www.MathSchool.cjb.net

If

Դպրոցում

О_IС5ւ_IС

i §

աԱ3 5 #

5 1 15 ° В

■§= 3 3_ճ d - յ

° ч 3

3 с

p i! | IJ S . 5

eоооCM

■ՀքСО

©

-У ժ ՜

ԿՐԹԱԿԱՆ ՀԻՄՆԱՀԱՐՑԵՐՄ . Մ կ ր տ չ յ ա նՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ԹԵԱՏԵՐԻ ՄԱՄԻՆ .................................... 3

ԿՐԹԱԿԱՆ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐՍոնա Սարգսյան, Մարինե Մանուկյան, Վարսենիկ Հովսեփ յա նII-IV ԴԱԱԱՐԱՆՆԵՐՈՒՄ «ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ» ԱՌԱՐԿԱՅԻՑ ՍՈՎՈՐՈՂՆԵՐԻ ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ ԱՐԴՅՈՒՆՔՆԵՐԻ ՄԻԱՎՈՐԱՅԻՆ (ԱՄՓՈՓԻՉ) ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ (Նախագիծ) ..................................... 9

ՕԳՆՈՒԹՅՈՒՆ ՈՒՍՈՒՑՉԻՆԱ. Մ . Մ իք ա յե լ յա նՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱՅԻ ՕԼԻՄՊԻԱԴԱՅԻ ՏԱՐԱԾՔԱՅԻՆ ՓՈՒԼԻ ԽՆԴԻՐՆԵՐԸ (2009թ.) .......................................................... 28

ՀԵՏԱԶՈՏԱԿԱՆՄ շո տ Մ ե լի ք -Փ ա ր ս ա դ ա ն յա ն«ՊՅՈՒԹԱԳՈՐԱՍԻ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐԸ» ԿԱՄ ԵՐԿՐԱՉԱՓԱԿԱՆ ՏԱԱՆՉՈՐԱ ԹԵՈՐԵՄՆԵՐԻ ՀԱՄԱՐԺԵՈՒԹՅՈՒՆԸ............... 45

գ ի տ ա մ ե թ ո դ ա կ ա ն ա մ ս ա գ ի ր № 1,2009թ.

Լրատվական գործունեություն իրականացնող' « Կ ր թ ո ւ թ յ ա ն ա զ գ ա յ ի ն ի ն ս տ ի տ ո ւ տ » ՓԲԸ

Հասցեն' Երևան, Տիգրան Մեծի 67, վկայական' N 01 Ա 044424,տրված 16.02.1999թ.

Ամսագրի թողարկման պատասխանատու' գ լխ ա վ որ խ մբա գիր Հա մլետ Մ իքա յելյա ն

Հանձնված է տպագրության 05.03.2009թ: Տպաքանակը' 2010, ծավալը' 4 մամուլ: Թուղթ' օֆսեթ: Չափսը' 70x100 1/i6:

Գինը' 700 դրամ, միացյալ զույգ համարինը'1400 դրամ: Ուսումնական հաստատություններին հատկացվում է ա ն վ ճ ա ր

Խ մ բ ա գ ր ա կ ա ն խ ո ր հ ո ւ ր դ

Հւսմլետ Միքայելյանգլխավոր խմբագիր

Սարիբեկ Հակոբյանգլխավոր խմբագրի տեղակալ, պատասխանատու քարտուղար

Խ ո ր հ ր դ ի ա ն դ ա մ ն ե ր Աբրահամյան Արսւմ Այվազյան էդվարդ Առաքելյան Կորյուն Բաղդասարյան Գևորգ Զաքարյան Վանիկ Հարությունյան Հայկունի Ղուկասյան Նորայր Ղուշչյան Ալեքսանդր Միքայելյան Օնիկ Մովսիսյան Յուրա Նավասարդյան Հւսյկազ Աաֆարյան Գրիգոր Աեդրակյան Նաիրի Տոնոյան Գառնիկ

Ն կա րիչՎ. Հ. Միքայելյան

Հ ա մ ա կ ա ր գ չա յի ն ձ և ա վ ո ր ո ւմ ը Գոհար Խաչատրյանի

Տիգրան Մեծի 67, սենյակ 401 375005 Երևան 5 Tigran Metsi 67, Room 401 375005 Yerevan 5, Armenia

Phone: (3742) 613437 Fax: (3743) 906957 E-mail: Secretariat@MathSchool.cib.net Internet: http://www.MathSchool.cjb.net

«Մաթեմատիկան դպրոցում» ամսագրի խմբագրության 2008թ. հաշվետվությունը

2008թ. ընթացքում թողարկվել է ամսագրի 6 հա­մար՜ յուրաքանչյուր համարը 2010-ական տպա­քանակով:

Ամսագրի բոլոր օրինակները անվճար հատկաց­վել են ուսումնական հաստատություններին:

Այցելե՜ք մեր էջը Ինտերնեթումhttp://www.MathSchool.cjb.net հասցեով: էջը պարունակում է մանրամասն տեղեկություններ ամսագրի մասին և օգտակար կլինի մեր ընթերցողների, հեղինակների և պարզապես Հայաստանում դպրոցական մաթեմատիկայի և Ինտերնեթի զարգացման հարցերով հետաքրքրվողների համար: էջը ամենաժամանւսկակից տեխնի­կական միջոցներով կառուցված է MWdesigns կազմակերպության (ԱՄՆ) կողմից, հեղինակներ' Վահագն Միքայելյան և Պիտեր Ուայգոլդ:

Կ Ր Թ Ա Կ 1 Ո յ

Հ Ի Մ Ն Ա Հ Ա Ր Ց Ե Ր

Մ. Մկրւոչյւսն

Գնահատման ևթեստավորմւսն կենտրոնի տնօրեն

Հանրակրթությւսն գնահատման նոր համակարգի ստեղծման կարևորա­գույն ուղղություններից մեկը միասնական քննական գործընթացների կազմա­կերպումն է: Այս տարի առաջին անգամ նոր ընթացակարգով իրականացվեցին նաև մաթեմատիկայի միասնական քննությունները: Այս նոր մոտեցման առանց­քային պահը թեստերի կառուցվածքի ու բովանդակության խնդիրն է: Չնայած միջազգային հարուստ փորձի առկայությանը, խնդիրը մեզ համար նոր է և, ակըն- հայտորեն, ենթադրում է ուսումնասիրությունների, ինչպես նաև տեսական ու գործնական հետազոտությունների երկարատև աշխատանքների կազմակեր­պում: Այնուամենայնիվ, առաջին քայլերը արդեն արված են, նշմարելի են արդեն առաջին նվաճումները և, բնականաբար, ձևավորվել են մեր իրողությանը վերա­բերող որոշակի բանավիճային հարցեր: Փորձենք անդրադառնալ դրանցից մի քանիսին' քննարկումների նոր ալիք հրահրելու ակնկալիքներով...

Մաթեմատիկայի պետական ավարտական և միասնական քննության հայեցակարգը հաստատված է ՀՀ ԿԳ նախարարության կողմից և նեկայացված է գնահատման և թեստավորման կենտրոնի թողարկած ուղեցույցներով (տես [1]; [2]). Ըստ այդմ, քննական թեստը բաղկացած է երկու' Ա և Բ մասերից (մակար­դակներից), որոնք ընդգրկում են ընդհանուր առմամբ 19 առաջադրանքներ: Առաջադրանքները ըստ բնույթի երեք տեսակի են. առաջինը' բազմակի ընտ­րությամբ, երկրորդը' կարճ պատասխաններով և երրորդը' այսպես կոչված «ա­սույթների փնջով»1: Այս երրորդ տեսակը հայ մաթեմատիկոս ՀՀ ԳԱԱ թղթակից անդամ Գեղամ Գևորգյանի փոքրիկ, բայց կարևոր հայտնագործությունն է, որը իր

■\Այս անվանումը մեզ առաջարկեց Լեհաստանի Կրակովի նահանգի գնահատման և թեստավորման կենտրոնի նախկին տնօրեն, թեստաբան Հենրիխը, ինչի համար հարկ ենք համարում նրան հայտնելու մեր երախտագիտությունը:

բնույթով հանդիսանում է թեստաբանական նորույթ, և որը ռուս գիտնական ՌԴ մանկավարժական ԳԱ փոխնախագահ Վիկտոր Բոլոտովի թեթև ձեռքով կոչվեց «Հայկական տարբերակ»: Այս տեսակի առաջադրանքի էությունը հետևյալն է. տրվում է մաթեմատիկական օբյեկ, կամ իրադրություն և դրան վերաբերող ա­սույթների (մաթեմատիկական պնդումների) փոխկապակցված համախումբ: Թես- տային փորձություն անցնող սուբյեկտը ներկայացնում է իր գիտելիքը համա­խմբի յուրաքանչյուր ասույթի (պնդումի) վերաբերյալ' ճշմարիտ է ասույթը (ճիշտ է պնդումը), կեղծ է ասույթը (սխալ է պնդումը), չի կարողանում կողմնորոշվել (չգիտի): Ըստ այդմ բացահայտվում է տվյալ մաթեմատիկական օբյեկտի, կամ իրադրության վերաբերյալ սուբյեկտի գիտելիքների ու պատկերացումների որա­կը: Ընդ որում, այդ որակը կարող է, ըստ անհրաժեշտության, փաստագրվել բա­լային ձևով: Այդ դեպքում առաջադրանքի /-րդ ասույթի վերաբերյալ ճիշտ կողմ-

նորոշվելիս սուբյեկտին տրվում է որոշակի ոէ բալ, սխալ կողմնորոշվելիս' т г բալ,

տարակուսանքի դեպքում kt բալ: Արդյունքում որոշակի/ բանաձևով փորձություն

անցնող սուբյեկտին տվյալ առաջադրանքի համար տրվում է N բալ: Կոնկրետ տարբերակները կարող են լինել բազմաթիվ ու բազմազան:

Գ. Գևորգյանի ղեկավարած աշխատանքային խումբը առաջարկել է հե­տևյալ պարզ տարբերակը (տես [1], էջ 6): Առաջադրանքը իրենից ներկայացնում է 6 ասույթների համախումբ; ճիշտ կողմնորոշման դեպքում տրվում է (+1) բալ, սխալի դեպքում (-1) բալ, «չգիտեմ» պատասխանի դեպքում 0 բալ: Եթե ընդ­հանուր գումարը բացասական է, ապա առաջադրանքի ընդհանուր գնահատա­կանը 0 բալ է, մնացած դեպքերում առաջադրանքին տրվում է ընդհանուր գումա­րին հավասար բալ: Այսինքն գնահատվողը մեկ այդպիսի առաջադրանքի համար կարող է ստանալ ամենաքիչը 0 և ամենաշատը 6 բալ:

Օրինակի համար, նշենք մեկ այլ հնարավոր տարբերակ, ճիշտ պատաս­խանի դեպքում տրվում է 2 բալ, «չգիտեմ» պատասխանի դեպքում 1 բալ, սխալ պատասխանի դեպքում 0 բալ: Այս դեպքում առավելագույնը 12 բալ է, նվազա­գույնը' 0 բալ2:

Աուր բանավեճերի առիթ է տալիս «ասույթների փունջ» տեսակի առա­ջադրանքներում սխալ պատասխանի դեպքում (-1) բալ տալը (փաստորեն բալ հանելը): Աա առաջին հայացքից ընկալվում ու մեկնաբանվում է որպես պատ- ժատեսակ:

Սակայն ուշադրություն դարձնենք մի շարք հանգամանքների վրա: Նախ

(-1) տալը զուտ հոգեբանորեն է ընկալվում որպես բալ հանել և դիտվում է որպես պատիժ: Օրինակ նախորդ կետում բերված օրինակում այդ հոգեբանական պա­

շԻնչպես իրավացիորեն նշում է IEA ֊ի հետազոտությունների հայաստանյան համա­կարգող Ա. Բաղդասարյանը, այս տեսակի առաջադրանքների գնահատման տարբերա­կի հարցը չպետք է լինի կամայական, անհրաժեշտություն կա կազմակերպելու հատուկ փորձարկումներ և քննարկումներ:

հը բացակայում է: Սակայն ըստ էության երկու դեպքն էլ ներկայացնում են նույն սկզբունքի իրականացումը:

«Ասույթների փնջով» առաջադրանքները նախատեսված են բացահայ- տելու ստուգվողի տեսական գիտելիքների որակը, ընդ որում ոչ թե առանձին կցկտուր գիտելիքների, այլ մաթեմատիկական օբյեկտի վերաբերյալ ամբողջա­կան պատկերացումների որակը: Սրանով է պայմանավորված այն, որ առաջա­դրանքի ասույթները փոխկապակցված են, փոխլրացնող և միասին պետք է ներ­կայացնեն ներդաշնակ ամբողջություն: Այս տեսանկյունից շատ հետաքրքիր հարց ձևակերպեց Լիտվացի հայտնի թեստաբան Ալգիրդաս Զաբուլդոնիսը: Այս նոր տեսակը բացահայտում է մաթեմատիկական գիտելիքների որա՞կը, թե՞ ան­ձի խառնվածքը:

Բազմաբնույթ քննարկումները (սեմինարներ, անհատական զրույցներ, գրավոր դիտողություններ, պաշտոնական գրություններ ու կարծիքներ և այլն) դրսևորեցին մի հետաքրքիր երևույթ, շատերը չեն ընկալում, կամ լավագույն դեպքում հաշվի չեն նստում այն հանգամնքի հետ, որ ամբողջական թեստը ընդ­գրկում է բոլոր երեք տեսակի առաջադրանքները: Նկատենք, որ յուրաքանչյուր բնույթի առաջադրանք ունի որոշակի մաթեմատիկական ու ընդհանուր զարգաց­ման որակի բացահայտման նպատակ: Հենց դրանով է պայմանավորված այն, որ յուրաքանչյուր առաջադրանքի ամբողջական գնահատականը ոչ բացասական է: Մասնավորաբար վերոնշյալ ուղեցույցով սահմանվող թեստերում «ասույթների փնջով» տեսակը ներկայացված է երեք առաջադրանքներով (2007 թ. ուղե­ցույցում 17, 18 և 19 առաջադրանքները, 2008 թ. ուղեցույցում' XII, XVIII և XIX առաջադրանքները): Ընդ որում ամբողջ թեստի առավելագույն 80 բալերի քանա­կից, այդ երեքի բաժինը միասին վերցրած 18 է: Հիշեցնենք, որ, օրինակ ըստ2008 թ. ուղեցույցի թեստի Ա մասի 9 առաջադրանքները (ընդհանուր առավելա­գույն բալերի քանակը 36) կազմված են բազմակի ընտրությամբ ենթահարցերից, սրանք նախատեսված են մի բնույթի որակ (կոմպետենցիաներ) ստուգելու: Հաջորդ երեք առաջադրանքները (ընդհանուր առավելագույն բալերի քանակը 12) բաղկացած են կարճ պատասխաներով ենթահարցերից և նախատեսված են բոլորովին այլ բնույթի որակ (կոմպետենցիաներ) ստուգելու, իսկ Ա մասի վերջին առաջադրանքը «ասույթների փնջով» տեսակն է: Այսինքն, եթե որևէ մեկը վեր­ջին' XII առաջադրանքի բոլոր հարցերին սխալ պատասխանած լինի, միևնույն է նախորդ առաջադրանքներից նրա հավաքած միավորների քանակը չի պակա­սեցվում:

Բանավեճերի առիթ է տալիս նաև այն կարծիքը, թե իբր այն, ինչ բացա­հայտում է «ասույթների փնջով» առաջադրանքի տեսակը, հնարավոր է ստուգել «բազմակի ընտրությամբ» և «կարճ պատասխաններով» առաջադրանքների տե­սակների շնորհիվ: Աա, իհարկե, ինքնաակնհայտ չէ և հարցադրումը պահանջում է կատարել լուրջ ուսումնասիրություններ ու վերլուծություններ: Սակայն առայժմ բավարարվենք միայն նշելով, որ «բազմակի ընտրությամբ» առաջադրանքնե­րում պատահական ընտրությունը ստուգվողին հնարավորություն է տալիս մեկ

քառորդ հավանականությամբ գուշակել ճիշտ պատասխանը և ստանալ դրական բալ, իսկ սխալվելու դեպքում ոչինչ չկորցնել: «Ասույթների փնջով» առաջա­դրանքներում պատահական ընտրությամբ դրական բալ ստանալու հավանակա­նությունը զգալիորեն փոքր է:

Ինչպես արդեն նշեցինք, «ասույթների փնջով» առաջադրանքները նախատեսված են բացահայտելու ստուգվողի տեսական գիտելիքների որակը, ընդ որում ոչ թե առանձին կցկտուր գիտելիքների, այլ մաթեմատիկական օբյեկտի վերաբերյալ ամբողջական պատկերացումների որակը: Որոշակի հնարավորություններ կան այդ խնդիրը իրագործել օգտագործելով այլ բնույթի

առաջադրանքներ:

Դիտարկենք 2007 թ. ուղեցույցի 18 ֊րդ առաջադրանքը.

18. Տրված է /(х) = х + — ֆունկցիան:X

Առաջին պնդումը ըստ ուղեցույցի հետևյալն է'

18.1. / ֊ը կենտ ֆունկցիա է:

«Բազմակի ընտրությամբ» առաջադրանքի դեպքում այս հարցինհամարժեքը կլինի.

18.1. Տրված / ֆունկցիան'

1) կենտ է; 2) զույգ է;3) ոչ կենտ է, ոչ զույգ; 4) հաստատուն է;

Իսկ «կարճ տարբերակով» առաջադրանքի դեպքում'

18.1 QinObL_/(x)//(-x) + 1 արտահայտության արժեքը:

Երկրորդ պնդումը ըստ ուղեցույցի հետևյալն է'

18.2. Ֆունկցիայի գրաֆիկը հատում է O X առանցքը:

«Բազմակի ընտրությամբ» առաջադրանքի դեպքում այս հարցինհամարժեքը կլինի.18.2. Ֆունկցիայի գրաֆիկը'

1) հատում է O X առանցքը; 2) չի հատում O X

առանցքը;

3) զուգահեռ է O X առանցքին; 4) ուղղահայաց է O X

առանցքին;

Իսկ «կարճ տարբերակով» առաջադրանքի դեպքում'

18.2 Գտնել տրված ֆունկցիայի գրաֆիկի և O X առանցքի հատման կետերի

քանակը:

Անդրադառնանք երրորդ պնդմանը, որը ըստ ուղեցույցի հետևյալն է'

18.3. Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը (-°°;-4]y[4;+°°)-0 է:

«Բազմակի ընտրությամբ» առաջադրանքի դեպքում այս հարցին համար­ժեքը կլինի.18.3. Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը '

Իսկ «կարճ տարբերակով» առաջադրանքի դեպքում'18.3 Ֆունկցիայի արժեքների տիրույթին չպատկանոդքանի ամբողջ թիվ կա:

Դիտարկենք ևս մեկ օրինակ:Ըստ 2007 թ. ուղեցույցի 17-րդ առաջադրանքի օբյեկտը այսպիսին է'

Տրված է A B C D A ^ C ^ ուղղանկյունանիստը A D = 8, C D = 6,

CCj =10 կողերով: ճ ճ յ , Cj-Sj- C Q կողերի վրա նշված են

համապատասխանաբար N , M , К կետերն այնպես, որ A N = 4 , B XM = 2 ,

С ХК = 3:

Իսկ համապատասխան պնդումներից մեկը հետևյալն է'

17.4. A B XN D -Կ ուղղանկյուն եռանկյուն է:

«Բազմակի ընտրությամբ» առաջադրանքի դեպքում այս հարցին համարժեքը կլինի.

17.4. Д Д М Э -ն'

1) հավասարասրուն եռանկյուն է; 2) հավասարակողմեռանկյուն է;

3) ուղղանկյուն եռանկյուն է; 4) ուղղանկյուն եռանկյուն չէ;Իսկ «կարճ տարբերակով» առաջադրանքի դեպքում'

17.4 Գտնել ( Д / ) ) 2 - ( Д # ) 2 - ( N D )2 արտահայտության արժեքը:

Հանրակրթությւսն գնահատման համակարգի հիմնական նպատակն է պարզել աշակերտների, մասնավորաբար հանրակրթական ծրագրեր իրակա­նացնող հաստատությունների շրջանավարտների հանրակրթական մակարդակը, ինչը արտահայտվում է պետական չափորոշիչներով սահմանված համապա­տասխան կրթական որակների առկայությամբ: Վաղուց արդեն պետականորեն հաստատված կրթակարգով առանձնացված են հանրակրթության բովանդակու­թյան բաղադրիչները, որոնք ներառում են ոչ միայն ուսումնական առար­կայական գիտելիքները, այլ նաև այնպիսի որակական հատկանիշներ, ինչպիսիք

1) [֊4 ,4 ];

3) ( ՜ °°>0) Ս (О, °օ);

2) (—°<=;—4]y [4;+°<=);

4) (~ 4 ) ս (4, °օ);

են մտծողության մեթոդները, մտահաղորդակցության ընդհանուր կարողություն­ները, արժեքային համակարգը (տես [3], էջ 25): Այս հանգամանքը առաջացնում է անհրաժեշտություն մշակելու գնահատման գործընթացների կազմակերպման այնպիսի ձևեր, մեթոդներ ու միջոցներ, որոնք հնարավորություն կտան բացա- հայտելու ու գնահատելու ոչ միայն առարկայական գիտելիքներն ու կարողու­թյունները, այլ նաև այլ որակական հատկանիշներ: Մասնավորաբար դժվարու­թյուններ են առաջանում մաթեմատիկական մտածելակերպի, տեսական գիտե­լիքների ու ընդհանուր մաթեմատիկական կուլտուրայի որակավորման ու գնա­հատման խնդիրներում: Հարցը հատկապես դժվարանում է այն պատճառով, որ, ի տարբերություն շատ այլ երկրների, Հայաստանում ընտրված է միայն համա­կարգչային ստուգման տարբերակը3:

Փաստորեն, «ասույթների փնջով» առաջադանքները որոշակի իմաստով հավակնում են հաղթահարելու վերոնշյալ դժվարությունները, և այդ տեսակետից կարևորվում են հատուկ ուսումնասիրությունների ևքննարկումների ծավալումը:

1. Գևորգյան Գ,. Խաչատրյան Գ., Առաքելյան Ա., Ռավոևա Ն. Մաթեմատիկայի ավարտական և միասնական քննության ուղեցույց // Եր., «Մուսալեռ տպա­գրատուն» ԱՊԸ, 2007 թ. - 44 էջ:

2. Գևորգյան Գ,. Խաչատրյան Գ., Առաքելյան Ա., Ռավոևա Ն. Մաթեմատիկա, պետական ավարտական և միասնական քննության ուղեցույց // Եր., «Լի- մուշ» հրատարակչություն, 2008 թ. - 48 էջ:

3. Հանրակրթությւսն պետական կրթակարգ // Եր., «Անտարես», 2004 թ. - 72 էջ:

4. Ковалева, Г. Единый госэкзамен: май-июнь 2005 г. [Текст] / Г. Ковалева //

Народное образование. - 2006. - № 1. - С. 57-67.

3 Օրինակ, ՌԴ մաթեմատիկայի միասնական քննական թեստի վերջին երեք ա ռա ջա ­

դրանքների լուծման ընթացքն ու պատասխանների ճշտությունը ստուգում ու գնահա­տում է մասնագիտական հանձնախումբը (ՌԴ-ում միասնական քննությունների վերա­բերյալ տես, օրինակ, [4 ] )

ԿՐԹԱԿէՈյ ԲԱՐԵՓՈԽՈՒՄՆԵՐ

l i -IV ԴԱՍԱՐԱՆՆԵՐՈՒՄ «ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱ» ԱՌԱՐԿԱՅԻՑ Ս Ո Վ Ո Ր Ո Ղ Ն Ե Ր Ի ՈՒՍՈՒՑՄԱՆ

ԱՐԴՅՈՒՆՔՆԵՐԻ ՍԻԱՎՈՐԱՅԻՆ (ԱՄՓՈՓԻՉ) ԳՆԱՀԱՏՈՒՄ (Նախագիծ)*

Սոնա Սարգսյան, Մարինե Մանուկյան, Վարսիկ ՀովսեփյանԿրթության ազգային ինստիտուտ

Ուսումնառության ընթացքում իրականացվող գնահատումը գործընթաց է, որով բացահսսյտվում և վերլուծությունների միջոցով վերահսկվում են ուսուցման արդյունքների որակը և դրանց համապատասխանությունը պետական կրթական չափորոշչի պահանջներին:

Հանրակրթական դպրոցների համար մշակվել է «Սովորողների ընթացիկ գնահատման մեթոդաբանություն»: Գնահատման նոր համակարգի ներդրման անհրաժեշտությունը պայմանավորված է կրթության որակն արմատապես բարե­լավելու, յուրաքանչյուր սովորողի ուսումնական գործընթւսցը խթանելու և շա­րունակական զարգացում ապահովելու պահանջով:

«Սովորողների ընթացիկ գնահատման մեթոդաբանության» համաձայն' ընթացիկ գնահատումը բաղկացած է երկու իրար փոխլրացնող ձևերից'

Չուսուցանող (որակական) գնահատում,2.միավորային (ամփոփիչ) գնահատում:Միավորային (ամփոփիչ) գնահատման արդյունքները արտահայտվում են

միավորներով, ուսուցանող (որակական) գնահատման ժամանակ սովորողների առաջադիմության մասին տրվում են բառային նկարագրություններ և արժևո- րումներ:

2009 - 2010 ուս. տարում հանրակրթական դպրոցներում կներդրվի սովո­րողների ընթացիկ գնահատման երկու բաղադրիչներից միայն մեկը' միավորա­յին (ամփոփիչ) գնահատումը, իսկ 2010 - 2011 ուս. տարում' ուսուցանող (որա­կական) գնահատումը:

* Հոդվածում ընդգրկված նյութը ներկայացվում է որպես նախագիծ, և ակնկալվում է ուսուցիչների և այլ մասնագետների դիտողություններն ու առաջարկությունները:

Տարրական դպրոցի II - IV դասարաններում մաթեմատիկայից ուսումնա­ռության արդյունքները միավորային (ամփոփիչ) գնահատմամբ պարզելու հա­մար առաջարկվում է ստուգումներ հետևյալ տեսակներից.

1 .բանավոր հարցում,2 .թեմատիկ գրավոր աշխատանք,3.գործնական աշխատանք,4 .կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանք:Ստուգման յուրաքանչյուր տեսակն իր ընդհանուր ծավալով պետք է ընդ-

գրկի «Մաթեմատիկա» առարկայի կիսամյակային ամբողջ ծրագրային ուսում­նական նյութը:

Նշված այդ չորս տեսակների կիրառման նպատակները և հաճախակա­նությունը տարբեր են:

Գնահատումը կատարվում է 10 միավորային սանդղակով:Ներկայացնենք այդ տեսակներից յուրաքանչյուրը:

1. Բանավոր հարցում

Բանավոր հարցումը գնահատման մի տեսակ է, որի ժամանակ աշակերտն իր յուրացրած գիտելիքները, կարողություններն ու հմտությունները ներկայաց­նում է բանավոր:

Համակարգված հարցերով կազմակերպված հարցումը ստուգում է աշա­կերտի ոչ այնքան տեղեկույթի մտապահման և վերարտադրման ընդունակու­թյունները, որքան տվյալ նյութի գիտակցված ընկալումը:

Ուսումնական գործընթացում կիրառվում է բանավոր հարցման երկու ձև'

համառոտ և ծավալուն : Տարրական դպրոցի մաթեմատիկայի դասապրոցեսում ավելի հաճախ կիրառվում է համառոտ բանավոր հարցումը' 1-2 րոպե տևողու­թյամբ, կիրառվում է նաև ծավալուն բանավոր հարցումը' 2-3 րոպե տևողությամբ:

Բանավոր հարցման միջոցով պարզաբանվում են սովորողների ձեռքբե­րումները'

• մաթեմատիկական գիտելիքների յուրացումը,

• մաթեմատիկական խոսքը,

• լեզվամտածողությունը,

• վերարտադրման կարողությունները,

• տրամաբանական կարողությունները,

• կռահունակությունը,

• ստեղծագործական կարողությունները:Տարրական դպրոցում մաթեմատիկայից մի կիսամյակի ընթացքում միավո­

րային կարճ բանավոր հարցում առաջարկվում է նվազագույնը կատարել 4 -5 անգամ, իսկ ծավալուն' 2- 3 անգամ:

Բանավոր հարցումը կարելի է իրականացնել հետևյալ ձևերով'

• առանձին աշակերտների բանավոր հարցումով,

• բանավոր հաշվի ժամանակ աշակերտներին ուղղված հարցերով,

• տնային աշխատանքների ստուգումով,

• խմբային և համագործակցային աշխատանքների միջոցով,

• խաղային տեխնոլոգիաների կիրառումով:

2. Թեմատիկ գրավոր աշխատանքԹեմատիկ գրավոր աշխատանքը գնահատման բաղադրիչի մի տեսակ է,

որի ժամանակ աշակերտն իր յուրացրած նյութը ներկայացնում է գրավոր ձևով: Մաթեմատիկայի ծրագրային նյութի յուրաքանչյուր թեմայից կամ թեմանե­

րից հետո (եթե թեմաները փոքր են) տրվում է ծավալուն թեմատիկ գրավոր աշ­խատանք: Այն պետք է կազմված լինի տվյալ թեմայից (թեմաներից) սովորողնե­րին ներկայացվող չափորոշչային պահանջների յուրացման աստիճանը ստուգող առաջադրանքներից:

Ծավալուն գրավոր աշխատանքի տևողությունը պետք է լինի 40 - 45 րո­պե, իսկ քանակը կիսամյակի ընթացքում 3 - 4 անգամ (նվազագույնը' շաբաթա­կան ժամաքանակին հավասար):

Առաջադրանքները կարող են լինել.

• մաթեմատիկական թելադրություն,

• վարժություններ.

• խնդիրներ,

• գործնական աշխատանքներ,

• ստեղծագործական բնույթի առաջադրանքներ:Թեմատիկ գրավոր աշխատանքները կարող են տրվել.

I. հարցարաններով (որը կարող է կազմված լինել մաթեմատիկական թելադրությունից, խնդիրներից, վարժություններից և գործնական առաջադրանքնե­

րից),II. թեստերով:

Թեստերում առաջադրանքները կարող են լինել.

• մեկ ճիշտ պատասխանի ընտրությամբ հարցով (տրված է 3 - 4 պատասխան),

• համապատասխանեցման հարցերով,

• բաց թողնվածը լրացնելու հարցերով,

• կարճ պատասխաններ պահանջող հարցերով (այո, ոչ),

• առաջադրանքների նկատմամբ ստեղծագործական մոտեցում ցուցաբե­րող հարցերով:

Թեմատիկ գրավոր աշխատանքներում պետք է ընդգրկվեն 1-ին, 2-րդ, 3-րդ կարգի բարդության առաջադրանքեր, ինչպես նաև դժվարավուն առաջադրանք­ներ, որոնք պահանջում են այդ թեմայի խորը, հիմնավոր իմացություն, բարդ և անծանոթ իրադրություններում դրանք կիրառելու կարողություններ, վերլուծու­թյուններ, ստեղծագործական մոտեցումներ:

Տարրական դպրոցի 2 - 4-րդ դասարանների մաթեմատիկայի ուսումնական գործընթացում օգտագործվում են նաև կարճ ժամանակի համար նախատեսված թեմատիկ գրավոր աշխատանքներ, որոնց տևողությունը պետք է լինի II - III դասարաններում 10 -15 րոպե, իսկ IV դասարանում' 15-20 րոպե: Աշխատանքը տրվում է ամբողջ դասարանին: Նպատակը պետք է լինի ստուգել ուսումնասիր­ված ենթաթեմայից սովորողների ստացած գիտելիքների, կարողությունների և հմտությունների մակարդակը և ստուգման արդյունքը արտահայտել միավորա- յին գնահատմամբ: Կարճատև ժամանակի համար տրվող աշխատանքներն օգ­նում են ուսուցչին ճիշտ պլանավորելու իր հետագա աշխատանքները:

3. Գործնական աշխատանք

Ըստ տարրական դպրոցի «Մաթեմատիկա» առարկայից սովորողներին

ներկայացվող չափորոշչային պահանջների' նախատեսվում են տարբեր բնույթի

գործնական աշխատանքներ:

Դրանք են'

1. երկրաչափական պատկերների կւսռուցում(ուղիղ, հատված, ճա­

ռագայթ, անկյուն, ուղղանկյուն, քառակուսի, շրջան և այլն).

2. մեծությունների չափում (երկարություն, զանգված, տարողություն,

ժամանակ, արժողություն).

3. պատկերի բաժանում մասերի, տրված պատկերներից նոր պատ­

կերների ստացում (ծալում, կտչում).

4. տվյալների հավաքում և գրանցում աղյուսակների և դիագրամների

միջոցով (դիտարկումներ, փորձեր և այլն).

5. չափման արդյունքում ստացած տվյալների միջոցով սենյակի կամ

բնակարանի մոտավոր հատակագծի պատկերում.

6. տարրական դասարանների (III-IV) մաթեմատիկայի ծրագրային

նյութին համապատասխան անհրաժեշտ մոդելների ստեղծում

(ժամացույցի թվատախտակ, անկյան մոդել և այլն).

7. «Մաթեմատիկա» առարկայից արտադասարանական աշխատանք­

ների համար անհրաժեշտ նյութերի ստեղծում:

II — IV դասարաններում սովորողները կատարած գործնական աշխատան­

քի համար պարբերաբար գնահատվում են միավորներով: Գործնական աշխա­

տանքը կարող է հանձնարարվել ինչպես տանը, այնպես էլ' դպրոցում:

• Տևողությունը 2ր - 5 ր:

• Միավորային գնահատման պարբերականությունը կիսամյակի ընթաց­

քում 2-րդ, 3-րդ դասարաններում 2 - 3 անգամ, իսկ 4-րդ դասարանում'

3 - 4 անգամ:

4. Կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանքԿիսամյակային ամփոփիչ գրավոր աշխատանքը տրվում է կիսամյակի վեր­

ջում' ամբողջ ծարագրային նյութը ուսումնասիրելուց հետո:

Նպատակն է' կիսամյակի ընթացքում բացահայտել արդեն ուսումնասիրած

թեմաների յուրացումը, սովորողների փաստացի գիտելիքները, դրանք կիրա­

ռելու կարողություններն ու հմտությունները և գործնական կարողությունները:

Այն պետք է ընդգրկի անցած թեմաների կարևոր, հանգուցային հարցերը:

Այդ առաջադրանքների կատարումը պատկերացում կտա սովորողների յուրաց­

րած մաթեմատիկական գիտելիքների խորության և ձեռք բերած կարողություն­

ների և հմտություների մասին:

• Կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանքի տևողությունը I I -I I I դասա­

րաններում 40 - 45 րոպե է, իսկ IV դասարանում' 80 - 90 րոպե (կարելի է այն

կազմակերպել 5 -10 րոպե ընդմիջումով):

• Հաճախականությունը մեկ կիսամյակի ընթացքում' 1 անգամ:

Կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանքը կարող է տրվել թեստով (հարցա-

շարով):

Աղյուսակներում ամփոփ տրված է 2-րդ, 3-րդ ինչպես նաև 4-րդ դասա­

րաններում «Մաթեմատիկա» առարկայից սովորողների ուսումնառության ընթա­

ցիկ արդյուքների միավորային գնահատման բաղադրիչները' իրենց տևողու­

թյամբ, կիսամյակի ընթացքում նվազագույն քանակով և կշռային գործակից­

ներով:

Բաղադրիչներ ՏևողությունըՔանակըկիսամյակիընթացքում

Կշռայինգործակիցը

1.Բանավոր հարցումկարճծավալուն

1 - 2 րոպե 2 - 3 րոպե

4 - 52 - 3

0,3

2.Թեմատիկ գրավոր աշխ. կարճ ծավալուն

1 0 -1 5 րոպե 40 - 4 5 րոպե

4 - 53 - 4

0,3

3. Գործ, աշխատ, (տանը և դպրոցում)

2 - 5 րոպե 2 - 3 0,1

4. Կիսամյակային ամփոփիչ աշխատ.

2-3-րդ դաս. 40 - 4 5 րոպե

4-րդ դաս 80-90 րոպե

1 0,3

Կիսամյակային գնահատականների ձևավորումը

«Մաթեմատիկա» առարկայից սովորողի ընթացիկ առաջադիմության կի­

սամյակային գնահատականը ձևավորվում է ստուգման չորս տեսակներից նրա

վաստակած գնահատականների հիման վրա: Ուսուցիչը ստուգման յուրաքան­

չյուր տեսակից սովորողի կիսամյակային գնահատականը որոշելիս հաշվի է

առնում կիսամյակի ընթացքում նրա առաջընթացը:

Գործածության է երաշխավորվում կիսամյակային գնահատականի ձևա­

վորման կշռային գործակիցներով հաշվարկման մեթոդը:

Աովորողի կիսամյակային վերջնական գնահատականը ստանալու համար

սահմանված է ստուգման յուրաքանչյուր տեսակի կիրառման նվազագույն քա­

նակը և առաջացած կիսամյակային ցուցանիշների ազդեցության աստիճանը:

Ատուգման յուրաքանչյուր տեսակից սովորողի վաստակած կիսամյակային

միավորը կունենա ազդեցության իր չափը (կշիռը) տվյալ առարկայից նրա կի­

սամյակային վերջնական գնահատկանի ձևավորման վրա:

Աովորողի ընթացիկ առաջադիմության կիսամյակային վերջնական գնա­

հատականը 10 միավորային սանդղակով հաշվարկելու համար առաջարկվում է

գործածել հետևյալ բանաձևը'

ԿԳ = կ1 • Բ + կշ • Թ + Կյ • Գ + կ4 • կ

Բանաձևում Բ, Գ, Թ և Կ մեծատառերով նշանակված են ստուգման տեսակ­

ներից սովորողների վաստակած կիսամյակային միավորները, կ̂ կ2, կ3, և կ4- ով'

դրանց համապատասխան կշռային գործակիցները, իսկ ԿԳ ֊ով' կիսամյակային

գնահատականը:

Բ - բանավոր հա րցում (կ1 - գործակցով),

Թ - թեմատիկ գրավոր աշխատանք (կ3 - գործակցով),

Գ - գործնական աշխատանք (կշ - գործակցով),

Կ - կիսամյակային ամփոփիչ աշխատանք (կ4 - գործակցով):Կշռային գործակիցները ոչ բացասական թվեր են, որոնց գումարը

հավասար է 1-ի: Դրանք ստորակետից հետո մեկ թվանշան պարունակող տաս­

նորդական կոտորակներ են:

Ընթացիկ առաջադիմության կիսամյակային վերջնական գնահատականը

այս բանաձևով հաշվելու համար ստուգման յուրաքանչյուր տեսակի կիսամյա­

կային միավորի կշիռը վերջնական գնահատականի մեջ: Այն որոշվում է համա­

պատասխան կարգով.

Եթե ստուգման բոլոր տեսակներից կշռային գործակիցներով հաշվարկված

կիսամյակային գնահատականը ձևավորող միավորների գումարը ԿԳ ֊ն, ամբողջ

թիվ չի կազմում, ապա կիրառվում է թվերի մոտարկման կանոնը:

3 ֊ր դ դասարանում «Մաթեմատիկա» առարկայից

կիսամյակային գնահատականի ձևավորման նմուշ օրինակ

Հակոբյան Աշոտը 3-րդ դասարանում «Մաթեմատիկա» առարկայից մեկ

կիսամյակի ընթացքում ըստ առաջարկվող ստուգման տեսակների ստացել է

հետևյալ գնահատկանները:

Ատորև ներկայացվում է աղյուսակ, որում տրված են ամեն մի բաղադրիչից

ստացված գնահատականները, մոտարկված միավորները և կշռային գործակից­

ները:

N ՏեսակներԳնահատա­

կաններ

Կիսամ.

գնահատ.

Կշռային

գործ.

1. Բանավոր հարցում (Բ) 6, 7, 8, 7, 8, 8 8 0,3

2. Թեմատիկ գրավոր աշխ. (Թ) 6, 6, 8, 7 7 0,3

3. Գործնական աշխատանք (Գ) 6, 7, 5 6 0,1

4. Կիսամյակ, ամփոփիչ աշխ. (Կ) 8 8 0,3

Ատուգման յուրաքանչյուր տեսակից կիսամյակային գնահատկանը ստա­

ցած գնահատականների թվաբանական միջինն է: Եթե սովորողի մոտ առկա է

առաջընթաց, ապա թվաբանական միջինը մոտարկելիս (կլորացնելիս), կիսամ­

յակային միավորը կարող է լինել միջինից բարձր:

Այսպիսով' «Մաթեմատիկա» առարկայից տվյալ աշակերտի կիսամյակա­

յին գնահատական (կգ) որոշող թիվը ըստ բանաձևի կստացվի.

ԿԳ = 0,3-8+ 0,3 ֊7 + 0,1 -6 + 0,3 ֊8 = 2,4+ 2,1+0,6+ 2, 4 = 7,5

Մոտարկումից (կլորացումից) հետո ԿԳ= 8 միավոր

Աշակերտի կիսամյակային գնահատականը կլինի 8 միավոր:

Գործնական աշխատանքների

գնահատման չափանիշները(II - IV դասարաններ)

1 և 2 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'

• չի կարողանում կատարել որևէ գործնական առաջադրանք.

• դժվար է ընդգրկվում խմբային աշխատանքում:

3 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'• մասնակցում է խմբային աշխատանքին, սակայն չի նպաստում ընդհա­

նուրի աշխատանքին.• ճանաչում և անվանում է չափողական և գծագրական գործիքները,

սակայն չի կարողանում ճիշտ օգտվել դրանցից:

• 4 և 5 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'• գործնական աշխատանքը կատարելու համար ցուցաբերում է մասնակի

պատրաստվածություն.

• գործնական աշխատանքում թույլ է տալիս կա՛մ էական սխալ, կա՛մ անճշտություններ, բացթողումներ, վրիպումներ.

• մասնակցում է խմբային աշխատանքին, սակայն չի ցուցաբերում անհրաժեշտ պատրաստվածություն.

• օգնությամբ կարողանում է ճիշտ օգտվել գծագրական գործիքներից և կատարել գործնական առաջադրանքը:

6 և 7 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'

• գործնական աշխատանքը կատարելու համար ցուցաբերում է անհրա­ժեշտ պատրաստվածություն, սակայն թույլ է տալիս անճշտություններ, բացթողումներ, որոնք ուշադրություն հրավիրելու դեպքում կարող է ուղղել.

• կարողանում է ճիշտ օգտվել չափողական և գծագրական գործիքներից.

• կարող է փորձեր, դիտարկումներ, չափագրումներ կատարել, ներկայաց­նել արդյունքները աղյուսակներով կամ դիագրամներով, սակայն աշխա­տանքում կարող է թույլ տալ վրիպումներ, անճշտություններ:

• կարող է հավաքել լրացուցիչ նյութեր' արտադասարանական աշխա­տանքների համար.

• խմբային աշխատանքներում ցուցաբերում է նպատակասլացություն:

8 և 9 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'

• գործնական աշխատանքը կատարելու համար ցուցաբերում է չափողա­կան և կառուցողական անհրաժեշտ հմտություններ.

• զարգացած են կիրառական կարողությունները.

• կարողանում է ճիշտ օգտվել չափողական և գծագրական գործիքներից.• կարող է փորձեր, դիտարկումներ, չափագրումներ կատարել և գրանցել

փորձի արդյունքները, ներկայացնել աղյուսակներով, դիագրամներով.

• կարող է անհրաժեշտ նյութեր, փաստեր հավաքել, դրանք նպատակային օգտագործել արտադասարանային աշխատանքներում (պատի թերթի ստեղծում, մաթեմատիկական ցերեկույթի կազմակերպում, վիկտորինա­ների անցկացում և այլն).

• գործնական աշխատանքում կարող է թույլ տալ չափողական ոչ էական անճշտություններ, որոնք կարող է գտնել և ինքնուրույն ուղղել.

• խմբային աշխատանքում նպատակասլաց է, նախաձեռնող.

10 միավոր է գնահատվում, երբ աշակերտը'• դժվարավուն գործնական առաջադրանքներ կատարելիս ցուցաբերում է

չափողական և կառուցողական կարողություններ և անհրաժեշտ հմտություններ.

• գործնական աշխատանքներ կատարելիս հանդես է բերում ոչ ստան­դարտ և ստեղծագործական մոտեցումներ.

• գործնական աշխատանքի ժամանակ ցուցաբերում է չափողական և գծագրական գործիքները ճիշտ և հնարամիտ օգտագործելու կարողու­թյուն.

• գործնական բնույթի առաջադրանքները կատարում է ճշգրիտ և մաքուր.• կարող է ինքնուրույն փորձեր և չափագրական աշխատանքներ կատա­

րել.• կարող է փորձերի, դիտարկումների արդյունքում հավաքած տվյալները

գրանցել և ներկայացնել աղյուսակներով, դիագրամներով.• կարող է անհրաժեշտ նյութեր, փաստեր հավաքել' օգտվելով լրացուցիչ

աղբյուրներից (օժանդակ գրականություն, համացանց, ամսագրեր և այլն), դրանք նպատակային օգտագործել արտադասարանային աշխա­տանքներում:

• խմբային աշխատանքում նպատակասլաց է, նախաձեռնող, ունի կազ­մակերպչական մեծ ջիղ:

Ուսուցման արդյունքների ստուգման և

գնահատման կարգը

1. Ուսուցման արդյունքների գնահատում կատարելու համար ստուգվում է սո­վորողների պատրաստվածությունը (գիտելիքներ, կարողություններ, հմտու­թյուններ) և որոշվում, թե այն ինչքանով է համապատասխանում' կրթական աստիճանի ավարտին' առարկայական չափորոշչով սովորողներին ներկա­յացվող պահանջներին, իսկ ուսումնառության ընթացքում' առարկայական ծրագրում ամփոփված չափորոշչային պահանջներին:

2. Ուսուցման արդյունքների ստուգման և գնահատման համար սովորողներին տրվում են առաջադրանքներ' հարցեր, խնդիրներ, վարժություններ, գործ­նական աշխատանքներ, հանձնարարություններ, որոնց միջոցով բացա- հայտվում են.

ա/ սովորողների յուրացրած գիտելիքների լրիվությունը, կայունությունը, հիմնա­վորությունը, խորությունը,

բ/ գիտելիքները պարզ, ոչ պարզ, բարդ, ծանոթ և անծանոթ իրադրություններում կիրառելու կարողություններն ու հմտությունները,

գ/կատարած մտավոր գործունեությունը արտահայտելու, ներկայացնելու, շա­րադրելու մակարդակը, որի բացահայտման համար հաշվի են առնվում նաև թույլ տրված սխալները, անճշտությունները, թերությունները և բացթողում­ները:

3. Սովորողների պատրաստվածությունը բացահայտվում է հիմնականում բա­նավոր հարցումների և գրավոր աշխատանքների միջոցով, որոնց համար նա­խապես կազմվում են առաջադրանքներ և դրանց գնահատման չափա­նիշներ:

Առաջադրանքներն ըստ բարդության բնութագրվում են հետևյալ հայտանիշ- ներով.

ա/ 1-ին կարգի բարդության առաջադրանքները պահանջում են արդեն ուսումնասիրված ծրագրային նյութի բովանդակությանը վերաբերող չափորոշ- չային գիտելիքների իմացություն, պարզ և ծանոթ իրադրություններում դրանք կիրառելու կարողություն, կողմնորոշման և կատարման համար չեն պահանջում ինքնատիպ (ոչ ստանդարտ) մոտեցումներ, միջնորդավորված քայլեր ու հիմ­նավորումներ:

բ) 2-րդ կարգի բարդության առաջադրանքները պահանջում են արդեն ուսումնասիրված ծրագրային նյութի բովանդակությանը վերաբերող չափորոշ- չային գիտելիքների հիմնավոր իմացություն, ոչ բարդ և ծանոթ իրադրու­թյուններում դրանք կիրառելու կարողություն, կողմնորոշման և կատարման համար ենթադրում են որոշակի հայտնի մեթոդներ, միջնորդավորված քայլեր, ոչ բարդ հիմնավորումներ և չեն պահանջում ինքնատիպ մոտեցումներ,

գ) 3-րդ կարգի բարդության առաջադրանքները պահանջում են արդեն ուսումնասիրված ծրագրային նյութի բովանդակությանը վերաբերող չափորոշ- չային գիտելիքների կայուն իմացություն, բարդ, կամ ոչ լրիվ ծանոթ իրադրու­թյուններում դրանք կիրառելու կարողություն, կողմնորոշման և կատարման հա­մար ենթադրում են ինքնատիպ մոտեցումներ, հատուկ մեթոդներ, միջնորդավոր­ված քայլեր, կառուցումներ, արտածումներ, հիմնավորումներ,

դ) դժվարավուն առաջադրանքները պահանջում են արդեն ուսումնասիր­ված ծրագրային նյութին վերաբերող չափորոշչային գիտելիքների հիմնավոր և խո­րը իմացություն, բարդ կամ անծանոթ իրադրություններում դրանք կիրառելու կարողություն, կողմնորոշման և կատարման համար ենթադրում են բազմա­կողմանի վերլուծություն, ստեղծագործական մոտեցում, հատուկ մեթոդներ, օժանդակ կառուցումներ, արտածումներ, հիմնավորումներ, կռահումներ:

4. Բանավոր հարցումների գնահատման չափանիշներ կազմելու համար հաշվի են առնվում գնահատման նպատակը, առաջադրանքի տեսակը, բովանդա­կությունը, դրա կատարման համար գնահատվողից ակնկալվող պատ- րաստվածությունը և հետևյալ սանդղակը (ենթադրվում է, որ սանդղակի յու­րաքանչյուր միավորը արտահայտում է տվյալ գնահատվողի ցուցաբերած պատրաստվածության առավելագույն մակարդակը, այսինքն' գնահատվողը սանդղակի ավելի բարձր միավորին համապատասխանող պահանջներին չի բավարարում).

Բանավոր հարցումների

գնահատման սանդղակ

Միավորներ Գնահատման չափանիշներ

1 միավոր «շատ վատ»

Ցուցաբերում է ծրագրային նյութի կատարյալ չիմացություն

2 միավոր «վատ»

• 1-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է մասնակի պատրաստվածություն և թույլ է տալիս էական սխալներ.

• տրված հարցերի մեծ մասին տալիս է ոչ ճիշտ պատասխան.

• բանավոր հաշվարկները կատարում է էական սխալներով.

• անգամ ուսուցչի օգնությամբ չի կարողանում լուծել խնդիրներ.

• դժվարանում է ձևակերպել մտքերը:

3 միավոր «անբավարար»

• 1-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է պատրաստ- վածություն, սակայն թույլ է տալիս անճշտու­թյուններ, թերություններ, բացթողումներ.

• չի պատասխանում տրված հարցերի մեծ մա­սին.

• չի կարողամում կատարել բանավոր հաշվարկ­ների մեծ մասը.

• անգամ ուսուցչի օգնությամբ դժվարանում է լուծել 1-ին կարգի բարդության խնդիրները և այլ առաջադրանքներ.

• երկրաչափական նախագիտելիքների վերա­բերյալ չունի բավարար իմացություն.

• մաթեմատիկական խոսքը զարգացած չէ:

4 միավոր «բավարար»

• 1-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրա­ժեշտ պատրաստվածություն (չի բացառվում, որ առաջադրանքը կատարելիս կարող է թույլ տալ ոչ էական թերություն կամ վրիպում,որը ուշադրության հրավիրելու դեպքում կարող է ուղղել).

• կարողանում է պատասխանել տրված հարցերի մի մասին, բայց կարող է թույլ տալ էական սխալներ, վրիպումներ, որոնք ուշադրության հրավիրելու դեպքում կարող է ինքնուրույն ուղղել.

• կարողանում է կատարել ոչ բարդ բանավոր հաշվարկներ, սակայն կարող է թույլ տալ էա­կան սխալներ, վրիպումներ (օգնության դեպ­քում ուղղում է սխալը).

• կարողանում է ինքնուրույն լուծել 1-ին կարգի բարդության խնդիրներ, սակայն լուծման ընթացքում կարող է թույլ տալ վրիպումներ և ոչ էական սխալներ.

• ցուցաբերում է երկրաչափական նյութի մաս­նակի իմացություն.

• դժվարանում է մտքերը արտահայտել մաթեմա­տիկական լեզվով:

5 միավոր «միջին»

• 1-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրա­ժեշտ պատրաստվածություն կամ 2-րդ կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է պատրաստվածություն, սակայն թույլ է տալիս անճշտություններ, թե­րություններ, բացթողումներ.

• վերարտադրողական բնույթի հարցերին տալիս է ճիշտ պատասխաններ.

• ոչ բարդ հաշվարկները կատարում է անսխալ, սակայն բարդ հաշվարկներում թույլ է տալիս էական սխալներ, անճշտություններ.

• 1-ին կարգի բարդության խնդիրները կարողա­նում է լուծել ինքնուրույն, սակայն լուծման ըն­թացքում կարող է թույլ տալ ոչ էական թերու­թյուններ.

• 2-րդ կարգի բարդության խնդիրները կարող է լուծել օգնությամբ, բայց դժվարանում է տալ անհրաժեշտ բացատրություններ և մեկնաբա- նություններ.

• տեսական նյութը կարողանում է հիմնականում վերարտադրել, բայց չի կարողանում տալ ան­հրաժեշտ բացատրություններ.

• մասնակիորեն տիրապետում է երկրա­չափական նախագիտելիքներին, սակայն երբեմն կարող է թույլ տալ անճշտություններ, սխալներ.

• մաթեմատիկական խոսքը բավարար չափով զարգացած չէ:

6 միավոր «միջինից բարձր»

• 2-րդ կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է ան­հրաժեշտ պատրաստվածություն, սակայն չի բացառվում, որ կարող է թույլ տալ ոչ էական սխալներ կամ վրիպումներ, որոնք ուշադրու­թյան հրավիրելու դեպքում ի վիճակի է ինքնուրույն ուղղել.

• առաջադրված հարցերի մեծ մասին տալիս է ճիշտ պատասխան.

• տեսական նյութը հիմնականում կարողանում է վերարտադրել.

• մասամբ կարողանում է ինքնուրույն եզրահան­գումներ կատարել.

• կարողանում է կատարել ոչ բարդ հաշվարկ­ներ, սակայն հաշվարկման մեջ կարող է թույլ տալ թերություններ, որոնք միջամտության դեպքում կարող է ինքնուրույն ուղղել.

• կարողանում է լուծել 2-րդ կարգի բարդության խնդիրները, սակայն կարող է թույլ տալ ոչ էական սխալներ.

• կարողանում է խնդիրը համառոտագրել և ուսուցչի օգնությամբ կազմել խնդիր' տրված համառոտագրությամբ.

• ցուցաբերում է երկրաչափական նյութի բավարար իմացություն.

• հիմնականում կարողանում է մաթեմա­տիկական լեզվով ձևակերպել մտքերը:

7 միավոր «լավ» • 2-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրա­ժեշտ պատրաստվածություն կամ 3-րդ կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է պատրաստվածություն, սակայն թույլ է տալիս անճշտություններ, թե­րություններ, բացթողումներ.

• 1-ին , 2-րդ կարգի բարդության հարցերին տալիս է լիարժեք պատասխաններ, իսկ 3-րդ կարգի բարդության հարցերին չի կարողանում տալ հիմնավոր պատասխաններ.

• կարողանում է կատարել հաշվողական բնույթի առաջադրանքներ, սակայն կարող է թույլ տալ որոշ անճշտություններ.

• կարողանում է ճիշտ լուծել 2-րդ կարգի բարդության խնդիրներ, բայց 3-րդ կարգի բար­դության խնդիրները լուծում է որոշակի միջա­մտությամբ.

• կարողանում է համառոտագրել խնդիրը և լուծել, ինչպես նաև ինքնուրույն կազմել խնդիրներ.

• չի կարող ինքնուրույն կռահել ոչ ստանդարտ և տրամաբանական բնույթի խնդիրների լուծում­ները.

• ցուցաբերում է երկրաչափական նյութի կայուն իմացություն և կարողանում է կիրառել ոչ լրիվ ծանոթ իրադրությունում.

• մաթեմատիկական խոսքը հստակ է, կարողա­նում է ճիշտ օգտագործել մաթեմատիկական հասկացությունները:

8 միավոր «շատ լավ» • 3-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրա­ժեշտ պատրաստվածություն (չի բացառվում, որ կարող է թույլ տալ թերություն կամ վրիպում, որն ի վիճակի է ինքնուրույն վերացնել).

• առաջադրված 1-ին և 2-րդ կարգի բարդության հարցերին տալիս է հստակ և ճիշտ պատասխաններ, սակայն 3-րդ կարգի բարդության հարցերին պատասխանելիս կա­րող է թույլ տալ առանձին անճշտություններ.

• կարողանում է կատարել բանավոր բարդ հաշ­վարկներ, սակայն կարող է թույլ տալ առանձին ոչ էական սխալներ, որոնք ուշադրության հրա- վիրելու դեպքում կարող է ինքնուրույն վերաց­նել.

• կարողանում է համառոտագրել և լուծել 3-րդ կարգի բարդության խնդիրներ, կազմել տրված

խնդրի հակադարձները, սակայն լուծման ճիշտ ընթացքի դեպքում կարող տալ ոչ լրիվ ճիշտ բացատրություններ.

• ցուցաբերում է անցած երկրաչափական նյութի կայուն իմացություն.

• կարողանում է տեսական գիտելիքները գործնականում կիրառել.

• կարողանում է մաթեմատիկական լեզվով մտքերը շարադրել ճիշտ և սեղմ:

9 միավոր «գերազանց» • 3-ին կարգի բարդության առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է անհրա­ժեշտ պատրաստվածություն կամ դժվարավուն առաջադրանքները կատարելու համար ցուցաբերում է պատրաստվածություն, սակայն թույլ է տալիս անճշտություն, բացթողում.

• առաջադրված բոլոր հարցերին (անգամ ոչ ստանդարտ)տալիս է լիարժեք պատաս­խաններ).

• հաշվարկները կատարում է արագ, անսխալ' օգտագործելով հաշվարկման արդյունավետ եղանակներ.

• կարողանում է 3-րդ կարգի բարդության խնդիր­ները համառոտագրել, ինքնուրույն կազմել խնդրի լուծման քայլաշարը և լուծել' բացատ­րելով կատարված գործողությունները.

• կարողանում է տրված խնդիրը լուծել նաև այլ եղանակներով (եթե դա հնարավոր է) և կազմել խնդրի հակադարձները.

• կռահունակություն պահանջող և տրամա­բանական բնույթի առաջադրանքները կա­տարելիս ցուցաբերում է պատ- րաստվածություն.

• ցուցաբերում է երկրաչափական նյութի հիմնա­վոր իմացություն և այն կարողանում է հմտորեն կիրառել.

• մաթեմատիկական խոսքը զարգացած է և տրա­մաբանված:

10 միավոր «բացառիկ» • դժվարավուն առաջադրանքներ կատարելու համար ցուցաբերում է անհրաժեշտ պատ- րաստվածություն (չի բացառվում, որ կարող է

թույլ տալ ոչ էական սխալ կամ վրիպում, որը ուշադրության հրավիրելու դեպքում ի վիճակի է ինքնուրույն վերացնել).

• դժվարավուն առաջադրանքները կատարելիս ցուցաբերում է հիմնավոր և խորը իմացություն.

• առաջադրված հարցերին տալիս ' հստակ, հիմնավորված և ճշգրիտ պատասխաններ.

• կարողանում է առաջադրանքներ, խնդիրներ, - վարժություններ կատարելիս ցուցաբերել ստեղծագործական մոտեցում.

• կարողանում է լուծել կռահունակություն պա­հանջող խնդիրներ, գտնել օրինաչափություն­ներ, կատարել հիմնավորումներ, սակայն նշված առաջադրանքերում կարող է թույլ տալ ոչ էական սխալ կամ թերություն, որը անմիջա­պես, ինքնուրույն կարող է ուղղել.

• կարողանում է կազմել խնդիրների լուծման քայլաշարը.

• կարողանում է ունեցած տեղեկատվություն­ները մշակել, համեմատել և ներկայացնել տարբեր ձևերով.

• կարողանում է ձեռքբերած գիտելիքների, հմտությունների և կարողությունների հիման վրա ինքնուրույն ձևավորել նոր հմտություններ և կարողություններ.

• կարողանում է ճիշտ և հիմնավոր կատարել երկրաչափական բնույթի առաջադրանքներ.

• ցուցաբերում է ծրագրային նյութի բովան­դակությանը վերաբերող չափորոշչային 3-րդ կարգի գիտելիքների հիմնավոր և խորը իմա­ցություն, բարդ և ոչ լրիվ ծանոթ իրավիճակնե­րում դրանք կիրառելու կարողություն.

• ազատորեն մեկնաբանում է դասանյութը, ինք­նուրույն դատողություններ և եզրահանգումներ անում, համադրում է տարբեր առարկաներից ունեցած գիտելիքները, դասակարգում.

• մաթեմատիկական խոսքը զարգացած է, ճշգրիտ և տրամաբանված:

Թեմատիկ գրավոր և կիսամյակային

ամփոփիչ աշխատանքների ստուգման և գնահատման

չափանիշները

Գրավոր աշխատանքների ստուգման և գնահատման չափանիշները կազ­

մելու համար հաշվի են առնվում աշխատանքի տեսակը, բովանդակությունը, կա­

տարման նպատակը, գնահատվողից ակնկալվող պատրաստվածությունը:

> Գրավոր աշխատանքը պետք է պարունակի տարբեր բարդության առաջա­

դրանքներ (1-ին, 2-րդ, 3-րդ կարգի բարդության և դժվարավուն առաջա­

դրանքներ):

> Յուրաքանչյուր առաջադրանք ստուգվում և գնահատվում է մնացածներից

անկախ:

> Որևէ առաջադրանքի համար առավելագույն գնահատականը (1 միավոր

բարդության առաջադրանքի համար' 1 միավոր, 2 միավոր բարդության

առաջադրանքի համար' 2 միավոր, 3 միավոր բարդության առաջադրանքի

համար 3 միավոր) է նշանակվում, երբ առաջադրանքը լուծված է ճիշտ,

լուծման քայլերը հիմնավոր և ավարտուն են, շարադրված է գրագետ:

> 1 միավոր բարդության առաջադրանքի համար 0,5 միավոր է գնահատվում,

երբ լուծման համար ընտրված է ճիշտ ուղին, կատարված են հիմնական

քայլերը, սակայն դրանք ավարտուն չեն, կամ շարադրանքում թույլ է տրված

սխալ, որը վերաբերում է առաջադրանքի հիմնական բովանդակությանը:

Աշակերտը հիմնականում տիրապետում է տվյալ տիպի առաջադրանք­

ների լուծմանը:

> 2 միավոր բարդության առաջադրանքի համար 1 միավոր է գնահատվում,

երբ առաջադրանքի լուծման համար ընտրված է ճիշտ ուղի, սակայն աշխա­

տանքն ավարտուն չէ, կամ հաշվարկներում, գրառումներում թույլ է տրված

սխալ կամ որոշակի թերություններ:

Աշակերտը հիմնականում տիրապետում է տվյալ առաջադրանքի

լուծմանը:

> 3 միավոր բարդության առաջադրանքի համար 1 միավոր է գնահատվում, երբ

առաջադրանքի կատարման համար ընտված է ճիշտ ուղի, սակայն դրանք

ավարտուն չեն, կամ առաջադրանքում թույլ են տրված բացթողումներ և

սխալներ, կամ կան թերություններ հաշվարկներում, գրառումներում:

> 3 միավոր բարդության առաջադրանքի համար 2 միավոր է գնահատվում,

երբ առաջադրանքը հիմնականում լուծված է, սակայն թույլ է տրված սխալ

կամ կան թերություններ հաշվարկներում, գրառումներում: Առաջադրանքում

կատարված են հիմնական քայլեր, սակայն դրանք ավարտուն չեն:

Առաջադրանքի կատարումը ցույց է տալիս, որ աշակերտը հիմնականում

տիրապետում է տվյալ առաջադրանքի կատարմանը:

Եթե հարցաշարը կազմված է 10 միավորային սանդղակով, ապա գրավոր աշխատանքի վերջնական գնահատականը բոլոր առաջադրանքների համար առանձին-առանձին նշանակված գնահատականների գումարն է: Ամբողջ թիվ չլինելու դեպքում այն մոտարկվում (կլորացվում) է:

Եթե հարցաշարի բոլոր առաջադրանքների միավորային արժեքը մեծ է 10 միավորից և կա փոխարկման խնդիր, ապա առաջարկում ենք հետևյալ մոտե­ցումը: Սկզբում պետք է հաշվել բոլոր առաջադրանքներից աշակերտի ստացած միավորների գումարը, ապա ստացված թիվը բաժանել հարցաշարի առավե­լագույն միավորի վրա, իսկ հետո' ստացված արդյունքը բազմապատկել 10-ով: Եթե ստացված թիվն ամբողջ թիվ չէ, ապա մոտարկվում է:

Օրինակ' եթե հարցաշարի առավելագույն միավորը 32 է, իսկ աշակերտը

25հավաքել է 25 միավոր, ապա նրա գնահատականը կ լինի-----10 = 7,8 ~ 8 :

32

Աշակերտի գնահատականը կլինի 8 միավոր:

Գրավոր աշխատանքի հարցաշարի նմուշ 2 - ր դ դասարան Հատկորոշիչներ

Ուսումնական առարկան - մաթեմատիկա Հարցաշարի համարը - 3 Հարցաշւսչի տարատեսակը - ծավալուն օրագրային թեման - բազմապատկում և բաժանում Առաջադրանքների քանակը - 6 Հարցաշարի առավելագույն միավորը - 14 Կատարման համար նախատեսված ժամանակը - 40-45ր Գնահատման չափանիշների միավորային սանդղակ

Առաջադրանքիհամարը

Առաջադրանքիառավելագույն

միավորը

Գնահատմանքայլի

միավորը

1 1 0,5

2 4 1

3 2 1

4 3 1

5 2 1

6 2 1

Դպրոց__________

Անուն, ազգանուն

դասարան

ՏԱՐԲԵՐԱԿ 1

1. Բազմապատկումը փոխարինիր գումարով և հաշվիր արդյունքը.

7 5

8 3

2. Կատարի ր գործողությունները.

8 4 - 2 0 4 6 8 - 6 4

5 7 + 8 1 9 6 4 - (1 2 + 6) 6

3. Համեմատիր տեղադրելով « > », « < », « = » նշանները.6դմ 2սմ ... 65սմ 4մ 6դմ ... 50դմ

4. Տղան մի ծառից քաղեց 36 խնձոր, իսկ մյուս ծառից 6 անգամ քիչ: Քանի՞ խնձոր քաղեց տղան երկու ծառից:

5. Քառակուսու կողմի երկարությունը 7սմ է: Հաշվիր քառակուսու կողմերի երկարությունների գումարը:

6*. Ուղղի վրա հավասար հեռավորությամբ 9 կետ է նշված: Հարևան կետերի միջև եղած հեռավորությունը 6 սմ է: Որքա՞ն է ծայրակետերի միջև եղած հե­ռավորությունը:

Օ գ ն ո ւ թ յ ո ւ ն ո ւ ս ո ւ ց չ ի ն

Մ Ա Թ Ե Մ Ա Տ Ի Կ Ա Յ Ի Օ Լ Ի Մ Պ Ի Ա Դ Ա Յ Ի

Տ Ա Ր Ա Ծ Ք Ա Յ Ի Ն ՓՈ ՒԼԻ Խ Ն Դ Ի Ր Ն Ե Ր Ը (2009թ .)

Ա.Ս.Միքայելյան

Եր՛անի թիվ 6 միջն. դպրոց

2009թ-ի փետրվարի 4-ին Երևան քաղաքի 12 համայնքներում տեղի ունեցավ դպրոցականների մաթեմատիկայի օլիմպիադայի տարածքային (II) փուլը, որին մասնակցում էին հանրակրթական դպրոցների 8-րդ, 9-րդ. 10-րդ և 11-րդ դասարանների աշակերտները: Առաջադված խնդիրների գերակշիռ մասը ընտրված էին ներկայիս գործող հանրահաշիվ և երկրաչափություն առարկաների դասագրքերից:

Ստորև ներկայացնում ենք առաջարկված խնդիրները:

8-րդ դասարան

ШЮ 1994 թվականին Վահագնը դարձավ այնքան տարեկան, որքան նրա ծննդյան տարեթվի թվանշանների գումարն է: Ո՞ր թվին է ծնվել Վահագնը: (4 միավոր)

B D Բազմանիշ թիվը բազմապատկելով իր թվանշան­ների գումարով' ստացան 2008: Արդյոք կա՞ այդպիսի թիվ:

(4 միավոր)

□ □ Հարթության մեջ ընկած 4 ուղիղները առավելա­գույնը քանի՞ տիրույթների կբաժանեն այդ հարթությունը:

(4 միավոր)

□ □ A B C D քառակուսու ներսում վերցված է М կետն

այնպես, որ Z M A B = 60° , Z M C D =15° : Գտեք Z M B C ֊ն:(4 միավոր)

Q □ Տրված է A B C հավասարասրուն եռանկյունը

АН = НС : Բացի այդ B P = Р О = OR = RS = S M = M N = NA =

= A C : Գտնել Z B ֊ն (տես գծագիրը): (4 միավոր)

Ց-րդ դասարան

ВВП Սենյակում կան մարդիկ, շներ և ճանճեր' ընդամենը 10-ը: Մարդն ունի 2 ոտք, շունը' 4, ճանճը' 6, բոլորը միասին ունեն 46 ոտք: Քանի՞ մարդ, քանի՞ շուն ևքանի՞ ճանճ կա սենյակում:

(3 միավոր)

В О Բերված տեսքի քառակուսի հավասարման գործակիցները ամբողջ թվեր են: Հնարավո՞ր է նրա տարբերիչը (դիսկրիմինանտը) հավա­սար լինի 63-ի: (4 միավոր)

S D Դասարանի 32 աշակերտներից 20-ը ցանկություն հայտնեց սովորել անգլերեն, 15-ը' գերմաներեն, 12-ը' ֆրանսերեն, 7-ը' և անգլերեն, և գերմաներեն, 6-ը' և անգլերեն, և ֆրանսերեն, 3-ը' և գերմաներեն, և ֆրանսերեն: Քանի՞ աշակերտ է ցանկացել սովորել նշված երեք լեզուները միասին: (4 միավոր)

□ □ Տե ս 8-րդ դաս. Խնդիր N5.

□ □ В С հիմքով A B C հավասարասրուն եռանկյան ներսում M կետը

վերցված է այնպես, որ Z M B C = 30°, Z M C B = 10°: Գտեք A M C

անկյունը, եթե Z B A C = 80°: (5 միավոր)

10-րդ դասարան

ШО (թեստ) Պարզել հետևյալ հավասարումներից ո՞րն է առավել հեշտ լուծելի:

ա) s in3 X - c o s 3 x = 1 բ) s in6 x - c o s 6 x = 1 Պատասխան.

1. ա) հավասարումը2. բ) հավասարումը3. Նրանք համարժեք հավասարումներ են և ունեն լուծման նույն դժվարու­

թյունը:

(Առավել դժվար հավասարումը(ները) լուծողին կտրվի լրացուցիչ 1 միավոր)(3 միավոր)

B D Հեծանվորդը հաստատուն արագությամբ պետք է անցներ 75կմ: ճա ­նապարհի 20%-ը նախատեսված արագությամբ անցնելով' մնացած մասի առաջին կեսում արագությունը նախատեսվածից 5կմ/ժ-ով ավելացրեց, իսկ երկրորդ կեսում' նախատեսվածից 5կմ/ժ-ով պա­կասեցրեց: Արդյունքում' տեղ հասավ կես ժամ ուշ: Որոշեք հեծան­վորդի նախնական արագությունը: (4 միավոր)

□ □ Ապացուցել, որ եթե A -ն, 5-ն , С ֊ն սուրանկյուն եռանկյան ան­

կյուններ են, ապա տեղի ունեն

ա) tgA + tgB + tgC = tgA ■ tgB ■ tgC

բ) tgA + tgB + tgC > Зл/з պայմանները:

(4 միավոր)

□ □ Տրված է A B C D սեղանը: А В սրունքի М միջնակետով տարված է

C D սրունքն ընղգրկող ուղղին' C H ուղղահայացը H e ( C D ) :

Ապացուցել, որ S ABCD =|M H \-\CD\

(4 միավոր)

□ □ Ապացուցել, որ շրջանագծին ներգծած քառանկյան մակերեսը

կարելի է հաշվել Տ = ^ J ( p - a ) ( p - b ) ( p - c ) ( p - d ) բանաձևով: Ի՞նչ

կարելի է ասել այդ քառանկյան մասին, եթե Տ = 4 a - b - c - d , որտեղ

p -Կ քառանկյան կիսապարագիծն է, իսկ a,b ,c ,d ֊ն նրա կողմերի

երկարությունները: (5 միավոր)

11-րդ դասարան

SID (թեստ) Պարզել հետևյալ հավասարումներից ո՞րն է համեմատաբար հեշտ լուծելի.

ա) I х = X 2 բ) 2W = X 2

Պատասխան.1. ա) հավասարումը2. բ) հավասարումը3. երկուսն էլ ունեն լուծման նույն դժվարությունը:

(Ընտրված հավասարումը(ները) լուծելիս տրվում է լրացուցիչ 1 միավոր)(3 միավոր)

B D Ապացուցել, որ եթե y = f ( x ) ֆունկցիայի որոշման տիրույթը համա-

չափ է О (կոորդինատների սկզբնակետն է) կետի նկատմամբ, ապա

այն հնարավոր է, ընդ որում միակ ձևով, ներկայացնել զույգ և կենտ ֆունկցիաների գումարի տեսքով:

(5 միավոր)

S D Ցույց տալ, որ եթե р , р - 10, р + 10 թվերը պարզ թվեր են, ապա

պարզ թիվ է նաև р - 2 թիվը: (4 միավոր)

□ □ А В և C D հատվածները ընկած չեն մի հարթության մեջ, իսկ M -ը

և N ֊ը այդ հատվածների միջնակետերն են: Ապացուցել, որ

M N < — (A C + B D ) : (4 միավոր)

Q О Ապացուցեք, որ a,b ,с ,d (հաջորդական) կողմերով կամայական քա­

ռանկյան Տ մակերեսի համար տեղի ունի Տ < • (ac + bd) անհա­

վասարությունը: (4 միավոր)

տա

ИШП Տե՜ս Հ.Ա.Միքայելյան «Հանրահաշիվ - 7» N 325:

Պարզ է, որ Վահագնը ծնվել է 19xy թվում: Եթե ծնված լիներ lS x j -ին,

ապա 1 + 8 + x + j = 9 + x + j < 9 + 9 + 9 = 27< 1994 - 1 8 x j :

Ըստ պայմանի'

1 + 9 + х + у = 1994֊19ху о 10 + х + у = 1994 ֊ 1900 ֊ 10x ֊ յ о

l l x + 2y = 84 (*): (*)-ից հետևում է, որ х -ը զույգ թվանշան է, ուստի այն կարող է

լինել X = 6 : Տեղադրելով կստանանք' y = (8 4 -6 6 ): 2 = 9

Պատասխան. Վահագնը ծնվել է 1969 թվին:

B S D Տե՜ս նմանակը «Հանրահաշիվ - 9» (նորը) N 661 :

Որոնելի բազմանիշ թիվը նշանակենք и -ով, իսկ թվանշանների գումա­

րը' Տ (ո ) ֊ով: Ունենք'

Ո ■ Տ(ո) = 2008 = 1 • 2008 = 2 • 1004 = 4 • 502 = 8 • 251: 0251Ю ■

■■Քանի որ 2 + 5 +1 = 8, ապա ո = 2 5 1 ; Տ (ո ) = 8 :

Պատասխան, ո = 251:

DGO Տե՜ս Հ . Ա. Միքայելյան «Հանրահաշիվ - 8» N 727:Մեկ ուղիղը հարթությունը կբաժանի 2 մասերի:

n a a

o o i

Երկու ուղիղները հարթությունը առավելագույնը կբաժանեն չորս մասերի (տիրույթների): Ուղիղները պետք է հատվեն.

Որպեզի երեք ուղիղները հարթությունը հնարավորին շատ մասերի բա­ժանեն, պետք է երրորդ ուղիղը նախորդ երկու ուղիղները հատի երկու իրարից

տարբեր կետերում, В և С : Այդ դեպքում նախորդ չորս մասերին կավելացվի ևս

3-ը' 4 —> 4 + 3 = 7 :

Չորս ուղիղները հարթությունը առավելագույն մասերի կբաժանեն, եթե

չորրորդ ուղիղը հատի նախորդ երեքը ևս նոր երեք կետերում D ; М ; N :

Հարթությունը կտրոհվի 7 —> 7 + 4 = 11 մասերի:

Պատասխան. 4 ուղիղները հարթությունը առավելագույնը կբաժանեն 11

մասերի:

□□□ Տե 'ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 8» (նորը) N 455:

В С К В (К ) с

Տանենք А կենտրոնով և A M = R շառավիղով շրջանագիծ: Գծագիր

ւս)-ում այն հատում է A B կողմը К կետում, գծագիր բ)-ում А В կողմի շարու­

նակությունը հատում է К կետում, գծ. գ)-ում անցնում է В կետով:

АА М К -Ը կլինի հավասարակողմ' Z K A M = 60° ֊ի պատճառով: Քանի որ

Z M C D = 15°, ապա K Q || В С (գծ. ւս)-ում) կստանանք'

A M KQ = 90° ֊6 0 ° =30° , Z K P M = 90° ֊15° =75°, ուստի' A K P M ֊ը կլինի

հավասարասրուն' Z K M P = 180° ֊ (30° + 75°) = 75°֊ի պատճառով:

Նշ. A B = B C = C D = D A = a

B K = CQ = А В - А К = а - A M = K Q -К Р = a - A M = P Q : Այսինքն

P Q = C Q = a ֊A M , որը հնարավոր չէ Z P C Q = 15° ֊ի պատճառով: Գծ. բ)-ում

A M = A K = A B + B K = a + B K , M P = C P =>

A M = K M = P M + K P = P C + K P = { В С - P B ) + K P , a + B K = a ֊ P B + K P

B K + P B = K P , որը տեղի ունենալ չի կարող B K + B P > K P (եռանկյան

անհավասարությունը) պատճառով: Ուրեմն գծ. բ)-ն ևս տեղի չունի: Մնում է տեղի

ունենա գծ. գ)-ն A M = A B = M B = а = В С => А М В С եռանկյունը հավասա­

րասրուն է:

Այսինքն Z M B C = 90° ֊6 0 ° =30°:

Պատասխան. Z M B C = 30°:

DEO Տե՜ս նմանակը. Աթանասյան «Երկրաչափություն - 6» N ...:

Նշանակեք Z B = x° (տես գծագիրը)

Z R P Q = 2x° = Z B R Q => Z R Q S = Z B R Q + Z R B Q = 2x° + X° = Зх°

(արտաքին անկյունը հավասար է իրեն ոչ կից երկու ներքին անկյունների գու­մարին):

Z R S Q = Z R Q S = 3 x ° :

Շարունակելով կստանանք'

Z M R S = 4x° => Z M S N = 5x° => Z A M N = 6x° => A N C = 7x° = Z A C N = Z B A C ֊ը:

Այսպիսով' Z B = x ° ; Z A = Z C = 7x° Z A + Z B + Z C = m ° =5>

x° + 7x° = 180° 15x° = 180° <^ x°= 12°:

Պատասխան. Z B = 12°:

9-րդ դասարան

OBD Տե՜ս Հ. U. Միքայելյան «Հանրահաշիվ - 9» N 690:Մարդկանց թիվը նշանակենք (Օով, շների թիվը' ֊ով, ճանճերի թիվը' -

ով: Այդ դեպքում'

|Մ + Շ + Ճ = 10 քՄ + Շ + ճ = 10

լ2Մ + 4Շ + 66 = 46 ° |մ + 2շ + 3ճ=23:

Բացի այդ' Մ > 2 , Շ > 2 , ճ > 2 , քանի որ խնդրում ասված է «կան

մարդիկ, շներ, ճանճեր»: Ունենք' (Մ + 2Շ + ՅՃ) — (Մ + Շ + ճ ) = 23 —10 = 13<=>3

Շ + 2 ճ = 13 (**):

(**)-ից հետևում է, որ Շ-ն չի կարող զույգ թիվ լինել և քանի որ Շ > 2,

ապա Շ > 3 : Եթե Շ = 3 , ապա ճ = 5, Մ = 2: Իսկ եթե Շ =5, ապա ճ = 4 և

Մ = 10—(5 + 4) = 1-ը տեղի ունենալ չի կարող:

Շ = 7, Շ = 9 նույնպես տեղի չունեն:

Պատասխան. Մարդիկ' 2, Շներ' 3, ճանճեր' 5:

ВВП Տե՜ս Հ. Մ. Միքայելյան «Հանրահաշիվ - 8» N 1228:

Դիցուք տված է x 2 + px + q = 0 բերված տեսքի քառակուսի հավասա­

րումը, որի համար p , q s Z : Ենթադրենք D = p 2 — 4q = 63 О

( р 2 + 1 )-4 9 = 64 => ( р 2 + 1)М : Սակայն, եթե p -ն կենտ թիվ է (զույգ լինել չի

կարող), ապա р 2 +1 = (2К + 1)2 +1 = 4K ( K +1) + 2, որը չի բաժանվում 4-ի:

Պատասխան. Տարբերիչը չի կարող հավասար լինել 63-ի:

□GO Տե՜ս Հ. Ս. Միքայելյան «Հանրահաշիվ - 7» N 683*:

Եթե x -ով նշանակենք այն աշակերտների թիվը, որոնք ցանկացել են

սովորել և անգլերեն, և գերմաներեն, և ֆրանսերեն, ապա (7 - х) ֊ը կլինի միայն

անգլերեն և գերմաներեն, բայց ոչ ֆրանսերեն, 6 - ւ - ը միայն անգլերեն և ֆրան­

սերեն, բայց ոչ գերմաներեն, իսկ З - х -ի միայն ֆրանսերեն և գերմաներեն,

բայց ո չ անգլերեն: Մնացած նշանակումները նույնպես հասկանալի են: Ունենք'

(7 + х) + (6 ֊ х) + X + (7 ֊ х) + (3 ֊ х) + (5 + х) + (3 + х) = 20 +11 + х = 31 + х :

Այսպիսով' (31 + х) քանակի աշակերտներ զբաղված են անգլերեն,

գերմաներեն, ֆրանսերեն լեզուներից գոնե մեկը սովորելով: Հետևաբար

31 + х < 32 <̂=> X < 1: Այսպիսով, եթե х = 1 (3 լեզուները սովորում է միայն 1

աշակերտ), ապա 32 աշակերտից 32-ն էլ զբաղված են գոնե 1 լեզու սովորելով,

իսկ եթե x = 0, ապա չկա աշակերտ, որը սովորում է նշված երեք լեզուներն էլ,

այնպես որ այս դեպքում դասարանի 32 աշակերտներից 1-ը չի սովորում նշված երեք լեզուներից և ոչ մեկը (ասենք սովորում է միայն իր մայրենի լեզուն' օրինակ հայերենը): Խնդրի վերը նշված ձևակերպումը (տես Հ-7, N683*) իր մեջ պարունակում է : Եթե դասարանում կան 32 և ավելի աշակերտներ,բայց 32 աշակերտներից 20-ը սովորում է գերմաներեն և այլն, ապա ասել կուզի, որ այդ 32 աշակերտներից յուրաքանչյուրը սովորում է նշված երեք լեզուներից գոնե մեկը, բայց եթե հասկանանք, որ դասարանում կան 32 աշակերտներ, և նրանցից 20-ը սովորում է գերմաներեն (և այսուհետ ինչպես տեքստում), ապա հնարավոր է դրանցից մեկը և ոչ մի լեզու նշված երեքից էլ չսովորի:

Այսպիսով' ճիշտ 32 աշակերտի առկայության դեպքում հնարավոր է և

x = \, և x = 0 պատասխանները, իսկ եթե 32 և ավելի աշակերտներ կան

դասարանում, ապա այս դեպքում նրանցից 32-ը զբաղված լինելով վերը նշված

երեք լեզուներից գոնե մեկը սովորելով, կստանանք միակ պատասխանը' x = 1:

В 0D Տե՜ս 8-րդ դասարանի Խնդիր N 5-ը:

D OD Տե՜ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 7» (նորը), N380

A

Տված է Z B A C = 80°, A B = A C , Z M B C = 30°, Z M C B = 10°: Գտնել

Z A M C -ն:

Տանենք A D միջնուղղահայւսցը (կիսորդը) և B M ֊ը շարունակենք

մինչև A D ֊ի հետ D կետում հատվելը: Այդ դեպքում Z D M C = 30° +10° =40°

(արտաքին անկյունը հավասար է իրեն ոչ կից երկու ներքին անկյունների գումարին), մյուս կողմից

Z B A D = Z D A C = — = — = 40°:2 2

Բացի այդ D B = D C , որովհետև A D ֊ն միջնուղղահայաց է, հետևաբար

Z D C B = Z D B C = 30° :

Ուստի Z D C M = 30° ֊10° =20°:

Z D C A = Z C — Z D C B = 50° —30° = 20° : Հետևաբար AM D C = A A D C որպես

հավասար անկյուններ և մեկ հավասար ընդհանուր կողմ D C -ն, որը ընկած է

4 0 ° ֊ի հավասար անկյունների դիմաց:

Այսպիսով' A D = D M , Z M D C = Z A D C = 180° — (40° + 20°) = 120° ,

հետևաբար Z A D M = 360° ֊(120° +120°) =360° ֊2 40° =120°:

Այսինքն' Z A M D = Z M A D = (180° - Z A D M ) : 2 = (180° ֊120°): 2 = 30° :

Այսպիսով' Z A M C = 40°+30° =70°:

Պատասխան. 70°

10-րդ դասարան

□ 6ВО Տե՜ս Գ.Գևորգյան և Ա.Սահակյան «Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի տարրեր - 9»: N 354:

Պատասխան' 2) Առավել հեշտ լուծելի է բ) հավասարումը:

Իրոք' s in6 X = 1 + cos6 X > 1, քանի որ cos6 x > 0 և sin6x < l , ապա ստանում ենք

ա) sin3 x - c o s 3 X = 1 հավասարումը համարժեք չէ բ)-ին և լուծման առումով փոքր ինչ դժվար է նրանից:

s in2 x ( s in x - l) = cos2 x ( l + c o sx ) : Եվ քանի որ l + cosx> 0 , իսկ sin х -1 < 0 ,

ապա 0 > s in2 x ( s in x - l) = cos2 x ( l + cosx) > 0, s in2 x > 0 , cos2 x > 0 պատ­

ճառով կստանանք'

Իրոք' s in3 x ֊ c o s 3 x = 1 = s in2 x + cos2 x

x = 7г{ 1 + 2k)

<=> х = - + 2лк n ’ k ^ z <=>2

x e Z .x = — Ւ 2лк. 2

71x = — v m . 2

□ BID Տե՜ս Հ.Ա.Միքայելյւսն «Հանրահաշիվ - 9» (նորը) N 260:

A C = 7 5 ------= 15 (կմ), СВ = А В - A C = 75 -1 5 = 60(կմ),

, 30Ունենք էըը — — , է ը ց

х + 5 х - 5 ’

30— г; է,

60

X

Ըստ պայմանի

30 30 60 1 60х _ 120 + X

X 2 — 25 ՜ 2хО х — 25х = 3000+ -------= — + - О

х + 5 х - 5 х 2

(х> 0 ;х^ 5 ) о ( х -5 ) • х • (х + 5) = 10-15 • 20 :

Վերջինը հավասարման լուծման հիմնական պահն է:

Ունենք' ( х - 5 ) X - (х + 5) = (15-5)15 (15 + 5) => х = 15^ այդ հավա­

սարման արմատներից մեկն է:Մյուս կողմից'

х - 1 5X 3 - 2 5 Х -3 0 0 0

X 3 — 15х2 X 2 + 15х + 200

15х - 25х

15х2 - 225х

200х -3000

200х ֊3000

о

Ուստի'х 3 -2 5 х -3 0 0 0 = (х -1 5 ) (х 2 +15х + 200), սակայն х 2 +15х + 200 = О,

հավասարման համար D = 2 2 5 -30 0 < 0 , հետևաբար х = 15^ միակ իրական

արմատն է:Պատասխան. Հեծանվորդի նախնական արագությունը 15(կմ/ժ) է:

В QD «Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի տարրեր - 9»: N 161 գ:

Դիցուք' А + В + С = 90° և А ,В , С е (0°;90°):

Ունենք' tgA + tgB + tgC = tg(A + 5)(1 - tgA ■ tgB) + tg C :

Օգտվեցինք' tg(A + B) = + բանաձևից:tgA tgB

tgA + tgB + tgC = tg{\80° - C)( 1 - tgA ■ tgB) + tgC =

= - t g C (1 - tgA -tgB ) + tgC = - tg C + t g C ■ tgA■ tgB + tgC = tgA■ tg B ■ tgC :

Նշանակենք tgA + tgB + tgC = tgA ■ tgB ■ tgC = a > 0 :

Այդ դեպքում ըստ Կոշու անհավասարության

^ = lgA ,g B - ,g C = lg A + lg B + lg C )gC = վ 7 &

О f - j j >(л/я) О — > a > 0 О a 2 > 27 a > З-հ/յ :

Հավասարությունը տեղի ունի tgA = tgB = tg = С = у/3 о

A = В = C = 60° դեպքում:

В □□ Տե՜ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 9» (նորը), N473:

Տված է A B C D սեղանը B C \ \ A D , A M = M B , M H _L {CD) (ուղիղին):

Ունենք, որ S ABCD = S AACD + S MBC. Բայց S MBC = <$,дВС0 = —В С ■ h , որտեղ հ-ը

սեղանի բարձրությունն է: Մյուս կողմից՝ Sm c d = ^ \ C D \ - \ A A 1 \, AA x -L (CD) ,

իսկ S mBC = -j| B B X I • I C D I, որտեղ B B X _L(CD) ուղիղին:

S abca = s &BCD = ^ \ B B , \ - \C D \ , ուստի'

S a b c d = ± \C D \ ֊ \A A , \+ ± \B B , \ ֊ \C D \=

=\CD\{^ A A i ^ B B i ]̂ = \C D \ - \M H \ \ B B xA xA-b ուղղանկյուն սեղան է,

որի միջին գիծը \ M H l=~(l AA\ I +BBl ):

D □□ Տե՜ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 9», N 558

Նշանակենք A B = a , B C = b , C D = c, D A = d , Z A = a° ^ Z C = ( 180°- a ° ) \

S ABcd = ~ (Qd + be) • sin a 0 : Մյուս կողմից' B D 2 = a 2 + d 2 - 2 a d c o s a ° (AA B D -

ից), B D 2 = b 2 + c 2 -2/>ccos(180°- a 0) = b2 + c 2 + 26ccosctr° ( A B C D -ից):

Ուստի'

a 2 + d 2 - 2 a d c o s a ° = b 2 + c 2 +2bccosa° <=>

cosctr0 = ----------------(a 2 + d 2 - b 2 - c 2) :2 {ad + be)

Մյուս կողմից' 0<sina° = V l- c o s 2 a 0 <=>

_ I (a2 + d 2 - b 2 - c 2)2 _ -J{2ad + 2bc)2 ֊ { a 2 + d 2 ֊ b2 - c 2)2

\ 4 {ad + bc)2 2 {ad + bc)

$abcd = S&abd + S&bcd = -^ adsina() +-̂ />csin(180° -a0) = ^ adsm a° +^6csinctr0:

sin or

ABCDS = —{ad + b c ) -------- --------д/(2ad + 2be)2 - {a2 + d 2 - b 2 - c 2)2 =2 2 {ad + be)

= —-yJ{2ad + 2b c - a 2 - d 2 + b2 + c 2){2ad + 2bc + a 2 + d 2 - b 2 - c 2) =

= -^{{b + c)2 - { a - d ) 2)-{{a + d ) 2 - { b - c ) 2) =4

= -̂ -д/ {b + с - a + d){b + c + a ֊ d ) { a + d - b + c){a + d + b - c) =

b + c + a + d — 2a \( b + с + a + d - 2 d ) f a + d + c + b —2b \ f a + d + b + c - 2 c

2 Л 2 A 2 A 2

= J { p - a ) { p - d){p - b ) { p ֊ c ):

Այն դեպքում, երբ քառանկյանը հնարավոր է ներգծել շրջանագիծ, ապա

a+ c = b + d => b + c + a ֊ d = b + b + d ֊ d = 2 b ,

b + c + d ֊ a = a + c + c ֊ a = 2c, a + d + c ֊ b = b + d + d ֊ b = 2 d ,

a + d + b - c = a + a + c - c = 2a => S = —^j2a-2b-2c-2d =yjabcd :4

Այսպիսով, եթե քառանկյունը և ներգծելի է, և արտագծելի է շրջանա­

գծին, ապա Տ = л!abed : Ընթերցողին ենք թողնում պարգել, ճիշտ է արդյո՞ք

հակադարձը:

11-րդ դասարան

0 HD Պատասխան. 2) հավասարումը համեմատաբար հեշտ լուծելի է:

Բանն այն է, որ ա) 2х = X 2 հավասարման այն լուծումները, որոնց դեպ­

քում х > 0 , հնարավորություն է տալիս սպառելու բ) 2|x| = (x )2 հավասարման

բոլոր լուծումները: Մնում է տեսնել, որ այս հավասարումն ունի լուծում նաև

X < 0 դեպքում, ինչը կարելի է տեսնել նաև նույնիսկ գծագրից'

Մյուս կողմից' f ( x ) = 2x - x 2 =0 հավասարումը կարող է ունենալ

3 իրարից տարբեր արմատներ: Իրոք, եթե ենթադրենք, որ

x j< x 2 < x3 < x4 թվերը այդ հավասարման արմատներն են, ապա [xj;x2];

[x2;x3]; [x3;x4] հատվածներից յուրաքանչյուրում' f { x ) = 2x - x 2 ածանցելի

ֆունկցիան ընդունելով իր և մեծագույն, և փոքրագույն արժեքները միջակայքերի ներքին կետում Ֆերմայի թեորեմի համաձայն

f \ c ւ) = 0; C j e t x j ^ ) , f { c 2) = 0; c2 e ( x 2;x3), f ' ( c 3) = 0; c3 e ( x 3;x4)

Այսպիսով'

/ ՛ (x) = (2х ֊ x 2 )'= 2х • In 2 ֊ 2x = 0 հավասարումը ունի cl < c 2 < c3

արմատները:

/ '( c j) = / ' ( c 2) = / '( c 3) = 0 պայմաններից կստանանք, որ / " ( х ) = О

հավասարումը (cl5c2) և (c 2,c3) միջակայքերից յուրաքանչյուրում կունենա

/ " (ծ յ) = 0; / " ( ծ 2) = 0, ծյ <b2 արմատները: Աակայն,

դ շ/ " ( x ) = (2x ln 2 - 2 x ) '= 2 x(ln2) - 2 = 0 2х = ------- - , որը կարող է ունենալ

(եւ2)

ճիշտ 1 արմատ, ինչը կհակասի վերը ստացած bx <b2 արմատներին:

Հետևաբար 2х = х 2 հավասարումը 3-ից ավելի լուծումներ չի կարող ունենալ:

Դժվար չէ նկատել, որ Xj = 2; х2 =4 և -1 < х3 < 0 թվերը ա)-ի լուծումներն են,

որոնցից хг > 0 , х 2 > 0 : Հետևաբար

х = ±2

х = +42W =1 X I2 О

I X |= 2О

к 1=4

թվերը սպառում են բ)-ի բոլոր լուծումները:

Պատասխան. բ)-ն ունի չորս լուծում' х = ±2; х = ±4:

Об). Տե՜ս Գ.Գևորգյան և Ա.Սահակյան «Հանրահաշիվ և մաթ. անալիզի

տարրեր-9» N234:Նշանակենք

= + < G(x) = ^ (x )~ ^ (~x ) , ապա f ( x ) = F (x ) + G(x) :

Ընդորում' V x e D ( f ) => ( -x )e D ( f ) , քանի որ D ( f ) ֊ը համաչափ էր 0 կետի

նկատմամբ: Մյուս կողմից' F ( ֊ x ) = ^ .ը զույգ է, իսկ

Г-Г \ f i ~ X) ~ f i X) f ( X) - f ( ~ X) Г-Г \ 11-Г 1-G (֊x ) = — — շ = ~ — 1 = - G ( x ) ֊ը կենտ է:

Այժմ ցույց տանք, որ / ( x ) = F (x ) + G (x) (***) ներկայացումը միակն է:

Դրա համար նախ ապացուցենք, որ եթե g(x) ֆունկցիան միաժամանակ

և զույգ է և կենտ է, ապա g(x) = 0, որտեղ D(g)-Q համաչափ է 0 կետի

նկատմամբ:Իրոք'

g(~x ) = g (x ) V x e D i g ) ֊ի զույգությունից:

g ( ֊x ) = -g (x ) V x e D {g ) ֊ի կենտությունից:

Ուստի g(x) = -g (x ) <=> 2 g(x) = 0 О g(x) = 0; V x e D (g) :

Այժմ ենթադրենք, որ f ( x ) = F (x ) + G(x) = F l (x) + G l (x), որտեղ ^ (x )^

և F x (x) ֊ը զույգ ֆունկցիաներ են, իսկ G(x) և G x (x) ֊ը կենտ ֆունկցիաներ են:

F (x ) + G(x) = F x (x) + Gj (x) <=> F{x) - F x (x) = Gj (x) ֊ G (x ) ;

V x e Z ) ( / ) : Բայց H (x ) = F (x ) - Р^(х) ՜Ը զույգ է և H (x ) = G (x) - G 1(x)-ը կենտ

է: Հետևաբար Н (х ) = 0 О F ( x ) - F j ( x ) = 0 = G j( x ) -G ( x ) <̂=> ,F(x) = JF1(x) և

а д ^ , ( х ) ; V x e D { f ) :

О О. Տե՜ս Հ.Ս.Սիքւսյելյան «Հանրահաշիվ - 9» (նորը) N692:

Դիցուք' jVj {Зк} ս {3к - 1} ս {3к + 1}; к е N :

Եթե p e N յ => p = 3k կամ p = 3 k ֊ \ \ p = 3k + \\ k e N : Քանի որ,

p -ն պետք է լինի թիվ, ապա р = 3к = 3-1 = 3: Սակայն, այդ դեպքում

^ — 10 = 3 —10 = —7*2 TVj => р ф Ъ к \ к е N \

Եթե р = 3 к ֊ \ \ к е N , ապա p +10 = Зк - 1 +10 = Зк + 9 = 3(к + 3), որը

պարզ թիվ լինել չի կարող: Ուստի' р фЗк - I ] k e N :

Սնաց' p = 3k + \ => p — 10 = З к + 1 — 10 = З к — 9 = 3 • ( к — 3 ) , որը

պարզ թիվ կլինի к — 3 = 1 О к = 4 դեպքում: Սնում է ստուգել

р = Ък + 1 = 3 • 4 + 1 = 13 - □ /> — 1 0 = 1 3 —10 = 3 պարզ թիվ է,

р + 10 = 1 3 + 1 0 = 23 պարզ թիվ է, և բացի այդ պարզ թիվ է լինում նաև

р - 2 = 13 — 2 = 11-ը:

Պատասխան, р = 13 խնդրի պայմանին բավարարող միակ պարզ թիվն է:

В □. Տե՜ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 9» տարաչւսփու- թյան բաժին N374:

Խնդրի պայմանից հետևում է, որ A ,B ,C ,D կետերը կարող գտնվել

հարթության մեջ: Ուստի A B C D ֊ն տարածական քառանկյուն է և A M = M B \

C N = N D : Դիտարկենք M N վեկտորը: Ունենք'

M N =M A + AC + CN | |___ ̂ ̂ ̂ |+|M N = M B + BD + DN

2M N = (M A + M B ) + (A C + B D ) + (C N + ZW ) = 0 + A C + B D + 0 = ~AC + Ж ) :

Մյուս կողմից' | 2M N =| A C + B D |<| A C \ + 1 B D \: Բայց A C \ \ B D \ Հե­

տևաբար'

A C + B D2-\M N\< \AC\ + \BD\ <=> M N < ■

2

О Q. Տե՜ս Աթանասյան և ուրիշներ «Երկրաչափություն - 9» (նորը) N551:

Դիցուք' հարթության մեջ ունենք a;b;c;d (հաջորդական) կողմերով

քառանկյունը: Քանի որ, կամայական ոչ ուռուցիկ քառանկյունը միշտ կարող ենք

դիտարկել նույն կողմերով ուռուցիկ քառանկյան մեջ (տե ս գծ. բ) A B = A B X = a ,

C B = C B x =b), ապա բավարար է սահմանափակվել ուռուցիկ քառանկյան

ապացույցով:

Ունենք S ABCD = S MBC + S MCD.

Դիտենք' ААВС-\\ О : А С կողմը թողնենք անշարժ, իսկ С կետից

տանենք C B X = A B = а և В ХА = В С = b կողմերը: Քանի որ AA B C = ACB^A ըստ

հավասարության երրորդ հայտանիշի, ապա S abc = S ABlC : Մյուս կողմից'

^ A B fiD = $ A B 1D + ^B jC D ^ Р Ш Э Ь SA B C D = ^ A B f D և

S AB1D = ^ bd ■ sin{ZBXAD ) < - b d ,

SBicd = ~ a ՛ c ՛ sin(Z5jCZ)) - ~ a c :

Հետևաբար՝ SABCD = S ABiCD < ^ ac + ֊ b d =-^(ac + bd ) , քանի որ

sm{ZBxAD ) < s in 90° = 1, s in (ZB jCD ) < s in 90° = 1:

Հ ե տ ա զո տ ա կ ա ն

«ՊՅՈՒԹԱԳՈՐԱՍԻ Թ Ե Ո Ր Ե Մ Ն Ե Ր Ը » ԿԱՄ

Ե Ր Կ Ր Ա Չ Ա Փ Ա Կ Ա Ն Տ Ա Ս Ն Չ Ո Ր Ս Թ Ե Ո Ր Ե Մ Ն Ե Ր Ի

ՀԱՄԱՐԺԵՔՈՒԹՅՈՒՆԸԱշոտ Մելիք-Փարսադանյան

ՀՀ ԿԳ նախարարության Կապանի վարժարան

Մաթեմատիկայի դասավանդման գործընթացում աշակերտներին պետք է

ուսուցանել ոչ միայն հայտնի փաստեր, այլ նաև նրանց պետք է մղել թեորեմների

ապացուցման և խնդիրների լուծման նոր եղանականեր գտնելու որոնողական

աշխատանքի: Ներկայացվող հոդվածի նյութը ևս կարող է ծառայել այդ նպա­

տակին: Կարծում ենք, որ այն կնպաստի սովորողների գիտական երևակայու­

թյան զարգացմանը, քանզի այն որոշակի գիտամեթոդական հետաքրքրություն է

ներկայացնում:

Թեորեմները հետաքրքիր են ոչ միայն առանձին վերցրած, այլ նաև մի­

մյանց հետ ունեցած առընչությունների առումով, եթե այդպիսիք կան: Աշխա­

տանքում ընտրվել են տասնչորս մետրիկական թեորեմ, այդ թվում նաև Պյութա­

գորասի թեորեմը, և ապացուցվել, որ դրանք համարժեք են: Պարզվել է, որ դի­

տարկված տասներեք թեորեմները Պյութագորասի թեորեմի հարմարեցված

տարբերակներն են, եթե կուզեք' դրսևորումները, երկրաչափական այս կամ այն

պատկերի համար, այսինքն' դրանք «Պյութագորասի թեորեմներ» են: Հետևա­

բար, եթե որևէ մետրիկական խնդիր հնարավոր է լուծել

ստորև բերված տասնչորս թեորեմներից մեկի միջոցով,

ապա այն հնարավոր է լուծել նաև աշխատանքում դի­

տարկված տասներեք թեորեմներից յուրաքանչյուրի միջո­

ցով: ձ

Այսպիսով, հետևյալ թեորեմները համարժեք են.

Թեորեմ 1 (Պյութագորասի թեորեմը). Ու՜ղղանկյուն

եռանկյան նեքնաձիգի քառակուսին հավասար է էջերի քա- а

ռակուսիների գումարին (նկ. 1). с՛ = ս ՚ + հ : Նկ. 1

Թեորեմ 2. ա) Եռանկյան բարձրությունը կողմերի միջոցով արտահայտվում է հետևյալ բա­նաձևով (նկ. 2).

hc = — J 4 a 2b 2 - ( a 2 + b 2 - с 2) 2 : 2c

բ) Եռանկյան մակերեսը կողմերի միջոցով արտահայտվում է հետևյալ բանաձևերով'

ch.— J 4 a 2b 2 - {a2 + b 2 - с 2) 24 2

S :

ch„> (Հերոնի „ш О ш а д j p ( p ֊ « x f ֊ % - t ) = ֊ = s , որտեղ

a + ծ -Ւ с

2Թեորեմ 3. ա) Եռանկյան կողմը բարձրությունների միջոցով արտա-

2հայտվում է հետևյալ բանաձևով, с

հ.4 ( յ _ յ ____ լ

՜հ ̂+ ՜հ} ՜հ2V ‘ *a '*b ՚ с J

բ) Եռանկյան մակերեսը բարձրությունների միջոցով արտահայտվում է

1 ch.հետևյալ բանաձևով.

4

K K

( \ 1 P ’-----1------------Ք * К վ յ

շ= Տ\

Թեորեմ 4 (Ապոլլոնի թեորեմը). Զուգահեռագծի անկյունագծերի քառակուսիների գումարը հավասար է կողմերի քառակուսիների գումարին

(նկ. 3). I 2 + т 2 = 2 ( a 2 + b 2) \

Թեորեմ 5. Եռանկյան միջնագիծը կողմերի միջոցով արտահայտվում է

հետևյալ բանաձևով (նկ. 4). mc =-—^ 2(a 2 + b 2)-<

Նկ. 3 Նկ. 4

с

А

Նկ. 5

Նկ. 6

Նկ. 7

Նկ. 8

Թեորեմ 6. Եռանկյան կողմը միջնա­

գծերի միջոցով արտահայտվում է հետևյալ

բանաձևով.

с = | л / 2 (да* + Հ ) - Հ :

Թեորեմ 7 (Ստյուարտի թեորեմը).

Դիցուք D -Կ A B C եռանկյան A B կողմին

պատկանող որևէ կետ է (նկ. 5): Նշանակենք

A C = b , A B = с , В С = а , C D = р , A D = п ,

D B - M ; Այդ դեպքում տեղի ունի հետևյալ

հավասարությունը,

с(р2 + пт) = а2п + Ъ2т :

Թեորեմ 8 (Պտղոմեոսի թեորեմը հա­

վասարասրուն սեղանի համար). Հավասա­

րասրուն սեղանի անկյունւսգծի քառակուսին

հավասար է սրունքի քառակուսու և հիմքերի

արտադրյալի գումարին (նկ. 6).

Ր = c 2 + ab :

Թեորեմ 9. Սեղանի անկյունագծերի

քառակուսիների գումարը հավասար է նրա

սրունքների քառակուսիների գումարին'

ավելացրած հիմքերի կրկնապատիկ արտա­

դրյալը (նկ. 7).

1՜ + ա = с + d + la b ՛.

Թեորեմ 10 (էյլերի թեորեմը). Դիցուք

A B C D -Կ որևէ քառանկյուն է (նկ. 8) E -ն

A C ֊ի, իսկ F ֊ը' BD -\\ միջնակետն է: Նշա­

նակենք

A B = c , B C = a, C D = d , A D = b,

B D = /77, A C = l և E F = է : Այդ դեպքում

տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը.

Ր + W " + 4 1՜ = a 2 + b 2 + c 2 + d 2:

Թեորեմ 11. Դիցուք A B C D -ն որևէ

քառանկյուն է (նկ, 9):i?-0 A C -ի, իսկ F -ը

BD-\\ վրա վերցված կետեր են: Նշանակենք

A B = с, B C = a , C D = d , A D = b, B D = m,

A E = k, A C = I , B F = z և E F = է : Այդ դեպ­

քում տեղի ունի հետևյալ հավասարությունը.

h v (/2 + z(m - z ) + k ( l - к )) =

= a 2k(m - z )+ с 1 (/ - к ) { т - z ) + d 2kz + b 2(l - к).

Թեորեմ 12. Դիցուք A B C D ֊ն որևէ

քառանկյուն է (նկ. 10): M -ը A B ֊ի, իսկ J f -ը'

C D -ի միջնակետն է: Նշանակենք A B = c,

В С = а , C D = d , A D = b B D = m A C = l և

M N = p : Այդ դեպքում տեղի ունի հետևյալ

հավասարությունը.

4 թ 2 = Ր + т 2 + а 2 + Ь 2 - с 2 - d 2 :

Թեորեմ 13. Դիցուք A B C D -ն որևէ

քառանկյուն է (նկ. 11): M -ը A B ֊ի, իսկ N ֊ը

C D -ի վրա վերցված կետեր են: Նշանակենք

A B = C , 5 C = a, C D = d , A D = b, A C = Լ

B D = m, M N = : Այդ դեպքում տեղի ունի

հետևյալ հավասարությունը.

Նկ. 9

DՆկ. 10

В

‘d ( p 2 + z(c - z )+ k (d - к))-

a kz + b 2(d ֊ k )(c - z )+ l 2k (c - z )+ m 2{d - k ) z : Նկ. 11

Թեորեմ 14. Դիցուք A B C D ֊ն որևէ

քառանկյուն է, իսկ Օ -ն A C անկյունագծի

վրա վերցրված որևէ կետ է (նկ.12): Նշա­

նակենք A B = c, B C = a , C D = d , A D = b ,

В О + O D = т , A C = /, В О = х և A O = v :

Այդ դեպքում տեղի ունի հետևյալ հավասարու­թյունը.

° 2 Ս ~ У) ■ ( т - х) + а 2у ( т - х) + d 2xy + b 2x(l -

= lm{x(m ֊ x) + v(l ֊ y ) ) :

Դիտողություն: Չենք կարծում, որ թեորեմների վերոհիշյալ ցանկը ամբող­

ջական է: Հավանաբար կլինեն այնպիսիները, որոնք մեր տեսադաշտից դուրս են

մնացել: 2-ի ա)-ի, բ)-ի և գ)-ի, ինչպես նաև 3-ի ա)-ի և բ)-ի համարժեքությունը

ակնհայտ է, և այդ պատճառով դրանք առանձնացված չեն: Թեորեմ 11-ը, 13-ը և

14-ը մաթեմատիկական գրականության մեջ չենք հանդիպել:

Քանի որ մեկ հոդվածի շրջանակներում հնարավոր չէ ներկայացնել բոլոր

ուղղակի (չմիջնորդավորված) ապացուցումները, դրանց մի մասը թողնում ենք

ընթերցողին: Այստեղ աշակերտների հետ աշխատանքի հսկայական նյութ կա:

Որևէ թեորեմի ապացուցումը, տրված մեկ այլ կոնկրետ թեորեմի միջոցով, կզար-

գացնի օժանդակ կառուցումներ և հանրահաշվական ձևափոխություններ կա­

տարելու նրանց կարողությունները, ինչպես նաև ստեղծագործական երևա­

կայությունը:

Հոդվածում ներկայացվում է հիմնական պնդման հիմնավորումն ապահո­

վելու համար անհրաժեշտ, ինչպես նաև մեր կարծիքով առավել հետաքրքիր ա-

պացուցումները:

Հետևյալ ուրվագծում ուղղությունները ցույց են տալիս, թե որերորդ թեո­

րեմից որն է ապացուցվել:

Ա Պ Ա Ց Ո Ւ Ց Ո Ւ Մ1 ֊^2(ա)

Սահմանափակվենք միայն Հ ճ < 9 0 " ,

Z B < 90" դեպքով (նկ.13): Նշանակենք

BD = X, որտեղից' DA = c - x \ C D B և CDA

եռանկյունների համար կիրառենք թեորեմ 1-ը, կստանանք.

2 2 2 г = a - X

:= b2 ֊ ( c ֊ x y

2 2 2 Ն = а - х

[a2 - x 2 = b 2 —(с —x )2

J ւ 2 2/?„ =ci - x2 , 2 7. 2a +c - b

x = -2c

= a2 ■Г£ + С ^ Л2

2c■ h = — J 4 a 2c2 - ( a 2 + c2- b 2)2

c Ш 4

= — J 4 a 2b2 ֊ ( a 2+b2֊ c 2)2 : 2c

aՆկ. 14

2 (ա) —> 1Կիրառենք թեորեմ 2(ա)-ն' հաշվի առնելով, որ

=*(նկ.14):

Կստանանք.

b = — J 4 a 2h2 - ( a 2 + Ъ2 - с 2)2 =>2 a

^>4a 2b 2 = 4 a 2b 2 - ( a 2 + b * - c 2) 2 = > a2 + b 9 = c g

2(ui) —> 3(ш)

t = ֊ ( - ( „= + » ’֊ ֊ , ’֊ Л

k t = - L ( 4 a V 4 r + b ՝ - - c ՝ - f )

h ֊ = — (4 c r l f - i c r + t r - c r 4c V v

a % = b % = շ ձհլ

hl = J _ { ^ b 2 - { a 2 + b2 - c 24c2 V v

=տ> к = -4с-

c-h: c-h:

=> с" = -

К Ч

հ; Վ

4հ;

( հ2 /?շ+

1Л ; К

( ԺՀ_

v Հ

ժ հ ;-—с

■ с = -

=> к = —

2

к к

քհ; Հ ՜

А; йс

-1I к а

1 1 _ 1\շ

14 +

4

4

(7° =-

ь 2 =-

Հ հ 1

1 1 1

հ ք +՜հք՜՜հք\ <3

4

№

с2 = -

Л“/%а

( 1 1 Ո

U ; ' Հ

к՝» о 1 ^

4

Г ւ 1

1

Ո

Ա ;

2 ’'t

a 2h ;= b 2h l= c 2h;

с 2 = -

h ;h l

1 1 1

Վ + Վ ՜ Հ

=> с՜ =-4сгЬ

c 4h 4 . . . .с \ с

1 л

c 2h 2 c 2h 2 h 2 .՞ с с J

•с2 = -

4Ա4'сc 4h

4а2Ь2 ֊ ( а 2 +Ъ2 - с 2

h 2 = -^ { 4 а 2Ь2 - {а2 + Ь2 - с 2) )=> h = — J 4 c rb 2 ֊ ( а 2 + b2 - с 2) : с 4с- \ \ / ! ֊ 2 с v v /

4

4я

4

44я

4я

4 4

й/7

1 —>4

Տանենք A B C D զուգահեռագծի

В К - C S - И բարձրությունը (նկ.15):

Նշանակենք A K = D N = x , որտեղից'

K D = a - x, A N = a + x: A K B , B K D և

A N C եռանկյունների համար կիրառենք

թեորեմ 1-ը, կստանանք.

հ ՜ + X 2 = b -

< m 2 = /?2 + (a - x )՜ => <

/ 2 = հ 2 + (a + X )2

հ 2 + X 2 = b 2

m 2 = h 2 + x 2 + a 2 - 2 ax =>

/ ՜ = /? ՜ + X ՜ + а ՜ + 2 ах

А

т ՜ =Ъ՜ + а ՜ - 2 ах

11՜ = Ъ ՜է՜ ci + 2 cix

a D

Ր + т 2 = 2 (а2 + Ь 2):

4 —> 1

Լրացնենք ABC. ուղղանկյուն եռանկյունը մինչև A B C D

ուղղանկյուն (նկ.16): Քանի որ ուղղանկյունը նաև զուգահեռագիծ է, կիրառենք թեորեմ 4-ը, կստանանք.

= շ[բ2 + ծ 2 ) = > с 2 = C I 2 +b2 :շ . 2с +с

Նկ. 16

Նկ. 17

4 —>5

Շարունակենք C M = m c միջնագիծը և

նշենք К կետը այնպես, որ М К — Ոկ (նկ.17): К ֊ն

միացնենք ^4-ին և2?-ին, կստանանք А С В К

զուգահեռագիծը: Կիրառենք թեորեմ 4-ը,կստանանք.

(2<т с)՜ + с2 =շ{օ''՜ +b2)^>mc = — ̂ շ[օ2 +b2) - c 2 :

5 —>4

A B C եռանկյան համար B O -ն միջնագիծ է

(նկ.18): Կիրառենք թեորեմ 5-ը.

ВО = ^ 2(АВ2 + В С 2) ֊ A C 2 : Հաշվի առնելով,

որ ВО = — , A B = ծ, В С = а 2

կստանանք.

т 1

A C = l

- = ֊ y 2(a2 + b2) ֊ ! 2 ^ Ր + m 2 = 2 (a2 + b 2}.

5 —>6

և

ֆ Կ ” 1 + Հ ) ֊ Հ = | J 2( j ( 2(*5 t r ) ֊ r ) t ֊ № « = ) ֊ i J ) j ֊ I ( 2 ( r ( r ) ֊ r ) =

- • ֊ յ շ [ 2 Ե 2 + 2с2 - С Г + 2а2 + 2с2 - Ь 2) - 2а2 - 2Ь2 + с2 = с :2 3 ՛ ' ’

6 —>5

iV 2 (« 2+*! ) - c 2 = - յ շ ( ^ ( շ ( Հ +< ) - » ; ) 4 ( շ ( Հ + » ; ) -Հ ) ] -^ ( շ ( ;ml + m l) -n r ) =

= — —J l i lm r + 2/7/՜ - /?/“ + 2»r + 2nr - m l)- 2nr - 2ml + n r = m :2 3

2(ա) —> 7

Տանենք C K = h c բարձրությունը (նկ.19) և

կիրառենք թեորեմ 2-ի (ա)-ն և А Е Сեռանկյունների համար, կստանանք.

= — -у/4/72/?2 ֊ ( и 2 + р 2 - b 2)2ո ՚

'քՏ = —!— д / 4 / 772 2 - (w ՜ + p 2 - a 2

2я

=> -̂ — >l4m2p 2 - im 2 + p 2 - a 2 )2 =

4/T72/?2 -(»72 + / r - a 2)՛ j =

= m2^4«2/?2 ֊ (га2 + p ՜ - b

л 2 2 շ շ( 2 , 2 24n m p - n [m + p - a )~=4n 2m 2p 2 - m 2[n2 + p 2 u2(in 2 + p 2 — b 2) >

ո՜{թ2 + p 2 — a2) = Ո1՜(բ՜ + p՜ — £2)=> w|»T + p 2 — я 2| = #?|и2 + p 2 — 52|

Քանի որ A B D C ֊ում Z B D C > 90" => a 2 > »Г + JT => m2 + p 2 - a 2 < 0 =>

=> |m 2 + p 2 - a 2 = a 2 - m 2 - p 2 (b), իսկ /SADC ֊ում

Ճ A D C < 90՛ ^>b2 < n 2 + p 2 =>:

=> n 2 + p 2 - b 2 >0=>|/72 +/?2 - ծ 2| = /?2 + /ւ2 - ծ 2 (с): Հաշվի առնելով

(a),(ծ) և (c)-0, կստանանք.( 2 2 2 ̂ I 2 , 2 լ2 \^ 2 2 2 2 , 2 * 2 .ո\բ — m — p )= туп + p ֊ օ j=> па - п т ֊ пр = т п + т р -m b =>

=> па՜ + m b2 = р~ ( т + п)+ п т ( т + п) ̂ п а2 +m b2 = с(р 2 + тп):

(а):

п

А

Նկ. 20

В

7 —>1

Լրացնենք A B C ուղղանկյուն եռանկյունը մինչև

A B D հավասարասրուն եռանկյուն (նկ .20):Կիրառենք թեորեմ 7-ը այդ եռանկյան համար, կստանանք.

2a- (b2 + а - а )= с 2 ■ a + с 2 ■ a => a 2 + b 2 = c 2 :

7 —>5

Կիրառենք թեորեմ 7-ը, հաշվի առնելով, որ p = ma, m = ո = — ,

կստանանք, d m2 + — ■— ] = a 2 ■ — + b2 ■— => mr = —J2 [a 2 + b2) ֊ c 2 :' 2 2 2 2 2 Г v ’

7 —>8

Տանենք C.E IIA В (նկ.21): Կիրառենք

թեորեմ 7-ը A C D եռանկյան համար' հաշվի

առնելով, որ A C = I. C D = c, A E = a,

E D = b - a և С Е = с, կստանանք.

b(c2 + a (b ~ a ))= l2(b -a } + c 2a => be2 + b 2 a - a 2 b =

= I2 b - 12 a + c 2 a c 1 (b - ct)+ab(b - a) = I 2 (b - a) =>

. :>/՛ =с.՛ 2 +ab :

8

Դեպք 1 (p<b). С կետով տանենք

E F 11A B , A F = C D = p, A F / C D և

B E W D F (նկ.22): Քանի որ D C F A սեղանը

հավասարասրուն է, աւղա D F = A C = b, և

B E F D ֊ն զուգահեռագիծ է, ապա

B E = D F = b և E F = B D = m :

Նշանակենք C F = х , որտեղից' E C = m - x : Կիրառենք թեորեմ 8-ը

В ЕС А և D C F A հավասարասրուն սեղանների համար, կստանանք.

ja 2 = b2 + (m + n)(m - x)

I b2 = p 2 +nx

9 , n I / b - p 2a = b՜ + {m + n l m -----------

n

X

շb - p

crn = b2n + {m + n)mn - (m + n)b2 + {m + n )p2 => crn + b2m = c[p 2 + m n):

Դեպք 2 (p>b). Տանենք E C II A B , B E = D F =

= A C = b, B E U D F X A C (նկ.23): Քանի որ

B E F D -Կ զուգահեռագիծ է, ապա

E F = B D = m : Նշանակենք F C = x ,

որտեղից' E C = m + x: Կիրառենք թեորեմ

A 8-ը ստացված В Е С А և D F C A հավասա­

րասրուն սեղանների համար, կստանանք.

■2 = Ь 2 + (m + n)-{m + x )

p 2 = b 2 + nx

= b 2 + (m + n ) •( p 2 ֊ b 2 ̂m н-----------

x =2 i. 2 p —b

■ a 2n = b2n + (m + n)-mn + {p2 ֊ ծ 2)(»? + «)=>

crn = b2n + (m + n)mn + (m + n )p2 - mb2 ֊ nb2 c2(p2 +mn) = a 2n + b2m :

n

an

n

Նկ.24

Դեպք 3. (p=b): Տանենք E C II AB , B E II CD

(նկ.24): Քանի որ B E C D ֊ն զուգահեռագիծ է,

կստանանք. B E = D C = p = b և

E C = B D = m : Կիրառենք թեորեմ 8-ը,

ստացված ВЕСА հավասարասրուն սեղանի2 2համար, կստանանք. а = р + т с , որը

թեորեմ 7-ն է, երբ b = р :

8 —>9

В а СՏանենք C F = А В = с ,С Р )У А В և

B E = C D = d, B E X C D (նկ .25):

Նշանակենք E A = F D = x , որտեղից'

Ah' = b —x. E D = b + x \ Կիրառենք

թեորեմ 8-ը, ստացված A B C F և

Е В C D հավասարասրուն սեղանների

համար կստանանք.

|/2 = c 1 + a ( b - x )/ + ա՜ — с ՜Ւ d ՜ + 2cib

լm 2 = d 2 + a(b + x)

9 ^ 8

Տեղագրելով թեորեմ 9-ի մեջ m = / և d = с, կստանանք թեորեմ 8-ը:

7 —>9

Շարունակենք A D ֊ն և նշենք Е և F կետերն այնպես, որ А Е = D F = а

(նկ.26): Միացնենք В ֊ն i s -ին, իսկ С ֊ն' F -ին, կստանանք ЕВ С А և B C FD

զուգահեռագծերը, որտեղից և B E = Լ C F = m :

E B D և A C F եռանկյունների համար կիրառենք թեորեմ 7-ը,

կստանանք,

\(a+b)[c2 + a b ) = m 2a + l 2b , Հ/ , , \ ճ ճ< } Դ \ Դ Դ =>(յթ+հըբ՜ + d +2ab) = m~(a + b )+ l“ (a+k)=>| (a + b)[d2 +ab) = m 2b + l 2a

=̂> I 2 + m 2 = c 2 + d 2 +2cib :

Նկ. 26

5 —>9

Միացնենք В С և A D հիմքերի M և N միջնակետերը և նշանակենք

M N = է (նկ.27): Տանենք C K \ \ M N , C E \ \ A B և C F WBD, որտեղից' C K = t,

ՈC E = c , C F = m և N K = - :

2

Նկատենք, որ

K D = N D - N K = t - e . = t ^ L , E K = E D - K D = b - a - ^ - = b- ^ - ,2 2 2 2 2

лтг а \ т b a a + b Ъ - а Ъ + аА К = A N + N K = - + — = ---------------------, K F = K D + D F = ----------+ а = --:

2 2 2 2 2

Ատացանք, որ С К ֊ն E C D և A C F եռանկյունների համար միջնագիծ

է: Կիրառենք թեորեմ 5-ը այդ եռանկյունների համար, կստանանք.

= ֊ \ №է — — У 2 Լ/2 + /772j— (^/+ծ)

֊ ֆ ( շ 2 + d 2) ֊ { b ֊ a f = ֊ ֆ կ 2 + m2)֊{a + b f

I + ա — с ~\՜ ժ + Ղոհ ՛.

9 -> 5

Տանենք A B C եռանկյան միջին գծերը

D F = —,E D = — և E F = — (նկ.28): Կիրառենք2 2 2

թեորեմ 9-ը B E F A ,D E C A և F D B C սեղանների

համար, կստանանք.

Նկ, 28

(d)

n r + m l2 7 2а о

— + — + 2 - c “ - 4 4 2

2 ч Ъ2 с 2 _ ат : + т ~ = ----- 1------- Ւ 2 — а ՝

ъ с 4 4 2

9 п с 2 а 2 Ь .т ՜ + т ՛ = — ----- + 2 ֊ Ь

4 4 2

ձ

4т 2а + т:„ + т 2 = — (а2 +Ь2 + с2)

2 , 2 т а + т ; ֊ ( с т + Ь 2)+ с՜

т ; = 1 (2 (а՝֊ + У - ) - с ՝ ֊ ) = . т г = 1 , / փ յ + » > )- , ,2 .

9 ^ 6

Եթե (d) համակարգը լուծենք а,Ъ,с-\\ նկատմամբ, կստանանք թեորեմ 6-ը:

Նկ. 29

9 —>4

Սեղանի հասկացությունը կարելի է ընդհանրացնել այնպես, որ զուգահեռագիծը դիտարկվի որպես սեղանի մասնավոր դեպք (նկ.29): Կիրառելով թեորեմ 9-ը' կստանանք.

I2 + m 2 = b 2 + b 2 + 2a- ci =>/՜ + m 2 = 2 (a2 + b 2):

8 ^ 4

В а - х Е Տանենք D E = A B = Ъ,D E W/AB և

C FW D E հատվածները, մինչև AD-\\

շարունակության հետ F կետում հատվելը

(նկ.30): Նշանակենք E C = D F = x ,

որտեղից' B E = a — x: Ստացված A B ED

և A В С F հավասարասրուն սեղանների

համար կիրառենք թեորեմ 8-ը, կստանանք.■շI ու

Ր = l r + a (a + x)

= Ъ2 + a (a -x ). Ր + цг = շ(բ2 + b2 ):

5 —> 10

Տանենք A B C եռանկյան B E = x և A D C

եռանկյան D E = у միջնագծերը (նկ.31):

Կիրառենք թեորեմ 5-ը A B C ,A D C L

B E D եռանկյունների համար, կստանանք.

Ն կ. 31

.V = ֊ y ] 2 { u : + c : ) - i 2

у — — д/ 2 (ծ2 + d 2) ֊ l

t = ~-^2(x2 + y 2) - m 2 ք֊ = ձ ( շ (X * + у ' ֊ ) - m '֊)

x 2 + у 2 = ~{a2 + с 2 + b 2 + ժ 2 - Г՜)

г = ^ փ (* 2 + . ՝ ՝ ' ) - » / ')

Ր + т 2 + 4է2 = a 2 + с 2 + b2 + d 2 :

ьՆկ. 32

Կիրառենք թեորեմ 10-ը’ հաշվի առնելով, որ

Ъ — а

10 —» 9

է = ■ (նկ.32): Կստանանք.

D ք2 + տ շ + 4 - — — 1 = a 2 + b 2 + c 2 + d 2

I՜ + т - с + d " + 2ab :

1 0 ^ 4

Կիրառենք թեորեմ 10-ը' հաշվի առնելով, որ ! = 0. հ = a և d = c,

կստանանք թեորեմ 4-ը:

7 —>11

Միացնենք В -Կ և D -Կ £ -ին և նշանակենք

B E = X , D E = у (նկ.33): Նկատենք նաև,

որ Е С = / — к և D F = m - z : A B C ,

A D C և B E D եռանկյունների համար

կիրառենք թեորեմ 7-ը, կստանանք.

Նկ. 33

՜l { x 2 + k{l - к)) = а 2к + с2 ( l - к)

l( v 2 + k(l - к)) = d 2k + b2(l - к)

m {t2 + z {m - z )) = x 2{m - z ) + v 2.

m -z

Z :

lx 2{m - z)+ lk(l - k)(m - z) = a 2k{m - z)+ c2(l - k \m - z)

ly 2z + lk(l — k)z = d 2kz + b2(l — k)z =>

Im if՜ + z{m ֊ z)) = lx 2(m - z )+ ly 2z

lx 1 (m - z ) + Iv 'z + lk ( l - k){m - z) + lk ( l - k )z = a 2k{m - z ) + c2( l - k)(in - z) + d 2kz + b2(l - k)z

Խ it1 + z(m - z)) = lx 2 (in - z ) + ly 1 z

■ Im(t2 + z(m - z))+ lk (l - k jm = a2k(m - z) + l 2(i' -k )(m - z )+ d 2kz + b2(l - k)z

■ lm{t՜ + z(m ֊ z)+ k(l' — k))= ci2k{m - z )+ c2(l — k \m ֊ z )+ d 2kz + b2(l — k)z :

I

11 ^ 1 0

Կիրառենք թեորեմ 11-ը' հաշվի առնելով, որ

к — 1 — к = — , z — m —z = —2 2

կստանանք.

, f ֊, m m I [A n I m Ղ I m ,, / m , ̂ / mlm\ Г + -------+ ------ = o r --------- + < r--------+ d r --------+ / r --------Լ 2 2 2 2) 2 2 2 2 2 2 2 2

=> Ր + m 2 + 4 Г = a 2 + 6 2 + c 2 + d 2 :

5 ^ 1 2

Տանենք CAD եռանկյան A N = x և

CR D եռանկյան B N = у միջնագծերը

(նկ.34): Կիրառենք թեորեմ 5-ը D A C ,C B D և

AN B եռանկյունների համար, կստանանք.

Նկ. 34

* = p ! i b 2+ f - ) - d 2

у = —^շ[օ2 + m2) - d 2

Բ = ± Ք p T T R

^ = ձ (շ (ծ4 / 2) ֊ յ 2)

ք = 1 ( շ ( 0 2+/«2) - / ) :

р ֊ = Ш х 2 + г ) ֊ с ֊ )

2 . 2 х + у i ( a 2 + ծ2 +/2 + т 2 - d 2)2

г = 1(2(х2 + / ) - с 2)

■ р 2 = - -̂(а2 + 6 2 + /2 +от2 - я ,2 - с 2 )=>4/>2 = а 2 +Ъ2 +1 - d 2 - с ՜

12—>9

Կիրառենք թեորեմ 12-ը' հաշվի առնելով,

a + bոր p

2(նկ.35): Կստանանք.

J a + b-\ = I2 + m2 + a2 + b2 _ c2 յ շ

D

I 2

1՜ + m: = c 2 + d 2 + 2cib :

12 —>4

Կիրառենք թեորեմ 12-ը' հաշվի առնելով, որ p = a , b = a և d = с, կստանանք

թեորեմ 4-ը:

Նկ. 36

7 —> 13

Միացնենք А ֊ն և В ֊ն N ֊ին և

նշանակենք BN = X, AN = у (նկ.36):

Նկատենք նաև, որ MB = c - z , և

NC = d -к : DBG, DAC. և

ANB եռանկյունների համար կիրառենք

թեորեմ 7-ը, կստանանք.

d(x2 + k{d -£ )) = ci2k + m2{d - к)

d(y2 + k(d - к)) = Be + b2(d -к )

c(p2 + z(c - z)) = x2z + y2(c - z)

z

c - z

dx2z + dk(d - k)z = a2kz + m1 (d - k)z

dy2(c-z)+dk(d -k )-(c -z ) = i2k{c - z)+b2(d -k)-(c ֊ z)=>

cd\p2 + z(c - z ) )= dx2z + dv2(c - z)

chCz + dv1{c — z)+ dk(d-k)z + dk(d-k)- (c — z) = a2kz + b~(d-к ) - (с — z) + l2k(c• — z)+ m ՜(d- k)z ̂

cd(p2 + z(c — շ)) = dx2z + d\>2(c — z)

՝d{p2 + z(c - zj)+dk(d - k)z + dk{d - к) ■ (с - z) = crkz + b2(d - k )- (c - z ) + I2k (c-z ) +m 2{d - k)z =i

cd[p2 + z(c - z) + k(d -k ))= ct2kz + b2 (d - k)(c - z )+ l2k(c - z)+ m2(d -k)z :

с , , , dԿիրառենք թեորեմ 13-ը' հաշվի առնելով, որ z = c - z = — և к = d - к = — .■ . ֊ - ֊ շ շ .

կստանանք.

( 3 с с d 4 Л _ 2 d с 2 d с 2 d с 2 d с _cd\ բ Ч----------1----- — — д -----------Ւ ծ ----------Ւ / -----— V т ---------=>Լ 2 2 2 2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2

=> 4 р 2 = / 2 + п г + а 2 + Ь 2 - с 2 - d 2 :

1 3 ^ 1 2

7 ^ 1 4

A B C և A D C եռանկյունների համար կիրառենք թեորեմ 7-ը (նկ.12), կստա­

նանք.

c2(l -у)-+ а2у : т — х

х

4 2 +>’(/ ՜ ֊

b2(/-^) + c/2j = /((w ֊ x )2

՜ (/ - >')(/« - x) + a 2y(m — x )= l(m - x)(x2 + y ( l — _y))

| b 2 x(/ — y) + d 2 x v = /.v((/h — x ) ' + .»՛(/ — >'))

c 2 (/ -y)(m - jc )+ a 2 у (m -x) + d 2 x y + b 2 x(l -y) =

= /{(in - x)x2 + y(m - x )(l — y) + х(да - x)2 + xy(l - yjj=>

=> c 2 (/ - y)(m - x) + a 2 y(m - x) + d 2xy + b2x(l - y ) = 1щ х\т — x) + y ( l — y)) :

1 4 ^ 4

Կիրառենք թեորեմ 14-ը՝ հաշվի առնելով, որ

m , I , ,x = m - x = — , y = / - y = — , d = c և b = a

2 2

(նկ.37):

Նկ. 37

Կառուցենք О К Е եռանկյունը այնպես, որ

А О К Е = А О К С (նկՅՑ): Կիրառենք թեորեմ 14-ը

ստացված O C K E քառանկյան համար' հաշվի

առնելով, որ c = b = k , a = d = q ,

x = m - x = р, у = t, l = t + n և I — у = ո .

Կստանանք.

к 2 ■ ո ■ р + q 2 t p + q 2 ■ p - t + к 2 ■ p ■ n =Նկ. 3 8 i i i t

= 2 ■ p ■ (t + n)- ( p ■ p + t -n) => 2 • k 2 ■ n ■ p + 2 • q 2 ■ 1 ■ p =

= 2p ■ (t + n ) ■ [ p 2 + t. ■ «)=> k 2n + q 2t = c ( p 2 + tn )

14—>7

ԳՐԱԿԱՆՈՒԹՅՈՒՆ

1. Г.С.М. Коксетер, Ц.Л. Грейтцер. Новые встречи с геометрией. М, Наука, 1978,2. П.С. Моленов. Сборник задач по специальному курсу элементарной математики. М, Высшая школа. 1960,3. В.Ф. Бутузов и др. Планиметрия. Пособие для углубленного изучения математики. М, Ф изматлит. 2005,4. Ж . Адамар. Элементарная Геометрия. Ч а сть I. Планиметрия, М, Учпетгиз, 1948.5. A. Engel Problem-Solving Strategies, Springer-Verlage, New York. 1998.