Estática Estática –– Equilíbrio de Equilíbrio de Corpos RígidosCorpos RígidosCorpos RígidosCorpos Rígidos

IntroduçãoIntrodução

• As condições necessárias e suficientes para o equilíbrioestático de um corpo são que a força e o binárioresultantes de todas as forças externas formam um sistemaequivalente a zero,

( )∑ ∑ =∑ ×== 00 FrMF O

rrrr

∑ =∑ =∑ =

∑ =∑ =∑ =

000

000

zyx

zyx

MMM

FFF

• Decompondo cada força e cada momento em seuscomponentes retangulares, podemos indicar as condiçõesnecessárias e suficientes para o equilíbrio por meio de 6equações escalares,

Diagrama de Corpo LivreDiagrama de Corpo Livre

O primeiro passo naanálise do equilíbrioestático de um corporígido é identificartodas as forças quetodas as forças queatuam no corpo comum diagrama de corpolivre.

Reações em Apoios e ConexõesReações em Apoios e Conexões

Reações em Apoios e ConexõesReações em Apoios e Conexões

Diagrama de Corpo LivreDiagrama de Corpo Livre

Equilíbrio de um Corpo Rígido em Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas Dimensõesduas Dimensões

• Para todas as forças e momentosaplicados a uma estruturabidimensional:

Ozyxz MMMMF ==== 00

• As equações de equilíbrio sereduzem a:

∑ ∑ ∑ === 000 Ayx MFF

sendo A qualquer ponto no planoda estrutura.

Equilíbrio de um Corpo Rígido em Equilíbrio de um Corpo Rígido em duas Dimensõesduas Dimensões

• As 3 equações não podem serampliadas com equações adicionais,mas qualquer uma delas pode sersubstituída por outra equação.substituída por outra equação.

∑ ∑ ∑ === 000 BAx MMF

Reações Estaticamente IndeterminadasReações Estaticamente Indeterminadas

• Estrutura com maisincógnitas do queequaçõesequações

Reações Estaticamente IndeterminadasReações Estaticamente Indeterminadas

• Estrutura com menosincógnitas do que equações:parcialmente vinculadaparcialmente vinculada

Reações Estaticamente IndeterminadasReações Estaticamente Indeterminadas

• Estrutura com númerode incógnitas igual aonúmero de equaçõesmas impropriamentemas impropriamentevinculada

ExemploExemplo

Um vagão de carga está emrepouso sobre um trilho inclinado.O peso bruto do vagão e sua cargaé 24.750 N e está aplicado em G. Ovagão é mantido no lugar pelocabo.cabo.

Determine a tração no cabo e areação em cada par de rodas.

Exemplo Exemplo –– Diagrama de Corpo LivreDiagrama de Corpo Livre

ExemploExemplo

A estrutura representada na figura sustentaparte do teto de uma pequeno edifício. Sabendoque a tração no cabo é 150 kN.

Determine a reação na extremidade E.

Exemplo Exemplo –– Diagrama de Corpo LivreDiagrama de Corpo Livre

Equilíbrio de um Corpo Sujeito a Equilíbrio de um Corpo Sujeito a Duas ForçasDuas Forças

• Considere uma placa do

tipo cantoneira sujeita à

ação de duas forças F1

eação de duas forças F1

e

F2

Equilíbrio de um Corpo Sujeito a Equilíbrio de um Corpo Sujeito a Duas ForçasDuas Forças

• Se a placa estiver em

equilíbrio, a soma dos

momentos em relação a A

deve ser zero. Como o

momento de F émomento de F1

é

obviamente zero, o

momento de F2

também

deve ser zero, ou seja, a

linha de ação de F2

deve

passar por A.

Equilíbrio de um Corpo Sujeito a Equilíbrio de um Corpo Sujeito a Duas ForçasDuas Forças

• De forma similar, a linha de

ação de F1

deve passar por

B para que a soma dos

momentos em relação a Bmomentos em relação a B

seja zero.

• Como a soma das forças

em qualquer direção deve

ser zero, conclui-se que F1

e F2

devem ter a mesma

intensidade, mas sentidos

opostos

Equilíbrio de um Corpo Sujeito a Equilíbrio de um Corpo Sujeito a TrêsTrês ForçasForças

• Assumindo que as

linhas de ação das

forças F1

e F2

se

interceptam, o momentointerceptam, o momento

de ambas em relação ao

ponto de interseção

representado por D é

zero.

Equilíbrio de um Corpo Sujeito a Equilíbrio de um Corpo Sujeito a TrêsTrês ForçasForças

• Como o corpo rígido está

em equilíbrio, a soma dos

momentos de F1, F

2e F

3

em relação a qualquer eixo

deve ser zero. Portanto, odeve ser zero. Portanto, o

momento de F3

em relação

a D também deve ser zero

e a linha de ação de F3

deve passar por D.

• As linhas de ação das três forças devem ser concorrentes

ou paralelas

ExemploExemplo

Um homem leventa uma viga de 10 kg e 4 m de comprimento

puxando-a com uma corda.

Encontre a tração T na corda e a reação em A.

ExemploExemplo

Equilíbrio de um Corpo Equilíbrio de um Corpo RRígidoígido em em Três DimensõesTrês Dimensões

• São necessárias seis equações escalares para expressar ascondições para o equilíbrio de um corpo rígido no casogeral tridimensional.

∑ =∑ =∑ = 000 zyx FFF

∑ =∑ =∑ =

∑∑∑

000 zyx

zyx

MMM

• As equações escalares serão obtidas maisconvenientemente se expressarmos, inicialmente, ascondições de equilíbrio na forma vetorial.

( )∑ ∑ =∑ ×== 00 FrMF O

rrrr

Reações em Apoios e ConexõesReações em Apoios e Conexões

Reações em Apoios e ConexõesReações em Apoios e Conexões

ExemploExemplo

Uma placa de massaespecífica uniforme pesa1.215 N e é sustentadapor uma rótula em A epor uma rótula em A epor dois cabos.

Determine a tração emcada cabo e a reação emA.

Exemplo Exemplo –– Diagrama de Corpo Diagrama de Corpo LivreLivre

ExercícioExercício

Reação máxima suportada 180N, desconsiderando o peso dabarra. Determinar o intervalo aceitável para a distância “d”no qual o sistema permanece seguro.

ExercícioExercício

Determinar as tensões nocaboABD e no suporte C.

ExercícioExercício

Massa de 8,0 Kg, determinar a reação emA para cada caso.

ExercícioExercício

Raio de B = 30mm, raio de C = 40mm e tração em B = 80N.Determinar reações em A e D, sabendo que em A não existereação axial.

ExercícioExercício

Placa de 100Kg.Tensão no cabo=?Reação em A e em B.Assumir que B nãoAssumir que B nãoexerce reação axial.