ԹԻՎ 2 (110), 2017թ. «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» журнал на армянском языке

«MATHEMATICS IN SCHOOLS» Journal in Armenian

Ա Ր Ժ Ե Ք Ա Յ Ի Ն Հ Ա Մ Ա Կ Ա Ր Գ Համլետ Միքայելյան ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԱՐԺԵՔԸ ................................................ 3 Գ Ի Տ Ա Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Աբդոլմաջիդ Նեգարեշնեժադ, Է․ Զաքարյան ՀՈՒԶԱԿԱՆ ԻՆՏԵԼԵԿՏԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԱԶԴԵՑՈՒԹՅՈՒՆԸ ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐԻ ԵՎ ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴԻՄՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ. ................. 17 Ե. Ա. Լոդատկո ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ՄԱՏՉԵԼԻՈՒԹՅԱՆ, ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ՈՐԱԿԻ ԵՎ ԱՐԴՅՈՒՆԱՎԵՏՈՒԹՅԱՆ ԲԱՐՁՐԱՑՄԱՆ ՑՈՒՑԱՆԻՇՆԵՐՆ ԸՍՏ Վ. Վ. ֆԻՐՍՈՎԻ ............................. 30 Անժելա Մինասյան ՍՏՈԽԱՍՏԻԿԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳԵՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԳՐԱՎՉՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ ................................................ 36 Մ Ե Թ Ո Դ Ա Կ Ա Ն Հասմիկ Մկրտչյան ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ՀԵՏԱՔՐՔՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ՁԵՎԱՎՈՐՈՒՄԸ ԱՎԱԳ ԴՊՐՈՑԻ ՀՈՒՄԱՆԻՏԱՐ ՀՈՍՔԵՐՈՒՄ ....................……........... 44 Օ Գ Ն Ո Ւ Թ Յ Ո Ւ Ն Ո Ւ Ս Ո Ւ Ց Չ Ի Ն Նվարդ Թունյան, Գայանե Մաշուրյան ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆՈՒՄ ..................................................................... 52 Թ Ղ Թ Ա Կ Ց Ո Ւ Մ Է Հ Ա Յ Զ Ի Ն Վ Ո Ր Ը Դավիթ Այվազյան ՈՒՂՂԱՆԿՅՈՒՆ ԵՌԱՆԿՅԱՆ ԱՐՏԱԳԾՅԱԼ ԵՎ ՆԵՐԳԾՅԱԼ ՇՐՋԱՆԱԳԾԵՐԻ ՇԱՌԱՎԻՂՆԵՐԻ ԿԱՊԻ ՄԱՍԻՆ..................... 63

ÐÐ

ÏñÃ

áõÃ

Û³Ý

¨ ·

Çïáõ

ÃÛ³

Ý Ý³

˳

ñ³ñá

õÃÛá

õÝ

Î

ñÃáõ

ÃÛ³

Ý ³

½·

³ÛÇ

Ý ÇÝ

ëïÇï

áõï

¶Çï

³Ù»

Ãá¹

³Ï³

Ý ³

Ùë³

·Çñ

` ¸åñáóáõÙ

Ø ³Ã»Ù³ïÇϳÝ

Ê Ù μ ³ · ñ ³ Ï ³ Ý Ë á ñ Ñ á õ ñ ¹

гÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·Çñ

ê³ñÇμ»Ï гÏáμÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·ñÇ ï»Õ³Ï³É« å³ï³ë˳ݳïáõ ù³ñïáõÕ³ñ

Ê á ñ Ñ ñ ¹ Ç ³ Ý ¹ ³ Ù Ý » ñ

²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý ²ñ³Ù ²Ûí³½Û³Ý ¿¹í³ñ¹ ²é³ù»ÉÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ´³Õ¹³ë³ñÛ³Ý ¶¨áñ· ¼³ù³ñÛ³Ý ì³ÝÇÏ Ð³ñáõÃÛáõÝÛ³Ý Ð³ÛÏáõÝÇ ÔáõϳëÛ³Ý Üáñ³Ûñ ÔáõßãÛ³Ý ²É»ùë³Ý¹ñ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØÏñïãÛ³Ý Ø³ÝáõÏ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõñ³ ܳí³ë³ñ¹Û³Ý гÛϳ½ èá¹ÇáÝáí ØÇ˳ÇÉ ê³ý³ñÛ³Ý ¶ñÇ·áñ 껹ñ³ÏÛ³Ý Ü³ÇñÇ

Ü Ï ³ ñ Ç ã ì© Ð© ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

Ð ³ Ù ³ Ï ³ ñ · ã ³ Û Ç Ý Ó ¨ ³ í á ñ á õ Ù Á ÜáõÝ» ²ÙÇñÛ³ÝÇ îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67« ë»ÝÛ³Ï 401375005 ºñ¨³Ý 5 Tigran Metsi 67« Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

§ Ø ³ Ã » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ý ¹ å ñ á ó á õ Ù ¦

· Ç ï ³ Ù » Ã á ¹ ³ Ï ³ Ý ³ Ù ë ³ · Ç ñ

№2, 2017Ã.

Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ 1998Ã-Çó Lñ³ïí³Ï³Ý ·áñÍáõÝ»áõÃÛáõÝ Çñ³Ï³Ý³óÝáÕ`

§ Î ñ Ã á õ Ã Û ³ Ý ³ ½ · ³ Û Ç Ý Ç Ý ë ï Ç ï á õ ï ¦ ö´À

гëó»Ý` ºñ¨³Ý, îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67,

íϳ۳ϳÝ` N 01 ² 044424, ïñí³Í 16.02.1999Ã.

²Ùë³·ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ï³ë˳ݳïáõ` · É˳íáñ ËÙμ³·Çñ` гÙÉ»ï ØÇù³Û»É Û³Ý Ð³ÝÓÝí³Í ¿ ïå³·ñáõÃÛ³Ý 21 .07.2017Ã: îå³ù³Ý³ÏÁ`1500 , ͳí³ÉÁ` 4 Ù³ÙáõÉ: îå³·ñáõà ÛáõÝÁ` ûýë»Ã: â³÷ëÁ` 70×100 1/16: ¸åñáóÝ»ñÇÝ ³Ýí׳ñ ïñíáõÙ ¿ Ù»Ï ûñÇݳÏ, áñÁ å»ïù ¿ å³ñï³¹Çñ ·ñ³ÝóíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ : ì³×³éùÇ »Ýóϳ ã¿:

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

3

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ԱՐԺԵՔԸ

Հ. Ս. Միքայելյան

Բանալի բառեր - մաթեմատիկական կրթություն, ճանաչո-ղություն, արժեք, ճշմարտական արժեք, բարոյական արժեք, գեղագիտական արժեք, ազգային արժեք

Մաթեմատիկական կրթությունը ճանաչողության, աշխարհընկալման աղբյուր

Մեր նախորդ՝ [12] աշխատանքում անդրադարձել ենք մաթեմատի-կայի դերին՝ որպես բնության օրինաչափությունների շարադրման լեզվի, որպես առօրյա կյանքում և գիտության տարբեր բնագավառներում առա-ջացած խնդիրների լուծման գործիքի: Այդ դերը լայնորեն դրսևորվում է նաև հանրակրթության ոլորտում և ծառայում ու արժևորվում է որպես սովորողների ճանաչողության, աշխարհընկալման հիմնական ճանա-պարհներից մեկը: Մեթոդական գրականության մեջ մաթեմատիկայի հանրակրթական այս դերը բնութագրվում է որպես նրա կիրառական ուղղվածության՝ կիրառական ֆոնի և միջառարկայական կապերի արտա-հայտություն:

Ինչպես ուսուցման գործընթացում, այնպես էլ դասընթացներում մաթեմատիկայի կիրառական ֆոնի ներառումը առաջին հերթին պայ-մանավորված է հանրակրթական դպրոցի կրթական աստիճաններով: Ցածր դասարաններում այն կազմում է ուսուցանվող նյութի ճնշող մեծա-մասնությունը, և դասարանից-դասարան նվազում է՝ իր տեղը զիջելով զուտ մաթեմատիկական նյութերին: Մեծությունները, մասը, սովորական

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ

ՀԱՄԱԿԱՐԳ

4

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

և բարդ տոկոսները, կշռույթը, հանրահաշվական գործողությունների մո-դելները, վիճակագրական տվյալների բնութագրերիչները, պատահույթը և ստոխաստիկական ու, ընդհանրապես, մաթեմատիկական այլ նյութեր հնարավորություն են տալիս անմիջականորեն անդրադառնալ մաթեմա-տիկայի կիրառություններին, ինչի հնարավորությունները ունեն նաև մա-թեմատիկայի բովանդակության մեջ ներառված համարյա բոլոր նյութերը:

Անհրաժեշտ է նկատել, որ խորհրդային և այսօրվա ռուսական հան-րակրթական մաթեմատիկան անհրաժեշտ խորությամբ չի բացահայտում մաթեմատիկայի կիրառական նշանակությունը, մինչդեռ արևմտյան զար-գացած երկրներում մաթեմատիկայի, մանավանդ՝ հանրահաշվի կիրա-ռական ուղղվածությանը հատկացվում է չափազանց մեծ տեղ: Հետ-խորհրդային շրջանում մեզանում նույնպես ստեղծվեց այդ ավանդույթը [3]-[6]: Վերջին շրջանում կառավարության կողմից ֆինանսական կրթու-թյան կարևորումը և նրա մաթեմատիկական բաղադրիչի համար նախա-տեսված չափորոշիչի և ծրագրի նախագծի ստեղծումը կարելի է դիտել որ-պես այդ ավանդույթի շարունակություն[2]::

Հանրահաշվի հանրակրթական կարևորագույն արժեքներից մեկը նրա կիրառությունն է հարակից ուսումնական առարկաներն ուսումնասի-րելու, դրանցում առաջացած օրինաչափությունները հասկանալու և հիմ-նավորելու մեջ: Այստեղ պետք է նկատի ունենալ, որ այլ ուսումնական ա-ռարկաների, այդ թվում` մաթեմատիկայի հետ հայոց լեզվի միջառարկա-յական կապերում թելադրող կողմը հայոց լեզուն է, իսկ ուսումնական այլ առարկաների հետ մաթեմատիկայի միջառարկայական կապերում թելա-դրող կողմը՝ մաթեմատիկան: Սա նշանակում է, որ բոլոր այդ առարկա-ների ուսումնական ծրագրերի, դասագրքերում ընդգրկված նյութերի հեր-թականության ընտրության հարցերում պետք է ելնել այն հնարավորու-թյուններից, որ տվյալ պահին թույլ է տալիս աշակերտի ստացած ծրա-գրային հանրահաշվական գիտելիքը:

Ամուր են նաև ֆիզիկայի հետ մաթեմատիկայի միջառարկայական կապերը: Այդ կապերը այստեղ ունեն երկակի բնույթ: Մի կողմից մա-թեմատիկական գիտելիքը օգտագործվում է ֆիզիկական երևույթները ուսումնասիրելու համար, մյուս կողմից` ֆիզիկայի երևույթները լցնում են հանրահաշվական գիտելիքի կիրառական ոլորտը և առարկայական ու հետաքրքիր են դարձնում հանրահաշվի վերացական նյութի ուսուցումը:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

5

Հանրահայտ են նաև մաթեմատիկայի միջառարկայական կապերը բնագիտական բնագավառի այլ առարկաների՝ քիմիայի, կենսաբանու-թյան, տնտեսագիտության հետ: Մաթեմատիկան գործուն մասնակցու-թյուն ունի դրանցում ամփոված շատ նյութերի շարադրման մեջ: Նկատի ունենալով մաթեմատիկայի կապը ճարտարապետության, նկարչության, երաժշտության և արվեստի այլ ճյուղերի հետ, կարելի է հանրակրթության հումանիստական ուղղվածությունը ընդլայնել՝ դրանում ներառելով կամ մեծացնելով արվեստի բնագավառի ուսումնական առարկաների հետ մաթեմատիկայի միջառարկայական կապերը:

Մաթեմատիկական կրթությունը ճշմարտական արժեքների

ձևավորման աղբյուր

Ճշմարտության հետ մաթեմատիկայի սերտ առնչությունները մա-թեմատիկայի ուսուցման գործընթացի միջոցով ճշմարտական արժեքի ձևավորման լայն հնարավորություններ են ստեղծում: Այստեղ առաջին հերթին խոսքը վերաբերում է մաթեմատիկական լեզվին, նրա հասկա-ցությունների, դատողությունների և եզրահանգումների հստակությանը, պարզությանը և տրամաբանական խստությանը: Դպրոցական աշակեր-տը արդեն առաջին դասարանից, մաթեմատիկայի հետ հաղորդակցու-թյան առաջին քայլերը անելուց հասկանում է, որ գործ ունի անառարկելի ճշմարտությունների հետ: Նման հաղորդակցությունները նրա մոտ ձևա-վորում են մեծ հավատ մաթեմատիկական գիտելիքի, նրա կիրառությամբ ստացված արդյունքների հավաստիության նկատմամբ:

Այդ հավատը հետագայում ամրապնդվում է մաթեմատիկական գիտելիքի և մեթոդների իմացության հետ զուգընթաց: Ճանաչողության գիտական մեթոդները՝ վերլուծությունը և համադրությունը, համեմատու-մը և անալոգիան, վերացարկումը, ընդհանրացումը, մասնավորեցումը և կոնկրետացումը իրենց լիարժեք ու հստակ արտահայտությունն են գտնում հենց մաթեմատիկական դպրոցական նյութի ներկայացումնե-րում: Մտահանգման ինդուկտիվ եղանակը մաթեմատիկայի միջոցով հնարավոր է լինում տարածել անվերջ բազմությունների նկատմամբ, իսկ դեդուկտիվ եղանակը իր արտահայտությունն է գտնում տեսությունների

6

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

կառուցման աքսիոմատիկ մեթոդում, որի լավագույն օրինակը դա-սավանդման հազարամյակների քննությունը բռնած էվկլիդեսյան երկրա-չափությունն է: Իսկ մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացը ունի դե-դուկտիվ մտահանգման կիրառման ավելի մեծ ներուժ՝ ի դեմս միջին դպրոցում հանրահաշվի բովանդակային աքսիոմատիկ տեսության կա-ռուցման [6]:

Մյուս կողմից մաթեմատիկայի դպրոցական դասընթացի միջոցով ճշմարտական արժեքների ձևավորման հնարավորությունները ավելի նշանակալից են դառնում, եթե նրանում ներառվում են տրամաբանության տարրերը: Այդ դեպքում ավելի հստակ են գծագրվում ինչպես մաթեմա-տիկական լեզվի կառուցման մեխանիզմները, այնպես էլ դրանց աղերս-ները բովանդակային լեզուների և կիրառությունների հետ [6}:

Մաթեմատիկական կրթությունը գեղագիտական

արժեքների ձևավորման աղբյուր

Մաթեմատիկական գեղեցիկի բացահայտման ուղիներից մեկը ստացվում է գեղեցիկի հետ մաթեմատիկայի բովանդակային ընդհանրու-թյունների դիտարկումից, ինչը սակայն նպատակահարմար չէ իրագործել ուսուցման գործընթացում:

Մաթեմատիկական գեղեցիկի բացահայտման հաջորդ և ուսուցման ընթացքում շատ արդյունավետ ճանապարհը կապված է մաթեմատիկական օբյեկտների արտաքին և ներքին գեղեցկության հետ: Առաջինը վերաբերում է մաթեմատիկական օբյեկտի ձևին, տեսքին, իսկ երկրորդը՝ բովան-դակությանը, ներքին կառուցվածքին, նրա տարրերի փոխհարաբերու-թյուններին, այլ օբյեկտների հետ ունեցած կապերին: Ընդ որում, գեղագի-տականի այս երկու ձևերը փոխկապակցված են և սովորաբար հանդես են գալիս միասնաբար [10], [11]:

18-րդ դարի շոտլանդացի փիլիսոփա Ֆրենսիս Հատչեսոնը առաջար-կում է մաթեմատիկական օբյեկտների գեղագիտական գրավչությունը գնահատել ելնելով նախապես առաջադրված գեղագիտական հատկանիշ-ներով դրանց օժտված լինել-չլինելուց [16]: Հատչեսոնի և նրա հետևորդների կողմից առաջադրված նման հատկանիշների մի մասը վերաբերում է գիտու-

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

7

թյան այս կամ այն բնագավառի կամ միաժամանակ մի քանի բնագավառ-ների օբյեկտներին. դրանք այդ օբյեկտների հատկություններ են: Նման հատկանիշները մենք անվանում ենք գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատ-կանիշներ: Գիտական գեղեցիկի մաս են կազմում նաև այն հատկանիշները, որոնք երևան են գալիս օբյեկտի հետ սուբյեկտի երկկողմ հարաբերության ընթացքում և արտահայտում են սուբյեկտի հոգեկանի այս կամ այն կողմը: Նման հատկանիշները մենք անվանում ենք գիտական գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկանիշներ: Ինչպես մաթեմատիկական գեղեցիկի օբյեկտիվ, այնպես էլ սուբյեկտիվ հատկանիշները հաջողությամբ կարելի է օգտագործել մաթե-մատիկայի ուսուցման գործընթացում՝ մաթեմատիկական օբյեկտների գեղա-գիտական գրավչության բացահայտման նպատակով:

Եթե դիմենք արժեքի՝ որպես առարկաների հատկություն ընկալմանը, ապա գեղագիտական հիմնական արժեքները կլինեն գեղեցիկը և տգեղը, վեհը և ստորը, կատակերգականը և ողբերգականը: Այս հատկություններով օժտված և գնահատվող առարկաները նույնպես սուբյեկտի համար ունեն համապատասխան եզրույթով բնորոշվող գեղագիտական արժեք: Գեղագի-տական արժեքները իրենց դերն ունեն նաև գիտության մեջ, մասնավորա-պես, մաթեմատիկայում: Մաթեմատիկական գործունեությունից անբաժան են «գեղեցիկ թեորեմ», «գեղեցիկ խնդիր», «գեղեցիկ ապացու-ցում», «գեղե-ցիկ լուծում» և նմանատիպ գեղագիտական այլ բնութագրումներ: Ավելին, ինչպես նշում է կիբեռնետիկայի հիմնադիրներից մեկը՝ Ջ. Ֆոն Նեյմանը, մա-թեմատիկան բոլոր ժամանակներում զարգացել է հիմնականում գեղա-գիտական մոտիվների շնորհիվ:

Գեղեցիկի դրական արժեքի հետ միասին մարդու կյանքում հանդես է գալիս բացասական գեղագիտական արժեքը` տգեղը: Առանց տգեղի գեղե-ցիկը չի երևա, նշանակալից չի դառնա: Գեղագիտական կարևոր արժեքներ են նաև վեհը, սարսափելին, ստորը, ողբերգականը, կատակերկագականը, որոնք մեծ դեր են խաղում մարդու կյանքում: Մեծ է գեղագիտական ար-ժեքների դերը մարդու կյանքում. դրանք նշանակալից են դարձնում մարդու կյանքը: Գեղագիտական արժեքների ձևավորումը, դրանց ճանաչումը, «գեղեցիկով ապրելու» սովորույթի արմատավորումը գեղագիտական դաս-տիարակության կարևորագույն խնդիրներից մեկն է:

8

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Հոգևոր արժեքների համակարգում կարևոր տեղ են զբաղեցնում գե-ղագիտական դաստիարակության կատեգորիաները: Ի՞նչ տեղ է զբա-ղեցնում գեղագիտականը աշակերտի, երկրի քաղաքացու պահանջմունքնե-րի հիերարխիայում, նրա հարաբերությունների բազմազանության մեջ առ-կա՞ է գեղագիտականը, և որո՞նք են գեղագիտական հարաբերության աղբ-յուրները: Գեղագիտականի ճանաչումը, ընկալումը, գնահատումը, ճաշակը, գեղագիտական իդեալի առկայությունը անձի ներաշխարհի կարևոր բնու-թագրիչներ են, և դրանց ձևավորումն ու զարգացումը ընդգրկվում են կրթու-թյան ընդհանրական նպատակների և խնդիրների մեջ: Սովորաբար, ինչպես այլ, այնպես էլ գեղագիտական այդ արժեքների ձևավորման խնդիրը հան-րակրթության մեջ վերապահվում է ուսումնական առարկաների հումանի-տար ոլորտին: Մինչդեռ մաթեմատիկական բնագավառի առարկաները այստեղ ևս ունեն կրթական մեծ ներուժ:

Մաթեմատիկական նյութի ուսուցման արդյունավետությունը, նրա նկատմամբ հետաքրքրությունը պայմանավորված է նաև նրանով, թե ինչ-պես են իրականացվում ուսուցիչ-աշակերտ փոխհարաբերությունները, ինչ տեղ ունի դրանցում գեղագիտականը: Խնդրի լուծումը նշված երկկողմ հա-րաբերության ածանցումն է ուսուցիչ-ուսումնական նյութ-աշակերտ եռակողմ հարաբերությունից, և վերջինիս մեջ հարաբերության միջուկի՝ ուսումնական (մաթեմատիկական) նյութի գեղագիտական գրավչության համակողմանի բացահայտումից: Իսկ մաթեմատիկական յուրաքանչյուր նյութ ավել կամ պակաս չափով օժտված է գեղագիտական գրավչությամբ, և դասավանդման գործընթացն էլ թույլ է տալիս մեծացնել նյութի գեղագիտական գրավչու-թյունը՝ նրա մատուցման ընթացքի մեջ ներգրավելով գիտական գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկանիշները [11]:

Գեղագիտական դաստիարակության կարևոր կատեգորիաներից է գեղագիտական ընկալումը, ինչը չափազանց կարևոր նշանակություն ունի նաև մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում: Մաթեմատիկական օբ-յեկտի սովորական ընկալման փոխարեն նրա գեղագիտական ընկալում մեծացնում, նշանակալից է դարձնում այն: Իսկ այդպիսի օբյեկտի գեղագի-տական ընկալման առաջին նախադրյալները գտնվում են հենց իր մեջ և արտահայտվում են մաթեմատիկական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատկանիշնե-րով, նրա արտաքին և ներքին գեղագիտությամբ:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

9

Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը հնարավորություն է ընձե-ռում ուսուցման ողջ ընթացքում անդրադառնալ սովորողների զարգացման գեղագիտական կողմին: Այստեղ կրթական ցածր աստիճաններում գեղա-գիտականը դրսևորվում է մաթեմատիկայի կիրառություններում, առարկա-ների արտաքին տեսքերում, ինչը հետագայում, կրթական աստիճանների բարձրացմանը համընթաց, աստիճանաբար իր տեղը զիջում է մաթեմա-տիկական նյութին, նրանում մաթեմատիկական գեղեցիկի հատկանիշների, նրա ներքին գեղագիտության բացահայտմանը:

Շատ մեծ է մաթեմատիկական կրթության նշանակությունը գեղագի-տական ճաշակի և գեղագիտական իդեալի ձևավորման գործում: Մասնա-վորապես, գեղագիտական ճաշակի այնպիսի արտահայտությունների ձևա-վորման և զարգացման մեջ, ինչպիսիք են խոսքը, նրա հստակությունը, հիմնավորվածությունը, փաստարկվածությունը, տրամաբանական խստու-թյունը, մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացի դերը բացառիկ է: Ինչ վե-րաբերում է գեղագիտական իդեալին, ապա թիվը, հաստատունը, փոփո-խականը, կետը, ուղիղը, հարթությունը և մաթեմատիկական օբյեկտներն առհասարակ հանդես են գալիս որպես գեղագիտական իդեալի անգե-րազանցելի արտահայտություններ:

Մաթեմատիկական կրթությունը բարոյական արժեքների

ձևավորման աղբյուր

Բարոյական արժեքները կազմում են մարդու արժեհամակարգի կարևորագույն մասը: Բարին ու չարը, սերն ու ատելությունը, հարգանքը, արժանապատվությունն ու պատիվը, առաքինությունն ու արատը, խիղճն ու ամոթը, կյանքի նպատակն ու իմաստը, պարտքը, ազատությունն ու երջանկությունը հիմնական բարոյական արժեքներն են, որոնք բնու-թագրում են յուրաքանչյուր մարդու, նրա հոգևոր աշխարհը, նկարագիրը, էությունը: Այս արժեքները կազմում են նաև զանազան իմաստասիրական և կրոնական ուսմունքների անքակտելի մասը, եղել են մարդկության մեծ ուսուցիչների, անցյալի և ներկայի բարոյախոսների ուսումնասիրության հիմնական առարկաները: Այս պատճառով բարոյական արժեքների ձևա-վորումը դաստիարակության հիմնական խնդիրներից է, եթե ոչ հիմնա-կանը: Անշուշտ, սովորողների բարոյական արժեքների ձևավորման

10

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

գործում անհամեմատ ավելի մեծ են գրականության և պատմության կամ հումանիտար ցիկլի մյուս ուսումնական առարկաների հնարավորություն-ները, որովհետև հերոսության, հայրենասիրության, սիրո և բարոյական այլ որակների ձևավորման համար գրականությունը կամ պատմությունը կարող են դիմել գրական կամ պատմական ստեղծագործությունների, որոնցում առկա են նշված որակները կրող բազմաթիվ հրաշալի կեր-պարներ կամ պատմական դեմքեր: Մինչդեռ մաթեմատիկայի ուսումնա-կան նյութը նման` կերպարային մոտեցման հնարավորություններ չի ընձեռում: Բայցևայնպես, մաթեմատիկան նույնպես ունի բարոյական արժեքների ձևավորման հսկայական ներուժ, ինչը կարող է դրսևորվել և՛ դրական և՛ բացասական ձևերով:

Մաթեմատիկայի վերացական բնույթը, տրամաբանական խստու-թյունը, նյութերի շարադրանքի հստակությունը, պարզությունը, հետևո-ղականությունը, կիրառական լայն հնարավորությունները, ուսումնական այլ առարկաների հետ միջառարկայական կապերի բազմազանությունը ստեղծում են հանրակրթության համապատասխան բնագավառի ուսում-նական առարկաների դասավանդման մի շարք առանձնահատկություն-ներ, որոնք կարող են նպաստել ինչպես սովորողների դրական, այնպես էլ բացասական բարոյական արժեքների ձևավորմանը:

Թեև մաթեմատիկայի առարկայական չափորոշիչներում նշվում են նաև ուսուցման զուտ կրթական մի շարք նպատակներ, սակայն ինչպես հանրության, այնպես էլ մասնագիտական լայն շրջանակներում և կրթու-թյան կառավարման օղակներում իշխում է այն կարծիքը, թե մաթե-մատիկայի դասը կոչված է սովորեցնելու մաթեմատիկա: Եվ որովհետև ուսուցիչը գործ ունի աշակերտական ոչ համասեռ դասարանի հետ, ապա նրա ուշադրությունն էլ բաշխվում է տարբեր կերպ. աշակերտների մի մասը, որն աչքի է ընկնում մաթեմատիկական ընդունակություններով, գտնվում են ուսուցչի մշտական ուշադրության կենտրոնում, իսկ մյուս՝ ավելի մեծ զանգվածը ընդհանրապես եթե հայտնվում էլ է ուսուցչի տե-սադաշտում, ապա դիտողության արժանանալու համար: Եվ նման դա-սարանը շերտավորվում է նախանձի ու թերարժեքության բարդույթի, արհամարանքի ու մեծամտության, սիրո, համակրանքի ու ատելության, արդարության ու անարդարության, պատվի ու անպատվության և բարո-

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

11

յական դրական ու բացասական այլ որակների ամենօրյա ու հետևո-ղական դրսևորման մթնոլորտում: Անկասկած, դժվար է խոսել նման մթնոլորտում բարոյական դաստիարակության, դրական բարոյական արժեքների ձևավորման մասին:

Մինչդեռ մաթեմատիկական կրթությունը, ինչպես և կրթությունն ընդհանրապես, նախատեսվում և ֆինանսավորվում է բոլոր աշակերտ-ների համար: Եվ իրավական պարտավորությունների կողքին, պատաս-խանատվության, արդարության, պարտքի, հարգանքի և բարոյական այլ մոտեցումներ ուսուցիչից պահանջում են համանման կամ նույնանման վերաբերմունք բոլոր աշակերտների նկատմամբ: Այդ դեպքում դասարա-նում կարող է իշխել հանդուրժողականության, փոխօգնության, հար-գանքի, սիրո և բարոյական դրական որակների վրա հենված մթնոլորտ, որում կձևավորվեն նաև դրական բարոյական արժեքներ: Նման պայ-մաններում մաթեմատիկական կրթության իսկապես դառնում է բարիք, և մեծանում են հնարավորությունները մաթեմատիկայի ուսուցման գործըն-թացում ձևովորելու բարու, սիրո, արժանապատվության, հարգանքի, պատվի, պարտքի, արդարամտության, ազատության, երջանկության, կյանքի նպատակի և իմաստի բարոյական հիմնարար արժեքներ [8]:

Մաթեմատիկական կրթությունը հոգեկան արժեքների ձևավորման աղբյուր

Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացի հետ հոգեկան երևույթ-ների կապը շարունակաբար գտնվել է ինչպես մաթեմատիկոսների և հոգեբանների, այնպես էլ մաթեմատիկայի ուսուցիչների ուշադրության կենտրոնում: Հարկ է նշել, որ եթե հոգեբանները կարևորում են սովորող-ների հոգեբանական անվտանգության կամ հոգեկան առողջության հար-ցը, ապա մասնագետ-մեթոդիստները և առարկայական ուսուցիչները ավելի շատ շեշտադրում են հոգեկան հարստության խնդիրը, ինչը կարևորվում է նաև ուսումնական առարկաների, մասնավորապես մաթե-մատիկայի ուսուցման նպատակների շրջանակներում: Սովորաբար, ուսուցիչները առաջին հերթին օգտվում են սովորողների հիշողությունից, մտածողությունից, երևակայությունից, ուշադրությունից, կամային և հո-գեկան այլ դրական որակներից, դրանք նպատակաուղղելով դեպի

12

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

ուսումնական նյութի յուրացում, ուսուցման գործընթացի արդյունավետու-թյան բարձրացում [14]: Սակայն, հումանիստական կրթության պայման-ներում ուսուցման գործընթացը նպատակաուղղվում է ոչ այնքան տվյալ ուսումնական առարկայի ուսումնական նյութի յուրացմանը և գիտելիք-ների ու կարողությունների կուտակմանը, այլ այդ ուսումնական նյութի միջոցով սովորողների դաստիարակության, արժեհամակարգի ձևա-վորման խնդրի լուծմանը: Այս պայմաններում, հոգեկանի հետ փոխհարա-բերության խնդրում, առաջին պլան է մղվում ուսուցման գործընթացի միջոցով սովորողի հոգեկան երևույթների ձևավորման և զարգացման խնդիրը:

Ընդունված է, որ մաթեմատիկայի ուսուցումը մեծապես նպաստում է սովորողի մտածողության ձևավորման և զարգացման գործընթացին (տես, օրինակ, [13]): Այս տեսակետից մաթեմատիկայի դերը համեմատ-վում է մարդու ֆիզիկական զարգացման մեջ մարմնամարզության դերի հետ. ասում են՝ «մաթեմատիկան մտքի մարմնամարզությունն է»: Մտա-ծողության ձևավորման և զարգացման գործում մաթեմատիկայի այս դե-րը սովորաբար առնչվում է տրամաբանական մտածողության հետ: Սա-կայն մեծ է մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացի դերը նաև սո-վորողների լեզվամտածողության, ալգորիթմական մտածողության և հա-վանականային մտածողության ձևավորման ու զարգացման մեջ:

Բացի մտածողությունից մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը ունի սովորողի հոգեկան այլ երևույթների ձևավորման և զարգացման հսկայական ներուժ, ինչի բացահայտումը և իրագործումը նրա ուսուցման նպատակներից է: [1] աշխատանքում հանգամանորեն հետազոտված է մաթեմատիկայի և, առաջին հերթին, հանրահաշվի ուսուցման գործըն-թացի դերը ուշադրության, նրա զանազան դրսևորումների՝ կենտրոնաց-ման, ծավալի, բաշխման, տեղափոխման, կայունության, լարվածության, տատանումների, ինչպես նաև ուշադրության կամածին, ոչ կամածին, հետկամածին, արտաքին և ներքին տեսակների զարգացման գործում: [7] և [9] աշխատանքներում հետազոտված են մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացի ազդեցության խնդիրը սովորողների հոգեկան կոփման, նրանց մոտ նպատակասլացության, վճռականության, համառության, տո-կունության, համարձակության, ինքնուրունության և ինքնատիրապետ-ման կամային որակների ձևավորման և զարգացման վրա: Մենք խնդիրը

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

13

ուսումնասիրել ենք պահանջմունքների, հույզերի, զգացմունքների, երևակայության համար, դիտարկել ենք նաև գեղագիտականի դրսևոր-ման տեսանկյունը հոգեկան երևույթներում [11]: Կատարված ուսումնա-սիրությունները ցույց են տալիս, որ մաթեմատիկայի և, առանձնապես, հանրահաշվի ուսուցման գործընթացը կարող է մեծապես նպաստել հոգեկան երևույթների ձևավորման ու զարգացման գործընթացներին, դրանց հաղորդելով նաև ընդգծված գեղագիտական երանգներ:

Մաթեմատիկական կրթությունը ազգային արժեքների ձևավորման աղբյուր

Ազգային արժեքները գրավում են առանձնահատուկ տեղ մշակույթի ընդհանուր համակարգում: Դրանք երևան են գալիս որպես յուրաքանչյուր ազգի սոցիալհոգեբանական ինքնատիպության արտահայտություններ և տարբերվում են մյուս ազգերի համապատասխան դրսևորումներից և ենթադրում են այդ էթնոսի բոլոր անդամների միասնություն ընդհանուր գաղափարների և նպատակների շուրջ: Նման միասնությունը պայմանա-վորվում է նաև այդ անդամների հոգեկան նկարագրերի ընդհանրու-թյամբ, արարքների միատեսակ ընկալմամբ և գնահատմամբ և արժեք-ներին տրվող միատեսակ գնահատականներով: Բոլոր ազգային արժեք-ները ինչ-որ չափով ենթադրում են մարդու աձնական շահերի, նպատակ-ների սահմանափակում կամ ընդհանրապես դրանցից հրաժարում` հո-գուտ ազգային շահերի: Դա բնական ընթացք է և գործում է որպես ազգի ինքնապաշտանության մեխանիզմ:

Առանձնացվում են ազգային արժեքների երկու խմբեր, որոնք ազդում են ինչպես յուրաքանչյուր մարդու արժեքային կողմնորոշման, այնպես էլ ազգային ընդհանրության գաղափարի ձևավորման և իրակա-նացման վրա: Նշենք հիմնականները.

ա. արժեքներ, որոնք համախմբում են ազգը և կանխորոշում նրա ապագան. լեզուն, սովորույթները, ավանդույթները, մշակույթը, ծնողները, երեխաները, ընտանիքը, երկրի տարածքը, մարդու անցյալը, ժողովրդի պատմությունը, կրոնը, ազգի հանրահայտ մարդիկ, ծնողների ազգային պատկանելիությունը, կրթության լեզուն, ազգային մտավորականությու-նը, ազգային արժանապատվությունը, հայրենիքը:

14

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

բ. ընդհանուր սոցիալական արժեքները. բարոյական հիմնական արժեքները, սոցիալական արդարությունը, նյութական ապահովությունը, սոցիալական հավասարությունը, տնտեսական անկախությունը, քաղա-քական ազատությունը: Կախված նրանից, թե ինչքանով է նպաստում մաթեմատիկական կրթությունը այս խմբերում նշված արժեքների ձևա-վորմանը, այնքանով էլ այն կարելի է դիտել որպես ազգային արժեք: Առարկայական չափորոշիչն ու ծրագիրը, դասագիրքը, ուսուցման գործ-ընթացը ուղղորդող հիմնական մոտիվներից մեկը պետք է լինի ազ-գայինը: Ազգային լեզուն, որով շարադրվում է մաթեմատիկական նյութը, երկրի պատմության, պատմական և ներկա տարածքի, ազգային նվա-ճումների, ազգի հանրահայտ մարդկանց մասին պատմությունների վրա հենված մաթեմատիկական նյութերը սովորողի մոտ ձևավորում են արզային արժանապատվության զգացումը, սերը հայրենիքի նկատմամբ: Այս տեսակետից լավագույն օրինակը մեզ տալիս են անցյալի մեր մեծերը: Ահա ինչ է գրում Հովսեփ Օրբելին այդ կապակցությամբ մեր մեծերից մեկի՝ 7-րդ դարի հայ նշանավոր մաթեմատիկոս Անանիա Շիրակացու մասին [15]. “Անանիայի խնդիրները զբաղեցնող են, կենսալից, պարզ: Խնդիրների թեմաները մեծամասամբ վերցված են Անանիային շրջապատող կենցաղից, գործողության վայրը նրա հայրենի Շիրակն է և նրան հարևան վայրերը, գործող անձինք, եթե կոչվում են անուններով, տեղական իշխաններն են` Կամսարականները, այդ թվում և Անանիայի ժամանակակից Ներսեհը”: Որպես Շիրակացու այս ավանդույնթերի շարունակություն ես կարող եմ նշել [3]-[5] դասագրքերը, որոնց կիրառա-կան ֆոնը խարսխված է հայ մշակույթի հենքի վրա: Իսկ որպես հա-կաօրինակ կամ ժխտօրինակ կարելի է բերել մեր հանրակրթություն մտած միջին դպրոցի հանրահաշվի թարգմանական դասագրքերը, որոնց կիրառական ֆոնում ռուսական իրականությունն է:

Գրականություն

1. Դանիելյան Մ. Ա., Միքայելյան Վ. Հ., Միքայելյան Հ, Ս., Հոգեկան ե-րևույթները մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում, 1. Ուշադրու-թյուն //Մաթեմատիկան դպրոցում, 2000թ., №5-6:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

15

2. Հակոբյան Ս.Է., Մաթեմատիկայի դասընթացում ֆինանսական կրթության ինտեգրման հիմնահարցի մասին, Մաթեմատիկան դպրոցում, 1, 2017:

3. Միքայելյան Հ. Ս., Հանրահաշիվ 7, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2006, 304 էջ:

4. Միքայելյան Հ. Ս., Հանրահաշիվ 8, Հանրակրթական դպրոցի դասագիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2007, 304 էջ:

5. Միքայելյան Հ. Ս., Հանրահաշիվ 9, Հանրակրթական դպրոցի դա-սագիրք, Երևան, Էդիթ պրինտ, 2008, 304 էջ:

6. Հ. Ս. Միքայելյան, Հանրահաշվի ուսուցման հիմնահարցերը, Երևան, Էդիտ պրինտ, 2003, 186 էջ:

7. Միքայելյան Հ. Ս., Մաթեմատիկական կրթությունը և սովորողների հոգեկան կոփումը//Մանկավարժություն, 2010թ., №1, 19-29 էջեր:

8. Հ. Ս. Միքայելյան, Բարոյական արժեքները և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը, Էդիթ պրինտ, 2011, 186 էջ:

9. Միքայելյան Հ. Ս., Կամային որակների ձևավորումը և մաթեմա-տիկական կրթությունը//Մարդ և հասարակություն, 2013թ., №2, 26-45 էջեր:

10. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղեցիկը, Մաթեմատիկան և կրթությունը, մաս 1, Գեղեցիկը և մաթեմատիկան, Էդիթ Պրինտ, Երևան, 2014:

11. Հ.Ս.Միքայելյան, Գեղեցիկը, մաթեմատիկան և կրթությունը, հ.2, Գե-ղեցիկը և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը, Երևան, 2015, 440 էջ:

12. Հ. Ս. Միքայելյան, Արժեքը մաթեմատիկայում և մաթեմատիկայի արժեքը, Մաթեմատիկան դպրոցում, 1, 2017:

13. Восканян К. В., Психологические основы обучения математике, Ереван, Зангак-97, 2002, 348 с.

14. Слепкань З. И., Психолого-педагогические основы обучения матема-тике, Киев, Рад. Школа, 1983. 132с.

15. И.А. Орбели, Вопросы и решения вардапета Ананиа Ширакаци, армянского математика 7-го века, “Избранные труды”, Ереван, 1963, с. 513.

16. Hutcheson F. Enquiry into the original of our ideas of beauty and virtue. 1720.

16

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

ЦЕННОСТЬ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ Г. С. Микаелян

Резюме

Статья является продолжением работв автора [12]. В ней исследуется проблема формирования ценностей в процессе обучения математике. Рассматриваются возможности математиеского образования как источника по формированию когнетивных, истинностных, моральных, ментальных, эстетических и национальных ценностей.

VALUE OF MATHEMATICAL EDUCATION H. S. Mikaelian

Summary

The article is a continuation of the author's works [12]. It explores the problem of value formation in the process of teaching mathematics. The possibilities of mathematical education as a source for the formation of cognitive, truth, moral, mental, aesthetic and national values are considered.

Համլետ Սուրենի Միքայելյան – ֆ.մ.գ.թ., մ.գ.դ, մաթեմատիկայի /ՌԴ/ և մանկավարժության /ՀՀ/ պրոֆեսոր, ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի և նրա դասա-վանդման մեթոդիկայի ամբիոնի վարիչի պաշտոնակատար, “Մաթեմա-տիկան դպրոցում” ամսագրի գլխավոր խմբագիր:

Հեռախոս՝ 093 88 17 07 Էլ. hասցե` h.s.mikaelian@gmail.com

17

ՀՈՒԶԱԿԱՆ ԻՆՏԵԼԵԿՏԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԱԶԴԵՑՈՒԹՅՈՒՆԸ ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐԻ ԵՎ

ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՄՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴԻՄՈՒԹՅԱՆ ՎՐԱ

Աբդոլմաջիդ Նեգարեշնեժադ

Է․ Զաքարյան

Բանալի բառեր - հուզական ինտելեկտ, ճանաչողական ինտելեկտ, ուսումնական առաջադիմություն, հուզական ին-տելեկտի ուսուցում, հմտությունների ձևավորում, ինտելեկտի սիներգետիկ էֆեկտ:

Մեկ հարյուրամյակից ավելի ճանաչողական ինտելեկտն ամենա-կարևոր գործոնն է համարվել անձի անհատական հաջողություններում։ Սակայն ժամանակի հետ հետազոտողները եկան այն եզրակացության, որ բացի ճանաչողական ինտելեկտից, մարդու ուսումնական առաջա-դիմության վրա նաև տարբեր անհատական գործոններ են ազդում, և ճանաչողական ինտելեկտի դերը անձի ուսումնական առաջադիմությունը կանխատեսելու հարցում միակը չէ։ Այդ հետազոտողների թվին են պատ-կանում Դ. Գոուլմանը, Ջ. Մայերը, Փ. Սելոուեյը և ուրիշներ։ Այս համա-տեքստում հետազոտողների ուշադրությունը գրավեց հուզական ինտե-

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

18

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

լեկտը։ Որպես նոր հասկացություն հոգեբանության մեջ՝ հուզական ին-տելեկտն արդյունք էր ճանաչողական և հուզական ոլորտների միահյուս-ման։ Հուզական ինտելեկտն իմաստության և հույզի հարաբերակցու-թյունն է, քանի որ մարդը միայն ճանաչողական կամ միայն հուզական էակ չէ, այլ այս երկուսի համադրությունը, ուստի անձի՝ շրջապատի հետ համապատասխանությունն ու կենսական խնդիրների կայունությունը կախված է նրա աֆեկտիվ և ինտելեկտուալ կարողությունների համակց-ված գործառույթից [Sallowey&Mayer, 2002]:

Սալավեյը և Մայերը հույզերը համարում են կազմակերպված պա-տասխաններ, որտեղ խաչաձևվում ու բախվում են հոգեբանական տար-բեր ենթահամակարգեր՝ ընդգրկելով ֆիզոլոգիական, ճանաչողական, մոտիվացիոն և փորձարարական համակարգերը [9, 58]: Մայերի ու Սալավեյի դիտարկմամբ՝ հուզական ինտելեկտն ինչ-որ տեղ հուզական մշակում է, որի ընթացքում անձը ճիշտ կերպով գնահատում է իր և ուրիշ-ների հույզերը, կազմակերպված ձևով համակարգում դրանք և կիրառում որպես նպատակահարմար գործիք:

Գոուլմանը հուզական ինտելեկտը բացատրում է մոտիվացիայի պահպանման, անախորժությունների դիմագրավման, ստրեսների կառա-վարման, հաճույքի պոռթկումի հետաձգման, ուրիշների հետ ապրումակց-ման և հուսալիության կարողություններով [12, 32]:

Բար-Օնի սահմանմամբ՝ հուզական ինտելեկտը ներառում է մի շարք ոչ ճանաչողական հմտություններ, ընդունակություններ և կարողու-թյուններ, որոնց շնորհիվ ընդլայնվում է անձի դիմակայության ուժը ճնշումների և միջավայրի պայմանների հանդեպ [9, 45]:

1990-ականներից սկսած նոր թափ ստացան հույզերի հոգեբանա-կան ազդեցությունների և դրանց ադապտացման գործառույթների, ինչ-պես նաև հույզերի և ճանաչողության կապի էության քննարկումները: Իրականում, հուզական ինտելեկտ հասկացության վեր հանումը նոր և ամենավերջին մոտեցումն էր հույզերի և մտածողության կապը հասկա-նալու համար [5, 17]: Այս եզրույթը ստեղծեցին Սալավեյը և Մայերը (2000թ.), ովքեր իրենց սահմանման մեջ առանձնացրեցին չորս ասպեկտ՝ 1.Հույզի ընկալում և արտահայտում 2.Մտածողության հուզական սահու-նացում կամ հեշտացում 3. Հույզերի ըմբռնում և վերլուծություն, հուզական

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

19

գիտակցության կիրառում 4.Հույզերի ռեֆլեքսային կարգավորում՝ հու-զական և տրամաբանական զարգացման նպատակով: Այսպիսով, հու-զական ինտելեկտի հետ առնչվող ունակությունները դրսևորվում են սե-փական և այլոց հույզերի ընկալման, վերահսկման ու կառավարման միջոցով:

Մայերը, Սելոուեյը և Գոուլմանն այն կարծիքին են, որ մարդը բացի ճանաչողական ինտելեկտից (որը մեծ մասամբ գենետիկորեն է փո-խանցվում) ունի կարողության հատուկ մի տեսակ, որը ոչ միայն կարևոր գործոն է անձի զարգացման և հարմարման հարցում, այլև ինտելեկտի օպտիմալ կիրառություն է ենթադրում։

Մ. Սելիգմանի հետազոտությունները ցույց տվեցին, որ մարդու հա-ջողությունը ոչ միայն իր ինտելեկտից և հնարավորություններից է կախ-ված, այլև զրկանքներին և ձախողումներին դիմակայելու կարողությունից (Գոուլման, 1995)։ Այն մարդիկ, ովքեր չեն կարողանում կազմակերպել իրենց հուզական գործողությունները, մշտապես պայքարի մեջ են գտնվում։ Այդ մարդկանց ինչ-որ բան խանգարում է աշխատանքը կատա-րելիս կամ մտածելու ժամանակ ուշադրությունը կենտրոնացնելիս, նվա-զեցնում նրանց ակտիվ էներգիան և պատճառ դառնում տարբեր խնդիր-ներ լուծելու և ճիշտ որոշումներ կայացնելու անկարողության (Հան, 1997)։

Գիտնականները քննարկել են «աֆեկտիվ կամ հուզական ինտե-լեկտ» անվանումը կրող այդ կարողությունը, որը պարունակում է 5 գործոն-ներ՝ ինքնագիտակցություն, ինքնամոտիվացիա, ինքնավերահսկում, սոցի-ալական գիտակցություն և սոցիալական հմտություններ (Գոուլման, 1995)։

Հետազոտությունները ցույց տվեցին նաև, որ հուզական ինտելեկտը կյանքի հաջողությունները, այդ թվում նաև ուսումնական առաջադիմու-թյունը կանխատեսող գործոն է։

Բացի հուզական ինտելեկտից, տարբեր խնդիրների հետ բախվելիս մարդու հակազդման տեսակը, նրա կարողությունների մակարդակը և հնարավորությունները կարող են կանխորոշվել տարբեր անձնային գծերով (հարմարվողականություն, պատասխանատվություն և այլն)։

Մարդիկ տարբեր իրավիճակներին տարբեր կերպ են հակազդում։ Այլ կերպ ասած, յուրաքանչյուր անձ, իրեն հատուկ անհատական գծերով, յուրօրինակ կերպով է գնահատում խնդիրները և հակազդում դրանց (Շարիֆի, 2001)։

20

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Անձնային գծերի մասին ուսումնասիրություններում ընդգծվում է, որ նշանակալի հարաբերակցություն գոյություն ունի, մի կողմից, անձնային գծերի և հուզական ինտելեկտի և, մյուս կողմից, ուսումնական առա-ջադիմության միջև։

Հուզական ինտելեկտի վերաբերյալ վերջին տարիներին կատար-ված հոգեբանական հետազոտություններն ընդգծում են հուզական ին-տելեկտի կարևոր նշանակությունը կյանքի տարբեր ոլորտներում անձի կայացման, հաջողության և առաջընթացի համար: Դրանով է պայմա-նավորված աճող հետաքրքրությունը հուզական ինտելեկտի ձևավորման, խթանման և գնահատման հարցերի հանդեպ: Մյուս կողմից՝ ուսումնա-կան առաջադիմությաև և կրթական արդյունավետության բարձրացման խնդիրները մտահոգում են ուսանողներին, աշակերտներին, նրանց ըն-տանիքներին, մանկավարժներին, հոգեբաններին և տարբեր երկրների կրթության համակարգերի պատասխանատուներին: Հուզական ինտե-լեկտին առնչվող գիտելիքների ուսուցումը և համապատասխան հմտու-թյունների ձևավորումը մեծապես կարող են նպաստել կյանքի տարբեր բնագավառներում անձի առաջխաղացմանը, այդ թվում ուսանողների և աշակերտների ուսումնական առաջադիմությանը:

Մեր օրերում կրթօջախները, լինեն դրանք բուհեր կամ հանրա-կրթական դպրոցներ, հուզական ինտելեկտի դրսևորման և ընդլայնման կարևոր միջավայրերից են: Հուզական ինտելեկտի ուսուցումը դպրոց-ներում և բուհերում կարելի է իրականացնել տարբեր ձևերով ու միջոց-ներով, ինչպես օրինակ՝ հատուկ դասընթացների կազմակերպմամբ, ար-տադասարանային աշխատանքներով, տարբեր գործընթացներում աշա-կերտների և ուսանողների ինտեգրմամբ, սոցիալական տարբեր աշխա-տանքներում դասախոսների և ուսուցիչների ներգրավմամբ և այլն: Ան-շուշտ, անձի սոցիալականացման և հուզազգացական զարգացման հիմ-քերը դրվում են ընտանիքում, սակայն եթե այդ գործընթացը չի հասել ցանկալի կատարելագործման, դպրոցը և բարձրագույն ուսումնական հաստատությունը կարող են որոշ չափով դերակատար լինել և բարելավել այն:

Հոգեբանության բազմաթիվ տեսաբաններ ու հետազոտողներ այն համոզման են, որ հուզական ինտելեկտի և կյանքի առօրյա պայմաններին

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

21

արդյունավետորեն հարմարվելու միջև կա փոխկապակցվածություն: Հու-զական ինտելեկտը որոշիչ և ազդեցիկ գործոն է իրական կյանքում դրա-կան արդյունքներ գրանցելու համար, ինչպես օրինակ՝ առաջադիմություն ուսման ոլորտում, աշխատանքային առաջխաղացում, միջանձնային փոխհարաբերությունների ծավալում և, ընդհանուր առմամբ, մարդու առողջության վրա:

Այս խնդիրն արդիական է նաև իրանական հասարակության հա-մար, քանի որ հուզական ինտելեկտի խթանումն ու զարգացումը թույլ կտան ոչ միայն բարելավել ուսանողների և աշակերտների ուսումնական առաջադիմությունը, այլ նաև ձևավորել այնպիսի հասարակություն, որի անդամները օժտված են հույզերը վերահսկելու և կառավարելու կարո-ղությամբ, սոցիալապես պատասխանատու են, կազմակերպված, նպա-տակային և ճիշտ վարքագծեր դրսևորող:

Կրթության նպատակներից մեկն այն է, որ սովորողներն արձանա-գրեն ուսումնական առաջադիմություն, իսկ ուսումնական առաջա-դիմության վրա բազմապիսի գործոններ են ազդում, քանի որ այն բազ-մակողմ երևույթ է: Սովորողի ուսումնական առաջադիմությունը պայմա-նավորված է ֆիզիկական, հոգեբանական, ընտանեկան, սոցիալական, ճանաչողական և հուզազգացական մի շարք ազդակներով, ուստի դրանց հետազոտումը բարդ ու նրբին գործ է:

Անցյալում ուսումնական առաջադիմության հարցը դիտարկելիս հիմնականում կարևորվում էին սովորողի մտավոր կարողությունները, ճանաչողական ունակությունները և ճանաչողական ինտելեկտը, սակայն ժամանակի ընթացքում պարզվեց, որ մտավոր ու ճանաչողական կարո-ղությունները թեև կարևոր դեր ունեն ուսումնական առաջադիմության մեջ, սակայն չեն կարող ամբողջապես երաշխավորել այն: Վերջին շրջանում հետազոտողներն ավելի լայն ուշադրություն են դարձնում ոչ ճանաչողական գործոնների վրա [12, 25] և այն կարծիքին են, որ միայն ճանաչողական ունակությունները բավարար չեն սովորողների ուսումնա-կան արդյունավետությունը բարձրացնելու կամ կանխատեսելու համար, պետք է հաշվի առնել նաև հուզական ինտելեկտի տարբեր կողմերն ու դրսևորումները:

22

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Հ. Ս. Միքայելյանի աշխատությունները և մեթոդական ոսւումնասի-րությունները [3, 4] մեկ տասնամյակից ավելի ճանաչողական և հուզական ինտելեկտի հարաբերակցության խնդիրը ներկայացնում են գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ և սուբյեկտիվ հատկանիշների, մաթեմատիկական օբյեկտների ներքին և արտաքին գեղագիտության, անձի հուզակամային ոլորտի և գեղագիտական դաստիարակության տեսանկյուններից։ Նրա աշխատանքներն առաջին հերթին հասցեագրված են մաթեմատիկայի ներկա և ապագա ուսուցիչներին, սակայն օգտակար կլինեն ուսումնական այլ առարկաների ուսուցիչներին, ինչպես նաև բոլոր նրանց, ում հետաքրքրում են կրթության, անձի ձևավորման հիմնահարցերը։

Խոսելով նյութի ներկայացման մասին՝ Հ. Միքայելյանն անկեղծ խոստովանում է, որ այն հաճախ ուղղված է ոչ թե ընթերցողի մտքին, այլ հուզական-զգացմունքային ոլորտին։

Ա. Մասլոուն «Դրդապատճառ և անձնավորություն» գրքում ուշադրու-թյունը կենտրոնացնում է անձի հնարավորություններին, ուժեղ կողմերին, ձգտումներին և առաքինություններին, անձի զարգացմանը, դրական ո-րակների ձեռքբերմանը. «Մենք հայտնաբերել ենք, որ գոյություն ունեն մարդկային բնավորության մի շարք ուժեղ գծեր, որոնք հանդես են գալիս որպես արգելակներ հոգեկան հիվանդությունների համար. Տոկունություն, լավատեսություն, հույս, ազնվություն, աշխատանքային էթիկա, հաստա-տակամություն, միջանձնային հմտություններ և այլն»։

Մ. Սելիգմանի կարծիքով, այս դարաշրջանի համար շատ կարևոր քայլ կլինի ստեղծել մարդկային ուժեղ կողմերի գիտություն, որի նպա-տակը կլինի սովորել և հասկանալ, թե ինչպես կարելի է խթանել այս հատ-կությունները երիտասարդ սերնդի մոտ»։

Հ. Միքայելյանի հայեցակարգը նույնպես մարդկային ուժեղ կողմերի գիտություն է, որի նպատակը մաթեմատիկայի ներուժի օգտագործումն է հանուն այս հատկությունների զարգացման՝ մեր երիտասարդ սերնդի մոտ։

Մեր հետազոտության շրջանակում «ուսումնական առաջադիմու-թյուն» ասելով նկատի ունենք այն, որ սովորողը ուսումնառության արդ-յունքում ձեռք բերի ակնկալվող մակարդակը, Կրթության նախարարու-թյունը հնարավորին չափով իրականացնի իր կողմից նախանշված նպա-

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

23

տակները, մեծանա սովորողի յուրացման չափը, բարելավվեն ուսում-նական գնահատականները, և սովորողները հաջողությամբ փոխադր-վեն բարձր դասարան կամ աստիճան:

Ինչ վերաբերում է «ինտելեկտ» հասակացությանը, ապա այն իր ավանդական սահմանմամբ երկար ժամանակ համարվում էր անձի հա-ջողությունների և ուսումնական առաջադիմության ամենագլխավոր գոր-ծոնը: Մարդկանց ինտելեկտի չափման ու գնահատման համար շուրջ 100 տարի կիրառվում էր (և դեռ կիրառվում է) ինտելեկտի գործակցի սանդ-ղակը (IQ), որը համարվում էր անձի սովորելու կարողության միակ ցուցիչը: Հոգեբանները սակայն այլ կարծիքի են, նրանց համոզմամբ՝ ուսումնական առարկաներից ստացած գնահատականները, ինտելեկտի գործակիցը(IQ) և ուսումնական ունակության թեստի արդյունքները (SAT) չնայած իրենց զանգվածային կիրառմանն ու հավաստիությանը, չեն կարող միանշանակորեն կանխատեսել անձի հաջողությունը կյանքում: Ինտելեկտի գործակիցը լավագույն դեպքում 20 տոկոսով է դերակատար անձի հաջողությունների և ձեռքբերումների մեջ, մինչդեռ 80 տոկոսը կապված է այլ գործոններին ու պայմաններին:

Այսօր արդեն նոր տեսություններ ու մոտեցումներ են առաջադրվել ինտելեկտի էության և նրա տարբեր բաղադրիչների վերաբերյալ, ըստ որոնց՝ անձի գործողությունների արդյունավետության մեջ մեծ նշանա-կութուն ունի հուզական ինտելեկտը: Գարդների կարծիքվ՝ կյանքի տար-բեր բնագավառներում հաջողություններ ունենալու համար ներգործում են ինտելեկտի տարբեր հարթություններն ու կողմերը, տարբեր դրսևո-րումները, ոչ թե միայն ճանաչողական ինտելեկտը [9, 67]: Եթե բուհի շրջանավարտը փայլուն գնահատականներով ստանում է իր դիպլոմը, դա ընդամենը վկայում է բալերով գնահատվող խնդիրներում ունեցած հա-ջողության մասին, սակայն ամենևին չի խոսում կյանքի վայրիվերում-ներին և մարտահրավերներին դիմագրավելու կարողության մասին:

Ուսումնական առաջադիմության վրա ազդում են բազմապիսի գոր-ծոններ՝ ինտելեկտ, ընտանեկան միջավայր, ծնողների կրթության մա-կարդակ, հասակակիցների հետ ունեցած կապեր, մոտիվացիա, «ես»-ի կոնցեպցիան և հոգեբանական հարմարում ու հանդուրժողականություն, հետևաբար մասանգետներն ընդգծում են գործոնների համալիր դի-տարկման անհրաժեշտությունը: Սոցիալ-տնտեսական գործոնները,

24

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

հասակակիցների հետ փոխհարաբերությունները և կրթօջախների առանձնահատկություններն ամեն մեկն իր հերթին և յուրովի են հարաբերակցվում ուսումնական առաջադիմությանը:

Իրանցի հետազոտողներ Սամարին և Թահմասբին ուսումնասիրել են հուզական ինտելեկտի և ուսումնական առաջադիմության միջև կապը և արձանագրել, որ ընդհանուր ինտելեկտը միայն 50 տոկոսով է ազդում ուսումնական առաջադիմության վրա: Այլ հետազոտությունները վեր են հանել հուզական ինտելեկտի ներգործությունը կյանքի տարբեր ոլորտ-ների՝ աշխատանքի, կրթության, սոցիալական միջավայրի և հոգեբա-նական առողջության վրա:

Շատ անգամ ընդհանուր ինտելեկտի միջին մակարդակ և հուզական ինտելեկտի բարձր մակարդակ ունեցող անձինք շատ ավելի հաջողությամբ են հանդես գալիս կյանքում, քան ընդհանուր ինտելեկտի բարձր մակարդակ և հուզական ինտելեկտի ցածր մակարդակ ունեցողները: Հուզական ինտելեկտից է կախված կյանքի տարբեր սթրեսներին ու ճնշումներին դիմակայելու և դրանք հաղթահարելու չափն ու եղանակը:

Հուզական ինտելեկտի համար սահմանվել են հինգ կողմեր կամ հարթություններ և 15 գործոններ կամ ենթասանդղակներ: Անձը այդ հինգ գլխավոր հարթության վրա ինչքան ավելի շատ օժտված լինի համապա-տասխան հմտություններով, այդքան բարձր է նրա մոտ հուզական ինտելեկտը: Այդ հինգ կողմերն են՝ 1.Ներանձնային հմտություններ 2.Միջանձնային հմտություններ 3.Հարմարում 4.Սթրեսի կառավարում 5. Ընդհանուր տրամադրություն և բնավորություն:

Սոցիալական ինտելեկտը, որը պատասխանատու է միջանձնային կապերի և հմտությունների համար, ինտելեկտի 10 տեսակներից միայն մեկն է։ Ավանդաբար առանձնացնեւմ են ինտելեկտի 3 տիպեր՝ վերբալ, թվային և տարածական, որոնք էլ որպես հիմք են ընդունվում ինտելեկտի մակարդակը որոշող ստանդարտ թեստավորումների մեջ։ Հայտնի են նաև ինտելեկտի այլ տեսակներ՝ անձնային, հուզազգացական, կրատիվ, հոգեսեռական, հոգևոր և այլք։ Ի դեպ, դրանցից յուրաքանչյուրը ոչ միայն հրաշալի «համագործակցում» է մյուս բոլոր տեսակների հետ, այլև ուժե-ղացնում և ամրապնդում է մյուս բոլոր տեսակներին։ Այսինքն՝ գործում է այսպես կոչված ինտելեկտի սիներգետիկ էֆեկտը։

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

25

Բյուզենը գտնում է, որ ինտելեկտի մի տեսակը, զարգացնելով անձը, միաժամանակ զարգացնում է ինտելեկտի մյուս բոլոր տեսակները [7, 193]։

Տեղեկացված լինելով ինտելեկտի սիներգետիկ էֆեկտի մասին՝ կարելի է վաղ մանկական տարիքից սկսած, ինչպես նախադպրոցական, դպրոցին հոգեբանական պատրաստության, այնպես էլ կրտսեր դպրոցական, դեռահասության և ավագ դպրոցական տարիքներին կրթական ծրագրերում հուզական և սոցիալական ինտելեկտը զարգաց-նող առաջադրանքներ ներառել՝ ճիշտ հաշվի առնելով երեխաների տարիքային զարգացման ընկալունակ (սենիտիվ) փուլերն ու տարիքային շարժընթացը։

Սոցիալական և հուզական ինտելեկտի զարգացման և ցանկալի անձնային որակներ ձևավորելու նպատակով կարելի է թրեյնինգներ կազմակերպել կրտսեր դպրոցական տարիքի և դեռահասային խմբերում, ինչպես նաև հաղորդակցվելու կարողությունները զարգացնելու նպատա-կով թրեյնինգներ անցկացնել ուսուցիչների, սոցիալական մանկա-վարժների և ծնողների համար։

Հետազոտողների մեծ մասն այն համոզման է, որ սերտ կապ գո-յություն ունի հուզական ինտելեկտի և կյանքի ամենօրյա խնդիրներին արդյունավետ վերաբերվելու միջև: Լավիենսը և Լավիենսը (2005թ.) ու-ղիղ հարաբերակցություն արձանագրեցին ընդհանուր առողջության և հուզական ինտելեկտի մակարդակի միջև, իսկ վտանգավոր վարքագծերի հետ հուզական ինտելեկտը գրանցեց հակադարձ հարաբերակցություն:

Սովորողների հուզական հմտությունները կարող են ազդել նրանց առողջ սոցիալական կյանքի վրա: Իսպանացի 15-ամյա պատանիների շրջանում (2006) Մաստերի և նրա գործընկերների իրականացրած հե-տազոտությունը հանգեց այն եզրակացության, որ հույզերի ընկալման և ըմբռնման առումով թեստային բարձր բալեր հավաքած պատանիներն ավելի մեծ հավանություն և ընդունելություն են գտնում իրենց ընկերների կողմից [6, 36]: Նրանք ուսումնասիրեցին նաև ավագ դպրոցի աշակերտ-ների հուզական ինտելեկտի մակարդակի և նրանց կողմից ալկոհոլի ու թմրանյութերի օգտագործման փոխադարձ կապերը և եկան այն եզրակացության, որ հուզական բարձր ինտելեկտ ունեցող պատանիներն

26

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ավելի լավ և հստակ են կարողանում հասկանալ ուրիշների պահանջների և առաջարկների իմաստը, ըմբռնել հասակակից խմբի կողմից եկող ճնշումները: Այս իմացությունը նաև նրանց օգնում է, որպեսզի դիմադրեն հասակակից խմբի կողմից բանեցվող ճնշումներին:

Փարքերը և գործընկերները (2004) հետազոտել են ուսումնական առաջադիմության և հուզական ինտելեկտի փոխկապվածությունը: Գրանցված արդյունքները վկայում են այն մասին, որ բարձր կոռելացիա է գրանցվել այդ երկու փոփոխականների միջև: Բացի դրանից, նրանք ուսումնասիրեցին նաև կրթությունը կիսատ թողած աշակերտներին և նկատեցին, որ կրթության շարունակելը սերտորեն կապակցված է հու-զական ունակությունների և սոցիալական հմտությունների առկայության հետ [2, 76]:

Հուզական ինտելեկտը զգայական-ճանաչողական կարողություն է, որը ձեռք է բերվում կյանքի ընթացքում: Այն կարելի է զարգացնել վար-ժանքների և ուսուցման միջոցով: Հուզական ինտելեկտի զարգացման հնարավորությունը փոքր տարիքում ավելի բարձր է, ուստի շատ կարևոր է ծնողների և ուսուցիչների ուշադրությունը կենտրոնացնել հենց վաղ տարիքում հուզական ինտելեկտի հետ կապված հմտությունների ուսուց-ման վրա: Ինչքան շուտ սկսվի հուզական ինտելեկտի ուսուցումը, այնքան ավելի լավ արդյունքներ կստացվեն և կձևավորվեն որպես երեխայի անձնային գիծ: Երեխաները պետք է սկսեն յուրացնել այս հմտություններն ընտանիքում և դպրոց ընդունվելու առաջին տարիներին: Կրթության գործընթացը գնալով ավելի է բարդանում, և երեխաները պետք է պատրաստ լինեն նոր պայմաններին հարմարվելուն, սակայն շատ հաճախ կարիք է լինում հուզական ինտելեկտի ուսուցման բացը և թե-րացումը լրացնել ավելի բարձր տարիքում՝ ավագ դպրոցում և բուհերում:

Ներկայումս Իրանի կրթական նոր համակարգում մեկ ժամ տրամա-դրվում է «Կյանքի հմտություններ» առարկայի ուսուցմանը, ինչը կարող է արդյունավետ լինել հուզական ինտելեկտի միայն որոշ բաղադրիչների զարգացման առումով: Իրանի ուսանողների շրջանում կատարված մեր հետազոտության արդյունքների և ստացված տվյալների հիման վրա մենք պատրաստել ենք նախագիծ և պետական մարմիններին առաջարկել, որ հուզական ինտելեկտի ուսուցումը և համապատասխան հմտությունների զարգացման հիմնահարցը ներառվի Իրանի կրթության համակարգի

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

27

բոլոր մակարդակների ուսումնական ծրագրերում, համալսարանական բոլոր մասնագիտություններում, ինչպես նաև նախաամուսնական խորհր-դատվության համակարգում և աշխատողների վերապատրաստման դասընթացներում:

Հուզական ինտելեկտի բարձր մակարդակը դրական ազդեցություն է ունենում սովորողների սոցիալական և ուսումնական առաջադիմության վրա, այդ իսկ պատճառով հուզական ինտելեկտի ուսուցման ծրագրերի ներդրումը բուհերում և դպրոցներում կարող է դրական արդյունքների հանգեցնել:

Եզրակացություն Հաշվի առնելով բուհերի և դպրոցների դերն ու նշանակությունը

ուսանողների և աշակերտների սոցիալական և հուզազգացական հմտու-թյունների զարգացման գործընթացում, ինչպես նաև այդ հմտությունների յուրացման կարևորությունը՝ սեփական անձի և միջավայրի հետ արդյունավետ հարմարվելու և ուսումնական առաջադիմությունը բարձ-րացնելու ուղղությամբ, անհրաժեշտ է դպրոցներում և բուհերում առավել մեծ ուշադրություն դարձնել հուզազգացական գրագիտությանը և հուզական ինտելեկտի ուսուցմանը:

Գրականություն

1. Դեհշիրի Ղ. Հուզական ինտլեկտի և ուսումնական առաջադիմության

փոխկապակցվածության ուսումնասիրություն, «Ջահադ դանեշգահի» կայքէջ (http//www.sid.ir), 2006թ.:

2. Հոսեյնալիան Մ., Հուզական ինտելեկտի և ուսումնական առաջադի-մության փոխկապակցվածության հետազոտում, «Ջահադ դանեշ-գահի» կայքէջ (http//www.sid.ir), 2005թ.:

3. Միքայելյան Հ. Ս. Բարոյական առժեքները և մաթեմատիկայի կրթա-կան ներուժը.-Եր.։ Էդիթ Պրինտ.-2011.-184 էջ։

4. Միքայելյան Հ. Ս. Մաթեմատիկական կրթության գեղագիտական հիմունքները։ Ուսումնական ձեռնարկ/ Հ. Ս. Միքայելյան, Եր. Ճարտարագետ.-2016.-276 էջ։

28

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

5. Շարիֆի Ա. Հուզական ինտելեկտի գործառույթը, «Սեփահան» հրա-տարկչություն, Իսֆահան, 2006թ.:

6. Սոբհանի Ռ. Հուզական ինտելեկտի ու մռայլության և ուսումնական առաջադիմության կապի ուսումնասիրություն, Իրանի իսլամական ազատ համալսարանի գիտահետազոտական բաժին, Մագիստրո-սական թեզ, Թեհրան, 2004թ.:

7. Бьюзен Т. Могущество социального интеллекта./Пер. с англ. Е. Г. Гендель. «Попури», 2004, 208с.

8. Социальный интеллект. Теория, измерения, исследования: Под ред. Д. В. Люсина, Д. В. Ушакова, М.։ И.П.Ран, 2004.

9. Bar-on, R & Parker, D.A. (2000). The handbook of emotional intelligence. San Francisco. Jossy-Bass Books. First edition.

10. Gardner H. Frames of mind (10th Anniversary Edition). Basic books. New York, 1993.

11. Goleman D. Emotional intelligence: Why it can matter than JA? Bantam books, New York, 1995.

12. Goleman D. (1999). Beyond Expertise: Working with Emotional Intelligence, Bloomsbury Publishing, London, pp 1-45.

13. Martin E. P. Seligman Handbook of Positive Psychology, New York, 2000.

Влияние обучения эмоционального интеллекта на учебную успеваемость студентов и учеников

А. Негарешнеджад, Э. Закарян Резюме

Принимая во внимание огромную роль и значение вузов и школ для

студентов и школьников в процессе развития социальных и эмоциональных навыков, а также значение освоения этих навыков для успешной адаптации со средой и для повышения учебной успеваемости, нужно в школах и в вузах обратить должное внимание на обучение эмоционального интеллекта и на эмоциональную грамотность,

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

29

The influance of teaching emotional intellect on educational progress of pupils and students

Abdolmajid Negareshnegad, E. Zakaryan Summary

Taking into consideration the role and importance of secondary schools and universities in development of students’ and pupils’ social and emotional skills, as well as the importance of adopting these skills in order to efficiently adapt to self and social environment and to have progress in education, we should pay more attention at teaching emotional literacy and emotional intellect in secondary schools and universities.

Աբդոլմաջիդ Նեգարեշնեժադ - Իրանի Իսլամական Հանրապետության Հաքիմ Ֆերդուսի համալսարանի դասախոս, ԵՊՀ Անձի հոգեբանության ամբիոնի ասպիրանտ Էլ. hասցե` majidnegaresh@yahoo.com

Է․ Զաքարյան - ԵՊՀ Անձի հոգեբանության ամբիոնի դոցենտ

30

ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ՄԱՏՉԵԼԻՈՒԹՅԱՆ, ԸՆԴՀԱՆՈՒՐ ԿՐԹՈՒԹՅԱՆ ՈՐԱԿԻ ԵՎ ԱՐԴՅՈՒՆԱ-

ՎԵՏՈՒԹՅԱՆ ԲԱՐՁՐԱՑՄԱՆ ՑՈՒՑԱՆԻՇՆԵՐՆ ԸՍՏ Վ. Վ. ՖԻՐՍՈՎԻ

Ե. Ա. Լոդատկո

Սույն աշխատանքը մեր նախորդ [1] հոդվածի շարունակությունն է:

Նրանում ներկայացվող հավելվածներում հստակորեն քննվում է Վ. Վ. Ֆիր-սովի՝ կրթության կառավարման մեթոդաբանության բնագավառում ստացած արդյունքների մեթոդոլոգիական ամբողջականությունը, դիդակտիկական ընդհանրությունը, կազմակերպչամանկավարժական հասցեականությունը և բաղկացուցիչների իրական տեղեկացվածությունը, ինչը թույլ է տալիս խոսել այդ ուղղվածությունների` գործնականում իրականացնելիության մասին, ի հաշիվ դրանց ցուցանիշների չափման և իրականացման մեխանիզմների կատարման գործընթացների մշակման:

Հավելված 1. Կրթության մատչելիության բարձրացում

Ռազմավարական արդյունք: Նախադպրոցական կրթությունում երեխանե-րի կրթական հավասար հնարավորությունների ապահովում, տարրական դպրոցում երեխաների հավասար կրթական հնարավորությունների ա-պահովում, հիմնական դպրոցում սովորողների հավասար կրթական հնարա-վորությունների ապահովում, միջնակարգ կրթությունում սովորողների հա-վասար կրթական հնարավորությունների ապահովում, անպատրաստվածու-թյուն մասնագիտության ընտրության նկատմամբ: Արդիական պրոբլեմներ. անհավասարություններ երեխաներին դպրոցին նախապատրաստելիս, սկզբնական դպրոց ընդունվողների սելեկցիա և ընտ-րություն, տարրական դպրոց ավարտողների կրթությունը շարունակելու անպատրաստություն, հանրկրթական դպրոցի հենքային բազայի անբավա-րար զարգացվածություն, ավագ դպրոց ընդունվելիս աշակերտների սելեկ-ցիա և տեղաբախշում, տարրական դպրոց ավարտողների կրթությունը շա-

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

31

րունակելու անպատրաստություն, հանրակրթական դպրոցի հենքային բա-զայի անբավարար զարգացվածություն, ավագ դպրոց ընդունվելիս աշա-կերտների սելեկցիա և տեղաբախշում, ընդհանուր կրթության չափից դուրս բուհակենտրոնացում, անպատրաստվածություն մասնագիտության ընտրու-թյան նկատմամբ: Բարեփոխման խնդիրեր. ընտանեկան դաստիարակության զարգացում, սկզբնական դպրոց ընդունվողների ստարտային հավասար պայմանների ապահովում, առաջին դասարան ընդունվելիս սելեկցիայի բացառում, հաղոր-դակցական, ինտելեկտուալ և սոցիալական առանցքային կարողությունների զարգացում, կրթության համեմատական բնույթի ապահովում, ավագ դպրոց ազատ մուտքի ապահովում, միջնակարգ կրթության տարատեսակության ապահովում, ընդհանուր կրթության հանրակրթական ուղղվածության ուժե-ղացում, սկզբնական մասնագիտական կրթության ապահովում, բարձրա-գույն մասնագիտական կրթության ապահովում: Իրականացման մեխանիզմներ. ընտանեկան դաստիարակության գովազ-դում, ծնողներին օգնելու նպատակով ծրագրերի և ուսումնական նյութերի մշակում, նախադպրոցականների ծնողներին խորհրդական բնույթի օգնու-թյան կազմակերպում, ուսուցմանը անպատրաստ երեխաների համար նա-խապատրաստական դասարանի ստեղծում, նախապատրաստական դա-սարանների ծրագրերի և ուսումնական նյութերի ստեղծում, երեխաներին տարրական դպրոց ընդգրկելու կարգի մասին սպառիչ ընթացակարգի մշա-կում, որը նախատեսում է համապատասխան կրթական ծառայության մեծ պահանջարկի դեպք, տարրական դպրոց երեխաներին ընդունելու նկատ-մամբ հասարակական և վարչական վերահսկողության ուժեղացում, սկզբնա-կան կրթության պետական կրթական չափորոշչի պատրաստվածության պարտադիր մակարդակին ուղղված պահանջների գործառնութային տրում, դպրոցականների ստարտային պատրաստվածության հարաբերական հա-վասարության պայմաններում ուսումնական նյութի ինտենսիվ ուսումնասի-րություն ապահովող ուսուցման օրինակելի ծրագրերի մշակում, հիմնական կրթության պետական կրթական չափորոշչի պատրաստվածության պար-տադիր մակարդակին ուղղված պահանջների գործառնութային տրում, գործառութային գրագիտության մակարդակում առանցքային` հաղորդակ-ցական, ինտելեկտուալ և սոցիալական կարողությունների պարտադիր արդ-յունքների տիրապետմանն ուղղված պլանավորման ներդրում, համընդհա-նուր միջնակարգ /տասնամյա/ կրթության օրենսդրական ապահովում, հեն-քային ուսումնական պլանի տարատեսակային բաղադրիչի բաժնեմասի

32

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

մեծացում, կրթության բովանդակության հենքային և գործառնութային բա-ղադրիչների հիման վրա պետական կրթական չափորոշիչների մշակում, միջնակարգ կրթության պետական կրթական չափորոշչի պատրաստվա-ծության պարտադիր մակարդակին ուղղված պահանջների գործառնութային տրում, աշակերտների մասնագիտական կողմնորոշվածության համակարգի ստեղծում, միջն. դպրոցի շրջանավարտների նախաբուհական պատրաստ-վածության ապահովում: Չափելի ցուցիչներ. նախադպրոցականների ծնողներին խորհրդական բնույթի օգնություն ցուցաբերող դպրոցների ընդգրկում, սկզբնական դպրոց ընդունվողների պատրաստվածություն, տարրական դպրոց ավարտողների հասանելիությունը պատրաստվածության պարտադիր մակարդակին, հիմ-նական դըպրոցի շրջանավարտների կողմից պատրաստվածության պար-տադիր մակարդակի տիրապետում, ուսուցման պարտադիր արդյունքների յուրացման ընթացիկ մակարդակ, միջնակարգ դպրոցի շրջանավարտների կողմից պատրաստվածության պարտադիր մակարդակի տիրապետում:

Հավելված 2 . Ընդհանուր կրթության որակի բարձրացում Ռազմավարական արդյունք. կրթության հիմնարար և համամշակութային ուղղվածությունների ապահովում, ընդհանուր կրթության դաստիարակ-չական ուղղվածության ապահովում, սովորողների ծանրաբեռնվածության նվազեցում, կրթության բովանդակության արդիականացում, աշակերտների հետաքրքրությունների, նախասիրությունների և ընդունակությունների զարգացում: Արդիական պրոբլեմներ. կրթության գիտական և համամշակութային մակար-դակի անկում, հիմնական ընդհանուր կրթության ոչ լրիվություն, դաս-տիարակչական աշխատանքի ծավալի կտրուկ նվազում, հանրակրթական նշանակություն չունեցող նյութերի հեռացմամբ կրթության բովանդակության բեռնաթափում, ուսուցման ցածր նպատակաուղղվածություն, դպրոցից աշա-կերտների հեռացում, հաղորդակցական, մտավոր և սոցիալական առանցքա-յին կարողությունների անբավարար զարգացվածություն, ժամանակակից տեղեկատվական տեխնոլոգիաների յուրացման ցածր մակարդակ, կյանքի հետ կրթության բովանդակության թույլ կապ, կրթության անբավարար զար-գացնող ներուժ, դպրոցականների հետաքրքրությունների, հակումների և ընդունակությունների զարգացման համակարգի ձևախեղում:

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

33

Բարեփոխման խնդիրեր. Կրթության գիտական և համամշակութային մա-կարդակի էական բարձրացում, ուսումնական առարկաների համակարգային կառուցում, ընդհանուր կրթության հումանացում, ուսումնական առարկաների բարոյագիտական պոտենցիալի ուժեղացում, աշակերտների ընդգրկում սոցիալական գործունեությունում, ընդհանուր կրթության բովանդակության տարբերակում ըստ յուրացման աստիճանների, ուսումնական պահանջների տարբերակում ըստ յուրացման պարտադիր մակարդակի, հաղորդակցա-կան, մտավոր և սոցիալական առանցքային կարողությունների զարգացման հիման վրա, աշակերտների տեղեկատվական գրագիտության ապահովում, կրթության բովանդակության կիրառական ուղղվածության ուժեղացում, ընդ-հանուր կրթության զարգացնող գործառույթի ուժեղացում, դպրոցականների հետաքրքրությունների, հակումների և ընդունակությունների զարգացման համակարգի վերականգնում: Իրականացման մեխանիզմներ. Կրթության բովանդակության հենքային միջուկի առանձնացում, Կրթության բովանդակության հենքային միջուկի հիման վրա հենքային պլանի ինվարիանտ մասի ստեղծում, կրթության բո-վանդակության հենքային միջուկի հիման վրա պետական կրթական չա-փորոշիչների կրթության բովանդակության ընտրություն, պետական կրթա-կան չափորոշիչներում հանրակրթական պատրաստվածության բարձր մակարդակին ուղղված պահանջների մշակում, ուսումնական դասընթաց-ների համակենտրոնացման վերացում, բազիսային ուսումնական պլանի հումանիտար բաղկացուցիչի մեծացում, կրթական չափորոշիչներում բարո-յական դաստիարակության հարցերի արտացոլում, աշակերտների մասնակ-ցությամբ սոցիալական նախագծերի մշակում, ընդհանուր աշխատանքային և սոցիալական կարողությունների զարգացմանն ուղված աշխատանքային ուսուցման ծրագրերի մշակում և ներդրում, աշակերտների հասարակական միավորումների զարգացում, պետական կրթական չափորոշիչներում պար-տադիր ուսուցման նյութերի առանձնացում, ուսուցման արդյունքների պլա-նավորում ըստ հանրակրթական պատրաստվածության պարտադիր մակար-դակի, հաղորդակցական, մտավոր և սոցիալական առանցքային կարողու-թյունների զարգացման «վերառարկայական» ծրագրերի մշակում, աշակերտ-ների տեղեկատվական գրագիտության զարգացման վերառարկայական ծրագրերի մշակում, ուսումնական առարկաների ուսումնասիրման ընթաց-քում համակարգչային սպասարկման ապահովում, ուսումնական դասըն-թացներում կիրառական մեկնաբանությունների և խնդիրների բաժնեմասի մեծացում, հարակից առարկաների բովանդակության կոորդինացման

34

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

շնորհիվ միջառարկայական կապերի էական ուժեղացում, կրթության բովանդակությունում զարգացնող վարժությունների էական ավելացում, ուսումնական գործընթաց զարգացնող մեթոդների և ձևերի ներդրում, դպրոցականների հետաքրքրությունների, հակումների և ընդունակություն-ների զարգացման համակարգի ապահովման համար հենքային ուսպլանի այլընտրանքային բաղադրիչի մասնաբաժնի նկատելի առանձնացում, դպրո-ցականների հետաքրքրությունների, հակումների և ընդունակությունների զարգացման ուսումնական և մեթոդական նյութերի մշակում և ներդրում: Չափելի ցուցանիշներ. ընդհանուր կրթության համակարգի աստիճանների շրջանավարտների պատրաստվածության իրական մակարդակի ապահո-վում, աշակերտների ուսումնական ծանրաբեռնվածություն, աշակերտների առողջության մակարդակ, ուսումնառության հոգեբանական հարմարվետու-թյան մակարդակ, դրական ուսումնական նպատակակաուղղվածության մակարդակ, տեղեկատվական գրագիտության տիրապետում, կիրառական խնդիրներ լուծելու կարողությունների զարգացում: Հավելված 3. Ընդհանուր կրթության արդյունավետության բարձրացում

Ռազմավարական արդյունք. ժամանակակից մանկավարժական տեխնո-լոգիաների զարգացում, ընթացիկ և ամփոփիչ վերահսկողության և գնա-հատման մեթոդների կատարելագործում: Արդիական պրոբլեմներ. ուսուցման փոխներգործուն մեթոդների առաջնա-կարգ կիրառում, կրթություն ստանալու այլընտրանքային ձևերի թույլ կիրառում, աշակերտների ուսումնական նվաճումների ամփոփիչ գնա-հատականների անհամեմատելիություն, ստուգման և գնահատման պատժիչ և խրախուսող բնույթը: Բարեփոխման խնդիրեր. ուսուցման արդյունավետ մեթոդների կիրառու-թյուն, ընդհանուր կրթություն ստանալու նոր ձևերի զարգացում, պետական չափորոշչի պահանջների կատարման միասնական գնահատման համա-կարգի մշակում, ստուգման և գնահատման անվնաս համակարգերի ներդրում: Իրականացման մեխանիզմներ. աշակերտների ինքնուրույն որոնողական գործունեության կազմակերպում, ուսումնական և ստուգողական աշխա-տանքներ կատարելիս տեղեկատվական աղբյուրներից օգտվելու համա-կարգված ուսուցում, անհատական և խմբային ուսումնական նախագծերի

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

35

իրականացում, հեռավար (այդ թվում նաև Ինտերնետով) ուսուցման կազ-մակերպում, միջդպրոցական ուսումնական փոխգործունեության և կրթական ցանցերի զարգացում, աշակերտների տնային ուսուցման ապահովում, հանրակրթական պատրաստվածության պարտադիր մակարդակի ամփոփիչ ստուգման ուսումնական առաջադրանքների բաց ցանկի մշակում, հան-րակրթական պատրաստվածության պարտադիր մակարդակի ստուգման ստուգարքային ձևի մշակում և ներդրում, ընթացիկ և ամփոփիչ վերա-հսկողության տրոհումն ըստ յուրացման պարտադիր և ցանկալի արդյունքնե-րի, աշակերտների «թղթապանակների» համակարգի մշակում և ներդրում:

Լոդատկո Եվգենի Ալեքսանդրի - մանկավարժական գիտությունների դոկտոր, պրոֆեսոր, բարձրագույն դպրոցի և կրթական մենեջմենթի ամբիոնի պրոֆեսոր, Չերկասի Բոգդան Խմելնիցկու անվան ազգային համալսարան, Ուկրաինա:

Թարգմանիչ` մանկավարժական գիտությունների դոկտոր,պրոֆեսոր

Է. Ի. Այվազյան

36

ՍՏՈԽԱՍՏԻԿԱԿԱՆ ՆՅՈՒԹԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳԵՂԱԳԻՏԱԿԱՆ ԳՐԱՎՉՈՒԹՅԱՆ ՄԱՍԻՆ

Անժելա Մինասյան

Բանալի բառեր - ստոխաստիկայի տարրեր, փորձարարու-թյուն, գեղագիտական գրավչություն, գիտական գեղեցիկ, գիտական գեղեցիկի հատկանիշներ

Սույն աշխատանքում ներկայացվում է մեր կողմից իրականացված մանկավարժական փորձարարությունը, որի նպատակն էր պարզել, թե ստոխաստիկական նյութի գեղագիտական գրավչության բացահայտումը որքանո՞վ է նպաստում ծրագրային նյութի ուսուցման արդյունավե-տության բարձրացմանը և սովորողների ճանաչողական հետաքրքրում-թյունների զարգացմանը:

Կատարվել է փորձարարության գործընթացում ստացված տվյալների համակարգում, ընդհանրացում, ստացված արդյունքների վերլուծություն, ամփոփում և արժևորում, ինչպես նաև այդ արդյունքների մշակում մաթեմատիկական վիճակագրության մեթոդներով:

Փորձարարությանը մասնակցել են Խ. Աբովյանի անվան ՀՊՄՀ-ի մաթեմատիկայի, ֆիզիկայի և ինֆորմատիկայի ֆակուլտետի «մաթեմա-տիկա» բաժնի 4-րդ կուրսի թվով 35 ուսանողներ: Նրանք բաժանվել են երկու` ստուգիչ և փորձարարական խմբերի:

Փորձարարական աշխատանքի սկզբնական փուլում փորձարարական և ստուգիչ խմբերում ստուգողական աշխատանքի կատարման արդյունք-ների հիման վրա համեմատվել են սովորողների ստոխաստիկայի ոլոր-տում ունեցած գիտելիքները, կարողությունները և հմտությունները: Կիրառելով արդյունքների մշակման վիճակագրական մեթոդներ` եկել ենք այն եզրահանգմանը, որ ստոխաստիկայի ոլորտում սովորողների

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

37

գիտելիքների, կարողությունների և հմտությունների որակական մակար-դակը ընտրված խմբերում միանման է:

Փորձարարական աշխատանքի հաջորդ փուլում մեր կողմից նա-խապես ընտրվել են մի քանի որոշակի թեմաներ, որոնց ուսուցումը փորձարարական խմբում իրականացվել է ըստ նյութը գեղագիտական կողմից ներկայացնելու մոտեցման, իսկ ստուգիչ խմբում` ըստ ներկայումս ուսուցման պրակտիկայում գործող մեթոդիկայի (անվանենք այն «ավանդական»):

Ստոխաստիկայի ոլորտում սովորողների գիտելիքների, կարողություն-ների և հմտությունների քանակական և որակական մակարդակների փոփոխության որոշման համար փորձարարական աշխատանքի ավար-տին երկու խմբերի մասնակիցները գրեցին ստուգողական աշխատանք՝ բաղկացած 5 առաջադրանքից (Հարցաթերթիկ №1):

Ստուգողական աշխատանքի կատարման արդյունքում սովորողները կարող էին հավաքել 0-ից մինչև 20 միավոր: Երբ միավորների գումարը կազմում էր 0-7 նշանակվել է «անբավարար» գնահատական, 8-12 գումարի դեպքում` «բավարար» գնահատական, 13-17 դեպքում` «լավ» գնահատական, 18-20 դեպքում` «գերազանց» գնահատական:

Ստուգողական աշխատանքի կատարման արդյունքները բերված են աղյուսակ 1-ում:

Աղյուսակ 1

Խումբ

Գնահատական Ընդամենը՝

«անբա-վարար»

«բավա-րար»

«լավ» «գերազանց»

Փորձարա-րական

=2 =3 =9 =4 18

Ստուգիչ =6 =7 =3 =1 17

Ներկայացված տվյալների «տեսողական» վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ «լավ» և «գերազանց» գնահատականների քանակը փորձարա-րական խմբում գերազանցում է ստուգիչ խմբի համապատասխան գնահատականների քանակին: Թվում է, թե կարելի է եզրակացնել, որ

38

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ստոխաստիկայի ոլորտում սովորողների գիտելիքների, կարողություն-ների և հմտությունների որակական մակարդակը բարձր է հատկապես փորձարարական խմբում: Սակայն նման եզրակացություններն առավել հավաստի են, եթե դրանք կատարվում են մաթեմատիկական վիճակա-գրության միջոցների կիրառմամբ:

Ստացված տվյալներն իրենցից ներկայացնում են չափումներ ըստ կարգային սանդղակի: Այս պայմաններում հնարավոր է կիրառել Պիրսո-նի հայտանիշը [2, 4]: Այդ դեպքում զրոյական վարկածը կունենա հետևյալ տեսքը՝ ստոխաստիկայի ոլորտում սովորողների գիտելիքների, կարողությունների և հմտությունների որակական մակարդակը երկու խմբերում գրեթե միանման է, այլընտրանքային վարկածը՝ սո-վորողների գիտելիքների, կարողությունների և հմտությունների որակա-կան մակարդակը երկու խմբերում տարբեր է:

Հայտանիշի էմպ էմպիրիկ նշանակությունը որոշվում է հետևյալ բանաձևով՝

էմպ = ∙ ∑ ( ∙ ∙ ) ,

որտեղ -ը և -ը ընտրանքների ծավալներն են, ( = 1,2, . . . , )-ն՝ առաջին ընտրանքի օբյեկտների թիվը, որոնք ընկել են i-րդ կարգատե-սակում՝ ըստ ուսումնասիրվող հատկության վիճակի, ( = 1,2, . . . , )-ն՝ երկրորդ ընտրանքի օբյեկտների թիվը, որոնք ընկել են i-րդ կարգատե-սակում՝ ըստ ուսումնասիրվող հատկության վիճակի, k-ն՝ կարգա-տեսակների թիվը (մեր դեպքում k=4):

-ն նշանակալիության մակարդակում ընդունվում է, եթե էմպ ≤ կր և մերժվում է, եթե էմպ > կր:

հայտանիշի կիրառման պայմաններին համապատասխան աղյուսակից = − 1 = 3 և = 0,05 արժեքների համար կգտնենք, որ կր = 7,815:

էմպ = 118 ∙ 17 (18 ∙ 6 − 17 ∙ 2)2 + 6 + (18 ∙ 7 − 17 ∙ 3)3 + 7 + (18 ∙ 3 − 17 ∙ 9)3 + 9+ (18 ∙ 1 − 17 ∙ 4)1 + 4 ≈ 8,378:

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

39

Մեր դեպքում էմպ > կր, հետևաբար, = 0,05 նշանակալիության մակարդակում զրոյական վարկածը մերժվում է և ընդունվում է այլընտ-րանքային վարկածը: Այսպիսով` կարելի է պնդել, որ ստոխաստիկայի ոլորտում սովորողների գիտելիքների, կարողությունների և հմտություն-ների որակական մակարդակը բարձր է հատկապես փորձարարական խմբում:

Ստացված արդյունքների հիման վրա եկել ենք այն եզրահանգմանը, որ փորձարարական գործոնը դրական ազդեցություն է ունենում ստո-խաստիկայի ոլորտում սովորողների գիտելիքների, կարողությունների և հմտությունների ձևավորման վրա:

Ստոխաստիկայի միջոցներով մաթեմատիկայի նկատմամբ ճանաչո-ղական հետաքրքրությունների զարգացման գնահատման համար կատարվել է սովորողների հարցում (Հարցաթերթիկ № 2):

Յուրաքանչյուր սովորողի հարցման արդյունքները բաժանվում են երկու կարգատեսակի. «մաթեմատիկան դարձավ առավել հետաքրքիր», «մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրությունը նվազեց»:

Ստացված արդյունքներն իրենցից ներկայացնում են չափումներ ըստ կարգային սանդղակի (երկբալյան սանդղակ): Այս պայմաններում հնա-րավոր է կիրառել «G նշանի հայտանիշը՝ բացահայտելու համար սովո-րողների կարծիքների փոփոխության միտումը»՝ [2, 4]:

Ընդունված չափման սանդղակի պայմաններում «+» նշանը համապա-տասխանում է «մաթեմատիկան դարձավ առավել հետաքրքիր» արդյուն-քին, «-» նշանը` «մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրությունը նվա-զեց» արդյունքին, 0 նշանը՝ «մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրու-թյունը չփոփոխվեց» արդյունքին:

Այդ դեպքում զրոյական վարկածը կունենա հետևյալ տեսքը՝ ստոխաստիկական նյութը գեղագիտական կողմից ներկայացնելու մեթո-դիկան չի փոխի մաթեմատիկայի նկատմամբ սովորողների կարծիքը: Այլընտրանքային վարկած՝ կարծիքը կփոփոխվի:

Ըստ այս հայտանիշի արդյունքների մշակման մեթոդիկայի կազմենք աղյուսակ 2.

40

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Աղյուսակ 2

Կարծիք Տեղաշարժի նշան

Տեղաշարժի թիվ

Փորձարարական խումբմաթեմատիկան դարձավ առավել հետաքրքիր

+ 15

մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքր. չփոփոխվեց

0 2

մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքր. նվազեց

- 1

Ստուգիչ խումբմաթեմատիկան դարձավ առավել հետաքրքիր

+ 9

մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքր. չփոփոխվեց

0 5

մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքր. նվազեց

- 3

Հայտանիշի էմպ էմպիրիկ նշանակությունը հավասար է ամենա-քիչ տարածումը ստացած պատասխանների թվաքանակին:

Քանի որ երկու խմբում էլ դրական պատասխանները գերակայում են, ապա վարկածն ընդունում է հետևյալ տեսքը. «մաթեմատիկան դարձավ առավել հետաքրքիր»:

Փորձարարական խումբ. էմպ = 1: n=15 և = 0,05դեպքում հայ-տանիշի վիճակագրական աղյուսակից գտնում ենք, որ կր = 3:

Մեր դեպքում էմպ < կր (1<3), այդ իսկ պատճառով = 0,05նշա-նակալիության մակարդակում զրոյական վարկածը մերժվում է և ընդուն-վում է այլընտրանքային վարկածը: Այսպիսով` կարելի է պնդել, որ փորձարարական սովորողների համար «մաթեմատիկան դարձավ առա-վել հետաքրքիր»:

Ստուգիչ խումբ. էմպ = 3: n=9 և = 0,05դեպքում հայտանիշի վիճակագրական աղյուսակից գտնում ենք, որ կր = 1:

Մեր դեպքում էմպ > կր (3 > 1), այդ իսկ պատճառով = 0,05

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

41

նշանակալիության մակարդակում ընդունվում է զրոյական վարկածը: Այսպիսով` կարելի է պնդել, որ ստոխաստիկական գծի ուսուցումն ավան-դական մեթոդիկայով չի փոխում մաթեմատիկայի նկատմամբ ստուգիչ խմբի սովորողների կարծիքը:

Ստացված արդյունքների հիման վրա եկել ենք այն եզրահանգմանը, որ գեղագիտական կողմից ստոխաստիկայի տարրերի ուսուցումը նպաս-տում է մաթեմատիկայի նկատմամբ սովորողների ճանաչողական հե-տաքրքրությունների զարգացմանը:

Այսպիսով՝ փորձարարության արդյունքները բավարար հիմք են տալիս ասելու, որ մեթոդական այս մոտեցումը, երբ ստոխաստիկայի տարրերի ուսուցումն իրագործվում է հաշվի առնելով նրա բովանդակային կառույցի կիրառելիության և գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ այլ հատկանիշների, ուսուցման գործընթացում անսպասելիության, անկանխատեսելիության և գիտական գեղեցիկի սուբյեկտիվ այլ հատկանիշների ամենալայն դրսևորումները [1], բարձրանում է ուսուցման արդյունավետությունը և զարգանում են սովորողների ճանաչողական հետաքրքրությունները:

Հարցաթերթիկ № 1 1. Ֆիզմաթ ֆակուլտետ ընդունվելու համար դիմորդը պետք է հանձնի

ընդունելության երեք քննություն` 10 բալյան համակարգով: Ընդունվելու համար քանի՞ եղանակով նա կարող է հանձնել քննությունները, եթե անցողիկ միավորը 28 է: (4 միավոր)

2. Վիճակախաղում վաճառվել է 100 տոմս, խաղարկվում է 2000 դրամ և 600 դրամ աժեքներով երկու դրամական շահում: Տոմսի արժեքը 300 դրամ է: Կազմել շահույթի գումարը նկարագրող պատահական մեծության բաշխման օրենքը մեկ տոմս գնողի համար: (4 միավոր)

3. Գտնել հավանականությունը, որ 12 մարդկանց ծննդյան օրերը կլինեն տարբեր ամիսների: (4 միավոր)

4. Օդի մեկ խորանարդ մետրում հիվանդահարույց մանրէների միջին խտությունը հավասար է 100-ի: Փորձարկման համար վերցվում է 2 դմ օդ: Գտնել հավանականությունը, որ նրանում գոնե մեկ մանրէ կհայտ-նաբերվի: (4 միավոր)

5. Հեռախոսակայանը սպասարկում է 400 բաժանորդի: Յուրաքանչ-

42

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

յուր բաժանորդի համար հավանականությունը, որ նա մեկ ժամվա ըն-թացքում կզանգի կայան հավասար է 0,001: Գտնել հավանականությունը, որ մեկ ժամվա ընթացքում կայան կզանգի 5 բաժանորդ: (4 միավոր)

Հարցաթերթիկ № 2

1. Ձեր կողմից ստոխաստիկական հիմնական հասկացություններն ու բանաձևերը դժվա՞ր ընկալվեցին:

ա) այո բ) ոչ 2. Ձեր կարծիքով իրական բովանդակությամբ կիրառական ստոխաս-տիկական խնդիրների առկայությունը հեշտացնու՞մ, թե՞ դժվարեցնում է նյութի ընկալման գործընթացը:

ա) հեշտացնում է բ) ոչինչ չի փոխվում գ) դժվարեցնում է

3. Ին՞չ եք կարծում դիտարկվող ստոխաստիկական նյութը կօգնի Ձեզ կանխատեսել և վերլուծել կյանքի տարբեր իրավիճակները:

ա) այո բ) ոչ գ) դժվարանում եմ պատասխանել 4. Տվյալ դասընթացը նպաստեց արդյո՞ք, որպեսզի տեսնեք ստոխաս-տիկայի կիրառական նշանակությունը հարակից առարկաների ուսում-նասիրության մեջ:

ա) այո բ) ոչ 5. Կցանկանայի՞ք, որպեսզի մաթեմատիկայի ողջ դասընթացը կառուցվեր կյանքից վերցված խնդիրների լուծման մեջ նրա կիրառության ցուցադրմամբ:

ա) այո բ) ոչ գ) միևնույն է 6. Ստոխաստիկայի տարրերի հետ ծանոթացումից հետո Ձեր հետաքրքրությունը մաթեմատիկայի նկատմամբ ինչպե՞ս փոփոխվեց. ա) մաթեմատիկան դարձավ առավել հետաքրքիր, բ) մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրությունը չփոփոխվեց, գ) մաթեմատիկայի նկատմամբ հետաքրքրությունը նվազեց:

Գրականություն

1. Միքայելյան Հ. Ս., Գեղեցիկը, մաթեմատիկան և կրթությունը, մաս II,

ԳԻՏԱՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

43

Գեղեցիկը և մաթեմատիկայի կրթական ներուժը, Եր., Էդիտ Պրինտ, 2015, 440 էջ: 2. Վարդազարյան Վ., Կարապետյան Վ., Քանակական մեթոդները հոգեբանության և մանկավարժության մեջ, Ուսումնամեթոդական ձեռնարկ, Երևան 2012, 232 էջ: 3. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М. : Высшее образование, 2006. 4. Ермолаев, О.Ю. Математическая статистика для психологов: учебник. – 3-е изд., испр. – М.: Московский психолого-социальный институт: Флинта, 2004. – 336 с.

Об эстетической привлекательности обучения стохастического материала А. Минасян

Резюме В работе на основе экспериментальных результатов показано, что в

системе подготовки учителей математики раскрытие эстетической привлекательности стохастического материала способствует как повы-шению эффективности учебного материала, так и развитию познавательных интересов учащихся.

On the aesthetic appeal of teaching the stochastic material

Anzhela Minasyan A.Minasyan Summary

In this work, based on the experimental results, is shown that the aesthetic

appeal of stochastic material in the system for preparation of Mathematics teacher helps to improve not only the effectiveness of the training of material but also to developing the cognitive interests of students.

Անժելա Մինասյան – ՀՊՄՀ Հեռախոս՝ 094-83-42-21, Էլ. հասցե՝ anzhela0107@mail.ru

44

ԱՇԱԿԵՐՏՆԵՐԻ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՄՏԱԾՈՂՈՒԹՅԱՆ ԵՎ ՀԵՏԱՔՐՔՐՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ

ՁԵՎԱՎՈՐՈՒՄԸ ԱՎԱԳ ԴՊՐՈՑԻ ՀՈՒՄԱՆԻՏԱՐ ՀՈՍՔԵՐՈՒՄ

Հասմիկ Մկրտչյան

Բանալի բառեր - մաթեմատիկա, ուսուցում, հումանիտար հոսք, հետաքրքրություն, տրամաբանական մտածողություն, խնդիր

Հանրակրթության պետական կրթակարգում հստակեցվում են հանրա-կրթության նպատակներն ու խնդիրները՝ մարդուն և նրա ներդաշնակ զար-գացումը դիտելով որպես բարձրագույն արժեք: Ելնելով այս տեսանկյունից՝ հարկավոր է ընդունել այն փաստը, որ յուրաքանչյուր առարկա, այդ թվում մաթեմատիկան, միջոց է սովորողի մտավոր, հոգևոր և սոցիալական ունա-կությունների համակողմանի ու ներդաշնակ զարգացման համար: Այդ մո-տեցումն առավել արդիական է ավագ դպրոցի հումանիտար հոսքերի սովո-րողների համար, որոնք մաթեմատիկան ուսումնասիրում են որպես հան-րակրթական (այլ ոչ նախամասնագիտական) առարկա:

Մաթեմատիկական կրթության դերը պայմանավորված է առավելապես նրա գործնական-կիրառական նշանակությամբ, այն անհրաժեշտ է մյուս ուսումնական առարկաների բովանդակության ընկալման համար, մեծապես կարող է նպաստել երեխայի լեզվամտածողության զարգացմանը: Մաթեմա-տիկայի ուսուցման նպատակներից է նաև զարգացնել աշակերտի երևա-կայությունը, ուշադրությունը, դիտողականությունը, աշխատասիրությունը, նպատակասլացությունը, հանդուրժողականությունը:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

45

Անրադառնանք հումանիտար հոսքի «Հանրահաշիվ և մաթեմատի-կական անալիզի տարրեր» և «Երկրաչափություն» առարկաներին: «Հանրա-հաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր» առարկայի ծրագրերի և հատկապես դասագրքերի բովանդակությունը կարծես թե կտրված է աշակերտի կյանքից և չունի կիրառական արժեք: Այս դասագրքերում ծրա-գրային նյութի ներկայացումը քիչ է տարբերվում խորացված ուսուցման և մասնագիտական դասընթացների ծրագրերից: Մինչդեռ հումանիտար հոս-քերում դասընթացի բովանդակային նյութի ներկայացման մեջ գիտական հետևողականության և ամբողջականության խստորեն պահպանելը չպետք է դիտել որպես պարտադիր պահանջ: Այդ իսկ պատճառով ստեղծվել է մի իրավիճակ, երբ հումանիտար հոսքի աշակերտների մոտ նկատվում է առարկայի նկատմամբ հետաքրքրությունների նվազում:

Սակայն իրավիճակն այլ է «Երկրաչափություն» առարկայի պարագայում: Այստեղ դասընթացի գլխավոր նպատակը աշակերտին ոչ միայն երկրա-չափություն սովորեցնելն է, այլև երկրաչափություն ուսումնասիրելու միջոցով աշակերտների ունակությունների զարգացումը: Երկրաչափության ուսու-ցումը նպատակաուղղված է սովորողների համար ապահովել հետևյալ պա-հանջները, որպեսզի սովորողը գիտակցի ճշգրիտ գիտելիքների կարևո-րությունը, դրանց կիրառելու արդյունավետությունը առօրյա կյանքում, կա-րևորի գրավոր և բանավոր խոսքի հստակությունը, ճշգրտությունը, հակիր-ճությունը, մատչելիությունը, կարևորի փաստերի հավաստիությունը և փաս-տարկների անհրաժեշտությունը, գիտակցի համամարդկային և ազգային մշակութային արժեքների ստեղծման մեջ երկրաչափական պատկերացում-ների դերը, ձգտի այդ արժեքներն ընկալել, պահպանել, կատարելագործել և այլն:

Ընդ որում երկրաչափության դասագրքերը հնարավորություն են ընձեռում ուսուցչակենտրոն ուսուցումից անցում կատարել դեպի աշա-կերտակենտրոն ուսուցում: Հումանիտար հոսքի երկրաչափության գործող դասագրքերում կան բազմաթիվ գործնական և խմբային աշխատանքի առա-ջադրանքներ, որոնց կիրառումը էապես նպաստում է, որ հետաքրքիր դառնա դասապրոցեսը, հնարավորություն է ընձեռում յուրաքանչյուր սովո-րողի մաս-նակցել այդ աշխատանքին, ազատ արտահայտել սեփական կարծիքը, ինչպես նաև աշակերտը սովորում է ուրիշներին լսել և խոսելիս ուշադրության արժանանալ նրանց կողմից: Մի խոսքով հումանիտար հոսքերում երկրա-չափության դասավանդման համար դժվարություններ չեն առաջանում, և սովորողները ինքնակամ ներգրավվում են ուսումնական գործընթացում:

46

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Ավագ դպրոցի հումանիտար հոսքերում մաթեմատիկայի դասավանդ-ման դժվարությունները, ինչպես ասացինք, վերաբերում են հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի տարրեր առարկային: Իսկ այդ դժվարությունը նախ և առաջ կապված է այն բանի հետ, որ գործող դասագրքերում մա-թեմատիկական նյութը «չոր» է ներկայացված, աշակերտները չեն տեսնում այդ նյութի կապը կյանքի հետ, չեն գիտակցում նշված նյութի անհրաժեշ-տությունը, կարևորությունը, ուստի և չեն տրամադրվում սովորելու:

Աշակերտների մոտ հանրահաշվական նյութի նկատմամբ հետա-քրքրություն առաջացնելու գործը ամբողջությամբ թողնված է դասավանդող ուսուցչի հայեցողությանը, այդ ուղղությամբ որևէ օգտակար խորհուրդ չի զետեղված նաև վերոհիշյալ դասագրքերին կից ներկայացված մեթոդական ձեռնարկում: Չհավակնելով այդ հիմնահարցին տալ համակողմանի լուծում՝ ստորև կներկայացնենք իմ աշխատանքային փորձի հիման վրա ձևավորված մի մոտեցում, որի հիմնական նպատակն է. մի կողմից, խթանել սովորողների հետաքրքրասիրությունը հանրահաշվի նկատմամբ և, մյուս կողմից, նպաստել սովորողների մտածողության զարգացմանը:

Սովորողների ուսումնական ակտիվության բարձրացմանը, ինչպես նշվում է մեթոդական գրականության մեջ, և ինչպես ցույց է տալիս փորձը, կարևոր դեր ունեն դիտարկվող մաթեմատիկական խնդիրները, որոնք բովանդակությամբ և ձևակերպումով ունեն գրավչություն: Այդպիսի խնդիր-ները, որոնց կիրառումը լիցք է հաղորդում հանրահաշվի ուսուցմանը, մենք խմբավորել ենք երկու տեսակի՝ ա) թեմայի ուսուցմանը նախապատրաստող և բ) հետաքրքրաշարժ-ակտիվացնող: Դրանք ներկայացնենք ավելի հան-գամանորեն:

ա) Թեմայի ուսուցմանը նախապատրաստող խնդիրներ Շատ օգտակար է, երբ դասի ընթացքում տեսական նյութի շարադրանքից առաջ նախ դիտարկվում է կյանքից վերցված այնպիսի իրադրություն ներ-կայացնող խնդիր, որի լուծումը հանգեցնում է ուսուցանվող տեսական նյութի իմացության կարևորությանը: Մեթոդական այդ հնարը հմտորեն օգ-տագործված է Հ. Ս. Միքայելյանի միջին դպրոցի հանրահաշվի դասագրքե-րում, որոնց բովանդակությանը ներկայում ավագ դպրոցում սովորողները գրեթե անծանոթ են: Այդ մոտեցումը շատ արժեքավոր է և, ինչպես ցույց է տալիս մեր փորձը, միանգամայն կիրառելի է նաև ավագ դպրոցի հումանիտար հոսքերում: Ցուցադրենք դա մի քանի օրինակներով:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

47

Օրինակ 1. Հումանիտար հոսքերում սովորող աշակերտների համար խոցելի թեմաներից մեկը «Ֆունկցիա» թեման է: Նախքան ֆունկցիայի սահմանումը տալը՝ կա-րելի է այն ներկայացնել՝ որպես առնչություն, երբ դիտարկվող յուրաքանչյուր տարր առնչվում է միայն մեկ տարրի հետ, ապա բերել օրինակներ և ժխտօրինակներ: Յուրաքանչյուր մարդ առնչվում է զանգվածի քանակության հետ, երբ նշվում է նրա քաշը: Մարդու քաշը տվյալ պահին մեկն է, հետևաբար այս առնչությունը ֆունկցիա է: Յուրաքանչյուր երկիր առնչվում է իր հարևան երկրի հետ: Այս առնչու-թյունը ֆունկցիա չէ: Կարելի է քննարկել նաև այսպիսի կիրառական նշանակություն ունեցող առաջադրանքներ: Արդյո՞ք հետևյալ առնչությունը ֆունկցիա է. ա)Մարդու առնչությունը նրա ծնված տարեթվի հետ: բ) Մարդու առնչությունը նրա հասակի հետ: գ)Արկղի առնչությունը նրա տարողության հետ: դ)Ապրանքի առնչությունը նրա արժեքի հետ, և այլն: Օրինակ 2. Նախքան «Ցուցչային ֆունկցիա» թեման ուսումնասիրելը՝ կարելի է լուծել հետաքրքրաշարժ, կիրառական նշանակություն ունեցող հետևյալ խնդիր-ները. ա) 7 կատուներից յուրաքանչյուրը տարվա մեջ ուտում է 7 մուկ, յուրաքանչյուր մուկը ոչնչացնում է ցորենի 7 հասկ, իսկ յուրաքանչյուր հասկը պարունակում է ցորենի հատիկների 7 կուց: Տարեկան քանի՞ գրամ ցորեն են փրկում 7 կատուները, եթե ցորենի 1 կուցը կշռում է 80 գրամ: բ) Տատիկն ունի դուստր և թոռնուհի: Այս տարի նա նկատեց, որ իրենց տա-րիքների գումարը 100 է: Նրանցից յուրաքանչյուրի տարիքը 2-ի ամբողջ աստիճան է: Քանի° տարեկան է թոռնուհին: Օրինակ 3. Հումանիտար հոսքի դասագրքում m տարր պարունակող բազմության տեղափոխությունները տրվում են՝ որպես m տարրից m-ական կարգավորո-ւթյուններ:

Սակայն նախքան այս թեման ուսումնասիրելը՝ կարելի է դիտարկել հետևյալ խնդիրները.

48

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Քանի՞ եղանակով կարելի է կազմել շարասյուն դասարանի աշակերտնե-րից:

Եթե աշակերտների թիվը 1 է, ապա կստացվի 1 շարասյուն: Եթե լինեն 2 աշակերտ՝ a և b, ապա կստանանք 2, այսինքն՝ (1·2)շարասյուն՝ ab և ba: Դիցուք ունենք 3 աշակերտ՝ a, b, c: Այս դեպքում կունենանք հետևյալ շարասյունները՝ abc, acb, bac, bca, cab, cba: Այսպիսով ունեցանք 6, կամ որ նույնն է՝ (1·2·3) շարասյուն: Նման դատողություններ կատարելով՝ սովորող-ները կարող են ստանալ 4 հոգուց կազմված շարասյունների թիվը (1·2·3·4) և այլն: Այսպիսով սովորողները կգան եզրակացության, որ n աշակերտների համար բոլոր շարասյունների թիվը հավասար է 1-ից մինչև n բնական թվերի արտադրյալին, որը նշանակում ենք n!: Ապա կարելի է լուծել հետևյալ կիրառական նշանակություն ունեցող խնդիրները:

Գրադարակում եղած 5 գրքերը քանի՞ եղանակով կարելի է դասավորել 1 շարքում:

Քանի՞ եղանակով կարելի է 3 երեխաներին նստեցնել 3 աթոռների վրա: Նման նշանակությամբ խնդիրների օրինակներ կարելի է բերել նաև մյուս

թեմաների վերաբերյալ: Կարևորն այն է, որ այդ դեպքում տեսական նյութի ուսուցումը նախապատրաստվում է կյանքի հետ կապ ապահովող խնդիր-ներով, որոնց շնորհիվ «կոտրվում» է աշակերտների անտարբերությունը թեմայի նկատմամբ, և նրանց մոտ դրական վերաբերմունք է առաջանում սովորելու նկատմամբ:

բ) Հետաքրքրաշարժ-ակտիվացնող խնդիրներ Այս տեսակի խնդիրները հետաքրքրաշարժ են, տրամաբանական, ակտի-վացնող, ուսումնական լարվածությունը թուլացնող, լիցքաթափող: Դրանք գործածվում են ըստ նպատակահարմարության՝ ինչպես դասի սկզբում, այնպես էլ ընթացքում, նոր նյութ բացատրելուց առաջ, կամ էլ դասի այլ փու-լում: Պարտադիր չէ, որ դիտարկվող հետաքրքրաշարժ խնդիրը ուղղակի և անմիջական կապ ունենա տվյալ դասի թեմայի հետ. այն ծառայում է ուրիշ նպատակի՝ սովորողի ուշադրությունը հրավիրել մտավոր աշխատանք կա-տարելու վրա: Այդպիսի խնդիրների առանձնահատկություններից մեկն այն է, որ լուծման համար մաթեմատիկական բարդ ապարատի կիրառություն չեն պահանջում, ինչի շնորհիվ սովորողներին չեն վանում որոնողական աշխատանք կատարելուց, և արդյունքում աշակերտների մեծ մասը ինքնա-կամ ընդգրկվում է ուսումնական գործընթացի մեջ: Դիտարկենք օրինակներ.

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

49

1. Վինգեր մոլորակի յուրաքանչյուր բնակիչ ունի առնվազն երկու ականջ: Երեք բնակիչներ՝ Իմին, Դիմին և Տրիմին, հանդիպեցին խառնարանում: Իմին ասաց. ‹‹Ես տեսնում եմ 8 ականջ››: Դիմին ասաց. ‹‹Ես տեսնում եմ 7 ականջ››: Տրիմին ասաց. ‹‹Տարօրինակ է, ես տեսնում եմ միայն 5 ականջ››: Նրանցից ոչ մեկը չի տեսնում սեփական ականջները: Քանի° ականջ ունի Տրիմին: Պատ. (5 ականջ)

2. Դույլը կիսով չափ լցված է ջրով: Եթե դույլի մեջ ավելացնենք 2 լիտր ջուր, այն կլինի լցված երեք քառորդով: Քանի° լիտր ջուր է տեղավորում դույլը:

Պատ. (8 լիտր) 3. Պարոն Մոմյանը գնեց 100 մոմ: Յուրաքանչյուր օր նա վառում է մեկ մոմ և

յոթ թերայրված մոմի մնացորդներից միշտ պատրաստում մեկ մոմ: Քանի՞ օրից նա պետք է գնա և դարձյալ գնի նոր մոմեր:

Պատ. (116 օրից) 4.Մայրիկը լվացած շապիկները կախեց պարանին: Հետո երեխաներին

խնդրեց մեկական գուլպա կախել յուրաքանչյուր երկու շապիկների արան-քում: Այժմ պարանի վրա կա հագուստի 29 պարագա: Քանի՞ շապիկ կա պարանի վրա: Պատ. (15 շապիկ)

5. Դասարանում կա 33 աշակերտ: Նրանցից յուրաքանչյուրը նախընտրում է ինֆորմատիկա և ֆիզկուլտուրա առարկաներից գոնե մեկը: Աշակերտ-ներից երեքն այդ երկու առարկաներն էլ նախընտրում են: Իսկ միայն ին-ֆորմատիկան նախընտրող աշակերտների քանակը երկու անգամ ավելի է միայն ֆիզկուլտուրան նախընտրողների քանակից: Աշակերտներից քանի՞սն է նախընտրում ինֆորմատիկան:

Պատ. (23 աշակերտ) 6. Եթե Կարենը կանգնում է սեղանին, իսկ Միքայելը՝ հատակին, ապա Կա-

րենը 80սմ-ով բարձր է լինում Միքայելից: Եթե Միքայելն է կանգնում նույն սեղանին, իսկ Կարենը՝ հատակին, ապա Միքայելը 1մ-ով բարձր է լինում Կարենից: Որքա՞ն է սեղանի բարձրությունը: Պատ. (90 սմ)

7. Արթուրն ու Մերին մետաղադրամ են նետում: Եթե մետաղադրամն ընկ-նում է այնպես, որ երևում է դրամի արժեքը, հաղթողը Մերին է, և Արթուրը նրան պետք է տա 2 կոնֆետ: Եթե դրամն ընկնում է այնպես, որ երևում է զինանշանը, հաղթում է Արթուրը, և Մերին Արթուրին պետք է տա 3 կոն-ֆետ: 30 անգամ դրամը նետելուց հետո նրանցից յուրաքանչյուրն ուներ այնքան կոնֆետ, որքան խաղից առաջ: Քանի՞ անգամ էր հաղթել Արթուրը: Պատ. (12 անգամ)

50

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

8. 5 թվերից բաղկացած աղյուսակում առաջինը 2-ն է, վերջինը՝ 12-ը: Առաջին երեք թվերի արտադրյալը 30 է, մեջտեղի երեք թվերինը՝ 90, իսկ վերջին երեք թվերինը՝ 360: Ի՞նչ թիվ է գրված աղյուսակի կենտրոնում:

Պատ. (5)

Այսպիսի հետաքրքրաշարժ խնդիրները կապ ունեն իրական կյանքի հետ, ինչպես նաև հնարավորություն են ընձեռում կազմակերպել խմբային աշխատանք, որի ժամանակ աշակերտները քննարկումներ կատարելու, ու-րիշների հետ համագործակցելու հնարավորություն են ստանում: Անշուշտ շա-րադրվածից չի հետևում, որ պատշաճ ուշադրություն չպետք է դարձնել այն վարժությունների, խնդիրների լուծմանը, որոնք լուծվում են ստանդարտ եղա-նակով, հայտնի ալգորիթմներով, քանի որ նման առաջադրանքների լուծումն էլ աշակերտի մոտ ձևավորում է աշխատասիրություն, աշխատանքը մինչև վերջ կատարելու կարողություն, համբերատարություն, նպատակասլացու-թյուն: Սակայն հումանիտար հոսքերում առաջնահերթ խնդիրը մաթեմատիկա սովորելու նկատմամբ մոտիվացիա առաջացնելն է, որի համար միայն ստանդարտ եղանակով լուծվող վարժություններ դիտարկելը բավարար չէ:

Գրականություն

1. Հանրակրթության պետական կրթակարգ, Անտարես, 2004թ.: 2. Հ.Ս.Միքայելյան, Հանրահաշիվ 7, 8, 9. Դասագիրք, Էդիթ պրինտ, 2006,

2007, 2008թ.: 3. Գ. Գ. Գևորգյան, Ա. Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական

անալիզի տարրեր 10, 11, 12. դասագիրք հումանիտար և ընդհանուր հոսքերի, Տիգրան Մեծ, 2009, 2010, 2011թ.:

4. Ս. Է. Հակոբյան, Երկրաչափություն 10, 11, 12. դասագիրք հումանիտար և ընդհանուր հոսքերի, Տիգրան Մեծ, 2009, 2010, 2011թ. :

5. Ս. Սարգսյան, Սովորողների մաթեմատիկական հետաքրքրությունների և տրամաբանական մտածողության զարգացումը հետաքրքրաշարժ առաջադրանքների միջոցով, <<Մաթեմատիկան դպրոցում>> գիտա-մեթոդական ամսագիր, թիվ 2. 2014թ.:

6. Ն. Ղազարյան, Ընդհանուր և հումանիտար հոսքերում մաթեմատիկական խնդրի գործառույթների գեղագիտության մասին, <<Մաթեմատիկան դպրոցում>> թ.1 2017թ.

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

51

7. www.aniedu.am (ուսուցիչների վերապատրաստման դասընթացի նյութեր):

Формирование математического интереса и мышления у учеников классов с гуманитарным уклоном в старшей школе

Асмик Мкртчян Резюме

В статье рассматривается вопрос повышения результативности преподавания математики в классах с гуманитарным уклоном в старшей школе. Представлены те трудности, которые возникают в процессе изучения предмета «Алгебра и начала математического анализа». На основе собствен-ного опыта предлагается в процессе обучения использовать занимательные задачи, посредством которых будет показана связь изучаемой темы с жизнью.

The formulation of mathematical thinking and interests of students in the humanitarian departments at high school

Hasmik Mkrtchyan Rezume

The article observes the problems of improving the teaching efficiency of mathematics in humanitarian departments of high school .It also reveals the difficulties which are enhanced during the teaching process of " Algebra and elements of mathematical analysis". On the personal experiment it is advisable to use interesting tasks during the teaching process of mathematics , which can connect the subject with life.

Հասմիկ Մկրտչյան - ՀՊՄՀ-ի հենակետային վարժարան, ուսուցչուհի Հեռախոս՝ 093 66 01 81 Էլ. հասցե՝ mkrtchyanhasmik1988@mail.ru

52

ՀԱՎԱՍԱՐՈՒՄՆԵՐ ԱՄԲՈՂՋ ԹՎԵՐԻ ԲԱԶՄՈՒԹՅՈՒՆՈՒՄ

Նվարդ Թունյան Գայանե Մաշուրյան

Բանալի բառեր – հավասարում, դիոֆանտյան հավասարում, հավասարման լուծում, ամբողջ թիվ, պյութագորյան եռյակ Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում հավասարումներն ա-

ռանցքային նշանակություն ունեն և իրենց լայն կիրառություններն են գտնում դասընթացի բոլոր բաժիններում: Ընդհանուր առմամբ դիտարկվող հավա-սարումները հիմնականում պարունակում են մեկ փոփոխական (անհայտ): Սակայն մաթեմատիկայի գործող դասագրքերում նույնպես կարող են հան-դիպել այնպիսի հավասարումներ, որոնք պարունակում են մեկից ավելի ան-հայտներ կամ այնպիսի տեքստային խնդիրներ, որոնց լուծումները հանգեց-վում են մեկից ավելի անհայտներով հավասարումների լուծմանը: Այդպիսի հավասարումներում, հիմնականում, պահանջվում է գտնել ամբողջ թվերով լուծումներ, որոնց հայտնաբերումն իրականացվում է ոչ ստանդարտ մեթոդ-ներով: Այստեղ անհրաժեշտ է, որ սովորողը որոշ չափով տեղյակ լինի ամ-բողջ թվերի բաժանելիության վերաբերյալ գոնե նախնական հասկացու-թյուններին և փաստերին: Փորձը ցույց է տալիս, որ նման խնդիրների լուծումը հետաքրքրություն են առաջացնում սովորողների մոտ և նպաստում նրանց ունակությունների ու տրամաբանության ձևավորմանը: Ստորև դիտարկվելու են մեկից ավելի անհայտ պարունակող ընդհանուր տեսքի որոշ հավասարում-ներ և այնպիսի տեքստային խնդիրներ, որոնք հանգեցվում են մեկից ավելի անհայտներ պարունակող հավասարումների լուծմանը: Սկզբում, համառոտ տեղեկատվությամբ, ընդհանուր գծերով ներկայացվում են տեսական որոշ

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

53

կարևոր փաստեր՝ հպանցիկ պատմական ակնարկով: Այնուհետև բերվում են օրնակներ՝ լուծումների մեկնաբանությամբ: Ինքնուրույն դիտարկումների և կողմնորոշման համար, վերջում, ընթերցողներին է ներկայացվում տիպա-կան և ոչ տիպային առաջադրանքների հավաքածու:

Կարծում ենք, որ այստեղ ներկայացվող նյութերը կարող են օգտակար լինել մաթեմատիկայի սկսնակ ուսուցիչներին՝ դասերի ընթացքում կամ արտադասարանական պարապունքներն անցկացնելիս:

* * * Մեկից ավելի փոփոխական (անհայտ) պարունակող հավասարումների

լուծումը բնական կամ ամբողջ թվերով մաթեմատիկական գիտության հնա-գույն խնդիրներից մեկն է: Այն կարևորվում է նաև ժամանակակից մաթեմա-տիկայում: Խնդիրը կայանում է հետևյալում. տրված հավասարման համար գտնել նրանում մասնակցող փոփոխականների բոլոր այն ամբողջ կամ բնա-կան արժեքները, որոնց դեպքում այն վերածվում է ճիշտ հավասարության:

Մաթեմատիկայի պատմության մեջ բնական թվերով հավասարումների լուծումը կապված է Հին Հունական մաթեմատիկոս Դիոֆանտի (մ.թ. 3-րդ դար) անվան հետ: Այդպիսի հավասարումների լուծման ուղղությամբ Դիո-ֆանտը տարատեսակ հնարներ է իրագործել, որի համար էլ դրանք կոչվում են դիոֆանտյան հավասարումներ: Այդպիսի հավասարումներն անվանում են նաև անորոշ հավասարումներ: Միաժամանակ պետք է նշել, որ դիո-ֆանտյան ոչ բոլոր հավասարումներն ունեն լուծման ընդհանուր ալգորիթմ-ներ. գործնականորեն շատ հավասարումների համար ցուցաբերվում են յու-րատիպ մոտեցումներ:

Ժամանակակից մաթեմատիկայում դիոֆանտյան հավասարումները նշա-նակալից կիրառություններ ունեն և կազմում են առանձին, բացառապես հե-տաքրքիր բաժին, որը ներառված է թվերի տեսության դասընթացներում: Թ-վերի տեսությունում դիոֆանտյան որոշ տիպի հավասարումների համար բա-ցահայտված են լուծման հատուկ մեթոդներ: Դիտարկենք դրանցից երկուսը:

1) Երկու` և փոփոխականներով դիոֆանտյան գծային հավասա-րումն ունի

(1) տեսքը, որտեղ -ն տրված ամբողջ թվերն են: Հարմարության համար կարելի է ընդունել, որ և գործակիցները բնական թվեր են: Այդպիսի

x y

ax by c+ =, ,a b c

a b

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

54

հավասարումների համար գոյություն ունի լուծման հստակ ալգորիթմ: Ըն-դունվում է նաև, որ (1) հավասարման մեջ և գործակիցները փոխադար-ձաբար պարզ բնական թվեր են: Այն դեպքում, երբ և թվերը փոխա-դարձաբար պարզ չեն, կունենան 1-ից մեծ ընդհանուր բաժանարար. մասնա-վորաբար ամենամեծ ընդհանուր բաժանարար: Եթե -ն չի բաժանվում

-ի, ապա ակնհայտ է, որ (1) հավասարումը լուծում չունի: Իսկ եթե -ն

բաժանվում է -ի, ապա այդ հավասարման երկու մասերը կարելի է բաժա-նել d-ի, որից հետո կստացվի հավասարում, որում և փոփոխականների գործակիցներն արդեն փոխադարձաբար պարզ են: Այդ նկատառումով էլ բա-վական է (1) տեսքի հավասարումները դիտարկել փոխադարձաբար պարզ գործակիցներով: Ապացուցվում է, որ այդպիսի յուրաքանչյուր հավասարումն ունի անվերջ շատ ամբողջաթիվ լուծումներ: Լուծումների բազմությունը գտնե-լու համար կարելի է առաջնորդվել հետևյալ կանոնով. սկզբում, փորձարկելով, ընտրվում է որևէ լուծում, որն ընդունված է անվանել մասնակի լուծում:

Այնուհետև, առանց դժվարության, կարելի է ապացուցել, որ (1) հավասաման բոլոր լուծումները ներկայացվում են

0x bk x= − + , 0y ak y= + բանաձևերով, որտեղ -ն ցանկացած ամբողջ թիվ է (դրանում համուզվեք ինքնուրույն): Դիոֆանտյան ոչ գծային հավասարումների մեջ առանձնահատուկ ուշադրու-թյան է արժանացել բնական , , փոփոխականներով հետևյալ հավա-սարումը՝

2 2 2x y z+ = : (2) Այն դիտարկվել է Հին Եգիպտոսում՝ մոտ երկու հազար տարի առաջ մինչև

Դիոֆանտը: Միայն հայտնի է, որ Դիոֆանտը քաջատեղյակ է եղել այդ տիպի հավասարումներին և դրանք հաջողությամբ է կիրառել: Այդ առումով էլ (2) հավասարումն անվանվում է երկրորդ աստիճանի դիոֆանտյան հավասա-րում:

Եթե -ը և -ը ուղղանկյուն եռանկյան էջերի երկարություններն են, իսկ -ը՝ ներքնաձիգի երկարությունը, ապա, ըստ Պյութագորասի հայտնի թեո-

րեմի, թվերի միջև տեղի ունի (2) առնչությունը: Այդ փաստը, ըստ էութ-յան, դեռևս Պյութագորասից մոտ հազար տարի առաջ հայտնի է եղել եգիպ-տացիներին և բաբելոնացիներին: Գործնական նպատակների համար նրանք

a ba b

d c

d cd

x y

( )0 0;x y

k

x y z

x yz

, ,x y z

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

55

օգտվել են հակադարձ պնդումից՝ եթե , և թվերը կապված են (2) առն-չությամբ, ապա այդպիսի կողմերով եռանկյունն ուղղանկյուն եռանկյուն է: Թեորեմը կապված է Պյութագորասի անվան հետ հավանաբար այն պատճա-ռով, որ այն առաջինը Պյութագորասն է ապացուցել: Պատահական չէ, որ եր-բեմն (2) հավասարումն անվանում են «Պյութագորյան հավասարում», իսկ նրա ամեն մի լուծումը` «Պյութագորյան եռյակ»:

Դժվար չէ համոզվել, որ (2) հավասարմանը բավարարում են անվերջ բազ-մությամբ բնական թվերի եռյակներ: Իրոք. բավական է նկատել, որ

ցանկացած բնական թվի դեպքում եռյակը լուծում է: Բնական

հարց է առաջանում՝ գտնել բնական թվերի բոլոր այն եռյակները,

որոնք բավարարում են (2) հավասարմանը, այլ կերպ`(2) հավասարումը լուծել բնական թվերով: Այդպիսի եռյակները ևս կոչվում են պյութագորյան (ինչպես որ համապատասխան եռանկյունները): Նկատենք, որ եթե այդպիսի եռյակնե-րից որևէ երկուսն ունեն ընդհանուր բաժանարար, ապա d-ի վրա կբաժա-նվի նաև երրորդ թիվը: Նրանցից յուրաքանչյուրը բաժանելով -ի, նորից կստանանք պյութագորյան եռյակ: Նշանակում է՝ պյութագորյան ցանկացած եռյակից հեշտությամբ կարելի է անցնել պյութագորյան նոր եռյակի, որում թվերն արդեն զույգ առ զույգ փոխադարձաբար պարզ են: Այդպիսի յուր-աքանչյուր եռյակն անվանում են պրիմիտիվ: Առաջադրված խնդիրը լուծելու համար բավական է գտնել պյութագորյան պ-րիմիտիվ եռյակների ընդհանուր տեսքը: Կարելի է ապացուցել, որ պյութ-ագորյան ցանկացած պրիմիտիվ եռյակի համար կգտնվեն տա-

րբեր զույգություն ունեցող փոխադարձաբար պարզ և բն-ական թվեր այնպես, որ

,2 pqx = ,22 qpy −= 22 qpz += կամ՝ ,22 qpx −= ,2 pqy =

:22 qpz += (3) Հեշտ է նկատել, որ ճիշտ է նաև հակադարձ պնդումը.եթե -ն և -ն

տարբեր զույգությամբ փոխադարձաբար պարզ թվեր են , ապա (3) հավասարություններով ստացված , , թվերը կազմում են պյու-թագորյան պրիմիտիվ եռյակ: Դրանով հանդերձ, (2) հավասարման լուծում-ների բազմությունը կներկայացվի հետևյալ բանաձևերով.

x y z

( ); ;x y z

( ); ;x y zk )3 ;4 5( ;k k k

( ); ;x y z

dd

( ); ;x y zq ( )p p q>

p q( )p q>

x y z

( ) ( )2 2 2 22 , , , x kpq y k p q z k p q= = − = +

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

56

որտեղ -ն կամայական բնական թիվ է: Հարկ ենք համարում ընդհանուր գծերով ներկայացնել այն սխեման,

որի միջոցով, քայլ առ քայլ, կարելի է ստանալ պրիմիտիվ եռյակների ընդհանուր բանաձևերը, այսինքն՝ (3) հավասարությունները:

1) Համոզվել, որ z -ը չի կարող լինել զույգ թիվ: 2) Ցույց տալ, որ x և y թվերից մեկը զույգ է, մյուսը՝ կենտ: 3) Հիմնավորել, որ եթե y -ը կենտ թիվ է, ապա lyz 2=− և syz 2=+ հա-

վասարությունների մեջ l -ը և s -ը փոխադարձաբար պարզ են և զույ-գությամբ՝ տարբեր:

4) Նախորդ կետերում արված դատողությունների և նշանակումների շնոր-հիվ (2) հավասարումը ներկայացվում է 2mls = տեսքով, որտեղ 2/xm=(հիշենք, որ −y ի կենտ լինելու դեպքում x -ը զույգ թիվ է): Այդ

առնչությունից հետևում է, որ l և s թվերը լրիվ քառակուսիներ են՝ 2pl =, 2qs = , որտեղ p -ն և q -ն տարբեր զույգությամբ փոխադարձաբար պարզ թվեր են: Այնուհետև անմիջապես ստացվում են (3) բանաձևերը:

Դիտարկենք օրինակներ:

Օրինակ 1: Բնական թվերով քանի՞ լուծում ունի հավասարումը. ա) 4 5 450,x y+ = բ) 15 3 2017,x y− =

գ) ,876 =− yx դ) :10176 2 =− yx Լ ու ծ ու մ: ա) Ակնհայտ է, որ x-ը պետք է լինի 5-ի բազմապատիկ՝ 5 ( ) :x m m N= ∈

Այդ նկատառումով կունենանք՝ 4 90,m y+ = որտեղից՝ 90 4 :y m= −

y-ը կլինի բնական թիվ միայն այն դեպքում, երբ { }1,2,3,...,21,22m∈ : Հե-տևաբար տվյալ հավասարումը բնական թվերով ունի ճիշտ 22 լուծում:

բ) Դժվար չէ նկատել, որ ցանկացած բնական x և y թվերի դեպքում հավասարման ձախ մասը բաժանվում 3-ի: Քանի որ 2017-ը 3-ի բազմապա-տիկ չէ, ուստի տվյալ հավասարումը բնական թվերով լուծումներ չունի (լու-ծումների քանակը 0 է):

գ) Բավական է նկատել, որ ցանկացած k բնական թվի դեպքում ( ) ( ); 7 1; 6 2x y k k= − − թվազույգը լուծում է: Նշանակում է՝ տրված հավասա-րումն ունի անվերջ շատ բնական թվազույգերով լուծումներ:

k

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

57

դ) Հավասարումը ներկայացնելով 7

1016 2 −=x

y տեսքով՝ կարելի է

նկատել, որ ցանկացած k բնական թվի դեպքում, երբ 27 += kx , այդ հավասարության աջ մասի արտահայտությունը բնական թիվ է: Նշանակում է՝ տվյալ հավասարումը բնական թվերով ունի անվերջ շատ լուծումներ:

Օրինակ 2: Լուծենք հավասարումը բնական թվերով. 2 2 2 13 6 4 :x y z x y+ − + = −

Լ ու ծ ու մ: Հավասարումը ներկայացնենք այսպես՝

( ) ( )2 2 23 2 :x y z− + + = Ելնելով վերհիշյալ բանաձևերից, կարող ենք գրել՝

3 2 ,x kpq− = ( )2 22y k p q+ = − և ( )2 2z k p q= + կամ

( )2 23 ,x k p q− = − 2 2y kpq+ = և ( )2 2z k p q= + ,

որտեղ p և q-ն և տարբեր զույգությամբ փոխադարձաբար պարզ ցանկացած բնական թվեր են (p> q), իսկ k-ն կամայական բնական թիվ է: Հետևաբար հավասարման լուծումները կլինեն՝

2 3,x kpq= + ( )2 2 2y k p q= − − և ( )2 2z k p q= + կամ

( )2 2 ,x k p q= − 2 3,y kpq= + ( )2 2z k p q= +

բանաձևերով որոշվող անվերջ թվով եռյակները:

Օրինակ 3: Ապացուցենք, որ 2 25 1x y− = հավասարումն ունի ամբողջ թվերով անվերջ շատ լուծումներ:

Լ ու ծ ու մ: Դիցուք՝ ( )0 0;x y -ն որևէ լուծում է. նշանակում է՝ ճիշտ է 2 20 05 1x y− = թվային հավասարությունը: Այդ հավասարությունից հետևում է,

որ ( )22 20 05 1x y− = , որը կարելի է ներկայացնել հետևյալ տեսքով՝

( ) ( )2 22 20 0 0 05 5 2 1:x y x y+ − =

Այստեղից պարզ երևում է, որ 2 21 0 05 ,x x y= + 1 0 02y x y= թվազույգը

նույնպես տրված հավասարման լուծում է: Մյուս կողմից, դժվար չէ նկատել, որ 0 09, 4x y= = թվազույգը լուծում է: Հետևաբար, այդ թվազույգից

կստացվի նոր՝ ( )1 1;x y թվազույգ, այնուհետև դրանից այլ՝ 2 22 1 15 ,x x y= +

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

58

2 1 12y x y= թվազույգ և այդպես շարունակ. կստացվեն անվերջ շատ լուծումներ:

Դ ի տ ո ղ ու թ յ ու ն: Բերված հավասարումը 2 2 1x ay− = հավասարման մասնավոր դեպքն է, որտեղ a -ն լրիվ քառակուսի չներկայացնող ցանկացած բնական թիվ է: Այն մաթեմատիկայի պատմության մեջ հայտնի է որպես Պելլիի հավասարում:

Օրինակ 4: Շախմատային մրցությանը մասնակցեցին 8-րդ դասարանի երկու աշակերտ և 9-րդ դասարանի 4-ից ավելի աշակերտ: Յուրաքանչյուր մասնակից մյուսներից յուրաքանչյուրի հետ խաղաց մեկ անգամ: Երկու ութե-րորդցիները միասին հավաքեցին 8 միավոր, իսկ բոլոր իններորդցիները հա-վաքեցին հավասար քանակով միավորներ (յուրաքանչյուր հանդիպումից հե-տո հաղթողին տրվում է 1 միավոր, իսկ ոչ-ոքիի դեպքում խաղացողները

ստանում են 1

2 -ական միավոր): Քանի՞ իններորդցիներ էին մասնակցում

մրցույթին, եթե նրանցից յուրաքաչյուրը հավաքել է 4-ից ավելի միավոր:

Լ ու ծ ու մ: Դիցուք՝ մասնակցում էին x իններորդցիներ և նրանցից յուրաքանչյուրը հավաքել էր y միավոր: Այդ դեպքում բոլոր մասնակիցները միասին հավաքել են 8xy + միավոր, որն էլ հենց խաղացված պարտիաների

քանակն է: Քանի որ մասնակիցների թիվը ( )2x+ է և յուրաքանչյուրը մնացած 1x+ մասնակիցներից յուրաքանչյուրի հետ խաղացել է մեկ անգամ,

ապա ընդամենը կայացել է ( )( )2 1

2

x x+ + խաղ: Հետևաբար ստացվում է

հետևյալ հավասարումը՝

( )( )2 18 :

2

x xxy

+ ++ =

Որոշ պարզագույն ձևափոխություններից հետո ստացվում է

( )3 2 14x x y+ − =

հավասարումը: Այստեղից հետևում է, որ x-ը 14-ի բաժանարար է, այսինքն՝ 1, 2, 7, 14 թվերից է: x=1 և x=2 արժեքները չեն դիտարկվում, քանի որ x>4:

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

59

Երբ x=7, ապա y=4, իսկ երբ x=14, ապա y=8: Հաշվի առնելով y>4 պայմանը, կունենանք x-ի միակ արժեքը՝ 14: Պատասխան՝ 14:

* * *

Իսկ այժմ ընթերցողի ուշադրությանը ներկայացնենք ընտրված խնդիրները: Վերջում տրված են նաև դրանց պատասխանները:

Լուծել հավասարումը բնական թվերով (1-7).

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7*.

Գտնել ամբողջ և թվերի բոլոր զույգերը, որոնք բավարա-

րում են տրված հավասարությանը (հավասարումը լուծել ամբողջ թվերով) (8-15). 8. 9. 10.

11. 12. 13. 14*. 15*. 16. Ապացուցել, որ հավասարումը բնական թվերով ունի անվերջ շատ լուծումներ: 17. Ապացուցել, որ եթե բնական թվերը բավարարում են առնչությանը, ապա. ա) և թվերից գոնե մեկը զույգ է, բ) և թվերից գոնե մեկը բաժանվում է 3-ի, գ)* և թվերից գոնե մեկը բաժանվում է 4-ի, դ)* թվերից գոնե մեկը բաժանվում է 5-ի: Ապացուցել, որ հավասարումն ամբողջ թվերով ունի անվերջ շատ լուծումներ (18-21).

18. : 19*. :

20. : 21. :

3 7 50 :x y+ = 11 15 118 :x y+ = ( )( )1 5 11:x y− − =

( )( )2 5 13:y x y− − = 4 7 33 :xy x y+ − = 2 26 13 100 :x xy y− + =21! 2! 3! ... ! :x y+ + + + =

x y ( );x y

6 11 19 : x y+ = 23 37 19 : x y− = 2 22 267 :x y+ =2 23 4 5 97 :x xy y− + = 2 2 2 4 95:x y x y+ − + = 2 57 1 6 :yx x −− + =

2 3 1:x y− = 2 1 2 :yx + =2 2 2x y z+ =

, ,x y z 2 2 2x y z+ =

x yx yx y, ,x y z

2 3 5x y− = 2 27 1x y− =23 10 23x y− = 2 2 4x y z+ =

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

60

Գտնել ամբողջ թվերի բոլոր եռյակները, որոնք բավարարում

են հավասարությանը (22-24). 22*.

23*. :

24*. :

25. Գտնել հավասարման բնական թվերով այն լուծումը, որի համար գումարն ամենափոքրն է:

26. Ապացուցել, որ հավասարումն ամբողջ թվերով ունի անվերջ շատ լուծումներ:

27. Խանութում վաճառվում են 3 և 5 լիտրանոց փակ տարաներով միաստե-սակ ներկեր: Գնորդին անհրաժեշտ է գնել 44 կգ ներկ: Վաճառողը կարո՞ղ է, արդյոք, բավարարել գնորդի պահանջը: Եթե այո, ապա քանի՞ ձևով և որքա՞ն յուրաքանչյուրից:

28. Արտադրամասում արտադրվող մեխերը դասավորվում են 16, 17 և 40 կգ տարողություններով արկղերում: Կարո՞ղ է, արդյոք, ապրանք բաց թողնո-ղը հաճախորդին տալ 100կգ մեխ՝ չբացելով արկղերը: Եթե այո, ապա ի-նչպե՞ս:

29. (Հին չինական խնդիր). Պահանջվում է 100 ստակով (դրամային միավոր) գնել թռչուն`աքլորներ, հավեր, ճտեր: Հայտնի է, որ աքլորն արժե ստակ, հավը` ստակ, իսկ ճուտը` մեկ ստակ: Յուրաքանչյուր թռչունից քանի՞ հատ կարելի է գնել, պայմանով, որ երեք տեսակից էլ պետք է լինեն:

30*. Շախմատային մրցությանը մասնակցեցին 9-րդ և 10-րդ դասարանցինե-

րը: Յուրաքանչյուր մասնակից մյուսներից յուրաքանչյուրի հետ հանդիպեց մեկ անգամ: Թեև տասներորդցիները 10 անգամ շատ էին իններորդցինե-րից, սակայն նրանք միասին հավաքեցին ընդամենը 4,5 անգամ շատ միա-վորներ, քան իններորդցիները միասին: Իններորդցի քանի՞ աշակերտ էր մասնակցում մրցույթին և նրանք միասին քանի՞ միավոր հավաքեցին:

Պատասխաններ 1. (12; 2), (5; 5): 2.(8; 2): 3.(2;16), (12;6): 4.(16;3), (9;8): 5.(8;1): 6.(1;3), (17;3), (6;4), (15;5), (18;4):

( ), , x y z

2 2 2 2 23 3 6 2 2 3:( ) 3x y z y z− + + + =2 2 25 3 2 30x y z yz+ + − =

( )( ) 9x y z xy yz zx xyz+ + + + = ( )0, 0, 0x y z≥ ≥ ≥117 79 17x y− =x y+

5 7 29x y+ =

100 54 4

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

61

7. 1, 3:x y x y= = = = 8. : 9. : 10.(7; 13), (7; -13), (-7; 13), (-7; -13), (11; 5), (11; -5), (-11; 5), (-11; -5): 11.(2; 5), (-2;-5): 12.(1; -8), (1; -12), (11; -2), (-9; -2), (7; 6), (7; -10), (-5; 6), (-5; -10), (9; 4), (9; -8), (-7; 4), (-7; -8): 13. (0; 5), (7;5): 14.(2; 1): 15.(0;0) (-1; 1), (1; 1): 22. (6;1;0) (6;-1; 0), (0;-1; 0), (0;1; 0): 23. (1;5;0) (1;-5;0), (-1;5; 0), (-1;-5; 0): 24. (0;0;0,), (n;0;0,), (0;n;0,), (0;0;n,), (n;n;n,), որտեղ n-ը ցանկացած բնական թիվ է: 25. : 27. Երեք ձևով: 28. Միակ ձևով՝ 4 արկղ 17 կգ-անոց և 2 արկղ 16 կգ-անոց: 29.15 աքլոր, 1 հավ և 84 ճուտ: 30. Մեկ աշակերտ, 10 միավոր:

Գրականություն

1. Н.Я. Виленкин, Л.П. Шибасов, Э.Ф. Шибасов. За страницами учебника математики. М., Просвещение, 1996.

2. Г.В. Дорофеев, Л.В. Кузнецова, Е.А. Седова. Алгебра и начала анализа. I часть, 10 класс. Москва, «Дрофа», 2005.

3. Կ.Գ. Առաքելյան, Ա.Վ. Թունյան: Մաթեմատիկա: Լրացուցիչ նյութեր հետաքրքրաշարժ և տրամաբանական խնդիրներով: «Լուսակն» հրատ., Երևան 2016:

4. Կ.Գ. Առաքելյան: Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու (7-11): «Էդիթ Պրինտ» հրատ., Երևան 2008:

УРАВНЕНИЯ НА МНОЖЕСТВЕ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ Нвард Тунян, Гаяне Машурян

Резюме

В работе рассматривается отдельные виды Диофантовых уравнений, которые можно изучать внеклассных занятиях по математике в школе. Даны краткие сведения по теории чисел, а также представлены решения некоторых типовых задач. Для читателей приведены большое количество типовые и нестандартные задачи, которые относятся к уравнениям, решаемые в целых числах. В конце даны их ответы.

11 5, 6 1x k y k= + = − − ( )k Z∈37 4, 23 3x k y k= − = − ( )k Z∈

15x = 22y =

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆ

62

EQUATIONS ON THE SET OF INTEGERS Nvard Tunyan, Gayane Mashuryan

Summary The paper deals with certain types of Diophantine equations that mozhno

to study extra-curricular activities in mathematics in school. Following data on teorii numbers. Is a typical and interesting tasks that relate to equations reshaemye in whole numbers, and are given answers.

Նվարդ Թունյան – Վանաձորի թ. 2 հիմնական դպրոց, ուսուցչուհի Հեռախոս՝ 055 54 08 28 Էլ. հասցե՝ tunyan.nvard@mail.ru Գայանե Մաշուրյան - Վանաձորի թ. 2 հիմնական դպրոց, ուսուցչուհի Հեռախոս՝ 055 57 39 93 Էլ. հասցե՝ mashuryangayanevladimiri@gmail.com

63

ՈՒՂՂԱՆԿՅՈՒՆ ԵՌԱՆԿՅԱՆ ԱՐՏԱԳԾՅԱԼ ԵՎ ՆԵՐԳԾՅԱԼ ՇՐՋԱՆԱԳԾԵՐԻ ՇԱՌԱՎԻՂՆԵՐԻ

ԿԱՊԻ ՄԱՍԻՆ

Դավիթ Այվազյան Երկրաչափության կարևորագույն պատկերներից մեկը ուղղանկյուն

եռանկյունն է, որի կողմերի ու անկյունների առնչությունները ունեն շատ բազմազան կիրառություններ: Այդ առնչություններից մեկը Պյութագորասի հանրահայտ թեորեմն է, որը կապ է հաստատում եռանկյան կողմերի միջև: Իսկ ի՞նչ առնչություններ կան՝ կապված նրա ներգծյալ և արտագծյալ շրջանագծերի շառավիղների հետ: 8-րդ դասանարում «Շրջանագիծ» թեման ուսումնասիրելիս երևի մենք դեռ հասուն չէինք ինքնուրույն հետազո-տություններ անելու: Սակայն 12-րդ դասարանում, երբ 2-րդ կիսամյակը ամ-բողջությամբ նվիրված էր դասընթացի կրկնությանը, առիթ ունեցանք անդրադառնալու նաև եռանկյան և շրջանագծի հատկությունների խորքային ուսումնասիրությանը: Այդ ժամանակ էլ ինձ հաջողվեց նկատել և բացահայ-տել մինչ այն մեզ անծանոթ մի քանի փաստեր և օրինաչափություններ: Ուզում եմ ներկայացնել դրանցից մեկ-երկուսը. 1. Հայտնի է, որ ուղղանկյուն եռանկյան արտագծյալ և ներգծյալ շրջա-

նագծերի շառավիղները անմիջականորեն որոշվում են եռանկյան կող-մերի միջոցով: Այսպես՝ a,b էջեր և c ներքնաձիգ ունեցող եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի R շառավիղը և ներգծյալ շրջանագծի r

շառավիղը որոշվում են (1)2

cR = և (2)2

a b cr + −= բանաձևերով:

Դրանցից հետևում է, որ ,2

a bR r ++ = այսինքն հանգում ենք հետևյալ

հատկությանը:

ԹՂԹԱԿՑՈՒՄ Է ՀԱՅ ԶԻՆՎՈՐԸ

ԹՂԹԱԿՑՈՒՄ Է ՀԱՅ ԶԻՆՎՈՐԸ

64

Հատկություն 1. Ուղղանկյուն եռանկյան արտագծյալ և ներգծյալ շրջա-նագծերի շառավիղների գումարը հավասար է էջերի կիսագումարին: Հատկություն 1-ից որպես հետևանք, մասնավորապես, բխում է, որ հավա-սարասրուն ուղղանկյան եռանկյան ներգծյալ և արտագծյալ շրջանա-գծերի շառավիղների գումարը հավասար է նրա էջին: 2. Եթե վերոհիշյալ նշանակումներով ուղղանկյուն եռանկյան միջին գծերը նշանակենք համապատասխանաբար , , ,a b cm m m ապա միջին գծի

հատկությունից ունենք, որ , , :2 2 2a b ca b cm m m= = = Այժմ գտնենք միջին

գծերի գումարը՝ օգտվելով (1) և (2) բանաձևերից և կատարելով որոշ ձևափոխություններ, կստանանք՝

22 :

2 2a b ca b c a b c cm m m r R+ + + − ++ + = = = +

Ստացված արդյունքը կարող ենք ձևակերպել որպես հատկություն. Հատկություն 2. ՈՒղղանկյուն եռանկյան միջին գծերի գումարը հավասար է նրա արտագծյալ շրջանագծի տրամագծի և ներգծյալ շրջանագծի շա-ռավիղի գումարին: Հաշվի առնելով, որ եռանկյան միջին գծերի գումարը հավասար է եռանկ-յան կիսապարագծին, կարող ենք հատկություն 2-ը ձևակերպել նաև այսպես՝ Ուղղանկյուն եռանկյան արտագծյալ շրջանագծի տրամագծի և ներգծյալ շրւանագծի շառավիղի գումարը հավասար է նրա կիսապարագծին: Այս հատկությունները ուշագրավ են, թեև դրանց արտածումները, ինչ-պես տեսանք, առանձնապես դժվար չեն: Սակայն ինձ հետաքրքրում է, թե արդյո՞ք այդ պնդումների հակադարձ պնդումները ևս տեղի ունեն: Այսինքն՝ հատկություններում արտահայտված փաստերի առկայությունը բավարա՞ր է արդյոք եզրակացնելու համար, որ տվյալ եռանկյունը ուղղանկյուն եռանկյուն է: Ակնկալում եմ իմ այդ հարցի պատասխանը կարդալ ամսագրի հերթական համարներից մեկում: Հուսով եմ, որ ամսագիրը կշարունակվի տեղակայվել ինտերնետ կայքում, որին սիրով հետևում ենք նաև մենք՝ զինվորներս:

Դավիթ Շիրակի Այվազյան – Հայկական բանակի զինվոր, Արմավիրի մարզի Երվանդաշատ գյուղի միջնակարգ դպրոցի շրջանավարտ