EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS: ESTÁTICA PLANA

I;QUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS- ESTÁTICA PLANA

1. CONCEITOS BÁSICOS

A Estática é a parte da Mecânica que tem por objetivo analisar o estado de

equilíbrio dos sistemas estruturais composto por corpos rígidos e deformáveis.

Nesse estudo procura-se determinar as relações que devem existir entre as

forças atuantes para que o sistema permaneça em repouso em relação a um

determinado referencial.

As forças a se considerar no estudo do equilíbrio dos corpos, podem ser

classificadas de internas e externas. As internas ocorrem aos pares, têm a mesma

direção, a mesma intensidade e sentidos opostos. As externas dividem-se em

reativas e ativas. As reativas, ou reações, são aplicadas ao sistema pelos

vínculos e surgem sempre que há movimento impedido. As forças ativas, ou

ações, englobam todos os carregamentos que são aplicados ao sistema.

Assim, conhecidos os vínculos e as forças aplicadas pode-se analisar o

estado de equilíbrio do sistema estrutural. Serão consideradas nesse estudo, por

simplicidade, apenas as forças coplanares (estática plana).

2. VÍNCULOS

Os vínculos de um sistema estrutural diferenciam-se, essencialmente, pelo

número de movimentos que impedem. Sendo possível no plano apenas três

movimentos - duas translações e uma rotação - devem-se considerar somente

três tipos de vínculos.

O vínculo do primeiro gênero, figura 2.1, é o que impede um só movimento.

Este vínculo aplica ao corpo uma reação segundo a direção do movimento

impedido.

R

!\ /7777777 í

t· FIGURA 2.1

. I ~ . ' .

'

';

(

O vínculo do segundo gênero, figura 2.2, é o que impede dois movimentos.

Este vínculo, portanto, aplica ao corpo duas reações que se manifestam segundo

as direções dos movimentos impedidos.

FIGURA2.2

O vínculo do terceiro gênero, figura 2.3, é o que bloqueia os três

movimentos. As três reações aplicadas ao corpo têm a direção dos movimentos

bloqueados.

FIGURA 2.3

Os vínculos representados nas figuras 2.1, 2.2 e 2.3 são chamados,

respectivamente, de apoio móvel, apoio fixo e engastamento, figuras 2.4-a, b, c.

Q l ..K /77777

v t _L_

f v /7777

b)

nA ~ H 4---

tv M

c l ~ ~v FIGURA 2.4

2

3. EQUAÇÕES DA ESTÁTICA PLANA

As condições necessárias e suficientes para que um corpo em repouso

permaneça em repouso são dadas pelas equações vetoriais

(3.1)

(3.2)

Nestas equações F é a resultante de todas as forças externas aplicadas

ao corpo e G é o momento, em relação a um ponto base qualquer O, de todas as

forças externas aplicadas ao corpo.

As equações vetoriais (3.1) e (3.2), adequadamente particularizadas, dão

origem às equações escalares necessárias ao estudo do equilíbrio dos corpos

sujeitos a forças coplanares (estática plana).

3.1. FORÇAS COPLANARES CONCORRENTES

O estudo do equilíbrio dos corpos solicitados por forças coplanares

concorrentes pode ser feito ou por duas equações de projeções, ou por duas

equações de momentos, ou ainda, por uma equação de projeção e uma equação

de momentos.

No primeiro caso, figura 3.1.1, as equações de projeções são as seguintes:

y

FIGURA 3.1.1

(3.1.1)

(3.1.2)

3

No segundo caso, figura 3.1.2, as equações de momentos são dadas por:

IMo =o 1

IMo =o 2

FIGURA 3.1.2

(3.1.3)

(3.1.4)

Os pontos 0 1 e 0 2, em relação aos quais calculam-se os momentos, não

podem ser colineares com o ponto de concorrência das forças (01, 0 2 e O não

colineares).

No terceiro caso, figura 3.1.3, as equações de equilíbrio se escrevem:

IMo =o 1

si I I I

FIGURA 3.1.3

X

(3.1.5)

(3.1.6)

O ponto 0 1 não pode pertencer à reta OB que passa pelo ponto de

concorrência e é perpendicular ao eixo x de projeção.

4

É oportuno salientar que a escolha adequada do sistema de equações

torna menos trabalhosa a solução do problema.

3.2. FORÇAS COPLANARES PARALELAS

Quando se trata de estudar o equilíbrio de corpos solicitados por forças

coplanares paralelas empregam-se ou uma equação de projeções e uma de

momentos ou duas equações de momentos.

No primeiro caso, figura 3.2.1, as equações são as seguintes:

l::Mo =o l

FIGURA 3.2.1

(3.2.1)

(3.2.2)

No segundo caso, figura 3.2.2, as equações de equilíbrio são dadas por:

FIGURA 3.2.2

5

:LMo =o 2

(3.2.3)

(3.2.4)

Os pontos 0 1 e 0 2 devem ser escolhidos de modo que a reta por eles

determinada não seja paralela à direção das forças.

Como já salientado, a escolha conveniente do sistema de equações facilita

a solução do problema.

3.3. FORÇAS COPLANARES QUAISQUER

Analisa-se o equilíbrio dos corpos submetidos a forças coplanares

quaisquer ou por duas equações de projeções e uma equação de momentos, ou

por três equações de momentos, ou ainda, por uma equação de projeções e duas

equações de momentos.

No primeiro caso, figura 3.3.1, as equações de equilíbrio são dadas por:

í:Mo =o 1

FIGURA 3.3.1

(3.3.1)

(3.3.2)

(3.3.3)

No segundo caso, figura 3.3.2, as equações de equilíbrio são dadas por:

6

FIGURA 3.3.2

:L Mo = o (3.3.4) 1

:L Mo = o (3.3.5) 2

:LMo =o 3

(3.3.6)

Os pontos 01, 02 e 0 3 em relação aos quais calculam-se os momentos não

devem ser colineares.

No terceiro caso, figura 3.3.3, as equações de equilíbrio são dadas por:

:LMo =o 1

:LMo =o 2

FIGURA 3.3.3

7

X

(3.3.7)

(3.3.8)

(3.3.9)

Os pontos 0 1 e 0 2 devem ser escolhidos de modo que a reta por eles

determinada não seja perpendicular ao eixo x de projeção.

Cabe salientar, mais uma vez, que a escolha adequada do sistema de

equações simplifica a solução dos problemas.

4. CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO

Para determinar as forças que os vínculos aplicam à estrutura - as

reações de apoio- pode-se adotar o procedimento exposto a seguir.

Inicialmente substitui-se cada vínculo pelas reações correspondentes.

Convém lembrar que a cada movimento impedido corresponde uma única reação

de apoio.

Depois adota-se um sistema de referência para as forças e para os

momentos.

Em seguida escrevem-se as equações da Estática considerando-se as

forças ativas conhecidas e as reativas incógnitas. Resolvido o sistema de

equações obtêm-se o sentido e a intensidade de cada uma das reações de apoio.

É muito importante assinalar que sendo apenas três as equações de

equilíbrio disponíveis só é possível determinar três reações de apoio.

As aplicações numéricas mostradas a seguir poderão esclarecer as

possíveis dúvidas.

5. APLICAÇÕES NUMÉRICAS

EXEMPLO 1

Determinar as reações de apoio da viga representada na figura a seguir:

f 6kN y • t 6kN I 8 X.

A 8 "· ·r ~~~--n9?7 :::2L

l /'7777 l ~ 3m 2m l v{' 3m 2m

1 .. 1 1 1 1 1

Escrevendo-se as equações de equlíbrio de forças e de momentos obtêm-

se:

8

Resolvendo o sistema de equações resultam:

HA = O; VB = 3, 6 kN; V A = 2, 4 kN

EXEMPLO 2

Determinar as reações de apoio da viga esquematizada na figura abaixo:

8kN y. 8kN i5kN A~ t 5kN

8 HA.._2~~ 8 X

n4 1,5m l :::::1L v~t 1,5m l ,--~

t.. 1,5m l 2m /7777 1,5m l 2m ~ -v '< B

f 1 1 1 1 1 1 1

Escrevendo-se as equações da estática têm-se:

L MA = O ~ SVB - 3x5 - 1, 5x8 sen 30° = O

Resolvendo o sistema resultam:

HA = 6, 93kN; VB = 4, 2kN; VA = 4, 8kN

EXEMPLO 3.

Determinar as reações de apoio da viga representada abaixo:

9

y+ 3kN.m lOkN ~kN.m lOkN

(;_ ,6if 8 doe 8 H e X

.Ji.. ;A At ---..---~ 3m l 2m 3m l 2m t~ ~ L r-~-, 1 , , , VA V e

L MA = O ~ 5 VB - 3 x 1 O sen 3 0° - 3 = O

Resolvendo o sistema de equações obtêm-se:

HB = 8, 66kN; VB = 3, 6kN; VA = 1, 4kN

EXEMPLO 4.

Determinar as reações de apoio da viga mostrada abaixo:

/OkNA'n ~ lOkN y • lOkN/m ~lOkN I

I !. At I f I I t I t 8

A ~ l I t I I I i I t8 He X

...JS: l /A.;

v f' r ,~---~ "7 3m 2m ~ 3m l 2m "' Ve 1 1 1 1 1 1

Escrevendo as equações de equilíbrio têm-se:

L Fy = O ~ VA + VB - 5x10- 10 = O

L MA = O ~ 5VB - 3xl0- (5x10)x2, 5 = O

10

Resolvendo o sistema, vêm:

EXEMPLO 5.

Determinar as reações de apoio da viga esquematizada abaixo:

lOkN

A~:2kN!m _A.... ~ l 4m J. 2m l

1 1

As equações de equilíbrio neste caso são as seguintes:

L Fy = o ~ v A + VB - ( 6 X 12) I 2 - 1 o = o

L MA = O ~ 6VB - 4x10- [(6xl2 I 2)x(2 I 3)x6] = O

Resolvendo tiram-se:

HA = O; VB = 30, 67kN; VA = 15, 33kN

EXEMPLO 6.

Determinar as reações de apoio da viga representada na figura abaixo:

BkN l lOkN/m í'2k""" • y

I fl i i i i t l I

i í t r I ~ t ,__.._~

l 2m *A 4m s/b

2m L ~ H a 1 1 1 A V a

11

As equações de equilíbrio são as seguintes:

L Fy = O ~ VA + VB - 8 - 6xl0 - 2xl2 = O

L MA = O ~ 4 VB - 2xl2x5- 4xl0x2 + 2xl0xl + 2x8 = O

Resolvendo tiram-se:

EXEMPLO 7.

Determinar as reações de apoio da viga mostrada abaixo:

5kN 7kN 5kN/m ~kN/m

I I J:V + ! + t 8

L 2m l1m l1mbml 1 1 1 í 1

As equações de equilíbrio são as seguintes:

L MA = O ~ SVB - lx7x4, 5- 4x7- 3x5- 2x5xl = O

L MB = O ~ SVA - 5x2x4- 5x2 - 7xl- 7xlx0, 5 = O

Das três últimas equações tiram-se:

HB = O; VB = 16, 9kN; VA = 12, lkN

EXEMPLO 8.

12

Determinar as reações de apoio da viga representada abaixo:

BkN/m 3kN I .m r-T-tõ""õ'lt'"'tr--rt ___,, A 8 x e---------4 - -- ........ f Ha

Ya

3m

Neste caso as equações de equilíbrio são dadas por:

I MA = o ~ 6 VB - 5 X 5 - 3 - 3 X 8 - 1' 5 = o

L MA = O ~ 6VA - 3x8x4, 5 + 3 - lx5 = O

Resolvendo as equações de equilíbrio obtêm-se:

HA = O; VB = 10, 67kN; VA = 18, 33kN

6. EXERCÍCIOS PROPOSTOS

EXERCÍCIO 1

Determinar as reações de apoio para as estruturas representadas nas

figuras seguintes:

15kN

+ tl2kN

t ~ I ! I ~ I ! ~ ! I I nt7 ~.. 1,5m ~ 3m t 2m

'( 1

12kN/m

~ i I i I í f~ ! I ::::tL X l 2m?7777 6m ~2m

1 i' 1

! Y lOkN/m

:A... ~

1

~

L 1

13

8kN.m

! 1

(* i ~

~

{í t t * 3m

lOkN.m

f

12kN/m

I

6m

lOkN/m

'f íf i

3m 1

6m

íf

lOkN.m

.;; :JL

/7777 I. 1

lOkN.m

~

SkN

L /77(7 3m L 4m

1 1 1

5kN/m

* * fj * nfi 3m

lOkN SkN 6kN lOkN SkN

~ t • t t t o ::::zt: o

"'" Jm f 2m 1 3m ~ 2m ~lm ~lm~ 2m ~ 1' 1 1 1 , 1 1

lOkN. m lO kN/m

G: ~ !"t t t ;;A.

l ~ 3m gm I. 1 1 1

SkN/m

* k i I ti+ I++ I+ I v'++*

2m 2m 2m

+ 5kN

2m

lOkN -l,5m.

lOkN.m lOkN.m

q 6m it? lDkN.m

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T 3m L

1 1

tõ rllllltltll qn l 2m k 5m f m l f l 1

SkN/m lOkN 5kN/m ~ ~t ri' t t I ~d

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7. BIBLIOGRAFIA

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1990.

BEER, F.P.; JOHNSTON E.R.; Mecânica Vetorial para Engenheiros - Estática.

McGraw-Hill do Brasil, 1980.

BELLUZZI, 0., Ciência de la Construccíon. Aguilar, Madrid, 1970.

FONSECA, A., Curso de Mecânica - Estática. Ao Livro Técnico S.A. Rio de

Janeiro, 1967, Vol . I.

SCHIEL, F. Resistência dos Materiais. SET/EESC/USP, 1980.

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