ԹԻՎ 2 (100), 2015թ. «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» журнал на армянском языке

«MATHEMATICS IN SCHOOLS» Journal in Armenian

² ð Ä º ø ² Ú Æ Ü Ð ² Ø ² Î ² ð ¶ Ð³ÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

¶ºÔ²¶Æî²Î²Ü Ƹº²ÈÀ ºì زºزîÆÎ²Î²Ü ÎðÂàôÂÚàôÜÀ ..................................................... 3

².ì.ºÝáùÛ³Ý, ¶.Ð.гñáõÃÛáõÝÛ³Ý

ºðæ²ÜÎàôÂÚàôÜÀ ºì زºزîÆÎ²Î²Ü ÎðÂàôÂÚàôÜÀ ........ 13 Ø º Â à ¸ ² Î ² Ü ².ܳí³ë³ñ¹Û³Ý, Æ.гÏáμÛ³Ý ².ʳã³ïñÛ³Ý. Ð.ʳã³ïñÛ³Ý î²ðð²Î²Ü ¸²ê²ð²ÜܺðÆ Ø²ÂºØ²îÆβ ²è²ðβÚÆ ¶àðÌÜ²Î²Ü ²Þʲî²ÜøܺðÆ Âì²ÚܲòØ²Ü Ø²êÆÜ ................... 23

Ø º ð ö à ð Ò À ÐéÇ÷ëÇÙ» ²í³·Û³Ý زºزîÆβÚÆ ¸²ê²Ä²ØºðÆÜ îºÔºÎ²îì²Î²Ü ºì вÔàð¸²Îò²Î²Ü îºÊÜàÈà¶Æ²ÜºðÆ ú¶î²¶àðÌØ²Ü ÆØ öàðÒÀ ……………………………… …............... 33 Î ð  ² Î ² Ü Ä ² è ² Ü ¶ à ô Â Ú à ô Ü êÇñ³Ýáõß äáÕáëÛ³Ý (¶ÇÝáëÛ³Ý) 19-𸠸²ðÆ Ð²Ú Ø²Üβì²ðÄ, ¶ðàÔ Ê²â²îàôð ²´àìÚ²ÜÆ Ø²ÂºØ²îÆÎ²Î²Ü Òºè²¶ðºðÀ ..……………………….................... 40 ² ð î ² ¸ ² ê ² ð ² Ü ² Î ² Ü ².ê³ñ·ëÛ³Ý, Ü.ä»ïñáëÛ³Ý Æ¼àäºðÆغîð²Î²Ü ØÆ ÊܸðÆ Ø²êÆÜ…………………………. 47 Ð º î ² ø ð ø ð ² Þ ² ð Ä Î.Ø.Øáë»ëÛ³Ý ¸äðàò²Î²Ü îð²Ø²´²Ü²Î²Ü Øî²ÌàÔàôÂÚàôÜÀ ¼²ð¶²òÜàÔ ØÆ ø²ÜÆ Ê²Ôºð …………… ……………………………. 60

ÐÐ Ï

ñÃ

áõÃ

Û³Ý

¨ ·

Çï

áõÃ

Û³Ý

ݳ

˳

ñ³

ñá

õÃÛá

õÝ

Î

ñÃ

áõÃ

Û³Ý

³½

·³

ÛÇÝ

ÇÝ

ëï

Çï

áõï

¶

Çï

³Ù

»Ã

á¹

³Ï

³Ý

³Ù

ë³

·Ç

ñ

` ¸åñáóáõÙ

Ø ³Ã»Ù³ïÇϳÝ

Ê Ù μ ³ · ñ ³ Ï ³ Ý Ë á ñ Ñ á õ ñ ¹

гÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·Çñ

ê³ñÇμ»Ï гÏáμÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·ñÇ ï»Õ³Ï³É« å³ï³ë˳ݳïáõ ù³ñïáõÕ³ñ

Ê á ñ Ñ ñ ¹ Ç ³ Ý ¹ ³ Ù Ý » ñ

²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý ²ñ³Ù ²Ûí³½Û³Ý ¿¹í³ñ¹ ²é³ù»ÉÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ´³Õ¹³ë³ñÛ³Ý ¶¨áñ· ¼³ù³ñÛ³Ý ì³ÝÇÏ Ð³ñáõÃÛáõÝÛ³Ý Ð³ÛÏáõÝÇ ÔáõϳëÛ³Ý Üáñ³Ûñ ÔáõßãÛ³Ý ²É»ùë³Ý¹ñ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõñ³ ܳí³ë³ñ¹Û³Ý гÛϳ½ èá¹ÇáÝáí ØÇ˳ÇÉ ê³ý³ñÛ³Ý ¶ñÇ·áñ 껹ñ³ÏÛ³Ý Ü³ÇñÇ

Ü Ï ³ ñ Ç ã ì© Ð© ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

Ð ³ Ù ³ Ï ³ ñ · ã ³ Û Ç Ý Ó ¨ ³ í á ñ á õ Ù Á ÜáõÝ» ²ÙÇñÛ³ÝÇ îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67« ë»ÝÛ³Ï 401375005 ºñ¨³Ý 5 Tigran Metsi 67« Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

§ Ø ³ Ã » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ý ¹ å ñ á ó á õ Ù ¦

· Ç ï ³ Ù » Ã á ¹ ³ Ï ³ Ý ³ Ù ë ³ · Ç ñ

№ 2, 2015Ã.

Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ 1998Ã-Çó Lñ³ïí³Ï³Ý ·áñÍáõÝ»áõÃÛáõÝ Çñ³Ï³Ý³óÝáÕ`

§ Î ñ Ã á õ Ã Û ³ Ý ³ ½ · ³ Û Ç Ý Ç Ý ë ï Ç ï á õ ï ¦ ö´À

гëó»Ý` ºñ¨³Ý, îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67,

íϳ۳ϳÝ` N 01 ² 044424, ïñí³Í 16.02.1999Ã.

²Ùë³·ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ï³ë˳ݳïáõ` · É˳íáñ ËÙμ³·Çñ` гÙÉ»ï ØÇù³Û»É Û³Ý Ð³ÝÓÝí³Í ¿ ïå³·ñáõÃÛ³Ý 29.05.2015Ã: îå³ù³Ý³ÏÁ` 2000, ͳí³ÉÁ` 4 Ù³ÙáõÉ: îå³·ñáõà ÛáõÝÁ` ûýë»Ã: â³÷ëÁ` 70×100 1/16: ¸åñáóÝ»ñÇÝ ³Ýí׳ñ ïñíáõÙ ¿ Ù»Ï ûñÇݳÏ, áñÁ å»ïù ¿ å³ñï³¹Çñ ·ñ³ÝóíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ : ì³×³éùÇ »Ýóϳ ã¿ :

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

3

ԳԵՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԻԴԵԱԼԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ

Հ. Ս. Միքայելյան

Բանալի բառեր - իդեալ, մաթեմատիկական կրթություն, գեղագիտական իդեալ, գեղեցիկի օբյեկտիվ հատկանիշներ, գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկանիշներ, մաթեմատիկական օբյեկտ:

Գեղագիտական իդեալ

Իդեալը յուրաքանչյուր մարդու (մարդկային խմբի, հասարակության) պատկերացումն է կատարյալի մասին, կատարելատիպ և բարձրագույն նպատակ, որին նա ձգտում է: Երբ խոսքը վերաբերում է պետության հա-սարակական-քաղաքական կառուցվածքին, մենք հանգում ենք հասարա-կական-քաղաքական իդեալին, մարդու անձնային բարոյական որակների և մարդկային փոխհարաբերությունների ոլորտում մենք ունենք բարոյական իդեալը, գեղեցիկի, ներդաշնակության և, ընդհանրապես, գեղագիտական արժեքների ոլորտում էլ դրսևորվում է գեղագիտական իդեալը: Յուրաքանչ-յուր դարաշրջան ձևավորում է հասարակական, բարոյական, գեղագիտա-կան իդեալի` կատարյալի և կատարելատիպի իր ընդհանրական ընկալումը: Անտիկ շրջանում իդեալը մարմանավորվում էր հունական աստվածների մեջ, որոնք բարոյականի և գեղագիտականի կատարելատիպն էին: Եվրո-պական միջնադարը առաջ քաշեց ֆիզիկական ու բարոյական կատա-րելության և քրիստոնեական դավանանքի վրա հենված իր իդեալը, որը մարմնավորվում էր ասպետի կերպարի մեջ: Վերածնունդը առաջին պլան մղեց գեղեցիկի իդեալը, որի կենտրոնում մարդու մարմնի ներդաշնակու-

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

4

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

թյունն էր` հենված համաչափության, ոսկե հատման և գեղեցիկի կազմա-վորման այլ սկզբունքների վրա: Ֆեոդալիզմի ընդերքում ձևավորված բուր-ժուական հարաբերությունները առաջ քաշեցին ազատության, հավասա-րության և եղբայրության իդեալները: Սոցիալիզմը առաջադրեց կոմունիզ-մի իդեալը, որի հիմքում աշխատանքն էր: Ժամանակակից հասարակու-թյան իդեալ է դրամը:

Գեղագիտական իդեալը նաև գեղեցիկի բնույթը բացահայտելու ճանա-պարհներից մեկն է, որ առաջին անգամ կիրառվել է կլասիցիզմի տեսա-բանների կողմից` հիմքում ունենալով Անտիկ Հունաստանի արվեստի ամե-նահզոր դրսևորման` քանդակագործության ավանդույթները: Գեղագիտա-կան իդեալը, կատարելատիպը այստեղ աստվածների քանդակագործա-կան պատկերումներն էին, որոնք աչքի էին ընկնում կատարելությամբ և մարդկային ձևերի ու չափերի նկատմամբ իրենց գերազանցությամբ, ինչը հիմք էր ծառայում ոչ միայն դրանց երկրպագության, այլև գեղեցիկի գնա-հատման համար. գեղեցիկ էր այն, ինչը մոտ էր գեղագիտական այդ իդեալին: Հետևելով գեղեցիկի գնահատման այս ավանդույթներին, կլասի-ցիզմի ներկայացուցիչները գեղեցիկ էին համարում այն մտահայեցողական մոդելը, ինչը համապատասխանում է կլասիցիզմի իդեալին: (Այդ շրջանի նշանավոր տեսաբան Ա. Վինկելմանը, օրինակ, կլասիցիզմի իդեալի հա-մար առաջադրում է հետևյալ հանրահայտ բանաձևը` “նրբագեղ պարզու-թյուն և խաղաղ վեհություն”) (տես [3], էջ 140):

Ելնելով դասական կամ կլասիցիզմի` գեղեցիկին տված այս մոտեցու-մից, արվեստաբան Վ. Բրասնսկին ընդհանրապես գեղեցիկը բնորոշում է գեղագիտական իդեալի միջոցով` որպես մտահայեցողական մոդելի (և նրա նյութական իրականացման) համապատասխանեցում գեղագիտական իդեալին: Այս բնորոշումը կարելի է կիրառել ինչպես յուրաքանչյուր մարդու ընդունած գեղագիտական իդեալի, այնպես էլ դասական, ռոմանտիկական, ռեալիստական, սիմվոլիստական, իմպրեսիոնիստական, ֆովիստական, կուբիստական, սյուրռեալիստական և իդեալի պատկերացման այլ նորմա-տիվների նկատմամբ (տես [2]): Ընդ որում, այդ նորմատիվների մեջ կարող են լինել համաչափությունը կամ անհամաչափությունը, շարժումը կամ ան-շարժությունը, պայծառ կամ խաղաղ տոնը, օվալաձև/ձևավոր կամ ջարդ-ված գծերը, արտահայտչականությունը, ձևական կամ բովանդակային բնութագրերը և այլն: Այսինքն` համաչափությունը գեղեցիկ է, եթե այն հա-մապատասխանում է համաչափության իդեալին, շարժումը գեղեցիկ է, եթե

5

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

այն համապատասխանում է շարժման իդեալին, ապացուցումը գեղեցիկ է, եթե այն համապատասխանում է ապացուցման իդեալին և այլն:

Ասվածից հետևում է, որ գեղագիտական իդեալը ծառայում է նաև որպես գեղագիտական ճշմարիտի բացահայտման միջոց: Հարկ է նշել, որ յուրա-քանչյուր մարդ առարկայի, երևույթի` մտահայեցողական մոդելի մեջ գեղա-գիտական ճշմարիտը բացահայտում է, ելնելով նաև իր իդեալից: Եվ եթե ճշմարտությունը գիտելիքի համապատասխանությունն է օբյեկտին, ապա գեղագիտական ճշմարիտը գիտելիքի համապատասխանությունն է սուբյեկ-տին, նրա պատկերացումներին ու ցանկություններին և առաջին հերթին նրա իդեալին: Ճշմարտության համար առաջնայինը գիտելիքն է, իդեալի համար` հավատը: Ճշմարտության դիրքերից ելնելու դեպքում պետք է ասել` «հավատում եմ, որովհետև գիտեմ», իսկ իդեալի դիրքերից` «գիտեմ, որով-հետև հավատում եմ»:

Մաթեմատիկական իդեալը Վերևում ասվածից մասնավորապես հետևում է, որ գեղագիտական

իդեալը մաթեմատիկայում չի կարող հանգել ընդհանրապես գեղեցիկին կամ չի կարելի «ընդհանրապես մաթեմատիկական գեղեցիկը դիտել որպես գեղագիտական իդեալ», ինչպես դա անում է Լ. Ի. Լուրյեն (տես [4]): Մաթե-մատիկական գեղեցիկի օբյեկտիվ կամ սուբյեկտիվ այս կամ այն հատ-կանիշի, արտաքին կամ ներքին գեղագիտության առանձին դրսևորումնե-րը, ստեղծելով որոշակի գեղագիտական գրավչություն, դեռևս չեն հանգեց-նում կատարյալ գեղեցիկին, գեղեցիկի իդեալին:

Արժե այստեղ նշել, որ, օրինակ, Մ. Ա. Ռոդիոնովը և Ե. Վ. Լիկսինան, առանձնացնում են մաթեմատիկական գեղեցիկի երեք հատկանիշ՝ պար-զությունը, ներդաշնակությունը, անսպասելիությունը և մաթեմատիկական օբյեկտի գեղագիտության («տեկտոնիկության») աստիճանը որոշում են ելնելով նրանից, թե այդ հատկանիշներից քանիսն են մասնակցում տվյալ օբյեկտի գեղագիտական բնութագրերում (տես [5]): Կանգ չառնելով գեղա-գիտականի հարցում նման մոտեցման արդյունավետության վրա, նշենք միայն, որ այն չի կարող հիմք ծառայել կատարյալի կամ իդեալականի բնո-րոշման համար:

Մեզ թվում է, թե մաթեմատիկական օբյեկտներում գեղագիտական իդե-ալը դրսևորվում է մաթեմատիկական գեղեցիկի այս կամ այն կոնկրետ հատ-կանիշի ցայտուն, բացառիկ առկայության դեպքում: Եվ մենք ավելի հակված

6

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

ենք ընդունելու մաթեմատիկական օբյեկտներին տված՝ իդեալական պար-զություն, իդեալական հստակություն, իդեալական խստություն և մաթեմա-տիկայի գեղագիտության հետ առնչվող նմանատիպ այլ բնորոշումներ: Միևնույն ժամանակ, մաթեմատիկական կոնկրետ օբյեկտը ինքը կարող է ծառայել որպես այս կամ այն ընդհանրական գաղափարի իդեալական փոր-ձանմուշ: Այս իմաստով մենք գործածում ենք նաև իդեալական ապացուցում, իդեալական լուծում և նմանատիպ այլ հասկացություններ:

Մարդկային կյանքը որպես գոյության ձև, դրսևորվում, իրագործվում է տարածության, ժամանակի և շարժման մեջ, և այդ իրագործումը կատար-վում է ոչ թե պատահականորեն, այլ ինչ-որ օրինաչափություններով, ձևերի որոշակի ընտրությամբ, ձևեր, որոնք հեշտացնում, հնարավոր են դարձնում մարդու կյանքը: Այդ ձևերը, իրենց կատարյալ, իդեալական վիճակում, ու-սումնասիրվում են երկրաչափության մեջ և ծառայում են որպես ուղենիշ մարդու, մարդկային գործունեության համար: Ասվածը հաստատելու հա-մար դիտարկենք այսպիսի մի օրինակ: Բնության ամենամեծ օրինաչափու-թյուններից մեկը երկու կետերի միջև ամենակարճ հեռավորության մասին երկրաչափական մոտեցումն է. այն այդ կետեը միացնող հատվածն է: Եվ մարդը, անգամ չիմանալով այս պարզ օրենքը, մի տեղից մյուսը տեղափոխ-վելիս իր շարժումը աշխատում է կատարել` ընտրելով երկրաչափական այդ ձևը` հատվածը, որպես իր շարժման ուղենիշ, որպես իդեալ: Ավելին, այդ-պես է շարժվում նաև ցանկացած կենդանի և անգամ մարդու գոյությունը և մարդկության կյանքը պայմանավորող լույսը: Նայենք մեր շրջապատին, այն կազմող բնական և մարդկային ստեղծագործություններին, որոնք ա-պահովում են մեր կեցությունը` տունը, բնակարանը, կենցաղային առար-կաները, ճանապարհը... Դրանց բոլորի հիմքում ընկած է ուղիղը՝ որպես իդեալ, որին ձգտել է մարդը կամ բնությունը իր գոյության հուսալի ընթացքն ապահովելու համար, իր ստեղծագործության մասերը ստեղծելիս և դրանք ամբողջացնելիս: Եվ իր կիրառելիության՝ մաթեմատիկական գեղեցիկի այդ օբյեկտիվ հատկանիշի նման աննախընթաց դրսևորման հնարավորու-թյունն է, որ առաջին հերթին ուղղի իդեալը դարձնում են գեղեցիկ կամ գե-ղագիտական իդեալ: Ինչ վերաբերում է մաթեմատիկական գեղեցիկի այլ օբյեկտիվ հատկանիշների, ապա դրանցից շատերը նույնպես լայնորեն դրսևորվում են ուղղի հասկացության մոդելներում: Իսկապես, մենք արդեն նշել ենք, որ ուղիղը օժտված է բազմապիսի համաչափություններով՝ գեղե-ցիկի կարևորագույն հատկանիշներից մեկով: Ուղղի մասերի միջև առկա է

7

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

նաև կատարյալ ներդաշնակությունը, ինչպես նաև ռիթմը՝ որպես ռիթմիկ՝ մարող օրինաչափություններով ընթացող առանձին կորերի հաջորդակա-նությունների սահման:

Նույնպիսի մաթեմատիկական գեղեցիկի իդեալ է նաև հարթությունը, որը որպես իդեալ է դիտարկվում մարդկային կենսագործունեության ամե-նատարբեր բնագավառներում իրագործվող մտահղացումների համար: Զարմանալի, առեղծվածային ու վեհին միտվող իդեալ է կետի հասկա-ցությունը, ինչը չունի չափեր, բայց և առաջացնում է ուղիղը: Էվկլիդեսյան երկրաչափության այս երեք գեղագիտական իդեալները կամ նախնական հասկացությունները՝ կետը, ուղիղը և հարթությունը իրականում ունեն այն-պիսի խորքեր, որոնցում լայնորեն դրսևորվում են մաթեմատիկական գեղե-ցիկի հստակության, պարզության, օպտիմալության, կայունության և այլ օբ-յեկտիվ հատկանիշներ, և որոնց ընկալումը զուգորդվում է գեղեցիկի անսպասելիության, անկանխատեսելիության, ջանքերի և մաթեմատիկա-կան գեղեցիկի սուբյեկտիվ այլ հատկանիշների դրսևորմամբ:

Դիտարկենք նաև երկրաչափական կարևորագույն պատկերները՝ եռ-անկյունը և քառանկյունը: Ո՞րն է կատարյալը կամ իդեալականը այս դեպ-քերից յուրաքանչյուրում: Եռանկյունների պարագայում առաջին հայացքից թվում է, թե կատարյալը հավասարակողմ եռանկյունն է: Դա է ապացուցում նաև այդպիսի եռանկյունների մեջ համաչափությունների մեծ թիվը ոչ հավա-սարակողմ եռանկյունների համեմատությամբ. եթե տարակողմ եռանկյունն ունի մեկ, հավասարասրուն եռանկյունը՝ երկու, ապա հավասարակողմ եռանկյունն ունի վեց համաչափություն: Չնայած դրան, այնուամենայնիվ, կա ևս մեկ եռանկյուն, որն հավակնում է կատարելության: Համենայն դեպս, եթե հավասարակողմ եռանկյունը գիտնականների կողմից ստացել է կանոնավոր անվանումը, ապա նրանք մի հատուկ եռանկյուն էլ առանձնացրել են գե-ղեցիկի ավելի կատարյալ բնորոշմամբ՝ «ոսկյա եռանկյուն» անվամբ: Ո՞րն է այդ ոսկյա եռանկյունը: Այն կապված է մաթեմատիկական գեղեցիկի համե-մատության հատկանիշի հետ, և ինչպես նշել ենք այս աշխատանքի առաջին մասում (տես [1]), առաջանում է ոսկե հատումը եռանկյան կողմերի նկատ-մամբ կիրառելիս. եռանկյունը կատարյալ է, եթե նրա երկու կողմերը իրար հավասար են և մյուսի հետ կազմում են ոսկյա հատում: Զարմանալին և նման եռանկյունը գեղցիկի կատարյալին միտողն այն է, որ ոսկե եռանկյունը մաս է կազմում հնգաթև աստղի, որը պյութագորասականների խորհրդանիշն էր

8

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

դարձել իր այս գեղագիտական կատարելության շնորհիվ. հնգաթև աստղի հինգ թևերում առաջանում են հինգ ոսկյա եռանկյուններ:

Բայց ավելի զարմանալի է քառանկյան համար գեղեցիկի կատարե-լատիպի կամ իդեալի ընտրությունը: Այստեղ նույնպես հավասար կողմերով և հավասար անկյուններով քառանկյունը ընդամենը կոչվում է կանոնավոր, թեև իր համաչափությունների թվով առնվազն երկու անգամ գերազանցում է մյուս քառանկյուններին: Կա կանոնավոր քառանկյունը իդեալականացնելու ևս մի պատճառ: Եթե մենք ուզում ենք տրված պարագծով կառուցենք այն-պիսի մի քառանկյուն, որի մակերեսը լինի առավելագույնը (այսինք՝ քառանկ-յունատիպ պատկերը լինի առավել օգտակար), ապա դա քառակուսին է: Այսպիսով՝ ունենք քառակուսին գեղեցիկ համարելու ևս մի գեղագիտական հատկանիշ՝ կիրառելիությունը (օգտակարությունը): Բայց այստեղ նույնպես մենք առնչվում ենք կատարյալի կամ իդեալականի այլ ընբռնման: Կա մի ուղղանկյուն, որ բնորոշվում է ոսկյա ուղանկյուն անվամբ: Դա այն ուղղանկ-յունն է, որի կոմերը բաժանվում են ոսկյա հարաբերությամբ: Հետաքրքիրն այն է, որ նման քառանկյան հետ են կապված ինչպես մաթեմատիկական շատ հասկացություններ և օրինաչափություններ, այնպես էլ բնության շատ առարկաներ և երևույթներ: Սա ցույց է տալիս, որ դեռևս շումերներից և Սոկ-րատեսից եկող այն հանրահայտ դրույթը, թե գեղեցիկը առավել օգտակարն է, լիովին չի արտահայտում իրերի բնական ընթացքը և դրա հաստատումը ոչ թե «թրիքը օգտակար է, բայց գեղեցիկ չէ» թևավոր ասացվածքն է, այլ գեղեցիկի նկատմամբ մաթեմատիկական այն մոտեցումը, որ թեև բոլոր քառանկյունների մեջ քառակուսաձև պատկերն առավել օգտակարն է, բայց առավել գեղեցիկը ոսկյա ուղղանկյունու ձև ունեցող պատկերն է:

Մենք կարող ենք անդրադառնալ նաև տարածական մար-միններին: Թվում է, թե այստեղ էլ կա-տարյալը, իդեալա-կանը դարձյալ կանո-նավոր կամ պլա-տոնյան հինգ մար-միններն են, որոնք

9

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

աչքի են ընկնում համաչափությունների մեծ թվով: Սակայն բավական է հետևենք բնության այնպիսի մի հրաշք արարածի, ինչպիսին մեղուն է, նրա՝ նույնքան հրաշք ստեղծագործության՝ մեղրի ստեղծմանը, ապա կտեսնենք, որ գոնե կիրառելիության տեսանկյունից կատարյալի ու իդեալականի մասին պատկերացումը պետք է, որ այլ լինի: Մեղուների մաթեմատիկական «ընդունակությունները» մարդիիկ նկատել են դեռևս մ. թ. 4-րդ դարում: Իսկապես, պետք է լինել հմուտ ճարտարապետ, որպեսզի կարողանալ այդպիսի վարպետությամբ կառուցել մեղրահացը՝ կողք-կողքի շարված կանոնավոր վեցանիստ պրիզմաներով, մեղրամոմից կառուցված դրանց չափազանց բարակ պատերով: Ընդ որում, պետք է նկատի ունենալ, որ այդ վեցանիստ պրիզմաներն էլ, պատերի վրա ծախսվելիք մեղրամոմի միևնույն քանակության առկայության դեպքում, գրավում են առավելագույն ծավալ և տեղավորում առավելագույն քանակությամբ մեղր: Սակայն հետագայում, սկսած 17-րդ դարից, որոշ գիտնականներ, այդ թվում անգլիացի մեծ բնա-գետ Չարլզ Դարվինը (1809-1882) կարծիք հայտնեցին, թե մեղուները իրա-կանում իրենց մեղվաբջիջները սկզբում կառուցում են ուղիղ շրջանային գլանի տեսքով (կարելի է կարծել, որ գլանի ուղղաձիգ հատույթի շրջա-նագծի վեջնական տեսքի կատարյալությունը մեղուները ապահովում են դրանց մեջ իրենց մարմինը ընկղմելու միջոցով), և միայն հետագայում են դրանք ընդունում կանոնավոր վեցանկյան տեսք՝ իրար հարևան երեք բջիջների մոմերի ձգողականության շնորհիվ: Եվ ահա 2004-ին չինացի գիտնականները, Մեծ Բրիտանիայի Կարդիֆի համալսարանի դոկտոր Բխուշան Կարիխալուի հետ միասին փորձով հաստատեցին այդ վարկածը (տես [6]): Բայց ասվածը, ամենևին չնսեմացնելով մեղուների ճարտարագի-տական և մաթեմատիկական շնորհքը, միաժամանակ ցույց է տալիս, որ կիրառելիության պրակտիկ և գեղագիտական հնարավորություններով կա-նոնավոր վեցանկյուն պրիզման գերազանցում է պլատոնյան մարմին-ներին, թեև վերջիններս ունեն շատ ավելի մեծ թվով համաչափություններ և, ուրեմն, աչքի են ընկնում գեղագիտականի այդ կողմով: Այսպիսով, տարածական մարմինների դեպքում նույնպես միշտ չէ, որ օգտակարու-թյան և համաչափության հետ առնչվող գեղագիտականը ավելի կատարյալ է և իդեալական, քան կիրառելիության հետ առնչվող գեղագիտականը:

Այստեղ մենք չանդրադարձանք մաթեմատիկական գեղեցիկի իդեալա-կանացման այնպիսի կատարյալ ձևերին, ինչպիսիք են շրջանը և գունդը:

10

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Սրանք արդեն աչքի են ընկնում ինչպես համաչափությունների աննախըն-թաց առատությամբ, այնպես էլ օգտակարությամբ և կիրառելիության մեծ հնարավորություններով, օպտիմալությամբ և կայունությամբ, հանգամանք-ներ, որոնք գեղագիտական կատարյալի, իդելականի հրաշալի պատճառ են դարձել և օգտագործվել, օրինակ, բրուտագործության մեջ: Սրա հետ միա-ժամանակ, այնուամենայնիվ նշենք, որ բնությունը միգուցե և այնքան էլ հա-մաձայն չէ նման բնորոշման հետ, որովհետև, օրինակ, մոլորակներն ունեն ոչ թե կատարյալ գնդի ձև, այլ պտտման էլիպսոիդի, դրանք պտտվում են ոչ թե շրջանագծերով, այլ էլիպսներով և այլն:

Ժամանակակից մարդը ուղիղ գծի և հարթության հետ միասին իր ավե-լի նրբացած ճաշակի ու պահանջմունքների համար օգտագործում է տեխնի-կական ավեի բարդ սարքավորումներ, որոնց մակերևույթները թեև կարող են հարթության մաս չկազմել, բայց, այնուամենայնիվ, պահանջում են ողոր-կություն, մարմնի հարթ լինելը բնութագրող մի հասկացություն, որն այդ շնորհը հնարավոր է լինում նկարագրել միայն ածանցյալի հասկացության շնորհիվ:

Իսկ ի՞նչ է հավասարությունը: Կարո՞ղ է որևէ մեկը իր կյանքը պատկե-րացնել առանց հավասարության առնչության: Մեզ անհրաժեշտ բոլոր չա-փումները, կշռումները, գնումները կատարվում են հավասարության սկզբունքի կիրառությամբ: Իսկ դրա հիմքում ընկած է մաթեմատիկական հավասարությունը, որը կատարյալ է, հանդիսանում է իդեալ, որին ձգտում են նրա բոլոր կիրառությունները, որոնք մեծ մասամբ ունեն մոտավոր բնույթ: Ավելին, մաթեմատիկական այդ կատարյալ հավասարությունն է, որը որպես «շինանյութ» ծառայում է և հնարավոր է դարձնում մաթեմատի-կական ողջ ճարտարապետությունը, ինչի հիման վրա էլ ստեղծվում է ժամանակակից գիտությունը և տեխնիկան. ինքնաթիռի թռիչքը, հեռուս-տահաղորդումը, արբանյակները և այլն:

Նմանատիպ դատողություններ կարելի է անել մաթեմատիկական շատ հասկացությունների և թեորեմների վերաբերյալ: Բացի այդ, մաթեմատի-կական շատ հասկացություններ և թեորեմներ կարելի է դիտել նաև որպես բնության առարկաների և երևույթների, բնական գիտությունների փաս-տերի և օրինաչափությունների մոդելավորման, իդեալականացման գործ-ընթացի արդյունք: Իսկ մաթեմատիկական ապացուցումը հանդիսանում է հիմնավորված խոսքի, նրա փաստարկվածության, ապացուցման իդեալա-կան ներկայացում:

11

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Այսպիսով, մաթեմատիկան, իր դրսևորման հիմնական ձևերի` հասկա-ցությունների, թեորեմների և ապացուցումների միջոցով հանդես է գալիս որ-պես բնության, ինչպես նաև բնական գիտությունների ուսումնասիրությանն ուղղված իդեալների համախմբություն: Եվ ինչքան նման է այս մոտեցումը գեղեցիկին տված Վ. Բրասնսկու բնորոշմանը` «գեղեցիկը մտահայեցողա-կան մոդելի համապատասխանեցումն է գեղագիտական իդեալի հետ»:

Բայց այստեղ մաթեմատիկական իդեալը ունի մի էական առանձնա-հատկություն: Մենք արդեն գիտենք, որ մաթեմատիկայի գեղեցկությունը հիմնականում պայմանավորված է գիտական գեղեցիկի հատկանիշներով և, հետևաբար, բնական է մաթեմատիկական իդեալը դիտարկել գիտական գեղեցիկի տեսանկյունից` նկատի ունենալով գիտական գեղեցիկի այդ հատ-կանիշները: Այստեղ, կախված գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ և սուբյեկտիվ հատկանիշներից, մաթեմատիկական իդեալը դրսևորվում է տարբեր կերպ: Գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատկանիշների տեսանկյունից մաթեմատի-կական իդեալը կախված չէ սուբյեկտից: Այն յուրաքանչյուր կոնկրետ դեպքի համար որոշակի է, միակն է: Երբեմն այն հանդես է գալիս որպես աքսիոմ կամ հիպոթեզ, իսկ շատ դեպքերում էլ ստացվում է համապատասխան հար-ցադրման լուծման արդյունքում: Օրինակ, հատվածը` որպես երկու կետերի միջև հեռավորության իդեալ, որպես կարճագույն ճանապարհ, կարող ենք ընդունել որպես երկրաչափական աքսիոմ, իսկ շրջանագիծը` որպես տվյալ երկարությամբ այն կորի իդեալ, որը իր ներսում ամփոփում է առավելագույն մակերես, ստացվում է ոչ այնքան պարզ հետազոտության արդյունքում: Աս-վածից հետևում է, որ գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատկանիշների տեսանկյունից մաթեմատիկական իդեալը հանգում է մաթեմատիկական ճշմարտության և նրա բացահայտման:

Այլ է պատկերը գիտական գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկանիշների տե-սանկյունից: Այստեղ գեղագիտականը ի հայտ է գալիս մաթեմատիկական գործունեության արդյունքում, և գեղագիտական իդեալը չունի զուտ մաթեմատիկական բնույթ և արտահայտվում է մարդկային գործունեության ընթացքին բնորոշ դրսևորումներով:

Գրականություն

1. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղեցիկը և Մաթեմատիկան, Երևան, 2014: 2. В. Бранский, Искусство и философия.

12

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

3. Винкельман А., История искусства древности, Равель, 1890. 4. Л. И. Лурье, Математическое образование в пространстве

эстетического опыта, Образование и наука, 2006, N6. 5. М.А.Родионов, Е.В.Ликсина, Эстетическая направленность обучения

математике и пути ее актуализаации, Пенза, 2003. 6. http://compulenta.computerra.ru/chelovek/biologiya/10007977/.

ЭСТЕТИЧЕСКИЙ ИДЕАЛ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

Г. С. Микаелян Резюме

В статье исследуется связь художественного идеала с математикой и с ее преподаванием. Понятие эстетического идеала связывается с отделными признаками прекрасного в математике. Показывается, что точка, прямая, плоскость и другие математические обьекты связаны, более того – возникают как идеалы в процессе моделирования некоторых обьектов действительности.

AESTHETIC IDEAL AND MATHEMATICAL EDUCATION H. S. Mikaelyan

Summary

This article examines the relation of the artistic ideal with mathematics and its teaching. The concept of the aesthetic ideal is associated with a separate signs of beauty in mathematics. It is shown that a point, line, plane and other mathematical objects are related, in fact - emerged as an ideal in the simulation of some objects of reality.

Համլետ Սուրենի Միքայելյան – ֆ.մ.գ.թ., մաթեմատիկայի /ՌԴ/ և մանկավարժության /ՀՀ/ պրոֆեսոր, ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի դասավանդ-ման մեթոդիկայի ամբիոնի վարիչի պաշտոնակատար, “Մաթեմատիկա դպրոցում” ամսագրի գլխավոր խմբագիր:

Էլ. hասցե` h.s.mikaelian@gmail.com Հեռախոս՝ 093 88 17 07

13

ԵՐՋԱՆԿՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ

Ենոքյան Ա.Վ., Հարությունյան Գ.Հ.

Բանալի բառեր – երջանկություն, բարոյական ար-ժեք, մաթեմատիկական կրթություն, գիտափորձ

Բարոյական արժեքների, այդ թվում երջանկության, ձևավորումը

հումանիստական կրթության հիմնական նպատակներից մեկն է, և դա է պատճառը, որ վերջին շրջանում հումանիստական կրթության ջատագով-ները հատուկ ուշադրություն են դարձնում նշված խնդրին։ Վերջինիս լուծ-ման համար կատարվում են մի շարք աշխատանքներ, մշակվում են մեթո-դիկաներ, որոնց իրագործումը նպաստում է սովորողների երջանկություն բարոյական արժեքի ձևավորմանը։ Այդ աշխատանքները կարելի է բաժա-նել երկու խմբի․առաջին խումբը փորձում է ուղղակիորեն ձևավորել երջան-կություն արժեքը, իսկ երկրորդ խումբը՝ այն իրականացնել ուսումնական առարկաների միջոցով։ Առաջին խմբին են պատկանում, օրինակ, մի շարք կազմակերպությունների կողմից արտադասարանական աշխատանքների, խրատական զրույցների համար մշակված նյութերը, որոնք խոսում են միայն երջանկության և բարոյական այլ կոնկրետ արժեքների մասին [տես (2)]։ Երկրորդ խմբին պատկանող աշխատանքներում հանգամանորեն քննարկված է միայն «մաթեմատիկա» ուսումնական առարկայի միջոցով բարոյական արժեքների ձևավորման խնդիրը։ Հ․Ս․Միքայելյանը [1] աշխա-տությունում ցույց է տվել, որ մաթեմատիկան ունի կրթական մեծ ներուժ երջանկության արժեքի ձևավորման գործում, հանգամանորեն քննարկել է երջանկության յուրաքանչյուր բաղադրիչի ձևավորման վրա «մաթեմատի-կա» ուսումնական առարկայի ունեցած ազդեցությունը:

Սակայն նշված աշխատանքների կիրառումը առավել արդյունավետ կլինի միայն այն դեպքում, երբ ուսուցիչները /նաև աշակերտները/ գի-տակցեն երջանկություն բարոյական արժեքի էությունը, մաթեմատիկայի ունեցած դերն ու նշանակությունը երջանկության ստեղծման գործում։ Սա նշված ուղղությամբ կատարվելիք աշխատանքների մեկնակետն է, որից էլ մենք սկսեցինք մեր ուսումնասիրությունները հանրակրթական դպրոցում

14

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

իրերի վիճակը պարզելու համար: Այս նկատառումով կատարեցինք երկու գիտափորձ. առաջին գիտափորձի նպատակն էր բացահայտել աշակերտ-ների վերաբերմունքը «մաթեմատիկա» ուսումնական առարկայի նկատ-մամբ, նրանց ունեցած ընկալումները երջանկության մասին և պարզել՝ արդյո՞ք տարբերություն կա կրթական տարբեր աստիճաններում այդ ուղ-ղությամբ նրանց ունեցած ընկալումների միջև։ Իսկ երկրորդ գիտափորձի նպատակն էր պարզել արդյո՞ք ուսուցիչները տեսնում են կապ բարեկեցիկ կյանքի և մաթեմատիկական կրթության միջև, ինչպես նաև աշակերտների համար մաթեմատիկան կարո՞ղ է բարեկեցիկ կյանք ապահովել /հանրու-թյան ընկալմամբ բարեկեցիկ կյանքը երջանկության կարևոր բաղադրիչնե-րից մեկն է/:

Առաջին գիտափորձն անցկացվել է Արարատի մարզի Սիսավան և Արալեզ գյուղերի միջնակարգ դպրոցներում։ Հարցման համար ընտրվել են միջին (8-րդ դասարան) և ավագ (11-րդ դասարան) դպրոցների շուրջ 100 աշակերտ (8-րդ դասարան`50 աշակերտ և 11-րդ դասարան`50 աշակերտ)։ Աշակերտներին բաժանվել են հարցաթերթիկներ, որոնք ունեին հետևյալ բովանդակությունը՝ 1․ Սիրու՞մ եք զբաղվել մաթեմատիկայով․ ա) այո բ) ոչ 2․ Ի՞նչն է Ձեզ գրավում մաթեմատիկայում․ ա) հետաքրքրաշարժ հանրահաշվական խնդիրները բ ) երկրաչափական խնդիրները գ ) մաթեմատիկայի ուսուցիչ դ) այլ տաբերակ ե ) ոչինչ 3. Ինչու՞ եք սովորում մաթեմատիկա ա) հետաքրքիր է բ) ուսուցիչն է հանձնարարում գ) ապագայում անհրաժեշտ է լինելու բարեկեցիկ ապրելու համար դ) զարգացնում է տրամաբանական մտածողություն ե) ունի հետաքրքիր կիրառություններ զ ) չեմ սովորում է ) այլ տարբերակ 4․Տանը ժամանակ տրամադրու՞մ եք մաթեմատիկային ա ) ոչ բ) միայն կատարում եմ տնային հանձնարարություններս գ) օգտվում եմ համացանցից և գտնում եմ հետաքրքիր մաթեմատիկական խնդիրներ 5․ Ո՞ր առարկայի իմացությունն է ավելի անհրաժեշտ ապագայում ավելի լավ վարձատրվելու (բարեկեցիկ ապրելու) համար․

15

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

ա) օտար լեզուներ, բ) պատմություն, գ) մաթեմատիկա, դ) հայոց լեզու 6․ Երջանկությունն այն է, երբ․․․ (կարող եք ընտրել 1-ից ավելի տարբե-րակներ) ա) երջանկությունն այն է, երբ բոլորը ողջ և առողջ են, բ) երջանկությունն այն է, երբ սիրում ու սիրված ես, գ) երջանկությունն այն է, երբ ժամանակդ ինքդ ես տնօրինում, դ) երջանկությունն այն է, երբ անում ես այն, ինչ ուզում ես, ե) երջանկությունն այն է, երբ ստանում ես այն, ինչ ցանկանում ես, զ ) երջանկությունն այն է, երբ բավարարված են քո ցանկությունները։ 7․ Ձեր կարծիքով կապ կա՞ մաթեմատիկական կրթության և երջանկու-թյան միջև․ ա) այո բ) ոչ գ) չեմ կարծում դ) միգուցե Ներկայացնենք հարցման արդյունքներն ըստ հարցերի։ 1․ Սիրու՞մ եք զբաղվել մաթեմատիկայով 11-րդ դասարանում այս հարցին հարցվածների 38%-ը դրական է պատաս-խանել, 62%-ը տվել է բացասական պատասխան, իսկ 8-րդ դասարանում միայն 33%-ն է տվել բացասական պատասխան, մնացած 67%՝ դրական է պատասխանել։ 2․ Ի՞նչն է Ձեզ գրավում մաթեմատիկայում․ 8-րդ դասարանում այս հարցին հարցվածների 9%-ը տվել են բացասական պատասխան՝ նշելով, ոչինչ տարբերակը։ 11-րդ դասարանում միայն 24%-ն է այս հարցին բացասական պատասխանել, 76%-ը ընտրել է ա) հետաքրքրաշարժ հանրահաշվական խնդիրները տարբերակը իսկ 25%-ը ընտրել է՝ բ) երկրաչափական խնդիրները տարբերակը։ 3. Ինչու՞ եք սովորում մաթեմատիկա 8-րդ դասարանում այս հարցին աշակերտների 18%-ը պատասխանել է բ) ուսուցիչն է հանձնարարում, 12 %-ը նշել է գ) ապագայում անհրաժեշտ է լինում բարեկեցիկ ապրելու համար, իսկ 46%-ը նշել է դ) զարգացնում է տրամաբանական մտածողություն և 10%-ը՝ ե) ունի հետաքրքիր կիրա-ռություններ, իսկ 14%-ը նշել է զ) չեմ սովորում տարբերակը։

16

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

11-րդ դասարանում հարցվողների 32%-ը նշել է դ) զարգացնում է տրամաբանական մտածողություն տարբերակը, 22%-ը ընտրել է գ) ապա-գայում անհրաժեշտ է լինում բարեկեցիկ ապրելու համար պատասխանը, 24%-ը նշել է, որ հետաքրքիր է՝ ընտրելով ա) հետաքրքիր է և ե) ունի հետաքրքիր կիրառություններ տարբերակը 22%-ը նշել է զ) չեմ սովորում տարբերակը։ 4․Տանը ժամանակ տրամադրու՞մ եք մաթեմատիկային 8-րդ դասարանում հարցված աշակերտների 82%-ը այս հարցին պատաս-խանել է՝ նշելով բ) միայն կատարում եմ տնային հանձնարարություններս տարբերակը, 13%-ը նշել է ա) ոչ տարբերակը և միայն 5%-ն է նշել գ) օգտվում եմ համացանցից և գտնում եմ հետաքրքիր մաթեմատիկական խնդիրներ տարբերակը։ 11-րդ դասարանում աշակերտների 12%-ը այս հարցին պատասխանել է՝ նշելով գ) օգտվում եմ համացանցից և գտնում եմ հետաքրքիր մաթեմատի-կական խնդիրներ տարբերակը, 52%-ընտրել է բ) միայն կատարում եմ տնային հանձնարարություններս պատասխանը, իսկ 36%-ը նշել է ա) ոչ տարբերակը։ 5․ Ո՞ր առարկայի իմացությունն է ավելի անհրաժեշտ ապագայում ավելի լավ վարձատրվելու (բարեկեցիկ ապրելու) համար․ 8-րդ դասարանում այս հարցին հարցվողների 44%-ը նշել է ա) օտար լեզուներ տարբերակը, միայն 10%-ը նշել է գ) մաթեմատիկա տարբերակը, 12%-ը ընտրել է բ) պատմություն տարբերակը և մնացած 34%-ը նշել է դ) հայոց լեզու տարբերակը։ 11-րդ դասարանում պատկերը հետևյալն է՝ աշակերտների միայն 9%-ն է նշել գ) մաթեմատիկա տարբերակը, 73%-ը նշել է ա) օտար լեզուներ տարբերակը, մնացած 14%-ը նշել են բ) պատմություն և դ) հայոց լեզու տարբերակները։ 6․ Երջանկությունն այն է, երբ․․․ 8-րդ դասարանում հարցման պատկերը հետևյալն է՝ աշակերտերի 72%-ը ընտրել է՝ ա) երջանկությունն այն է, երբ բոլորը ողջ և առողջ են, և բ) երջանկությունն այն, երբ սիրում ու սիրված ես տարբերակ-ները, իսկ 28 %-ը ընտրել է գ) - զ) տարբերակները։ 11-րդ դասարանում 70% հարցվածներ ընտրել են ա) և բ) տարբերակները, իսկ 30 %-ը՝ գ)- զ) տարբերակները։

17

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

7․ Ձեր կարծիքով կապ կա՞ մաթեմատիկական կրթության և երջանկու-թյան միջև․ 8-րդ դասարանում վերջին հարցին աշակերտների 25%-ը պատասխանել է ընտրելով ա) այո և դ) միգուցե տարբերակները, իսկ մնացած 75%-ը՝ բ) ոչ և գ) չեմ կարծում տարբերակները։ 11-րդ դասարանում պատկերն այսպիսին է՝ 36%-ը պատասխանել է՝ ընտ-րելով բ) ոչ և գ) չեմ կարծում տարբերակները, իսկ 64%-ն ընտրել է ա) այո և դ) միգուցե պատասխանները։ Գիտափորձի վերլուծություն։ Համեմատելով 8-րդ և 11-րդ դասարաննե-րում ստացված հարցման արդյունքները կարելի է նշել, որ պատասխաննե-րում նկատվում են զգալի տարբերություններ։ Միավորելով և համակարգելով 8-րդ և 11-րդ դասարանի աշակերտների տված պատասխանները՝ 1-ին, 2-րդ և 3-րդ հարցերին, որոնք նպատակ էին հետապնդում պարզելու սովորողների վերաբերմունքը «մաթեմատիկա»

ուսումնական առարկա-յի վերաբերյալ, նշենք, որ ընդհանուր հարց-վածների 23 %-ն այս հարցերին բացասական է պատասխանել։ 8-րդ դասարանում մա-թեմատիկա ուսումնա-կան առարկայի վերա-բերյալ ավելի դրական

կարծիքներ եղան, քան 11-րդ դասարանում, քանի որ առաջին 3 հարցերին 8-րդ դասարանում աշակերտների միայն 9%-ն է տվել բացասական պատասխան, իսկ 11-րդ դասարանում միայն 24%-ը (տես [գծ․1]): 8-րդ դասարանում 3-րդ հարցին պատասխնել են՝ընտրելով գ) ապագայում անհրաժեշտ է լինում բարեկեցիկ ապրելու համար տարբերակը աշակերտ-ների 12%-ը, իսկ 11-րդ դասարանում այդ նույն տարբերակն ընտրել է հարց-վածների 22%-ը։ 4-րդ հարցին պատասխանելիս 8-րդ դասարանի աշակերտների 5%-ն է միայն նշել գ) օգտվում եմ համացանցից և գտնում եմ հետաքրքիր մաթե-մատիկական խնդիրներ տարբերակը, իսկ 11-րդ դասարանում այդ տարբերակն ընտրող աշակերտներն ավելի մեծ տոկոս են կազմել՝ 12% ։

9%

24%

8-րդդասարան

11-րդդասարան

Գծ․ 1

18

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

5-րդ հարցին 8–րդ և 11-րդ դասարանի աշակերտների զգալի մեծամասնու-թյունը (8-րդ դասարանում՝ 44% և 11-րդ դասարանում 73% ) ընտրել են ա) օտար լեզուներ տարբերակը՝ կարևորելով օտար լեզվի դերը բարեկեցիկ կյանք ստեղծելու և լավ վարձատրվելու համար։ 8-րդ դասարանում հարցվածների միայն 10%-ն է կարևորել մաթեմատիկա-յի դերը բարեկեցիկ ապրելու գործում և ընտրել գ) մաթեմատիկա տարբե-

րակը, իսկ 11-րդ դասա-րանում՝ աշակերտնե-րի 9%-ը (տես [գծ․2]): Ի մի բերելով տվյալ-ներն այս հարցի շուրջ, կարելի է ասել, որ մա-թեմատիկայի ուսում-նական գործընթացում շատ քիչ է ապահով-ված նրա կիրառական ոլորտի կապը առօրյա

կյանքի հետ, այդ իսկ պատճառով, սովորողների մեծամասնությունը չի ընկալում մաթեմատիկայի դերն ու կարևորությունը բարեկեցիկ կյանքի ապահովման գործում։ 6-րդ հարցին 8-րդ և 11-րդ դասարանում տրված պատասխանները զգալիո-րեն տարբերվում էին միմյանցից։ Բարձր դասարաններում աշակերտները ավելի կարևորել են սիրելու և սիրված լինելու, ողջ և առողջ լինելու հանգա-մանքը, իսկ 8-րդ դասարանում երջանկության ընկալումներն ավելի անհա-տական բնույթ են կրել՝ կարևորվել են հիմնականում ցանկությունների բավարարումը և ժամանակի ինքնուրույն տնօրինումը։ Արդյունքներից երևում է, որ երջանկությունը տարբեր կերպ են ընկալում միջին և ավագ դպրոցի աշակերտները։ Այսինքն նրանց պատկերացումները երջանկու-թյան մասին միտված չեն ապագային և հեռահար բնույթ չեն կրում։ Վերջին հարցը ևս վերլուծելով՝ կարելի է նշել, որ այստեղ ևս նկատվում են կարծիքների փոփոխություն՝ 8-րդ դասարանում այս հարցին աշակերտ-ների միայն 25%-ն է կապ տեսել մաթեմատիկայի և երջանկության միջև,

0%10%20%30%40%50%60%70%80%

8-րդ դասարան

11-րդդասարան

Գծ․2

19

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

իսկ 11-րդ դասարանում այդ կապը տեսել է հարցվածների 64%-ը (տես[գծ․3]):

Գծ․3

Երկրորդ գիտափորձի համար հարցումները կատարվել են մաթե-մատիկա դասավանդող ուսուցիչների և առարկայի հետ անմիջական կապ ունեցող մասնագետների (ուսանողներ, ասպիրանտներ, դասախոսներ) շրջանակներում։ Հարցվողները եղել են շուրջ 50 հոգի։ Նրանց տրվել է հարցաթերթիկ, որոնք պարունակել են ընդամենը երկու հարց՝ առանց հնարավոր տարբերակների։ Հարցվողների սեփական կար-ծիքները վերլուծելով արվել է համապատասխան վերլուծություններ։ Հարցաթերթիկն ուներ հետևյալ բովանդակությունը՝ Հարց 1 «Արդյո՞ք մաթեմատիկական կրթությունը բարեկեցիկ կյանքի համար կարևոր ներդրում կարող է ունենալ»։ Հարց 2 «Կարևորու՞մ եք աշակերտների մաթեմատիկական կրթության դերը որպես հետագայում նրանց բարեկեցիկ կյանքի կարևոր գործոն»։ Գիտափորձի արդյունքները և վերլուծությունը - Հարցվածների 79%-ը նշել է, որ մաթեմատիիկական կրթությունը իր ուրույն ներդրումն ունի բա-րեկեցիկ կյանքի ստեղծման համար և կարևորել է աշակերտների մաթե-մատիկական կրթության դերը որպես հետագայում նրանց բարեկեցիկ կյանքի կարևոր գործոն: Նրանք նշել են, որ մաթեմատիկական կրթությունը մեծ դեր է խաղում մարդու զարգացման, կատարելագործման և ինք-նադրսևորման համար։ Ապագայում մրցունակ և լավ վարձատրվող աշխա-տանք ունենալու համար մաթեմատիկական գիտելիքները և մաթեմա-տիկական մտածողությունը անհրաժեշտ է բոլորին։ Բացի այս մաթեմատի-կան նպաստում անհատի տրամաբանական, ստեղծագործական մտածո-ղության, նպատակներ նախանշելու կարողության, ինչպես նաև

25%

64%8-րդ դասարան

11-րդ դասարան

20

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

հաշվարկներ կատարելու հմտության ձևավորմանը, որոնք անհրաժեշտ որակներ են բարեկեցիկ կյանք ստեղծելու համար: Նրանք իրենց տեսա-կետը հիմնավորում են նաև նրանով, որ [1] աշխատանքում հստակ ցույց է տրված, որ մաթեմատիկական կրթության միջոցով հնարավոր է ձևավորել նաև պատիվ, հարգանք, արդարություն բարոյական արժեքները, որոնք նույնպես կարևոր գործոններ են երջանկության համար: Հարցվածների 10%-ը դժվարացել և երկմտել է պատասխանել այս հարցե-րին՝ նշելով, որ մաթեմատիկական կրթությունը կարող է և նպաստել և խոչընդոտել բարեկեցիկ կյանք ունենալու համար: Եվ վերջապես, հարցվածների 11%-ի կարծիքով մաթեմատիկան չի կարող որևէ ներդրում ունենալ բարեկեցիկ կյանքի ստեղծման գործում և չի կա-րևորել աշակերտների մաթեմատիկական կրթության դերը որպես հետա-գայում նրանց բարեկեցիկ կյանքի կարևոր գործոն՝ նշելով, որ մաթեմատի-կայի դասերի ժամանակ, աշակերտները չեն տեսնում առարկայի տեսական նյութի կապը առօրյա կյանքի հետ, և այն, որ մաթեմատիկան մարդու մեջ ձևավորում է մի շարք արժեքներ, որոնք չեն նպաստում հաջողության հաս-նելուն(տես [գծ․ 4])

Այսպիսով, ուսուցիչների գերակշիռ մասը գիտակ-ցում է մաթեմատիկա-կան կրթության դերն ու նշանակությունը բարե-կեցիկ կյանքի և հետևա-բար երջանկության ձևա-վորման գործում և գո-վելի է նաև այն փաստը, որ նրանք բերում են մի շարք օրինակներ և

փաստեր, որոնք հիմնավորում են իրենց տեսակետը։ Միավորելով կատարված երկու գիտափորձերից ստացված արդ-

յունքները և վերլուծելով դրանք պարզ է դառնում, որ շատ ուսուցիչներ աշա-կերտներին չեն զինում այնպիսի հիմնարար գիտելիքներով և տեղեկու-թյուններով, որոնք ավելի կընդգծեն «մաթեմատիկա» ուսումնկան առար-կայի կիրառական նշանակությունը, գրավչությունն ու գեղեցկությունը։ Ուսուցիչները միանշանակ կարևորելով մաթեմատիկայի դերը ապագայում

79%

11%10%

Կարևորել է

Չի կարևորել

Դժվարացել էպատասխանելԳծ․ 4

21

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

ավելի բարեկեցիկ կյանք ունենալու և երջանկության ձևավորման գործում, աշակերտների մեջ ևս պետք է ձևավորեն այդ կարևորությունը նկատելու և տեսնելու կարողություններ։ Այս ամենը մեզ մտորումների տեղիք է տալիս, և մենք խորամուխ կլինենք կազմելու այնպիսի միջոցների, հնարների համակարգ, որը համադրելով վերը նշված ուղիների հետ կհասնենք ցանկալի արդյունքի։

Գրականություն

1. Հ.Ս.Միքայելյան, Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը, -Եր.: Էդիթ Պրինտ, 2011.-184էջ:

2. http://www.ethics-education.eu/home/index.htm

СЧАСТЬЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ Енокян А., Арутюнян Г.

Резюме

Работа посвящена проблему формирования счастья с помощью математического образования. Представлены результаты и анализы экспериментов, провиденных в рамках изучаемой задачи, с помощью которой выяснены отношение учеников к учебной дисциплине „Математика”, их восприятия о счастья и различия их восприятия в этом направлении на разных образователных ступенях.

HAPPINESS AND MATHEMATICAL EDUCATION Yenokyan A., Harutyunyan G.

Summary

The paper is devoted to the issue of formation happiness through mathematical education. The experiments’ results and analysis are represented, by which there is revealed pupils’ attitude toward mathematics, their perceptions about happiness and differences between their perceptions in

22

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

various educational stages. Beside this, there is found out teachers’ opinion about mathematics role on the process of ensuring the prosperous life of learners.

Ենոքյան Անահիտ Վարդանի - ՀՊՄՀ, Մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոնի ասպիրանտ, Էլ. հասցե՝ anahit19xy@gmail.com, Հեռախոս՝ 091-90-68-04 Հարությունյան Գայանե Հովիկի - ՀՊՄՀ, Մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոնի մագիստրոս, Էլ. հասցե hgayush30@mail.ru, Հեռախոս՝ 098-75-76-21

23

ՏԱՐՐԱԿԱՆ ԴԱՍԱՐԱՆՆԵՐԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ ԱՌԱՐԿԱՅԻ ԳՈՐԾՆԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԻ

ԹՎԱՅՆԱՑՄԱՆ ՄԱՍԻՆ

Արմինե Նավասարդյան, Իսկուհի Հակոբյան, Արմինե Խաչատրյան, Հասմիկ Խաչատրյան

Բանալի բառեր - տեղեկատվական և հեռահաղոր-դակցություն տեխնոլոգիաներ, համաշխարհային տեղե-կատվական շտեմարաններ, էլեկտրոնային աշխա-տանքային տետր:

Ներկայումս աշխարհում տեղի ունեցող գրեթե բոլոր գործընթաց-

ները տանում են տեղեկատվական հասարակության ձևավորմանը: Այդ գործընթացներից հատկապես կարելի է առանձնացնել տեղեկատվու-թյան, գիտելիքների, տեղեկատվական տեխնոլոգիաների դերի բարձրա-ցումը հասարակության կյանքում, հասարակության տեղեկատվայնա-ցումը, տեղեկատվական և հեռահաղորդակցման ոլորտում աշխատող-ների թվաքանակի աճը, տեղեկատվական և հաղորդակցական տեխնո-լոգիաների արտադրանքի ծավալի աճը ընդհանուր արտադրության ծա-վալի մեջ և այլն։

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

24

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Անշուշտ գլոբալ տեղեկատվական միջավայրի ձևավորումը պահան-ջում է հասարակության յուրաքանչյուր անդամից տեղեկատվական և հա-ղորդակցական նորագույն տեխնոլոգիաների բավարար իմացություն, որպեսզի վերջինս կարողանա` հաղորդակցվել հասարակության այլ անդամների հետ, բավարարել իր տեղեկատվական պահանջները, մուտք գործել համաշխարհային տեղեկատվական շտեմարաններ, մասնագիտական ոլորտւմ կիրառել այդ տեխնոլոգիաները և այլն:

Տեղեկատվության հետ աշխատանքը այսօր հնարավոր չէ պատ-կերացնել առանց համակարգիչների, թվային այլ տեխնոլոգիաների կամ ժամանակակից կապուղիների։ Վերջիններս մարդուն ազատում են մեծա-ծավալ մեխանիկական կամ բարդ հաշվարկներ պահանջող աշխատանք-ներից, նպաստում ինֆորմացիայի արագ և անհրաժեշտ տեսքով մշակ-ման գործընթացների կատարմանը, այդ կերպ բարձրացնում մարդու ար-տադրողականությունը: Ասվածից հետևում է, որ զարգացման այս մի-տումները` տեղեկատվության ստացման, մշակման, պահպանման և փո-խանցման մասերով, բարձր պահանջներ են ներկայացնում հասարակու-թյան բոլոր անդամներին:

Տեղեկատվության հետ արդյունավետ աշխատանքի կարևորագույն երաշխիքներն են` հասարակության անդամի տեղեկատվական մշակույ-թը, վերլուծական և լեզվատրամաբանական հմտությունները և այլն։ Որպեսզի հնարավոր լինի «աճեցնել» հասարակության լիարժեք և ակտիվ անդամ, աշխատաշուկայում մրցունակ մասնագետ, անհրաժեշտ է ունե-նալ առաջադրվող պահանջներին համապատասխանող կրթական համակարգ: Վերջինիս համար պարտադիր պայման է ՏՀՏ-ի ներդրումը կրթության մեջ, որի դասավանդումը պետք է լինի անընդհատ` կրթության բոլոր աստիճաններում, սկսած տարրականից, ինչի արդյունքում հնա-րավոր կլինի ապահովել` ուսումնական նյութի առավել մեծ ծավալի ուսումնասիրություն, նորագույն տեխնոլոգիաների և սարքերի հետ աշխատանքի

հմտությունների ձևավորում, հասարակության յուրաքանչյուր անդամի մոտ ազգային և

համաշխարհային արժեքների հիման վրա նոր արժեհամակարգի ձևավորում և այլն։

25

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Ուսումնառության առաջին իսկ օրից, աշակերտներն օգտագործում են զանազան դասագրքեր, աշխատանքային տետրեր, նկարչական ալ-բոմներ, տեսա և ձայնա երիզներ, որոնց օգնությամբ աշխատում են տե-ղեկատվության տարբեր տիպերի հետ: Այդ կերպ նրանք սովորում են ստանալ, պահպանել, վերլուծել և հաղորդել տեղեկատվություն: Ասվածից հետևում է, որ տարրական դասարաններում նորագույն ինֆորմացիոն տեխնոլոգիաների ներմուծումը ոչ միայն ցանկալի է, այլև ժամանակի հրամայականը: Եվ եթե 6-9-րդ դասարաններում դասավանդվող բազմա-թիվ առարկաների համար պատրաստված և դպրոցներին են տրամադր-ված, հայալեզու թվայնացված ուսուցողական ծրագրային փաթեթներ, ապա նույնը ասել տարրական դասարանների համար չի կարելի:

Ներկայացվող հոդվածը վերաբերվում է 2-րդ դասարանի մաթեմա-տիկա առարկայից աշխատանքային տետրերի պատրաստմանն ու դրանց թվայնացման խնդիրներին: Ասվածն իրականացնելու համար նախ կատարվել է չափորոշչի, ուսումնական ծրագրի և դասագրքի ման-րակրկիտ ուսումնասիրություն, ինչից հետո պատրաստվել է «Աշխատան-քային տետր» հիշյալ առարկայից, որի մեջ ընդգրկված թեմաները ամբող-ջությամբ համապատասխանում են հիշյալ առարկայի թեմատիկ ցանկին (Հավելված 1-ում բերված է առաջադրանքների մեկ օրինակ): Յուրաքանչ-յուր առաջադրանք, բացի թեմային վերաբերվող վարժություններից և խնդիրներից, ներառում է նաև մեկ կամ մի քանի տրամաբանական հարցեր: Թեմայի յուրացման աստիճանը բացահայտելու, ինչպես նաև բացառիկ կարողություններով երեխաների հետ ուսուցումը էլ ավելի խորացված կազմակերպելու համար, թեմայի ավարտական ամփոփիչ առաջադրանքներում կարելի է հանդիպել, այսպես կոչված աստղանիշով խնդիրներ կամ վարժություններ, որոնց կատարումը պարտադիր չէ ողջ դասարանի համար, այլ կամավոր է` աշակերտների ցանկությամբ և ընտրությամբ: Յուրաքանչյուր դասի համար նախատեսված է նաև մեկ ինքնուրույն աշխատանք և յուրաքանչյուր թեմայի ավարտին ևս մեկ թեմատիկ աշխատանք: Սրանք թույլ կտան ուսուցչին արագ կողմնորոշ-վելու, թե տվյալ թեման ինչպես է յուրացվել առանձին աշակերտների կող-մից և եթե անհրաժեշտություն լինի, լրացուցիչ կամ մասնակի պարապ-մունքների ձևով նպաստել ընդհանուր դասավանդման պրոցեսից հետ մնացող երեխաներին կամ ընդհակառակը խրախուսել բոլոր նրանց,

26

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ովքեր առավել բարձր առաջադիմություն են ցուցաբերել կամ ավելի ինքնուրույն են: Այս կերպ կապահովվի դասարանում շերտավորված ուսուցում: Ասվածն իրականացնելու համար ինքնուրույն և թեմատիկ աշ-խատանքների համար սահմանվել է բալային համակարգ:

Մշակված «Աշխատանքային տետրը» ներկայացված է կարծիքի և միաժամանակ նախագծված է համացանցում աշխատող մի համակարգ, որտեղ իրականացվել է բերված աշխատանքային տետրի էլեկտրոնային տարբերակը: Համակարգը բաղկացած է 2 մոդուլներից, որոնց մանրա-մասն նկարագրությունները բերված են ստորև: Այսպես առաջին մոդուլը, նախատեսված է ուսուցչի համար, և այն բաղկացած է աշակերտների գրանցման, հանձնարարականների տրման և աշակերտների կողմից կա-տարված առաջադրանքների ստուգման ու դրանց գնահատման համար: Մուդուլ մուտք գործելու համար ուսուցչին տրամադրվում է միացման ծածկանուն և գաղտնաբառ, որոնք նա պետք է ներմուծի նկ 1-ում բերված ինտերֆեյսի «Ծածկանուն» և «Ծածկագիր» վերնագրերով տեքստային դաշտերում: Ուսուցչի մոդուլը բերված է նկ 2-ում, իսկ հնարավորու-թյունները պարզաբանված են ստորև:

Այսպես, «Ուսուցչի» մոդուլում առկա է «Նոր աշակերտի գրանցում» վերնագրով հրամանային կոճակը, որի թողարկումը էկրանին բացում է մեկ այլ պատուհան (տես նկ 3-ը), որտեղ ուսուցիչը հնարավորություն ունի կատարելու նոր աշակերտների գրանցում: Վերջինիս մեջ տեղակայված բոլոր դաշտերում տվյալների ներմուծումը պարտադիր է, բացթողումների

Նկ 1 Նկ 2

27

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

դեպքում «Մուտք» վերնագրով հրամանային կոճակի թողարկումը չլրաց-ված դաշտերի համար էկրան է դուրս բերում համարժեք հաղորդագրու-թյուններ գրանցումներ կատարելու վերաբերյալ: Գրանցված աշակերտի համար սահմանված էլեկտրոնային փոստի հասցեն և ծածկագիրը ծառա-յում են որպես «Աշակերտի ծածկանուն» և «Աշակերտի ծածկագիր», «Աշակերտի» մոդուլ մուտք գործելու համար:

Կրկնակի ծածկանուններով գրանցումը համակարգում արգելա-փակված է, իսկ աշակերտների գրանցման գործընթացը շարունակական դարձնելու նպատակով ինտերֆեյսում նախատեսված է ,,Ավելացնել նոր աշակերտ” վերնագրով հրամանային կոճակը:

Ուսուցչի մոդուլի մեջ հաջորդ կարևոր բաժինը դա յուրաքանչյուր օրվա համար հանձնարարականների սահմանումն է: Վերջինս իրակա-նացվում է «Նոր հանձնարարականներ» բաժնում (տես նկ 2-ը) համապա-տասխան «Դասի» կամ «Ինքնուրույն աշխատանքի» համար փոխան-ջատման դրոշի միացմամբ, որոնք այնուհետ ամրագրվում են «Հաստա-տել» կոճակով: Իսկ ահա կատարված հանձնարարականների ստուգման համար նախատեսված է «Հանձնարարականների ստուգում» բաժինը: Այստեղ կատարելով վայր ընկնող ցանկից աշակերտի անվանման ընտ-րություն և դասերի ցանկից համապատասխան դասի հերթական հա-մարի ընտրություն, ուսուցիչը հնարավորություն ունի «Բացել» հրամա-նային կոճակի օգնությամբ էկրանին թողարկել ընտրված աշակերտի հա-մար նրա կատարած տնային աշխատանքը և ստուգել այն: Սակայն

Նկ 3 Նկ 4

28

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

նախքան կցուցադրենք այդպիսի մի օրինակ, նախ անցնենք «Աշակերտի մոդուլ» և որևէ աշակերտի համար ներկայացնենք օրվա առաջադրանքի ընտրման և կատարման գործընթացը, իսկ այնուհետ կատարված աշխատանքը կդիտենք և կստուգենք «Ուսուցչի» մոդուլի մեջ:

Եվ այսպես այժմ անցնենք «Աշակերտի» մոդուլի հնարա-վորությունների ներկայացմա-նը: Ինչպես և նախորդ մոդուլի դեպքում, այտեղ ևս դեպի մո-դուլ մուտքն իրականացվում է յուրաքանչյուր աշակերտին տրամադրված «Ծածկանվան» և «Ծածկագրի» ճիշտ ներմու-ծումից հետո միայն (տես նկ 4-ը): Արդյունքում էկրանին բաց-

վում է տվյալ աշակերտի «Աշխատանքային տետրը» իր անուն ազգանու-նով և օրվա հանձնարարականների ցանկով (տես նկ 5-ը): Նրանում կա-տարելով «Տնային աշխատանք» կամ «Ինքնուրույն աշխատանք» բաժին-ներից որևէ մի առաջադրանքի ընտրություն, վերջինս անմիջականորեն կբացվի էկրանին (տես նկ 6 և 9-ը):

Կատարելով դատարկ վանդակներում համապատասխան լրացումներ, «Հաստատել» հրամանային կոճակի օգնու-թյամբ օրվա առաջադրանքը ա-շակերտը հնարավորություն ու-նի հղելու սերվեր, որտեղից և ուսուցիչը այն կարող է ստուգել և գնահատել: Նկ.4-ում մենք տեսնում ենք որ համակարգ է մուտք գործել Հերմինե Լեռ-նիկի Բաղդասարյանը, որն ըն-տրել է թիվ 2 առաջադրանքը (տես նկ 6-ը): Սակայն նա թույլ է տվել 2 սխալ և ստուգման

Նկ 5

Նկ 6

29

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ընթացքում ուսուցիչը դրանք ուղղել է (տես նկ 7-ը): Այժմ, երբ ուսուցիչը կատարել է բոլոր ստուգումները, հիշյալ աշակերտը մուտք գործելով համակարգ կարող է տեսնել ինչպես իր կողմից թույլ տրված սխալները, այլև ուսուցչի դիտողությունները և իր կատարած աշխատանքի գնահատականը (տես նկ 8-ը):

Նշենք, որ նույն տրամաբանությամբ է աշխատում նաև «Աշակեր-

տի» մոդուլի «Ինքնուրույն աշխատանք» հատվածը, բացառությամբ այն բանի, որ այս դեպքում աշխատանքի ստուգումն իրականացվում է ան-միջականորեն ավտոմատ կերպով համակարգի կողմից և աշխատանքի կատարումը հաստատելուց հետո աշակերտը անմիջականորեն էկրանին տեսնում է թե’ իր կատարած սխալները, թե’ ճիշտ պատասխանները, և

Նկ 7 Նկ 8

30

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

թե’ արդյունարար գնահատականը, որը ձևավորվում է ճիշտ կատարված վարժությունների կամ խնդիրների պատասխանների քանակով:

Այսպիսով ներկայացված ձեռնարկը և մշակված նախագիծը թույլ կտան 2-րդ դասարանի աշակերտների մոտ ձևավորել կանոնակարգված գիտելիքներ մաթեմատիկա առարկայից, կապահովեն առավել մեծ թվով երեխաների ընդգրկումը դասապրոցեսին, ինչպես նաև թույլ կտա կատարել շերտավորված ուսուցում, առանց ուսուցչի կողմից հավելյալ ջանքերի գործադրման: Բացի այդ ինքնուրույն աշխատանքների ավտո-մատ ստուգումը, որոնք նախատեսվում է կազմակերպել շաբաթական 1 անգամ պարտադիր կերպով, թույլ կտա ուսուցչին ավելի մոտիկից զգալու դասարանի ընդհանուր վիճակը, այդ կերպ նրա ձեռքը մշտապես պահելով դասարանի զարկերակի վրա:

Հավելված 1 ԵՐԿՆԻՇ ԹՎԵՐԻ ԳՈՒՄԱՐՈՒՄՆ ՈՒ ՀԱՆՈՒՄԸ ԿԱՐԳԱՅԻՆ

ԱՆՑՈՒՄՆԵՐՈՎ ՏՆԱՅԻՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔ 24

1. Հաշվել գումարը

2. Համեմատել թվերը դնելով համապատասխան նշանը (<, >, =)

73 + 17 73 + 15 25 + 60 35 + 60

50 - 30 50 - 20 68 - 30 68 - 20

3. Տասնյակներից մեկը ներկայացնել միավորի տեսքով

Օրինակ` 60= 5տ + 10 մ

18 + 22 = 71 + 9 =

56 - 36 = 37 - 24 =

80 = տ + մ 79 = տ + մ

44 = տ + մ 96 = տ + մ

31

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

4. Լուծել խնդիրը Առաջին դասարանում կա 56 աղջիկ և 7-ով ավել տղաներ: Քանի տղա է սովորում առաջին դասարանում:

О ПРИМЕННННННЕНИЕ ОЦИДРОВАНИЯ В ПРАКТИЧЕСКИЬ РАБОТАХ ПО

МАТИМАТИКЕ ДЛЯ НАЧАЛЬНЫХ КЛАССОВ Анотация

Разработан сборник самостоятельных работ и задач по математике для 2-ого класса в соответствии со школьной программой и гос стандартом, на основании которого проектирована в интернете действующая электронная рабочая тетрадь. Разработанный пакет поддерживат проверку и исправление ошибок этих работ как автоматически, так и с помощью учителя.

ABOUT DIGITIZATION THE PRACTICAL WORKS OF INITIAL

CLASSES FOR A MATEMATICS Summary

Was developed the collection of independent works and tasks in

mathematics for the 2nd class according to the school program and the state standard on the basis of which the operating electronic workbook is projected on the Internet.

The developed package to support check and correction of errors of these works as automatically, and by means of the teacher.

32

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Գրականություն 1. Մաթեմատիկա 2-րդ դասարանի դասագիրք, Ս.Մկրտչյան,

Ա.Աբրահամյան, Ս.Իսկանդարյան: Զանգակ հրատ. Երևան 2014թ. 2. Програмирование для WEB . Библиотека порфессионала. Марти Холл

Лерии Браун. Москва.2002. ISBN 5-8459-0237-1 3. Learning PHP MySQL JavaScript and CSS Book Author: Robin Nixon 4. MySQL Учебное пособие. Люк Веллинг, Лора Томсон. 304стр,ISBN 5-

8459-0769-1, 0-672-32584-5, 5. PHP and MySQL Web Development 4th Edition. Author: Luke Welling,

Laura Thomson

Արմինե Հրաչիկի Նավասարդյան - Հայկական Պետական Ման-կավարժական Համալսարանի, Ինֆորմատիկայի և դրա դասավանդման մեթոդիակայի ամբիոնի դոցենտ: Էլ. հասցե՝ amano09@rambler.ru, Հեռ.՝ 091474799 Իսկուհի Հրաչիկի Հակոբյան - Երևանի Ա.Նավասարդյանի անվան թիվ 196 հիմնական դպրոցի դասվար: Էլ. հասցե` hakobyan_iskuhi@rambler.ru Հեռ.՝ 096 57 60 57 Արմինե Վարուժանի Խաչատրյան - ՀՊՄՀ-ի Մաթեմատիկայի, ֆիզիկա-յի և ինֆորմատիկայի ֆակուլտետի, Ինֆորմատիկա մասնագիտության մագիստրատուրայի 2-րդ կուրսի ուսանողուհի: Էլ. հասցե՝ arminekhachatryan3@gmail.com Հեռ.՝ 077260069 Հասմիկ Վարուժանի Խաչատրյան - ՀՊՄՀ-ի Մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և ինֆորմատիկայի ֆակուլտետի, Ինֆորմատիկա մասնա-գիտության մագիստրատուրայի 1-ին կուրսի ուսանողուհի: Էլ. հասցե՝ hasmik.khachatryan.1993@mail.ru Հեռ.՝ 091349458

33

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԴԱՍԱԺԱՄԵՐԻՆ ՏԵՂԵԿԱՏՎԱԿԱՆ ԵՎ ՀԱՂՈՐԴԱԿՑԱԿԱՆ

ՏԵԽՆՈԼՈԳԻԱՆԵՐԻ ՕԳՏԱԳՈՐԾՄԱՆ ԻՄ ՓՈՐՁԸ

Հռիփսիմե Ավագյան

Բանալի բառեր - շնորհանդես, տեղեկատվա-կան և հաղորդակցական տեխնոլոգիաներ (ՏՀՏ), նորարարություն, նախագծային գործունեություն:

Փորձը ցույց է տալիս, որ եթե տարրական դպրոցում աշակերտները հաճույքով են սովորում մաթեմատիկան, ապա միջին օղակում ընկնում է նրանց առաջադիմությունը, և դպրոց հաճախում են արդեն հիմնականում միմյանց հետ շփվելու և ժամանակ անցկացնելու համար: Հետաքրքրությու-նը գիտելիքի հանդեպ առաջանում է միայն ավագ դպրոցում, երբ աշա-կերտները գիտակցում են միջին մասնագիտական և բարձրագույն հաս-տատություններ ընդունվելու անհրաժեշտությունը: Մաթեմատիկայի դասավանդումը բավականին բարդ գործընթաց է. եթե ուսման որևէ փուլում աշակերտը վատ է յուրացրել նյութը, ապա, որպես կանոն, հաջորդը կըմբռնի ավելի վատ, հետևաբար այլևս ի վիճակի չի լինի լավ սովորելու: Տարիների ընթացքում ընկնում է նրա առաջա-դիմությունը մաթեմատիկայից և հետևաբար` այն առարկաներից, որոնք փոխկապակցված են: Նման իրավիճակի պատճառն այն է, որ մաթեմատի-կայում առկա են ներառարկայական կապերը: Այսպիսով մաթեմատիկայի դասերը դառնում են անհետաքրքիր և ձանձրալի:

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

34

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Գաղտնիք չէ, որ մաթեմատիկայի դասավանդման ավանդական մե-թոդները քիչ արդյունավետ են և չեն երաշխավորում կրթության որակը: Հաշվի առնելով այն փաստը, որ ոչ բոլոր երեխաներն են հավասարապես ջանասեր և ունեն տարբեր ունակություններ, պետք է պլանավորել դասերն այնպես, որ յուրաքանչյուր աշակերտ ունենա իր դերը դասարանում, զգա իր ներկայության կարևորությունը, հատկապես, դա վերաբերվում է թույլ աշակերտներին: Սովորողների առաջադիմությունը բարձրացնելու համար պետք է պարբերաբար նրանց զարմացնել, հետաքրքրություն առաջացնել և այսպես ներգրավել ուսման գործընթացին: Իհարկե, ապահովել իրենց մասնակցությունը բացառապես բոլոր դասերին դժվար է, սակայն կան բազմաթիվ դասեր, որոնց ընթացքում նրանք կարող են ակտիվորեն մաս-նակցել, դրսևորել իրենց, ցուցադրել կարողությունները, աշխատել ողջ ջա-նասիրությամբ: Հայտնի է այն փաստը, որ մարդը տեղեկատվական ծավալի մեծ մասը ստանում է տեսողական օրգանների միջոցով: Այդ իսկ պատճառով սովորողների ուսման որակի բարելավման գործում զորեղ միջոց է հանդի-սանում ՏՀՏ-ի օգտագործումը (օրինակ` շնորհանդես) դասերի ընթացքում, որոնց միջոցով ավելի արագ է տեղի ունենում Ճանաչողական հետա-քրքրությունը դասի նկատմամբ: Աշակերտների մոտ ակտիվանում են ըն-կալումը, ուշադրությունը, հիշողությունը, մտածողությունը, որոնք հանգեց-նում են բարձր առաջադիմության: Հաշվի առնելով, որ տեղեկատվական և կրթական միջավայրը դառ-նում է ինտերակտիվ, աճում է նորարարական տեխնոլոգիաների օգտա-գործման անհրաժեշտությունը: Այսպիսով` գործածելով մաթեմատիկայի դասերի ընթացքում ՏՀՏ, տեսնում եմ, թե ինչպես է փոփոխվում համագոր-ծակցությունը ուսուցչի և աշակերտի միջև՝ ի տարբերություն ուսուցման ավանդական մեթոդների. դասավանդողի ակտիվությունը զիջում է սովո-րողների ակտիվությանը, իսկ ուսուցչի խնդիրն է ստեղծել պայմաններ երեխաների նախաձեռնողականությունը և ստեղծագործական ունակու-թյունները զարգացնելու համար: Հաճախ դասերի ընթացքում օգտագործում եմ վառ, ակնառու ու հետաքրքիր ինտերակտիվ շնորհանդեսներ, որոնք հիմնականում պարու-նակում են.

• Տեղեկություն դասի վերաբերյալ • Վարժեցնող առաջադրանքներ

35

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

• Գիտելիքի ստուգում Իմ փորձից կարող եմ ասել, որ այդ տեսակի ինտերակտիվ շնոր-հանդեսները նպաստում են դասի արդյունավետությանը [1]: Նաև նշեմ, որ եթե որևէ մեթոդ բավականին արդյունավետ է մի շարք դասերի համար, ապա դա ամենևին չի նշանակում, որ միևնույն մեթոդը նույնքան արդյու-նավետ կլինի նաև այլ թեմաների ուսուցման ժամանակ: Ցանկացած ուսուցչի հիմնական նպատակը մեկն է ` սովորողին մատուցել ուսման նյութը հնարավորինս պարզ և հասանելի: Ի վերջո, ուսուցիչների ջանքերի շնորհիվ է, որ աշակերտները հասնում են մեծ արդյունքների ու ձեռքբերումների: ՏՀՏ գործածումով դասերի ժամանակ հաճախ օգտագործում եմ հետևյալ դասերի մոդելները:

Նոր դասի ներմուծումը ՏՀՏ գործածումով

Այս մոդելն ես օգտագործում եմ նոր դասի բացատրության ժամա-նակ: Այստեղ կիրառում եմ վերոհիշյալ շնորհանդեսի տեսակը, որն պարու-նակում է. • Նոր նյութի մատուցում (տեղեկություն նոր դասի վերաբերյալ). զանազան

նկարներ, գծագրեր, պատմական տեղեկություններ և այլն • Վարժեցնող առաջադրանքներ՝ ցածր և միջին բարդության խնդիրների

մեծ քանակությամբ, որոնք ձևավորում են սովորողների հմտություն-ներն ու կարողությունները

• Գիտելիքի ստուգում. հարցեր, որոնց հիման վրա մանկավարժը վեր-լուծում է սովորողների պատասխանները և գնահատում նրանց ստա-ցած գիտելիքները

Գիտելիքի ստուգումը կարելի է նաև կազմակերպել համակարգ-չային թեստավորման MyTestX (Freeware) ծրագրի օգնությամբ [2], որն 2003 թվականից մշակվում է Ա.Ս.Բաշլակովի կողմից: Առաջին MyTest ծրագրի տարբերակը բավականին պարզ և հարմարավետ էր օգտագործ-ման համար, սակայն տարիներ շարունակ կատարելագործվելով և նոր հնարավորություններ առաջարկելով ներկայիս MyTestX- ը` ոչ թե մեկ ծրա-գիր է, այլ հզոր ծրագրերի փաթեթ նախատեսված թեստերի պատրաստ-ման և անցկացման համար:Այս ծրագիրը բաղկացած է երեք մոդուլներից`

36

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

• MyTestStudent (модуль тестирования), որի օգնությամբ կատարվում է սովորողների թեստավորումը,

• MyTestEditor (редактор тестов ), որի օգնությամբ ուսուցիչը կազմում է թեստերը,

• MyTestServer (журнал тестирования), որտեղ գրանցվում են սովորողների արդյունքները:

Ծրագիրը հեշտ ու հարմար է օգտագործման համար, նաև ազատում է ուսուցիչներին հոգնեցուցիչ և ժամանակատար գրավոր աշխատանքների ստուգումից: Ճիշտ է, մեր դպրոցներում դեռ չի կիրառվում համակարգ-չային թեստավորումը, քանի որ այն անցկացնելու համար անհրաժեշտ է յուրաքանչյուր աշակերտին դասի ժամանակ ապահովել համակարգչով: Սակայն, տարիներ հետո, հուսով եմ` այն լայն օգտագործում կունենա: Այս դասի մոդելը օգնում է ընդլայնել և համակարգել այն գիտելիք-ները, որոնք անհրաժեշտ են աշակերտների ուսուցման համար:

Ընդհանրացման դաս սովորողների առաջատար դերով (Նախագծային գործունեություն)

Այդ դասի նպատակը կայանում է նրանում, որ աշակերտները 2-3 շաբաթվա ընթացքում ուսուցչի ղեկավարությամբ պատրաստվում են նախագծի (շնորհանդեսի) ներկայացմանը` պաշտպանությանը: Ուսուցիչը նախապես.

• որոշում է դասի թեման, • ձևավորում է դասի խնդիրներն ու նպատակները, • համակարգում է սովորողների աշխատանքը նախապատրաստման և դասի անցկացման ընթացքում:

Նախագիծը (շնորհանդեսը ) կարող է պարունակել պատմական տեղեկություններ, հետաքրքիր փաստեր, զանազան ստուգիչ հարցեր և այլն: Նման դասերի մոդելները կիրառում եմ հիմնականում «Դիագրամ-ներ», «Համաչափություն» և այլ դասերի ընթացքում, որտեղ սովորող-ները հեշտությամբ կարող են ինքնուրույն փնտրել համապատասխան նյութերը համացանցից: Այս դասի մոդելը աշակերտների մոտ զարգացնում է համագործակ-ցելու ունակությունը, ստեղծագործական ջիղը, միմյանց հետ հաղորդակց-վելու հմտությունները, ուժեղացնում պատասխանատվության զգացումը,

37

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

նաև` բարձրացնում համակարգչային գրագիտությունը: Իսկ «ուսուցիչ - աշակերտ» համագործակցությունը հանգեցնում է դասի բարձր արդյու-նավետության:

Դաս-խաղ ՏՀՏ գործածումով (աշխատանք թիմերում)

Ուսուցիչը նախապես. • բաժանում է աշակերտներին 4-5 հոգանոց թիմերի` հավասարապես բաշ-խելով թույլ և ուժեղ աշակերտներին, պատրաստում է ինտերակտիվ շնորհանդես` զանազան հարցերով և առաջադրանքներով, յուրաքանչյուր թիմի համար կազմում է «Փոխանցման թերթիկ», որ-տեղ նշված է թիմի անունը և համարակալված` ինտերակտիվ շնորհանդեսի հարցերը: Յուրաքանչյուր առաջադրանք ակտիվ քննարկումներից հետո թիմե-րը «Փոխանցման թերթիկ»-ում պետք է նշեն ճիշտ պատասխանը համապա-տասխան հարցի համարի տակ և փոխանցեն ուսուցչին: Ապա ինտերակտիվ շնորհանդեսի միջոցով ստուգվում է պատասխանը: Եթե այն համընկնում է էկրանին նշված պատասխանի հետ, թիմը վաստակում է համապատասխան միավորը, որն էլ գրանցվում է «Փոխանցման թերթիկ»-ում:

Յուրաքանչյուր թիմ նախապես. • որոշում է իրենց թիմի անվանումը, • որոշում է նշանաբանը և պատրաստում համապատասխան շքանշաններ

իր թիմի մասնակիցների համար, • ընտրում է իրենց թիմի ավագին: 5-6 դասարաններում նման դասեր անցկացնելու ժամանակ օգտա-գործում եմ ինտերակտիվ շնորհանդես, որտեղ գլխավոր հերոսները, լինե-լով ժամանակակից հեքիաթներից, զանազան հարցեր ու առաջադրանքներ են ուղղում աշակերտներին: 2015 թ. փետրվարի 17-ին նման դաս-խաղ եմ կազմակերպել «Հարի Փոթերը և ամբողջ թվերը» վերնագրով 6-րդ դասարանի աշակերտների համար, որը տեղադրվել էր` http://www.dasaran.am/apps/news/item/id/3062 կայքում:

38

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Արտասովոր և հետաքրքիր դասերը միշտ հիացմունք ու հետա-քրքրություն են առաջացնում առարկայի հանդեպ` խթան հանդիսանալով ուսման որակի բարելավման գործում: Ժամանակակից ուսուցիչը պետք է նորանոր խնդիրներ դնի իր առջև, փնտրի և գտնի զանազան լուծումներ` ցանկալի արդյունքներ ստա-նալու համար: Այսինքն` դասավանդման ընթացքում միշտ պիտի փնտրի և փորձարկի նոր մեթոդներ, նորարարություններ: Այսպիսով` ՏՀՏ-երի օգտագործումը դասընթացներին նպաստում է բարձր արդյունավետությանը, որն էլ, իր հերթին, հանգեցնում է սովորող-ների լավ առաջադիմության:

Գրականություն 1. Башмаков М. И., Поздняков С. Н., Резник Н. А. Информационная

среда обучения. – СПб.: СВЕТ, 1997. – 400 с. - URL:: http://bookfi.org/book/597607

2. Сластенин В., Исаев И. и др. Педагогика: Учебное пособие. Издательство: Академия, 2007г.

МОЙ ОПЫТ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ИНФОРМАЦИОННО-

КОММУНИКАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ Рипсиме Авагян

Резюме

В статье описывается опыт использования информационно-коммуникационных технологий (ИКТ) для достижения высокой эффек-тивности уроков. С помощью приведенных моделей уроков, в основе которых лежат наглядные презентации, повышается интерес школьни-ков к изучению математики. Такие уроки позволяют активизировать у учащихся такие процессы, как: восприятие, внимание, память, мышление. Таким образом гораздо активнее и быстрее происходит повышение познавательного интереса к уроку, что и приводит к повышению успеваемости.

39

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

MY EXPERIENCE IN USING INFORMATION AND COMMUNICATION TECHNOLOGIES IN MATHEMATICS

Hripsime Avagyan Summary

The article describes the need for using Information and Communication Technologies (ICT) to achieve high efficiency lessons. Using the above mentioned model lessons, which are based on visual and vivid presentation, the interest in learning mathematics is growing among the pupils. These type of lessons allow the pupils to activate processes such as perception, attention, memory, thinking. In this way the cognitive interest to the lesson is increasing more active and faster which leads to the improvement of pupils’ progress.

Հռիփսիմե Ավագյան - Ծնվել է 1973 թ. Երևանում, Ավարտել է ԵՊՀ կիրառական մաթեմատիկայի ֆակուլտետը: Աշխատում է ք.Երևանի Ա.Դ. Սախարովի անվան թիվ 69 հիմնական դպրոցում որպես մաթեմատիկայի ուսուցիչ: Մասնակցել է «ИНТЕРТЕХИНФОРМ» (ք. Տուլա) ժամանակակից կրթական տեխնոլոգիաների կենտրոնի կողմից հայտարարված միզազգային հեռավար մրցույթում, և նրա հեղինակային շնորհանդեսը զբաղեցրել է երրորդ տեղը՝ «Լավագույն շնորհանդես» անվանակարգում։

Հեռախոս՝ 098045025 Էլ. հասցե՝ avagyan-rip@rambler.ru.

40

19-ՐԴ ԴԱՐԻ ՀԱՅ ՄԱՆԿԱՎԱՐԺ, ԳՐՈՂ ԽԱՉԱՏՈՒՐ ԱԲՈՎՅԱՆԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ

ՁԵՌԱԳՐԵՐԸ

Սիրանուշ Պողոսյան (Գինոսյան)

19-րդ դարը հայ իրականության համար կարևորագույն ժամանա-կաշրջան է ոչ միայն զուտ քաղաքական առումով, այլև հանդիսանում է հայ մշակույթի աննախադեպ զարգացման կարևորագույն փուլ: Հատկապես մեծ զարգացում ապրեց մանկավարժական միտքը: Անվերապահորեն կա-րող ենք նշել, որ 19-րդ դարի բոլոր հայ գրողները միաժամանակ զբաղվել են մանկավարժությամբ, ստեղծել արժեքավոր մանկավարժական ժառան-գություն, որոնք բարեբախտաբար արժանացել են բազմակողմանի հե-տազոտությունների: Թերևս այդպիսի հեղինակներից է Խաչատուր Աբով-յանը, որի գրական և մանկավարժական ժառանգությունն ու գործունեու-թյունը ենթարկվել է բազմակողմանի ուսումնասիրության: Բայց Աբովյանը զբաղվել է նաև մաթեմատիկական դասագրքերի ստեղծման հայրենանվեր գործով` ստեղծելով մաթեմատիկական դասագրքերի ձեռագրեր, որոնք, ցավոք, չեն արժանացել հետազոտողների ուշադրությանը: Այս առումով ներկա աշխատանքը արդիական է և նպատակային, քանի որ Աբովյանի մաթեմատիկական ձեռագրերում բազմաթիվ են ներկայի համար կիրառելի մտքերն ու հասկացությունները:

Աբովյանն իր առաջավոր մանկավարժական դիդակտիկական հա-յացքներն աշխատել է կենսագործել ինչպես իր պրակտիկ մանկավարժա-կան գործունեության ընթացքում, այնպես էլ իր կազմած դասագրքերում, ձեռնարկներում:

ԿՐԹԱԿԱՆ

ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

41

ԿՐԹԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

Աբովյանի կազմած ուսումնական գրքերի մեծ մասը վերաբերում են հայոց լեզվին:

Աբովյանի դասագրքերից առաջին հերթին պետք է հիշատակել նրա հայտնի «Նախաշավիղը»: Նա ունի նաև ռուսաց լեզվի քերականության դա-սավանդման դասագիրք. «Քերականություն ըստ Տապպեի»:

Շատ հետաքրքիր է Աբովյանի ուսումնական-մեթոդական ժառան-գությունը թվաբանության դասավանդման գծով: Հայտնի է, թե Աբովյանը Դորպատում ուսանելու տարիներին այդ գիտությունը ինչպիսի դժվարու-թյամբ էր հաղթահարում և նա այդ դժվարությունները հաղթահարեց այն աստիճան, որ հետագայում այլ առարկաների թվում դասավանդում էր նաև թվաբանություն:

Թվաբանության գծով Աբովյանի արխիվում գտնվում են մի քանի ձեռագիր ֆրագմենտներ. 1. «Թվաբանական խնդիրներ` կազմած Թիֆլիսի գավառական ուսում-

նարանի աշակերտների համար», գրված ռուսերեն, առանց թվականի և ստորագրության, 9 թերթից բաղկացած: Այստեղ ձեռագիր 18 էջի վրա տրվում են «խնդիրներ երից կանոնից, շղթայի կանոնից». վերջում տրվում է նաև խնդիրներ լուծելիս այն վերլուծելու երկու օրինակ: Ձեռագրում այլ ցուցումներ չկան (տես [1]):

2. Երկրորդ ձեռագիրը «Թվաբանական բոլոր կանոններին վերաբերող խնդիրներն» են թվագրված` 1838թ. օգոստոսի 25, 10 թերթից բաղկա-ցած, գրված ռուսերեն լեզվով և մի քանի բան նաև հայերեն (տես [1]):

3. Աբովյանի բանաստեղծությունների ձեռագիր տետրում զետեղված է 2 թերթ, որտեղ Աբովյանը բացահայտում է բազմանիշ թվերի գու-մարման և բազմապատկման (տակետակ գրված) եղանակները (տես [1]):

Աբովյանն ունի ևս 2 ձեռագիր տետր` առանց թվականի և ստորագրու-թյան, գրված գերմաներեն լեզվով: Դրանցում նա գրում է բազմությունների մասին, նրանց միավորման, հատման, ժխտման մասին և այս ամենը ցույց տալիս գծագրերի վրա:

Աբովյանն իր ձեռագրերում նշում է, որ պետք է աշակերտները իմանան, որ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 բնական թվերը կոչվում են միավորներ, երկու միավոր միասին գրելով` ստանում ենք տասնավոր: Տասնավորները 10-ից մինչև 99 թվերն են: Եթե երեք միավոր միասին գրենք, ապա կստանանք հարյուրավոր: Հարյուրավորները 100-ից մինչև 999 թվերն են: Չորս միա-վոր գրելով` կստանանք հազարավոր, դրանք 1000-ից մինչև 9999 թվերն

42

ԿՐԹԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

են: Եթե հինգ` տասը հազարավոր, որոնք 10000-ից մինչև 99999 թվերն են: Եթե վեց միավոր միասին գրենք, ապա կստանանք հարյուր հազարավոր, եթե յոթ` միլիոն, եթե ութ` տասը միլիոն, եթե ինը` հարյուր միլիոն: Այս ամենը պետք է իմանալ բազմանիշ թվերի մասին: Այս բոլոր թվերը միասին պետք է բաժանել հետևյալ դասերի. առաջին երեքը հարյուրավորներն են, երկրորդ երեքը` հարյուր հազարավոր, երրորդը` հարյուր միլիոնավոր:

Զրո թվանշանն ինքնին ոչինչ կնշանակի, և եթե թիվը աջից պարունա-կում է մեկ զրո, ապա այդ թիվը կլինի տասնավոր, եթե երկու զրո` հար-յուրավոր, եթե երեք զրո` հազարավոր, չորս զրո` տաս հազարավոր, հինգ զրո` հարյուր հազարավոր, վեց` միլիոն, ինը զրոն` հազարամիլիոնավոր: Ասելով այս ամենը, անհրաժեշտ է բացատրել օրինակներով և գրել տալ աշակերտներին: Այս ամենը փորձության առաջին փուլն է:

Այս պետք է ցույց տալ աշակերտներին թվերի մասին, պետք է գրել թվերը միասին և ապա թվել դրանք, ապա հարցնել և ո՞ր թիվն է մեծ, ո՞րը փոքր, ո՞րն է հարյուրավոր, ո՞րը հազարավոր, անցնել դրանց գումարին:

Ներկայիս 3-րդ դասարանի դպրոցական դասընթացում իրար տակ բազմանիշ թվերի գումարման գործողությունը բացատրվում է հետևյալ ձևով.

5623 = 5000 + 600 + 20 + 3 + 2746 = 2000 + 700 + 40 + 6 7000+ 1 300 + 60 + 9= = 8000 + 300 + 60 + 9 = 8369 Նախ գումարվող թվերը ներկայացնում ենք կարգային միավորների

գումարի տեսքով, առանձին-առանձին գումարում համապատասխան կար-գերը, ստացված կարգային գումարելիների գումարի տեսքով ստացված թիվը գրում ամբողջական տեսքով:

Իսկ Աբովյանի մոտ բացատրությունը կատարվում է հետևյալ ձևով. 5623 + 2746 9 6 13 7 8369

43

ԿՐԹԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

Նախ գումարում ենք միավորները և ստացված թիվը` 9–ը գրում միա-վորների տակ, հաջորդ տողում տասնավորների տակ գրում ենք տասնա-վորների գումարից ստացված թիվը` 6, հարյուրավորների տակ` 13-ը, հա-զարավորների տակ` 7-ը: Այս քայլերից հետո գումարում ենք ստացված թվերը` գրելով մի տողում:

Նման ձևով եթե ունենք տակետակ գրված երկուսից ավելի բազմանիշ թվեր և ուզում ենք գումարել, վարվում ենք այսպես. նախ գումարում ենք բոլոր միավորերը և ստացված միավորը գրում ենք միավորների տակ և եթե կա տասնավոր` գրում ենք տասնավորների տակ: Հետո գումարում ենք բոլոր տասնավորները և հաջորդ տողում` տասնավորների տակ, գրում ենք ստացված տասնավորը, իսկ հարյուրավորների տակ` հարյուրավորը, եթե կա այդպիսին: Անցնելով հաջորդ տողին` հարյուրավորների տակ կգրենք հարյուրավորների գումարից ստացված գումարը, իսկ հազարավորի տակ` հազարավորը, եթե կա: Եվ այսպես՝ մինչև գումարման վերջը: Հետո էլ գումարում ենք այդ ստացված թվերը`գրելով մեկ տողում:

431 2381 121 + 512 + 312 + 146 621 15 968 4 8 15 6 10 12 15 26 11

1564 2708 1235

Ահա այսպիսի բացատրություն էր տվել Աբովյանը բազմանիշ թվերը

տակետակ գումարելիս, որը շատ կարևոր է ու հասկանալի, և կարելի է այն կիրառել ներկայիս դպրոցական դասընթացում:

Աբովյանի ձեռագրերում հանդիպում ենք խնդիրներ` հիմնականում

չափման միավորների վերաբերյալ: Գրենք դրանցից մի քանիսը, որոնք վերնագրված են այսպես.

Օրինակներ եռակի կանոնով 1. 3 ֆունտն արժէ 4 ռուբլի: Ի՞նչ արժէ 21 ֆունտը: Պատ. 28 ռուբլի: 2. 5 ռուբլով գնված է 3 ֆունտ, քանի՞ ֆունտ կարելի` գնել 95 ռուբլով:

Պատ. 578 ֆունտ:

44

ԿՐԹԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

3. 3 արշինը 9 գրիվ է: Որքա՞ն է 8 արշինը: Պատ. 27 գրիվ: 4. 100 ռուբլուց տարում 5 ռուբլի տոկոս է գալիս: Քանի՞ տոկոս կգա

տարում 6880 ռուբլուց: Պատ. 395 ռուբլի:

Խնդիրներ բարդ եռակի կանոնի վերաբերյալ

1. 48 ոսկին արժէ 1 ռուբլի 50 կոպեկ: Որքա՞ն է 5 ֆունտ 48 ոսկին: Պատ. 1650 կոպեկ:

2. 8 լոտն արժէ 5 գրիվ: Որքա՞ն է 3 ֆունտը: Պատ.6 ռուբլի: 3. 10 ֆունտն արժէ 20 ռուբլի: Ի՞նչ արժէ 5 փութը; Պատ. 400 ռուբլի 4. 5 չարեկն արժէ 45 ռուբլի: Ի՞նչ արժէ 15 չարեկը: Պատ. 141ռուբլի 15

կոպեկ 5. 1 ռուբլի արծաթն արժէ 380 կոպեկ: Ի՞նչ արժէ 5555 ռուբլի արծաթը;

Պատ.21109 ռուբլի 1. Որոշ ապրանքներ գնված են 600 ռուբլով և վաճառվել են 660 ռուբլով:

Քանի՞ տոկոս է կազմում շահույթը: Պատ. 10% 2. 950 ռուբլով գնված է հաց: Ինչքա՞ն թանկ պետք է այն վաճառել, որ

ունենանք 10 տոկոս շահույթ: Պատ. 1045 ռուբլի 3. Մի մարդ գնեց 20 կոտ ցորեն 56 ռուբլով և վաճառեց 15 տոկոսով:

Որքանով է վաճառել 1 չարեկը: Պատ.8 կոտ 4. Ռուսաստանում գնված է 50 հատ մահուդ` յուրաքանչյուրը 40 արշին`

1200 կոպեկով և վաճառված է 25 տոկոսով: Ի՞նչ արժէ արշինը: Պատ. 70 կոպեկ

5. 7 հատ կտավը` յուրաքանչյուրը 60 յարդ, գնված է 270 ֆունտով: Վաճառականն ուզում է ունենալ 100 տոկոս: Որքա՞ն ռուբլի է արշինը: Պատ` 25 ռուբլի

Ձեռագրերում հանդիպում են նաև լուծված խնդիրներ.

1. Ոմն մեկը վաճառել է 36 կոտ ցորեն 40 ռուբլով և ունեցել է 10% վնաս: Քանի՞ կոպեկով է նա գնել չարեկը: Պատ. 3

Լուծում` 1 չարեկը ? կոպեկ 40 չարեկը 1 կոտ 36 կոտը 4000 կոպեկ

45

ԿՐԹԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

36 կոտը 4000 կոպեկով 1 չարեկը կոտ = կոպեկ

1չարեկը 3 կոպեկ Ի՞նչ գնով նա պետք է վաճառած լիներ չարեկը, որ չունենա ոչ օգուտ, ոչ

էլ վնաս: Պատ.27

Այսպիսով, ուսումնասիրելով 19-րդ դարի արևելահայ դպրոցի և մանկա-վարժական մտքի պատմության էջերը` տեսնում ենք, որ բազմաթիվ հայ մանկավարժ-գրողների շարքում առանձնակի տեղ ունի Խ. Աբովյանը: Նա այն հանճարեղ մտածողներից է, ով զբաղվել է հայ դպրոցին բարձրարժեք դասագրքեր հասցնելու ազգանվեր գործով: Այդ գործում լուրջ արժեք են ներկայացնում Խ. Աբովյանի մաթեմատիկական ձեռագրերը, որոնք ստեղծվել են նպատակ ունենալով հետագայում դրանք դարձնել դասա-գրքեր: Իմ հետազոտությունների արդյունքում եկա այն եզրակացության, որ. 1. Խ. Աբովյանի մաթեմատիկական ձեռագրերն ունեն լուրջ պատմաճանա-չողական և գիտական նշանակություն: 2. Այդ ձեռագրերը շահավետ կլինի օգտագործել ժամանակակից դպրոցա-կան դասագրքերի ստեղծման գործում: 3. Խ. Աբովյանն իր մաթեմատիկական ձեռագրերը ստեղծելիս խորությամբ ուսումնասիրել է ժամանակաշրջանի եվրոպական առաջադեմ մանկա-վարժների մտքերն ու հայացքները: 4. Խ. Աբովյանի մաթեմատիկական ձեռագրերը պահանջում են հետագա ավելի մասնագիտական հետազոտություն:

Օգտագործված արխիվային նյութեր

1. Խ. Աբովյան արխիվ գ. 120- նկատումն ի թուաբանութեն է և գերմաներեն բանաստեղծություններ: Ինքնագիր 1831թ. 1-ը հումվար:

2. Խ. Աբովյան արխիվ գ. 127 – Арифметические задачи составление на пользу учеников тиф. уезд. Училище: Ինքնագիր, անթիվ:

3. Խ. Աբովյան արխիվ գ. 128 - Арифметические задачи: Ինքնագիր, 1838թ.:

46

ԿՐԹԱԿԱՆ ԺԱՌԱՆԳՈՒԹՅՈՒՆ

Математические рукописи армянского педагога-писателя XIX века Хачатура Абовяна

Сирануш Погосян /Гиносян/ Резюме

В статье рассматриваются некоторые аспекты педагогической деятель-

ности армянского писателя-педагога XIX века Хачатура Абовяна. Особый интерес представляют его математические рукописи, которые впоследствии должны были служить для создания учебников.

При создании этих рукописей Хачатур Абовян глубоко изучил труды передовых европейских педагогов своего времени.

В статье высказывается мысль о том, что для дальнейшего изучения математических рукописей Хачатура Абовяна требуется более разносторон-ний научный подход.

Mathematical Manuscripts of the 19th century Pedagogue-Writer Khachatur Abovyan

Siranush Pokhosyan /Ginosyan/ Summary

The paper refers to some pedagogical activity aspects of the 19th century pedagogue-writer Khachatur Abovyan. His mathematical manuscripts, that further served as a basis of creating mathematical textbooks, are of special interest. In order to create the manuscripts Khachatur Abovyan thoroughly studied the works of European advanced pedagogues of the time. The paper also emphasizes the idea that in order to study Abovyan’s

manuscripts in the future a more scientific and all round approach is needed.

Սիրանուշ Հրաչյայի Պաղոսյան (Գինոսյան) - ՀՀ Արմավիրի մարզի Լենուղու Ջիվանու անվան միջնակարգ դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի

Էլ. հասցե ՝ anusho84@mail.ru Հեռախոս՝ 055 26 50 40

47

ԻԶՈՊԵՐԻՄԵՏՐԱԿԱՆ ՄԻ ԽՆԴՐԻ ՄԱՍԻՆ

Ա. Սարգսյան, Ն Պետրոսյան

Բնությունը խոսում է մաթեմատիկայի լեզվով. այդ լեզվի տառերը շրջաններ են, եռանկյուններ են և ուրիշ մաթեմատիկական պատկերներ:

Գ. Գալիլեյ, իտալացի մեծ ֆիզիկոս, մեխանիկ, աստղագետ

Բանալի բառեր – հաստատուն պարագիծ, մեծագույն մակերես, իզոպերիմետրական խնդիր:

Երկրաչափության սաղմնավորման մասին շատ լավ պատմում է հին

հույն գիտնական Եվդեմ Ռոդոսացին, որն ապրել է Քրիստոսից առաջ (Ք. ա.) 4-րդ դարում: Նա գրել է. «Երկրաչափությունը հայտնագործվել է եգիպտացիների կողմից և ծագել է երկրի չափումների ժամանակ: Այդ չափումը նրանց անհրաժեշտ է եղել Նեղոս գետի հեղեղումների պատ-ճառով, որը մշտապես ողողել է սահմանները: Զարմանալի ոչինչ չկա նրանում, որ այդ գիտությունը, ինչպես և մյուսները, առաջացել է մարդու պահանջմունքներից»: Մարդու պահանջմունքների բավարարման նպա-տակ են հետապնդում նաև էքստրեմումի խնդիրները, որոնք ծագում են մարդու պրակտիկ գործունեության յուրաքանչյուր բնագավառում:

Երկրաչափական խնդիրների շարքում նույնպես որոշակի հետա-քրքրություն են ներկայացնում էքստրեմումի խնդիրները, մասնավորա-պես. տրված պարագիծն ունեցող հարթ պատկերների մեջ ամենամեծ

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

48

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

մակերես ունեցող պատկերի տեսքը որոշելու խնդիրը, որը կոչվում է նաև իզոպերիմետրական խնդիր: Հայտնի է, որ նմանատիպ խնդրի անդրադարձել է Էվկլիդեսը (Ք.ա. 3-րդ դար) իր «Սկզբունքները» գրքե-րում, որտեղ խոսք է գնում մաքսիմումի վերաբերյալ մեզ հասած խնդիր-ներից առաջինի մասին և ապացուցվում է, որ տրված պարագծով ուղ-ղանկյուններից ամենամեծ մակերեսն ունի քառակուսին:

Ալեքսանդրյան մաթեմատիկական մեծ տրակտատներից մեկում, գրված Պապպոսի կողմից (երրորդ հարյուրամյակի վերջ), հետաքրքիր է իզոպերիմետրիկ պատկերների գլուխն այն մասին, որ շրջանն ունի ավելի մեծ մակերես, քան նույն պարագծի ցանկացած կանոնավոր բազմանկյուն [1]:

Ներկայացվող աշխատանքում անդրադարձ կկատարենք իզոպերի-մետրական խնդրին, իր տարբեր ձևակերպումներով և լուծման տարբեր մոտեցումներով:

Նախ դիտարկենք այն դեպքը, երբ տրված պարագիծն ունեցող հարթ պատկերներից ամենամեծ մակերես ունեցող պատկերի տեսքը պետք է որոշել, հաշվի առնելով նրանց տեսքի վրա դրվող որոշ էական սահմա-նափակումներ: Դրանցից ամենահայտնին. տրված պարագծով ուղղանկյուններից ամենամեծ մակերես ունեցող ուղղանկյան տեսքը որոշելու խնդիրն է:

Խնդիր 1. Ենթադրենք ունենք p2 հաստատուն պարագծով ուղղանկ-յուն, որի կողմերն են a և b : Ո՞ր դեպքում ուղղանկյան մակերեսը՝

baS ⋅= (1) կունենա մեծագույն արժեք:

Ըստ պայմանի՝ pbapbaP =+=+= 222 (2): Ենթադրենք ba ≠ , ասենք ( ba > ) ու

դիտարկենք 2

ba+ կողմով քառակուսի (նկ.1),

2,, 11

baADAAbABaAD +==== :

Նկ. 1

C1

A

49

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

Պարզ է, որ ABCD ուղղանկյունը և 111 DBAA քառակուսին ունեն

միևնույն p2 պարագիծը: ,1111 CDCDDABCABCD SSS +=

11111111 CBBADABCDBAA SSS += , բայց քանի որ

211

baDDBA −== իսկ

CDbbaBA =>+=211 , ուստի CDCDCBBA SCDDDBABAS

11111 1111 =⋅>⋅= ,

հետևաբար ABCDDBAA SS >111

: Այսինքն երկրաչափորեն ակնհայտ է, որ

տրված պարագծով ուղղանկյուններից ամենամեծ մակերեսն ունի քառակուսին:

Այս խնդրին անդրադարձ է կատարվում քառակուսի եռանդամի էքստրեմումի արժեքները գտնելու հետ կապված խնդիրներում: Այսինքն (2)-ից b -ի արժեքը apb −= -ն տեղադրելով (1)-ում, կունենանք

22

24)(

−−=−⋅= appapaS , որն իր մեծագույն արժեքն ընդունում է

երբ 2

pba == , այսինքն, երբ որոնելի ուղղանկյունը 2

p կողմով քա-

ռակուսի է: Այս խնդրին անդրադարձ է կատարվում նաև ֆունկցիայի էքստրե-

մումները ածանցյալի միջոցով գտնելու հետ կապված խնդիրներում: Այսինքն եթե p2 հաստատուն պարագծով ուղղանկյան մի կողմը նշա-նակենք x , մյուս կողմը կլինի xp − իսկ մակերեսը՝

2)()( xpxxpxxS −=−⋅= : Մակերեսի մեծագույն արժեքը գտնելը նույնն է, որ գտնենք )(xS ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը ),0( p միջակայքում: Դրա համար ֆունկցիայի ածանցյալը ( )xpxS 2)( −=′

հավասարեցնում ենք 0-ի

==−

2,02

pxxp , ու որոշում

ածանցյալի նշանը

2;0p և

pp

;2

միջակայքերում՝ (նկ. 2):

+ _

Նկ. 2

50

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

Նկ. 3

2

px = կետում )(xS ֆունկցիան ունի մաքսիմում: Ակնհայտ է նաև, որ

այդ կետում ֆունկցիան ընդունում է իր մեծագույն արժեքը, այսինքն

նորից ստացանք, որ որոնելի ուղղանկյունը 2

p կողմով քառակուսին է:

Այժմ դիտարկենք ավելի ընդհանուր խնդիր: Խնդիր 2. Ենթադրենք ունենք p2 հաստատուն պարագծով ուռուցիկ

քառանկյուն: Ո՞ր դեպքում քառանկյան մակերեսը կունենա մեծագույն արժեք:

Ենթադրենք քառանկյան կողմերն են cba ,, , d : Ըստ պայմանի՝ pdcba 2=+++ : Հեշտ է տեսնել, որ՝ (նկ. 3).

2sin

2

1sin

2

1 bcadbcadSSS CBDABDABCD+≤+=+= γα (3):

Մյուս կողմից՝.

2sin

2

1sin

2

1 cdabcdabSSS ADCABCABCD+≤+=+= δβ (4):

(3)-ից և (4)-ից կունենանք՝. 4

cdabbcadSABCD+++≤ :

Եթե դիտարկենք 24

pdcba =+++ կողմով քառակուսի, ապա նրա

մակերեսը կլինի՝. ( )164

22 dcbadcbaS +++=

+++= : Հավասարության

աջ մասը ձևափոխենք հետևյալ կերպ.

51

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

=+++=16

)( 2dcbaS

=+++++++++=++++++=16

222222

16

)())((2)( 222222 dcdcbdbcadacbabadcdcbaba

( ) ( ) ( ) ( )416

4

16

2 22 cdabbcadcdabbcaddbcacdabbcad +++=+++≥+++++++= :

Այստեղ հաշվի է առնված, որ` )(2))((2)()( 22 cdabbcaddbcadbca +++=++≥+++ :

Ստացանք՝ ABCDScdabbcaddcbaS ≥+++≥+++=416

)( 2

:

Այսպիսով ստացանք, որ տրված p2 պարագծով քառանկյուններից ամե-

նամեծ մակերեսն ունի 2

p կողմով քառակուսին:

Խնդիր 3. Ենթադրենք ունենք p2 հաստատուն պարագծով եռանկյուն: Ո՞ր դեպքում եռանկյան մակերեսը կունենա մեծագույն արժեք:

Ենթադրենք եռանկյան կողմերն են cba ,, : Ըստ պայմանի՝ pcba 2=++ : Գրենք եռանկյան մակերեսի համար Հերոնի բանաձևը՝.

))()(( cpbpappS −−−= , որտեղ2

cbap ++= -ը եռանկյան կիսապա-

րագիծն է: Միջին երկրաչափականի համար ճիշտ է հետևյալ անհավա-

սարությունը՝

33

)(3

3

)()()())()((3

pcbapcpbpapcpbpap =++−=−+−+−≤−−− , որտեղ

հավասարությունը տեղի ունի միայն այն դեպքում, երբ cpbpap −=−=− կամ cba == : Պարզ է, որ հավասարության դեպքում

))()(( cpbpap −−− արտահայտությունը ընդունում է իր մեծագույն արժեքը, հետևաբար մեծագույն արժեք է ընդունում նաև եռանկյան մակերեսը: Ստացանք, որ cba ,, կողմերով, հաստատուն պարագծով

52

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

եռանկյան մակերեսը կունենա մեծագույն արժեք միայն այն դեպքում երբ cba == , այսինքն երբ եռանկյունը հավասարակողմ է:

Այժմ դիտարկենք այն դեպքը, երբ պետք է որոշել տրված երկա-րությամբ հարթ գծով սահմանափակված պատկերներից ամենամեծ մակերես ունեցող պատկերի տեսքը, իսկ նրանց տեսքի վրա դրված էական սահմանափակումներ չկան:

Խնդիր 4. Ենթադրենք ունենք l երկարությամբ անընդհատ հարթ

գծով սահմանափակված երկրաչափական պատկեր: Ո՞ր դեպքում այդ պատկերը կունենա մեծագույն մակերես:

Նախ այս խնդրի լուծմանը անդրադառնանք վարիացիոն հաշվի

միջոցով.[2]

Դիտարկենք ′=1

0

,),,(x

x

dxyyxFJ (5) ֆունկցիոնալը, որտեղ F -ը

տրված ֆունկցիա է բոլոր երեք արգումենտներից: Կենթադրենք, որ այն անընդհատ է մինչև իր երկրորդ կարգի ածանցյալները ),( yx հարթու-թյան որևէ D տիրույթում և y′ արգումենտի ցանկացած արժեքի դեպ-քում: J ֆունկցիոնալը ընդունում է որոշակի թվային արժեք, եթե մենք ֆիքսում ենք )(xyy = ֆունկցիան, կամ, որ նույնն է )(xyy = կորը, որը միշտ համարում ենք ընկած D տիրույթում: Ենթադրում ենք, որ

)( xy ֆունկցիայի արժեքները ինտեգրման միջակայքի ծայրերում տրված է՝ 1100 )(;)( yxyyxy == (6): ([2], էջ 203)

Ցույց է տրված, որ )(xy ֆունկցիան, որը (5) ինտեգրալին տալիս է էքստրեմում, պետք է բավարարի հետևյալ հավասարմանը

0=− ′yy FdxdF , (7) ([2], էջ 205)

Դիտարկենք հետևյալ մասնակի խնդիրը.

Բոլոր )(xy կորերից, որոնց համար՝ =′=1

0

),,(1

x

x

adxyyxGJ (8)

53

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

ինտեգրալը ունի տրված a արժեքը, որոշել այն կորը, որը տալիս է

էքստրեմում հետևյալ ինտեգրալին՝ ′=1

0

),,(x

x

dxyyxFJ (9):

Այս խնդիրը սովորաբար անվանում են իզոպերիմետրական խնդիր: Էյլերի թեորեմը. Եթե )(xy կորը բավարարում է (8) պայմանին և

տալիս է էքստրեմում (9) ինտեգրալին (6) սկզբնական պայմաններով, և եթե )(xy -ը էքստրեմում չի տալիս (8) ինտեգրալին, ապա գոյություն ունի այնպիսի λ հաստատուն, որ )(xy կորը տալիս է էքստրեմում

հետևյալ ինտեգրալին՝ ′1

0

),,(x

x

dxyyxH , որտեղ GFH λ+= (10):

Ինչպես նշված է վերևում H ֆունկցիան պետք է բավարարի (7)

հավասարմանը, այսինքն՝ 0=− ′yy HdxdH : ([2], էջ 222)

Այժմ անդրադառնանք խնդիր 4.–ի լուծմանը. Պնդում 1. Եթե l գիծը սահմանափակում է մի պատկեր, որն ունի

մեծագույն մակերես, ապա այդ պատկերը ուռուցիկ է: Իրոք, եթե այն ուռուցիկ չէ, ապա կարելի է կառուցել նույն երկա-

րությամբ գծով սահմանափակված պատկեր ավելի մեծ մակերեսով. (նկ. 4 ա),բ)):

Պնդում 1.-ից հետևում է, որ խնդիր 4.-ում դիտարկվող պատկերը

պետք է լինի ուռուցիկ: Մտցնենք բևեռային կոորդինատային համակարգ հետևյալ կերպ՝. l գծի վրա վերցնենք որևէ p կետ (բևեռ), այդ կետում տանենք գծին

շոշափող ու շոշափողին ուղղահայաց առանցք (բևեռային առանցք)՝ (նկ. 5): l գծի հաավասարումը կլինի

22),( πθπθρρ ≤≤−= ,

Նկ. 4 ա բ)

54

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

Նկ. 5

0)2()2( ==− πρπρ (11) սկզբնական պայմաններով: Գրենք գծի երկարությունը բևեռային կոորդինատներով՝

ld =′+−

2

2

22 )]([)]([π

π

θθρθρ (12):

Գծով սահմանափակված պատկերի մակերեսը կլինի՝

−

=2

2

2)]([2

1π

π

θθρ dS (13), կունենանք 22 )]([)]([ θρθρ ′+=G , 2)]([ θρ=F և

(10)-ից՝ 222 )]([)]([)]([ θρθρλθρ ′+⋅+=H , որը պետք է բավարարի

0=− ′ρρ θH

ddH (14) հավասարմանը: Քանի որ H ֆունկցիայում θ

փոփոխականը բացահայտ չի մասնակցում, ուստի (14) հավասարման առաջին ինտեգրալը կլինի՝ cHH =⋅′− ′ρρ , ([2], էջ 212) որտեղ

տեղադրելով H ֆունկցիան, կունենանք՝

c=′+

′⋅−′+⋅+22

2222

)]([)]([

)]([)]([)]([)]([

θρθρθρλθρθρλθρ , որտեղից՝

( ) c=′+

′⋅−′+⋅+′+⋅22

222222

)]([)]([

)]([)]([)]([)]([)]([)]([

θρθρθρλθρθρλθρθρθρ , կամ

c=′+

⋅+′+⋅22

2222

)]([)]([

)]([)]([)]([)]([

θρθρθρλθρθρθρ և քանի որ

(11)-ից՝ 00)2( ==− cπρ , հետևաբար կունենանք՝

0)]([)]([0)]([)]([)]([)]([ 222222 =+′+=⋅+′+⋅ λθρθρθρλθρθρθρ (15):

55

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

(15)-ից λθρθρ −=′+ 22 )]([)]([ տեղադրենք (12) պայմանում,

կունենեաք.π

λπλθλθλπ

π

π

π

lllld −==⋅−=⋅−=−−−

2

2

2

2

)()( :

λ -ի արժեքը տեղադրելով (15)-ում և այն ձևափոխելով կստանանք՝

θ

ρπ

ρπθρππ

θρ d

l

dll

l =

−

⋅

−=′

2

2

1

)(1)(, որը ինտեգրելով

կունենանք՝ 1arcsin c

l+=

θρπ , որտեղից՝

)sin()sin( 11 clcl

+=+= θπ

ρθρπ : Հաշվի առնելով, որ (11)-ից՝

20cos0

2sin0)2( 111

πππ

πρ ===

+= cccl

և կունենանք՝. θπ

πθπ

ρ cos2

sinll =

+= (16):

Ստացված ֆունկցիայի համար ըստ Էյլերի թեորեմի (13) ինտեգրալը

կունենա էքստրեմում (մաքսիմում): (16) հավասարումը πl տրամագծով

շրջանագծի հավասարումն է բևեռային կոորդինատներով, ուստի

կարող ենք ասել, որ մեծագույն մակերես ունի πl տրամագիծ ունեցող

շրջանագծով սահմանափակված շրջանը: Այժմ անդրադառնանք խնդիր 4.-ի մեկ այլ (գուցե ավելի պարզ ու

տրամաբանական) լուծմանը, որի ժամանակ կհենվենք մի քանի տրա-մաբանորեն ակնհայտ փաստերի վրա.

Պնդում 2. Եթե մեծագույն մակերես սահմանափակող l գիծը ցանկացած հատվածով բաժանենք երկու հավասար երկարությամբ մասերի, ապա պատկերի տրված հատվածով բաժանված երկու մասերն էլ կլինեն հավասարամեծ (նկ. 6):

56

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

Իրոք, եթե հավասար չլինեն, (ասենք 21 SS > նկ. 6 ա)), ապա

վերցնելով մեծ մակերես ունեցող պատկերի սիմետրիկ պատկերը տրված հատվածը պարունակող առանցքի նկատմամբ, կունենանք միևնույն l երկարությամբ գծով սահմանափակված բայց ավելի մեծ մա-կերես ունեցող պատկեր (նկ. 6 բ)), որը հակասում է մեր են-թադրությանը:

Պնդում 3. Եթե մեծագույն մակերես սահմանափակող l գիծը ցան-կացած հատվածով բաժանենք երկու հավասար երկարությամբ մասերի, ապա այդ գծի պրոյեկցիան հատվածը պարունակող առանցքի վրա չպետք է դուրս գա հատվածի (պատկերի) սահմաններից:

Իրոք, եթե տրված գծի կամ նրա որևէ մասի պրոյեկցիան հատվածը պարունակող առանցքի վրա դուրս է գալիս պատկերի սահմաններից, (ասենք տրված գծի վերևի մասը (նկ. 6 ա)), ապա վերցնելով հատվածի վերևում գտնվող պատկերի սիմետրիկ պատկերը տրված հատվածը պարունակող առանցքի նկատմամբ, կունենանք միևնույն l երկարու-թյամբ գծով սահմանափակված ոչ ուռուցիկ պատկեր (նկ. 6 բ)), որը չի կարող ունենալ մեծագույն մակերես (պնդում 1.):

Այժմ մեծագույն մակերես սահմանափակող l գիծը ցանկացած հատ-վածով բաժանենք երկու հավասար երկարությամբ մասերի, որոնք ըստ պնդում 2.–ի կունենան հավասար մակերեսներ, և վերցնենք մասերից մեկի սիմետրիկ պատկերը տրված հատվածը պարունակող առանցքի նկատմամբ (նկ. 7 ա),բ)):

Նկ. 7 ա) բ)

Նկ. 6բ) ա)

57

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

Ստացված պատկերը սահմանափակող գիծը տրված հատվածին ուղղահայաց հատվածով բաժանենք երկու հավասար երկարություն ունեցող մասերի (նկ. 8 ա)), և վերցնենք մասերից մեկի սիմետրիկ պատկերը երկրորդ հատվածը պարունակող առանցքի նկատմամբ (նկ. 8 բ)):

Ակնհայտ է, որ հատվածների հատման կետով անցնող ցանկացած

ուղիղ պատկերը եզերող գիծը տրոհում է երկու հավասար երկարու-թյամբ մասերի, ուստի ըստ պնդում 3.-ի այդ մասերի պրոյեկցիաները ուղղի վրա չպետք է դուրս գան պատկերի սահմաններից, որն էլ ակն-հայտորեն տեղի կունենա, եթե ուղղի և պատկերը եզերող գծի հատման կետերում գծին տարված շոշափողները լինեն ուղղահայաց այդ ուղղին (նկ. 8 բ)):

Դիտարկվող երկու հատվածներով տանենք կոորդինատային ա-ռանցքներ, հաշվի առնելով պատկերի սիմետրիկությունը կոորդինա-տային առանցքների նկատմամբ՝ դիտարկենք առաջին քառորդը և պահանջենք, որ գծի կամայական M կետով տարված շոշափողը լինի ուղղահայաց OM -ին (նկ. 9): Եթե նշանակենք

θ=∠MOx և )(θρ=OM , ապա շոշափողի ու Ox առանցքի կազմած անկյունը կլինի θπ +2 : Կունենանք

θθρθθρ sin)(,cos)( == yx , իսկ շոշափողի անկյունային գործակիցը՝

)cos)((

)sin)(()2(

′′

=′=+θθρθθρθπ xytg , որտեղից

θθρθθρθθρθθρ

θθρθθρ

θθθ

sin)(cos)(

cos)(sin)(

)cos)((

)sin)((

sin

cos

−′+′

=′′

=−=−ctg :

Վերջին հավասարությունից կարող ենք գրել՝

Նկ. 9

0

ա) Նկ. 8

բ)

58

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

constr ===′+′=+′−

)(0)(

sincos)(sin)(sincos)(cos)( 22

θρθρθθθρθθρθθθρθθρ :

Ստացվածից հետևում է, որ տրված գծի դիտարկվող մասը շրջա-նագծի աղեղ է, իսկ քանի որ այդ մասը կամայական էր վերցվել, ապա կարող ենք ասել, որ մեծագույն մակերես ունեցող պատկերը եզերող l երկարությամբ գիծը շրջանագիծ է:

Դիտողություն. ա) Գծի դիտարկվող մասը ուղիղ կտոր (հատված) չի կարող պարունակել, քանի որ հակառակ դեքում գոյություն կունենար կոորդինատների O սկզբնակետով անցնող, այդ կտորը հատող ու նրա հետ սուր անկյուն կազմող առանցք, որի վրա գծի պրոյեկցիան դուրս կգար գծով սահմանափակված պատկերի սահմաններից, որը հնարա-վոր չէ (պնդում 3.): Ուստի գիծը ուռուցիկ է, միշտ ունի կորություն, հե-տևաբար նրան ցանկացած կետում կարող ենք տանել շոշափող: բ) Ակնհայտ է նաև այն պնդումը, որ շրջանն ունի ավելի մեծ մակերես, քան նույն պարագծի ցանկացած բազմանկյուն, մասնավորապես կանոնա-վոր բազմանկյուն:

Խնդիր 5. Բոլոր l երկարություն ունեցող կորերից ընտրել այն կորը, որը միացնում է տրված A և B կետերը ու AB )( ABl > հատվածի հետ սահմանափակում է մեծագույն մակերես ([2], էջ 227):

Դժվար չէ նկատել, որ Խնդիր 5.-ի լուծումը Խնդիր 4.-ի պարզագույն հետևանք է: Իրոք. A և B կետերով տանենք շրջանագիծ այնպես, որ

lACB =∪ (նկ. 10): Շրջանագիծը կլինի միակը: Ենթադրենք այն ունի L երկարություն:

Համաձայն Խնդիր 4.-ի L երկարություն ունեցող կորերից դիտարկվող շրջանագիծը կսահմանափակի մեծագույն մակերես, ուստի գոյություն չունի A -ն B -ին միացնող l երկարությամբ գիծ այնպես, որը AB հատվածի հետ սահմանափակի ավելի մեծ մակերես քան ACB սեգմենտն է:

Հետևաբար որոնելի կորը կլինի դիտարկված շրջանագծի ACB աղեղը:

Նկ. 10

59

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

Գրականություն 1. Դ. Սարիբեկյան – Մաթեմատիկայի պատմություն, Երևան,

<<ԼԻՄՈւՇ>>, 2008թ. 2. В. И. Смирнов – Курс высшей математики, том 4., часть первая,

Москва, <<НАУКА>>, 1974г.

ОБ ОДНОЙ ИЗОПЕРИМЕТРИЧЕСКОЙ ЗАДАЧЕ А. М. Саргсян, Н. Л. Петросян

Резюме

В данной работе рассмотрена изопериметрическая задача с различными формулировками и с различными подходами решения.

ABOUT AN ISOPERIMETRIC PROBLEM A. M. Sargsyan, N. L. Petrosyan

Summary

In this work it is considered the isoperimetric problem with its various formulations and with different approaches of solution.

Արթուր Սարգսյան - մանկ. գիտ. թեկնածու, դոցենտ, ՀԱՊՀ Կապանի մասնաճյուղ, տնօրենի տեղակալ: Էլ հասցե՝ sargsyan.artur.m@gmail.com Հեռախոս՝ 094 70 80 19 Նահապետ Պետրոսյան - ՀԱՊՀ Կապանի մասնաճյուղ, մաթեմատիկայի դասախոս: Էլ հասցե՝ napi87@mail.ru Հեռախոս՝ 077 43 85 40

60

ԴՊՐՈՑԱԿԱՆ ՏՐԱՄԱԲԱՆԱԿԱՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅՈՒՆԸ ԶԱՐԳԱՑՆՈՂ ՄԻ ՔԱՆԻ

ԽԱՂԵՐ

Կ.Մ.Մոսեսյան

Բանալի բառեր - խաղ, գրաֆ, կող, գագաթ, միագույն եռանկյունի:

Աշխատանքում բերված են վեց տրամաբանական խաղեր, որոնց գի-տական հիմնավորումները գրաֆների տեսության այս կամ այն խնդիրների տեսքով կարելի է գտնել, օրինակ, [1]-[4] աշխատանքներում: Այդ խաղերի էությունը հասկանալու և դրանցով զբաղվելու համար ընթերցողներից չի պա-հանջվում ունենալ որոշակի մաթեմատիկական (առավել ևս գրաֆների տեսության) գիտելիքներ: Առաջարկվող խաղերը կարող են օգտագործվել դպրոցականների տրամաբանական մտածողությունը, հնարամտությունը, դիտողականու-թյունն ու կռահելու ունակությունը զարգացնելու համար:

ԽԱՂ 1 (5 գագաթով)

Խաղում են 2 աշակերտ՝ մեկը կապույտ, իսկ մյուսը կարմիր գույնի գրիչներով: Խաղացողներից մեկը թղթի վրա նշում է 5 կետից (գագաթից) կազմված պատկեր. ցանկալի է դրանք դասավորված լինեն շրջանաձև:

ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ

61

ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ

Հաջորդաբար կատարում են քայլեր՝ խաղացողը պատկերի վրա ընտրում է իրար դեռևս չմիացված գագաթների որևէ զույգ, իր կողմից ընտրված գույն ունեցող հատվածով (կողով) միացնում է այդ զույգը և քայլը փոխանցում խաղընկերոջը:

Պարտվող է ճանաչվում այն աշակերտը, ով առաջինն է ստիպված եղել նկարել եռանկյունի: Այն դեպքում, երբ ոչ մի եռանկյուն չի առաջացել և հերթական խաղացողը հնարավորություն չունի քայլ կատարելու (քանի որ բոլոր 5 գագաթներն արդեն զույգ առ զույգ միացված են), խաղն ավարտվում է ոչ-ոքի արդյունքով:

ԽԱՂ 2 (6 գագաթով)

Խաղում են 2 աշակերտ՝ մեկը կապույտ, իսկ մյուսը կարմիր գույնի

գրիչներով: Խաղացողներից մեկը թղթի վրա նշում է 6 կետից (գագաթից) կազմված պատկեր. ցանկալի է դրանք դասավորված լինեն շրջանաձև: Հաջորդաբար կատարում են քայլեր՝ խաղացողը պատկերի վրա ընտրում է իրար դեռևս չմիացված գագաթների որևէ զույգ, իր կողմից ընտրված գույն ունեցող հատվածով (կողով) միացնում է այդ զույգը և քայլը փոխանցում խաղընկերոջը:

Պարտվող է ճանաչվում այն աշակերտը, ով առաջինն է ստիպված եղել նկարել եռանկյունի (ոչ-ոքի դեպքը բացառվում է):

ԽԱՂ 3 (6 գագաթով)

Խաղում են 2 աշակերտ՝ մեկը կապույտ, իսկ մյուսը կարմիր գույնի

գրիչներով: Սողացողներից մեկը թղթի վրա նշում է 6 կետից (գագաթից) կազմված պատկեր, ցանկալի է ղրանք դասավորված լինեն շրջանաձև: Հաջորդաբար կատարում են քայլեր՝ խաղացողը պատկերի վրա ընտրում է իրար դեռևս չմիացված գագաթների որևէ զույգ, իր կողմից ընտրված գույն ունեցող հատվածով (կողով) միացնում է այդ զույգը և քայլը փոխանցում խաղընկերոջը:

Խաղը շարունակվում է մինչև 2 հատ միագույն եռանկյունների ի հայտ գալը:

Պարտվող է ճանաչվում այն աշակերտը, ով առաջինն է ստիպված եղել նկարել միագույն եռանկյունի: Եթե խաղի ընթացքում առաջացած երկու

62

ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ

միագույն եռանկյունները նույն գույնի են, ապա ղրանց նկարողը պարտվում է 2 միավոր, եակառակ դեպքում այդ եռանկյուններից առաջինի նկարողը պարտվում է 1 միավոր:

ԽԱՂ 4 (7 գագաթով)

Խաղում են 2 աշակերտ՝ մեկը կապույտ, իսկ մյուսը կարմիր գույնի գրիչներով: Խաղացողներից մեկը թղթի վրա նշում է 7 կետից (գագաթից) կազմված պատկեր. ցանկալի է դրանք դասավորված լինեն շրջանաձև: Հա-ջորդաբար կատարում են քայլեր՝ խաղացողը պատկերի վրա ընտրում է իրար դեռևս չմիացված գագաթների որևէ զույգ, իր կողմից ընտրված գույնի հատվածով (կողով) միացնում է այդ զույգը և քայլը փոխանցում խաղըն-կերոջը:

Պարտվող է ճանաչվում այն աշակերտը, ով առաջինն է ստիպված եղել նկարել միագույն եռանկյունի: Նա, խաղային իրավիճակը գնահատելով, նշում է այդ եռանկյան գագաթներից որևէ մեկը (այդ գագաթը խաղի հե-տագա ընթացքում հաշվի չի առնվում) և քայլը փոխանցում է խաղընկերոջը: Խաղը շարունակվում է մինչև մնացած 6 գագաթների վրա միագույն եռանկյան ի հայտ գալը:

Եթե խաղի ընթացքում առաջացած երկու միագույն եռանկյունները նույն գույնի են, ապա դրանց նկարողը պարտվում է 2 միավոր, հակառակ դեպքում՝ այդ եռանկյուններից առաջինի նկարողը պարտվում է 1 միավոր:

ԽԱՂ 5 (8 գագաթով)

Խաղում են 2 աշակերտ՝ մեկը կապույտ, իսկ մյուսը կարմիր գույնի

գրիչներով: Խաղացողներից մեկը թղթի վրա նշում է 8 կետից (գագաթից) կազմված պատկեր. ցանկալի է դրանք դասավորված լինեն շրջանաձև: Հաջորդաբար կատարում են քայլեր՝ խաղացողը պատկերի վրա ընտրում է իրար դեռևս չմիացված գագաթների որևէ զույգ, իր կողմից ընտրված գույն ունեցող հատվածով (կողով) միացնում է այդ զույգը և քայլը փոխանցում խաղընկերոջը:

Խաղը շարունակվում է մինչև իրար հետ ոչ մի գագաթով չհատվող միագույն եռանկյունների զույգի ի հայտ գալը: Եթե այդ եռանկյունների զույգը նույն գույնի է, ապա դրանց նկարողը պարտվում է 2 միավոր, հակառակ

63

ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ

դեպքում՝ այդ եռանկյուններից առաջինի պատկերողը պարտվում է 1 միավոր:

ԽԱՂ 6 (9 գագաթով)

Խաղում են 2 աշակերտ: Խաղացողներից մեկը կամայական ձևով

ընտրում է 10-ից մինչև 20 միջակայքում ընկած որևէ թիվ (ենթադրենք, օրինակ 13-ը) և թղթի վրա նշում է 9 կետ (գագաթ). Ցանկալի է դրանք դա-սավորված լինեն շրջանաձև: Երկրորդ խաղացողը ցիկլիկ ձևով համա-րակալում է այդ գագաթները 1-ից մինչև 9 համարներով և կարմիր գույնով պատկերում է իր կողմից կամայական ձևով ընտրված 13 հատ այնպիսի կողեր, որոնցից ոչ մեկի գագաթների զույգը չի գտնվում (1,2,3), (4,5,6) և (7,8,9) եռյակներից որևէ մեկում և քայլը փոխանցում է խաղընկերոջը:

Հաջորդաբար կատարում են քայլեր՝ խաղացողը պատկերի վրա ընտրում է իրար դեռևս չմիացված գագաթների որևէ զույգ, կապույտ գույնի կողով միացնում է այդ զույգը և քայլը փոխանցում խաղընկերոջը:

Պարտվող է ճանաչվում այն աշակերտը, ով առաջինն է ստիպված եղել նկարել կապույտ գույնի եռանկյունի (ոչ-ոքի դեպքը բացառվում է):

Գրականություն

1. Կ. Մ. Մոսեսյան, Դասախոսություններ գրաֆների տեսությունից, Ուսումնական ձեռնարկ.-Եր.: Հեղինակային հրատարակություն, 2012, 176 էջ. ISBN 978-9939-53-543-2 2. Կ. Մ. Մոսեսյան, Գրաֆների տեսության կիրառությունը տեքստային խնդիրներում, Ուսումնամեթոդական ձեռնարկ. Եր., Հեղինակային հրատա-րակություն, 2009, 140 էջ. ISBN 978-9939-53-511-1 3. Կ. Մ. Մոսեսյան, Բացահայտիր գրաֆների գաղտնիքները, Օժանդակ ոււսումնական ձեռնարկ.-Եր.: Հեղինակային հրատարակություն, 2013, 116 էջ. ISBN 978-9939-0-0768-7 4. Березина Л. Ю., Графы и их применение, М., Просвещ.,1979г.,144 стр.

64

ՀԵՏԱՔՐՔՐԱՇԱՐԺ

Некоторые игры, развивающие логическое мышление школьников

Мосесян К.М. Резюме

В предлагаемой работе приведены 6 логических игр, научное обоснование которых в виде задач по теории графов можно найти, например, в работах [1] - [4]. Для занятия этими играми и понимания их сущности от читателя не требуется специальных математических знаний. Предлагаемые игры могут быть использованы для развития у школьников логического мышления, находчивости, смекалистости и наблюдательности.

SIX GAMES TO DEVELOP THE LOGIC THOUGHT OF SCHOOL-KIDS

Mosesyan K.M. Summary

Five logic games are presented in terms of edge coloring in a graph with

certain strategy between one or more players based on some well-known graph theoretical problems and results. These games are intended for school-kids without any additional theoretical knowledge to develop their resourcefulness, observation and premonition, as well as are useful to create corresponding computer games having much more interest among school-kids.

Կառլեն Մնացականի Մոսեսյան - ֆ.մ.գ.թ., դոցենտ, աշխատում է Խ. Աբովյանի անվան հայկական պետական մանկավարժական համալսա-րանում որպես ինֆորմատիկայի և դրա դասավանդման մեթոդիկայի ամբիոնի դոցենտ:

Էլ. հասցե ՝ mosesyan@list.ru Հեռախոս՝ 055 20 67 66