ԹԻՎ 4 (102), 2015թ. «МАТЕМАТИКА В ШКОЛЕ» журнал на армянском языке

«MATHEMATICS IN SCHOOLS» Journal in Armenian

² ð Ä º ø ² Ú Æ Ü Ð ² Ø ² Î ² ð ¶ Համլետ Միքայելյան ԵՐԵՎԱԿԱՅՈՒԹՅԱՆ ԳԵՂԵՑԿՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ .............................. 3

... Ø º Â à ¸ ² Î ² Ü

Լիլիթ Առաքելյան ՈՉ ՍՏԱՆԴԱՐՏ ԽՆԴԻՐՆԵՐԸ ԸՆԴՀԱՆՐԱՑՆՈՂ

ԿՐԿՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ .......................... 19 Անահիտ Մայիլյան ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՊԱՏՄՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՈԵՒՄԸ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ.................................... 27

Ø º ð ö à ð Ò À Աղունիկ Սահակյան ՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԻ ԴԵՐԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ ..................... 34 Վ.Շահնազարյան «ԱԾԱՆՑՅԱԼԻ ԿԻՐԱՌՈՒՄԸ» ԹԵՄԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԻՄ ՓՈՐՁԻՑ......……………………….................... 44 Ø Æ æ ² è ² ð Î ² Ú ² Î ² Ü Ա.Սահակյան, Լ.Սահակյան ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅԱՆ ԿԻՐԱՌՄԱՄԲ ........................ 51 ² ð î ² ¸ ² ê ² ð ² Ü ² Î ² Ü Վաղարշակ Վարդանյան ԱՆԹԻՎ ԲԱԶՄՈՒԹՅԱՆ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ (ԱԲԼ) ՈՒՆԵՑՈՂ ՏԵՔՍՏԱՅԻՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ...........………………………….. 61

ÐÐ

ÏñÃ

áõÃ

Û³Ý

¨ ·

Çïáõ

ÃÛ³

Ý Ý³

˳

ñ³ñá

õÃÛá

õÝ

Î

ñÃáõ

ÃÛ³

Ý ³

½·

³ÛÇ

Ý ÇÝ

ëïÇï

áõï

¶Çï

³Ù»

Ãá¹

³Ï³

Ý ³

Ùë³

·Çñ

` ¸åñáóáõÙ

Ø ³Ã»Ù³ïÇϳÝ

Ê Ù μ ³ · ñ ³ Ï ³ Ý Ë á ñ Ñ á õ ñ ¹

гÙÉ»ï ØÇù³Û»ÉÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·Çñ

ê³ñÇμ»Ï гÏáμÛ³Ý ·É˳íáñ ËÙμ³·ñÇ ï»Õ³Ï³É« å³ï³ë˳ݳïáõ ù³ñïáõÕ³ñ

Ê á ñ Ñ ñ ¹ Ç ³ Ý ¹ ³ Ù Ý » ñ

²μñ³Ñ³ÙÛ³Ý ²ñ³Ù ²Ûí³½Û³Ý ¿¹í³ñ¹ ²é³ù»ÉÛ³Ý ÎáñÛáõÝ ´³Õ¹³ë³ñÛ³Ý ¶¨áñ· ¼³ù³ñÛ³Ý ì³ÝÇÏ Ð³ñáõÃÛáõÝÛ³Ý Ð³ÛÏáõÝÇ ÔáõϳëÛ³Ý Üáñ³Ûñ ÔáõßãÛ³Ý ²É»ùë³Ý¹ñ ØÇù³Û»ÉÛ³Ý úÝÇÏ ØáíëÇëÛ³Ý Úáõñ³ ܳí³ë³ñ¹Û³Ý гÛϳ½ èá¹ÇáÝáí ØÇ˳ÇÉ ê³ý³ñÛ³Ý ¶ñÇ·áñ 껹ñ³ÏÛ³Ý Ü³ÇñÇ

Ü Ï ³ ñ Ç ã ì© Ð© ØÇù³Û»ÉÛ³Ý

Ð ³ Ù ³ Ï ³ ñ · ã ³ Û Ç Ý Ó ¨ ³ í á ñ á õ Ù Á ÜáõÝ» ²ÙÇñÛ³ÝÇ îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67« ë»ÝÛ³Ï 401375005 ºñ¨³Ý 5 Tigran Metsi 67« Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

§ Ø ³ Ã » Ù ³ ï Ç Ï ³ Ý ¹ å ñ á ó á õ Ù ¦

· Ç ï ³ Ù » Ã á ¹ ³ Ï ³ Ý ³ Ù ë ³ · Ç ñ

№4, 2015Ã.

Ðñ³ï³ñ³ÏíáõÙ ¿ 1998Ã-Çó Lñ³ïí³Ï³Ý ·áñÍáõÝ»áõÃÛáõÝ Çñ³Ï³Ý³óÝáÕ`

§ Î ñ Ã á õ Ã Û ³ Ý ³ ½ · ³ Û Ç Ý Ç Ý ë ï Ç ï á õ ï ¦ ö´À

гëó»Ý` ºñ¨³Ý, îÇ·ñ³Ý Ø»ÍÇ 67,

íϳ۳ϳÝ` N 01 ² 044424, ïñí³Í 16.02.1999Ã.

²Ùë³·ñÇ ÃáÕ³ñÏÙ³Ý å³ï³ë˳ݳïáõ` · É˳íáñ ËÙμ³·Çñ` гÙÉ»ï ØÇù³Û»É Û³Ý Ð³ÝÓÝí³Í ¿ ïå³·ñáõÃÛ³Ý 30.10.2015Ã: îå³ù³Ý³ÏÁ` 2000, ͳí³ÉÁ` 4 Ù³ÙáõÉ: îå³·ñáõà ÛáõÝÁ` ûýë»Ã: â³÷ëÁ` 70×100 1/16: ¸åñáóÝ»ñÇÝ ³Ýí׳ñ ïñíáõÙ ¿ Ù»Ï ûñÇݳÏ, áñÁ å»ïù ¿ å³ñï³¹Çñ ·ñ³ÝóíÇ ¹åñáó³Ï³Ý ·ñ³¹³ñ³ÝáõÙ :

ì³×³éùÇ »Ýóϳ ã¿:

Phone: (010) 55 99 38 Fax: (010) 55 92 98 E-mail: aniedu.am Internet: http://www.aniedu.am

3

ԵՐԵՎԱԿԱՅՈՒԹՅԱՆ ԳԵՂԵՑԿՈՒԹՅՈՒՆԸ ԵՎ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ԿՐԹՈՒԹՅՈՒՆԸ

Հ. Ս. Միքայելյան

Բանալի բառեր - երևակայություն, հոգեկան գործըն-թաց, գեղեցկություն, մաթեմատիկական կրթություն, թեորեմ, մաթեմատիկական հասկացություն

Երջանկությունը ոչ թե բանականության, այլ երևակա-յության իդեալն է:

Իմանուիլ Կանտ

Երևակայությունն է կառավարում աշխարհը: Նապոլեոն

Արվեստի մեծագույն ստեղծագործությունները հանճա-րեղ մտքի տանջալից հաղթանակներն են երևակաու-թյան նկատմամբ:

Բերնարդ Շոու

Գիտական կամ մաթեմատիկական գեղեցիկի օբյեկտիվ և սուբյեկ-տիվ հատկանիշները (տես [3, 4]) կարևոր դեր ունեն ուսուցման գործըն-թացը հետաքրքիր դարձնելու, ուսուցման արդյունավետությունը բարձ-րացնելու գործում: Ուսուցման գործընթացում գեղագիտական տարրի

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

4

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

ներառումը մեծապես նպաստում է նաև սովորողների հոգեկան երևույթ-ների ակտիվացմանը, դրանց ձևավորմանն ու զարգացմանը: [1]-ում մենք անդրադարձել ենք սովորողների գեղագիտական պահանջմունքների, իսկ [2]-ում՝ գեղագիտական հույզերի ձևավորման և զարգացման գործում մաթեմատիկական գեղեցիկի դերին՝ մաթեմատիկայի ուսուցման գործըն-թացում: Սույն աշխատանքում խնդիրը դիտարկում ենք երևակայության գործընթացի համար:

1. Երևակայություն, նրա դերը մաթեմատիկայի

ուսուցման գործընթացում

Երևակայությունը (հունարեն՝ ֆանտազիա - φαντασία, φαντάζομαι - երևակայում եմ) հոգեկան գործունեություն է, մտային այնպիսի իրա-վիճակների, պատկերացումների ստեղծում, որոնք նախկինում իրա-կանում չեն եղել, չեն ընկալվել մարդու կողմից: Կան նաև երևակայության այլ բնորոշումներ: Այսպես, երևակայությունը նախկինում նմանը չունեցող պատկերներ ստեղծելու մարդկային գիտակցության ունակությունն է [5]: Երևակայությունը իրականության մեջ կամ մարդու պատկերացումներում գոյություն ունեցող առարկայի պատկերի ներկայացման/պատկերացման ունակություն է՝ այդ առարկայի բացակայության պայմաններում [6]: Երևակայությունը մարդու խորասուզվելն է իր ներաշխարհ և այնտեղ պատկերների, նկարների և պատկերացումների ստեղծումը [7]:

Եթե ընկալումը ստեղծում է մեր զգայարանների վրա անմիջականո-րեն ազդող առարկաների և երևույթների պատկերները, ապա երևակայու-թյունը կառուցում է բացակա առարկաների և երևույթների պատկերներ՝ արդեն առկա պատկերների և պատկերացումների հիման վրա: Երևակա-յության միջոցով մարդը կարող է մտովի տեղափոխվել այլ աշխարհներ ու ապագա, վերադառնալ իր անցյալը:

Մեծ է երևակայության դերը մարդու կյանքում, նրա ցանկացած գոր-ծունեություն հաջողությամբ իրականացնելու համար անհրաժեշտ է երևակայության առկայությունը: Առանց երևակայության դժվար է պատկերացնել շատ թե քիչ բարդ հոգեկան որևէ գործընթաց: Կամային

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

5

երևույթները, մտածողությունը հաջողությամբ իրականացվում են միայն երևակայության առկայության դեպքում:

Մեծ է նաև երևակայության դերը մաթեմատիկական գործունեության մեջ, մասնավորապես՝ մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում: Մա-թեմատիկական օբյեկտները՝ որպես բնության մեջ գոյություն չունեցող առարկաներ, ամբողջությամբ մարդու երևակայության արդյունք են: Հետևաբար, երևակայությունը արմատական նշանակություն ունի մաթե-մատիկայի, նրա ստեղծման համար: Յուրաքանչյուր մաթեմատիկական հայտնագործություն մաթեմատիկական օբյեկտների հատկությունների ու կապերի հայտնաբերում է, ինչին նախորդում են մաթեմատիկոսի երևա-կայության մեջ նմանատիպ բազմապիսի կապեր ու հատկություններ, որոնք անհրաժեշտ է լինում «գլխի ընկնել», այսինքն՝ առաջադրել որպես վարկածներ, մեծամասամբ՝ հերքել և, իվերջո, դրանցից ընտրել նրանք, որոնք հնարավոր է լինում հաստատել, որոնք դառնում են ճշմարտու-թյուններ: Այդ ճշմարսությունները, նախքան հայտնագործումը, նույնպես ունեն երևակայական բնույթ, որովհետև դրանք դեռևս գոյություն չեն ունեցել և առաջին անգամ հայտնվում են մաթեմատիկոսի երևակա-յության մեջ:

Հասկանալի է, որ մաթեմատիկական օրինաչափությունների հայտնա-գործման այս ընթացքը տեղի է ունենում երևակայության և մտածողու-թյան սերտ համագործակցությամբ: Եվ ինտելեկտուալ որոնման այդ ըն-թացքի մեջ հոգեկան այս երկու երևույթները խաղում են միանգամայն տարբեր դերեր: Բուն որոնման ընթացքը կապված է երևակայության հետ. այն առաջադրում է տարբերակը կամ վարկածը, իսկ մտածողությունը ստուգում է այդ վարկածի ճշմարտացիությունը: Գտնելու, հայտնագոր-ծելու վերջնական ակտը, բնականաբար, իրականանում է հոգեկան այս երկու երևույթների համատեղ ու միասնական գործունեության արդյուն-քում: Այսպիսով, ինտելեկտուալ որոնման գեղագիտական էությունը կապ-ված է երևակայության հետ, իսկ գտնելու և հայտնագործելու գեղա-գիտական սուբյեկտիվ հատկանիշները դրսևորվում են երևակայության և մտածողության համատեղ ու միասնական գործունեության արդյունքում:

6

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

Հարկ ենք համարում նշել, որ միայն մտածողության դրսևորմամբ իրա-կանացվող, ասենք, թեորեմի և նրա ապացուցման կամ խնդրի լուծման ուսուցումը դառնում է մեխանիկական սերտում և ուսուցումը զրկում է ինտելեկտուալ որոնման, գտնելու, հայտնաբերելու գեղագիտական հատ-կանիշների դրսևորման հնարավորությունից: Եվ որպեսզի ուսուցման գործընթացը ուղեկցվի նշված գեղագիտական հատկանիշների դրսևոր-մամբ, սովորողին ձգի, ուրախություն պարգևի, անհրաժեշտ է, որ սովո-րողը ինքնուրույն գտնի ոչ միայն խնդրի լուծումը, այլև հնարավորության դեպքում՝ նաև թեորեմի ապացուցումը: Փորձառու ուսուցիչը կարող է նաև մաթեմատիկայի ամենակարևոր օբյեկտների՝ հասկացությունների ու-սուցման գործընթացը ուղեկցել գեղագիտական նշված հատկանիշների դրսևորմամբ: Բոլոր այդ դեպքերում գեղագիտական հատկանիշի երևան գալը պայմանավորված է երևակայության դրսևորմամբ:

2. Երևակայության տեսակները

Երևակայությունը սերտորեն առնչվում է կամքի հետ, և, ըստ այդմ, կարող է լինել կամածին, ոչ կամածին և հետկամածին: Ոչ կամածին երևա-կայությունը դրսևորվում է մարդու կամքից անկախ, առանց կամային ճիգերի գործադրման: Երբ երեխային որևէ հեքիաթ ենք պատմում, ապա նա հեքիաթում նկարագրվող իրադարձությունները պատկերացնում է իր երևակայությամբ, և նման պատկերացումների համար նա հիմնականում կամային մեծ ճիգեր չի գործադրում: Այսինքն՝ երևակայությունը ոչ կամածին է: Իսկ, եթե աշակերտը կարդում է որևէ վեպ, ապա հերոսների կերպարները, դրանց փոխհարաբերությունները պատկերացնելու համար նրան անհրաժեշտ են կամային ճիգեր: Ընդ որում, գործողությունների զարգացմանը զուգընթաց աշխատում է նաև երևակայությունը և գործող հերոսների կերպարներին ու փոխհարաբերություններին ավելացնում է նորանոր երանգներ: Այստեղ դրսևորվող երևակայությունը արդեն կամածին է:

Երևակայության կամածին և ոչ կամածին տեսակները սերտորեն կապ-ված են իրար հետ. եթե առաջին անգամ մեր երևակայության մեջ հայտնված պատկերը ստացվում է կամային որոշակի գործունեության

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

7

արդյունքում, ապա հետագայում այն ավելի հեշտությամբ է հանդես գա-լիս, այսինքն՝ դառնում է ոչ կամածին: Նման երևակայությունը անվան-վում է նաև հետկամածին: Այսպես, մաթեմատիկական որևէ հասկացու-թյան, օրինակ՝ շեղանկյան, ուսուցման սկզբնական փուլում աշակերտը կդժվարանա համապատասխան օրինակը պատկերացնել՝ ելնելով նրա սահմանումից, և դրա համար նրան անհրաժեշտ կլինի կամքի լարում, այսինքն՝ այս դեպքում երևակայությունը կամածին է: Սակայն մի քանի անգամ շեղանկյունը գծագրելուց հետո նրան այլևս անհրաժեշտ չի լինում լարել կամքը որևէ շեղանկյուն պատկերացնելու համար: Այսինքն՝ շե-ղանկյունը պատկերացնելու գործընթացի նախնական փուլում երևակա-յությունը կամածին էր, իսկ հետագայում դարձավ ոչ կամածին:

Գիտական գեղեցիկի ինտելեկտուալ որոնման, գտնելու, հայտնագոր-ծելու, ոչ ակնհայտ ճշմարտության իմացության, առարկայի էությունը հասկանալու համար գործադրվող ջանքերը, նպատակաուղղված, բարդ ու դժվարին խոչընդոտի հաղթահարման սուբյեկտիվ հատկանիշների դրսևորման գործում պարտադիր է կամածին երևակայության առկայու-թյունը: Իսկ անկանխատեսելիության և անսպասելիության սուբյեկտիվ հատկանիշների դրսևորման հարցում երևակայությունը կարծեք շատ քիչ դեր է խաղում. այդ հատկանիշները երևան են գալիս ոչ մեր երևակա-յության շնորհիվ:

Գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատկանիշների բացահայտումը նույն-պես պահանջում է երևակայության մասնակցություն: Կարգի, համաչա-փության, ներդաշնակության, ռիթմի և այլ հատկանիշների առկայությունը անմիջապես չի բացահայտվում: Սովորաբար դրանք քողարկված են լինում օբյեկտի առանձին մասերի հետևում, ունենում են խորքային դրսևորումներ, երևում են միայն հատվածաբար և այլն, և դրանց բացա-հայտումը պահանջում է երևակայության ակտիվ միջամտություն՝ մասերը լրացնելու, քողարկվածը ենթադրաբար երևան հանելու և նմանատիպ այլ գործողություններ կատարելու համար:

Մաթեմատիկական գործունեության և ուսուցման գործընթացում հիմնականում դրսևորվում է կամածին երևակայությունը: Արդեն մաթե-

8

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

մատիկական յուրաքանչյուր հասկացության հետ ծանոթացումը՝ դրա վե-րացական բնույթի պատճառով, պահանջում է կամային որոշակի ճիգով ուղեկցվող երևակայական մոտեցում: Նույնը վերաբերում է նաև թեորեմ-ներին, դրանց ապացուցումներին, խնդիրներին և, մանավանդ, դրանց լուծումներին: Երկրաչափական խնդիրների լուծման, ինչպես նաև թեորե-մների ապացուցման համար, սովորաբար, երևակայությանը օգնության են գալիս գծագրերը: Այդ գծագրերի կառուցումը նույնպես պահանջում է երևակայության որոշ աշխատանք: Սակայն պատրաստի գծագրերի ա-ռաջարկումը պահանջվող երևակայության կամածին տեսակը փոխարի-նում է ոչ կամածին տեսակով, ինչը բնականաբար աշակերտից պահան-ջում է ուժերի ոչ մեծ լարում: Որոշ դեպքերում տարածաչափական ա-ռանձին, հատկապես` համակցված կամ հատույթներին վերաբերող բարդ խնդիրների լուծման համար անհրաժեշտ պատկերացումները ի զորու չեն լինում իրականացնել անգամ մաթեմատիկայից ուժեղ աշակերտների երևակայությունը, և ուսուցիչը ստիպված է լինում առաջարկել պահանջ-վող գծագիր-պատկերացումը:

Ըստ հոգեկան ակտիվության՝ երևակայությունը կարող է լինել ակ-տիվ՝ վերարտադրական, ստեղծագործական, երազանք կամ պասիվ՝ ա-նուրջներ, ցնորքներ, երազներ:

Վերարտադրական երևակայությունը դրսևորվում է այն դեպքում, երբ առարկան կամ երևույթը, որի հետ մարդը նախկինում երբեք չի առնչ-վել, պատկերացնում է նրա նկարագրությունից ելնելով: Այդպես է պատ-կերացնում աշակերտը հեռավոր անցյալի իրադարձությունները՝ ելնելով պատմության իր դասագրքի նկարագրություններից, գեղարվեստական գրքի հերոսներին, հեռավոր երկրները և այլն: Մաթեմատիկայի ուսուց-ման գործընթացը մեծապես պայմանավորված է սովորողի վերար-տադրական երևակայությամբ, հենվում է երևակայության այդ տեսակի վրա: Նոր ուսումնասիրվող երկրաչափական պատկերներն ու մարմին-ները անհնար է ընկալել առանց դրանց պատկերացման, իսկ պատկերա-ցումը կատարվում է դրանց նկարագրության միջոցով: Երկրաչափական խնդիրների լուծումներն արդեն հաճախ պահանջում են նոր պատկերների

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

9

կառուցումներ, ինչի համար օգտվում են խնդիրներում տրված տվյալնե-րից: Նույն կերպ, հանրակրթական դպրոցի հանրահաշվի տեքստային խնդիրների մոդելավորումները՝ դրանց տվյալների հիման վրա համապա-տասխան հանրահաշվական մոդելների կառուցումը ոչ այլ ինչ է, եթե ոչ այդ տվյալների միջոցով խնդիրների կիրառական իրադրությունների վերարտադրական պատկերների կառուցում:

Առանձնացվում և կարևորվում է նաև երևակայության ստեղծագոր-ծական տեսակը, երբ պատկերները առաջանում կամ կառուցվում են ստեղծագործական գործունեության ընթացքում: Այստեղ հիմնական ուշադրությունը բևեռվում է արվեստի, գիտության և տեխնիկայի բնա-գավառներում կատարվող ստեղծագործությունների վրա: Սակայն, ինչ-պես նշում է Ա. Էյնշտեյնը, «համով սուպը ավելի մեծ ստեղծագործություն է, քան միջակ նկարը:» Հետևաբար, ինչպես սուպ պատրաստելը, այնպես էլ մարդկային կենսագործունեության ցանկացած այլ բնագավառում «համով» արդյունքը լավ ստեղծագործություն է, ինչին կարելի է հասնել միայն ստեղծագործական երևակայության շնորհիվ: Դասը, ընդհանրա-պես, և մաթեմատիկայի դասը, մասնավորապես, նույնպես ստեղծագոր-ծական գործընթաց է ինչպես ուսուցչի, այնպես էլ աշակերտի համար: Ընդ որում, ուսուցչի կողմից ստեղծագործական մոտեցումը ներառում է նաև իր սաների համար ստեղծագործելու պայմանների ստեղծումը: Ավելաց-նենք, որ այստեղ ստեղծագործությունը կարող է ներառել դասի ողջ ըն-թացքը՝ նրա պլանը, ներմուծվող հիմնական հասկացությունը, դրա օրի-նակների և հատկությունների դիտարկումը, կապերը այլ հասկացություն-ների հետ, դրանց ապացուցումները և կիրառությունները: Ինչպե՞ս կներ-մուծվի հիմնական այդ հասկացությունը, աշակերտը կզգա՞ դրա ներմուծ-ման անհրաժեշտությունը, ի՞նքը կհանգի համապատասխան գաղա-փարին, ի՞նքը կձևակերպի այն, թե՞ մեխանիկորեն կսերտի արդեն պատրաստի, երևակայության համար տեղ չթողնող պատկերացում-կա-ղապարը: Սրանք ուսուցչի կողմից ստեղծագործական կամ կաղապար-ված մոտեցումներ են, որոնց արդյունքներում ձևավորված մթնոլորտը մի դեպքում ստեղծագործական է և աշակերտի համար հաճելի զբաղմունք, մյուս դեպքում՝ պարտադրված, ծանր աշխատանք: Նույնը վերաբերում է նաև դասի մնացած փուլերին:

10

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

3. Երևակայության հատկությունները

Երևակայությունը կախված է մարդու պատկերացնելու ունակությունից, ինչը առանձնանում է պարզությամբ, հստակությամբ, կայունությամբ և ցայտունությամբ: Ինչքան պարզ է երևակայվող օբյեկտի պատկերացումը մեր երևակայության մեջ, այնքան լավ է այն ծառայում իր նպատակին: Մաթեմատիկայի պարագայում, օրինակ, երկրաչափական գծագրի պատ-կերացման պարզությունը մեծապես նպաստում է խնդրի լուծման իրա-կանացմանը, իսկ բարդ ու խրթին գծագրերը դժվարացնում կամ անհնար են դարձնում լուծումը: Պետք է ավելացնել, որ պարզությունը՝ որպես գի-տական գեղեցիկի հատկանիշ, ունի գեղագիտական գրավչություն և հաճելի է դարձնում երևակայության գործընթացը, միտքը մղում է դեպի այն:

Հստակությունը նույնպես երևակայության կարևոր հատկություն է. կիսատ, թերի, անկատար, անհստակ պատկերացումները դեռևս բավա-րար չեն նպատակների վերջնական իրականացման համար: Գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատկանիշները դիտարկելիս մենք քննարկեցինք պարզության և հստակության հատկանիշների փոխադարձ կապը ճանա-չողության և գեղեցիկի ստեղծման գործընթացում, դրանց փոխհակա-սությունը և փոխլրացումը: Այդ կապը պահպանվում է և կարևորվում նաև երևակայական օբյեկտների կառուցման գործընթացում: Մասնավորա-պես, մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում հասկացությունների ներմուծման, թեորեմների ձևակերպման և ապացուցումների, խնդիրների առաջադրման և լուծման ընթացքում առանց երևակայության հստակ աշ-խատանքի անհնար է արձանագրել լուրջ հաջողություններ:

Երևակայության կարևոր հատկություն է նրա կայունությունը: Հաճախ առաջադրվող խնդրի լուծման համար մեր երևակայության մեջ առաջա-ցած պատկերացումը անհրաժեշտ է լինում այնտեղ պահել համեմատա-բար երկար, տևական ժամանակով, ինչը պահանջում է մտքի լարում, իսկ վերջինս հնարավոր է լինում իրականացնել կամային դրական որակների առկայության դեպքում: Այդ պատճառով մտքի այս կարևոր հատկանիշը կապված է նաև կամային որակների հետ: Ասվածը առանձնապես կարևոր է մաթեմատիկական գործունեության ընթացքում, որտեղ առաջադրված

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

11

խնդիրները հաճախ դժվարությամբ են լուծվում և պահանջում են մտքի, ուրեմն՝ նաև երևակայության տևական աշխատանք: Հարկ է նկատել, որ նման աշխատանքը դյուրին է դառնում այն բանի շնորհիվ, որ կայու-նությունը հանդիսանում է գիտական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատկանիշ:

Երևակայության ևս մեկ հատկանիշ է նրա ցայտունությունը: Ինչքան ցայտուն են մեր պատկերացումները երևակայության առարկայի մասին, այնքան դյուրին է այդ առարկայի նկատմամբ նախատեսվող մեր պլանների, գործողությունների իրականացումը: Մեկ անգամ ևս նշենք, որ ինչպես ընկալվող, այնպես էլ երևակայական առարկայի ցայտուն պատ-կերումը և պահպանումը մեր հիշողության մեջ պայմանավորված է ընկալ-ման կամ երևակայության պահին նրա նկատմամբ ցուցաբերած հե-տաքրքրությունից, ավելին՝ ցայտունությունը ուղիղ համեմատական է ցուցաբերած հետաքրքրությանը. ինչքան մեծ է հետաքրքրությունը, այնքան ցայտուն, գունագեղ, գեղեցիկ է երևում առարկան:

4. Երևակայության զարգացումը

Մարդու երևակայությունը զարգանում է նրա տարիքի հետ համըն-թաց: Սկզբնական շրջանում, երբ փոքր է երեխայի իմացությունը շրջակա աշխարհի մասին, մեծ չէ երևակայվող առարկաների համապատասխա-նությունը իրականությանը. երեխան պատրաստ է մի քանի գծերի հա-մակցությունը պատկերացնել որպես տուն, ավտոմեքենա և այլն: Տարիքի մեծացման հետ միասին երեխայի երևակայական պատկերացումները սկսում են ավելի ու ավելի շատ համապատասխանել իրականությանը: Եթե սկզբնական շրջանում գերիշխում են երևակայության պարզության և ցայտունության հատկանիշները, ապա հետագայում, աստիճանաբար ավելի են կարևորվում հստակությունը և կայունությունը:

Ասվածը նկատի է առնվում մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթա-ցում: Այն հատկապես կիրառվում է հասկացությունների ուսուցման գործընթացում: Թվի գաղափարը և թվերի հետ գործողությունները, օրի-նակ, չափազանց դժվար է պատկերացնել առաջին դասարանցու համար: Այդ պատճառով նման գործընթացները ուղեկցվում են զանազան առար-կաների նկարների պատկերումներով, ինչը հեշտացնում է, պարզեցնում

12

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

երևակայության գործընթացը: Եվ միայն նման բազմաթիվ պատկերում-ների արդյունքում է երեխայի մոտ ձևավորվում մեկի, երկուսի, երեքի և, ընդհանրապես, բնական թվի գաղափարը:

Կարևոր է նկատել, որ երևակայության զարգացումը նշանակում է դրա հատկանիշների զարգացում, իսկ վերջիններս անմիջականորեն կապ-ված են հստակության, պարզության և կայունության գեղագիտական հատկանիշների հետ: Այսինքն՝ երևակայության զարգացումը նշանակում է նաև երևակայությամբ պատկերվող օբյեկտի գեղագիտական գրավ-չության մեծացում, ինչը նպաստում է ուսուցման գործընթացի արդյունա-վետոււթյան բարձրացմանը:

Հասկանալի է, որ այս և այլ դեպքերում գոյություն ունեն ընդհանուր մոտեցումներ սովորողի երևակայության զարգացման համար: Նման մոտեցումներից նշենք կարևորները (տես [8]):

• Ամբողջի պատկերից նրա տարրի կամ հատկության առանձնացում և դրա մտային, երևակայական պատկերում:

• Առանձին անդամներից կամ դրանց հատկությունների միավորու-մով, երևակայության մեջ այնպիսի նոր պատկերի կառուցում, ինչը նախապես չի եղել կամ էլ հանդես է գալիս նորովի:

• Օբյեկտի էական հատկանիշների միջոցով այնպիսի նոր առարկայի երևակայական պատկերի կառուցումը, որն օժտված է նմանատիպ հատկություններով:

• Մի քանի պատկերների միախառնման միջոցով նոր, ամբողջական պատկերի ստեղծում:

• Իրար նման մի քանի օբյեկտների ընդհանուր գծերի ընդհանրաց-մամբ նոր պատկերի կառուցում:

Կան նաև կոնկրետ հնարքներ, որոնք օգնում են երևակայության զարգացմանը: Նշենք դրանցից մի քանիսը (տես [8]):

ա. Երևակայական պատկերը սովորաբար կառուցվում է մեր հիշողու-թյան մեջ եղած պատկերների զանազան համակցություններից: Այդ պատճառով ինչքան մեծ է նման պատկերների քանակությունը, այնքան

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

13

ավելի դյուրին է երևակայական պատկերի, պատկերացման կամ մտա-պատկերի կառուցումը: Ընդ որում, երևակայական պատկերի կառուցման գործընթացում երևակայության հետ, հիշողության հետ միասին, համա-գործակցում են նաև մտածողությունը, ուշադրությունը, կամքը և հոգեկան այլ երևույթներ: Ասվածը ցայտուն է երևում մաթեմատիկայի և նրա ուսուցման գործընթացում: Այստեղ, որպեսզի հնարավոր կամ ավելի դյուրին լինի երևակայական պատկերների կառուցումը, անհրաժեշտ է նյութի վերաբերյալ գիտելիքների որոշակի պաշար, համապատասխան օրինակների իրականացման փորձ:

Օրինակ, դիցուք մենք ուզում ենք պատկերացնել, պատկերել կամ կառուցել եռանկյուն բուրգի այն հատույթը, որն անց-նում է նրա հիմքի կողմերից մեկով և բարձրության միջ-նակետով: Դրա համար մենք պետք է նախ մեր հիշողության մեջ ունենանք եռանկյուն բուրգի հստակ պատկերը, որի մեջ լրացու-

ցիչ տարված է նաև բարձրությունը (տես գծագիրը): Այդ բարձրության վրա մեր երևակայությունը հեշտությամբ է առանձնացնում S միջնակետը, որովհետև հատույթը անցնելու է այդ կետով: Իսկ հետո՞: Մենք գիտենք, որ հատույթը անցնում է նաև բուրգի հիմքի AB կողմով: Մեր հիշողության մեջ կա այն գիտելիքը, որ AB ուղիղով և S կետով կարելի է տանել միակ հարթություն և դա հենց տրված հատույթն է, բայց ինչպե՞ս կառուցենք այդ հատույթը: Պահանջվող հատույթը կառուցելու համար պետք է գտնել հատող հարթության հատումը այն նիստերի հետ, որոնք չեն անցնում AB ուղիղով: (Այս եզրակացությունը մտածողության գործունեության արդ-յունք է): Բայց չի երևում նշված հարթությունների հատումը ստանալու որևէ ճանապարհ: Այստեղ նորից մեզ օգնում են մեր հիշողությունը և մտածողությունը. երկու հարթությունների հատումը ուղիղ գիծ է, և մենք նկատում ենք, որ նշված նիստերից յուրաքանչյուրի հետ հատող հար-թությունն ունի մեկ ընդհանուր կետ՝ A-ն և B-ն: Ուրեմն, մնում է գտնել ևս

14

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

մեկական ընդհանուր կետ: Այստեղ արդեն աշխատում է մեր երևակա-յությունը: Որտե՞ղ կարելի կլինի գտնել նման կետ: Նիստերի երևա-կայական զննումը և մտածողության ոչ մեծ ճիգը մեզ թույլ է տալիս եզրակացնել, որ որոնելի կետը կարող է լինել միայն a ուղղի վրա: Այստեղ մեր երևակայությունը մեզ թույլ է տալիս դիտարկել այդ ուղղի երևա-կայական M կետը, որով անցնելու է հատող հարթությունը: Նորից դիմենք երևակայությանը և կառուցենք M-ով և S-ով անցնեղ ուղիղը, որը կհատի AB հատվածը ինչ-որ D կետում: Իսկ հնարավոր չէ՞ր նախապես ստանալ այդ D կետը և այն միացնելով S-ի հետ, ստանալ երևակայական M կետը: Մեր մտածողության այս ուղղորդումը ստիպում է մեր երևակայությանը աշխատելու D կետը գտնելու ուղղությամբ: Մեր երևակայության և մտածողության համատեղ և ոչ բարդ աշխատանքը մեզ թույլ է տալիս նկատել, որ D կետը ընկած է h և a հատվածներով անցնող հարթության և բուրգի հիմքի հարթության մեջ, հետևաբար, նաև դրանց հատման գծի վրա: Բայց նշված հատման գիծը CD հատվածն է, որի մաս է կազմում OC հատվածը: Այժմ կարծես արդեն ամեն ինչ դառնում է պարզ. Անհրաժեշտ է բուրգի հիմքի հարթության մեջ տանել CO ուղիղը, որը AB-ի հետ կհատվի հենց D կետում: Այսքանից հետո մեր երևակայությանը դժվար չի լինում «կառուցել» պահանջվող AMB հատույթը:

բ. Մտովի երևակայական օբյեկտի վրա կենտրոնանալու ունակության զարգացում, ինչի համար անհրաժեշտ է նրա պատկերացումը իր մանրամասնության և ամբողջության մեջ: Նման պատկերացումը հատուկ է մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացին, քանի որ այստեղ մաթեմատիկա-կան օբյեկտի յուրաքանչյուր տարր կարող է վճռական նշանակություն ունենալ խնդրի լուծման մեջ, իսկ դրա ճանապարհների որոնումը մեծ մասամբ կախված է լինում օբյեկտի ամբողջական պատկերումից: Օրինակ, դիցուք մենք ուզում ենք լուծել աստիճանների բազմապատկման վերաբերյալ (x3y5z).(y2x7z3) կամ նմա-նատիպ որևէ այլ վարժություն: Այստեղ մենք պարտավոր ենք նախ երևակայորեն համակցել միևնույն փոփոխականները իրար հետ, ընդ որում, մենք օգտվում ենք արտադրյալի տեղափոխական և զուգորդական օրենքերի իմացությունից և սկսում ենք հերթականությամբ փոփոխական-

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

15

ները պատկերացնել իրար կողք և իրականացնել դրանց բազմա-պատկումը: Առաջին վարժության լուծման քայլերը մանրամասն կատա-րելուց հետո, մենք հաջորդ նմանատիպ վարժության մեջ որոշ քայլեր կատարում ենք երևակայորեն ու դրանց գրառումը բաց ենք թողնում: Եվ աշակերտի կարողությունների մեծացմանը զուգընթաց, ավելանում է նաև բաց թողած քայլերի քանակը: Որոշ հմտություն ձեռք բերելուց հետո կարելի է ընդհանրապես տեղափոխվել երևակայական դաշտ և հետագա վարժությունները լուծել երևակայորեն: Հասկանալի է, որ այստեղ ուսու-ցիչը անպայման պետք է ելնի անհատականացման և մատչելիության դիդակտիկական սկզբունքներց:

Իմ աշխատանքի ընթացքում ես հաճախ եմ օգտվել նման օրինակ-ներից և համոզվել, որ այս կերպ կարելի է զարգացնել ոչ միայն աշակերտի երևակայությունը, այլև ուշադրությունը և կամային առանձին որակներ: Հարկ եմ համարում նշել նաև, որ երևակայական կամ ինչպես ընդունված է ասել՝ բանավոր լուծման ընթացքը չի ենթադրում այն գրառելու, տեսնելով ստուգելու և նմանատիպ այլ գործողություններ: Դրանք շատ արագ են կատարվում, քիչ ժամանակ են պահանջում, և առանձնապես արդյունավետ են աշակերտական մեծ խմբերով դասա-րաններում:

գ. Նպատակի առկայությունը երևակայության զարգացման կարևոր պայման է: Իսկապես, նպատակի իրականացման համար անհրաժեշտ խնդիրների նախանշումը, պլանի կառուցումը, ուղիների մշակումը, միջոց-ների որոնումը կատարվում է առաջին հերթին մեր երևակայության մի-ջոցով: Այստեղ նույնպես կարևոր դեր ունի մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը: Մաթեմատիկական յուրաքանչյուր թեորեմ, խնդիր առա-ջադրում է որոշակի նպատակ, իսկ համապատասխան ապացուցումը, լուծումը, ինչպես նաև նոր ապացուցման, նոր լուծման որոնումը հստակ պլաններ մշակելու անվերջանալի գործընթաց է, որում հատկապես կա-մածին երևակայությունը ունի դրսևորման անսպառ հնարավորություններ: Եվ մաթեմատիկայի երևակայական այս աշխարհում մարդկային միտքը, նրա երևակայությունը հաճախ իրագործում է աներևակայելի թռիչքներ:

16

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

դ. Ապրել նշանակում է ստեղծագործել, այսինքն՝ որոնել, գտնել նոր ճանապարհներ, որովհետև հաճախ նախկին ճանապարհով կա-տարվող ընթացքը անհետաքրքիր է, ձանձրալի: Եվ, հավանաբար, կյան-քը այնպես է կառուցված, որ իրար նման, նմանատիպ գործողությունները ընկալվում, ապրվում են որպես մեկ գործողություն, այսինքն՝ կարճացնում են մարդու կյանքը: Նոր վայրեր, նոր մարդիկ, նոր գրքերը, նոր գիտելիք-ները, նոր խնդիրները պահանջում են որոնել, գտնել, հայտնագործել, այսինքն՝ ստեղծագործություն, որտեղ առաջին պլան է մղվում մարդու երևակայությունը: Մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացը՝ մաթեմա-տիկայի հիասքանչ, անվերջանալի ու անսպառ ճարտարապետական կա-ռույցով և նույնքան գեղեցիկ ու բազմապիսի իր կիրառություններով, հո-գեկան երևույթների ակտիվ փոխհամագործակցության անսպառ մի աս-պարեզ է, ստեղծագործական որոնումների անվերջանալի ընթացք, որի առաջամարտիկը լինելու իրավունքը վերապահված է մարդու երևակայու-թյանը: Նոր ապացույցի որոնման հրաշալի հնարավորություններ է ընձե-ռել երկրաչափության «գոհարներից» մեկը՝ Պյութագորասի թեորեմը: Նրա տարբեր ապացուցումներ հայտնաբերել են անտիկ հույները, չինա-ցիները և հնդկացիները, Լեոնարդո դա Վինչին, ԱՄՆ քսաներորդ նախա-գահ Ջեյմս Հարֆիլդը և այլ երևելիներ, սովորական մահկանացուներ, որոնց համար ապրելը, կյանքը հետաքրքիր ու հաճելի դարձնելը կապված է նաև մարդուն բնորոշ կարևորագույն հոգեկան գործընթացների՝ մտա-ծողության և երևակայության դրսևորումների հետ, ինչը լավագույնս իրականանում է մաթեմատիկական հրաշալի թեորեմների ապացուցում-ների որոնումներում: Պյութագորասի թեորեմի համար նման ապացու-ցումների թիվը հասնում է մի քանի հարյուրի:

Գրականություն

1. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղագիտական պահանջմունքները և մաթեմա-տիկական գործունեությունը, Մարդ և հասարակություն, 2013, №4:

2. Հ. Ս. Միքայելյան, Գեղագիտական հույզերը և մաթեմատիկական կրթությունը, Մաթեմատիկան դպրոցում, 2013, №5:

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

17

3. Հ. Ս. Միքայելյան, Մաթեմատիկական գեղեցիկի օբյեկտիվ հատ-կանիշները, «Մաթեմատիկան դպրոցում», №1, 2014:

4. Հ. Ս. Միքայելյան, Մաթեմատիկական գեղեցիկի սուբյեկտիվ հատկանիշները, «Մաթեմատիկան դպրոցում», №2, 2014:

5. Философия: Энциклопедический словарь. Под редакцией А. А. Ивина. М., 2004.

6. Новая философская энциклопедия: В 4-х тт., Под редакцией В. С. Степина. М., 2001.

7. Н. И. Козлов, nkozlov.ru/library/samorazvit/d4147/#.VaEFBvamqqko. 8. http://psyznaika.net/voobragenie.html, Воображение.

КРАСОТА ВООБРАЖЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИИ Г. С. Микаелян

Резюме

В связи с возрастанием внимания на гуманистического компонента образо-вания, становится актуальной проблема эстетического воспитания учащихся посредством математического образования. Оказалось, что мате-матика, традиционно тесно связанная с красотой, обладает и огромным образовательным потенциалом формирования эстетических ценностей. В статье рассматривается роль математического прекрасного в процессе преподавания математики при формирования и развития воображения.

BEAUTY OF IMAGINATION AND MATHEMATICAL EDUCATION H. S. Mikaelian

Summary

Due to the increasing emphasis on humanistic education component, has become an urgent problem of aesthetic education of students through mathematical education. It turned out that mathematics is traditionally closely associated with beauty, and has great educational potential formation of aesthetic values. This

18

ԱՐԺԵՔԱՅԻՆ ՀԱՄԱԿԱՐԳ

article discusses the role of mathematical beauty in the process of teaching mathematics during formation and development of the imagination.

Համլետ Սուրենի Միքայելյան – ֆ.մ.գ.թ, մաթեմատիկայի /ՌԴ/ և մանկավարժության /ՀՀ/ պրոֆեսոր, ՀՊՄՀ մաթեմատիկայի դասա-վանդման մեթոդիկայի ամբիոնի վարիչի պաշտոնակատար, “Մաթե-մատիկան դպրոցում” ամսագրի գլխավոր խմբագիր:

Հեռախոս՝ 093 88 17 07 Էլ. hասցե` h.s.mikaelian@gmail.com

19

ՈՉ ՍՏԱՆԴԱՐՏ ԽՆԴԻՐՆԵՐԸ ԸՆԴՀԱՆՐԱՑՆՈՂ ԿՐԿՆՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐԻ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ

Լիլիթ Առաքելյան

Բանալի բառեր – խնդիր, մաթեմատիկա, սեղան, անհավասարություն, շրջանագծի կենտրոն

Եթե ավագ դպրոցում մաթեմատիկայից ընդհանրացնող կրկնու-

թյունները դիտարկվեն որպես համակարգ, որը կառուցվում է հաշվի առնելով սովորողների հետաքրքրությունները, հակումները, ընդունակու-թյունները, զարգացման մակարդակը, ապա սովորողների ընդհանուր պատրաստվածության որակը նկատելիորեն կբարելավվի:

Սույն հոդվածի գործնական նշանակությունը կայանում է նրանում, որ նշված ոչ ստանդարտ խնդիրները կարող են օգտագործվել մաթե-մատիկայից ընդհանրացնող կրկնությունների ժամանակ, ինչպես նաև նրանում, որ դրանք կնպաստեն ժամանակակից դպրոցի առջև դրված մեթոդական խնդիրների իրագործմանը:

Ամեն մի գործում դրական դերակատարում ունի արդյունավետ գովազդը: Բացառություն չի կազմում առարկան դասավանդող ուսուցչի գործունեությունը: Այս առումով քիմիա և ֆիզիկա դասավանդող ուսուցիչ-ների գործունեությունը դյուրին է: Անհրաժեշտ փորձերի ցուցադրումով դասը դարձնում են հետաքրքիր, գրավիչ:

Մաթեմատիկայի ուսուցիչը հնարավորություն չունի նման «ներկա-յացումներ» կազմակերպելու: Բայց դրանից չի բխում, որ մաթեմատիկան

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

20

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

չունի իր «հրավառությունները»: Դրանք անկասկած կան, և դրանք բազ-մազան են: Առաջին հերթին դրանք գեղեցիկ խնդիրներն են: Իսկ ե՞րբ է խնդիրը կոչվում գեղեցիկ: Այս հարցի պատասխանը իհարկե ճաշակի խնդիր է: Բայց փորձը ցույց է տալիս, որ սովորողներին դուր են գալիս այն խնդիրները, որոնց լուծումը մատչելի է, հնարավորինս հակիրճ է, և ամենակարևորը` անսպասելի*: Նման խնդիրների հավաքածու պետք է ունենա մաթեմատիկայի ամեն մի ուսուցիչ:

Գեղեցիկ, ոչ ստանդարտ խնդիրները սովորողների մոտ ձևավորում են բարձր մաթեմատիկական ակտիվություն, որակներ, որոնք հատուկ են ստեղծագործող անհատներին` մտքի ճկունություն, նպատակասլացու-թյուն և համառություն:

Խնդիր 1. Սեղանի հարթության վրա դրված է ուղղանկյուն զուգահե-ռանիստ, որը պատրաստված է փայտից: Ինչպես չափել նրա անկյունա-գիծը, եթե չափման գործիքից կարելի է օգտվել միայն մեկ անգամ: Ձեռքի տակ ունենք նաև մատիտ:

Լուծում: Սեղանի հարթությանը մատիտի օգնությամբ գծագրենք պրիզմայի հիմքը: Այնուհետև պրիզման զուգահեռ տեղափոխենք այն-պես, ինչպես պատկերված է նկ. 1-ում: Չափելով A և B գագաթների

հեռավորությունը կստանանք ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյու-նագծի երկարությունը:

* Այս կապակցությամբ տես Հ.Ս.Միքայելյան, Գեղեցիկը, մաթեմատիկան և կրթությունը, Երևան, 2015թ., էջ 397-411 (խմբ.)

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

21

Խնդիր 2. Գետը հոսում է, կազմելով ուղիղ անկյուն: Գետն ունի 5մ լայնություն: Ճանփորդը հասնելով գետին պետք է մի ափից անցնի մյուս ափը: Օգնեք նրան, եթե ափին կա երկու տախտակ 4,8մ երկարությամբ:

Լուծումը երևում է գծագրից (նկ. 2): Խնդիր 3. Ապացուցել հետևյալ անհավասարությունը.

299 101 98 102 2 198 1 199 100 :4

π⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⋅ < ⋅

Լուծում: Անհավասարության աջ մասում կանգնած 4

π կոտորակը

հուշում է, որ լուծումը կարելի է փնտրել օգտագործելով շրջանի քառորդ մասը: Շրջանն ունի միավոր շառավիղ: Նրա քառորդ մասում ներգծենք իրար կպած 99 ուղղանկյուններ, որոնց հիմքերը հավասար են (նկ. 3): Հաշվենք առաջին ուղղանկյան մակերեսը:

21 1

1 1 99 1011 :

100 10000 10000

S OB AB OB OB= ⋅ = ⋅ − =

⋅= ⋅ − =

Երկրորդ ուղղանկյան համար ունենք`

2

2

1 2 98 1021 ;

100 100 10000S BC CD ⋅ = ⋅ = ⋅ − =

և այլն

2

99

1 99 1 1991 :

100 100 10000S ⋅ = ⋅ − =

Ուղղանկյունների մակերեսների գումարը փոքր է շրջանի քառորդ մասի մակերեսից, այսինքն`

2 2 2 2

99 101 98 102 2 198 1 199

100 100 100 100 4

π⋅ ⋅ ⋅ ⋅+ + + + < , որից և ստացվում է

այն, ինչ պետք էր ապացուցել:

22

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Խնդիր 4. Ապացուցել, որ եթե 1 2 3 4 5 0,x x x x x≥ ≥ ≥ ≥ > ապա

( )22 2 2 2 21 2 3 4 5 1 2 3 4 5 :x x x x x x x x x x− + − + ≥ − + − +

Լուծում: Անհավասարության ձախ մասը ցույց է տալիս նկ. 4-ում շտրիխավորած մասերի մակերեսների գումարը, իսկ աջ մասը հավասար է 1 2 3 4 5x x x x x− + − + կողմով քառակուսու մակերեսին` նկ. 5: Այդ պատ-կերներից ամեն մեկը կազմված է մի քառակուսուց և չորս սեղանից: Ընդ որում քառակուսիները հավասար են, հավասար են համապատասխան սեղանների բարձրությունները ևս: Բայց նկ. 4-ի սեղանների միջին գծերը մեծ են նկ. 5-ի համապատասխան սեղանների միջին գծերից: Եվ իրոք, համեմատենք ամենաբարձր սեղանների միջին գծերը:

Նկ. 4 ում այն հավասար է 1 2

2

x x+ , իսկ նկ. 5-ում`

( ) ( ) ( )5 3 4 1 2 5 3 4 1 25 3 4 ;

2 2

x x x x x x x x x xx x x+ − + − + + − −= + − +

Ցույց տանք, որ 1 2 1 25 3 4 :

2 2

x x x xx x x+ −> + − +

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

23

Պարզեցնելով կստանանք ակնհայտ անհավասարություն`

2 4 3 5 :x x x x+ > + Մյուս սեղանների միջին գծերը համեմատենք

3 4 5 3 4 54 5 :

2 2

x x x x x x x x+ + − +> >

Այդ պատճառով նկ. 4-ի պատկերների մակերեսների գումարը փոքր չէ նկ. 5-ի մակերեսների գումարից: Հավասարությունը տեղի ունի այն դեպքում երբ 2 3 4 5, :x x x x= =

Խնդիր 5. Հայտնի է, որ 2 21 2 :x y≤ + ≤ Գտնել 2 2z x xy y= + +արտահայտության ամենափոքր և ամենամեծ արժեքները:

Լուծում: Ցանկացած x R∈ և y R∈ գոյություն ունի r R∈ և

( ]0;2α π∈ , որ cos , sin :x r y rα α= = Պայմանից հետևում է, որ

( )2 21 2, z 1 0,5sin 2 :r r α≤ ≤ = + Բայց 0,5 1 0,5sin 2 1,5 :α≤ + ≤Հետևաբար 0,5 1,5 :z≤ ≤ Նկատենք, որ եթե 1,x y= = ապա 3,z = , իսկ

եթե 2

2x = և

2,

2y = − ապա

1:

2z = Պատ.`

1min z ; max z 3:

2= =

Խնդիր 6. Ապացուցել, որ եթե եռանկյան անկյուններն են ,A B և C ապա cos 2 cos 2 cos 2 1,5 :A B C+ + ≥ − 2 ; 2 ; 2 :AOB C BOC A AOC B∠ = ∠ ∠ = ∠ ∠ = ∠

24

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Գրենք հետևյալ ակնհայտ անհավասարությունը` 0≥++ OCOBOA կամ ( )2 23 2 cos 2 cos 2 cos 2R R A B C O+ + + ≥ , որտեղից

cos 2 cos 2 cos 2 1,5 :A B C+ + ≥ − Ինչպես տեսնում ենք, այս խնդրի լուծումը դժվար չէ, բայց այն

դիտողական դարձնելու համար կառուցենք նրա տարածական գրաֆիկը: Կազմենք երկու փոփոխականի հետևյալ ֆունկցիան`

( ) ( ), cos 2 cos 2 cos 2 :f x y x y x y= + + +

Գրաֆկից երևում է, որ եռանկյան x և y անկյունները փոփոխվում են ( )0,π միջակայքում, իսկ ( ),f x y ֆունկցիայի արժեքները` [ )1,5;3−միջակայքում (նկ. 6):

Խնդիր 7. Կառուցել երեք` ,A Bև C կետերի փոքրագույն երկարու-թյամբ ցանցը:

Լուծում: ABC եռանկյան կողմերից ամենամեծի վրա կառուցենք հավասարակողմ եռանկյունը (նկ. 7): Կառուցենք այդ եռանկյանը ար-տագծյալ շրջանագիծ: Շրջանագծի և XB հատվածի հատման P կետը որոնելի կետն է, որը կոչվում է եռանկյան Շտեյների կետ: PA , PB և PCհատվածները կազմում են o120 անկյուն, նրանք կազմում են փոքրագույն երկարությամբ ցանց, այսինքն` նրանց երկարությունների գումարը ունի մինիմում արժեք եռանկյան ներքին այլ կետերի համեմատ, և այդ մեծությունը հավասար է BX հատվածի երկարությանը:

Խնդիր 8. Տրված է ուռուցիկ n -անկյուն, որի յուրաքանչյուր

անկյունագծային կետով անցնում են ուղիղ երկու անկյունագծեր: Գտնել բազմանկյան անկյունագծային կետերի թիվը:

Լուծում: Ուռուցիկ քառանկյունն ունի անկյունագծային մեկ կետ: Հետևաբար պետք է հաշվել, թե տրված բազմանկյան n գագաթներից քանի քառանկյուն կարելի է ստանալ: Այդ հարցի պատասխանն է` զուգորդություն n -ից 4-ական: Գտնենք այդ թիվը:

( ) ( ) ( )4 1 2 3; 4 :

4!n

n n n nC n

⋅ − ⋅ − ⋅ −= ≥

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

25

Օրինակ, թող 7 :n = Համաձայն բանաձևի կստանանք` 4 37 7

7 6 535 :

1 2 3C C ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅ Նկ. 8-ը հաստատում է պատասխանը:

НЕСТАНДАРТНЫЕ ЗАДАЧИ В ПРОЦЕССЕ ОБОБЩАЮЩИХ ПОВТОРЕНИЙ

Резюме Лилит Аракелян

В статье рассматриваются примеры решений нестандартных задач,

которые называются красивыми задачами, потому что их решении являются доступными, краткими и неопсиданными. Вовлечение таких задач в процессе обобщающих повторений способствует развитию у учащихся логического мышления.

26

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

NONSTANDARD SUMS IN THE PROCESS OF SUMMARIZING REPETITION

Summary Lilit Arakelyan

Examples of solving nonstandard sums are considered in this article.

Such sums are called nice as they are simple, brief and unforeseen. Inclusion of such sums in the process of summarizing repetition will promote the development of pupils’ logical thinking.

Լիլիթ Առաքելյան - Արցախի պետական համալսարան

Էլ. hասցե` lilit.rafael@yandex.com

27

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՊԱՏՄՈՒԹՅԱՆ ՏԱՐՐԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՈՒՄԸ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ԴՊՐՈՑՈՒՄ

Անահիտ Մայիլյան

Յուրաքանչյուր գիտելիք այնքանով է ճիշտ, որքան նրա մեջ մաթեմատիկա կա:

Էմանուել Կանտ

Բանալի բառեր - դասի նկարագիր, կատարյալ և բարեկամ թվեր, պարզ թվերի բանաձև

Մաթեմատիկայի պատմության տարրերի կիրառումը դասապրո-

ցեսին նորություն չէ: Յուրաքանչյուր ուսուցիչ իր աշխատանքային գործու-նեության մեջ մեկ անգամ չէ, որ այն կիրառել է դասին կամ արտադա-սարանական պարապմունքներին: Ուսուցչի վարպետությունից և փորձա-ռությունից է կախված մեթոդների, հնարների, ձևերի, եղանակների ճիշտ ընտրությունը պատմական իրադարձությունները մաթեմատիկայի դասին ներկայացնելիս: Այն պետք է ներմուծել ներդաշնակ ձևով: Իմ աշխատան-քային գործունեության ընթացքում ես օգտագործել եմ մաթեմատիկական պատմական նյութի մատուցման տարբեր ձևեր, եղանակներ. ուսուցչի կամ սովորողների հաղորդագրություն, զրույց, դասագրքից կամ այլ աղբ-յուրներից պատմական նյութի ընթերցում, պատմական խնդիրների լու-ծում տանը կամ դասին, ալբոմի ստեղծում:

Պատմական ակնարկները նպաստում են մաթեմատիկա առար-կայի նկատմամբ աշակերտների հետաքրքրության խորացմանը, ուսու-ցանվող նյութի խոր ըմբռնմանը, աշակերտների մտահորիզոնի ընդլայն-մանը: Մաթեմատիկայի դասապրոցեսին մաթեմատիկայի պատմության

28

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

տարրերի ճիշտ ներմուծումը նպաստում է սովորողների պատրաստվա-ծության որակի բարձրացմանը, բազմաֆունկցիոնալ աճին, իրազեկմանը, ունի ուղղորդող, բացահայտող, դաստիարակող, անհատական կրթու-թյան որակը բարձրացնող յուրօրինակ դեր: Գ. Լեյբնիցն ասել է. «Ով ուզում է ուսումնասիրել ներկան՝ չիմանալով անցյալը, այն երբեք չի հասկանա»:

Պատմական տեղեկությունների կապը ծրագրային նյութի հետ կարելի է ապահովել տարբեր ձևերով. ոչ մեծ էքսկուրս, դասախոսություն, տեղային հարցում, սովորողների կամ ուսուցչի կարճ տեղեկություններ, տվյալ թեմային վերաբերող մաթեմատիկական հին խաղեր, մաթեմատի-կական հինավուրց խնդիրների և վարժությունների լուծում, շնորհանդես-ների ցուցադրում, աղյուսակների, նկարների, ալբոմների պատրաստում:

Ամենադժվարը երեքից հինգ րոպեի ընթացքում պատմական փաստի և դասանյութի միջև սերտ կապ ստեղծելն է, նրա կիրառումը դասապրոցեսում և հետագա դասերին:

Մաթեմատիկայի ծրագրերում մաթեմատիկայի պատմության մա-սին գրեթե ոչինչ չի ասվում, սակայն մաթեմատիկայի դասագրքերում յուրաքանչյուր բաժնից հետո զետեղված է մաթեմատիկայի պատմական նյութ: Ուսուցիչն ինքն է որոշում, թե ինչ ծավալով և ինչ խորությամբ մա-տուցի նյութը: Մաթեմատիկայի պատմական աղբյուրները պարունակում են բազմաթիվ մեթոդական նյութեր: Այն պետք է «ձևափոխել» այնպես, որ դասանյութից չզատվի: Պետք է որոշել դասապրոցեսին նրա ճիշտ տեղը, այլ ոչ թե որպես տեղեկություն հաղորդել և անցնել, պատմական խնդիրները ներկայացնել որպես խաղ, զրույց, հաղորդել իմացական, ճանաչողական նպատակով:

Շատ մասնագետներ գտնում են, որ մաթեմատիկայի պատմու-թյունը ավելի շատ պետք է կրի արտադասարանական բնույթ: Դա անա-ռարկելի փաստ է, քանի որ ուսուցչին հնարավորություն է տալիս ամբող-ջությամբ և խորությամբ բացահայտել ուսուցանվող հասկացության օրենքները, մաթեմատիկական փաստերը:

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

29

Իմ գործնական աշխատանքի փորձը ցույց է տվել, որ մաթե-մատիկայի պատմության տարրերի ներմուծումը դասապրոցես մատչելի է դարձնում դասավանդվող նյութը, դրականորեն է ազդում սովորողների մաթեմատիկական հետաքրքրությունների զարգացման վրա, նրանց մղում մաթեմատիկական լրացուցիչ նյութերի ընթերցման, նպաստում ուսուցանվող մաթեմատիկական նյութի մեջ խորամուխ լինելուն, բարձ-րացնում սովորողի ընդհանուր զարգացվածությունը:

Ժամանակակից դասը միայն ուսուցման տեխնիկական միջոցները չեն: Կարևորում եմ, որ սովորողը կարողանա աշխատել տեքստի հետ (ըստ դասագրքի), դասանյութը կարդա մտածված՝ «մաթեմատիկական» ձևով, համառոտագրի այն:

Ուսուցչի խնդիրը նման աշխատանքի համար այն է, որ սովորող-ները ոչ միայն հենց այնպես նայեն ուսուցանվող նյութին, այլ տող առ տող կարդան տեքստը, կատարեն նշումներ, նշեն՝ որն է հասկանալի, որը՝ ոչ, հարցեր տան, գրառեն իրենց մտքերը: Այդպիսի աշխատանքը սովո-րողներից պահանջում է ոչ քիչ ուժեր, ժամանակ, ինքնակրթություն: Նրանց աշխատանքը մաթեմատիկական պատմության տեքստի հետ ավելի դժվար է, քանի որ այդ ինֆորմացիան պարունակում է ավելի շատ մաթեմատիկական եզրույթներ, որոնք սովորողների համար այնքան էլ հասկանալի լեզվով չեն գրված: Մաթեմատիկայի պատմական նյութը պետք է վերլուծել ուսուցչի անմիջական միջամտությամբ՝ տվյալ տեքստը ավելի կարճ ժամանակում և ավելի արդյունավետ յուրացնելու համար: Նույն տեքստի մատուցումը նույն տարիքային տարբեր դասարաններում նույնիսկ կարող է տարբեր լինել:

Ուսուցման ժամանակակից մեթոդները հնարավորություն են տալիս կազմել խմբեր, համագործակցային զույգեր, որտեղ մաթեմա- տիկական նյութի շարադրումը մաթեմատիկայի լեզվով ավելի դյուրին է դառնում: Կարևոր է հաշվի առնել խմբի յուրաքանչյուր անդամի կամ անհատական աշխատողի կարծիքը հարցազրույցի միջոցով: Ուսուցչի գործունեությունը նպատակ է հետապնդում՝ դասին ստեղծել շարժառիթ,

30

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

դասի նպատակին հասնելու հիմքեր, անհատական գործունեության հնարավորություն:

Մաթեմատիկայի պատմության տարրերի ներմուծումը դասապրո-ցես միայն պատմական նյութի ներկայացումը չէ, պետք է ներկայացնել նաև մաթեմատիկայի փաստի ապացուցման առավել հասկանալի եղանակներ, սովորողներին հնարավորություն տալ հետևել գիտնականի մտածելակերպի ոճին, նրա ստեղծագործական կյանքին վերաբերվող որոշ տեղեկությունների: Պատմական նյութը պետք է այնպես մատուցել, որ սովորողի մոտ ստեղծվի այնպիսի տպավորություն, թե ինքն է ստեղծում այն, սկիզբ դնի նրա մոտ օգտակար մտքերի, տեսնի ուսուցանվող գաղափարի կարևորությունը:

«5-9» դասարաններում մաթեմատիկայի պատմության իմ

կողմից անցկացրած մի քանի դասերի նկարագրություն.

1. Դաս. «Ինչպե՞ս մարդիկ սկսեցին հաշվել սովորել»: Դասի տեսակը. դաս-խաղ: Դասի համառոտ նկարագիրը. սովորողները համապատասխան հագուստներով, խաղային դրվագներով փոքրիկ ներկայացում են պատրաստում, թե ըստ իրենց պատկերացման ինչպե՞ս են մարդիկ սովորել հաշվել տարբեր առարկաներ, թվերի առաջին գրառումը, նկարում են նկարներ այդ թեմայով: 2. Դաս. «Թվերի զարմանահրաշ աշխարհում»: «Պարզ և բաղադրյալ թվերի» ուսուցումից հետո Դասի տեսակը. կոնֆերանս: Դասի համառոտ նկարագիրը. «Էրաստոսթենեսի ցանց», բարեկամ և կատարյալ թվեր, Գոլդբախի պրոբլեմը, Չեբիշևի հետազոտությունը, պարզ թվերի Լեժանդրի բանաձևը.

= 2 + 29: 3. Դաս. «Հնագույն խնդիրների լուծում» Դասի տեսակը. բանավոր հանդես

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

31

Դասի համառոտ նկարագիրը. «Հանձնաժողովը» նշված ցանկից ընտրում է տվյալ դասին լուծելու համար վարժություններ և խնդիրներ, այդ թվում՝ հնագույն խնդիրներ կոտորակային թվերով. Անանիա Շիրա-կացու, Պյութագորասի, Մագնիցկու խնդիրներից: 4. Դաս. «Պյութագորասի թեորեմը» Դասի տեսակը. Դաս-կոնֆերանս Դասի համառոտ նկարագիրը. թեմայի ուսուցումից հետո սովորողները տեղեկություններ են հաղորդում Պյութագորասի և նրա թեորեմի ապացուցման հարյուր տարբեր եղանակների մասին, այդ թվում՝ չինական, հնդկական, եգիպտական եղանակները: Ներկայացնում են, թե ինչպես են հին եգիպտացիները տասներկու մետր երկարությամբ պարանից պատրաս-տել երեք մետր, չորս մետր էջերով և հինգ մետր ներքնաձիգով ուղղանկյուն եռանկյուն, և որ 62+82=102 հավասարությունը ներկայացրել են (3 x 2)2+(4 x 2)2=(5 • 2)2 տեսքով: Դաս. «Քառակուսային հավասարումներ» Դասի տեսակը. դաս-ներկայացում Դասի համառոտ նկարագիրը. Բհասկարայի խնդիրը, Դիոֆանտի խնդիրը: Սովորողները փոքրիկ ներկայացումով բեմադրում են, թե ինչպես են լուծել քառակուսային հավասարումները Հնդկաստանում, Եվրոպայում, Ալ-Խորե-զմին՝ հանրահաշվի հայրը, ներկայացնում են Վիետի թեորեմը, գործակից-ների օգնությամբ գտնում են քառակուսային հավասարման արմատները: Տեղեկացնում են քառակուսի արմատ, խորանարդ արմատ հանելու եղանակների մասին: Դաս. «Պրոգրեսիաներ» Դասի տեսակը. Էքսկուրսիա պրոգրեսիաների թանգարանում Դասի համառոտ նկարագիրը. երկրաչափական պրոգրեսիայի գումարի բանաձևի արտածում. բեմադրություն՝ լեգենդ շախմատի գյուտի մասին:

Հետաքրքիր է նաև մակերեսների հաշվումը հնում, π թվի մասին, շրջա-նագծի երկարությունը, շրջանի մակերեսը, հատվածը տրված հարաբե-րությամբ բաժանելու խնդիրը ըստ Ապոլոնի, Թալեսի թեորեմի օգնությամբ, համառոտ ակնարկ երկրաչափության զարգացման մասին մինչ Էվկլիդես,

32

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

Էվկլիդյան երկրաչափություն, Լոբաչևսկու երկրաչափություն (7-րդ դասա-րան), 0-ի պատմությունը, չափման միավորներ, տոկոսները անցյալում և ներ-կա ժամանակաշրջանում և բազմաթիվ այլ թեմաների ներկայացումը: Գրեթե չկա մաթեմատիկայի այնպիսի նյութ, որը հնարավոր չլինի կապել նրա ստեղծման ակունքների հետ: Ընդհանրացնող դասերը նույնպես կարելի է ներկայացնել որպես մաթեմատիկայի պատմական նյութ, երկրաչափու-թյունը իններորդ դասարանում ավարտելուց հետո որպես ամփոփիչ դաս՝ «Հանդիպում իմաստունների և գիտնականների հետ. Էվկլիդես, Պյութագո-րաս, Հերոն, Գաուս, Նյուտոն, Էյլեր, Դեկարտ և այլն»: Մաթեմատիկայի պատմության տարրերի ուսուցումը դպրոցում այնքան տարողունակ է, որ բոլորի մասին խոսելն անհնար է::

Գրականության

1. Մաթեմատիկա – Ուսուցիչների հնգօրյա վերապատրաստումների պլան և նյութեր. ՀՀ ԿԳ նախարարություն Կրթական ծրագրերի կենտրոն, Կրթու-թյան ազգային ինստիտուտ, Երևան, 2006թ. 2. Кульнович С.В., Лакоценина Т. П. “Современный урок”, часть 2 Изд-во “Учител”, 2005г. 3. Глейзер Г. И. “История математики в школе VII – VIII класс” М. Просвещение, 1982г.

ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ИСТОРИИ МАТЕМАТИКИ В

ОСНОВНИЙ ШКОЛЕ А. Маилян Резюме

В статье рассматривается вопрос изучения элементов истории математики в основной школе на уроках математики. С этой целью предлагаются следующая тематика: древные задачи, теорема Пифагора, квадратные уравнения, прогресии.

ՄԵԹՈԴԱԿԱՆ

33

STUDY OF THE ELEMENTS OF HISTORY OF MATHEMATICS IN PRIMARY SCHOOL Anahit Mailyan

Summary

The article deals with the study of elements of the history of mathematics in secondary school in mathematics lessons. For this purpose, we offer the following topics: Ancient task, the Pythagorean theorem, quadratic equations, progression.

Անահիտ Մայիլյան - Վանաձորի №25 հիմնական դպրոցի մաթեմատիկայի ուսուցչուհի Էլ.հասցե՝ mayilyananahit@mail.ru Հեռ.՝ 098 58 50 84

34

ՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆ ԱՇԽԱՏԱՆՔՆԵՐԻ ԴԵՐԸ ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԳՈՐԾԸՆԹԱՑՈՒՄ

Աղունիկ Սահակյան

Վատ ուսուցիչը ներկայացնում է ճշմարտությունը, իսկ լավը՝ սովորեցնում է այն հայտնագործել :

Ա. Դիստերվեգ

Բանալի բառեր - մաթեմատիկա, հետազոտական աշխատանք, գիտելիքի հայտնաբերում, վերլուծություն, ընդհանրացնելու հնարավորություն

Հայտնի է, որ դպրոցական տարիներին մաթեմատիկայից ձեռք բերած գիտելիքները կիրառվում են հետագա ամբողջ կյանքի ընթաց-քում, նույնիսկ նաև այն դեպքում, երբ ընտրում են մաթեմատիկայի հետ առանձնապես ընդհանրություն չունեցող մասնագիտություններ: Այն սովորողները, ովքեր ուսումնառության տարիներին ձեռք չեն բերում անհրաժեշտ մաթեմատիկական գիտելիքներ, կարողություններ և հմտություններ, հետագայում զգում են դրանց պակասը թե´ աշխատան-քային գուրծունեությունում, թե´ ընտանիքում և թե´ պարզապես մարդ-կային հարաբերություններում: Բնականաբար հարց է առաջանում. ի՞նչ անել, որ ուսուցումը աշակերտը ընդունի ոչ թե որպես պարտք, այլ որպես հաճելի գործընթաց: Պարզ է, որ այդպիսի ընդհանրական դեղատոմս գոյություն չունի, և յուրաքանչյուր ուսուցիչ յուրովի է փորձում լուծում գտնել նման իրադրությունում: Ես կարծում եմ, որ պետք է

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

35

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

առաջնորդվել հետևյալ սկզբունքով. աշակերտի մոտ հետաքրքրություն առաջացնել թեմայի նկատմամբ, ցույց տալ կապը առօրյա կյանքի և մաթեմատիկայի միջև, ստեղծել իրավիճակներ՝ վարկածներ առաջադ-րելու և դրանք ապացուցելու համար, ապահովել աշակերտների ակտիվ մասնակցությունը՝ հենվելով նրանց անհատական և խմբային պատաս-խանատվության մեծացման և համագործակցային հմտությունների զարգացման վրա, հնարավորություն տալ աշակերտին «հայտնագոր-ծություն» կատարելու, գործնական և հետազոտական աշխատանքների միջոցով գտնել իր հարցի պատասխանը: Նման դեպքերում աշակերտը ստանձնում է ակտիվ մտածողի, հետազոտողի դեր [1]:

Աշակերտին օգնելը ուսուցչի ամենից ավելի կարևոր պարտակա-նություններից մեկն է: Այդ պարտականությունը չի կարելի անվանել հեշտ: Այն պահանջում է ժամանակ, փորձ, նվիրվածություն գործին ու խելամիտ սկզբունքներ: Աշակերտը պետք է, որքան հնարավոր է, ինք-նուրույն աշխատանքի մեծ փորձ ձեռք բերի: Բայց եթե նա միայնակ թողնված է խնդրի հետ՝ առանց որևէ օգնության կամ եթե այդ օգնու-թյունը անբավարար է, ապա դա կարող է ոչ մի օգուտ չբերել նրան: Եթե ուսուցչի օգնությունը չափից ավելի է, ապա ոչ մի բաժին չի մնում աշակերտին: Ուսուցիչը պետք է օգնի, բայց ոչ չափազանց շատ և ոչ չափազանց քիչ: Պետք է օգնել այնպես, որ աշակերտին մնա աշխա-տանքի խելամիտ բաժինը: Նման պարագայում աշակերտը ներգրավ-վում է ինքնուրույն աշխատանքի մեջ, դուրս է գալիս պասիվ լսողի դերից և ստանձնում ակտիվ մտածողի դեր: Եթե անգամ աշակերտի ուժերից վեր է կատարել ավելին, ապա ուսուցիչը ծայրահեղ դեպքում պետք է ստեղծի ինքնուրույն աշխատանքի պատրանք: Նշանակում է ուսուցչի օգնությունը պետք է լինի զգույշ և ոչ ձանձրալի: Ամենից լավ է ուսուցիչը տեսնի դժվարությունների աղբյուրը, հարց տա կամ ցույց տա այն քայլը, մինչև որը աշակերտը կկարողանա եզրակացության գալ ինքնուրույնա-բար [2]:

Մի քանի օրինակով ներկայացնեմ, թե ինչպես եմ հետազոտական աշխատանքների միջոցով գիտելիք «հայտնաբերել» սովորեցնում աշա-կերտներին: Նման խնդիրների լուծման լավագույն ճանապարհը խմբա-յին աշխատանքն է, որտեղ ձևավորվում է համագործակցելու, համաձայ-նության գալու, դիմացինին լսելու, հարգելու կուլտուրա: Այն սովորողին

36

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

տալիս է մտածելու, հետազոտելու, վերլուծելու և ընդհանրացնելու հնարավորություն: 1. VIII-րդ դասարանում «Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը» թեման ուսուցանելիս վարվում եմ հետևյալ կերպ.

Դասարանը բաժանում եմ խմբերի: Հարց 1. Ինչպե՞ս կարելի է չափել 14-հարկանի շենքի կամ էլեկտրասյան բարձրությունը ([3], [4]):

Աշակերտների պատասխանները լսելուց հետո ուսուցիչը տեղեկաց-նում է, որ նման հաշվարկներ կատարելու համար օգնության կգան նոր գաղափարներ՝ կապված եռանկյան անկյան հետ: Հարց 2. Ինչպիսի՞ն են ուղղանկյուն եռանկյան անկյունները: Ինչո՞ւ: Գծել, ցույց տալ: Հարց 3. Անվանե´ք որևէ սուր անկյուն: Հարց 4. Կարդացե´ք այդ անկյան կից էջը, դիմացի էջը :

Ապա առաջարկում եմ խմբերին գծել ABC ուղղանկյուն եռանկյուն B ուղիղ անկյունով: Ակնկալվում է , որ խմբերը կգծեն տարբեր դիրքերով եռանկյուններ:

Ապա հաջորդում են հետևյալ հրահանգները: Սուր անկյուններից մեկը նշանակի´ր α – ով: Նրա կից էջը գունավորի´ր: Ներքնաձիգը գունավորի´ր ուրիշ գույնով:

A

α

B α

C1

α

A

B

CB

C A

37

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Խմբերին առաջարկում եմ չափել այդ էջը և ներքնքձիգը, տվյալները գրանցել: /Այստեղ շատ կարևոր է խմբի ներսում կատարել աշխատանքի բաժանում /:

Գտի´ր էջի և ներքնաձիգի հարաբերությունը:

Եկե´ք մեծացնենք մեր գծագիրը: Դրա համար մի քիչ շարունակենք α անկյան կից էջը և այդ հատվածի ծայրից տանենք այդ էջին ուղղահայաց ՝ մինչև ներքնաձիգի շարունակության հետ հատվելը:

Նորից չափի´ր նոր ուղղանկյուն եռանկյան α անկյան կից էջը և ներքնաձիգը, հաշվի´ր այդ էջի և ներքնաձիգի հարաբերությունը:

Ստացված քանորդը համեմատե´ք նախորդ արդյունքի հետ:

Աշակերտները կնկատեն, որ ստացվել է նույն արդյունքը:

Ուսուցիչ՝ ա՜յ քեզ թիվ: Պատահականությու՞ն է սա: Եկե´ք հիմա էլ փոքրացնենք մեր գծագիրը: (Ակնկալվում է, որ աշակերտները կհաս-կանան ինչպես):

Նորից կատարե´ք նույն չափումները և հաշվե´ք նույն հարաբե-րությունը: Տեսնենք կստացվի՞ նույն արդյունքը:

Աշակերտները կնկատեն, որ դարձյալ ստացվում է նույն արդյունքը: Խմբերին 3 րոպե ժամանակ եմ տրամադրում մտածելու համար, թե

ինչու է արդյունքը բոլոր դեպքերում նույնը: (Ակնկալվում է, որ աշա-կերտները «կգուշակեն», որ արդյունքները հավասար են, որովհետև հավասար է α անկյունը:)

Ուսուցիչ՝ ուշադրություն դարձրե´ք: Բոլոր խմբերում եռանկյունները

դասավորված են տարբեր կերպ, կողմերի երկարությունները տարբեր

A

BB1

C1Cα

38

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

են, բայց նրանց հարաբերությունը յուրաքանչյուր խմբում ստացվեց նույնը: Ինչի՞ց է կախված դա:

Աշակերտ՝ անկյան մեծությունից: Այն բոլոր դեպքերում մնաց նույնը: Ուսուցիչ՝ դուք տեսնում եք, որ այդ թիվը՝ էջի և ներքնաձիգի հարա-

բերությունը յուրահատուկ թիվ է: Դրա համար էլ դրան տվել են հատուկ անուն, որպեսզի երկրագնդի յուրաքանչյուր անկյունում ով լսի այդ բառը, հասկանա, որ խոսքը գնում է թվի մասին, որն արտահայտում է ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կից էջի և ներքնաձիգի հարաբե-րությունը: Իսկ այդ թիվն անվանում են կոսինուս:

Եկեք միասին ասենք այդ բառը՝ կոսինուս: Միշտ հիշե´ք, քանի որ կոսինուսը կախված է միայն անկյան աստիճանային չափից, ուստի առանց այդ անկյունը անվանելու կոսինուսի նշանակումը կկորցնի իր իմաստը: Դրա համար էլ այն նշանակում են այսպես՝ cosα: Աշակերտների ընկալողականությունը ստուգելու համար հարցնում եմ. Ո՞վ կարող է սահմանել այս հասկացությունը (մի քանի աշակերտ

կրկնեն սահմանումը:) Ուրեմն ինչի՞ է հավասար cosA, cosC, cosC1: Ի՞նչ եք կարծում, էլ ի՞նչ հարաբերություն կարելի է կազմել ABC

ուղղանկյուն եռանկյան կողմերի միջև: (Աշակերտները կազմում են բո-լոր հնարավոր հարաբերությունները) Նույն ձևով սահմանել սուր անկյան սինուսը, տանգենսը, կոտանգենսը:

Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան sin, cos, tg – ը հաշվելը գիտե-նալուց հետո աշակերտները հանգում են այն եզրակացության, որ կա-րող են հաշվել էլեկտրասյան բարձրությունը: /Նախ կորոշեն, թե ի՞նչն է հնարավոր չափել առանց սյան վրա բարձրանալու, հետո՝ ինչպե՞ս են գտնելու այն:/

Նկատենք, որ թեման ուսումնասիրվում է նախքան «Եռանկյունների նմանություն» թեման ուսումնասիրելը: Այն հիմք է հանդիսանալու հետագայում այդ թեման յուրացնելու համար: 2. VII–րդ դասարանում «Եռանկյան անկյունների գումարը» թեման անցնելիս կատարվում են հետևյալ հետազոտական աշխատանքները:

Դասարանը բաժանում եմ խմբերի: Խմբերից յուրաքանչյուրին տա-լիս եմ գունավոր թղթերից կտրատած եռանկյուններ և առաջարկում անկյունաչափով չափել յուրաքանչյուր եռանկյան անկյունները, ապա

39

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

չափման արդյունքները գրանցել գրատախտակին նախապես գծված աղյուսակում:

Խմբերին առաջադրում եմ հետևյալ հարցերը. 1. Կարո՞ղ եք գտնել օրինաչափություն այդ եռանկյունների համար:

/Ակնկալվում է, որ կհաշվեն յուրաքանչյուր եռանկյան անկյունների գումարը և կնկատեն, որ այն նույնն է:/

2. Արդյո՞ք պատահական է այդ արդյունքը: Ապա խմբերին առաջարկում եմ լուծել հետևյալ խնդիրները ([4]).

Ապա հաջորդում են հետևյալ հրահանգները.

Համեմատե՛ք ստացված արդյունքները:

A C

D

A

B

B D

А C

B

D

C

Հայտնի է , որ AD II BC: Գտնել ABC եռանկյան անկյունների գումարը:

Հայտնի է, որ BD II AC: Գտնել ABC եռանկյան անկյունների գումարը:

Հայտնի է, որ DC II AB:Գտնել ABC եռանկյան անկյունների գումարը:

40

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

/Աշակերտները կնկատեն, որ դարձյալ տացվում է նույն արդյունքը:/ Կտրե՛ք եռանկյան անկյունները և միավորեք դրանք:

Մյուս եռանկյունը ծալե՛ք այնպես, որ երեք անկյունների գագաթ-ները գտնվեն մեկ կետում և գտնե՛ք դրանց գումարը:

Կատարե՛ք եզրակացություն:

Լսել աշակերտների պատասխանները /եռանկյան անկյունների գումարի մասին թեորեմի ձևակերպումը: /Ապա առաջարկում եմ խմբե-րին` ապացուցել այդ թեորեմը և աշխատել այնպես, որ խմբի բոլոր ան-դամները կարողանան ներկայացնել այն: /Եթե 2 – 3 րոպե քննարկելուց հետո խմբերը չեն կարողանում ապացույցը կատարել, հուշել՝ կատարել լրացուցիչ կառուցում:/ 3. V – րդ դասարանում 3–ի, 9–ի և 4–ի բաժանելիության հայտանիշ-ներն անցնելիս աշակերտներին հնարավորություն եմ տալիս «հայտնա-գործել», բացահայտել այդ հայտանիշները հետևյալ կերպ. Դասարանը բաժանում եմ խմբերի և առաջարկում կատարել հետևյալ հրահանգները. 1. Փորձե´ք բերել 3 – ի բաժանվող եռանիշ թվերի օրինակներ: 2. Ի՞նչ եք կարծում, ինչպիսի՞ պայմանների պետք է բավարարի թիվը,

որպեսզի բաժանվի 3 – ի: 3. Ինչո՞վ կհիմնավորեք, որ այդ թվերը բաժանվում են 3 – ի: (Ակնկալվում է, որ կկատարեն բաժանում:)

Վերցնում եմ բերված օրինակներից մեկը և փոխելով այդ թվի թվանշանների տեղերը բոլոր հնարավոր տարբերակներով (6 տարբե-րակ), առաջադրում եմ հետևյալ հարցերը.

Բաժանվու՞մ են, արդյոք, ստացված թվերը 3 –ի: (Աշակերտները խմբերում կատարում են բաժանում և համոզվում դրանում:) Ի՞նչ ընդհանրություն կարող եք նշել այդ թվերի համար:

Ակնկալվող պատասխաններ են. ա/ Դրանք բոլորն էլ կազմված են միևնույն թվանշաններից: բ/ Բոլորն էլ բաժանվում են 3 – ի: գ/ Թվանշանների գումարը նույնն է: դ/ Թվանշանների արտադրյալը նույնն է:

41

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Սպասվող պատասխանը չլսելու դեպքում տալիս եմ հուշող հարց. Ի՞նչ կապ եք տեսնում թվանշանների գումարի և 3 թվի միջև [3]: Աշակերտները «կհայտնագործեն» հայտանիշը:

ե/ Նշե´ք ուրիշ որևէ թիվ, որը բաժանվում է 3 – ի: զ/ Պահպանվո՞ւմ է այդ օրինաչափությունը:

Աշակերտները խմբերում ձևակերպում և դասարանին են ներկա-յացնում 3–ի բաժանելիության հայտանիշը:

Նույն ձևով բացահայտում են մյուս հայտանիշները: Այսպիսով դասը հետաքրքիր դարձնելու, մաթեմատիկայի հանդեպ

սովորողների հետաքրքրության առաջացմանը նպաստող ճանապարհ-ները շատ են: Պետք է դասը հետաքրքիր դարձնելով օգնել աշակեր-տին՝ ուսուցման գործընթացում ձեռք բերելու ինքնուրույնություն և նախաձեռնություն, սովորեցնել <<հայտնագործել>> ճշմարտությունը: Սրանք են այն պահանջները, որոնք ներկայացվում են ժամանակակից դպրոցին:

Գրականություն

1. Ս.Հակոբյան և ուրիշներ. Մաթեմատիկա, Ուսուցիչների 5-օրյա վերա-

պատրաստումների պլան և նյութեր Կրթության ազգային ինստի-տուտ, Երևան, 2006:

2. Դ. Պոյա, «Ինչպես լուծել խնդիրը», Երևան, 1961թ.: 3. Ն. Բայաթյան, «Մեթոդներ և խաղեր մաթեմատիկայի դասավանդ-

ման համար» Ձեռնարկ ուսուցիչների համար, 2008թ.: 4. Լ. Աթանասյան և ուրիշներ, Երկրաչափություն 7, 8 «Զանգակ-97»

2011թ, 2012թ.: 5. 6. Բ. Նահապետյան, Ա. Աբրահամյան, Մաթեմատիկա 5, 2011 թ.:

42

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

The role of research in mathematics teaching process

A. Sahakyan Summary

In this article it is introduced the importance and the role of research

in mathematics teaching process. It develops student thinking, gives the opportunity to think, research, analyze and summarize. Student becomes not a passive but an active participant. By some examples it is introduced how we can give a student to do revelation and find out knowledge. There are even introduced some methods that help to find the answers of questions, through research and innovations.

Роль исследований в области математики в процессе обучения

А. А. Саакян Резюме

В статье представлены важность и роль научных исследований в

процессе обучения математики. Она развивает мышление учащихся, дает возможность думать, исследовать, анализировать и обобщать. Учащиеся становятся не пассивными, а активными участниками. Даны несколько примеров того, как могут учащиеся через исследования делать "открытия'', "обнаружить'' знания. Представлено также "открытие'', благодаря которому, с помощью проведения исследованной работы, можно найти ответы на свои вопросы.

Աղունիկ Արտուշի Սահակյան - Վանաձորի Պ. Սևակի անվան N30 հիմնական դպրոցի ուսուցչուհի

Հեռախոս՝ 099 07 43 33 Էլ. հասցե ՝ a-sahakyan56@mail.ru

43

«ԱԾԱՆՑՅԱԼԻ ԿԻՐԱՌՈՒՄԸ» ԹԵՄԱՅԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԻՄ ՓՈՐՁԻՑ

Վ. Շ. Շահնազարյան Երևանի N 118 ավագ դպրոց

Բանալի բառեր - ֆունկցիա, որոշման տիրույթ, ածանցյալ, կրիտիկական կետ, էքստրեմում, մոնոտո-նություն, անընդհատություն, մեծագույն, փոքրագույն և այլն:

Խնդիրների լուծման համար մենք կազմում ենք դրանց մաթե-

մատիկական մոդելը, ինչը ներկայացվում է այս կամ այն բանաձևի կամ, շատ դեպքերում, ֆունկցիայի տեսքով, որի հետազոտման համար անգնահատելի է ածանցյալի կիրառությունը: Հայտնի է նաև, որ ածանց-յալի օգնությամբ հեշտությամբ գտնում ենք օպտիմալ լուծումներ, կրիտիկական իրավիճակներ և այլն: Ասվածը հիմնավորենք օրինակ-ներով:

Եթե շատ հեշտությամբ մենք գտնում ենք ( ) անընդհատ ֆունկ-ցիայի մեծագույն և փոքրագույն արժեքները , ] հատվածում, ապա խնդիրների լուծման ժամանակ մենք հանդիպում ենք որոշակի դժվարու-թյունների, քանի որ պետք է հաղթահարենք ներքոհիշյալ դժվարություն-ները.

ա) ճիշտ կողմնորոշվել խնդրի այս կամ այն տարրը անհայտով նշանակելիս,

բ) գտնել նշանակված անհայտի թ.ա.բ. – ը ըստ խնդրի պայ-մանների,

գ) գտնել համապատասխան ֆունկցիոնալ կախվածություն խնդրի պահանջի և նշանակված անհայտի միջև: Նշված միջակայքում գտնել նրա մեծագույն և փոքրագույն արժեքները,

դ) հանգել տվյալ խնդրի վերաբերյալ եզրակացության: Այս տեսակի խնդիրները լուծելիս հնարավոր է երեք դեպք.

44

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

ա) երբ նշանակած փոփոխականի փոփոխման տիրույթը , ] հատվածն է,

բ) երբ փոփոխման տիրույթը (−∞, ] - միջակայքն է, գ) երբ փոփոխականի փոփոխման տիրույթը [a, ∞) միջակայքն է: Խնդիր 1. Պատուհանն ունի ուղղանկյան ձև, որն ավարտվում է

կիսաշրջանով: Տվյալ եզրագիծ ունեցող պատուհանը ինչպիսի՞ չափերի դեպքում կունենա մեծագույն մակերես:

Եզրագծի երկարությունը նշանակենք , ուղղանկյունաձև մասի բարձրությունը՝ = ℎ, ուղղանկյունաձև մասի լայնությունը՝ = 2 , իսկ մակերեսը՝ : = 2 ℎ + 2 , = 2 + 2ℎ + :

Ակնհայտ է, որ ≥ 0, փոփոխականի փոփոխման տիրույթը որոշելու համար նկատենք, որ ℎ ≥ 0, բայց ℎ = ≥ 0 ⇔ ≤ , այսինքն՝ ստա-

ցանք, որ ∈ 0, : Տեղադրելով ℎ-ի արժեքը մակերեսի բանաձևում և կատարելով պարզագույն ձևափոխություն, կստանանք, որ -ը կախված է միայն - ից և ունի հետևյալ տեսքը. ( ) = − 2 − 2 :

Գտնենք կրիտիկական կետերը. ( ) = − 4 − , − 4 − = 0, = + 4: Մնում է գտնել ( ) - ի արժեքները 0; ; կետերում: (0) = 0, = − ( ) − ( ) = ( ),

A D2 x

B C

h

O• x

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

45

+ 2 = + 2 − 2( + 2) − 2( + 2) = 2( + 2) = 2( + 4 + 4): Համեմատենք և մեծությունները.

+ 4 = 2( + 4 ) > 2( + 4 + 4), այսինքն > , և ստացանք, որ ( ) = = ( ):

Այսինքն՝ պատուհանը կունենա մեծագույն մակերես, եթե ուղղանկյունաձև մասի լայնությունը՝ = : Գտնենք ℎ - ը ℎ = 2 − 12 ∙ ( + 2)+ 4 = + 4:

Խնդիր 2. Գտնել 2 լրիվ մակերևույթի մակերես ունեցող այն գլանի

բարձրությունը և հիմքի շառավիղը, որն ունի մեծագույն ծավալ: լր = 2 ( + ): Ըստ պայմանի 2 ( + ) = 2 : ( + ) = 1, + = 1, = 1 − :

Ակնհայտ է, որ > 0 ⟹ 1− > 0 ⟹ < 1 Բայց > 0, հետևաբար ∈ (0; 1) == (1 − ) = ( − − ): Քանի որ -

ն կախված է - ից, ուստի ( ) = ( − ): Մնում է գտնել ( )-ի մեծագույն արժեքը (0; 1) միջակայքում: Գտնենք կրիտիկական կետերը. ( ) = (1 − 3 ), 1 − 3 = 0, = , = ±√ :

Բայց −√ ∉ (0; 1), √ ∈ (0; 1): Այստեղ կարող ենք շարունակել հետևյալ ձևով: Քանի որ ( ) - ը որպես ֆունկցիա փոփոխվում է - ի վրա, ապա ( ) - ի մեծագույն արժեքը 0; 1] միջակայքի համար կլինի. (0) = (0 − 0 ∙ 0),

DO xA

H

CB 1O

46

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

(1) = (1 − 1 ) = 0, 1√3 = 1√3 − 13√3 = 3 − 13√3 = 23√3 > 0 ⟹ ( ) = 1√3 = 23√3; ] , ( ) = √ = √ : Ուստի գլանը կունենա մեծագույն ծավալ,

եթե = √ , = √ = √ = √ : Այսինքն առանցքային հատույթը լինի քառակուսի: Խնդիր 3. Գտնել այն դրական թիվը, որի քառակուսու եռապատիկի

և խորանարդի տարբերությունը մեծագույնն է: Լուծում:

Որոնելի թիվը

նշանակենք –ով, որտեղ ∈ (0; ∞), իսկ նշված տարբերությունը կախված է - ից և այն նշանակենք ( ) - ով: ( ) = 3 − :

Գտնենք ( ) - ի մեծագույն արժեքը (0; ∞) - ում: = 6 − 3 , 6 − 3 = 0 ⟺ = 0= 2: (0; ∞) միջակայքը տրոհենք միջակայքերի: Նկատում ենք, որ երբ ∈ (0; 2), ( ) աճող է և այդ միջակայքի բոլոր կետերում ( ) ≤ (2), քանի որ ( ) -ը անընդհատ է = 2 կետում: Եթե ∈ (2;∞), ապա ( ) < 0, ուստի այդ միջակայքում ( ) - ը նվազող է և միջակայքի բոլոր կետերում (2) ≥ ( ) ստացվում է, որ = 2 կետը միակ կրիտիկական կետն է և այդ կետում ( ) - ն ունի միակ մաքսիմում, ուստի և այն կլինի մեծագույնը:

( )f x′ ( )f x′

2

0

+ −

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

47

( ) =( ; ) (2) = 3 ∙ 2 − 2 = 12 − 8 = 4:

Պատասխան՝ որոնելի թիվը 2 - ն է: Խնդիր 4. = պարաբոլի վրա գտնել այն կետը որի հեռա-

վորությունը (2; 0,5) կետից ամենափոքրն է: Կատարենք խնդրի պայմաններին համապատասխան սխեմատիկ

գծագիր: Համոզվենք, որ կետը պարաբոլի կետ չէ: Իսկապես՝ 0.5 ≠ 2 :

Նշանակենք պարաբոլի կամայական կետը ընթացիկ , որի կոորդինատները կլինեն ( , ) և գտնենք հեռավորությունը. = ( − 2) + ( − 0.5) , որտեղ ∈ (−∞;+∞)

Քանի որ արմատը փոքրագույն արժեք կունենա այն դեպքում, երբ

արմատատակ արտահայտությունը լինի փոքրագույնը, ուստի փնտրենք ( ) = ( − 2) + ( −−0.5) ֆունկցիայի փոք-րագույն արժեքը - ի վրա: Գտնենք կրիտիկա-կան կետերը. ( ) = 2( − 2) + 2 ∙ 2 ( − 0,5) = 2 − 4 + 4 − 2 = 4 − 4, 4 − 4 = 0 = 1 :

Ակնհայտ է, որ ( ) - ը = 1 կետում անընդհատ է: Նկատում ենք, որ երբ ∈ (−∞; 1), ապա ( ) < 0, հետևաբար ( )- ը նվազող է այդ միջակայքում և միջակայքի բոլոր - երի համար ( ) ≥ (1), իսկ երբ ∈(1;∞) միջակայքին ⟹ ( ) > 0 ⟹ ( ) - ը աճող է այդ միջակայքում և

( )2;0,5A

210

1

4

y2y x=

( )f x′ ( )f x′

1− +

48

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

միջակայքի բոլոր - երի համար ( ) ≥ (1): Ակնհայտ է, որ = 1 կետում (1) - ը ( ) - ի համար փոքրագույն արժեք է, երբ ∈ , ուստի ( ) = (1) = (1 − 2) + (1 − 0.5) = 1 + 0.25 = 1.25( ; ) : = պարաբոլի վրա որոնելի կետի աբսցիսը՝ = 1, ըստ պայմանի = 1 = 1 և այդ կետն է (1; 1):

Օրինակ, շրջանագծի վրա տրված է կետը: կետում տարված շոշափողին զուգահեռ տարված է լարը: Ի՞նչ հեռավորության վրա տրված կետից պետք է տանել լարը, որպեսզի ∆ - ի մակերեսը լինի ամենամեծը:

Տրված է շոշափողը և լարը: ∥ : Նշանակենք շրջանագծի շառավիղը - ով, որոնելի հեռավորությունը՝ - ով: ∆ - ի մակերեսը նշանակենք - ով: Հայտնի է, որ ∆ = ∙ = ∙ , որտեղ ∈ (0; 2 ): Գտնենք - ն: Քանի որ ∥ և ⊥ ⟹ ⊥

: Շարունակենք -ն մինչև այն դառնա տրամագիծ, այդ դեպքում ∆ – ից՝ = ∙ = (2 − ), = 2 − ⟹ = √2 − ⟹ = √2 − :

∆ = 12 ∙ 2 2 − = 2 − : Քանի որ արմատը կստանա մեծա-

գույն արժեք, եթե արմատատակ արտա-հայտությունը լինի մեծագույնը, ուստի ( ) = 2 − ֆունկցիայի մեծագույն արժեքը փնտրենք 0; 2 ] հատվածում և անենք եզրակացություն մեր խնդրի համար: ( ) = 6 − 4 = 2 (3 − 2 ), ( ) = 0 ⟺ = 0= :

Հաշվենք ( ) - ի արժեքները 0, , 2 կետերում: (0) = 0, = 2 ∙ − = = , (2 ) = 2 ∙ 8 − 16 = 0: Հետևաբար՝ ( ); ] = = :

CDxE

B

A 1D

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

49

Քանի որ ( ) - ը մեծագույն արժեք ստացավ 0; 2 ] հատվածի

ներքին կետում, ուստի և ( ); ] = = = √ , հետևաբար ∆ - ն կունենա մեծագույն մակերես, եթե = : Գտնենք - ն: Նախ գտնենք - ն = 2 ∙ 32 − 92 = 12 − 94 = √32 :

Այժմ գտնենք - ն: = + = √3 = √3, քանի որ =⟹ = √3: Եզրակացություն: ∆ - ն կլինի մեծագույնը, եթե այն լինի

հավասարակողմ: Այդ դեպքում շոշափողի և լարի հեռավորությունը պետք է լինի՝ = :

Գրականություն

1. Գ. Գևորգյան, Ա. Սահակյան, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական

անալիզի տարրերը, 9, 10 - րդ դասարանների դասագրքեր, Երևան 2005,

2. Է. Ի. Այվազյան, Հանրահաշվի և մաթեմատիկական անալիզի տարրերը, Լուծումների ուղեցույց, Երևան,

3. Հ. Միքայելյան, Հանրահաշիվ 7, 8 Երևան, 2006, 2007: 4. Ֆիխտենգոլց, Դիֆֆ. և ինտեգրալ հաշվի դասընթաց 5. Կոլմոգորով, Հանրահաշիվ և մաթեմատիկական անալիզի

տարրերը, 9-10 Երևան, 2003 6. Կ. Գ. Առաքելյան, Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու, 6-10

դաս., Երևան, 7. Виленкин и др., Алгебра и начала анализа, 9-10, Москва.

50

ՄԵՐ ՓՈՐՁԸ

Из моего опыта по теме ' 'Применение производной' ' В. Ш. Шахназарян

Резюме В статье автор представил четыре задачи, решаемые с помощью

применения производной, требование трех из которых одинааковое, а именно ''Найти наибольшее значение функции'', однако разница между этими задачами состоит в том, что неизвестное в первой задаче - ∈; ], во второй задаче - ∈ ( ; ), а в третьей задаче - ∈ ( ;∞). В четвертой задаче требуется найти наименьшее значение функции.

Taken from my study experience on ''Use of derivatives'' V. Sh. Shahnazaryan

Summary The author brought in the article four mathematical problems, beingsolvedbymeansofuseofderivatives,therequirementsofthethreeofwhichwas the same, i. e. ''to find the largest value of the function'', however thedifference between those problems was that the indeterminate in the firstproblemis- ∈ ; ],inthesecondproblem- ∈ ( ; ),inthethirdproblem- ∈ ( ;∞).In the fourthproblem itwasrequired to find thesmallestvalueof thefunction.

Վ. Շ. Շահնազարյան - Երևանի N 118 ավագ դպրոց Հեռախոս՝ 095 13 92 20

51

ՀԱՆՐԱՀԱՇՎԱԿԱՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ԼՈՒԾՈՒՄԸ ԵՐԿՐԱՉԱՓՈՒԹՅԱՆ ԿԻՐԱՌՄԱՄԲ

Ա.Յա.Սահակյան

Ֆիզմաթ գիտությունների թեկնածու Հրազդանի №13 ավագ դպրոց

Լ.Կ.Սահակյան Բջնիի միջնակարգ դպրոց

Բանալի բառեր - դրական թիվ,համակարգ, անհավա-սարություն, երկրաչափություն, եռանկյուն, հավասարում, կոսինուսների թեորեմ, պյութագորասի թեորեմ:

Սովորողների մտավոր զարգացման և ընդհանուր կուլտուրայի ձևա-վորման գործում մաթեմատիկայի ուսուցման դերն ու ազդեցությունը բավականին մեծ են, և ուսուցչի առաջնակարգ խնդիրներից է զարգացնել կարողություներ, ընդլայնել գիտելիքները, որոնց առկայության դեպքում սովորողները կգտնեն խնդիրների գեղեցիկ ու հետաքրքիր լուծումներ: Հոդվածի նպատակն է երեխաների մոտ զարգացնել կարողություններ, որպեսզի նրանք կարողանան կիրառել իրենց երկրաչափական գիտելիք-ները` հանրահաշվական խնդիրներ լուծելիս: Շատ հանրահաշվական խնդիրներ ունենում են հետաքրքիր լուծումներ` երկրաչափության կիրառ-մամբ:

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

52

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Ստորև ներկայացվում են հանրահաշվական խնդիրներ` իրենց երկրաչափական հետաքրքիր և գեղեցիկ լուծումներով, որոնք լուծելու դեպքում սովորողները ձեռք կբերեն կայուն և հիմնավոր գիտելիքներ*: Խնդիր 1: x, y, z դրական թվերը բավարարում են

+ +3

2y = 25,3

2y + = 9, + + = 16 պայմաններին: Գտնել + 2 + 3 արտահայտության արժեքը: Լուծում: Հարթության մեջ դիտարկենք O կետից դուրս եկող = √ , = , = հատվածները այնպես, որ °=∠°=∠°=∠ 120.90,150 BOCAOCAOB (տես նկ.1): ∆ -ից (ըստ կոսինուսների թեորեմի) = + − 2 ∙ ∙ √ ∙ cos 150° = ++ + = 25 => = 5 : ∆ -ից (ըստ Պյութագորասի թեորեմի) = 9

32

2

=+ zy => = 3 :∆ -ից (ըստ կոսինուսների թեորեմի) = + − 2 ∙ ∙ ∙ cos 120° = + + = 16 => = 4 : Քանի որ + = 3 + 4 = 25 = ,հետևաբար ∠ = 90°: Ունենք = + + => ++°

32

1150sin

32

1 yzyx

⋅⋅=°+ 432

1120sin

2

1 xy 64

3

3234=++ xzzyxy => + 2 + 3 == 24√3 :

* Խնդիրները և լուծումները վերցված են [1] և [2] աշխատանքներից (խմբագրություն)

Նկ.1

√3 1500

1200 A

B

C

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

53

Խնդիր 2: x, y, z դրական թվերի համար լուծել հավասարումների համակարգը: + + = 4+ + = 9+ + = 36

Լուծում:

Հարթության մեջ դիտարկենք O կետից

դուրս եկող = , = , =

հատվածները այնպես, որ

∠ = ∠ = ∠ = 120° (տես նկ.2): ∆ -ից (ըստ կոսինուսների թեորեմի) = + − 2 cos 120° = + + = 4 => = 2: ∆ -ից (ըստ կոսինուսների թեորեմի) = + − 2 cos 120° = + + = 9 => = 3: ∆ -ից (ըստ կոսինուսների թեորեմի) = + − 2 cos 120° = + + = 36 => = 6 :

Նկատենք, որ + = 2 + 3 = 5 < 6 = => + < , որը հակասում է եռանկյան անհավասարությանը, հետևաբար այդ համակարգը լուծում չունի:

Խնդիր 3: x, y դրական թվերի համար լուծել հավասարումների համակարգը:

=−++

=−

24

48

22

22

yxyx

yxy

Լուծում:

Դիտարկենք = − և

= էջերով

A

B

B

y

Նկ.3

Նկ.2

2 3

6

120°

120°x

y

z C

A

M

C

o

rP

22 yx −

54

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

ուղղանկյուն եռանկյունը(տես նկ.3) : ∆ -ից (ըստ Պյութագորասի թեորեմի) = + − = => = : Ունենք =

2

1 ∙ − = 24: Մյուս կողմից

= ∙ = 24122

24

2

22

===−++

rrryxxy => = 2 :

Ունենք` = + = + = − + − = − 2 + − —2 + + − − 4 = 24 − − 4 = 20 − => = 20 − 10 => => = 6, = 8 Պատասխան` (10,6), (10,8) : Խնդիր 4: a, b, c դրական թվերի համար ապացուցել անհավասարու-թյունը: √ − + + √ − + ≥ √ + +

Լուծում:

Հարթության մեջ դիտարկենք O կետից դուրս եկող = , = , = հատվածները այնպես,

որ∠ = 60°, ∠ = 60°, ∠ = = 120°:(տես նկ.4) ∆ -ից (ըստ կոսինուսների թեորեմի) = + − 2 cos 60° = + − : ∆ -ից (ըստ կոսինուսների թեորեմի) = + − 2 cos 60° = + − : ∆ -ից (ըստ կոսինուսների թեորեմի) = + − 2 cos 120° = + + :

B

A

O

C

c a

b

600 600

Նկ. 4

d

D

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

55

Ըստ եռանկյան անհավասարության + ≥ ,հետևաբար`

√ − + + √ − + ≥ √ + + : Նկատենք, որ հավասարությունը տեղի ունի, եթե B կետը գտնվում է AC հատվածի վրա:

Խնդիր 5: Հաշվել 15°: Լուծում:

Դիտարկենք ( = ) հավասարասրուն եռանկյունը, որտեղ ∠ = 30° (տես նկ.5):

Դիցուք = = 2: ABC եռանկյան մեջ տանենք AD և BE

բարձրությունները:

Ունենք =2

AB = 1, = √2 − 1 = √3, հետևաբար 15° =

321

32 −=−=−=ADBDBC

ADCD :

Խնդիր 6: Ապացուցել, որ cos 36° −−cos 72° = :

Լուծում:

Դիտարկենք ( = ) հավասա-րասրուն եռանկյունը, որտեղ =1, ∠ = 36° (տես նկ.6)

ABC եռանկյան մեջ տանենք AD կիսորդը:

Նկ.6

E

15°15°

60°

А

2

B

D

36° 36°

36°

72°

A

B

C

H1

108°

72°

D

H2

Նկ. 5

15°

C

56

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Նկատենք, որ BD=DA=AC=1 :

Ունեն = °== 36cos222 11 AD

AHAH

= 2 = 2ACCH 2 = 2cos 72°:

Մյուս կողմից = + => = + => 2 cos 36° = = 1 + 2 cos 72° => cos 36° − cos 72° =2

1:

Խնդիր 7: Հաշվել 1 + 2 + 3: Լուծում:

Դիտարկենք AB=3, BC=2 կողմերով ուղղանկյունը և նրա մեջ MNB եռանկյունը

(տես նկ.7):

Նկատենք, որ ∆ = ∆ => ∠ + ∠ = 90° => ∠ = 90°: Քանի որ = => ∠ = 45°: Նշանակենք ∠ = ,∠ = : Ունենք = 3, = 2,հետևաբար 3 = , 2 = : Այսպիսով 1 + 2 + 3 =

4

π + ++ = :

Խնդիր 8: Գտնել ( ) = √ + 4 + − 3 √3 + 9 ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը:

Նկ.7

α β

C B

M

N D A

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

57

Լուծում: Խնդիրը լուծելու համար դիտարկենք նկար 8-ը: = 2, = 3, = , ∠ =90°, ∠ = 30°: ∆ -ից (ըստ Պյութագորասի թեորեմի) = + 4 => = √ + 4 : ∆ -ից (ըստ կոսինուսների թեորեմի) = + 9 − 2 ∙ 3 ∙ cos 30° = + 9 − 3√3 => = − 3 √3 + 9 : ∆ -ից (ըստ կոսինուսների թեորեմի) = 2 + 3 − 2 ∙ 2 ∙ 3 cos 120° = 4 + 9 + 6 = 19 => = √19: Ըստ եռանկյան անհավասարության` + ≥ , հետևաբար ( ) = ( + ) = = √19 : Խնդիր 9: Հաշվել

2

1

13

5:

Լուծում: Դիտարկենք ABC ուղղանկյուն եռանկյունը, որտեղ = 12, =5, ∠ = 90° (տես նկ.9): Դիցուք BD-ն B գագաթից տարված կիսորդ է:

Ըստ կիսորդի հատկության DACD

==ABBC =

13

5 : Նշանակենք CD=5x, AD=13x: Ունենք = 5 + 13 = 12 => =

3

2 :Նշանակենք α=∠CBD :

B

A D

B C

Նկ.8

αα

C A

5x 13x D

513

Նկ.9

2 x

30°

58

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Ունենք 2

31

5

5 ===xx

ctgα , մյուս կողմից cos 2 =13

5 => 2 =13

5

=> =2

1

13

5հետևաբար =

2

1

13

5 =2

3:

Խնդիր 10: x, y, z, դրական թվերի համար լուծել հավասարումների համակարգը:

10941

8222 =+++++

=++

zyx

zyx

Լուծում: Խնդիրը լուծելու համար դիտարկենք նկար 10-ը:

Նկատենք, որ = + + = 8, = 1 + 2 + 3 = 6, հետևաբար = + = √8 + 6 = 10: Մյուս կողմից + + = √ + 1 + + 4 + √ + 9 = 10:

Այսինքն` + + = հետևաբար , : Նկատենք, որ , պայմաններից

B2 y

B3

1

3

B3

C 10

A

A1 A2 A3

B

2

z

Նկ.10

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

59

հետևում է ∆ ∞∆ ∞∆ եռանկյունների նմանությունը,

որտեղից կստանանք` 2

1=yx

, 3

2=zy => =

2

y , =2

3y:

Ունենք + + = 8 => 2

y + +2

3y = 8 => =3

8

=> =3

4 , = 4:Դժվար չէ ստուգել, որ =3

4 , =3

8

, = 4

թվերը բավարարում են նաև համակարգի երկրորդ հավասարմանը: Պատասխան` , , 4 :

Խնդիրներ ինքնուրույն աշխատանքի համար

1. x,y,z դրական թվերը բավարարում են 2

2 2 250, 1692

yx y x xy+ = + + =

և 1442

22 =++ zxzx պայմաններին: Գտնել zxyzxy ++

արտահայտության արժեքը: 2. Լուծել հավասարումների համակարգը

==+=++

zxyzyx

zyx

12

60222

3. Հաշվել sin18°

4. Հաշվել 2arcctg5-arctg12

5

5. Գտնել ( ) 9334 22 +−++= xxxxf ֆունկցիայի փոքրագույն արժեքը:

Գրականություն

1. Г.З.Генкин, Геометрические решения негеометрических задач , Москва, «Просвещение» 2007 .

2. Ն.Մ.Սեդրակյան, Հ.Մ.Ավոյան, Անհավասարությունների ապա-ցուցման մեթոդներ, Երևան 1998:

60

ՄԻՋԱՌԱՐԿԱՅԱԿԱՆ

Решение алгебрических задач с использованием геометрии Артак Саакян, Лилит Саакян

Резюме В статье представлены решения алгебраических задач с применением геометрии. Материал поможет учителю сформировать математическое мышление и вызвать интерес к предмету, а также повысить уровень умственной активности учащегося. Цель статьи-развитие навыков использования геометрических знаний у учащихсядля решения алгебрических задач. Статья может быть полезна для подготовки олимпиад, внеклассных кружков,а также математических конкурсов.

The solutions of algebraic problems with use of geometry Artak Sahakyan, Lilit Sahakyan

Summary The article demonstrates the solutions of algebraic problems with help of geometry. The material will help teachers create mathematical thinking skill and interest in the subject as enhance the mental activity of the learner.The aim of the article is develop learners’ abilities to use the geometrical knowledge to solve algebraic problems. The article can be a great help in Olympiads, extracurricular coteries and mathematical competitions. Սահակյան Արտակ Յաշայի - Հրազդանի Հովսեփ Օրբելու անվան №13 ավագ դպրոց, ֆիզմաթ գիտությունների թեկնածու: Հեռախոս` 099-99-70-77, Էլ.հասցե` artak.sahakyan.82@mail.ru Սահակյան Լիլիթ Կորյունի - Բջնիի Հովհաննես Թումանյանի անվան միջնակարգ դպրոց Հեռախոս՝093-08-01-60 Էլ.հասցե` lilit.s.84@mail.ru

61

ԱՆԹԻՎ ԲԱԶՄՈՒԹՅԱՆ ԼՈՒԾՈՒՄՆԵՐ (ԱԲԼ) ՈՒՆԵՑՈՂ ՏԵՔՍՏԱՅԻՆ ԽՆԴԻՐՆԵՐԻ ՄԱՍԻՆ

Վաղարշակ Վարդանյան Լոս Անջելեսի Քաղաքային Քոլեջ (ԱՄՆ)

Բանալի բառեր – տեքստային խնդիրներ, հավասարումների համակարգ, լուծումների բազ-մություն, լուծումների սահմանափակումներ

Հանրահաշվի դասագրքերում բերվող՝ գծային հավասարում-ների համակարգերի մի մասը ունենում է անթիվ բազմության լուծումներ (մի մասն էլ լուծում չունեցող է), սակայն մեզ հայտնի չեն տեքստային խնդիրներ, որոնք բերվում են ԱԲԼ ունեցող (կամ լուծում չունեցող) համակարգերի: Ստորև բերվում է այդպիսի խնդրի մի օրինակ, ինչպես նաև այդպիսի խնդիրներ կազմելու մեթոդիկան:

Խնդիր: Գինիների հավաքածուն կազմված է երեք տեսակից՝ ըն-տիր, կարմիր և սպիտակ: Ընտիր գինու շիշը արժէ 3900 Դ, կարմիրինը՝ 1900 Դ, իսկ սպիտակինը՝ 1400 Դ: Հավաքածուի շիշերի ընդհանուր թիվը 40 է, ընդհանուր արժեքը՝ 74500 Դ: Սպիտակ գինու շշերի թիվը 3-ով ավելի է քան չորս անգամ ընտիր գինու շշերի թիվը: Յուրաքանչյուր տեսակի քանի՞ շիշ կա հավաքածուում: Լուծում. Նշանակելով ընտիր գինու շշերի թիվը՝ x, կարմիրինը՝ y, սպիտակինը՝ z, կունենանք հետևյալ հավասարումների համակարգը՝ x + y + z = 403900x + 1900y + 1400z = 74500z = 4x + 3

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

62

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

Հեշտ է համոզվել, որ համակարգը ունի ԱԲԼ, սակայն սահմանափա-կումները – լուծումները պետք է լինեն բնական թվեր – լուծումների թիվը դարձնում են վերջավոր՝ տվյալ դեպքում՝ յոթը:

Ընտիր գինու շշերի թիվը՝ x=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Կարմիր գինու շշերի թիվը՝ y= 32, 27, 22, 17, 12, 7, 2 Սպիտակ գինու շշերի թիվը՝ z= 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31

Ընդհանրացում

Խնդիր: Հավաքածուն բաղկացած է երեք տեսակ առարկաներից (մե-տաղադրամներ, դրոշմանիշներ, համերգի տոմսեր, և այլն) համապա-տասխանաբար m, n և p արժեքներով, ընդ որում m>n>p : Առարկաների ընդհանուր թիվը a է, իսկ ընդհանուր արժեքը՝ b: Ցածր արժեք (p) ունեցող առարկաների թիվը c-ով ավել է (կամ՝ պակաս է, եթե c-ն բացա-սական է) քան k անգամ բարձր արժեք (m) ունեցող առարկաների թիվը: Որոշել յուրաքանչյուր տեսակի առարկաների թիվը հավաքածուում:

Նշանակելով m, n և p արժեք ունեցող առարկաների թիվը համապատասխանաբար x, y և z, կունենանք հետևյալ հավասարումների համակարգը՝

x + y + z = amx + ny + pz = bz = kx + c

Թեորեմ: Վերը բերված հավասարումների համակարգը եզակի լուծում

չունի, եթե pnnmk

−−= . այն կունենա ԱԲԼ, եթե )(0 pncnabb −−== , և

լուծում չի ունենա, եթե 0bb ≠ : Թեորեմի ապացույցը բաց է թողնվում ակնհայտության պատճառով (k-ի և 0b -ի նշված արժեքները տեղադրելիս համակարգը բերվում է նույնության): Դրա փոխարեն ստորև բերվում է այս տիպի խնդիրների ստեղծման հերթականությունը.

- Ընտրել a և c թվերը կամայականորեն.

63

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

- Ընտրել m, n և p թվերը կամայականորեն, սակայն այնպես, որ

pnnmk

−−= թիվը լինի ամբողջ. գործնականորեն պետք է նախ

ընտրել k թվի արժեքը՝ 2, 3, 4 և այլն, որից հետո ընտրել m, n և p թվերը (հոգալով նաև դրանց իմաստալից լինելու մասին). - Հաշվել 0b -ն )(0 pncnab −−= բանաձևով. - Ընդունել 0bb = ՝ ԱԲԼ ստանալու համար, կամ b -ի ցանկացած այլ՝ 0b -ին ոչ հավասար արժեք, որի դեպքում խնդիրը լուծում չի ունենա:

Իհարկե, շատ ավելի հետաքրքրական է ԱԲԼ դեպքը, որովհետև խնդրի փաստացի լուծումների թիվը լինում է վերջավոր սահմանա-փակումների պատճառով. խնդրի լուծումը ամբողջացնելու համար պետք է գտնել այդ լուծումները: Դա արվում է x-ին տալով 1, 2, 3, … արժեքներ, հաշվելով համապատասխան z-երը z=kx+c բանաձևով և համապատասխան y-ները y=a–x–z բանաձևով, մինչև y-ի արժեքը ստացվի բացասական կամ զրո. փաստացի լուծումներ կլինեն միայն նախորդները:

О словесных задачах приводящих к системам линейных уравнений с бесконечним множеством решений

Вагаршак Варданян Резюме

Прикладные задачи приводящие к системам линейных уравнений с бесконечним множеством решений представляют особый интерес, либо естественные ограничеиия делают число решений ограни-ченним. Типичними задачами такого вида – о монетах и марках.

64

ԱՐՏԱԴԱՍԱՐԱՆԱԿԱՆ

On Word Problems Leading to Systems of Linear Equations with Infinitely Many Solutions

Vagarshak Vardanyan Summary

Word problems that lead to systems of linear equations with Infinitely Many Solutions are of particular interest since due to natural restrictions the actual number of solutions becomes limited. Typical problems of this kind are coin and stamp problems.

Վաղարշակ Վաղարշակի Վարդանյան - տգթ (Երևանի պոլիտեխնիկ ինստիտուտ), PhD (UCLA համալսարան), Լոս Անջելեսի Քաղաքային Քոլեջի դասախոս

Էլ. հասցե՝ vvvard@hotmail.com