коэффициентов асимметрии и эксцесса

Смещенные и несмещенные оценки коэффициента симметрии

𝛾*1 =𝜇*3

𝜎*3 , g*1 =

m*3

S3

Смещенные и несмещенные оценки коэффициента эксцесса

𝛾*2 =𝜇*4

𝜎*4 − 3, g*2 =

m*4

S4− 3.

Метод моментов

Когда известен тип распределения исследуемой случайнойвеличины, то встает вопрос об оценке параметров этогораспределения.

Метод моментов состоит в том, что по выборке вычисляютсяэмпирические (или исправленные эмпирические) моменты,которые затем приравниваются к теоретическим моментам.

Как правило для известных типов распределений известнызависимости между параметрами распределения ицентральными или начальными моментами.

Таким образом можно получить систему уравнений, из которыхнаходятся значения параметров, которые принимаются вкачестве точечных оценок параметров распределения.

Метод моментов

Когда известен тип распределения исследуемой случайнойвеличины, то встает вопрос об оценке параметров этогораспределения.

Метод моментов состоит в том, что по выборке вычисляютсяэмпирические (или исправленные эмпирические) моменты,которые затем приравниваются к теоретическим моментам.

Как правило для известных типов распределений известнызависимости между параметрами распределения ицентральными или начальными моментами.

Таким образом можно получить систему уравнений, из которыхнаходятся значения параметров, которые принимаются вкачестве точечных оценок параметров распределения.

Метод моментов

Когда известен тип распределения исследуемой случайнойвеличины, то встает вопрос об оценке параметров этогораспределения.

Метод моментов состоит в том, что по выборке вычисляютсяэмпирические (или исправленные эмпирические) моменты,которые затем приравниваются к теоретическим моментам.

Как правило для известных типов распределений известнызависимости между параметрами распределения ицентральными или начальными моментами.

Таким образом можно получить систему уравнений, из которыхнаходятся значения параметров, которые принимаются вкачестве точечных оценок параметров распределения.

Метод моментов

Когда известен тип распределения исследуемой случайнойвеличины, то встает вопрос об оценке параметров этогораспределения.

Метод моментов состоит в том, что по выборке вычисляютсяэмпирические (или исправленные эмпирические) моменты,которые затем приравниваются к теоретическим моментам.

Как правило для известных типов распределений известнызависимости между параметрами распределения ицентральными или начальными моментами.

Таким образом можно получить систему уравнений, из которыхнаходятся значения параметров, которые принимаются вкачестве точечных оценок параметров распределения.

Метод моментов

Когда известен тип распределения исследуемой случайнойвеличины, то встает вопрос об оценке параметров этогораспределения.

Метод моментов состоит в том, что по выборке вычисляютсяэмпирические (или исправленные эмпирические) моменты,которые затем приравниваются к теоретическим моментам.

Как правило для известных типов распределений известнызависимости между параметрами распределения ицентральными или начальными моментами.

Таким образом можно получить систему уравнений, из которыхнаходятся значения параметров, которые принимаются вкачестве точечных оценок параметров распределения.

Пример

Рассмотрим пример выборки 3, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2,1, 1, 1, 2, 3, 3. Статистическое распределение

xk 1 2 3nk 3 8 9

.

Пусть известно, что исследуемая случайная величинараспределена по биномиальному закону. Этот закон имеет двапараметра — n и p.

Получим точечные оценки этих параметров методом моментов.

Для биномиально распределенной случайной величины X𝜈1 = np и 𝜇2 = npq = np(1− p).

𝜈*1 = 120(3 · 1 + 8 · 2 + 9 · 3) = 46

20 = 2,3.

𝜇*2 = D* = 1

20(3 · 1 + 8 · 4 + 9 · 9)− 2,32 = 11620 − 5,29 = 0, 51.

Пример

Рассмотрим пример выборки 3, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2,1, 1, 1, 2, 3, 3. Статистическое распределение

xk 1 2 3nk 3 8 9

.

Пусть известно, что исследуемая случайная величинараспределена по биномиальному закону. Этот закон имеет двапараметра — n и p.

Получим точечные оценки этих параметров методом моментов.

Для биномиально распределенной случайной величины X𝜈1 = np и 𝜇2 = npq = np(1− p).

𝜈*1 = 120(3 · 1 + 8 · 2 + 9 · 3) = 46

20 = 2,3.

𝜇*2 = D* = 1

20(3 · 1 + 8 · 4 + 9 · 9)− 2,32 = 11620 − 5,29 = 0, 51.

Пример

Рассмотрим пример выборки 3, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2,1, 1, 1, 2, 3, 3. Статистическое распределение

xk 1 2 3nk 3 8 9

.

Пусть известно, что исследуемая случайная величинараспределена по биномиальному закону. Этот закон имеет двапараметра — n и p.

Получим точечные оценки этих параметров методом моментов.

Для биномиально распределенной случайной величины X𝜈1 = np и 𝜇2 = npq = np(1− p).

𝜈*1 = 120(3 · 1 + 8 · 2 + 9 · 3) = 46

20 = 2,3.

𝜇*2 = D* = 1

20(3 · 1 + 8 · 4 + 9 · 9)− 2,32 = 11620 − 5,29 = 0, 51.

Пример

Рассмотрим пример выборки 3, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2,1, 1, 1, 2, 3, 3. Статистическое распределение

xk 1 2 3nk 3 8 9

.

Пусть известно, что исследуемая случайная величинараспределена по биномиальному закону. Этот закон имеет двапараметра — n и p.

Получим точечные оценки этих параметров методом моментов.

Для биномиально распределенной случайной величины X𝜈1 = np и 𝜇2 = npq = np(1− p).

𝜈*1 = 120(3 · 1 + 8 · 2 + 9 · 3) = 46

20 = 2,3.

𝜇*2 = D* = 1

20(3 · 1 + 8 · 4 + 9 · 9)− 2,32 = 11620 − 5,29 = 0, 51.

Пример

Рассмотрим пример выборки 3, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2,1, 1, 1, 2, 3, 3. Статистическое распределение

xk 1 2 3nk 3 8 9

.

Пусть известно, что исследуемая случайная величинараспределена по биномиальному закону. Этот закон имеет двапараметра — n и p.

Получим точечные оценки этих параметров методом моментов.

Для биномиально распределенной случайной величины X𝜈1 = np и 𝜇2 = npq = np(1− p).

𝜈*1 = 120(3 · 1 + 8 · 2 + 9 · 3) = 46

20 = 2,3.

𝜇*2 = D* = 1

20(3 · 1 + 8 · 4 + 9 · 9)− 2,32 = 11620 − 5,29 = 0, 51.

Пример

Рассмотрим пример выборки 3, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2,1, 1, 1, 2, 3, 3. Статистическое распределение

xk 1 2 3nk 3 8 9

.

Пусть известно, что исследуемая случайная величинараспределена по биномиальному закону. Этот закон имеет двапараметра — n и p.

Получим точечные оценки этих параметров методом моментов.

Для биномиально распределенной случайной величины X𝜈1 = np и 𝜇2 = npq = np(1− p).

𝜈*1 = 120(3 · 1 + 8 · 2 + 9 · 3) = 46

20 = 2,3.

𝜇*2 = D* = 1

20(3 · 1 + 8 · 4 + 9 · 9)− 2,32 = 11620 − 5,29 = 0, 51.

Пример

Рассмотрим пример выборки 3, 2, 2, 3, 2, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 3, 3, 2,1, 1, 1, 2, 3, 3. Статистическое распределение

xk 1 2 3nk 3 8 9

.

Пусть известно, что исследуемая случайная величинараспределена по биномиальному закону. Этот закон имеет двапараметра — n и p.

Получим точечные оценки этих параметров методом моментов.

Для биномиально распределенной случайной величины X𝜈1 = np и 𝜇2 = npq = np(1− p).

𝜈*1 = 120(3 · 1 + 8 · 2 + 9 · 3) = 46

20 = 2,3.

𝜇*2 = D* = 1

20(3 · 1 + 8 · 4 + 9 · 9)− 2,32 = 11620 − 5,29 = 0, 51.

Пример (окончание)

Объем выборки небольшой: n = 20.Лучше использовать исправленный эмпирический центральныймомент второго порядка m*

2 = nn−1𝜇

*2 =

2019 · 0,51 ≈ 0,537.

Теперь решим систему{n*p* = 2,3

n*p*(1− p*) = 0,537

1− p* = 0,5372,3 ≈ 0,233;

p* = 0,767;n* = Round

(2,3

0,767

)= Round(3,129) = 3,

где Round(x) — функция округления x до ближайшего целого.

При использовании 𝜇*2 = 0,51 получится p* = 0, 778, n* = 3.

Теоретические значения n = 3, p = 0,75.

Пример (окончание)

Объем выборки небольшой: n = 20.

Лучше использовать исправленный эмпирический центральныймомент второго порядка m*

2 = nn−1𝜇

*2 =

2019 · 0,51 ≈ 0,537.

Теперь решим систему{n*p* = 2,3

n*p*(1− p*) = 0,537

1− p* = 0,5372,3 ≈ 0,233;

p* = 0,767;n* = Round

(2,3

0,767

)= Round(3,129) = 3,

где Round(x) — функция округления x до ближайшего целого.

При использовании 𝜇*2 = 0,51 получится p* = 0, 778, n* = 3.

Теоретические значения n = 3, p = 0,75.

Пример (окончание)

Объем выборки небольшой: n = 20.Лучше использовать исправленный эмпирический центральныймомент второго порядка m*

2 = nn−1𝜇

*2 =

2019 · 0,51 ≈ 0,537.

Теперь решим систему{n*p* = 2,3

n*p*(1− p*) = 0,537

1− p* = 0,5372,3 ≈ 0,233;

p* = 0,767;n* = Round

(2,3

0,767

)= Round(3,129) = 3,

где Round(x) — функция округления x до ближайшего целого.

При использовании 𝜇*2 = 0,51 получится p* = 0, 778, n* = 3.

Теоретические значения n = 3, p = 0,75.

Пример (окончание)

Объем выборки небольшой: n = 20.Лучше использовать исправленный эмпирический центральныймомент второго порядка m*

2 = nn−1𝜇

*2 =

2019 · 0,51 ≈ 0,537.

Теперь решим систему{n*p* = 2,3

n*p*(1− p*) = 0,537

1− p* = 0,5372,3 ≈ 0,233;

p* = 0,767;n* = Round

(2,3

0,767

)= Round(3,129) = 3,

где Round(x) — функция округления x до ближайшего целого.

При использовании 𝜇*2 = 0,51 получится p* = 0, 778, n* = 3.

Теоретические значения n = 3, p = 0,75.

Пример (окончание)

Объем выборки небольшой: n = 20.Лучше использовать исправленный эмпирический центральныймомент второго порядка m*

2 = nn−1𝜇

*2 =

2019 · 0,51 ≈ 0,537.

Теперь решим систему{n*p* = 2,3

n*p*(1− p*) = 0,537

1− p* = 0,5372,3 ≈ 0,233;

p* = 0,767;n* = Round

(2,3

0,767

)= Round(3,129) = 3,

где Round(x) — функция округления x до ближайшего целого.

При использовании 𝜇*2 = 0,51 получится p* = 0, 778, n* = 3.

Теоретические значения n = 3, p = 0,75.

Пример (окончание)

Объем выборки небольшой: n = 20.Лучше использовать исправленный эмпирический центральныймомент второго порядка m*

2 = nn−1𝜇

*2 =

2019 · 0,51 ≈ 0,537.

Теперь решим систему{n*p* = 2,3

n*p*(1− p*) = 0,537

1− p* = 0,5372,3 ≈ 0,233;

p* = 0,767;

n* = Round(

2,30,767

)= Round(3,129) = 3,

где Round(x) — функция округления x до ближайшего целого.

При использовании 𝜇*2 = 0,51 получится p* = 0, 778, n* = 3.

Теоретические значения n = 3, p = 0,75.

Пример (окончание)

Объем выборки небольшой: n = 20.Лучше использовать исправленный эмпирический центральныймомент второго порядка m*

2 = nn−1𝜇

*2 =

2019 · 0,51 ≈ 0,537.

Теперь решим систему{n*p* = 2,3

n*p*(1− p*) = 0,537

1− p* = 0,5372,3 ≈ 0,233;

p* = 0,767;n* = Round

(2,3

0,767

)= Round(3,129) = 3,

где Round(x) — функция округления x до ближайшего целого.

При использовании 𝜇*2 = 0,51 получится p* = 0, 778, n* = 3.

Теоретические значения n = 3, p = 0,75.

Пример (окончание)

Объем выборки небольшой: n = 20.Лучше использовать исправленный эмпирический центральныймомент второго порядка m*

2 = nn−1𝜇

*2 =

2019 · 0,51 ≈ 0,537.

Теперь решим систему{n*p* = 2,3

n*p*(1− p*) = 0,537

1− p* = 0,5372,3 ≈ 0,233;

p* = 0,767;n* = Round

(2,3

0,767

)= Round(3,129) = 3,

где Round(x) — функция округления x до ближайшего целого.

При использовании 𝜇*2 = 0,51 получится p* = 0, 778, n* = 3.

Теоретические значения n = 3, p = 0,75.

Пример (окончание)

Объем выборки небольшой: n = 20.Лучше использовать исправленный эмпирический центральныймомент второго порядка m*

2 = nn−1𝜇

*2 =

2019 · 0,51 ≈ 0,537.

Теперь решим систему{n*p* = 2,3

n*p*(1− p*) = 0,537

1− p* = 0,5372,3 ≈ 0,233;

p* = 0,767;n* = Round

(2,3

0,767

)= Round(3,129) = 3,

где Round(x) — функция округления x до ближайшего целого.

При использовании 𝜇*2 = 0,51 получится p* = 0, 778, n* = 3.

Теоретические значения n = 3, p = 0,75.

Метод наибольшего правдоподобия

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что повыборке составляется функция правдоподобия, в которойоцениваемые параметры являются аргументами.

Далее ищется максимум этой функции.

Значения аргументов, при которых достигается этот максимум,принимаются за точечные оценки параметров распределения.Эти оценки называют оценками наибольшего правдоподобия.

Метод наибольшего правдоподобия дает состоятельные оценки,но они могут быть смещены.

Недостатком метода является то, что он требует сложныханалитических вычислений.

Метод наибольшего правдоподобия

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что повыборке составляется функция правдоподобия, в которойоцениваемые параметры являются аргументами.

Далее ищется максимум этой функции.

Значения аргументов, при которых достигается этот максимум,принимаются за точечные оценки параметров распределения.Эти оценки называют оценками наибольшего правдоподобия.

Метод наибольшего правдоподобия дает состоятельные оценки,но они могут быть смещены.

Недостатком метода является то, что он требует сложныханалитических вычислений.

Метод наибольшего правдоподобия

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что повыборке составляется функция правдоподобия, в которойоцениваемые параметры являются аргументами.

Далее ищется максимум этой функции.

Значения аргументов, при которых достигается этот максимум,принимаются за точечные оценки параметров распределения.Эти оценки называют оценками наибольшего правдоподобия.

Метод наибольшего правдоподобия дает состоятельные оценки,но они могут быть смещены.

Недостатком метода является то, что он требует сложныханалитических вычислений.

Метод наибольшего правдоподобия

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что повыборке составляется функция правдоподобия, в которойоцениваемые параметры являются аргументами.

Далее ищется максимум этой функции.

Значения аргументов, при которых достигается этот максимум,принимаются за точечные оценки параметров распределения.Эти оценки называют оценками наибольшего правдоподобия.

Метод наибольшего правдоподобия дает состоятельные оценки,но они могут быть смещены.

Недостатком метода является то, что он требует сложныханалитических вычислений.

Метод наибольшего правдоподобия

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что повыборке составляется функция правдоподобия, в которойоцениваемые параметры являются аргументами.

Далее ищется максимум этой функции.

Значения аргументов, при которых достигается этот максимум,принимаются за точечные оценки параметров распределения.Эти оценки называют оценками наибольшего правдоподобия.

Метод наибольшего правдоподобия дает состоятельные оценки,но они могут быть смещены.

Недостатком метода является то, что он требует сложныханалитических вычислений.

Метод наибольшего правдоподобия

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что повыборке составляется функция правдоподобия, в которойоцениваемые параметры являются аргументами.

Далее ищется максимум этой функции.

Значения аргументов, при которых достигается этот максимум,принимаются за точечные оценки параметров распределения.Эти оценки называют оценками наибольшего правдоподобия.

Метод наибольшего правдоподобия дает состоятельные оценки,но они могут быть смещены.

Недостатком метода является то, что он требует сложныханалитических вычислений.

Функция правдоподобия дискретной случайнойвеличины

Пусть X — дискретная случайная величина, распределенная позакону, зависящему от параметров 𝜃1, . . . , 𝜃s .

Обозначимp(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s) = P(X = xk).

Определение

Функцией правдоподобия дискретной случайной величины Xназывается функция

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∏

k=1

p(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Функция правдоподобия дискретной случайнойвеличины

Пусть X — дискретная случайная величина, распределенная позакону, зависящему от параметров 𝜃1, . . . , 𝜃s .

Обозначимp(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s) = P(X = xk).

Определение

Функцией правдоподобия дискретной случайной величины Xназывается функция

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∏

k=1

p(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Функция правдоподобия дискретной случайнойвеличины

Пусть X — дискретная случайная величина, распределенная позакону, зависящему от параметров 𝜃1, . . . , 𝜃s .

Обозначимp(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s) = P(X = xk).

Определение

Функцией правдоподобия дискретной случайной величины Xназывается функция

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∏

k=1

p(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Функция правдоподобия дискретной случайнойвеличины

Пусть X — дискретная случайная величина, распределенная позакону, зависящему от параметров 𝜃1, . . . , 𝜃s .

Обозначимp(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s) = P(X = xk).

Определение

Функцией правдоподобия дискретной случайной величины Xназывается функция

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∏

k=1

p(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Логарифмическая функция правдоподобия дискретнойслучайной величины

Очевидно, что

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =m∏i=1

pni (xi ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).Поскольку для нахождения максимума нужно будетдифференцировать функцию L, то для удобства ищутмаксимум функции ln L, т. к. L и ln L достигают максимума водной и той же точке.

Функцию ln L называют логарифмической функциейправдоподобия.

ln L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∑

k=1

ln p(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =

=m∑i=1

ni ln p(xi ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Логарифмическая функция правдоподобия дискретнойслучайной величины

Очевидно, что

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =m∏i=1

pni (xi ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Поскольку для нахождения максимума нужно будетдифференцировать функцию L, то для удобства ищутмаксимум функции ln L, т. к. L и ln L достигают максимума водной и той же точке.

Функцию ln L называют логарифмической функциейправдоподобия.

ln L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∑

k=1

ln p(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =

=m∑i=1

ni ln p(xi ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Логарифмическая функция правдоподобия дискретнойслучайной величины

Очевидно, что

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =m∏i=1

pni (xi ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).Поскольку для нахождения максимума нужно будетдифференцировать функцию L, то для удобства ищутмаксимум функции ln L, т. к. L и ln L достигают максимума водной и той же точке.

Функцию ln L называют логарифмической функциейправдоподобия.

ln L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∑

k=1

ln p(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =

=m∑i=1

ni ln p(xi ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Логарифмическая функция правдоподобия дискретнойслучайной величины

Очевидно, что

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =m∏i=1

pni (xi ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).Поскольку для нахождения максимума нужно будетдифференцировать функцию L, то для удобства ищутмаксимум функции ln L, т. к. L и ln L достигают максимума водной и той же точке.

Функцию ln L называют логарифмической функциейправдоподобия.

ln L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∑

k=1

ln p(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =

=m∑i=1

ni ln p(xi ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Логарифмическая функция правдоподобия дискретнойслучайной величины

Очевидно, что

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =m∏i=1

pni (xi ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).Поскольку для нахождения максимума нужно будетдифференцировать функцию L, то для удобства ищутмаксимум функции ln L, т. к. L и ln L достигают максимума водной и той же точке.

Функцию ln L называют логарифмической функциейправдоподобия.

ln L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∑

k=1

ln p(xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =

=m∑i=1

ni ln p(xi ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Пример

Пусть известно, что исследуемая случайная величина X имеетбиномиальное распределение с параметром n = 3 инеизвестным параметром p.

Статистическое распределение частотxk 1 2 3nk 3 8 9

.

Найти оценку наибольшего правдоподобия p*.

Решение. Напомним что по теореме Бернуллиp(xk ; p) = P3(k) = C k

3 pk(1− p)3−k , где k = 0, 1, 2, 3.

ln L =3∑

k=1

nk ln p(xk ; p) = 3 ln(3p(1− p)2) + 8 ln(3p2(1− p) +

+9 ln p3 = 3(ln 3+ ln p+2 ln(1−p))+8(ln 3+2 ln p+ln(1−p))+

+ 27 ln p = 46 ln p + 14 ln(1− p) + 11 ln 3.

Пример

Пусть известно, что исследуемая случайная величина X имеетбиномиальное распределение с параметром n = 3 инеизвестным параметром p.Статистическое распределение частотxk 1 2 3

nk 3 8 9.

Найти оценку наибольшего правдоподобия p*.

Решение. Напомним что по теореме Бернуллиp(xk ; p) = P3(k) = C k

3 pk(1− p)3−k , где k = 0, 1, 2, 3.

ln L =3∑

k=1

nk ln p(xk ; p) = 3 ln(3p(1− p)2) + 8 ln(3p2(1− p) +

+9 ln p3 = 3(ln 3+ ln p+2 ln(1−p))+8(ln 3+2 ln p+ln(1−p))+

+ 27 ln p = 46 ln p + 14 ln(1− p) + 11 ln 3.

Пример

Пусть известно, что исследуемая случайная величина X имеетбиномиальное распределение с параметром n = 3 инеизвестным параметром p.Статистическое распределение частотxk 1 2 3

nk 3 8 9.

Найти оценку наибольшего правдоподобия p*.

Решение. Напомним что по теореме Бернуллиp(xk ; p) = P3(k) = C k

3 pk(1− p)3−k , где k = 0, 1, 2, 3.

ln L =3∑

k=1

nk ln p(xk ; p) = 3 ln(3p(1− p)2) + 8 ln(3p2(1− p) +

+9 ln p3 = 3(ln 3+ ln p+2 ln(1−p))+8(ln 3+2 ln p+ln(1−p))+

+ 27 ln p = 46 ln p + 14 ln(1− p) + 11 ln 3.

Пример

Пусть известно, что исследуемая случайная величина X имеетбиномиальное распределение с параметром n = 3 инеизвестным параметром p.Статистическое распределение частотxk 1 2 3

nk 3 8 9.

Найти оценку наибольшего правдоподобия p*.

Решение. Напомним что по теореме Бернуллиp(xk ; p) = P3(k) = C k

3 pk(1− p)3−k , где k = 0, 1, 2, 3.

ln L =3∑

k=1

nk ln p(xk ; p) = 3 ln(3p(1− p)2) + 8 ln(3p2(1− p) +

+9 ln p3 = 3(ln 3+ ln p+2 ln(1−p))+8(ln 3+2 ln p+ln(1−p))+

+ 27 ln p = 46 ln p + 14 ln(1− p) + 11 ln 3.

Пример

Пусть известно, что исследуемая случайная величина X имеетбиномиальное распределение с параметром n = 3 инеизвестным параметром p.Статистическое распределение частотxk 1 2 3

nk 3 8 9.

Найти оценку наибольшего правдоподобия p*.

Решение. Напомним что по теореме Бернуллиp(xk ; p) = P3(k) = C k

3 pk(1− p)3−k , где k = 0, 1, 2, 3.

ln L =3∑

k=1

nk ln p(xk ; p)

= 3 ln(3p(1− p)2) + 8 ln(3p2(1− p) +

+9 ln p3 = 3(ln 3+ ln p+2 ln(1−p))+8(ln 3+2 ln p+ln(1−p))+

+ 27 ln p = 46 ln p + 14 ln(1− p) + 11 ln 3.

Пример

Пусть известно, что исследуемая случайная величина X имеетбиномиальное распределение с параметром n = 3 инеизвестным параметром p.Статистическое распределение частотxk 1 2 3

nk 3 8 9.

Найти оценку наибольшего правдоподобия p*.

Решение. Напомним что по теореме Бернуллиp(xk ; p) = P3(k) = C k

3 pk(1− p)3−k , где k = 0, 1, 2, 3.

ln L =3∑

k=1

nk ln p(xk ; p) = 3 ln(3p(1− p)2) + 8 ln(3p2(1− p) +

+9 ln p3

= 3(ln 3+ ln p+2 ln(1−p))+8(ln 3+2 ln p+ln(1−p))+

+ 27 ln p = 46 ln p + 14 ln(1− p) + 11 ln 3.

Пример

Пусть известно, что исследуемая случайная величина X имеетбиномиальное распределение с параметром n = 3 инеизвестным параметром p.Статистическое распределение частотxk 1 2 3

nk 3 8 9.

Найти оценку наибольшего правдоподобия p*.

Решение. Напомним что по теореме Бернуллиp(xk ; p) = P3(k) = C k

3 pk(1− p)3−k , где k = 0, 1, 2, 3.

ln L =3∑

k=1

nk ln p(xk ; p) = 3 ln(3p(1− p)2) + 8 ln(3p2(1− p) +

+9 ln p3 = 3(ln 3+ ln p+2 ln(1−p))+8(ln 3+2 ln p+ln(1−p))+

+ 27 ln p

= 46 ln p + 14 ln(1− p) + 11 ln 3.

Пример

Пусть известно, что исследуемая случайная величина X имеетбиномиальное распределение с параметром n = 3 инеизвестным параметром p.Статистическое распределение частотxk 1 2 3

nk 3 8 9.

Найти оценку наибольшего правдоподобия p*.

Решение. Напомним что по теореме Бернуллиp(xk ; p) = P3(k) = C k

3 pk(1− p)3−k , где k = 0, 1, 2, 3.

ln L =3∑

k=1

nk ln p(xk ; p) = 3 ln(3p(1− p)2) + 8 ln(3p2(1− p) +

+9 ln p3 = 3(ln 3+ ln p+2 ln(1−p))+8(ln 3+2 ln p+ln(1−p))+

+ 27 ln p = 46 ln p + 14 ln(1− p) + 11 ln 3.

Пример (окончание)

Для нахождения максимума, найдем производную иприравняем ее к нулю:

d(ln L)

dp=

46

p− 14

1− p=

46− 60p

p(1− p)= 0.

p = 4660 ≈ 0,767.

Производнаяd(ln L)

dpменяет знак с плюса на минус

при переходе через эту точку, то есть это точка максимума.

Следовательно, p* = 0,767 — оценка наибольшегоправдоподобия.

Пример (окончание)

Для нахождения максимума, найдем производную иприравняем ее к нулю:

d(ln L)

dp=

46

p− 14

1− p=

46− 60p

p(1− p)= 0.

p = 4660 ≈ 0,767.

Производнаяd(ln L)

dpменяет знак с плюса на минус

при переходе через эту точку, то есть это точка максимума.

Следовательно, p* = 0,767 — оценка наибольшегоправдоподобия.

Пример (окончание)

Для нахождения максимума, найдем производную иприравняем ее к нулю:

d(ln L)

dp=

46

p− 14

1− p=

46− 60p

p(1− p)= 0.

p = 4660 ≈ 0,767.

Производнаяd(ln L)

dpменяет знак с плюса на минус

при переходе через эту точку, то есть это точка максимума.

Следовательно, p* = 0,767 — оценка наибольшегоправдоподобия.

Пример (окончание)

Для нахождения максимума, найдем производную иприравняем ее к нулю:

d(ln L)

dp=

46

p− 14

1− p=

46− 60p

p(1− p)= 0.

p = 4660 ≈ 0,767.

Производнаяd(ln L)

dpменяет знак с плюса на минус

при переходе через эту точку, то есть это точка максимума.

Следовательно, p* = 0,767 — оценка наибольшегоправдоподобия.

Пример (окончание)

Для нахождения максимума, найдем производную иприравняем ее к нулю:

d(ln L)

dp=

46

p− 14

1− p=

46− 60p

p(1− p)= 0.

p = 4660 ≈ 0,767.

Производнаяd(ln L)

dpменяет знак с плюса на минус

при переходе через эту точку, то есть это точка максимума.

Следовательно, p* = 0,767 — оценка наибольшегоправдоподобия.

Функция правдоподобия непрерывной случайнойвеличины

Пусть X — непрерывная случайная величина с плотностьюраспределения f (x), зависящей от параметров 𝜃1, . . . , 𝜃s , т. е.можно записать ее как f (x ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Определение

Функцией наибольшего правдоподобия непрерывной случайнойвеличины X называется функция

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∏

k=1

f (xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Для удобства вычислений можно рассмотретьлогарифмическую функцию правдоподобия

ln L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∑

k=1

ln f (xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Функция правдоподобия непрерывной случайнойвеличины

Пусть X — непрерывная случайная величина с плотностьюраспределения f (x), зависящей от параметров 𝜃1, . . . , 𝜃s , т. е.можно записать ее как f (x ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Определение

Функцией наибольшего правдоподобия непрерывной случайнойвеличины X называется функция

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∏

k=1

f (xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Для удобства вычислений можно рассмотретьлогарифмическую функцию правдоподобия

ln L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∑

k=1

ln f (xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Функция правдоподобия непрерывной случайнойвеличины

Пусть X — непрерывная случайная величина с плотностьюраспределения f (x), зависящей от параметров 𝜃1, . . . , 𝜃s , т. е.можно записать ее как f (x ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Определение

Функцией наибольшего правдоподобия непрерывной случайнойвеличины X называется функция

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∏

k=1

f (xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Для удобства вычислений можно рассмотретьлогарифмическую функцию правдоподобия

ln L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∑

k=1

ln f (xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Функция правдоподобия непрерывной случайнойвеличины

Пусть X — непрерывная случайная величина с плотностьюраспределения f (x), зависящей от параметров 𝜃1, . . . , 𝜃s , т. е.можно записать ее как f (x ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Определение

Функцией наибольшего правдоподобия непрерывной случайнойвеличины X называется функция

L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∏

k=1

f (xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Для удобства вычислений можно рассмотретьлогарифмическую функцию правдоподобия

ln L(x1, . . . , xn; 𝜃1, . . . , 𝜃s) =n∑

k=1

ln f (xk ; 𝜃1, . . . , 𝜃s).

Пример

Случайная величина X имеет функцию распределения

F (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;x𝛼 при 0 < x < 1;1 при x > 1.

𝛼 > 0 — параметрраспределения.

График F (x) для 𝛼 > 1 имеетвид:

0 x

F(x)

Найти оценку наибольшего правдоподобия параметра 𝛼.

Пример

Случайная величина X имеет функцию распределения

F (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;x𝛼 при 0 < x < 1;1 при x > 1.

𝛼 > 0 — параметрраспределения.

График F (x) для 𝛼 > 1 имеетвид:

0 x

F(x)

Найти оценку наибольшего правдоподобия параметра 𝛼.

Пример

Случайная величина X имеет функцию распределения

F (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;x𝛼 при 0 < x < 1;1 при x > 1.

𝛼 > 0 — параметрраспределения.

График F (x) для 𝛼 > 1 имеетвид:

0 x

F(x)

Найти оценку наибольшего правдоподобия параметра 𝛼.

Пример

Случайная величина X имеет функцию распределения

F (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;x𝛼 при 0 < x < 1;1 при x > 1.

𝛼 > 0 — параметрраспределения.

График F (x) для 𝛼 > 1 имеетвид:

0 x

F(x)

Найти оценку наибольшего правдоподобия параметра 𝛼.

Пример (продолжение)

Найдем плотность распределения f (x) = F ′(x):

f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;𝛼x𝛼−1 при 0 < x < 1;0 при x > 1.

Составим логарифмическую функцию правдоподобия:

ln L =n∑

k=1

ln(𝛼x𝛼−1

k

)= n ln𝛼+ (𝛼− 1)

n∑k=1

ln xk .

Продифференцируем ее по 𝛼 и приравняем производную кнулю:

d(ln L)

d𝛼=

n

𝛼+

n∑k=1

ln xk = 0.

Пример (продолжение)

Найдем плотность распределения f (x) = F ′(x):

f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;𝛼x𝛼−1 при 0 < x < 1;0 при x > 1.

Составим логарифмическую функцию правдоподобия:

ln L =n∑

k=1

ln(𝛼x𝛼−1

k

)= n ln𝛼+ (𝛼− 1)

n∑k=1

ln xk .

Продифференцируем ее по 𝛼 и приравняем производную кнулю:

d(ln L)

d𝛼=

n

𝛼+

n∑k=1

ln xk = 0.

Пример (продолжение)

Найдем плотность распределения f (x) = F ′(x):

f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;𝛼x𝛼−1 при 0 < x < 1;0 при x > 1.

Составим логарифмическую функцию правдоподобия:

ln L =n∑

k=1

ln(𝛼x𝛼−1

k

)= n ln𝛼+ (𝛼− 1)

n∑k=1

ln xk .

Продифференцируем ее по 𝛼 и приравняем производную кнулю:

d(ln L)

d𝛼=

n

𝛼+

n∑k=1

ln xk = 0.

Пример (продолжение)

Найдем плотность распределения f (x) = F ′(x):

f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;𝛼x𝛼−1 при 0 < x < 1;0 при x > 1.

Составим логарифмическую функцию правдоподобия:

ln L =n∑

k=1

ln(𝛼x𝛼−1

k

)

= n ln𝛼+ (𝛼− 1)n∑

k=1

ln xk .

Продифференцируем ее по 𝛼 и приравняем производную кнулю:

d(ln L)

d𝛼=

n

𝛼+

n∑k=1

ln xk = 0.

Пример (продолжение)

Найдем плотность распределения f (x) = F ′(x):

f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;𝛼x𝛼−1 при 0 < x < 1;0 при x > 1.

Составим логарифмическую функцию правдоподобия:

ln L =n∑

k=1

ln(𝛼x𝛼−1

k

)= n ln𝛼+ (𝛼− 1)

n∑k=1

ln xk .

Продифференцируем ее по 𝛼 и приравняем производную кнулю:

d(ln L)

d𝛼=

n

𝛼+

n∑k=1

ln xk = 0.

Пример (продолжение)

Найдем плотность распределения f (x) = F ′(x):

f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;𝛼x𝛼−1 при 0 < x < 1;0 при x > 1.

Составим логарифмическую функцию правдоподобия:

ln L =n∑

k=1

ln(𝛼x𝛼−1

k

)= n ln𝛼+ (𝛼− 1)

n∑k=1

ln xk .

Продифференцируем ее по 𝛼 и приравняем производную кнулю:

d(ln L)

d𝛼=

n

𝛼+

n∑k=1

ln xk = 0.

Пример (продолжение)

Найдем плотность распределения f (x) = F ′(x):

f (x) =

⎧⎪⎨⎪⎩0 при x 6 0;𝛼x𝛼−1 при 0 < x < 1;0 при x > 1.

Составим логарифмическую функцию правдоподобия:

ln L =n∑

k=1

ln(𝛼x𝛼−1

k

)= n ln𝛼+ (𝛼− 1)

n∑k=1

ln xk .

Продифференцируем ее по 𝛼 и приравняем производную кнулю:

d(ln L)

d𝛼=

n

𝛼+

n∑k=1

ln xk = 0.

Пример (окончание)

𝛼 = − nn∑

k=1

ln xk

.

d2(ln L)

d𝛼2= − n

𝛼2< 0 при любом 𝛼 = 0.

Найденная стационарная точка является точкой максимума.

Итак, оценка наибольшего правдоподобия параметра 𝛼

𝛼* = − nn∑

k=1

ln xk

.

Пример (окончание)

𝛼 = − nn∑

k=1

ln xk

.

d2(ln L)

d𝛼2= − n

𝛼2< 0 при любом 𝛼 = 0.

Найденная стационарная точка является точкой максимума.

Итак, оценка наибольшего правдоподобия параметра 𝛼

𝛼* = − nn∑

k=1

ln xk

.

Пример (окончание)

𝛼 = − nn∑

k=1

ln xk

.

d2(ln L)

d𝛼2= − n

𝛼2< 0 при любом 𝛼 = 0.

Найденная стационарная точка является точкой максимума.

Итак, оценка наибольшего правдоподобия параметра 𝛼

𝛼* = − nn∑

k=1

ln xk

.

Пример (окончание)

𝛼 = − nn∑

k=1

ln xk

.

d2(ln L)

d𝛼2= − n

𝛼2< 0 при любом 𝛼 = 0.

Найденная стационарная точка является точкой максимума.

Итак, оценка наибольшего правдоподобия параметра 𝛼

𝛼* = − nn∑

k=1

ln xk

.

Надежность оценки

Определение

Пусть 𝜃* — точечная оценка параметра 𝜃. Число 𝜀 > 0 такое,что |𝜃* − 𝜃| < 𝜀 называется точностью оценки 𝜃*.

Пусть точность оценки 𝜀 зафиксирована. Тогда |𝜃* − 𝜃| < 𝜀 —случайное событие и, следовательно, имеет некоторуювероятность.

Определение

Для заданной точности оценки 𝜀 > 0 надежностью илидоверительной вероятностью называется

𝛾 = P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀).

Обычно 𝛾 выбирают близко к 1: 0,95; 0,99; 0,999.

Надежность оценки

Определение

Пусть 𝜃* — точечная оценка параметра 𝜃. Число 𝜀 > 0 такое,что |𝜃* − 𝜃| < 𝜀 называется точностью оценки 𝜃*.

Пусть точность оценки 𝜀 зафиксирована. Тогда |𝜃* − 𝜃| < 𝜀 —случайное событие и, следовательно, имеет некоторуювероятность.

Определение

Для заданной точности оценки 𝜀 > 0 надежностью илидоверительной вероятностью называется

𝛾 = P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀).

Обычно 𝛾 выбирают близко к 1: 0,95; 0,99; 0,999.

Надежность оценки

Определение

Пусть 𝜃* — точечная оценка параметра 𝜃. Число 𝜀 > 0 такое,что |𝜃* − 𝜃| < 𝜀 называется точностью оценки 𝜃*.

Пусть точность оценки 𝜀 зафиксирована. Тогда |𝜃* − 𝜃| < 𝜀 —случайное событие и, следовательно, имеет некоторуювероятность.

Определение

Для заданной точности оценки 𝜀 > 0 надежностью илидоверительной вероятностью называется

𝛾 = P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀).

Обычно 𝛾 выбирают близко к 1: 0,95; 0,99; 0,999.

Надежность оценки

Определение

Пусть 𝜃* — точечная оценка параметра 𝜃. Число 𝜀 > 0 такое,что |𝜃* − 𝜃| < 𝜀 называется точностью оценки 𝜃*.

Пусть точность оценки 𝜀 зафиксирована. Тогда |𝜃* − 𝜃| < 𝜀 —случайное событие и, следовательно, имеет некоторуювероятность.

Определение

Для заданной точности оценки 𝜀 > 0 надежностью илидоверительной вероятностью называется

𝛾 = P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀).

Обычно 𝛾 выбирают близко к 1: 0,95; 0,99; 0,999.

Надежность оценки

Определение

Пусть 𝜃* — точечная оценка параметра 𝜃. Число 𝜀 > 0 такое,что |𝜃* − 𝜃| < 𝜀 называется точностью оценки 𝜃*.

Пусть точность оценки 𝜀 зафиксирована. Тогда |𝜃* − 𝜃| < 𝜀 —случайное событие и, следовательно, имеет некоторуювероятность.

Определение

Для заданной точности оценки 𝜀 > 0 надежностью илидоверительной вероятностью называется

𝛾 = P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀).

Обычно 𝛾 выбирают близко к 1: 0,95; 0,99; 0,999.

Доверительный интервал

Если мы зафиксируем 𝛾, то пусть 𝜀𝛾 > 0 такое число, что

P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀𝛾) = 𝛾.

𝜃 ∈ (𝜃* − 𝜀𝛾 , 𝜃* + 𝜀𝛾) с вероятностью 𝛾.

Определение

Интервал (𝜃* − 𝜀𝛾 , 𝜃* + 𝜀𝛾) называется доверительным

интервалом, который покрывает неизвестный параметр 𝜃 сзаданной надежностью 𝛾.

Границы доверительного интервала — случайные величины.

Доверительный интервал

Если мы зафиксируем 𝛾, то пусть 𝜀𝛾 > 0 такое число, что

P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀𝛾) = 𝛾.

𝜃 ∈ (𝜃* − 𝜀𝛾 , 𝜃* + 𝜀𝛾) с вероятностью 𝛾.

Определение

Интервал (𝜃* − 𝜀𝛾 , 𝜃* + 𝜀𝛾) называется доверительным

интервалом, который покрывает неизвестный параметр 𝜃 сзаданной надежностью 𝛾.

Границы доверительного интервала — случайные величины.

Доверительный интервал

Если мы зафиксируем 𝛾, то пусть 𝜀𝛾 > 0 такое число, что

P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀𝛾) = 𝛾.

𝜃 ∈ (𝜃* − 𝜀𝛾 , 𝜃* + 𝜀𝛾) с вероятностью 𝛾.

Определение

Интервал (𝜃* − 𝜀𝛾 , 𝜃* + 𝜀𝛾) называется доверительным

интервалом, который покрывает неизвестный параметр 𝜃 сзаданной надежностью 𝛾.

Границы доверительного интервала — случайные величины.

Доверительный интервал

Если мы зафиксируем 𝛾, то пусть 𝜀𝛾 > 0 такое число, что

P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀𝛾) = 𝛾.

𝜃 ∈ (𝜃* − 𝜀𝛾 , 𝜃* + 𝜀𝛾) с вероятностью 𝛾.

Определение

Интервал (𝜃* − 𝜀𝛾 , 𝜃* + 𝜀𝛾) называется доверительным

интервалом, который покрывает неизвестный параметр 𝜃 сзаданной надежностью 𝛾.

Границы доверительного интервала — случайные величины.

Доверительный интервал

Если мы зафиксируем 𝛾, то пусть 𝜀𝛾 > 0 такое число, что

P(|𝜃* − 𝜃| < 𝜀𝛾) = 𝛾.

𝜃 ∈ (𝜃* − 𝜀𝛾 , 𝜃* + 𝜀𝛾) с вероятностью 𝛾.

Определение

Интервал (𝜃* − 𝜀𝛾 , 𝜃* + 𝜀𝛾) называется доверительным

интервалом, который покрывает неизвестный параметр 𝜃 сзаданной надежностью 𝛾.

Границы доверительного интервала — случайные величины.

Интервальная оценка вероятности события по частоте

Рассмотрим схему Бернулли с параметрами n и p.Пусть m — число успехов в серии из n испытаний.По закону больших чисел для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(m

n− p< 𝜀)= 1.

Т. е. частота появления успехаm

nявляется состоятельной

оценкой вероятности успеха p.

Число успехов m распределено по биномиальному закону.

M(m) = np, D(m) = npq.

M(mn

)=

1

nM(m) =

1

nnp = p, т. е.

m

n— несмещенная оценка.

Интервальная оценка вероятности события по частоте

Рассмотрим схему Бернулли с параметрами n и p.

Пусть m — число успехов в серии из n испытаний.По закону больших чисел для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(m

n− p< 𝜀)= 1.

Т. е. частота появления успехаm

nявляется состоятельной

оценкой вероятности успеха p.

Число успехов m распределено по биномиальному закону.

M(m) = np, D(m) = npq.

M(mn

)=

1

nM(m) =

1

nnp = p, т. е.

m

n— несмещенная оценка.

Интервальная оценка вероятности события по частоте

Рассмотрим схему Бернулли с параметрами n и p.Пусть m — число успехов в серии из n испытаний.

По закону больших чисел для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(m

n− p< 𝜀)= 1.

Т. е. частота появления успехаm

nявляется состоятельной

оценкой вероятности успеха p.

Число успехов m распределено по биномиальному закону.

M(m) = np, D(m) = npq.

M(mn

)=

1

nM(m) =

1

nnp = p, т. е.

m

n— несмещенная оценка.

Интервальная оценка вероятности события по частоте

Рассмотрим схему Бернулли с параметрами n и p.Пусть m — число успехов в серии из n испытаний.По закону больших чисел для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(m

n− p< 𝜀)= 1.

Т. е. частота появления успехаm

nявляется состоятельной

оценкой вероятности успеха p.

Число успехов m распределено по биномиальному закону.

M(m) = np, D(m) = npq.

M(mn

)=

1

nM(m) =

1

nnp = p, т. е.

m

n— несмещенная оценка.

Интервальная оценка вероятности события по частоте

Рассмотрим схему Бернулли с параметрами n и p.Пусть m — число успехов в серии из n испытаний.По закону больших чисел для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(m

n− p< 𝜀)= 1.

Т. е. частота появления успехаm

nявляется состоятельной

оценкой вероятности успеха p.

Число успехов m распределено по биномиальному закону.

M(m) = np, D(m) = npq.

M(mn

)=

1

nM(m) =

1

nnp = p, т. е.

m

n— несмещенная оценка.

Интервальная оценка вероятности события по частоте

Рассмотрим схему Бернулли с параметрами n и p.Пусть m — число успехов в серии из n испытаний.По закону больших чисел для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(m

n− p< 𝜀)= 1.

Т. е. частота появления успехаm

nявляется состоятельной

оценкой вероятности успеха p.

Число успехов m распределено по биномиальному закону.

M(m) = np, D(m) = npq.

M(mn

)=

1

nM(m) =

1

nnp = p, т. е.

m

n— несмещенная оценка.

Интервальная оценка вероятности события по частоте

Рассмотрим схему Бернулли с параметрами n и p.Пусть m — число успехов в серии из n испытаний.По закону больших чисел для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(m

n− p< 𝜀)= 1.

Т. е. частота появления успехаm

nявляется состоятельной

оценкой вероятности успеха p.

Число успехов m распределено по биномиальному закону.

M(m) = np, D(m) = npq.

M(mn

)=

1

nM(m) =

1

nnp = p, т. е.

m

n— несмещенная оценка.

Интервальная оценка вероятности события по частоте

Рассмотрим схему Бернулли с параметрами n и p.Пусть m — число успехов в серии из n испытаний.По закону больших чисел для любого 𝜀 > 0

limn→∞

P(m

n− p< 𝜀)= 1.

Т. е. частота появления успехаm

nявляется состоятельной

оценкой вероятности успеха p.

Число успехов m распределено по биномиальному закону.

M(m) = np, D(m) = npq.

M(mn

)=

1

nM(m) =

1

nnp = p, т. е.

m

n— несмещенная оценка.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(продолжение)

Зафиксируем надежность 𝛾 > 0.По теореме об отклонении частоты от вероятности

𝛾 = P(m

n− p< 𝜀𝛾

)≈ 2Φ

(𝜀𝛾

√n

pq

).

Возьмем t > 0 такое, что 2Φ(t) = 𝛾, т. е. t = Φ−1(𝛾2

).

Если F (x) — функции нормального распределения с

параметрами a = 0, 𝜎 = 1, то t = F−1

(1 + 𝛾

2

).

В Microsoft Excel можно использовать НОРМ.СТ.ОБР().

Обозначим через w* эмпирическое значение частотыm

n.

Получим𝜀𝛾 = t

√pq

n, |w* − p| < t

√pq

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(продолжение)

Зафиксируем надежность 𝛾 > 0.

По теореме об отклонении частоты от вероятности

𝛾 = P(m

n− p< 𝜀𝛾

)≈ 2Φ

(𝜀𝛾

√n

pq

).

Возьмем t > 0 такое, что 2Φ(t) = 𝛾, т. е. t = Φ−1(𝛾2

).

Если F (x) — функции нормального распределения с

параметрами a = 0, 𝜎 = 1, то t = F−1

(1 + 𝛾

2

).

В Microsoft Excel можно использовать НОРМ.СТ.ОБР().

Обозначим через w* эмпирическое значение частотыm

n.

Получим𝜀𝛾 = t

√pq

n, |w* − p| < t

√pq

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(продолжение)

Зафиксируем надежность 𝛾 > 0.По теореме об отклонении частоты от вероятности

𝛾 = P(m

n− p< 𝜀𝛾

)≈ 2Φ

(𝜀𝛾

√n

pq

).

Возьмем t > 0 такое, что 2Φ(t) = 𝛾, т. е. t = Φ−1(𝛾2

).

Если F (x) — функции нормального распределения с

параметрами a = 0, 𝜎 = 1, то t = F−1

(1 + 𝛾

2

).

В Microsoft Excel можно использовать НОРМ.СТ.ОБР().

Обозначим через w* эмпирическое значение частотыm

n.

Получим𝜀𝛾 = t

√pq

n, |w* − p| < t

√pq

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(продолжение)

Зафиксируем надежность 𝛾 > 0.По теореме об отклонении частоты от вероятности

𝛾 = P(m

n− p< 𝜀𝛾

)≈ 2Φ

(𝜀𝛾

√n

pq

).

Возьмем t > 0 такое, что 2Φ(t) = 𝛾, т. е. t = Φ−1(𝛾2

).

Если F (x) — функции нормального распределения с

параметрами a = 0, 𝜎 = 1, то t = F−1

(1 + 𝛾

2

).

В Microsoft Excel можно использовать НОРМ.СТ.ОБР().

Обозначим через w* эмпирическое значение частотыm

n.

Получим𝜀𝛾 = t

√pq

n, |w* − p| < t

√pq

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(продолжение)

Зафиксируем надежность 𝛾 > 0.По теореме об отклонении частоты от вероятности

𝛾 = P(m

n− p< 𝜀𝛾

)≈ 2Φ

(𝜀𝛾

√n

pq

).

Возьмем t > 0 такое, что 2Φ(t) = 𝛾, т. е. t = Φ−1(𝛾2

).

Если F (x) — функции нормального распределения с

параметрами a = 0, 𝜎 = 1, то t = F−1

(1 + 𝛾

2

).

В Microsoft Excel можно использовать НОРМ.СТ.ОБР().

Обозначим через w* эмпирическое значение частотыm

n.

Получим𝜀𝛾 = t

√pq

n, |w* − p| < t

√pq

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(продолжение)

Зафиксируем надежность 𝛾 > 0.По теореме об отклонении частоты от вероятности

𝛾 = P(m

n− p< 𝜀𝛾

)≈ 2Φ

(𝜀𝛾

√n

pq

).

Возьмем t > 0 такое, что 2Φ(t) = 𝛾, т. е. t = Φ−1(𝛾2

).

Если F (x) — функции нормального распределения с

параметрами a = 0, 𝜎 = 1, то t = F−1

(1 + 𝛾

2

).

В Microsoft Excel можно использовать НОРМ.СТ.ОБР().

Обозначим через w* эмпирическое значение частотыm

n.

Получим𝜀𝛾 = t

√pq

n, |w* − p| < t

√pq

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(продолжение)

Зафиксируем надежность 𝛾 > 0.По теореме об отклонении частоты от вероятности

𝛾 = P(m

n− p< 𝜀𝛾

)≈ 2Φ

(𝜀𝛾

√n

pq

).

Возьмем t > 0 такое, что 2Φ(t) = 𝛾, т. е. t = Φ−1(𝛾2

).

Если F (x) — функции нормального распределения с

параметрами a = 0, 𝜎 = 1, то t = F−1

(1 + 𝛾

2

).

В Microsoft Excel можно использовать НОРМ.СТ.ОБР().

Обозначим через w* эмпирическое значение частотыm

n.

Получим𝜀𝛾 = t

√pq

n, |w* − p| < t

√pq

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(продолжение)

Зафиксируем надежность 𝛾 > 0.По теореме об отклонении частоты от вероятности

𝛾 = P(m

n− p< 𝜀𝛾

)≈ 2Φ

(𝜀𝛾

√n

pq

).

Возьмем t > 0 такое, что 2Φ(t) = 𝛾, т. е. t = Φ−1(𝛾2

).

Если F (x) — функции нормального распределения с

параметрами a = 0, 𝜎 = 1, то t = F−1

(1 + 𝛾

2

).

В Microsoft Excel можно использовать НОРМ.СТ.ОБР().

Обозначим через w* эмпирическое значение частотыm

n.

Получим𝜀𝛾 = t

√pq

n, |w* − p| < t

√pq

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(окончание)

Возведем неравенство в квадрат

(w* − p)2 < t2pq

n

и решим относительно p.

Получим доверительный интервал (p1, p2), где

p1,2 =n

t2 + n

(w* +

t2

2n∓ t

√w*(1− w*)

n+( t

2n

)2).

Для больших выборок (n > 100) границы доверительногоинтервала можно вычислять по упрощенной формуле

p1,2 = w* ∓ t

√w*(1− w*)

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(окончание)

Возведем неравенство в квадрат

(w* − p)2 < t2pq

n

и решим относительно p.

Получим доверительный интервал (p1, p2), где

p1,2 =n

t2 + n

(w* +

t2

2n∓ t

√w*(1− w*)

n+( t

2n

)2).

Для больших выборок (n > 100) границы доверительногоинтервала можно вычислять по упрощенной формуле

p1,2 = w* ∓ t

√w*(1− w*)

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(окончание)

Возведем неравенство в квадрат

(w* − p)2 < t2pq

n

и решим относительно p.

Получим доверительный интервал (p1, p2), где

p1,2 =n

t2 + n

(w* +

t2

2n∓ t

√w*(1− w*)

n+( t

2n

)2).

Для больших выборок (n > 100) границы доверительногоинтервала можно вычислять по упрощенной формуле

p1,2 = w* ∓ t

√w*(1− w*)

n.

Интервальная оценка вероятности события по частоте(окончание)

Возведем неравенство в квадрат

(w* − p)2 < t2pq

n

и решим относительно p.

Получим доверительный интервал (p1, p2), где

p1,2 =n

t2 + n

(w* +

t2

2n∓ t

√w*(1− w*)

n+( t

2n

)2).

Для больших выборок (n > 100) границы доверительногоинтервала можно вычислять по упрощенной формуле

p1,2 = w* ∓ t

√w*(1− w*)

n.

Интервальная оценка a нормального распределения приизвестном 𝜎

Пусть X распределена нормально с неизвестным a и известным𝜎. Найдем доверительный интервал оценки a с надежностью 𝛾.

Рассмотрим точечную оценку x* для M(X ) = a.

Для X =1

n

n∑k=1

Xk известно, что M(X ) = a и 𝜎(X ) =𝜎√n,

значит

P(|X − a| < 𝜀𝛾) = 𝛾 = 2Φ

(𝜀𝛾√n

𝜎

).

Пусть t = Φ−1(𝛾2

), тогда 𝜀𝛾 =

t𝜎√n.

Заменив случайную величину X ее выборочным значением x*,получим искомый доверительный интервал(

x* − t𝜎√n, x* +

t𝜎√n

).

Интервальная оценка a нормального распределения приизвестном 𝜎

Пусть X распределена нормально с неизвестным a и известным𝜎. Найдем доверительный интервал оценки a с надежностью 𝛾.

Рассмотрим точечную оценку x* для M(X ) = a.

Для X =1

n

n∑k=1

Xk известно, что M(X ) = a и 𝜎(X ) =𝜎√n,

значит

P(|X − a| < 𝜀𝛾) = 𝛾 = 2Φ

(𝜀𝛾√n

𝜎

).

Пусть t = Φ−1(𝛾2

), тогда 𝜀𝛾 =

t𝜎√n.

Заменив случайную величину X ее выборочным значением x*,получим искомый доверительный интервал(

x* − t𝜎√n, x* +

t𝜎√n

).

Интервальная оценка a нормального распределения приизвестном 𝜎

Пусть X распределена нормально с неизвестным a и известным𝜎. Найдем доверительный интервал оценки a с надежностью 𝛾.

Рассмотрим точечную оценку x* для M(X ) = a.

Для X =1

n

n∑k=1

Xk известно, что M(X ) = a и 𝜎(X ) =𝜎√n,

значит

P(|X − a| < 𝜀𝛾) = 𝛾 = 2Φ

(𝜀𝛾√n

𝜎

).

Пусть t = Φ−1(𝛾2

), тогда 𝜀𝛾 =

t𝜎√n.

Заменив случайную величину X ее выборочным значением x*,получим искомый доверительный интервал(

x* − t𝜎√n, x* +

t𝜎√n

).

Интервальная оценка a нормального распределения приизвестном 𝜎

Пусть X распределена нормально с неизвестным a и известным𝜎. Найдем доверительный интервал оценки a с надежностью 𝛾.

Рассмотрим точечную оценку x* для M(X ) = a.

Для X =1

n

n∑k=1

Xk известно, что M(X ) = a и 𝜎(X ) =𝜎√n,

значит

P(|X − a| < 𝜀𝛾) = 𝛾 = 2Φ

(𝜀𝛾√n

𝜎

).

Пусть t = Φ−1(𝛾2

), тогда 𝜀𝛾 =

t𝜎√n.

Заменив случайную величину X ее выборочным значением x*,получим искомый доверительный интервал(

x* − t𝜎√n, x* +

t𝜎√n

).

Интервальная оценка a нормального распределения приизвестном 𝜎

Пусть X распределена нормально с неизвестным a и известным𝜎. Найдем доверительный интервал оценки a с надежностью 𝛾.

Рассмотрим точечную оценку x* для M(X ) = a.

Для X =1

n

n∑k=1

Xk известно, что M(X ) = a и 𝜎(X ) =𝜎√n,

значит

P(|X − a| < 𝜀𝛾) = 𝛾 = 2Φ

(𝜀𝛾√n

𝜎

).

Пусть t = Φ−1(𝛾2

), тогда 𝜀𝛾 =

t𝜎√n.

Заменив случайную величину X ее выборочным значением x*,получим искомый доверительный интервал(

x* − t𝜎√n, x* +

t𝜎√n

).

Интервальная оценка a нормального распределения приизвестном 𝜎

Пусть X распределена нормально с неизвестным a и известным𝜎. Найдем доверительный интервал оценки a с надежностью 𝛾.

Рассмотрим точечную оценку x* для M(X ) = a.

Для X =1

n

n∑k=1

Xk известно, что M(X ) = a и 𝜎(X ) =𝜎√n,

значит

P(|X − a| < 𝜀𝛾) = 𝛾 = 2Φ

(𝜀𝛾√n

𝜎

).

Пусть t = Φ−1(𝛾2

), тогда 𝜀𝛾 =

t𝜎√n.

Заменив случайную величину X ее выборочным значением x*,получим искомый доверительный интервал(

x* − t𝜎√n, x* +

t𝜎√n

).

Интервальная оценка a нормального распределения приизвестном 𝜎

Пусть X распределена нормально с неизвестным a и известным𝜎. Найдем доверительный интервал оценки a с надежностью 𝛾.

Рассмотрим точечную оценку x* для M(X ) = a.

Для X =1

n

n∑k=1

Xk известно, что M(X ) = a и 𝜎(X ) =𝜎√n,

значит

P(|X − a| < 𝜀𝛾) = 𝛾 = 2Φ

(𝜀𝛾√n

𝜎

).

Пусть t = Φ−1(𝛾2

), тогда 𝜀𝛾 =

t𝜎√n.

Заменив случайную величину X ее выборочным значением x*,получим искомый доверительный интервал

(x* − t𝜎√

n, x* +

t𝜎√n

).

Интервальная оценка a нормального распределения приизвестном 𝜎

Пусть X распределена нормально с неизвестным a и известным𝜎. Найдем доверительный интервал оценки a с надежностью 𝛾.

Рассмотрим точечную оценку x* для M(X ) = a.

Для X =1

n

n∑k=1

Xk известно, что M(X ) = a и 𝜎(X ) =𝜎√n,

значит

P(|X − a| < 𝜀𝛾) = 𝛾 = 2Φ

(𝜀𝛾√n

𝜎

).

Пусть t = Φ−1(𝛾2

), тогда 𝜀𝛾 =

t𝜎√n.

Заменив случайную величину X ее выборочным значением x*,получим искомый доверительный интервал(

x* − t𝜎√n, x* +

t𝜎√n

).

Распределение 𝜒2

Определение

Пусть Xi (i = 1, . . . k) — независимые в совокупностислучайные величины, распределенные по нормальному закону спараметрами a = 0, 𝜎 = 1. Случайная величина

𝜒2 =k∑

i=1

X 2i

называется распределенной по закону 𝜒2 с k степенямисвободы.

M(𝜒2) = k , D(𝜒2) = 2k (без доказательства).

При k → ∞ распределение 𝜒2 медленно приближается кнормальному.

Распределение 𝜒2

Определение

Пусть Xi (i = 1, . . . k) — независимые в совокупностислучайные величины, распределенные по нормальному закону спараметрами a = 0, 𝜎 = 1. Случайная величина

𝜒2 =k∑

i=1

X 2i

называется распределенной по закону 𝜒2 с k степенямисвободы.

M(𝜒2) = k , D(𝜒2) = 2k (без доказательства).

При k → ∞ распределение 𝜒2 медленно приближается кнормальному.

Распределение 𝜒2

Определение

Пусть Xi (i = 1, . . . k) — независимые в совокупностислучайные величины, распределенные по нормальному закону спараметрами a = 0, 𝜎 = 1. Случайная величина

𝜒2 =k∑

i=1

X 2i

называется распределенной по закону 𝜒2 с k степенямисвободы.

M(𝜒2) = k , D(𝜒2) = 2k (без доказательства).

При k → ∞ распределение 𝜒2 медленно приближается кнормальному.

Распределение 𝜒2

Определение

Пусть Xi (i = 1, . . . k) — независимые в совокупностислучайные величины, распределенные по нормальному закону спараметрами a = 0, 𝜎 = 1. Случайная величина

𝜒2 =k∑

i=1

X 2i

называется распределенной по закону 𝜒2 с k степенямисвободы.

M(𝜒2) = k , D(𝜒2) = 2k (без доказательства).

При k → ∞ распределение 𝜒2 медленно приближается кнормальному.

Плотность распределения 𝜒2

Плотность распределения 𝜒2 имеет вид

f (x) =

{1

2k/2Γ(k/2)e−x/2xk/2−1 при x > 0

0 при x 6 0,

где Γ(x) =

+∞∫0

tx−1e−t dt — гамма-функция.

Графики плотности распределения 𝜒2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 1 2 3 4 5 6 7 8

Плотность распределения Хи‐квадрат

k = 1

k = 2

k = 3

k = 5

Распределение Стьюдента

Определение

Пусть Z — случайная величина, распределенная нормально спараметрами a = 0, 𝜎 = 1, а V — независимая от Z случайнаявеличина, распределенная по закону 𝜒2 с k степенями свободы.Случайная величина

T =Z√V /k

имеет распределение, которое называется распределениемСтьюдента с k степенями свободы.

Иногда это распределение называют t-распределением.M(T ) = 0 для k > 1. D(T ) =

n

n − 2для k > 2.

При n → ∞ распределение Стьюдента быстро приближается кнормальному.

Распределение Стьюдента

Определение

Пусть Z — случайная величина, распределенная нормально спараметрами a = 0, 𝜎 = 1, а V — независимая от Z случайнаявеличина, распределенная по закону 𝜒2 с k степенями свободы.Случайная величина

T =Z√V /k

имеет распределение, которое называется распределениемСтьюдента с k степенями свободы.

Иногда это распределение называют t-распределением.M(T ) = 0 для k > 1. D(T ) =

n

n − 2для k > 2.

При n → ∞ распределение Стьюдента быстро приближается кнормальному.

Распределение Стьюдента

Определение

Пусть Z — случайная величина, распределенная нормально спараметрами a = 0, 𝜎 = 1, а V — независимая от Z случайнаявеличина, распределенная по закону 𝜒2 с k степенями свободы.Случайная величина

T =Z√V /k

имеет распределение, которое называется распределениемСтьюдента с k степенями свободы.

Иногда это распределение называют t-распределением.

M(T ) = 0 для k > 1. D(T ) =n

n − 2для k > 2.

При n → ∞ распределение Стьюдента быстро приближается кнормальному.

Распределение Стьюдента

Определение

Пусть Z — случайная величина, распределенная нормально спараметрами a = 0, 𝜎 = 1, а V — независимая от Z случайнаявеличина, распределенная по закону 𝜒2 с k степенями свободы.Случайная величина

T =Z√V /k

имеет распределение, которое называется распределениемСтьюдента с k степенями свободы.

Иногда это распределение называют t-распределением.M(T ) = 0 для k > 1. D(T ) =

n

n − 2для k > 2.

При n → ∞ распределение Стьюдента быстро приближается кнормальному.

Распределение Стьюдента

Определение

Пусть Z — случайная величина, распределенная нормально спараметрами a = 0, 𝜎 = 1, а V — независимая от Z случайнаявеличина, распределенная по закону 𝜒2 с k степенями свободы.Случайная величина

T =Z√V /k

имеет распределение, которое называется распределениемСтьюдента с k степенями свободы.

Иногда это распределение называют t-распределением.M(T ) = 0 для k > 1. D(T ) =

n

n − 2для k > 2.

При n → ∞ распределение Стьюдента быстро приближается кнормальному.

Плотность распределения Стьюдента

f (x) =Γ(k+12

)√k𝜋 Γ

(k2

) (1 + x2

k

)− k+12

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5

Плотность распределения Стьюдента

k = 1

k = 2

k = 5

Плотность распределения Стьюдента

f (x) =Γ(k+12

)√k𝜋 Γ

(k2

) (1 + x2

k

)− k+12

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

‐5 ‐4 ‐3 ‐2 ‐1 0 1 2 3 4 5

Плотность распределения Стьюдента

k = 1

k = 2

k = 5

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎

Пусть X1, . . . ,Xn — случайные величины, независимые всовокупности и распределенные одинаково по нормальномузакону с параметрами a и 𝜎.

X =1

n

n∑i=1

Xi . M(X ) = a, 𝜎(X ) =𝜎√n.

Пусть x1, . . . , x2 — выборка, x* — выборочная средняя,а S — исправленное выборочное среднее квадратическоеотклонение.Рассмотрим X и S как случайные величины. Тогда

T =X − a

S/√n

распределена по закону Стьюдента с k = n − 1 степенямисвободы.

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎

Пусть X1, . . . ,Xn — случайные величины, независимые всовокупности и распределенные одинаково по нормальномузакону с параметрами a и 𝜎.

X =1

n

n∑i=1

Xi . M(X ) = a, 𝜎(X ) =𝜎√n.

Пусть x1, . . . , x2 — выборка, x* — выборочная средняя,а S — исправленное выборочное среднее квадратическоеотклонение.Рассмотрим X и S как случайные величины. Тогда

T =X − a

S/√n

распределена по закону Стьюдента с k = n − 1 степенямисвободы.

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎

Пусть X1, . . . ,Xn — случайные величины, независимые всовокупности и распределенные одинаково по нормальномузакону с параметрами a и 𝜎.

X =1

n

n∑i=1

Xi . M(X ) = a, 𝜎(X ) =𝜎√n.

Пусть x1, . . . , x2 — выборка, x* — выборочная средняя,а S — исправленное выборочное среднее квадратическоеотклонение.Рассмотрим X и S как случайные величины. Тогда

T =X − a

S/√n

распределена по закону Стьюдента с k = n − 1 степенямисвободы.

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎

Пусть X1, . . . ,Xn — случайные величины, независимые всовокупности и распределенные одинаково по нормальномузакону с параметрами a и 𝜎.

X =1

n

n∑i=1

Xi . M(X ) = a, 𝜎(X ) =𝜎√n.

Пусть x1, . . . , x2 — выборка,

x* — выборочная средняя,а S — исправленное выборочное среднее квадратическоеотклонение.Рассмотрим X и S как случайные величины. Тогда

T =X − a

S/√n

распределена по закону Стьюдента с k = n − 1 степенямисвободы.

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎

Пусть X1, . . . ,Xn — случайные величины, независимые всовокупности и распределенные одинаково по нормальномузакону с параметрами a и 𝜎.

X =1

n

n∑i=1

Xi . M(X ) = a, 𝜎(X ) =𝜎√n.

Пусть x1, . . . , x2 — выборка, x* — выборочная средняя,

а S — исправленное выборочное среднее квадратическоеотклонение.Рассмотрим X и S как случайные величины. Тогда

T =X − a

S/√n

распределена по закону Стьюдента с k = n − 1 степенямисвободы.

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎

Пусть X1, . . . ,Xn — случайные величины, независимые всовокупности и распределенные одинаково по нормальномузакону с параметрами a и 𝜎.

X =1

n

n∑i=1

Xi . M(X ) = a, 𝜎(X ) =𝜎√n.

Пусть x1, . . . , x2 — выборка, x* — выборочная средняя,а S — исправленное выборочное среднее квадратическоеотклонение.

Рассмотрим X и S как случайные величины. Тогда

T =X − a

S/√n

распределена по закону Стьюдента с k = n − 1 степенямисвободы.

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎

Пусть X1, . . . ,Xn — случайные величины, независимые всовокупности и распределенные одинаково по нормальномузакону с параметрами a и 𝜎.

X =1

n

n∑i=1

Xi . M(X ) = a, 𝜎(X ) =𝜎√n.

Пусть x1, . . . , x2 — выборка, x* — выборочная средняя,а S — исправленное выборочное среднее квадратическоеотклонение.Рассмотрим X и S как случайные величины.

Тогда

T =X − a

S/√n

распределена по закону Стьюдента с k = n − 1 степенямисвободы.

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎

Пусть X1, . . . ,Xn — случайные величины, независимые всовокупности и распределенные одинаково по нормальномузакону с параметрами a и 𝜎.

X =1

n

n∑i=1

Xi . M(X ) = a, 𝜎(X ) =𝜎√n.

Пусть x1, . . . , x2 — выборка, x* — выборочная средняя,а S — исправленное выборочное среднее квадратическоеотклонение.Рассмотрим X и S как случайные величины. Тогда

T =X − a

S/√n

распределена по закону Стьюдента с k = n − 1 степенямисвободы.

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎

Пусть X1, . . . ,Xn — случайные величины, независимые всовокупности и распределенные одинаково по нормальномузакону с параметрами a и 𝜎.

X =1

n

n∑i=1

Xi . M(X ) = a, 𝜎(X ) =𝜎√n.

Пусть x1, . . . , x2 — выборка, x* — выборочная средняя,а S — исправленное выборочное среднее квадратическоеотклонение.Рассмотрим X и S как случайные величины. Тогда

T =X − a

S/√n

распределена по закону Стьюдента с k = n − 1 степенямисвободы.

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎 (окончание)

Из равенства P(|T | < t𝛾) = 𝛾 получаем доверительныйинтервал для a (

x* − t𝛾S√n, x* +

t𝛾S√n

)Значения t𝛾 можно найти по таблицам.

В Microsoft Excel можно найтиt𝛾 = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(1− 𝛾, n − 1).

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎 (окончание)

Из равенства P(|T | < t𝛾) = 𝛾 получаем доверительныйинтервал для a

(x* − t𝛾S√

n, x* +

t𝛾S√n

)Значения t𝛾 можно найти по таблицам.

В Microsoft Excel можно найтиt𝛾 = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(1− 𝛾, n − 1).

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎 (окончание)

Из равенства P(|T | < t𝛾) = 𝛾 получаем доверительныйинтервал для a (

x* − t𝛾S√n, x* +

t𝛾S√n

)

Значения t𝛾 можно найти по таблицам.

В Microsoft Excel можно найтиt𝛾 = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(1− 𝛾, n − 1).

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎 (окончание)

Из равенства P(|T | < t𝛾) = 𝛾 получаем доверительныйинтервал для a (

x* − t𝛾S√n, x* +

t𝛾S√n

)Значения t𝛾 можно найти по таблицам.

В Microsoft Excel можно найтиt𝛾 = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(1− 𝛾, n − 1).

Интервальная оценка a нормального распределения принеизвестном 𝜎 (окончание)

Из равенства P(|T | < t𝛾) = 𝛾 получаем доверительныйинтервал для a (

x* − t𝛾S√n, x* +

t𝛾S√n

)Значения t𝛾 можно найти по таблицам.

В Microsoft Excel можно найтиt𝛾 = СТЬЮДЕНТ.ОБР.2Х(1− 𝛾, n − 1).

Интервальная оценка 𝜎 нормального распределения

Пусть x1, . . . , xn — выборка нормально распределеннойслучайной величины.В качестве точечной оценки 𝜎 возьмем исправленноевыборочное среднее квадратическое отклонение S .

Зафиксируем надежность 𝛾. Из равенства

P(|S − 𝜎| < 𝜀𝛾) = 𝛾,

положив q =𝜀𝛾S

, получаем доверительный интервал для 𝜎:

(S(1− q),S(1 + q)).

Значение q берут из таблиц.

Интервальная оценка 𝜎 нормального распределения

Пусть x1, . . . , xn — выборка нормально распределеннойслучайной величины.

В качестве точечной оценки 𝜎 возьмем исправленноевыборочное среднее квадратическое отклонение S .

Зафиксируем надежность 𝛾. Из равенства

P(|S − 𝜎| < 𝜀𝛾) = 𝛾,

положив q =𝜀𝛾S

, получаем доверительный интервал для 𝜎:

(S(1− q),S(1 + q)).

Значение q берут из таблиц.

Интервальная оценка 𝜎 нормального распределения

Пусть x1, . . . , xn — выборка нормально распределеннойслучайной величины.В качестве точечной оценки 𝜎 возьмем исправленноевыборочное среднее квадратическое отклонение S .

Зафиксируем надежность 𝛾. Из равенства

P(|S − 𝜎| < 𝜀𝛾) = 𝛾,

положив q =𝜀𝛾S

, получаем доверительный интервал для 𝜎:

(S(1− q),S(1 + q)).

Значение q берут из таблиц.

Интервальная оценка 𝜎 нормального распределения

Пусть x1, . . . , xn — выборка нормально распределеннойслучайной величины.В качестве точечной оценки 𝜎 возьмем исправленноевыборочное среднее квадратическое отклонение S .

Зафиксируем надежность 𝛾. Из равенства

P(|S − 𝜎| < 𝜀𝛾) = 𝛾,

положив q =𝜀𝛾S

, получаем доверительный интервал для 𝜎:

(S(1− q),S(1 + q)).

Значение q берут из таблиц.

Интервальная оценка 𝜎 нормального распределения

Пусть x1, . . . , xn — выборка нормально распределеннойслучайной величины.В качестве точечной оценки 𝜎 возьмем исправленноевыборочное среднее квадратическое отклонение S .

Зафиксируем надежность 𝛾. Из равенства

P(|S − 𝜎| < 𝜀𝛾) = 𝛾,

положив q =𝜀𝛾S

, получаем доверительный интервал для 𝜎:

(S(1− q),S(1 + q)).

Значение q берут из таблиц.

Интервальная оценка 𝜎 нормального распределения

Пусть x1, . . . , xn — выборка нормально распределеннойслучайной величины.В качестве точечной оценки 𝜎 возьмем исправленноевыборочное среднее квадратическое отклонение S .

Зафиксируем надежность 𝛾. Из равенства

P(|S − 𝜎| < 𝜀𝛾) = 𝛾,

положив q =𝜀𝛾S

, получаем доверительный интервал для 𝜎:

(S(1− q),S(1 + q)).

Значение q берут из таблиц.

Интервальная оценка 𝜎 нормального распределения

Пусть x1, . . . , xn — выборка нормально распределеннойслучайной величины.В качестве точечной оценки 𝜎 возьмем исправленноевыборочное среднее квадратическое отклонение S .

Зафиксируем надежность 𝛾. Из равенства

P(|S − 𝜎| < 𝜀𝛾) = 𝛾,

положив q =𝜀𝛾S

, получаем доверительный интервал для 𝜎:

(S(1− q),S(1 + q)).

Значение q берут из таблиц.