Մաթեմատիկան

պ ր ո ց ո ւ մ

о_IсdL_IС

I s ,

I s #

5 1 15 ° 3

ժ1 3 1 _d d" 3 ­

° 4 3 3 с? 3 £Ь- c i - 13

^ 3 J S. 5

ШооC\l

Ю

со

S

-Т Շ՜

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ Հ . Ս. Մ ի ք ա յե լ յա նԲԱՐՈՅԱԿԱՆ Ա ՐԺԵՔՆԵՐԸ Ե Վ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹ ԱՑԸ.ՍԵՐ Ե Վ Հ Ա Ր Գ Ա Ն Ք ............................................................................ 3

Ա. Հ ա ր ո ւ թ յո ւ ն յա նՍԱԹ ԵՍԱՏԻԿԱԿԱՆ ԵՐՋԱՆԿՈՒԹ ՅԱՆ ՃԱՆԱՊԱՐՀԻՆ (Արձագանք Հ. Սիքայելյանի' «Սաթեմւսւոիկան դպրոցում» հանդեսի N 2 և N 3 - ում տպագրված հոդվածների)................... 17

ՆՈՐ ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐ Օ. Դու դու մ յա նԱ Ո Ա ՋԱ Դ ՐԱ Ն ՔՆ ԵՐԻ Փ ՈԽ ԱՆԱԿՍԱՆ ՍԵԹ ՈԴԻԿԱՅԻ ԿԻՐԱ ՈՈՒՍԸԽԱՐԱՅԻՆ ՈՒՍՈՒՍՆԱԿԱՆ ՊԱՐԱՊՍՈՒՆՔՆԵՐՈՒՍ ............... 19

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆՍ. Ա. Խ ա չ ա տ ր յա ն , Ն .Ս . Դ ո վ լա թ յա նՊ Ա ՐԱ Ս ԵՏՐԵՐՈՎ Խ Ն Դ ԻՐՆ Ե ՐԻ ԼՈՒԾՈՒՍԸ ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ Գ ՐԱ Ֆ Ի Կ Ն Ե ՐԻ Օ Գ Ն Ո ՒԹ Յ Ա Ս Բ .....................................................29

Գ. Վ. Դ ա լ լա ք յա նՈՐՈՇ ՊԱ ՐԱՍԵՏՐԱԿԱՆ ԱՆՀԱ ՎԱ ՍԱ ՐՈՒՍՆԵՐԻ ԼՈՒԾՍԱՆ Ա ԼԳՈՐԻԹ ՍՆ ԵՐԻ Ս Ա Ս Ի Ն ............................................................. 35

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ Կ . Մ. Մ ո ս ե ս յա նՍԵԿ Խ ՆԴՐԻ ԸՆԴՀԱ ՆՐԱ ՑՍԱ Ն ԵՎ Ն ՐԱ ԼՈՒԾՍԱՆ Ս Ա Ս ԻՆ 39

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸԱ. Ա. Ա վ ե տ ի ս յա նՏՈՀՄ ԱԾԱ ՈԸ ՈՐՊԵՍ ՅՈՒՐՕՐԻՆԱԿ ՍՈԴԵԼՍԱԹ ԵՍԱՏԻԿ Մ Յ Ո ՒՍ .......................................................................50Գ. Ն ա լբ ա ն դ յա ն , Վ. Ա ռ ա ք ե լ յա ն ՇՐՋԱՆԻՑ ՄԻ ՔԱՆԻ ԵՐԿՐԱՉԱՓ ԱԿԱՆ Մ Ա ՐՄ ԻՆ Ն Ե ՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՍԱՆ ՈՒ ՆՐԱՆՑ ԾԱ ՎԱ ԼՆԵՐԻ Ա ՐԺԵՔՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ ..........................................................................................................58

Խ մ բ ա գ ր ա կ ա ն խ ո ր հ ո ւ ր դ

Հւսմլետ Միքա յելյա ն գլխավոր խմբագիր

Սա րիբեկ Հա կոբյա ն գլխավոր խմբագրի տեղակալ, պատասխանատու քարտուղար

Խ ո ր հ ր դ ի ա ն դ ա մ ն ե ր

Աբրահամյան Արւսմ Այվազյան էդվարդ Աոաքելյան Կորյուն Բաղդասարյան Գևորգ Զաքարյան Վանիկ Հարությունյան Հայկունի Ղուկասյան Նորայր Ղուշչյան Ալեքսանդր Միքայելյան Օնիկ Մովսիսյան Յուրա Նավասարդյան Հայկազ Աաֆարյան Գրիգոր Աեդրակյան Նաիր 1Տոնոյան Գաոնիկ

Ն կ ա ր ի չ

Վ. Հ. Միքայելյան

Հ ա մ ա կ ա ր գ չ ա յ ի նձ և ա վ ո ր ո ւ մ ը

Գոհար Խաչատրյանի

Տիգրան Մեծի 67, սենյակ 401 375005 Երևան 5 Tigran Metsi 67, Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

« Մ ա թ ե մ ա տ ի կ ա ն դ պ ր ո ց ո ւ մ »գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն ա մ ս ա գ ի ր № 6 , 2 0 1 0 թ .

Լրատվական գործունեություն իրականացնող' « Կ ր թ ո ւ թ յ ա ն ա զ գ ա յ ի ն ի ն ս տ ի տ ո ւ տ » ՓԲԸ

Հասցեն' Երևան, Տիգրան Մեծի 67, վկայական՛ N 01 Ա 044424,տրված 16.02.1999թ.

Ամսագրի թողարկման պատասխանատու՛ գ լխ ա վ որ խ մբա գիր Համլետ Միքայելյան

Հանձնված է տպագրության 29.11.201 Օթ: Տպաքանակը՝ 2010, ծավալը 4 մամուլ: Թուղթ' օֆսեթ: Չափսը’ 70x100 1/i6:

Գինը' 700 դրամ:

Հանրակրթական դպրոցներին հատկացվում է ա ն վ ճ ա ր

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Ա ր ժ ե ք ա յ ի ն հ ա մ ա կ ա ր գ

ԲԱՐՈՅԱԿԱՆ ԱՐԺԵՔՆԵՐԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ

ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑԸ.Ս Ե Ր Ե Վ Հ Ա Ր Գ Ա Ն Ք

Հ . Ս. Միքւսյելյան

Հանուն սիրո արժե ապրել, բայց մեռնել' չարժեՇ ե ք ս պ ի ր

Աշխատիր նախ և առաջ չկորցնել ինքնահարգանքըՊ յո ւ թ ա գ ո ր ա ս

Ներածություն

Սերը և հարգանքը մարդկային և հասարակական կյանքը կարգավորորող

բարոյական կարևորագույն արժեքներ են: Դրանք նաև մարդկանց միջև բարո­

յական ներդաշնակություն հաստատող հիմնական արժեքներն են: [13] աշ­

խատանքում մենք այս արժեքները դիտարկել ենք մարդու' իր և ուրիշի հանդեպ

ունեցած պարտականությունների տեսանկյունից, սերը ուղեկցվում է այն պար­

տականությանը, որ չի բխում պարտավորությունից, բայց պարտականություն է

դնում ուրիշի վրա, իսկ հարգանքը ուղեկցվում է այն պարտականությանը, որ

բխում է պարտավորությունից և ուրիշի վրա պարտականություն չի դնում: [10]

աշխատանքում անդրադարձել ենք նաև մարդկային երջանկության մեջ սիրո

դերին, սերը ստեղծագործության հետ միասին կազմում է երջակության շաղախը:

Սակայն կոնկրետ սիրո և հարգանքի արժեքները կարիք ունեն ավելի մանրա­

կրկիտ ու առանձին դիտարկման: Իհարկե, ինչպես մեր [10]-[14] աշխատանք­

ներում, այստեղ նույնպես դիտարկումները կատարվում են հանրակրթության

շրջանակներում նշված արժեքների ձևավորման ուղղությամբ: Եվ դիտարկման

դաշտն էլ նորից մաթեմատիկայի դասավանդման գործընթացն է:

Հանրակրթության մնացած' ինչպես բնագիտական, այնպես էլ հումանիտար

ցիկլի առարկաները, թերևս ավելի մեծ հնարավորություններ ունեն նշված ար­

ժեքների ձևավորման Իամար: Այս տեսակետից նշենք, որ Իանրակրթության մեջ

3

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

բարոյական արժեքների ձևավորման դաշտը սովորաբար համարվում է հումա­

նիտար առարկաների բնագավառը, այն հարուստ է այդ արժեքները կրող կոնկ­

րետ կերպարներով, որոնք էլ ներգրավվում են համապատասխան արժեքների

ձևավորման խնդրի լուծման մեջ: Թեպետ և մաթեմատիկան նման կերպարային

մոտեցման հնարավորություններ չունի, այնուամենայնիվ այստեղ ևս առկա է

բարոյական արժեքների ձևավորման մեծ ներուժ: Իսկ այս և արժեքների

ձևավորման ուղղությամբ մեր կատարված մյուս' [10]-[16] աշխատանքները կա­

րող են նպաստել հանակրթության այլ առարկայական բնագավառներում նմա­

նատիպ ուսումնասիրություններ կատարելու համար:

Սերը և մաթեմատիկայի դասավանդման

գործընթացը

Սերը մարդկային կյանքը, համակեցությունը կարգավորող, իմաստավորող

հիմնական արժեքներից մեկն է: Բանաստեղծական ներշնչումների և ստեղծա­

գործությունների հիմնական աղբյուրներից մեկն է սերը, որտեղ սակայն այն

ներկայանում է որպես զգացմունք հակառակ սեռի նկատմամբ: Սակայն սիրո

զգացմունքը կարող է դրսևորվել նաև բնության, արվեստի ստեղծագործության և

ընդհանրապես գեղեցիկի նկատմամբ: Սերը միայնությունից դուրս գալու, մյուս

մարդկանց հետ միավորվելու ձգտումն է: Այն մոտեցնում է մարդկանց, արժևո­

րում է նրանց կյանքը: Սիրո բարոյական որակի բնութագրմանը մենք անդրադար­

ձանք [10] աշխատանքում' այն դիտելով որպես գործունեություն և զգացմունք:

Նախ քննարկենք սիրո գործունեության հետ մաթեմատիկական կրթության

առնչությունը: Սաթեմատիկական կրթությունը նպաստում է և հնարավորություն է

տալիս խորանալու ժամանակակից շատ մասնագիտությունների մեջ, սիրելու

այդ մասնագիտություններն ու մասնագիտական գործունեությունը, ծավալելու

լիարժեք մասնագիտական գործունեություն: Բայց նման սերը կարող է դրսևոր­

վել միայն ապագայում: Իսկ կոնկրետ մաթեմատիկայի դասավանդման գործըն­

թացում որպես գործունեություն սիրո արժեքի ձևավորման հիմնական առարկան

պետք է լինի մաթեմատիկան:

Ուսուցիչը պետք է կարողանա ընտրել նյութի մատուցման այն ձևը, որը սի­

րելի է դարձնում մաթեմատիկան և մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը:

Առաջին հերթին դրա համար ճանապարհ է բացում ճշմարիտը իմանալու աշա­

կերտի բնական մղումը, որ դրսևորվում է հետաքրքրասիրության ձևով: Մաթեմա­

տիկայի դասընթացում ամփոփված նյութը, հետաքրքրաշարժ խնդիրներն ու պատ­

մական անցքերը աշակերտների հետաքրքրասիրության բավարարման շատ լայն

հնարավորություններ են ընձեռում:

4

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Միջին դպրոցի հանրահաշվի 7-9 ֊րդ դասարանների դասագրքերում յուրա­

քանչյուր թեմայից հետո բերվում են հետաքրքրաշարժ խնդիրներ, պատմական

տեղեկություններ տվյալ թեմայի մասին, նշանավոր մաթեմատիկոսների կյանքից

վերցրած ուսանելի պատմություններ: Դասագրքերի տեսական նյութերում նույն­

պես ընդգրկված են աշակերտների հետաքրքրությունը շարժող մաթեմատի­

կական հարցեր (տես [7-[9]): Ահա նման մի օրինակ:

Հայտնի է տասնամյա Գաուսի կողմից թվաբանական պրոգրեսիայի, ավելի

ճշգրիտ ' 1 ֊ից մինչև 100 թվերի գումարի հաշվման պատմությունը: Ուսուցիչը

այս առաջադրանքը հանձնարարել էր աշակերտներին երկար ժամանակով հաշ­

վարկների միջոցով երկար զբաղեցնելու և իր կոլեգայի հետ զրույցի հնարա­

վորություն ստանալու հույսով: Սակայն Գաուսը որոնելի պատասխանը ստանում

է առանց թվաբանական անմիջական հաշվարկների' գեղեցիկ օրինաչափության

հայտնագործմամբ: Նա խմբավորելով 1 և 100, 2 և 99, 3 և 98, ... զույգերը,

ստանում 50 զույգ, որոնցից յուրաքանչյուրի գումարը 101 էր: Մնում էր բազ­

մապատկել 50 և 101 թվերը, ինչը Գաուսը հասցնում է կատարել, նախքան

ուսուցչի դասարանից դուրս գալը: Իհարկե, ուսուցիչը սկզբում զայրանում է

«անբարեխիղճ» աշակերտի վրա: Աակայն երբ տանը ծանոթանում է նրա գտած

լուծման հետ, չի կարողանում թաքցնել իր հիացմունքը: Եվ այդ օրվանից

սկսվում է մաթեմատիկայի ապագա արքայի վերելքը:

Հանրակրթական դպրոցում դասավանդման իմ և իմ գործընկերների փորձը

ցույց է տալիս, որ այս պատմությունը անտարբեր չի թողնում ոչ մի աշակերտի:

Ոուսուցման արդյունավետությունը, աշակերտի վրա նյութի ներգործությունը

շատ ավելի մեծ են լինում, եթե նրան մասնակից եք դարձնում մաթեմատիկական

օրինաչափությունների հայտնագործմանը: Գաուսի ուսուցչի տված հանձնարա­

րությունը դասարանում ներկայացնելուց հետո ես, օրինակ, աշակերտներին

առաջարկում էի գտնել լուծման իրենց ճանապարհը: Եթե անհրաժեշտ պա­

տասխանը չէր գտնվում, ապա կամ հեշտացնում էի խնդիրը' նախ առաջարկելով

հաշվել 1 ֊ից մինչև 10 թվերի գումարը, կամ էլ նշում էի Գաուսի լուծման քայ­

լերից մեկ-երկուսը: Իսկ վերոհիշյալ պատմությունը' Գաուսի մասին այլ տեղե­

կությունների հաղորդման հետ միասին, ավարտում էի աշակերտների կողմից

խնդրի լուծումը գտնելուց հետո:

Իմ ուսուցիչ, հարգելի Անուշավանը մեծ հմտությամբ էր օգտագործում մաթե­

մատիկայի կիրառական հնարավորությունները մաթեմատիկայի նկատմամբ

հետաքրքրություն և սեր ձևավորելու գործում: Մի անգամ դասարան մտնելով'

նա գրատախտակին գծեց երկու զուգահեռ ուղիղներ, ստորին ուղղի վրա վերց­

րեց մի հատված, իսկ վերին ուղղի վրա, հատվածի վերևում' երկու կետեր ու

դրանք միացրեց հատվածի ծայրակետերին: Ատացվեցին երկու եռանկուններ:

«Ո՞ր եռանկյան մակերեսն է մեծ», ֊հարցրեց հարգելի Անուշավանը:

5

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Մինչ մենք մտածում էինք խնդրի շուրջ, նա վերին ողղի վրա վերցրեց մի այլ

կետ, այս անգամ հատվածից շատ հեռու, նորից միացրեց հատվածի ծայրակե­

տերին և կրկնեց իր հարցը: Ստացված եռանկյունը շատ ավելի «նեղ» էր նախ­

կիններից, բայց և շատ ավելի երկար էր «ձգվում»: Դժվար էր նրա մակերեսը

համեմատել նախկինների մակերեսների հետ: Երբ որոշ ժամանակ սպասելուց

հետո անհրաժեշտ պատասխանը չստացվեց, հարգելի Անուշավանը մաքրեց

գրատախտակը և հայտարարեց նոր դասի թեման' եռանկյան մակերեսը: Եվ դա­

սը բացատրելուց հետո եռանկյան մակերեսի 5 = 0,5ah բանաձևը գրեց գրա­

տախտակի անկյունում, մաքրեց գրատախտակի մնացած մասը և նորից գծեց իր

զուգահեռ ուղիղները, եռանկյունները ու կրկնեց իր նախկին հարցադրումը:

Անհնարին թվացող համեմատությունը մաթեմատիկական բանաձևի միջոցով

դարձել էր ակնհայտ: «Ահա մաթեմատիկայի ուժը», ֊հպարտությամբ հայտա­

րարեց հարգելի Անուշավանը, կավիճը դրեց ցած ու կավճոտ ձեռքերը մաքրելով

դասարանից դուրս եկավ' չնայած զանգը դեռ չէր հնչել: Իսկ մենք այս անգամ

չպոկվեցինք մեր տեղերից ու դասարանից դուրս չնետվեցինք, ինչպես անում

էինք սովորաբար:

Ահա մի օրինակ դասավանդման իմ փորձից: Հանրահաշվի լեզվի կառուցման

զուգընթաց ես պարբերաբար կատարում էի թվաբանության և հանրահաշվի

հնարավորությունների համեմատություն' դրանք դիտարկելով որպես մեր մտա­

դրությունների իրականացման համար անհրաժեշտ գործիքներ: Հանրահաշվի

այբուբենում անհայտի ներմուծումը կատարելուց հետո ես աշակերտներին

տալիս էի հետևյալ հարցը, ի՞նչ եք կարծում, ինչքա՞ն դրամ կա ինձ մոտ: Լինում

էին աշակերտներ, որոնք ասում էին, որ այդ թիվը հայտնի է միայն ինձ: Բայց

գտնվում էին նաև այնպիսիք, որոնք ասում էին, թե ինձ մոտ կա x դրամ: Այստեղ

ես նշում էի, որ երկու պատասխանն էլ ճիշտ են: Բայց այն, որ ես գիտեի, թե

ինչքան դրամ կա ինձ մոտ, թվաբանության շնորհիվ է, իսկ այն, որ աշակերտ­

ներն էլ գիտեն, թե ինչքան դրամ կա ինձ մոտ, արդեն հանրահաշվի շնորհիվ է:

Սակայն այս համեմատությունը աշակերտների վրա առանձնապես մեծ տպա­

վորություն չէր թողնում:

Թվաբանության և հանրահաշվի հաջորդ համեմատությունը կատարում էի

գումարման թեմայի ուսուցման սկզբում: Այստեղ ես աշակերտներին ցույց էի

տալիս, որ թվաբանության միջոցները բավարարում են միայն հայտնի մեծու­

թյունների գումարը գտնելու համար, իսկ անհայտ մեծությունների, օրինակ'

երկու աշակերտնեի մոտ եղած դրամի քանակությունների' x ֊ի և у ֊ի գումարը

գտնելու հնարավորություն մեզ տալիս է միայն հանրահաշիվը: Նույն համեմա-

տությունըը կատարում էի նաև հանման և բազմապատկման թեմաների ուսուց­

ման ընթացքում: Աշակերտները, իհարկե, որոշ հետաքրքրություն ցուցաբերում

էին իմ այս համեմատությունների նկատմամբ, բայց դարձյալ առկա էր թերա­

հավատությունը. առանձնապես մեծ խնդիր չենք լուծել այդ համեմատությամբ:

6

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Բայց վերջին անգամ համեմատությունը կատարելիս ես նշում էի, որ հան­

րահաշվի առավելությունների բացահայտումը աճպարարություն չէ, այլ ճշմար­

տության բացահայտման, առօրեական խնդիրների լուծման հրաշալի միջոց, և

բերում էի Շիրակացու խրախճանականներից մեկի լուծումը: Այս նպատակին

լավագույնս ծառայում են Շիրակացու առաջին երեք խրախճանակները: Ահա

երրոդ խրախճանականը:

«Ասա ընկերոջդ, որ ես կարող եմ իմանալ, թե որքան դրամ կա քո քսակի մեջ:

Եթե նա ասի' թե «իմացիր», ասա դու նրան, թե վերցրու դրամիդ քանակությունը,

այդչափ էլ ավելացրու վրան, ստացած թիվը կրկնապատկիր, ավելացրու վրան

առաջին վերցրած թիվը, ստացված գումարը կրկնապատկիր»: Երբ տվածդ հաշ­

վումները կատարած լինի, անկախ նրանից, զույգ թիվ է եղել վերցրածը, թե'

կենտ, ստացած գումարը, որ նա կասի, բաժանիր տասի վրա, և գտած թիվը

կլինի քսակում եղած դրամի քանակը» (տես [4]):

Եթե ընկերոջ դրամի քանակությունը նշանակենք х ֊ով, ապա առաջադրած

պայմանների կատարումը հանգեցնում է 2(2(х + х) + х):10 արտահայտության

հաշվմանը: Ակնհայտ է, որ վերջինս հավասար է հենց х ֊ի: Այսինքն' Շիրակացին

քողարկված ձևով ընկերոջից պահանջում է ասել հենց х թիվը' ընկերոջ դրամի

քանակությունը:

Այստեղ միայն աշակերտները զգում էին հանրահաշվի ուժն ու հմայքը: Իսկ ես

ասվածին ավելացնում էի նաև այն, որ հանրահաշիվը ստեղծվել է Շիրակացուց

շատ ավելի ուշ, և ոչ միայն Շիրակացու խրախճանականների, այլև նրա խնդինե-

րի լուծումները, որ ժամանակին իրականացվել են թվաբանության միջոցներով,

հասու էին միայն առանձին ընտրյալների: Իսկ այսօր, շնորհիվ հանարահաշվի,

մատչելի են միջին դպրոցի ցանկացած աշակերտի:

Հանրահաշվի հնարավորությունների նման ցուցադրումը փոխում է նրա նկատ­

մամբ աշակերտների վերաբերմունքը, իսկ նրանով հրապուրված աշակերտների

համար այն դառնում է ավելի սիրված:

Իմ դպրոցական ուսուցիչ Վահրամ Աարտիրոսյանը Պյութագորասի թեորեմը

ձևակերպելուց առաջ աշակերտներին տանում էր դպրոցի հողամաս, առա­

ջարկում էր չափել նրա ուղղանկյունաձև պատի երկու կողմերը, որոնց երկա­

րությունները ընտրում և չափում էին երկու աշակերտներ և հայտնում մեզ, իսկ

ինքը, խորհրդավոր ժպտալուց հետո, հայտնում էր աշակերտների վերջնական

դիրքերի միջև եղած հեռավորությունը: Այդ հեռավորությունը չափում էինք նաև

մենք ու ստանում նույն արդյունքը:

Փորձը կրկնվում էր մի քանի անգամ' ուղղանկյան կողմերի երկարություն­

ները փոփոխելով: Բայց մեր ուսուցչի տված պատասխանը անսխալ էր լինում:

Դրանից հետո հարգելի Վահրամը մեզ տանում էր դասարան և գրատախտակի

վրա «բացում» էր իր գաղտնիքը' Պյութագորասի թեորեմը և դրա հրաշալի

7

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

ապացուցումը: Նման դասերը վստահաբար ավելացնում են թե' մաթեմատի­

կայով հետաքրքրվող աշակերտների, թե' այն սիրողների թիվը:

Մաթեմատիկական նյութի նկատմամբ հետաքրքրության մեծացմանը մեծա­

պես նպաստում են մաթեմատիկական խաղերը: Հանրահայտ է, որ դեռահասի և

պատանու հիմնական կիրքը խաղն է, ինչը կարելի է օգտագործել նաև մաթեմա­

տիկական նյութի նկատմամբ սովորողների հետաքրքրասիրություն մեծացնելու

համար: Նման մոտեցում է դիտարկվում [5] աշխատանքում:

ճշմարիտը, որ ընկած է մաթեմատիկական կառույցի հիմքում, նույնպես սիրե­

լի է դարձնում այն: Մաթեմատիկայի դասի առանցքը կազմող մաթեմատիկական

նյութը ճշմարիտի ներկայության, դրա բացահայտման ամենատարբեր ուղիների

որոնման և իրականացման գործընթաց է, ինչը ինքնին ցանկալի լինելով, դասա­

րանում կարող է ստեղծել նաև առողջ, ու սիրված մթնոլորտ:

Աովորողների մոտ ինչպես բարու, անպես էլ սիրո որակի ձևավորմանը կարե­

լի է ներգրավել նաև մաթեմատիկական առանձին նյութերի դասավանդումը, որ­

տեղ մեծ դեր է խաղում դարձյալ ճշմարիտի ճանաչումը: Ահա նման վարժու­

թյուններ «Հանրահաշիվ 8» դասագրքից, որոնք նաև առիթ են ստեղծում ուսուցչի

համար խոսելու սիրո և ատելության մասին (տես [8]):

Նշեք փոփոխականի արժեք, որի դեպքում դատողությունը ճշմարիտ է, և

արժեք, որի դեպքում դատողությունը կեղծ է. Աղջիկը սիրում է իր մայրիկին: Նա

սիրում է իր հայրենիքը: Նա իմ սիրելի գրողն է: Նա իմ սիրելի նկարիչն է և այլն:

ճշմարիտ է, թե՞ կեղծ դատողությունը. Ցանկացած մարդ սիրում է իր ծնողնե­

րին: Աշակերտը սիրում է իր ուսուցչին: Կա աշակերտ, որ ատում է իր դպրոցը:

Ամեն մարդ սիրում է աշխատել: Գոյություն ունի մարդ, որը չի սիրում իր հայրե­

նիքը և այլն:

Որոշեք դատողության ճշմարտային արժեքը. Եթե մեկին չսիրես, ապա նա էլ

քեզ չի սիրի և այլն:

Նման վարժությունները մեծ հետաքրքրություն են առաջացնում աշակերտ­

ների մոտ, մաթեմատիկայի դասին հաղորդում նոր երանգ, նպաստում բարոյա­

կան արժեքների՝ տվյալ դեպքում' սիրո արժեքի ճանաչմանը: Նմանատիպ վար­

ժություններ ուսուցիչը' ինքը կարող է բերել: Օրինակ' արդյո՞ք սիրելու առնչու­

թյունը համաչափելի է, այսինքն' ճշմարիտ է, որ եթե Ա ֊ն սիրում է Բ ֊ին, ապա Բ ֊ն էլ

սիրում է Ա ֊ին: Աշակերտները հեշտությամբ գլխին են ընկնում, որ դա այդպես չէ:

Իսկ «լա՞վ կլիներ, եթե այդպես լիներ» հարցադրումը դասարանում առաջացնում

է մեծ աշխուժություն, մանավանդ' երբ քննարկվում են դրա հետևանքները: Կա­

րելի է առաջադրել նաև սիրելու առնչության փոխանցականության վերաբերյալ

և այլ վարժություններ:

Դիտարկենք սիրո զգացմունքի հետ մաթեմատիկական կրթության առնչու­

թյունը: Որպես բնության հիմքում դրված աստվածային կառույց (տես [3]), մաթե­

մատիկան իր մեջ բովանդակում է այնպիսի ներդաշնակություններ, որոնք համա­

հունչ են բնության մեջ եղած առարկաների և երևույթների մեջ առկա ներդաշ­

8

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

նակություններին: Ձևական տեսակետից մաթեմատիկական այդ ներդաշնակու­

թյունները չունեն բնության առարկաներին և երևույթներին հատուկ գունային,

ձայնային կամ զգայական այլ դրսևորումներ: Հետևապես' այստեղ հնարավոր չէ

խոսել այդ դրսևորումներին հատուկ գեղագիտական արժեքների ու դրանց

ուղղված սիրո զգացմունքի մասին: Սակայն մաթեմատիկական ներդաշնակու­

թյուններն արտահայտում են իրերի և երևույթների ներքին կապը և գեղագիտա­

կան մեծ հնչեղություն ունեն:

Սաթեմատիկան ուսումնասիրում է ներդաշնակության հիմքը կազմող համա­

չափությունը, նրա ամենատարբեր տեսակներն ու հատկությունները և այդ ճա ­

նապարհով հնարավորություն է տալիս թափանցելու և տեսնելու գեղեցիկի ամե-

նաբազմազան դրսևորումներ: Ավելին, մաթեմատիկան, ի դեմս նրա բաժիններից

մեկի' խմբերի տեսության, կարողանում է նկարագրել ու գնահատել առարկայի ու

երևույթի համաչափությունների, այսինքն' ներդաշնակությունների ողջ կառույցը:

Հարկ է նկատել, որ մաթեմատիկական կառույցում ամփոփված գեղեցիկը'

չունենալով արտաքին' զգայական դրսևորումներ, անմիջապես աչքի չի ընկնում,

այն թաքնված է առարկայի և երևույթի խորքում, և նրա հայտնաբերումը որոշակի

իմացություն և ջիգ է պահանջում: Եվ հայտնաբերման այդ ջիգը, հոգուն բերած

նրա բերկրանքը ավելի նշանակալից ու սիրելի է դարձնում մաթեմատիկական

գեղեցկությունը:

Մաթեմատիկայի ուսուցիչը պետք է յուրաքանչյուր անգամ ցույց տա, տե­

սանելի դարձնի մաթեմատիկական օրինաչափությունների գեղեցկությունը, ինչը

աշակերտի մեջ սիրո զգացմունք կձևավորի դրա նկատմամբ: Նման հնարա­

վորություններ մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացը շատ ունի: Թվաբա­

նական պրոգրեսիայի գումարի հաշվման Գաուսի եղանակը, իմ ուսուցիչներ

հարգելի Վահրամի և հարգելի Անուշավանի բերած օրինակները նույնպես

ծառայում են այդ խնդրի իրականացմանը:

Մաթեմատիկայի նկատմամբ սեր և հետաքրքրություն ձևավորող դասերը,

անկասկած, նաև աշակերտի հանդեպ ուսուցչի սիրո դրսևորումներ են, որոնք

աշակերտների սրտերը լցում են փոխադարձ սիրո նվիրական զացմունքով:

Քանի-քանի անգամ եմ զգացել իմ ուսուցչի' ինձ նայող աչքերի ու իմ գլխին

դրած ափի ջերմությունը, որ իմ հոգին լցրել է անասելի բերկրանքով: Ահա նման

նվիրական պահերից մեկի նկարագրության մի փորձ (տես [6]):

«Իմ ուսուցիչների մեջ առաջինը քեզ եմ հիշում, հարգելի Վահրամ

Մարտիրոսյան: Ահա դերվիշի իմաստությամբ, սովորականը հետաքրքիր,

հետաքրքիրն էլ զարմանալի դարձնելու բարի կախարդանքով առաջ ես վարում

դու մեր նավը:

Մենք' քո մի խումբ աշակերտները, ամբողջ տարվա համար մեր միակ

հագուստի մեջ, կուչ ենք եկել ձմռան ցրտից: Բայց մենք հավատացած ենք, որ

9

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

ձմեռը հենց նրա համար էլ ձմեռ է, որ մարդ ցրտից կուչ գա: Եվ մենք չենք

ընկճվում, մենք քո նավաստիներն ենք, քո զինվորները:

Եվ վարում ես դու մեր նավը դեպի անտիկ Հունաստան, Լուսին ու գալակտի­

կաներ, մատենադարան ու համալսարան...

Ու երբ ժամանակի, տարածության ու մեր նվաճելիք փառքի

հեռավորությունից այլևս չի երեևում մեր փոքրիկ գյուղը, քո բառը դառնում է

ավելի ջերմ ու շարունակվում մեր գյուղի բարբառով:

Մենք հասկանում ենք, որ դու շատ երկար ես ապրել: Պյութագորասը,

Գալիլեյը, Շիրակացին ու Վիկտոր Համբարձումյանը քո ընկերներն են եղել, և

մենք նույնպես քո ընկերներն ենք:

Հաճույքը իմ հոգին խտուտ է տափս, և ես ուզում եմ տեղից վեր թռչել: Բայց

իմ գլխին դրած քո ձեռքը ասում է.

- Համբերի՛ր, մի' շտապիր:

Իսկ ես չեմ կարող համբերել, ես գտել եմ քո տված խնդրի պատասխանը .,.

Ես զգում եմ քո ափի ջերմությունը: Իմ միտքն ու հոգին շաղվում են, քո տված

մաթեմատիկական խնդիրը խառնվում է իմ քեռու պատմած հեքիաթի հետ, մեր

դասարանը դառնում է մեր տունը, ինձ հաճելիորեն իր մոտ ձգող վառարանը՝

մեր տան թոնիրը:

Դասարանը լցվում է մորս թխած հացի անուշ բույրով:

Սոված եմ ...»:

Իսկ երբ ինքս արդեն ուսուցիչ էի Հրազդւսնի Մեղրաձոր գյուղի դպրոցում ու

սիրով ու ոգևորությամբ նույն Պյութագորասի թեորեմն ու Պյութագորասի կյանքն

էի պատմում իմ առաջին աշակերտներին, և փորձում նրանցից ոգևորության,

հետաքրքրության ու սիրո համահունչ արձագանքներ ստանալ, հասկանում էի,

որ հաջողության հիմնական գաղտնիքը աշակերտներին սիրով նայելու ունա­

կության մեջ է. առանց աշակերտին սիրով լցված աչքերով նայելու, անհնար է

նրանից քեզ ուղղված նույնպիսի հայացք ակնկալել: Եվ ես համոզված էի, որ իմ

աշակերտները իրենց ուսուցիչների մեջ բոլորից շատ ինձ են սիրում:

Ինձ հետ աշխատում էր նաև գրականության' նույնպես նորավարտ ուսուցիչ

ընկեր Ազատը: Երբ մի օր ես աշակերտների հետ խոսում էի Տերյանի մասին, և

աշակերտները հիշեցին ընկեր Ազատի կարծիքը, նրանց աչքերում հայտնվեց մի

այնպիսի փայլ ու ջերմություն, որ ես նախկինում երբեք չէի նկատել: Ես միայն

հետագայում հասկացա, որ ուսուցչի հանդեպ սիրո զգացմունքի ձևավորման

գործում գրականության դերը անանցանելի է: Իսկ գրականության այդ երիտա­

սարդ ուսուցչին հանդիպեցի նույնպես տարիներ անց: ճիշտ է, նա այլևս

երիտասարդ չէր, բայց դարձել էր հայտնի գրականագետ և գրականության ինս­

տիտուտի տնօրեն Ազատ Եղիազարյան:

10

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Իմաստություններ սիրո մասին

Ով սիրում է' ապրում է, ով ապրում է' աշխատում է (Վան Գոգ):

Սիրալիրությունը ցանկությունն է անել այն, ինչ ուրիշներին դուր է գալիս, և

չանել այն, ինչ նրանց դուր չի գալիս (Բ. Սպինոգա):

Անհնար է սիրել և լինել իմաստուն (Բեդել):

Սերը կյանքի պոեզիան է և արևը (Վ. Բելինսկի):

Լքված սերը շուտ է թառամում (Շեքսպիր):

Եթե կա մի չար հրեշտակ, դա սերն է (Շեքսպիր):

Սերն օրենքներ չի ճանաչում (Բոմարշե):

Սերը հաճախ խլում է բանականությունը նրանից, ով ունի, և տալիս է նրան,

ով չունի (Դիդրո):

Սերը մեծ գործերի է ոգեշնչում և ինքն էլ խոչընդոտում դրանց կատարմանը

(Դյումա որդի):

Պատանու սիրո առաջին նշանը երկչոտությունն է, ադջկանը' համարձակու­

թյունը (Հյուգո):

Սիրո սկզբնական շրջանում սիրահարները խոսում են ապագայի մասին, վեր­

ջում' անցյալի (Մորուա):

Սիրո աճելու հետ, ողջամտությունը նվազում է (Լառոշֆուկո):

Բոլոր կրքերը մեզ ստիպում են սխալներ գործել, բայց ամենածիծաղելի

սխալները սերն է ստիպում անել (Լառոշ Ֆուկո):

Հարգանքը և մաթեմատիկայի դասավանդման

գործընթացը

Մարդը, որպես բանական էակ' բանականության կրող, բարձրագույն արժեք

է: Այդ առանձնահատուկ արժեքը կամ արժանիքը, որ կոչվում է արժանապատ­

վություն, ստիպում է ուրիշ բանական էակներին (և իրեն նույնպես) հարգել իրեն,

ուրիշների հետ համեմատվելիս իրեն գնահատել միայն հավասարության հիմ­

քով:

Շատ դժվար է գտնել հարգանքի ճշգրիտ չափը, լինել սիրալիր և ոչ շողո­

քորթող, գտնել հաղորդակցման ճշգրիտ տոնը երեխաների, մեծահասակների,

կանանց, ընկերային խմբերի, տարբեր ազգությունների, ռասսաների պատկա­

նող մարդկանց հետ, նաև լինել իր նկատմամբ պահանջկոտ, բայց ինքնագնա­

հատման մեջ' ոչ ցածր և ոչ էլ բարձր: Իր և ուրիշների մարդկային արժանապատ­

վությունը հարգելու հիանալի սկզբունք էր դավանում Վիլյւսմ Աարոյանը' ես ոչ

11

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

մեկից բարձր չեմ, բայց և ոչ-ոք բարձր չէ ինձնից: Ուսանելի է նաև Սերվանտեսի

մոտեցումը' ոչինչ այնքան էժան չի նստում մեր վրա և այնքան թանկ չի գնա­

հատվում, ինչպես հարգալից վերաբերմունքը:

Վեհանձնությունը հարգանքի բարձրագույն աստիճանն է, իր և ուրիշների

մարդկային արժանապատվության խորը զգացումը: Վեհանձն մարդը մեծահոգի

է ընկածների նկատմամբ, պատրաստ ցավակցելու թույլերին, վիրավորված­

ներին, ստորացվածներին: Վեհանձնության հակառակ երևույթը ստորությունն է:

Հարգանքի զգացմունքը սերտորեն առնչվում է սիրո զգացմունքի հետ: Այն­

պես, ինչպես ֆիզիկական աշխարհում մարմինները ներդաշնակության մեջ են

գտնվում ձգողական և վանողական ուժերի հավասարակշռության շնորհիվ, բա­

րոյական աշխարհում նույնպես մարդկանց միջև բարոյական ներդաշնակու­

թյունը իրականացվում է ձգողական և վանողական ուժերի հավասարակշռու­

թյան միջոցով: Փոխադարձ սիրո սկզբունքը մարդկանց ձգում է, մոտեցնում

իրար, իսկ փոխադարձ հարգանքի սկզբունքը' նրանց պահում է որոշ հեռավո­

րության վրա: Եվ բարոյական աշխարհի ներդաշնակությունը, մարդկանց միջև

բարոյական ներդաշնակությունը արդյունք է այդ ձգողական ու վանողական

ուժերի' սիրո և հարգանքի հավասարակշռության (տես [2]):

Մեր բնավորության ազգային առանձնահատկություններից մեկը նրանում

հարգանքի բարոյական որակի թույլ դրսևորումն է: «Ներողություն» բառը, որ

մարդու կողմից ուրիշի արժանապատվության անտեսման, վիրավորանքի գի­

տակցումիս հետևող բարեկրթության արտահայտությունն է, մեր բառապաշարի

մեջ շատ քիչ է գործածվում: Վրացական շրջապատում դրա վրացերեն «բոդի-

շին» դուք կլսեք ամենուրեք: Հայը ամենատարբեր իրադրություններում իր ներ­

աշխարհում սիրո դրսևորման անսահման հնարավորություններ է վեր հանում,

իսկ ահա ուրիշին ուղղված հարգանքի չափաբաժինը մեր մեջ մեծ չէ: Այդ

պատճառով մեր միջև բարոյական ներդաշնակությունը շուտ չի ձևավորվում:

Մարդկային արժանապատվությունը պահանջում է յուրաքանչյուր մարդու

մեջ տեսնել ու հարգել մարդուն: Թվում է, թե բարոյական այս պարզ մոտեցումը

պահպանելու համար առանձնահատուկ ջանքեր չեն պահանջվում: Աակայն մեր

իրականության մեջ հաճախ են դրսևորվում ուրիշին ծաղրելու, մարդկանց առան­

ձին թերությունները ի ցույց դնելու և այլ միջոցներով նրանց մարդկային արժա­

նապատվությունը ոտնահարելու դեպքեր, որոնք առանձնապես մեծ տարածում

ունեն դեռահասների և պատանիների միջավայրում: Եվ նման երևույթների հան­

դեպ ամենախոցելի հասակն էլ հենց դեռահասության և պատանեկության հա­

սակն է, որի ընթացքում մարդկային էությունը նսեմացնող վերքերը մարդու մեջ

ձևավորում են շատ ուշ սպիացող բարոյահոգեբանական մի արատ, որի անունն

է թերաժեքության բարդույթ: Մեր ազգային նկարագրի այս խոցելի կողմը

անպայման պետք է նկատի ունենալ հանրակրթական դպրոցում դաստիարակ­

չական աշխատանքները կազմակերպելիս:

12

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

Որպես արժանապատվության հիմքում ընկած արժեք, բանականության յու­

րաքանչյուր դրսևորում կարող է ուղեկցվել հարգանքի արտահայտությամբ: Եվ

ինչքան նշանակալից է նման դրսևորումը, այնքան մեծ է հարգանքի արտահայ­

տությունը: Այս տեսակետից մաթեմատիկան առանձնահատուկ տեղ է զբաղեց­

նում հանրակրթության ուսումնական առարկաների մեջ: Մաթեմատիկական

խնդիրների լուծման կարողականությունը հաճախ դիտվում է որպես դպրո­

ցականի բանականության, խելքի չափանիշ: Այդ պատճառով մտավորական­

ներից շատերը, որ նույնիսկ մասնագիտությամբ կապ չունեն մաթեմատիկայի

հետ, սովորաբար հպարտությամբ են հիշում դպրոցական տարիներին մաթեմա­

տիկայում և, առանձնապես, նրա խնդիրների լուծման մեջ ունեցած հաջողու­

թյունները: Նպատակը, անշուշտ, իրենց նկատմամբ հարգանքի մի լրացուցիչ

արտահայտություն տեսնելն է:

Հանրահայտ է մաթեմատիկական կրթության դերը սովորողների մտածողու­

թյան ձևավորման և զարգացման գործում: Եվ քանի որ մտածողությունը կազ­

մում է բանականության հիմքը, ապա հաջողությունը մաթեմատիկայի ուսուցման

գործում մեծացնում է սովորողի նկատմամբ հարգանքը:

Իսկ եթե աշակերտը չի կարողանում յուրացնել մաթեմատիկական նյութը,

լուծել առաջադրված խնդիրներն ու վարժությունները, ապա նա ենթարկվում է

իր և ուրիշների աչքում նսեմանալու վտանգին, ինչը կնշանակեր նաև հարգանքի

նվազում: Նման վտանգը հատկապես առաջանում է այն դեպքերում, երբ մաթե­

մատիկայի դասավանդման գործընթացը վեր է ածվում սոսկ մաթեմատիկայի

ուսուցման, վարժությունների ու խնդիրների լուծման, ինչը պահանջում է մաթե­

մատիկական հատուկ ընդունակություններ, որով օժտված են ոչ բոլոր աշա­

կերտները:

Նման դեպքերում մաթեմատիկական ընդունակություն ունեցող աշակերտը

կարող է մեծամտանալ, արհամարհել անընդունակին, չհարգել նրան, իսկ ան­

ընդունակի մոտ կարող է ձևավորվել թերարժեքության բարդույթ, ինչը հանգեց­

նում է սեփական արժանապատվության անտեսման, իր նկատմամբ հարգանքի

նվազման և ընդունակ աշակերտների հանդեպ նախանձի:

Հարկ ենք համարում նշել, որ զուտ մաթեմատիկական կամ շախմատային գոր­

ծունեության, ինչպես նաև սպորտի, արվեստի ու գրականության մեջ ստեղ­

ծագործական հաջողությունների հասնելու համար իսկապես անհրաժեշտ են

հատուկ ունակություններ' մաթեմատիկական կամ շախմատային մտածողություն,

օժտվածություն, ֆիզիկական տվյալներ և այլն: Իսկ ահա աշխարհագրության

կամ պատմության մեջ հաջողություն ունենալու համար հավանաբար նման առանձ­

նահատուկ (այդ բնագավառին հատուկ) ունակություններ չեն պահանջվում:

Այս տեսակետից կարևոր է ուսուցչի վերաբերմունքը նաև այն աշակերտների

նկատմամբ, որոնք մաթեմատիկական ունակություններ չեն ցուցաբերում: Ուսու-

ցիչը դասավանդման ընթացքում պետք է գտնի աշակերտներից յուրաքանչյու­

րին անհրաժեշտ կրթական չափաբաժինը, ինչը կնպաստի աշակերտի սեփական

13

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

արժանապատվության և իր նկատմամբ' իր և ուրիշների կողմից հարգանքի ձևա­

վորմանը: Նկատի ունենալով այդ, անհրաժեշտ է դպրոցական դասագրքերում

ընդգրկել նաև այնպիսի խնդիրներ, որոնք մատչելի են մաթեմատիկական ունա­

կություններով չփայլող աշակերտների համար: Դասագրքային խնդիրների լուծ­

ման մեկ-երկու հաջող փորձը կարող է սեփական արժանապատվության գի­

տակցման, իր նկատմամբ հարգանքի ձևավորման մեկնակետ դառնալ, կանխել

նսեմացման' վերը նշված վտանգը:

Մաթեմատիկայի դասավանդման գործընթացը, զարգացնելով սովորողի հո­

գեկան որակները և ինտելեկտուալ կարողությունները, հետագայում լայն ու

լիարժեք մասնագիտական գործունեություն իրականացնելու հնարավորությու­

ններ է տալիս և, այդ պատճառով, մեծացնում է հարգանքը մաթեմատիկայում

հաջողություններ արձանագրող աշակերտների նկատմամբ:

Սիրո արժեքին նվիրված բաժնում խոսվեց մաթեմատիկայի ուսուցչի նկատ­

մամբ աշակերտիների կողմից սիրո զգացմունքի դրսևորումների մասին: Ինչ

վերաբերում է հարգանքին, ապա հարկ է նշել, որ ավանդաբար հայ իրականու­

թյան մեջ ուսուցիչը հասարակության ամենահարգված անդամներից է եղել: Տա­

րեց մարդկանցից շատերից կլսեք, որ իրենք աշակերտ եղած ժամանակ համոզ­

ված են եղել, որ իրենց ուսուցիչները հաց չեն ուտում: Սա ուսուցչի նկատմամբ

յուրօրինակ հարգանքի արտահայտություն է: Իսկ Ջավախքում, օրինակ, ուսու-

ցիչը մինչև այսօր մեծարվում է «հարգելի» ածականով: Եվ ուսուցչի նկատմամբ

հարգանքը, նրա անվերապահ հեղինակությունը հնարավորություն է տալիս

կարևոր դեր խաղալ, իր վճռական խոսքն ասել աշակերտի դաստիարակության

հարցերում: Այսօր շեշտադրումները, արժեքները փոխվել են. ուսուցիչը կարծես

հասարակության մեջ նախկին հարգանքն ու հեղինակությունը վայելող անձը չէ:

Անշուշտ, ուսուցչի նկատմամբ հարգանքի դրսևորումը առաջին հերթին պայ­

մանավորված է ուսուցչի անհատականությամբ: Սակայն կոնկրետ ուսումնական

առարկան նույնպես իր դերն ունի այդ զգացմունքի դրսևորման գործում: Սաթե-

մատիկայի ուսուցիչը սովորաբար մեծ հարգանք ու հեղինակություն է վայելում

անգամ մաթեմատիկական ունակություններով աչքի չընկնող աշակերտների

շրջանում:

Ինչպես արդեն նշվեց, մաթեմատիկայի իմացությունը մեծացնում է նրա

նկատմամբ մարդկանց սիրո և հարգանքի զգացմունքները: Հետևապես, մաթե­

մատիկական կրթությունը նպաստում է մարդկանց միջև բարոյական ներդաշ­

նակության հաստատմանը: Սակայն կարևոր է, որ նշված ներդաշնակությունը

նախ և առաջ ձևավորվի ուսուցչի և աշակերտի միջև:

Հարկ է նկատել, որ աշակերտների մոտ այստեղ նկատվում է ծայրահեղ բևե­

ռացված մոտեցում' սեր կամ ատելություն հենց մաթեմատիկայի ուսուցիչի

նկատմամբ: Իհարկե, մաթեմատիկական ունակություններով չփայլող, մաթեմա­

տիկայով չհրապուրված աշակերտից դժվար է սպասել սիրո զգացմունքի

դրսևորում իր ուսուցչի նկատմամբ: Սակայն մեծ մասամբ նման աշակերտի հան­

14

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

դեպ մաթեմատիկայի ուսուցիչը նույնպես անտարբեր է և չի ցուցաբերում

անհրաժեշտ ուշադրություն: Ինչ վերաբերում է հարգանքին, ապա մաթեմատի­

կայի դասավանդման պարագայում այստեղ նույնպես իրականացվում են ծայ­

րահեղ դրսևորումներ և, ինչպես նշվեց վերևում, թեպետ և ուսուցչի նկատմամբ

հարգանքի դրսևորումը առկա է բոլոր աշակերտների կողմից, սակայն ուսուցիչը

մեծ մասամբ անհրաժեշտ հարգանք չի ցուցաբերում մաթեմատիկայի ուսուցման

մեջ աչքի չընկնող աշակերտների նկատմամբ: Այդ պատճառով մաթեմատիկայի

ուսուցչի և աշակերտի միջև սիրո և հարգանքի վրա հենված բարոյական ներ­

դաշնակությունը իրականանում է միայն մաթեմատիկայից առաջադիմող աշա­

կերտների պարագայում, իսկ վատ սովորող աշակերտները հարգանքի բացա­

կայության պատճառով երբեմն արժանանում են ուսուցչի' աշակերտի արժա­

նապատվությունը ոտնահարող վերաբերմունքի:

Սովորողների հարգանքի որակի ձևավորումը կարելի է իրականացնել նաև

մաթեմատիկական առանձին նյութերի դասավանդման ընթացքում: Ահա նման

վարժություններ «Հանրահաշիվ 8» դասագրքից (տես [66]):

Որոշեք դատողության ճշմարտային արժեքը.

Եթե մեկին հարգես, նա էլ քեզ կարգի: Եթե մեկին չհարգես, նա էլ քեզ չի

հարգի և այլն:

Իմաստություններ արժանապատվության

և հարգանքի մասին

Հարգանքը յուրաքանչյուրի արժանապատվության անկեղծ ճանաչումն է

(Լ. Վովենարգ)

Ամոթը հոգու անհանգստությունն է այն մտքից, որ կատարվել է ինչ-որ բան,

որի պատճառով նվազել է իր նկատմամբ ուրիշների հարգանքը (Ջ. Լոկ):

Եթե մեկը իրեն չի հարգում, ապա ուրիշները նույնպես չեն հարգի նրան

(ճապոնական ասացվածք):

Քաղաքավարությունը բոլոր մարդկանց նկատմամբ հարգանքի պայմանա­

կան արտահայտույթունն է (Ն. Բերդյաև):

Մարդկային արժանապատվության նկատմամբ խորը, ամուր և անսասան հա­

վատի մեջ է կայանում բարոյականությունը, ինչը նաև մարդկային բոլոր առա­

քինությունների աղբյուրն է (Վ. Բելինսկի):

Գրականություն

1. А. А. Гусейнов, Р. Г. Апресян, Э ти к а , М., 2007.

15

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

2. Кант И ., Сочинения, т. 4, 1965.3. В. М. Тихомиров, “Математика в школе” , N4, 2007.4. Անանիա Շիրակացի, Երևան, 1979:

5. Հ. Ս. Միքայելյան, Խաղերը որպես հանրահաշվի ուսուցման արդյունավետու­

թյան բարձրացման միջոց, Մաթեմատիկան դպրոցում, N 3-4, 1999:

6. Հ. Ա Միքայելյան, Քըրք Քըրքորյանը, որ կարող էր լինել Գրիգոր Գրիգորյան,

Երևան, 2001:

7. Հ. Ա. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 7, Երևան, 2006:

8. Հ. Ա. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 8, Երևան, 2007:

9. Հ . Մ. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 9, Երևան, 2008:

10. Հ. Ա. Միքայելյան, Երջանկությունը և մաթեմատիկական կրթությունը, Մաթե­

մատիկան դպրոցում, N2, 2010:

11. Հ. Ա. Միքայելյան, Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի ուսուցման գործ­

ընթացը. բարին, չարը, արդարությունը, Մաթեմատիկան դպրոցում, N3, 2010:

12. Հ. Ա. Միքայելյան, Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի ուսուցման

գործընթացը, առաքինություն և արատ, Մաթեմատիկան դպրոցում, N4, 2010:

13. Հ. Ա. Միքայելյան, Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի դասավանդ­

ման գործընթացը. Պարտք կամ պարտականություն, Մաթեմատիկան դպրո­

ցում, N5, 2010:

14. Հ. Ա. Միքայելյան, Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի դասավանդ­

ման գործընթացը. Կյանքի իմաստ և նպատակ, Մանկավարժություն, N 7,

2010 :

15. Միքայելյան Հ. Մ., Մաթեմատիկական կրթությունը և սովորողների հոգեկան

կոփումը, Մանկավարժություն, N1, 2010:

16. Մ. Ա. Դանիելյան, Վ. Հ. Միքայելյան, Հ. Ա. Միքայելյան, Հոգեկան երևույթները

մաթեմատիկայի դասավանդման գործընթացում, 1. Ուշադրություն, Մաթեմա­

տիկան դպրոցում, N5-6, 2000:

16

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԵՐՋԱՆԿՈՒԹՅԱՆ ՃԱՆԱՊԱՐՀԻՆ

(Արձագանք Հ. Միքայելյանի' «Մաթեմատիկան դպրոցում»

հանդեսի N 2 և N 3 - ում տպագրված հոդվածների)

Անահիտ Հարությունյան

ԿԱԻ Վայոց ձորի մասնաճյուղ

- Աշխարհն էլ ա սես մի հեքիաթ լինի Անվերջ, անսկիզբ, հրա շք դյութական

Եվ ո՞վ է հյուսել հեքիաթն ա յս վսեմ, Հյուսել աստ ղերով, բյուր հրա շքներով...

Ա վ . Ի ս ա հ ա կ յ ա ն

Այո, կյանքը մի փոքրիկ հեքիաթ է բոլորիս համար, որն ունի երջանիկ սկիզբ

և տխուր ավարտ: Նրա գլխավոր հերոսը մարդն է' բնության կատարելագույն

ստեղծագործությունը:

Ուստի պետք է կատարյալ լինի նրա դերը, գեղեցիկ և մնայուն: Իսկ ո՞րն է

յուրաքանչյուրիս ճիշտ դերը կյանքի թատերաբեմում, ո՞րն է երջանկության

ճանապարհը: Այդ ճանապարհը փնտրում ենք ողջ կյանքում և անցնում ենք

յուրովի: Որոնումների այդ ուղին փարոսի նման լուսավորում է ուսուցիչը, որին

վստահված են աշակերտի կյանքի ամենավճռորոշ տարիները' մանկությունն ու

պատանեկությունը:

Հիմնականում այդ տարիներին է ձևավորվում անհատը' իր բարոյական և

ինտելեկտուալ կերպարով: Այդ պատասխանատու խնդրի իրականացման գործ­

ընթացում մյուս առարկաների կողքին իր ծանրակշիռ տեղն ունի մաթեմատի­

կան: Այն ոչ միայն զարգացնում է մարդու ուղեղը և օգնում մյուս գիտությունների

յուրացմանը, այլ նաև նպաստում է մարդու արժեքային համակարգի ձևավոր­

մանը, որի մասին երբեմն չենք էլ մտածում:

«Մաթեմատիկան դպրոցում» հանդեսի N 2 և N 3 - ում տպագրված

Հ. Միքայելյանի հոդվածները' «Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի ուսուց­

ման գործընթացը», «Երջանկությունը և մաթեմատիկական կրթությունը» թեմա­

ներով, մտորելու տեղիք են տալիս: Ամենայն մանրամասնությամբ վեր են հան­

17

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ

ված մարդու բարոյական արժեքների վրա մաթեմատիկայի դերն ու նշանակու­

թյունը: Թեման շատ հարազատ է, ուսանելի բոլորիս համար: Բոլոր տարիքնե­

րում էլ մարդը փնտրում է երջանկության բանաձևը, որը շատ ճիշտ է ձևակերպ­

ված նշված հոդվածներում:

Կարծում եմ, որ մաթեմատիկան օգնում է ավելի խորությամբ հասկանալու

այն և գտնելու դրան տանող բոլոր ճանապարհները:

Մաթեմատիկան կարգ ու կանոն է մտցնում մարդու ուղեղում, սովորեցնում է

առողջ դատել, կտրուկ պատասխանել և լռել, երբ ասելիք չկա:

Մաթեմատիկան ազնվություն է դաստիարակում մարդու մեջ, քանի որ

ճշմարտությունից ցանկացած շեղումը արդյունքում մեծ սխալների է հանգեց­

նում և ստիպում հետ դառնալու այդ ճանապարհից:

Մաթեմատիկան աշխատասիրություն, կամք, համառություն, համբերություն

և նպատակասլացություն է պահանջում աշակերտից:

Այդ կարևոր հատկանիշները աշակերտին տանում են երջանկության ճանա­

պարհով:

Անգնահատելի է մաթեմատիկայի դերը մարդու մտավոր կարողությունների,

վերլուծական և ստեղծագործական մտածողության զարգացման գործում: Մեծ

մտածողներից մեկն ասել է' «Չի կարելի լինել լավ մաթեմատիկոս' չլինելով թե­

կուզ մի քիչ բանաստեղծ»:

Մաթեմատիկան թվերի պոեզիա է, որտեղ պահպանված են համաչափության

տաղաչափերը:

Մաթեմատիկան լավատեսություն է դաստիարակում, քանի որ ցանակացած

խնդիր ունի ճիշտ լուծում, որը կարելի է գտնել համառ որոնումով: Դժվար խնդրի

հայտնաբերված լուծումը հաղթանակի բերկրանքով է լցնում մարդու հոգին: Իսկ

յուրաքանչյուր հաղթանակ ինքնին երջանկություն է:

Սիրեցեք մաթեմատիկան և նրա կախարդական աշխարհում կգտնեք երջան­

կության ձեր ճանապարհը:

18

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Ն ո ր տ ե խ ն ո լ ո գ ի ա ն ե ր

ա ռ ա ջ ա դ ր ա ն ք ն ե ր ի փ ո խ ա ն ա կ մ ա ն

ՄԵԹՈԴԻԿԱՅԻ ԿԻՐԱՌՈՒՄԸ ԽՄԲԱՅԻՆ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ՊԱՐԱՊՄՈՒՆՔՆԵՐՈՒՄ

Օվսաննա ԴուդումյանԿԱԻ

Կոլեկտիվ ուսումնական պարապմունքները՛, ի տարբերություն խմբային

ուսումնական պարապմունքներիդ, ենթադրում են ուսուցման գործընթացի այն­

պիսի կազմակերպում, երբ գիտելիքը յուրացվում է սովորողի գործունեության

ընթանցքում' կոնկրետ ուսումնական գործընթացի ժամանակ: Այս պարապ­

մունքների ժամանակ ուսուցչի մանկավարժական գործունեությունը պայմանա­

կանորեն երկու մասի է բաժանվում' տեսանելի և ոչ տեսանելի: Ոչ տեսանելի

մասն ուսումնական գործընթացի նախագծում-մշակումն է, որն իր մեջ ներառում

է թեմատիկ պլանավորման փոփոխություն, յուրաքանչյուր ուսումնական պա­

րապմունքի սցենարի մշակում, դիդակտիկ նյութերի մշակում և այլն: Առաջին հա­

յացքից թվում է, թե սա նորություն չէ և միշտ էլ արվել է: Բայց երբ ծանոթանում

ենք նոր տեխնոլոգիային, հատկապես ուսուցման գործընթացի լավւսցման հա­

մար կոլեկտիվ ուսումնական պարապմունքների ժամանակ կիրառվող մեթոդի­

կաներին, ապա հասկանում ենք, որ պետք է հստակ կարողանանք.

■ ձևավորել կոնկրետ նպատակներ,

■ ընտրել ճիշտ մեթոդիկաներ,

■ ընտրել ճիշտ առաջադրանքների խումբ’ նպատակին համապա­

տասխան,

■ մշակել ընթացիկ և վերջնական ստուգման համակարգ,

■ կանխորոշել դժվարությունները նոր մեթոդիկայով աշխատելու ժա­

մանակ:

Կոլեկտիվ ուսումնական պարապմունքների հիմքում ընկած է փոփոխա­

կան կազմով զույգերով աշխատանքը: Նման աշխատաձևը կիրառելիս սովորող­

ները հնարավորություն են ունենում նոր թեման յուրացնել, նույնատիպ բազմա­

թիվ վարժություններ ու խնդիրներ լուծել, իրենց յուրացրած թեման հաղորդել,

19

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

սովորեցնել ընկերոջը, հաղորդակցվել առարկայի լեզվով, ճիշտ պահին ընկերո­

ջից օգնություն ստանալ և ճիշտ պահին օգնել ընկերոջը: Սովորողների համա­

գործակցության ժամանակ ուսուցիչը հնարավորություն է ունենում ուսումնական

ծրագրից ետ մնացող աշակերտների հետ անհատապես աշխատել:

Կոլեկտիվ ուսումնական պարապմունքների ժամանակ կիրառվող մեթո­

դիկաները' Րիվինի, թեմաների փոխհաղորդման, հասկացման բերող քարտերի և

այլն հնարավորություն են տալիս'

■ ձևավորել և զարգացնել աշակերտների համագործակցությունը,

■ յուրաքանչյուր աշակերտի ակտիվ ընդգրկել փոփոխական կազմով

զույգերի և փոքր խմբերի աշխատանքներում,

■ ուսուցման համար ստեղծել հոգեբանական հարմարավետ պայմաններ,

■ յուրաքանչյուր սովորողի դարձնել ուսուցման սուբյեկտ:

Յուրաքանչյուր նոր թեմայի յուրացման համար անհրաժեշտ է նշված

մեթոդիկաների կիրառմանը ստեղծագործաբար մոտենալ, որը հնարավորություն

կտա ուսուցչին չկրկնվել և ուսումնական նյութի յուրացումը յուրովի կազմա­

կերպել:

Արդյունքում ոչ միայն կավելանան աշակերտի նոր գիտելիքներն ու կա­

րողությունները, այլև յուրաքանչյուրը հնարավորություն կունենա զարգացնելու

իր ստեղծագործական ունակությունները:

«Մաթեմատիկա» առարկայի ուսումնասիրման ժամանակ նմանատիպ

վարժությունների և խնդիրների ուսուցման համար նպատակահարմար է օգտա­

գործել առաջադրանքների փոխանակման մեթոդիկան3:

Առաջադրանքների փոխանակման մեթոդիկա (համառոտ)

Մեթոդիկան նախատեսված է տիպային, ստանդարտ խնդիրների լուծման

ուսուցման համար:

Առաջադրանքը կազմված է երկու միանման վարժություններից, խնդիր­

ներից կամ հարցերից: Առաջադրանքները խմբավորվում են ըստ բաժինների:

Նպատակահարմար է առաջադրանքները ներկայացնել հատուկ քարտե­

րի վրա:

Սովորողները մի տիպի խնդիրների լուծումը սովորում են ուսուցչից, իսկ

մյուսներինը' այլ սովորողների հետ փոփոխական կազմով զույգերում համատեղ

աշխատելու շնորհիվ:

Այս մեթոդիկան պետք է մեկնարկել. ուսուցիչը անհատապես աշխատում

է յուրաքանչյուր աշակերտի հետ, օգտագործելով միևնույն տիպի երկու խնդիր

պարունակող առաջադրանքի հատուկ քարտը: Ուսուցիչը բացատրում է խնդրի

լուծման ձևը, տալիս անհրաժեշտ տեսական գիտելիքներ, առաջին խնդրի լու­

ծումը գրում է աշակերտի տետրում:

20

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Երկրորդ խնդիրն ինքնուրույն լուծում է աշակերտը՜մեկնաբւսնելով իր

գործողությունները:

Այնուհետև անհրաժեշտ է կազմակերպել սովորողների համագործակցու­

թյունը:

Աշակերտները զույգերում մեկը մյուսին սովորեցնում են իրենց խնդիրնե­

րի տիպերի լուծումները: Հաջորդ զույգի հետ աշխատելիս՜սովորողը պետք է սո­

վորեցնի նաև նախորդ զույգում սովորած խնդիրների լուծումը:

Այս մեթոդիկայով աշխատելու համար անհրաժեշտ է հատուկ պատրաս­

տել դիդակտիկ նյութեր:

Զույգում աշխատանքի հիմնական ձևը փոխուսուցումն է:

Մեթոդիկայի նպատակն է ձևավորել գործնական ունակություններ և հմտու­

թյուններ ստանդարտ վարժությունների և խնդիրների լուծման համար:

Մեթոդիկայի էությունը, յուրաքանչյուր աշակերտ կատարում է բոլոր նա­

խատեսված առաջադրանքները' գործուն ընդգրկվելով ուսումնական պարապ­

մունքներում' համագործակցելով մյուսների հետ: Օրինակ, աշակերտներից մեկը

գիտի կրճատ բազմապատկման բանաձևերից գումարի քառակուսու բանաձևը:

Ունակ է այն բացատրել ընկերոջը' գրառելով նրա տետրում: Հմտացել է գումարի

քառակուսուն վերաբերող վարժությունների լուծման մեջ: Մյուս աշակերտը գի­

տի կրճատ բազմապատկման բանաձևերից տարբերության քառակուսու բանա­

ձևը: Ունակ է այն բացատրել ընկերոջը՜գրառելով նրա տետրում: Հմտացել է

տարբերության քառակուսուն վերաբերող վարժությունների լուծման մեջ:

Խոսելով իրենց առաջադրանքների մասին' աշակերտները զարգացնում

են նաև իրենց մենախոսական կարողությունը, սովորում են խոսել գիտական

լեզվով, հմտորեն օգտվել մաթեմատիկական տերմիններից և հասկացություննե­

րից: Յուրաքանչյուր աշակերտ ստացած գիտելիքները զուգընկերոջ անմիջա­

կան հսկման դեպքում ներկայացնում է մի նոր մակարդակով:

Մինչ փոփոխական կազմով զույգերով աշխատելը, աշակերտները փոր­

ձում են հմտանալ հաստատուն կազմով զույգում աշխատելուն: Հաստատուն կազ­

մով զույգում կարող են քննարկել, պարզաբանել այն բոլոր հարցերը, որոնք վե­

րաբերում են կրճատ բազմապատկման բաժնին: Օրինակ, թե ինչ է նշանակում թիվը

քառակուսի բարձրացնել, թվերի գումարի քառակուսի, թվերի տարբերության

քառակուսի, թվերի խորանարդների տարբերություն, կրկնակի արտադրյալ և այլն:

Նոր նյութի յուրացման ժամանակ առաջադրանքների

փոխանակման մեթոդիկայի կիրառումը

Առաջին-պետք է հիշել, որ ոչ բոլոր նյութերի յուրացման ժամանակ կարելի

է օգտագործել տվյալ մեթոդիկան:

21

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Երկրորդ - մեթոդիկայով աշխատելիս աշակերտները, աշխատանքի ոչ

ճիշտ կազմակերպման պատճառով, շուտ են հոգնում: Պետք է լինի յուրացվող

նյութի հստակ պլանավորում:

Խմբային ուսումնական պարապմունքներ (դաս-դասարանային համակարգ)

իրականացնող դասարաններում կրճատ բազմապատկման բանաձևերի յուրաց­

ման համար ծրագրով(ուս.պլւսն) նախատեսված է 5-7 դասաժամ: Որպեսզի

կարողանանք աշխատել առաջադրանքների փոխանակման մեթոդիկայով նա­

խատեսված ժամաքանակում, պետք է աշխատանքը պլանավորենք հետևյալ

կերպ.

• առաջին դաս - թեմայի ներմուծում, աշխատանք հաստատուն կազմով

զույգերում,

• երկրորդ դաս - բաժնի մեկնարկ, աշխատանք փոփոխական կազմով

զույգերում,

• երրորդ դաս - աշխատանք փոփոխական կազմով զույգերում,

• չորրորդ դաս - գիտելիքների ստուգում և ամրապնդում,

• հինգերորդ դաս - գիտելիքների ամփոփում:

Քարտերի կազմումը

«Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր» բաժնի յուրացման համար կազմ­

վում են քարտեր: Տվյալ բաժնի համար կազմված քարտերը պետք է.

ա) ՔԻ£ չլինեն 6-ից և շատ 10-ից,

բ) նույն բաժնի քարտերը կազմված լինեն տարբեր տիպի խնդիրներից,

գ) յուրաքանչյուր քարտ հնարավոր լինի կատարել այդ բաժնի մնացած

քարտերից անկախ:

Յուրաքանչյուր քարտ ունի իր համարը: Նպատակահարմար է տառերով

համարակալել բաժինները, թվերով՜առաջադրանքները (օրինակ, կրճատ բազ­

մապատկման բանաձևեր' ԿԲԲ-1): Քարտերից յուրաքանչյուրի մեջ մեկ ավար­

տական միտք է, հետևաբար ըստ բովանդակության դրանք տարբեր են, բայց վե­

րաբերում են նույն թեմային: Հիմնականում մշակվում են երկու տիպի քարտեր:

1. Քարտի առաջին մասում գրվում են հարցեր, որոնց պատասխանները

կօգնեն քարտի երկրորդ մասում գրված առաջադրանքների լուծմանը,

իսկ երկրորդ մասում գրվում են առաջադրանքներ յուրացնելու և

ինքնուրույն աշխատանքի համար:

22

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

2. Քարտի առաջին մասում գրվում է առաջադրանքի լուծման ձևը կամ

հիմնական բանաձևը, իսկ երկրորդ մասում գրվում են առաջադրանք­

ներ յուրացնելու և ինքնուրույն աշխատանքի համար:

Նման պարապմունքների ժամանակ փոքր խմբերով աշխատելիս պետք է

դրված լինեն նաև դասագրքեր:

Աշակերտի աշխատանքը ենթախմբում

Այն բանից հետո, երբ աշակերտները կազմում են ենթախմբեր, սկսվում է

յուրաքանչյուր աշակերտի աշխատանքը: Աշխատելով զույգում' աշակերտները

պետք է սովորեն խոսել, լսել, հարցեր տալ, ճիշտ և գեղեցիկ գրել ընկերոջ տետ­

րում, վիճել փաստարկներով, օգտ վել ուսումնական և տեղեկատվական գրա­

կանությունից: Աշակերտներից յուրաքանչյուրը պետք է պարզ պատկերացնի, թե

ինչ պետք է անի ինքը ժամանակի յուրաքանչյուր պահի, որպեսզի ենթախմբի

աշխատանքը լինի արդյունավետ:

Դրա համար դասարանի գրատախտակին (իսկ ավելի ճիշտ կլինի որ

յուրաքանչյուր աշակերտ տպագրված ունենա) պետք է գրել աշխատանքի ալգո­

րիթմը:

■ Վերցրու խմբի կոորդինատորից քարտը և հաշվառման թղթի վրա կետ

դիր:

■ Կատարիր քարտի առաջին մասի առաջադրանքը և գրիր այն քո տետ­

րում:

■ Կատարիր քարտի երկրորդ մասի առաջադրանքը: Հաշվառման քար­

տում կետը փոխարինիր խաչով:

■ Քո ենթախմբում գտիր զուգընկեր:

■ Նստեք կողք-կողքի: Բացատրիր ընկերոջդ քո քարտի առաջին

առաջադրանքը և նրա տետրում անհրաժեշտ գրառումներ կատարիր:

Պատասխանիր նրա հարցերին: Ընկերոջդ ստուգող հարցեր տուր:

■ Լսիր ընկերոջդ բացատրությունը նրա քարտի առաջին առաջադրանքի

վերաբերյալ: Ստուգիր, թե նա ինչպես է գրառումներ կատարում քո

տետրում:

■ Փոխանակվեք քարտերով և կատարեք նոր քարտի երկրորդ առաջա­

դրանքը:

■ Ստուգեք երկրորդ առաջադրանքները:

- Եթե դրանք ճիշտ են լուծված, շնորհակալություն հայտնեք միմյանց և

նոր ընկեր գտեք ձեր փոքր խմբում:

- Եթե դրանց լուծումը չի համընկնում, ապա ստուգեք լուծումները,

գտեք և ուղղեք սխալները:

■ Հաշվառման քարտի վրա խաչը վերցրու շրջանակի մեջ:

23

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

■ Քո ենթախմբում նոր ընկեր գտիր և աշխատիր նրա հետ նույն ալգորիթ­

մով:

Առաջադրանքների փոխանակման մեթոդիկան

Ուսուցիչը «Կրճատ բազմապատկման բանաձևեր» բաժնի համար կազ­

մած քարտերը բաժանում է դասարանի աշակերտներին: Աշակերտների մի մասի

մոտ լինում է ԿԲԲ1-ը, մյուսների մոտ' ԿԲԲ2-ը, երրորդների մոտ' ԿԲԲՅ-ը և

այսպես շարունակ: Տարբեր քարտեր ունեցող աշակերտները ենթախմբեր են

կազմում:

Աշխատանքը կատարվում է հետևյալ կերպ:

Նախ կազմվում է հաշվառման աղյուսակ: Հաշվառումը նպատակահար­

մար է հանձնարարել ենթախմբի անդամներից որևէ մեկին:

ԿԲԲ1 ԿԲԲ2 ԿԲԲՅ ԿԲԲ4 ԿԲԲ5 ԿԲԲ6 ԿԲԲ7

Աարգիս •

Անի •

Վարսիկ •

Անուշիկ •

Արման •

Կարինե •

Անահիտ •

Աղյուսակից երևում է, որ Կարինեին տրվել է ԿԲԲ6 քարտը: Նրա անվան

տողի և ԿԲԲ6 սյան հատման վանդակում դրվում է կետ: Երևում է նաև, որ

Անուշիկին հանձնարարված է ԿԲԲ4 քարտը, Վարսիկին՜ԿԲԲՅ և այլն:

Ուսուցիչը ենթախմբի յուրաքանչյուր անդամի հետ մանրամասն

քննարկում է քարտի առաջին մասը, աշակերտի տետրում բացատրելով'

գրառում առաջադրանքի լուծումը: Աշակերտներից յուրաքանչյուրը քարտի

երկրորդ մասը պետք է լուծի ինքնուրույն և առաջադրանքի լուծման ճշտությունը

ստուգի ուսուցչի մոտ: Դրանից հետո հաշվառման աղյուսակում նրա անվան

դիմաց կետը դառնում է խաչ: Օրինակ, եթե Արմանը լուծել է իր քարտի երկրորդ

առաջադրանքը, ապա նրա անվան դիմաց և առաջադրանքի համարի տակ կետը

փոխարինվում է խաչով: Որոշ ժամանակ հետո աղյուսակը կունենա հետևյալ

տեսքը:

24

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

ԿԲԲ1 ԿԲԲ2 ԿԲԲՅ ԿԲԲ4 ԿԲԲ5 ԿԲԲ6 ԿԲԲ7

Աարգիս +

Անի +

Վարսիկ +

Անուշիկ •

Արման +

Կարինե •

Անահիտ •

Բաժնի մեկնարկը կհամարվի յուրացված այն ժամանակ, երբ բոլորը

կատարեն իրենց առաջադրանքները:

Աղյուսակից երևում է, որ Աարգիսը, Անին, Վարսիկը և Արմանը կատարել

են իրենց առաջադրանքները ու կարող են փոխանակվել առաջադրանքներով'

աշխատելով վերը նշված ալգորիթմով: Զույգ կարող են կազմել օրինակ,

Աարգիսն ու Վարսիկը' փոխանակելով ԿԲԲ1 և ԿԲԲՅ առաջադարանքները, և

Անին ու Արմանը՜փոխանկելով ԿԲԲ2 և ԿԲԲ5 առաջադրանքները: Այս դեպքում

Աարգիսի անվան դիմաց և ԿԲԲՅ առաջադրանքի տակ կետ կդրվի, իսկ Վարսիկի

անվան դիմաց կետը կդրվի ԿԲԲ1 առաջադրանքի տակ և այլն: Աղյուսակը

կունենա հետևյալ տեսքը:

ԿԲԲ1 ԿԲԲ2 ԿԲԲՅ ԿԲԲ4 ԿԲԲ5 ԿԲԲ6 ԿԲԲ7

Աարգիս + •

Անի + •

Վարսիկ • +

Անուշիկ •

Արման • +

Կարինե •

Անահիտ •

Այսպես աշխատելով' աշակերտներից յուրաքանչյուրը կկատարի ԿԲԲ

բաժնի բոլոր առաջադրանքները:

25

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Անցած նյութի կրկնության և ամրապնդման նպատակով պարապմունք­

ների չորրորդ օրը, աշակերտները կարող են աշխատել անհատական հանձնա­

րարությունների փոխստուգման մեթոդիկայով4: Հինգերորդ օրը ուսուցիչը

ստուգողական աշխատանքով կարող է ամփոփել բաժինը:

Բաժնի մեկնարկի ժամանակ, երբ ուսուցիչն աշխատում է մեկ ենթախմբի

հետ, որպեսզի մյուս ենթախմբերի անդամներն անգործության չմատնվեն,

նպատակահարմար է, որ մեկնարկից առաջ ուսուցիչը մոտենա մյուս ենթա­

խմբերի յուրաքանչյուր անդամին և հուշի առաջին քայլը: Կամ կարելի է նրանց

հետ կազմակերպել անցած նյութի կրկնություն' ինքնուրույն աշխատանքի ձևով:

Քարտերում ընդգրկված հարցերն ու վարժություններն ընտրված են

Հ. Միքայելյանի հանրակրթական դպրոցի 7-րդ դասարանի դասագրքից5:

26

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

ԿԲԲ 11.Ինչի՞ է հավասար a կողմ ունեցող քառակուսու մակերեսր:2.Ինչի՞ է հավասար գումարի քառակուսին:

(a+b)2 =3.Ապացուցեք գումարի քառակուսու բանաձևր :

(5 + x)2 =

(x + 0,3)2 = 1 մաս

(a + 7)2 = (Зх + 8)2 =

(b + 9)2 = (6 + 3,3 у =(4 + 0,2)2 = (0,5 + х)2 = II մաս

Կ Բ Բ21. Երկու արտահայտությունների տարբերության քառակուսին հավասար է առաջին արտահայտության քառակուսուն' գումարած երկրորդ արտա­հայտության քառակուսին, հանած առաջին և երկրորդ արտահայտու­թյունների կրկնապատիկ արտադրյսւլր:

(a - b)2 =2. Ապացուցեք տարբերության քառակուսու բանաձևր:

( 7 - x ) 2 =

(x - 0,8)2 = I մաս

բ) (a - 4)2 =

(b ֊ 9)2 =

(0,7 - x )2 =

(5x ֊ 8)2 =

(9 ֊ 0,4)2 =

(2 - b)2 =II մաս

ԿԲԲՅ1. Ի՞նչ է արտահայտության խորանարդր:

3 2 3 22. Ապացուցեք, որ а =а • а և а =а • а(а +Ь)3 = а3 + За2Ь + ЗаЬ2 + Ь3

(4 + х)3 =

(х + 0,3)3 = I մաս

(а + 2)3 = (7х + 5)3 =

(b + 4)3 = (9 + 0,4)3 =

(0,9 + х)3 = (2 + Ь)3 =II մաս

27

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

ԿԲԲ 41.Երկու արտահայտությունների տարբերության իտրանսւրդր հավասար է առաջին արտահայտության խորանարդից' հանած երկրորդի խորանարդը, գումարսւծ' առաջինի և երկրորդի քառակուսու եռապատիկ արտադրյսւլր, հանած' առաջինի քառակուսու և երկրորդի եռապատիկ արտադրյսւլր:

(a -b)3 =2.Ապացուցեք տարբերության խորանարդի բանաձևը' օգտվելով գումարի խորանարդի բանաձևից:

(8 - x)3 =(x ֊ 0,7)3 =

I մաս

(a - 2)3 =

(b - 4)3 = (0,9 - x)3 =

(a - 2)3 =

(b - 4)3 = (0,9 - x)3 = II մաս

ԿԲԲ 51.Ինչի՞ է հավասար խորանարդների գումարը

a3 + b3 =2. Հաշվեք' 13, Յ3, (-3)3, (1/3)3

27x3+64y3=

(2a + b)(4a2 - 2ab + b2) = 1 մաս

125 + у3 =

(a2 + l)(a4 - a + 1) =

(3y + 2)(9y2 - 6y + 4) = II մաս(5 + 4a) (25 ֊ 20a + 16a2)=

ԿԲԲ 61. Ի՞նչ է արտահայտության խորանարդը:2..Ապացուցել, որ

a3 - b3 = (a -b)(a2 + ab + b2)

27- a3=

(4a - x)(16a2 + 4ax + x2) = 1 մաս

вх^ ^ Б х^ ^

(a2 - l)(a4 + a + 1) =

(5y - 2)(25y2 + lO y + 4) =

(6 - 7a) (36 + 42a + 49a2)= II մաս

28

Ն Ո Ր Տ Ե Խ Ն Ո Լ Ո Գ Ի Ա Ն Ե Ր

Կ Բ Բ 71. Ձևակերպեք և տարբեր տառերով գրառեք քառակուսիների տարբերու­թյան բանաձևր:

IIЪIсев

2 .Ապացուցեք քառակուսիների տարբերության բանաձևր:

(4 - х)(4 + х) =I մաս

(х - 0 ,3)(х +0,3) =

(а ՜ 2) (а + 2) = (7х - 5)(7х + 5) =(Ь - 4) (Ь + 4) = (9 - 0,4) (9 + 0,4) =(0,9 - х)(0,9 + х) = (2 ՜ Ь)(2 + Ь) = II մաս

Փորձը ցույց է տալիս, որ կոլեկտիվ ուսումնական պարապմունքները

աշակերտներին հնարավորություն են տալիս առաջ ընթանալու անհատական

տեմպով, զարգացնում են հետազոտական գործունեության և ինքնուրույն աշ­

խատանքի հմտությունները, բարձրացնում են ուսումնական խմբի յուրաքան­

չյուր անդամի ակտիվությունը:

Գրականություն

1. Մ.Մկրտչյան Կրթության կազմակերպման կոլեկտիվ եղանակի կայացման

հիմնահարցերը, էջ 10, Երևան, 2001

2. Նույն տեղում էջ 12, Երևան, 2001

3. Վ.Հովսեփյւսն Առաջադրանքների փոխանակման մեթոդիկան տարրական

դպրոցում, Նախաշավիղ, 2008-6

4. Մ.Մկրտչյան Կոլեկտիվ ուսուցման տարրերը, էջ 30, Մեթոդական ձեռնարկ

ուսուցչի համար, Երևան, 2009

5. Հ.Միքայելյան Հանրահաշիվ, էջ 166-176, Հանրակրթական դպրոցի յոթերորդ

դասարանի դասագիրք, հինգերորդ հրատարակություն, Երևան, 2006

29

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Մ ե թ ո դ ա կ ա ն

ՊԱՐԱՄԵՏՐԵՐՈՎ Խ ՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ

ՖՈՒՆԿՑԻԱՆԵՐԻ ԳՐԱՖԻԿՆԵՐԻ

ՕԳՆՈՒԹՅԱՄԲ Ս. Ա. Խաչատրյան, Ն.Ս. Դովլաթյան

Մաթ. անալիզի և ֆունկցիաների տեսության ամբիոն

Մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացում պարամետր պարունակող

խնդիրների լուծումները դժվարությամբ է ընկալվում աշակերտների կողմից: Այն

ավելի մատչելի և հասկանալի դարձնելու համար առաջարկում ենք այդ տիպի

խնդիրների լուծման գրաֆիկական մեթոդը, որը մեր կարծիքով, հնարավորու­

թյուն կտա հասկանալու խնդրի էությունը և լուծելու այն:

Դիտարկենք խնդիրներ, որոնք կարելի է լուծել գրաֆիկների օգնությամբ' մի

մասը նաև ածանցյալի կիրառմամբ: Այս խնդիրները առաջարկվում է դիտարկել

ավագ դպրոցի բնագիտական հոսքում, երբ աշակերտները տիրապետում են

լուծման տարբեր մեթոդների և կարող են դրանցից ընտրել տվյալ խնդրի

լուծման համար ամենահարմարը.

ԽՆԴԻՐ 1. a -ի ի՞նչ արժեքների դեպքում հետևյալ հավասարումը'

X2 + 4х - а = 0 .

ա) ունի արմատներ,

բ) ունի միևնույն նշանով արմատներ,

գ) ունի տարբեր նշանով արմատներ,

դ) ունի 2 դրական արմատներ,

ե) ունի 2 բացասական արմատներ:

29

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

Լուծում, հավասարումը բերենք х 2 + 4х = а տեսքի:

Դիտարկենք у = X 2 + 4х և у = а ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի գրա­

ֆիկը: Այս ֆունկցիաների գրաֆիկների հատման կետերի աբսցիսները կլինեն

հավասարման արմատները:

у

գծ.1

Գծ. 1-ից հետևում է, որ երբ.

ա) եթե а > - 4 , հավասարումն ունի արմատներ,

բ) й е (— 4;0), հավասարումն ունի միևնույն նշանի արմատներ,

գ) ո е հավասարումն ունի տարբեր նշանի արմատներ, ընդ որում'

բացասական արմատի բացարձակ արժեքը մեծ է դրական արմատի բացարձակ

արժեքից,

դ) երկու դրական արմատ չունի ոչ մի a -ի համար,

ե) а е (—4;0), համընկնում է բ)- ի հետ:

Խնդիր 2. a -ի ի՞նչ արժեքների դեպքում х 4 —2 х 2 + 3 = а հավասարումն

ունի,

ա) մեկ լուծում,

բ) երկու լուծում,

գ) երեք լուծում,

դ) չորս լուծում,

ե) լուծում չունի,

զ) ունի լուծում:

Լուծում: Հավասարումը գրառենք այսպես' х 4 - 2 х 2 = а — 3: Դիտարկենք

^ = х 4 - 2 х 2 և у = а — 3 ֆունկցիաներից յուրաքանչյուրի գրաֆիկը:

30

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

у = х 4 - 2 х 2 + 3 ֆունկցիայի գրաֆիկը կառուցել' կիրառելով ածանցյալի գա­

ղափարը:

Որից և հետևում է լուծումը.

ա) а е 0,

Բ)а - 3 = - 1 а = 2

а - 3 > 0 => а > 3 ’

а е { 2 } ս (3;°°),

գ) а - 3 = О => а = 3 ,

դ) - 1 < а - 3 < 0 , а е (2;3),

Ь ) а - 3 < - 1 , а е (-оо ;2 ),

q ) a - 3 > - l , ае[2;°°):

з. ^ ш լ֊

դրական թիվ է:

2 а + 3

5 - аհավասարման լուծումը

31

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

2 Cl + 3Նախ լուծենք 0 < ----------< 1 համակարգը:

5 - a

3 2Հեշտ է համոզվել, որ դրա լուծումն Է1 1՜Ը՝ a i

որից և գրաֆիկից բխում է լուծումը:

4. a -ի ի՞նչ արժեքների դեպքում s in x = -1 + a

չ շ )

2 ’ 3 J ’

■ հավասարումը 0:

միջակայքում ունի լուծում:

Երբ X £ ապա 0< sinx< -^ -: Հետևաբար' 0< < - յ : Որտեղից

կստանանք 0 < l + a < l կամ - l < a < 0 :

Ինքնուրույն աշխատանքի համար առաջարկվում է նշված մեթոդներով

լուծել նաև հետևյալ խնդիրները:

I. a -ի ի՞նչ արժեքների դեպքում.

1) X 2 + X + CI = 0,

2 ) x 2 + 4 x + 3a = 0 ,

3 ) x 2 - 3 x + 3a = 0 ,

4 ) х 2 + 1 0 x - 5 a = О

հավասարումն ունի,

ա) արմատներ,

բ) միևնույն նշանով արմատներ,

գ) տարբեր նշանով արմատներ,

դ) երկու դրական արմատներ,

ե) երկու բացասական արմատներ:

2

32

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

II. 1) a -ի ի՞նչ արժեքների դեպքում X 3 - 3 х = а հավասարումն ունի.

ա) լուծում,

բ) մեկ լուծում,

գ) երկու լուծում,

դ) երեք լուծում,

ե) չորս լուծում,

զ) լուծում չունի:

2) Քանի՞ արմատ ունի х 3 - З х 2 = а հավասարումը, երբ - 4 < а < 0 :

3) Քանի՞ արմատ ունի - х 3 + З х 2 — 2 = а հավասարումը, երբ а < —2:

4) Քանի՞ արմատ ունի З х 2 —х 3 = а հավասարումը, երբ 0 < а < 4:

III. 1) о ֊ի ի՞նչ արժեքների դեպքում.

ա) 2 = ---------- հավասարման լուծումը բացասական թիվ է,За ֊ 2

բ) lo g 3 X = (4 - a)a հավասարման լուծումը մեկից մեծ թիվ է,

1 aգ) lo g 3 X = --------- հավասարման լուծումը մեկից փոքր թիվ է,

1 + 2 a

4 - 3 aդ) (0 ,7) = ---------- հավասարման լուծումը բացասական թիվ է,

a

3ե) 3 = -------- հավասարման լուծումը դրական թիվ է,

3 + a

զ) lo g 0 1 x = 2a (a — 1) հավասարման լուծումը1 ֊ից մեծ թիվ է,

է) lo g 0 2 X = a 2 - 5a հավասարման լուծումը 1-ից փոքր թիվ է:

IV. a -ի ի՞նչ արժեքների դեպքում.

ж 1միջակայքում ունի լուծում,

З а - 2ա) c o s x = ----------հավասարումը

. 2 - 2 ap ) s in x = ---------- հավասարումը

ж ж

6՜’ 6՜միջակայքում լուծում չունի,

33

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

1 + 3 аգ)է^ = — -— հավասարումը

Դ) ctgx = ■

3

2 - 5 a

Վ

2հավասարումը

ж ж

4 ’ 2

միջակայքում լուծում չունի,

միջակայքում լուծում չունի:

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Л. И. Звавич, Д . И. Аверьянов, В. К. Смирнова “Алгебра и начало анализа”

Сборник заданий, Москва, “Д р о ф а ”, 1997.

2. Գ. Գևորգյան, Ա. Սահակյան Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի

տարրեր 10, Երևան, էդիթ պրինտ, 2005:

3. Հ. Ս. Միքայելյան “Հանրահաշիվ 8” Երևան, «Հայ էդիթ», 2000:

4. Ռ. Ավետիսյան, Ռ. Դավթյան, Ռ. Տոնոյան, Մաթեմատիկայի խնդիրների շտե­

մարան, Երևան, 2000:

34

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

ՈՐՈՇ ՊԱՐԱՄԵՏՐԱԿԱՆ ԱՆՀԱՎԱՍՍՐՈՒՄՆԵՐԻ ԼՈՒԾՄԱՆ

ԱԼԳՈՐԻԹՄՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆԳ. Վ. Դալլւսքյան

Ինֆորմատիկայի, ՀՏ-ի և դրանց դաս. մեթոդիկայի ամբիոն

Հայտնի է, որ պարամետրերից կախված հավասարումների և անհավա-

սարումների լուծումը հաճախ է դժվարություններ առաջացնում դպրոցականնե­

րի մոտ: Չնայած վերջին տարիներին այդ բնագավառին նվիրված գրականու­

թյան քանակի զգալի աճին, այնուհահանդերձ խնդիրը շարունակում է պահպա­

նել իր հրատապությունը: Տարբեր հեղինակների կողմից առաջարկվում են տար­

բեր մոտեցումներ նյութի մատչելիության մեծացման և ընկալման հնարավորու­

թյունների բարձրացման գործում: Սակայն «պարամետրական խնդիրներ» թե­

ման դպրոցականներից շատերի համար մնում է դժվարագույն և անհասանելի:

Սույն աշխատանքում առաջարկվում է պարզից դեպի բարդ համակարգ­

ված վարժությունների որոշակի հերթականություն, որի միջոցով փորձ է արվում

հնարավորինս մատչելի ճանապարհով դասավանդել երկու պարամետրից կախ­

ված անհավասարումների որոշակի ենթադաս:

Աշխատանքը սկսում ենք ամենապարզ a x < b անհավասարումից և այն

հանգամանքի մեկնաբանությունից, թե ինչ ասել է պարամետր, անհայտ փոփո­

խական, հատուկ ուշադրություն դարձնելով դրանց տարբերության մանրամասն

բացատրության վրա: Մեր մոտեցումը հիմնվում է այն գաղափարի վրա, որ

առաջին հերթին երեխային պետք է սովորեցնել ընդունել պարամետրը որպես մի

թիվ, որի կոնկրետ արժեքը լուծման պահին հայտնի չէ: Հարկավոր է առանձնաց­

նել գործողությունների այն շարքը, որի կատարումը առաջ է բերում պարամետ­

րի արժեքները սահմանափակող պայմաններ: Դրանցից հատկապես պետք է

առանձնացնել պարամետրի վրա բաժանման գործողությունը:

Վերոհիշյալ անհավասարումը դիտարկելիս շատերիս է հանդիպել սովո­

րողի շուտափույթ պատասխանը' x < — : Անհրաժեշտ է նմանատիպ պւստաս- - a

խանների նկատմամբ հենց սկզբից դրսևորել խիստ քննադատական վերաբեր­

մունք' օգտագործելով ոչ միայն բացատրական աշխատանք, այլև հոգեբանա -

մանկավարժական ազդեցիկ մոտեցումներ: Մեր կարծիքով դա կարող է հիմնա­

րար ազդեցություն ունենալ հետագայում նույնպիսի սխալներ թույլ չտալու կա­

րևոր գործում:

Եվ այսպես, քննարկում ենք a x < հ անհավասարումը: Ինչպես միշտ,

ալգորիթմը սկսում ենք տվյալների մուտքագրումից, այսինքն' a ֊ի և ծ ֊ի արժեք­

ները մուտքագրելուց: Շարունակությունը արդեն պայմանավորված է a ֊ի արժե­

35

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

քով: Այստեղ է, որ անհրաժեշտություն է առաջանում գործածել «եթե» բառը: Եվ

ընդհանրապես, հարկ է աշակերտի ուշադրությունը հրավիրել այդ «եթե» բառի

վրա, քանի որ հաճախ հենց այդ բառով են սկսվում պարամետրական խնդիր­

ների լուծումները: Բացի այդ, ի տարբերություն հավասարումների, որոնց լուծ­

ման ժամանակ էական դեր է կատարում պարամետրի 0 դառնալ կամ չդառնալը,

անհավասարումներում էական է պարամետրի դրական կամ բացասական լի­

նելը: Այսինքն' a x < b անհավասարման լուծումը պետք է սկսել հետևյալ կերպ,

b bեթե a> 0, ապա х< — , այլապես եթե а< О, ապա х> — : Վերջին դեպքում,

а а

այսինքն' երբ а = 0 , էական են դառնում նաև ծ ֊ի արժեքները'

(а = 0 (а = 06 > 0 , 6 < 0 , 6 = 0: Այսպես, եթե Հ ապա x e 0 , եթե Հ ապա

fa = 0x e R , եթե < , ապա ևս x e R ՛ . Նկատենք, որ վերջին երկու դեպքերում

[b > 0

առաջացան նույն պատասխանները, հետևաբար հարկավոր է միավորել այդ

\а = 0դեպքերը' կստացվի. եթե < , ապա x e R:

[ b>0

Ահա այս փոքրիկ օրինակի մանրամասն բացատրությունը, սովորողների

հաջողությամբ ընկալման դեպքում, կարող է հիմք հանդիսանալ նրանց նմանա­

տիպ, սակայն ավելի բարդ ու հետաքրքիր անհավասարումների լուծման ալգո­

րիթմների դասավանդման գործում: Ուսուցման այդ ճանապարհին հանդիպող

ամենատարածված խնդիրը կայանում է նրանում, որ աշակերտը սկզբնական

շրջանում հաճախ է շփոթում պարամետրի և անհայտ մեծության արժեքները:

Անհրաժեշտ է հատուկ ուշադրություն դարձնել նաև պատասխանի գրելաձևին,

այն պետք է ունենա հետևյալ ֆորմատը'

եթե պարամետրի արժեք, ապա' անհայտ մեծության արժեք:Հաջորդ էտապում, մենք առաջարկում ենք դիտարկել լուծման ալգորիթմի

տեսանկյունից ավելի հեշտ, սակայն ինչ-որ չափով շփոթեցնող տեսք ունեցող

հետևյալ անհավասարումները.

a2 x <b , (a2 + l)x > b

a x < b 2 , ax > b2 +1

a 3 x<b , a3x > b2 + 1

Որոշ դպրոցականներ ոչ պակաս թյուրիմացության մեջ են ընկնում, երբ

հանդիպում են անհավասարումների, որոնց անհայտը մասնակցում է անհավա­

սարման նշանի և՜ ձախ, և՜ աջ կողմերում, այսպես.

36

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

а х <(а2 +1 )x + b

- ( a - 2 ) x > ( a + 2)x + b2 .

a 2 x - 2b < a x + b -1 Նրանք շտապում են անմիջապես գրառել x -ի գործակցի վերաբերյալ ար­

դեն իսկ իրենց հայտնի պայմաններից որևէ մեկը' նույնիսկ չնկատելով, որ

տրված անհավասարումը այլևս «ստանդարտ» տեսքի չէ:

Այսքանով կարելի է ավարտել գծային պարամետրական անհավասւսրում-

ների քննարկումը և անցնել քառակուսային անհավասարումներին: Հարկ եմ

համարում այդ պրոցեսը սկսել հետևյալ պարզագույն անհավասարումից. x 2 < a :

Եթե a < 0 ^ i e 0 , եթե а > О => x e (—J a , 4 а ) , այլապես, եթե а = 0 => х = 0 : Այս

քննարկման բնական շարունակություն կարելի է համարել a x 2< b անհավա-

սարման դիտարկումը: Եթե а > 0 => x2 < — , այլապես, եթե а < 0 => x2 > — , այլա-a a

fa = 0 [а = Оպես, եթե Հ =>xe i ? , այլապես, եթե Հ ^ х ё 0 : Վերջին երկու դեպքե­

րում վերջնական պատասխանը ստացված է, մինչդեռ առաջին երկու դեպքերը

բերվում են վերը դիտարկված պարզագույն անհավասարմանը: Այստեղ ևս,

նյութի ամրապնդման համար, առաջարկվում է կազմել f {a)x2<g{b) տիպի

(որտեղ / ֊ը, g -ն բազմանդամներ են) անհավասարությունների օրինակներ և մի

մասը հանձնարարել որպես ինքնուրույն կամ տնային առաջադրանք:

Շարունակելով քառակուսային պարամետրական անհավասարումների

թեման, անցնենք թերի քառակուսային անհավասարման մյուս տիպին.

a X 2 + b x < О

կամ որ նույնն է' х(ах + Ъ) < 0 (1)

Լուծենք այն միջակայքերի եղանակով: Ունենք x = 0 և a x = —b :

I դեպք. а = 0 => ( 1 ) <^>6x <0 : Եթե b> 0 => х < 0 , այլապես, եթե

b < 0 => х > 0 , այլապես' х е R :

II դեպք, а > 0 : Ունենք

1) { а х + 6 > 0 ^ I х > ֊ — ՛Լ а

ш) b > 0 => х е [ - — ,0] : р ) 6 < О ^ > х е 0 : а

37

Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն

2> f c +° » < 0 - x<-a

iu) ծ > 0 => x e 0 : բ) ծ < 0 => x e [ 0 ; - — ]:a

III դեպքը' երբ a < 0 , քննարկվում է նույն ձևով:

(1) անհավասարման ալգորիթմական լուծումը փոքր ինչ շատ ենթւս-

դեպքեր է պարունակում: Եթե դա նոր դժվարությունների առաջացման պատճառ

հանդիսանա, ապա կարելի է նշված խնդիրը շրջանցել' դիտարկելով

a x 2 + b x < 0 անհավասարումը որպես a x 2 + b x + c < 0 անհավասարման

մասնավոր դեպք' երբ с = 0 : Վերջինս լուծելիս, երբ а Փ- 0 , առաջ է գալիս տար­

բերիչի' D = b2 - 4ac , ինչպես նաև х г , х 2 արմատների հաշվման անհրաժեշ­

տություն: Քննարկենք լուծման ընթացքը.

I դեպք' а> 0: Եթե D < О = > х е 0 , այլապես, եթե D > 0 = > x e [ x 1;x 2],

այլապես' x = Xj = x 2:

II դեպք' a < 0: Եթե D < 0 =̂> x e R , այլապես, եթե

D > 0 х ё (-оо , Xj ] и [ х 2 , + °°):

Հաջորդ էտապում նպատակահարմար եմ գտնում զբաղվել այնպիսի ան-

հավասարումների ուսումնասիրմամբ, որոնք ի վերջո բերվում են վերը դիտարկ­

ված անհավասարումների: Դրանցից մասնավորապես կարելի է նշել, այսպես

а ,կոչված, «հակադարձ գծային» անհավասարումները, օրինակ' — > b , որը

X

X 2 {փ 0) արտահայտությամբ բազմապատկելով բերվում է b x 2- a x < 0 ան-

հավասարմանը: Նույն ճանապարհով են լուծվում «հակադարձ քառակուսային»ր տ \

> f(b ) տիպի բոլոր անհավասարումները, երբ / ֆունկցիան որոշված էX

ամենուրեք:

Ստորև առաջարկված են մի քանի անհավասարումներ, որոնք լուծվում են

վերը դիտարկված ալգորիթմների կիրառմամբ:

a x + 2 , (a3 — l ) x — 1 ,------<ь , ------------->ь,x — l x

a b _ , a 2x - 2 _ , 2— + —Г Հ 1 , — 5 ̂ b :x x x +1

38

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Օ գ ն ո ւ թ յ ո ւ ն

ո ւ ս ո ւ ց չ ի ն

ՄԵԿ ԽՆԴՐԻ ԸՆԴՀԱՆՐԱՑՄԱՆ Ծ Վ ՆՐԱ

ԼՈՒԾՄԱՆ ՄԱՍԻՆԿ.Մ.Մոսեսյան

Գրականության մեջ (տես [1]) կարելի է հանդիպել հետևյալ ձևակերպ֊

մամբ խնդրի: 5 մարդուց կազմված խմբում Ա-ն և Բ-ն ունեն հավասար թվով

ծանոթներ, իսկ մնացածները տարբեր թվով ծանոթներ: Քանի ծանոթ ունի Ա-ն:

Այս խնդիրը դժվար չէ լուծել, քանի որ մարդկանց քանակը փոքր թիվ է, և

կարելի է դիտարկել բոլոր հնարավոր տարբերակները:

Եթե խմբի մարդկանց ո թիվը հասնում է 20, 30, 50 և ավելի, իսկ խնդրի

ձևակերպումը մնում է նույն տեսքի, ապա նոր խնդրի լուծումն այնքան էլ հեշտ չի

լինում, պարզ չէ նույնիսկ խնդրի լուծումը միարժե՞ք է, թէ՞ ոչ: Այդ և նման մի

շարք հարցեր ներկա աշխատանքում ձևակերպվում են առանձին խնդիրների

տեսքով և լուծվում դրանք, օգտվելով այդ նպատակի համար ապացուցված մի

քանի թեորեմներից:

Աշխատանքը շարադրելու համար տանք որոշ սահմանումներ և կատա­

րենք մի քանի նշանակումներ1.

Դիցուք, հարթության վրա տրված են ինչ-որ կետեր (դրանց կանվանենք

գագաթներ) և այդ կետերի որոշ զույգեր (հնարավոր է նաև բոլոր զույգերը, կամ

ոչ մի զույգ) իրար են միացված ինքն իր հետ չհատվող գծերով (դրանց կան­

վանենք կողեր), ըստ որում կարևոր չէ այդ գծերի տեսքը և երկարությունը:

1 Ստորև տրված են միայն տվյալ աշխատանքի համար անհրաժեշտ սահմանումները: Դրանց ավելի ընդլայնված ցուցակի հետ կարելի է ծանոթանալ [2] աշխատանքում:

39

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Ստացված պատկերը կանվանենք գրաֆ' տրված X գագաթների և Ս կողերի

(գագաթներից կազմված զույգերի) բազմությամբ: Այն կնշանակենք G = ( X , U ) - ով:

Եթե ս = (x,y)e Ս, ապա կասենք, որ x և у գագաթները հարևան են միմյանց,

ս կողը կից է X և у գագաթներին և հակառակը' х և у գագաթները կից են ս կողին

(նկ.1):

ս

նկ.1.

Եթե ս= (x,y) t. Ս, կասենք, որ X և у գագաթները հարևան չեն միմյանց:

Տվյալ X գագաթին (хеХ) կից կողերի քանակը կոչվում է այդ գագաթի

աստիճան (կամ լոկալ աստիճան) և նշանակվում է d(x)-n\\;. Եթե d(x)=0, ապա x-ը

կանվանենք մեկուսացված գագաթ, իսկ d(x)=1 դեպքում' կախված գագաթ:

n=n(G)-ով նշանակվում է G = ( X ,U ) գրաֆի գագաթների քանակը, իսկ

m=m(G) ֊ո վ ' այդ գրաֆի կողերի քանակը:

Դիցուք, տրված է ո մարդկանցից (ո > 2) կազմված որևէ P խումբ: Այդ

խմբի ծանոթությունների G = ( X ,U ) գրաֆը կսահմանենք հետևյալ կերպ: G

գրաֆի գագաթների X բազմության տարրերը համապատասխանեցվում են P

խմբի մարդկանց, և գրաֆի կամայական x , y e X գագաթների զույգի համար,

երբ P մարդկանց խմբում x և у ֊ին համապատասխանող մարդիկ ծանոթ են միմ­

յանց, G գրաֆում տարվում է (х,у) կող (բացի դրանցից, G -ում այլ կողեր չեն

տարվում):

G-\=(X-\,U-\) և Ծշ=(ճշ,Սշ) գրաֆները կոչվում են իզոմորֆ (նույն գրաֆներն

են տարբեր ձևով պատկերված), եթե նրանց գագաթների միջև կարելի է ստեղծել

այնպիսի փոխմիարժեք համապատասխանություն, որ իրար համապատասխա­

նող գագաթների զույգերը G հ և G 2 գրաֆներում միաժամանակ լինեն կից կամ ոչ

Կից:Դիտողություն 1. Աշխատանքի սկզբում ձևակերպված խնդրում չի

նշվում, թե հետևյալ երկու հնարավոր դեպքերից ո՞րն է նկատի առնվում,

ա) խմբում յուրաքանչյուրը ծանոթ է գոնե մեկ մարդու

բ) խմբում կա մարդ, որը ծանոթ չէ ոչ մեկին:

Որպեսզի կարողանանք պատասխանել ստորև ձևակերպված բոլոր հար­

ցերին, ինչպես' ա) այնպես էլ բ) հնարավոր դեպքերում, սահմանենք մարդկանց

անհամասեռ խումբ գաղափարը:

40

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

ո մարդուց (ո> 2) կազմված խումբը կոչվում է (п,р) անհամասեռ խումբ,

որտեղ п > 2 , р > 0 , եթե խմբում կա ճիշտ 2 մարդ, որոնք այդ խմբում ունեն հա­

վասար թվով ծանոթներ, մնացած բոլորն ունեն տարբեր թվով ծանոթներ, և

խմբում ամենաքիչ ծանոթներ ունեցողն ունիр թվով ծանոթներ:

{ո,0) և (и, 1) անհամասեռ խմբերի սահմանումները բնական ձևով կարելի

է փոխանցել այդ խմբերի ծանոթությունների գրաֆներին հետևյալ կերպ.

(ո,0) անհամասեռ գրաֆ է կոչվում ո գագաթ ունեցող այն գրաֆը, որում

ճիշտ երկու գագաթներ ունեն հավասար աստիճաններ, մնացած բոլոր

գագաթներն ունեն իրարից տարբեր աստիճաններ, և գրաֆում կա մեկուսացված

գագաթ:

(ո,1) անհամասեռ գրաֆ է կոչվում ո գագաթ ունեցող այն գրաֆը, որում

ճիշտ երկու գագաթներ ունեն հավասար աստիճաններ, մնացած բոլոր գա­

գաթներն ունեն իրարից տարբեր աստիճաններ, և գրաֆում չկա մեկուսացված

գագաթ (ուրեմն կա կախված գագաթ):

Դիտողություն 2. Նկատենք, որ р > 1 դեպքում չի կարող գոյություն

ունենալ (п,р) անհամասեռ խումբ (գրաֆ):

Իրոք, հակառակ դեպքում (օրինակ, ենթադրենք р=2), գրաֆի

գագաթների աստիճանները կլինեին 2,3,...,«-1 բազմությունից, այսինքն իրարից

տարբեր ամենաշատը ո -2 թվեր: Դա նշանակում է, որ կա՜մ

գ) գրաֆում գոյություն ունեն առնվազն երեք հատ նույն աստիճանի

գագաթներ, կա՜մ

դ) գրաֆում գոյություն ունեն գագաթների առնվազն երկու տարբեր

զույգեր, որոնցից յուրաքանչյուրում գագաթների աստիճանները նույնն են:

Ե՜Վ գ), և՜ դ) դեպքերը հակասում են վերևում բերված (п,р) անհամասեռ

խմբի (գրաֆի) սահմանմանը:

Երկու հատ (п,р) անհամասեռ խմբեր (р = 0,1) կոչվում են իզոմորֆ

(նույնը), եթե նրանց տարրերի միջև կարելի է ստեղծել փոխմիարժեք համապա­

տասխանություն, որը պահպանում է «ծանոթ լինել» հարաբերությունը: Այլ կերպ

ասած երկու (п,р) անհամասեռ խմբեր կոչվում են իզոմորֆ, եթե այդ խմբերի

ծանոթությունների գրաֆներն իզոմորֆ են միմյանց: Եթե տրված (п,р) անհամա­

սեռ խմբերը իզոմորֆ չեն, կասենք որ նրանք իրարից տարբեր են:

Պայմանավորվենք, հետագա շարադրանքում, եթե այլ բան չի ասված, ո

անհամասեռ խումբ (գրաֆ) ասելով հասկանալ (и,1) անհամասեռ G n խումբ

41

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

(գրաֆ), իսկ անհամասեռ խումբ (գրաֆ) ասելով (ո, 1) անհամասեռ խումբ (գրաֆ)

(առանց նշելու խմբի մարդկանց ո թիվը) որևէ ո > 2 -ի համար:

Դիտողություն 3. Հայտնի է, որ մարդկանց ամեն մի խմբում կան եր­

կուսից ոչ պակաս մարդիկ, որոնք ունեն հավասար թվով ծանոթներ: Ուրեմն, եթե

Gn խումբը (n,p) անհամասեռ է (p = 0,1) , ապա խմբում նույն թվով (օրինակ q)

ծանոթ ունեցողների քանակը ամենաքիչը հավասար կլինի 2-ի:

Այդ ծանոթների q թիվը կանվանենք Gn խմբի (համապատասխանաբար

Gn գրաֆի) աստիճան և կնշանակենք d (G n) ֊ով:

Gn խմբի տվյալ անդամը (խմբի ծանոթությունների G n գրաֆի համա­

պատասխան գագաթը) կանվանենք խմբի (գրաֆի) ծանրության կենտրոն, եթե

այդ անդամի ծանոթների թիվը (համապատասխանաբար գրաֆի գագաթի աստի­

ճանը) հավասար է խմբի (գրաֆի) աստիճանին:

Օգտ վելով տրված սահմանումներից և նշանակումներից, վերը

բերվածից ծագող հարցերը կարելի է ձևակերպել խնդիրների տեսքով (ո

անհամասեռ խմբի կամ գրաֆի համար) հետևյալ ձևով.

1. Ո՞ր «-երի համար (ո > 2) գոյություն ունի ո անհամասեռ գրաֆ,

2. Գտնել այն «-երը, որոնց համար ո անհամասեռ գրաֆը որոշվում է

միարժեք ձևով (իզոմորֆիզմի ճշտությամբ),

3. Գտնել տրված ո թվով միարժեք որոշվող ո անհամասեռ գրաֆի աս­

տիճանը,

4. ո անհամասեռ գրաֆի ծանրության կենտրոնները նո՞ւյն հարևաններն

ունեն, թէ՞ ոչ,

5. Գտնել տրված ո թվով միարժեք որոշվող ո անհամասեռ գրաֆի կողե­

րի թիվը,

6. Գտնել տրված ո թվով միարժեք որոշվող ո անհամասեռ գրաֆի

յուրաքանչյուր գագաթի հարևան գագաթների բազմությունը:

Գիտարկենք այս խնդիրներն առանձին-առանձին. նախ {ո, 1) անհամասեռ

գրաֆների համար, իսկ հետո' առանձին դիտողությունների և դատողությունների

միջոցով, նաև(«,0) գրաֆների անհամասեռ համար:

Թեորեմ 1 . Ցանկացած ո թվի (ո > 2) համար գոյություն ունի ո անհա­

մասեռ գրաֆ:

Ապացույց 1 . Կատարենք ինդուկցիա ըստ գագաթների քանակի: «=2,3

դեպքերի համար համապատասխան գրաֆները պատկերված են նկար 2-ում.

a a Ъ

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

ա) բ)

նկ.2

Ենթադրենք թեորեմի պնդումը ճիշտ է բոլոր ո անհամասեռ գրաֆների

համար, որտեղ ո < ո 0(ո0 > 4): Վերցնենք п0 — 1 գագաթանոց անհամասեռ

G „0֊ ւ = { X , U ) գրաֆը, որում a ,bG X , d{a) = ճ?(ծ) և թող c i. X որևէ գագաթ է:

Դիտողություն 4. Պա րզ է, որ d{a) = d{b) Փ ո0 - 2, որովհետև

d{a) = d{b) = ո0 — 2 դեպքում G 1= ( ճ , Ս ) գրաֆում չէր լինի մեկ աս­

տիճանի գագաթ և, ուրեմն, գոյություն կունենար a,b-\\ց տարբեր, հավասար

աստիճաններ ունեցող գագաթների մեկ այլ զույգ, որը հակասում է անհամասեռ

գրաֆի սահմանմանը:

(i). с գագաթը միացնենք а գագաթին և G г գրաֆի բոլոր այն գագաթ­

ներին, որոնց աստիճանը մեծ է d{a)-\\ց: Կստանանք նոր ո0 գագաթանոց ան­

համասեռ G Ոoգրшֆ, քանի որ այն կունենա բոլոր p աստիճանների գագաթներ,

որտեղ \ < p < ո 0 —\ , և, բացի այդ, с գագաթը որևէ այլ գագաթի հետ կունենա

նույն աստիճանը:

Դիտողություն 5. Ենթադրենք ունենք որևէ G n գրաֆ: Հեռացնենք (и-1)

աստիճանի գագաթը (ըստ դիտողություն 4-ի այն միակն է): Կստանանք 2

բաղադրիչներից կազմված գրաֆ, որոնցից առաջին բաղադրիչը բաղկացած է

մեկ հատ մեկուսացված գագաթից (այն ստացվում է G n գրաֆի 1 աստիճան

ունեցող գագաթից), իսկ մյուսը' ո- 2 գագաթ ունեցող անհամասեռ գրաֆից'

G n_շ ֊ից: Նույն կերպ G n_2-\\ց հեռացնելով ո- 3 աստիճան ունեցող գագաթը

(ըստ դիտողություն 4-ի այն միակն է) կստանանք 2 բաղադրիչներից կազմված

գրաֆ, որոնցից առաջին բաղադրիչը բաղկացած է մեկ հատ մեկուսացված

գագաթից, իսկ մյուսը ո -4 գագաթ ունեցող անհամասեռ գրաֆից' (?ո_4-ից:

Այսպես շարունակելով, կստանանք նկար 2-ում պատկերված գրաֆնե­

րից որևէ մեկը (կախված ո թվի զույգությունից):

Ապացույց 2. Օգտ վելով դիտողություն 5-ում բերված դատողություն­

ներից, սկսելով նկար 2-ում պատկերված գրաֆներից, կարող ենք ցանկացած

ո > 4 թվի համար կառուցել անհամասեռ G n գրաֆ հետևյալ կերպ.

(i i). Եթե ո-ը զույգ է, որպես ընթացիկ (ծնիչ) գրաֆ վերցնենք նկար 2 ա)-

ում պատկերված G 2 գրաֆը, իսկ եթե ո-ը կենտ է, որպես ընթացիկ գրաֆ

43

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

վերցնենք նկար 2 բ)-ում պատկերված G 3 գրաֆը ու բոլոր £-երի համար, որտեղ

2 <k<n - 2 , Gk գրաֆից ստանանք Gk+2 գրաֆը հետևյալ կերպ (տես ստորև

բերված նկարներ 3-ը և 4-ը).

G ^ -ին ավելացնում ենք 2 հատ մեկուսացված գագաթներ և դրանցից

մեկը (օրինակ, երկրորդը) միացնում ենք առաջին մեկուսացված գագաթին ու

Gk-\\ բոլոր գագաթներին:

Թեորեմ 1-ն ապացուցված է, խնդիր 1-ը լուծված է:

Թեորեմ 2. Ցանկացած ո {ո> 2) թվի համար и-անհամասեռ գրաֆը

միակն է (իզոմորֆիզմի ճշտությամբ):

Ապացույց. «=2,3 դեպքում պնդումն ակնհայտ է (նկ.2): Ենթադրենք

թեորեմի պնդումը ճիշտ է «-ից փոքր թվով գագաթներ ունեցող անհամասեռ

գրաֆների համար (ո > 4 ) և դիտարկենք ո անհամասեռ Gn և H n գրաֆները:

Ցույց տանք, որ այս գրաֆները իզոմորֆ են միմյանց:

Օգտվենք 4 և 5 դիտողություններից.

(7ո -ում գոյություն ունի միակ g0 գագաթ, որի d(g0) = n - 1 և H ո-ում

գոյություն ունի միակ հ0 գագաթ, որի d(h0) = n — 1: Հեռացնենք այդ գագաթնե­

րը: Կստանանք gx մեկուսացված գագաթ և անհամասեռ Gn_2 գրաֆ, ինչպես

նաև /2յ մեկուսացված գագաթ և անհամասեռ H n_2 գրաֆ: Ըստ ինդուկցիայի

Gn_2գրաֆը իզոմորֆ է H n_2 գրաֆին: Համապատասխանեցնելով g0 գագաթը

/շ0 -ին և g1 գագաթը /^-ին' կհամոզվենք, որ ո անհամասեռ Gn և H n գրաֆնե­

րը իզոմորֆ են միմյանց:

Թեորեմն ապացուցված է, խնդիր 2-ը լուծված է:

Թեորեմ 3. Ցանկացած ո {ո> 2) թվի համար ո անհամասեռ Gn -

գրաֆն ունի հետևյալ աստիճանը' q = d(Gn) =

Ապացույց. Նկար 2-ում պատկերված 2 և 3 անհամասեռ գրաֆներից

երևում է , որ ո=2 և ո=3 դեպքերում թեորեմի պնդումն ակնհայտ է: Ենթադրենք,

որ այն ճիշտ է «-ից (ո > 4) փոքր թվով գագաթներ ունեցող անհամասեռ գրաֆ­

ների համար և դիտարկենք ո գագաթ ունեցող Gn անհամասեռ գրաֆը:

44

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Ըստ դիտողություն 5-ի, եթե Gn ֊ից հեռացնենք նրա {ո-1) աստիճան

ունեցող գագաթը (ըստ դիտողություն 4-ի այն միակն է), կստանանք 2 բա­

ղադրիչներից կազմված գրաֆ, որոնցից առաջին բաղադրիչը բաղկացած է մեկ

հատ մեկուսացված գագաթից (այն ստացվում է Gn գրաֆի 1 աստիճան ունեցող

գագաթից), իսկ մյուսը ո-2 գագաթ ունեցող անհամասեռ G n_2 գրաֆ է, որում

d(Gn_2) = d (G ,)֊ l = q ֊ l-

Ո ֊ 2Ըստ ինդուկցիայի q — 1 =

2ա) Ենթադրենք , որ ո-ը զույգ թիվ է.

ո2

Գ

Այդ դեպքում q = d(Gn)

բ) Ենթադրենք , որ ո-ը կենտ թիվ է.

Այդ դեպքում Գ~^ =

կամ q = d(Gn):

Ո ֊ 2 Ո - 31

а 11

1

(N

1 1

(N

1 1

<N

1

- 1 ,

Ո - 1 ո

_ 2 _ _ 2 _

Թեորեմ 3-ն ապացուցված է, խնդիր 3-ը լուծված է:

Դիտողություն 6. Թեորեմ 2-ի ապացույցի ժամանակ մենք սահմանել

ենք (i) և (i i) գործողություններ: Թեորեմ 3-ից հետևում է , որ նույն Gn անհա­

մասեռ գրաֆի վրա երկու անգամ (i) գործողությունը կատարելը համարժեք է

Gn-\\ վրա մեկ անգամ (i i) գործողություն կատարելուն, երկու դեպքում էլ

ստացվում է միևնույն Gn+2 անհամասեռ գրաֆը.

(i i) գործողության կիրառման դեպքում հեշտ է նկատել, որ եթե a և ծ

գագաթները Gn գրաֆում ունեն նույն հարևանները, ապա նրանք Gn+2 գրաֆում

ևս ունեն նույն հարևանները:

Օգտ վելով թեորեմ 2-ից, նկար 2-ում պատկերված գրաֆներից և դիտո­

ղություն 6-ից, կարող ենք պնդել, որ տեղի ունի հետևյալը.

Թեորեմ 4. Ցանկացած ո (ո> 2) թվի համար ո անհամասեռ գրաֆի

ծանրության կենտրոններն ունեն նույն հարևանները:

Խնդիր 4-ը լուծված է:

45

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Դիտողություն 7. Պա րզ է, որ թեորեմ 4-ի ձևակերպման ժամանակ ո անհամասեռ գրաֆի ծանրության կենտրոնները միմյանց հետ միացնող կողը

հաշվի չի առնվում:

Դիտարկենք {ո, 1) անհամասեռ գրաֆների

հաջորդականությունը ո > 2 -ից սկսած և {ո,0) անհամասեռ գրաֆների

G 3°,G l,G l,... ,G ° ,... հաջորդականությունը' սկսած ո> 3-ից:

Պա րզ է, որ ցանկացած к-\\ (к > 2) համար G^+1-0 ստացվում է G\-V ց

մեկ հատ մեկուսացված գագաթ ավելացնելով: Մյուս կողմից, ցանկացած p-\\

(p > 2) համար G lp -\\ ստացվում է G ^ j -ից' նրա միակ մեկուսացված գագաթը

հեռացնելով:

Ասվածից հետևում է, որ {ո,0) անհամասեռ գրաֆների համար վերևում

ապացուցված թեորեմ 1-ը, թեորեմ 2-ը և թեորեմ 4-ը նույնությամբ տեղ ունեն,

ո ո - 1իսկ թեորեմ 3-ում

2֊ը պետք է փոխարինել

2֊ով:

Օգտ վելով թեորեմ 3-ից և դիտողություն 7-ից, պարզ թվաբանական

հաշվարկների միջոցով կարելի է ցույց տալ, որ տեղ ունի հետևյալ թեորեմը.

Թեորեմ 5. Եթե G -ն

ա) {ո, 1) անհամասեռ գրաֆ է, ապա

զույգ ո թվի դեպքում m(G) ՛■ո

իսկ կենտ « -ի դեպքում m(G) ■ո ■1

բ) {ո,0) անհամասեռ գրաֆ է, ապա

զույգ ո թվի դեպքում m(G) =_ ո Հ ո - 2)

իսկ կենտ « -ի դեպքում

{ո - 1)2 m{G) = 4

Խնդիր 5-ը լուծված է:

Օգտ վելով թեորեմ 1-ի 2-րդ ապացույցում բերված ո անհամասեռ

գրաֆների կառուցման սխեմայից, ստանանք այդպիսի գրաֆների երկու շարք.

Զույգ «-երի համար նկար 3-ում բերված {ո, 1) անհամասեռ գրաֆների

շարքում, որպես ծնիչ գրաֆ, վերցված է նկար 2 ւս)-ում պատկերված G2 գրաֆը:

4

3

5

1

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

նկ .3

Կենտ «-երի համար նկար 4-ում բերված {ո, 1) անհամասեռ գրաֆների

շարքում որպես ծնիչ գրաֆ վերցված է նկար 2 բ)-ում պատկերված G 3 գրաֆը:

Դիտողություն 8. Նկատենք, որ 3 և 4 նկարներում պատկերված

գրաֆների գագաթների համարները (նիշերը) համընկնում են դրանց աստիճան­

ների հետ. նույն աստիճանն ունեցող երկու գագաթներից մեկի համարին ավե­

լացված է + նշանը:

Դիտողություն 9. Թեորեմ 2-ից հետևում է, որ 3 և 4 նկարներում պատ­

կերված անհամասեռ գրաֆների շարքերը միակն են (իզոմորֆիզմի ճշտությամբ):

Դիտողություններ 8-ից և 9-ից օգտվելով' կարելի է ապացուցել հետևյալ

թեորեմի ճշմարտացիությունը.

Թեորեմ 6.

ա) 2к գագաթ (к > l ) ունեցող ցանկացած (2£,1) անհամասեռ գրաֆն ունի

1 2&-1 աստիճանի գագաթներ, և նրա р աստիճանի (\< р <2к ֊ 2 )

գագաթը կից է 2^—1,.,.,2к—р աստիճանի գագաթներին: к և к+ աստիճանի

գագաթները կից են միմյանց (նկ.Յ):

v

նկ .4

47

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

բ) 2£+1 գագաթ {k > l ) ունեցող ցանկացած (2£+1,1) անհամասեռ

գրաֆն ունի 1,...,£,£+,...,2£ աստիճանի գագաթներ, և նրա р աստիճանի

(l < p < 2k — l ) գագաթը կից է 2к,..., lk - p +Հ աստիճանի գագաթներին: к և к+

աստիճանի գագաթներն իրար կից չեն (նկ.4):

Խնդիր 6-ը, («, 1) անհամասեռ գրաֆների համար լուծված է:

Դիտողություն 10. («,0) անհամասեռ գրաֆների վերաբերյալ 6-րդ

խնդրի լուծումը ստանալու համար նկատենք, որ տեղի ունի հետևյալ պնդումը.

Պնդում. Gn գրաֆը («, 1) անհամասեռ է (ո> З) այն և միայն այն

դեպքում, երբ նրա լրացում Gn գրաֆը («,0) անհամասեռ է.

Կենտ «-երի համար նկար 5-ում բերված («,0) անհամասեռ գրաֆների

շարքում, որպես ծնիչ գրաֆ, վերցված է նկար 2ւս)-ում պատկերված G2 գրաֆը:

7

նկ.5

Զույգ «-երի համար նկար 6-ում բերված («,0) անհամասեռ գրաֆների

շարքում, որպես ծնիչ գրաֆ, վերցված է նկար 2 բ)-ում պատկերված G3 գրաֆը:

նկ.6

3շ 4

0

4

48

Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն

Օգտ վելով դիտողություն 7-ից և թեորեմ 6-ից, կարող ենք տալ խնդիր 6-ի

լուծումը {ո,0) անհամասեռ գրաֆների դեպքում: Ձևակերպենք այն որպես

թեորեմ.

Թեորեմ 7.

ա) 2к+2 գագաթ {к > l) ունեցող ցանկացած (2k+2,0) անհամասեռ

գրաֆն ունի 0,1 ,...,к,к+,...,2к աստիճանի գագաթներ և նրա p աստիճանի

(l < р < 2 к — \) գագաթը կից է 2k,.. .,2k—p +Հ աստիճանի գագաթներին: к և k+

աստիճանի գագաթներն իրար կից չեն (նկ.6):

բ) 2£+1 գագաթ ( £ > l) ունեցող ցանկացած (2£+1,0) անհամասեռ

գրաֆն ունի 0 , 1 , . . . ,2£-1 աստիճանի գագաթներ և նրա p աստիճանի

(l < р < 2 к — 2) գագաթը կից է 2^—1,.,.,2к—р աստիճանի գագաթներին: к և к+

աստիճանի գագաթները կից են միմյանց (նկ.5):

Խնդիր 6-ը, {ո,0) անհամասեռ գրաֆների դեպքում ևս լուծված է:

Այսպիսով, վերևում ձևակերպված 6 խնդիրները, բոլոր հնարավոր (п,р)

անհամասեռ գրաֆների համար (այսինքն, բոլոր ո> 2 և բ=0,՜\ դեպքերում),

լուծված են:

Գրականություն

1. О .И . М ельников , З а н и м а т е л ь н ы е за л а ч и по т е о р и и гр а ф о в , М инск ,

2 001 г ., 144 с т р .

2. Կ. Մ. Մոսեսյան, Հ. Հ. Պետրոսյան, Խնդիրների լուծումր գրաֆների միջոցով

«Մաթեմատիկան դպրոցում», թիվ 1-2 (58-59), 2008թ

49

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

Մ ե ր փ ո ր ձ ը

ՏՈՀՄԱԾԱՈԸ ՈՐՊԵՍ ՅՈՒՐՕՐԻՆԱԿ ՄՈԴԵԼ

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅՈՒՄ Ավետիք Արամի Ավետիսյան

Շիրակի մարզի Գեղանիստի

Մանվել Բաղդասարյանի անվան միջնակարգ դպրոց

«Մաթեմատիկան բնական օրենքների, ինչպես նաև գեղարվեստների արմատն ու ծաղիկն է»:

Ռա ո ւ մ ե ր

«Մաթեմատիկա, հանրակրթական դպրոց առարկայական չափորոշիչ

և ծրագիր» ձեռնարկում նշված է. - «թեմաների ուսուցման միջոցով ձևա վորել

մոդելավորման առանձնահատկությունների իմացություն, կիրառական իրա ­

դրությունների մաթեմատիկական մոդելավորման կարողությունների զա ր­

գացում»:

Մոդելը' լատ, m odu lus-նշանակում է' չափ, նմուշ, տիպար:

Մոդելավորումը' օբյեկտի (համակարգ, կառուցում, գործընթաց) հե­

տազոտումը դրա մոդելի միջոցով:

Հաճա խ խոսվում է մաթեմատիկական մոդելավորման մասին, որն ան­

շուշտ կարևոր նշանակություն ունի տվյալ օբյեկտի ուսումնասիրության գոր­

ծում, սակայն հա կա դա րձ գործընթացին հազվագյուտ դեպքում ենք հանդի­

պում:

Մույն հոդվածում վերևում ասված հակա դա րձ գործընթացի լուսա բա ­

նումը կկւստարենք կոնկրետ թեմաների օրինակներով:

50

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

Յուրօրինակ մոդելավորում է մաթեմատիկայում տոհմածառը:

Կքննարկենք հա նրահաշվից «Քառակուսային եռանդամ» թեմայի կա­

պը կենսաբանության հետ (փոխաբերական իմաստով) տոհմածառի տեսքով,

գուցե անվանենք կենսաբանական մոդելավորում:

Կդիտարկենք նաև երկրաչափուփթյունից «Քառանկյուն» թեմայի գծա ­

պատկեր տոհմածառը և «Ներգծյա լ անկյուն» թեորեմի ապացուցման հիմնա­

վորումների (փաստարկների) կապերի բացահայտման պատկերումը աղյու­

սակ տոհմածառի տեսքով:

Քառա կուսա յին եռանդամ թեմայի մասին ակնառու և ամբողջական

պատկերացում է տալիս նրա ամփոփումը տոհմածառի տեսքով, որը ներկա ­

յա ցվա ծ նկարում պա տ կերվա ծ է խնձորենու տեսքով:

Ինչպես գիտենք, արմատային համակարգն ու տերևները ա նհրա­

ժեշտ գործոններ են պտղատվության համար:

Տերևով ներկա յացված պայմանի հետևանք է պտուղի մեջ գրվա ծ

բանաձև արդյունքը: Օրինա կ տերևում - — Հ հ (Г^) պայմանի հետևանքը

bX = -------պտղում քառակուսա յին հավասարման արմատն է: Այս ձևով ներ-

2 a

կա յացված քառակուսա յին եռանդամի հետազոտության ամփոփման ուր­

վագիծը փոխաբերական իմաստով կապվում է պտղատու ծառի հետ ' ա ռար­

կա յացնելով թեման, ինչը ավելի պատկերավոր է, գրավիչ, շարժում է ա շա ­

կերտների հետաքրքրասիրությունը, նպաստում իմաստա վորվա ծ հիշողու­

թյան:

Հատ կա նշա կա ն է, որ մաթեմատիկական իմաստով արմատը' Հ ՜

նույնացվում է (կապվում) ծառի արմատի հետ, ավելի «ակնառու» դարձնելով

արմատի գաղափարը:

Պա կա ս կարևոր չէ քառակուսա յին եռանդամի 0-ի հավասարեցումը,

ա յսինքն' a x 2 +bx + c = 0 քա ռակուսա յին հավասարման համապատասխա­

նեցումը գետնի 0-ական մակարդակի հետ:

Տա րբերիչի ' D -ի նշանից կախված' քառակուսա յին եռանդամը տալիս

է արմատներ, որոնք պտղի առաջացման նախապայման լինելով ' արմատ­

ների բանաձևերը պատկերում են թափվող պտուղների տեսքով: (նկ. 1)

51

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

52

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

Հանրահաշվի դասերին տոհմածառի

օգտագործման մեթոդները

1. Նախապես ցուցադրական մեծ պաստառի (մեր թղթի) վրա

պա տ կերվա ծ ծառի ուրվագիծը միայն ճյուղերով և ա րմատներով փա կցնել

պատին և յուրաքանչյուր դասի ա նցա ծ թեմային համապատասխան ճյուղին

կպցնել կանաչ տերևի ու կարմիր պտուղի տեսքով կպչուն թերթիկներից

կտրված պատկերներ վրաները գրված, օրինա կ'

Համապատասխ ան ճյուղին գրա ռել թեմայի անվանումը, տվյալ

օրինակում գրա ռել «Լրիվ քա ռա կուսու առանձնացումը» և շա րունա կելով

այսպես' թեմայի վերջում կստանանք «Քառակուսային եռանդամի տ ոհմա ­

ծառի գունավոր զարդանկարը:

2. Կարելի է բոլոր այս գործողությունները կա տ արել միայն թեման

ամփոփելիս, օգտ ա գործելով «Շրջագայություն պատկերասրահում» մեթոդը,

նախապես պայմանավորվել, որ յուրաքանչյուր խումբ պետք է պատրաստի

տ ոհմածա ռ' ուսուցչի կողմից ա ռա ջա րկա ծ հարցախմբի միջոցով և ա շա ­

կերտների կազմած պլանին համաձայն: Յուրաքանչյուր խմբի կա տարա ծ

աշխատանքը փակցվում է միջանցքի (սրահի) պատերին: Կազմվում են նոր

խմբեր' նախկին խմբերի մեկական անդամներից, որոնք հերթով մոտենում

են պատերին փ ա կցվա ծ նկարներին, և խմբի այն աշակերտը, որը մասնակ­

ցել է պատ րա ստ վա ծ նկարի աշխատանքներին, մանրամասն բա ցա տ րու­

թյուններ է տալիս մյուսներին: Եվ այսպես շա րունա կ' մինչև յուրաքանչյուր

խումբ կմոտենա փակցված նկարներին: Շրջագայությունից հետո կազմա­

կերպել քննարկումներ և հանձնարարել, որ նախկին խմբերը վերանայեն

իրենց կա տ արա ծ ա շխ ատանքը' օգտ ա գործելով մյուս խմբերի փորձը,

ստ եղծել կա տարյա լ տոհմածառ:

3. Կարելի է նաև ուսուցչի կողմից հա նձնարա րա ծ աշխատանքային

պլանով հա նձնա րա րել տանը կատարել: Հա ջորդ դասին քննա րկել 2 կամ 3

աշխատանք, խրախուսել լավագույն աշխատանքը և նման աշխատանքները

հա վաքել թղթապանակներում:

а ф 0 կանաչ

կարմիր :

53

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

Ներգծյալ անկյան մասին թեորեմի

ապացույցի տոհմածառը

Առավել բարդ թեորեմները ա պացուցելիս օգտ ա կա ր կլինի հանձնա-

րարել աշակերտներին պ ա տ րա ստ ելու պաստառ թղթի մեծ թերթից, որտեղ

պ ա տկերել թեորեմի փաստարկների, բաղադրիչների կապերի համակարգի

տոհմածառը:

Ասվածը ցուցա դրենք օրինակով:

Վերցնենք ներգծյա լ անկյան մասին թեորեմը, ներգծյա լ անկյունը

չափվում է այն աղեղի կեսով, որի վրա հենվում է (I դեպք): Թեորեմը ապ ա ­

ցուցելու համար անհրաժեշտ է գծա գիրը տ եղավորել պաստառի կենտրոնում

(գծ. 2): Այդ թեորեմի ապացուցման ժամանակ հարկ է լինում հենվել'

1) միևնույն շրջա նա գծի շառավիղների հավասարության հատկության վրա,

2) հավասարասրուն եռանկյան հիմքին առընթեր անկյունների հա վա սա ­

րության մասին թեորեմի վրա, 3) «եռանկյան արտաքին անկյունը հավասար

է նրան ոչ կից ներքին անկյունների գումարին» թեորեմի վրա, 4) «կենտ­

րոնային անկյունը չափվում է այն աղեղով, որի վրա նա հենվում է» թեորեմի

վրա:

Այդ առաջադրություններին համապատասխանող գծա գրերը տեղա­

վորենք կենտրոնական թեորեմին համապատասխանող գծա գրի շուրջը դա­

սավորված չորս քա ռա կուսիների մեջ և ուղիղ գծերով ցույց տանք կապ­

վածությունը կենտրոնական թեորեմի հետ: Այդ թեորեմներից ամեն մեկը իր

հերթին կապված է այն առաջադրությունների հետ, որոնց վրա նրանք

հենվում են: Միևնույն շրջա նա գծի շառավիղների հավասարության մասին

առաջադրությունը հիմնվում է շրջա նա գծի սահմանման վրա: Հա վա սա րա ­

սրուն եռանկյան հատկությունը հիմնված է այն բանի վրա, որ գագաթի ան­

կյան կիսորդը հանդիսանում է համաչափության առանց այն երկու կետերի

համար, որոնք գտնվում են նրա կողմերի վրա և հավասարապես են հեռա ­

ցա ծ գագաթից, ինչն, իր հերթին հետևում է առանցքային համաչափության

սահմանումից:

Եռանկյան արտաքին անկյան մասին թեորեմը հենվում է զուգահեռ

ուղիղների մոտ ա ռա ջա ցող խաչադիր անկյունների և համապատասխան ան­

կյունների հավասարության մասին թեորեմից, ինչը հիմնվում է զուգա հեռու­

թյան աքսիոմի վրա: Վերջապես, կենտրոնային անկյան մասին ա ռա ջա դրու­

թյունը հետևում է միևնույն շրջա նա գծի կենտրոնային անկյունների և ուղիղ­

ների հարաբերակցության մասին թեորեմից:

54

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

Այդ բոլոր առաջադրությունները տ եղադրելով պաստառի վրա և տա­

նելով համապատասխան կապեր, մենք ստանում ենք երկրաչափական առա-

ջադրոթյունների պարզ և ակնառու պատկերը: Ընդ որում կարևոր է ուշա ­

դրություն դա րձնել այն բանի վրա, որ երկրաչափության մեջ մեր կողմից

բա ցահա յտ վա ծ կապերը վերջիվերջո հասցնում են հիմնական հա սկա ցու­

թյունների, աքսիոմների և սահմանումների:

Հ " \ АՀ . \ \ •V 0 ) В \

* \Սահմանում Սահմանում

, А

В< $\

1

ՏԲ )2 А

в< 70

ОА=ОВ

ZBOC=ZA+ZB ZAOB=yjAB

И / о

անկյուններВ ^

7համապատասխան

անկյուններ

Աքսիոմ

55

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

Քառանկյան տոհմածառը

Նկ. 3-ում պա տ կերվա ծ է քառանկյան տեսակների ճյուղավորումը,

ինչը ցույց է տված սլաքներով: օրա գրով ուսումնասիրվում է ուռուցիկ քա ռ­

անկյունը իր տ եսա կներով' զուգա հեռագիծ, սեղան, ա րտ ա գծյա լ և ներգծյա լ

քառանկյուններ, դրանց վերաբերյա լ հատկություններ և հայտանիշներ:

56

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

Այդ հատկությունները «ժառանգում են» իրենց ենթատեսակները,

բացի դրանից ենթատեսակները ունեն իրենց առանձնահատկությունները և

իրենց հատուկ հայտւսնիշները: Տոհմածառում գծիկներով ցույց է տրվում, որ

մասնավորապես սեղանը (այդ թվում հավասարասրուն սեղանը), կարող է լի­

նել արտագծյալ: Տոհմածառի միջոցով աշակերտների մասնակցությամբ կա­

րելի է քննարկել յուրաքանչյուր ճյուղում ենթատեսակի հատկություններն ու

հայտանիշները, նախկին տեսակի «ժառանգած» օժտվածություններ և օժտ ­

վածության նոր դրսևորումները, մեկը մյուսի հետ կապերն ու առնչություն­

ները, ընտ րելով հարմար մեթոդներ:

Տոհմածա ռերի օգտ ա գործումը դասերին զարգացնում է ա շա կերտ ­

ների պատկերային մտածողությունը, իմա ստ ա վորվա ծ հիշողությունը, բա ­

ցահայտում է թեմայի և ենթաթեմաների ավելի խորը կապերն ու առնչու­

թյունները և ամենագլխ ավորը' ամփոփում է թեման, ձևա վորելով ա մբողջա ­

կան պատկեր:

Գրականություն

1. Մաթեմատիկան դպրոցում, N 4, 2004թ, էջ 46:

2. ՀՍՀ, հատոր 7, էջ 663:

3. Հ.Ս. Միքայելյան, Հա նրա հա շիվ 9, Երևան, 2007թ.:

4. Լ. Ս. Աթանասյան և ուրիշներ, Երկրաչափություն 8, 2007թ.:

5. Ս. է. Հակոբյան, Երկրաչափություն 7-9,Ուսուցչի ձեռնարկ 2006թ.:

6. Ս. է. Հակոբյան, է. Ի. Այվազյան և ուրիշներ, Մաթեմատիկա, ուսուցիչների

վերապատրաստ ումների պլան և նյութեր, Երևան, 2006թ.:

7. Աշակերտների տրամաբանական մտածողության զա րգա ցումը մաթեմա­

տիկայի դպրոցական դասընթացում, Երևան, 1957թ. էջ 30:

57

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

ՇՐՋԱՆԻՑ ՄԻ ՔԱՆԻ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ

ՄԱՐՄԻՆՆԵՐԻ ՊԱՏՐԱՍՏՄԱՆ ՈՒ ՆՐԱՆՑ

ԾԱՎԱԼՆԵՐԻ ԱՐԺԵՔՆԵՐԻ ՄԱԱԻՆ Գուրգեն Նալբանդյան, Վարուժան Առաքելյան

Արցախ ի պ ետ ա կա ն հա մա լսա րա ն

Տնտեսագիտության և գործարարության զարգացման արդի ժամանա­

կաշրջանում մեծ հետաքրքրություն են ներկայացնում կիրառական բնույթի

խնդիրներ կազմելը ու նրանց լուծումը:

Խնդիր 1 . Տրված է R շառավիղով շրջան:

Պահանջվում է շրջանից պատրաստել գլան (հիմքերի

հետ միասին), որպեսզի այն ունենա հնարավորինս

մեծ ծավալ (նկ. 1):

Նախ նկատենք, որ այս խնդիրը չի կարող դի­

տարկվել որպես զուտ էքստրեմումի բնույթի խնդիր,

բայց պարունակում է պահանջ շրջանի մակերեսը

առավելագույն չափով օգտագործելու (քիչ թափոն

ստեղծելու) վերաբերյալ:

Լուծում: Շրջանին ներգծենք քառակուսի, կողմի երկարությունը նշանա­

կենք а ֊ով: А В = a ; EO = — \ A.OEB-^ց a = R\f2\ Քառակուսու ամեն մի ՚ 2 ~

կողմի վրա առաջանում է շրջանային սեգմենտ: Սեգմենտներից կտրենք 4

կիսաշրջաններ, որոնց զույգերով միացումից կստանանք 2 շրջաններ, գլանի

հիմքերը պատրաստելու համար:

Դիտարկենք A KB սեգմենտը, որի բարձրությունը' E K ֊ն է:

58

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

а ււվշ. _^ (2-> /2)Е К = О К — ОЕ = R — - = R —

2 2 2

ЛИСП քառակուսուց պատրաստենք գլանի

կողմնային մակերևույթը' A D ծնորդը սոսնձելով

B C ֊ի հետ: Ստացված գլանային մակերևույթի հիմ­

քի շրջանագծի երկարությունը հավասար է AB

հատվածի երկարությանն, այսինքն' a -ի: Հաշվենք

սեգմենտի ներսում տեղադրված կիսաշրջանի երկա­

րությունը և շառավիղը,

Ry[:2

(1):

Cl R\[2жг = — =------

2 2г (2)

Որպեսզի г շառավիղով կիսաշրջաններ

կտրելը սեգմենտներից հնարավոր լինի, պետք է համեմատենք սեգմենտի (1)

բարձրությունը և կիսաշրջանի (2 ) շառավիղը:

Վ շ - վ շ ) К { Щ

1,301 > 1:

2 2 Ж

■> Е К > г :

Վ շ - վ շ ) * վ շ ж (у!շ - ւ ) * ւ

Ուրեմն' սեգմենտներից կարելի է կտրել անհրաժեշտ г շառավիղով

կիսաշրջաններ: 4 կիսաշրջանները միացնելով զույգերով, կստանանք գլանի 2

հիմքերը:

Այժմ հաշվենք ստացված գլանի ծավալը (նկ. 2):

V„, = лт2 • В С = ж( Rգլ

U « = i )л/ շ Ж

Ур2ж J

= 0,2250:

R -վշ ■վշ.ж

Դա նշանակում է, որ եթե շրջանի շառավիղը հավասար է 1 մ-ի, ապա,

ստացված գլանի տարողությունը 225 լիտր է:

Եզրակացություն, Օգտագործելով միայն միավոր շրջանի մակերեսը'

նկարագրված եղանակով պատրաստված գլանը ունի 225 լիտր տարողություն:

59

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

Այժմ շրջանին ներգծենք ուղղանկյուն և նրանից պատրաստենք գլան

այնպես, որ այն ունենա մեծագույն ծավալ: Մեզ հետաքրքրում է ստացված

ծավալի արժեքր:

Խնդիր 2. R շառավիղով շրջանին ներգծել ուղղանկյուն այնպես, որ

նրանից պատրաստած գլանր ունենա մեծագույն ծավալ, (առանց շրջանից

գլանի հիմքերի կտրման պահանջի):

Լուծում:Թող АВ = 2у, ВС = 2 х : (2 х )2 + (2 у )2 = (2R )2 :

x2+ y2 = R 2 ^ у 2 = R 2- x 2 :

ABCD ուղղսւնկյունուց պատրաստված գլանի հիմքի շրջանագծի եր­

կարություն^

2ЖГ = AB = 2 у => жг = у , г = — \Ж

՜ .2

V = жг2 - к = ж\ — I -2 x = — -2 x = —----- — -2 x = — (R2 - x 2):ж ) ж ж ж х ՚

2V =V(x ) = — ( i? 2x - x 3): Գտնենք այս ֆունկցիայի էքստրեմումի

ж у ՚

կետր: V^{x ) = — [R2 - 3x2) = 0= > x:Ж ՚ 3

( r S \ շ ք „ 2 R j 3 ո3 л/з"| 2 „ յ( 2 /հ ) 4 л/З ո3 4^3УйЫ,= У

71= o,245:

I 9 9 f 9 f

Տեղաղրելով ստացված բանաձևի մեջ i? = l i5 , կստանանք

Ft M = 0 ,245 i f :

Այսինքն' այդպիսի գլանր կտեղավորի, օրինակ' 245 լ ջուր: Նկատենք,

որ այս գլանի ծավալր մեծ է նախորդ գլանի ծավալից 20լ-ով, բայց այս գլանի

հիմքերր պատրաստված չեն տրված շրջանից, հետևաբար կպահանջվի լրա­

ցուցիչ մակերեսով թիթեղ գլանի հիմքեր պատրաստելու համար, որր շահեկան

չէ գոնե մեր խնդրի պայմաններում:

60

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

շառավիղով շրջանը, պատրաստել կոն և

հաշվել նրա ծավալը:

Լուծում: Թղթից կտրված (նկ. 3) А т В

կիսաշրջանի 0А և 0 В շառավիղները սոսն­

ձելով' կստանանք կոնի կողմնային մակե­

րևույթը, որի հիմքի շրջանագծի երկարու­

թյունը' 2кг = n R : С կենտրոնով շրջանագծիյՀ

երկարությունը հավասար է 2 n ‘— = n R , հե- . . . . շ

տևաբար կոնական մակերևույթին սոսնձելով

շրջանը կստանանք կոն (նկ. 4): Այժմ հաշվենք

ստացված կոնի ծավալը:

A = = * - _ f * T = ^; h = - J 3; 4 2

= ֊ \ ֊կոն3 I 2

■h =TtR1

3 -4 2 " 24 ՛

7t

24= 0 ,227:

Տեղաղրելով ստացված բանաձևի մեջ

R = 1 մ , կստանանք V ~ 227 լ: Ինչպես տեսնում

2 լ-ով ավելին է խնդիր 1-ում ստացված գլանի ծավալից՝ 225 ւ-ից

Խնդիր 4: R շառավիղով շրջանից կտրել

այնպիսի շրջանային սեկտոր, որպեսզի նրանից պատ­

րաստված կոնը ունենա մեծագույն ծավալ:

Լուծում: Ենթադրենք, որ R շառավիղով շրջա­

նից կտրել ենք <p կենտրոնական անկյան մեծությամբ

61

Եզրակացություն. Գործնականորեն խնդիր 1-ում ստացված գլանի

պատրաստումը ավելի արդյունավետ է, քան խնդիր 2-ում ստացված գլանի

պատրաստումը:

Խնդիր 3: R շառավիղով շրջանից

Rկտրել А тВ կիսաշրջանը, С կենտրոնով

2

ենք, ստացված կոնի ծավալը

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

սեկտոր (նկ. 5), սոսնձել 0А և 0 В ծնորդները և ստացել կոնական մակերևույթ:

Սոսնձելով г շառավիղով շրջան' հիմքին կստանանք պահանջվող կոնը (նկ. 6),

(բայց նկատենք, որ հիմքի շրջանը կտրված է այլ տեղից, այլ ոչ թե տրված

շրջանից):ս

AmB = (p-R, {(р-Ь արտահայտված է ռադիանով):

А т В = 2т , 2к г = (pR => г = հ՜ + г 2 = R 2;2 к

i l гй 2 гй <P2R I п2 4 Я ՜2 ֊ (р1 , R f — շ--------7հ՜ = R - г = R - х — — = R - ------------— ; հ = — J 4 я г -<pr :4л՜2 4л-2 2 л -v

Щ (р )= -к г2Ъ = ֊ к ^ г — 4А п2 ֊ Հ = ^ ֊ Ք ^ ք У ’ 3 3 4л-2 2 л -v 24л-2 v

! S ~1(P W =W7ZT 2<р4^֊-(р2 -

(V

R* 2 f ) ( 4 r - f ) ֊ ^ R* Ък-ср-Ъд? г Ч , = 0. 8 Г £ - 3 £

24л:" ^4лг2 - ф ՜ 24л:" ^ 4 л 2 - <р2 -^4л:2 -ср1

%к2(р-Ъ(ръ = 0 , ^ (8 л 2 -3^>2) = 0 , (р = 0 , կամ З^г = 8 л 2 , (р՜8 л 2

3

8л-2 _ 2<р = = 2j7J— : Կամ աստիճանով՝

8 4 8 о 8 о( р ֊ 2 к — = 2 л — = —л = 180 • — = 288 :

10 5 5 5

Այսպիսով, եթե R շառավիղով շրջա-

օ f tնից կտրենք <р—2яЛ — անկյան մեծու­

թյամբ ( « 2 8 8 ° -ի) սեկտոր և նրանից պատ­

րաստենք կոն, ապա այն կունենա մեծա­

գույն ծավալ: Այժմ հաշվենք ստացված կոնի

ծավալը:

62

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

V (< p )= — —(թ2 արտահայտության մեջ տեղադրենք (թ ֊ի 24л՜

արժեքը' (р = 2 тгА - :

V{ ՎV /

24 Ո 2

X

հ2Վ\4 Ո 1 ֊

X

N fV ’ J

2R37Tsl3 2ո Ք

21 210,4030:

Տեղադրելով ստացված բանաձևի մեջ R = 1 մ ւ կստանանք'

F « 0 ,4 0 3 0 :

Ինչպես տեսնում ենք, այս կոնի ծավալը բավական մեծ է' 403 լ,

մոտավորապես 2 անգամ մեծ' նախորդի նկատմամբ: Դա բացատրվում է նրա­

նով, որ շրջանի մակերեսի 80% -ը (« 2 8 8 ° ֊ի սեկտորը) ծախսվում է կոնի

կողմնային մակերևույթի պատրաստման վրա, իսկ հիմքի շրջանի պատրաստ­

ման համար կպահանջվի լրացուցիչ մակերես:

Եզրակացություն. Գործնականորեն խնդիր 3-ում ստացված կոնի

պատրաստումը ավելի արդյունավետ է, քան խնդիր 4-ում ստացված կոնը:

Քնարկված 4 խնդիրներից 1-ը և 3-ը ունեն գործնական կիրառություն, իսկ 2-ը և

4-ը' տեսական: Այժմ համեմատենք խնդիր 1-ի և 3-ի արդյունքները:

Հաշվենք գլանի պատրաստումից ստացված թափոնի մակերեսը:

Տթափ. = ձոջ. - Sq, = я Я ֊ (2nrh + 2 к г ) = k R - 2 k ■R y j22 к

R>J2-R -J2

2кELк

к — 2k — \):

Հաշվենք գլանի թափոնի հարաբերական մեծությունը' արտահայտված

տոկոսով.

Տ.

Տ.ա ւ . ւօօ% :

л 2 [ ո 2 - 2 ո - \ ^

շոշ- л՜ TTR2•100% = 1-

1

71 71•100% = 26% :

Հաշվենք կոնի պատրաստումից ստացված թափոնի մակերեսը:

Տ = Տթափ. շրջ. ֊ Տ կո() = TTR2 - { ж г 1 + 7ГГ2 ) = TTR2 - 7 Г ^

\

у

7ГМ_

4

Հաշվենք կոնի թափոնի հարաբերական մեծությունը' արտահայտված

տոկոսով.

63

Մ Ե Ր Փ Ո Ր Ձ Ը

. 100% = — : TrR2 ■ 100% =25% :շ̂րշ. 4

Նյութի տնտեսման տեսանկյունից շահավետ է ստանալ մարմնի մեծ

ծավալ քիչ թափոնով, ուստի նպատակահարմար է մտցնել մի գործակից, շս յ.

հավետության գործակից, որր կբնութագրի ծավալի և թափոնի փոխհարաբե­

րությունդ

Vк ■

5 ? ^ . ւօօ%

2Ո2-

Հաշվենք սահմանված շահավետության գործակիցներր գլանի և կոնի

համար:

225 227կ = — = 8 ,65; &կոն= - - = 9 ,0 8 : Գործակիցների թվային

արժեքներից հետևում է, որ ավելի շահավետ է շրջանից կոն պատրաստելր,

քան թե գլան:

Գրականություն

1. А. Б. Василевский, Методы решения геометрических задач. Выш эйш ая

школа, Минск, 1969.

2. И. Ф.Шарыгин В.И.Голубев, Факультативный курс по математике.

Просвещение, Москва, 1991.

3. Г. С. М. Коксетер, С. Л. Грейтцер, Новые встречи с геометрией. Наука,

Москва, 1978.

64