Cinemética dos Corpos Rígidos

Cinemática dos Corpos Rigidos

Prof. Eng. André SoaresDisciplina: Resistência dos Materiais II

Cinemática dos Corpos Rígidos• Definições:O que é corpo rígido?“Um corpo rígido é definido como um conjunto finito, de Npartículas de massas mi e posições ri (i=1,N), tal que a distânciaentre duas partículas i e j, |ri‐rj|, é constante no tempo. Em outraspalavras, um corpo rígido é uma "nuvem" de partículas cujadistância entre elas não muda no tempo. (Wikipédia).”

A massa total do corpo rígido, M, é o somatório das massas daspartículas,

N

iimM

Cinemática dos Corpos Rígidos• Definições:O que é corpo rígido?É um conjunto de partículas agrupadas de forma que a distânciaentre as partes que constituem o corpo ou o sistema não soframmudanças, ou seja, essas partículas não se alteram para umreferencial fixado no próprio corpo.

O corpo rígido executa os movimentos de rotação, translação ouos dois de forma combinada.

Cinemática dos Corpos Rígidos• Objetivo:

Estabelecer as relações entre o tempo, as posições, asvelocidades e as acelerações dos vários pontos materiais queformam um corpo rígido;

Mostrar os tipos de movimentos de um corpo rígido.

Cinemática dos Corpos Rígidos• Tipos de Movimentos:

Translação;

Rotação (em torno de um eixo fixo);

Movimento Plano Geral (combinado);

Cinemática dos Corpos Rígidos• Translação:Diz‐se que um movimento é de translação quando qualquer retaunindo dois pontos quaisquer do corpo conserva a mesma direçãodurante o movimento.

Cinemática dos Corpos Rígidos• Translação:No movimento de translação todos os pontos materiais queformam o corpo deslocam‐se segundo trajetórias paralelas.

Translação Retilínea Translação Curvilínea

A1

B1

A2

B2A1

B1

A2

B2

Cinemática dos Corpos Rígidos• Translação:Diferença?

Translação retilínea vs. Translação Curvilínea

Cinemática dos Corpos Rígidos

Onde: rA e rB são os vetores de

posição de A e B em relação a um sistema de referência fixo;

rAB Vetor que une A e B.

y

x

z

rA

rABrB

o

A

BABAB rrr

Cinemática dos Corpos RígidosDerivando a equaçãoanterior em relação atempo (t), temos:

y

x

z

o

A

B v

v ABAB rrr Constante

0 AB vv

AB vv

Cinemática dos Corpos RígidosDerivando novamente emrelação ao tempo, temos:

AB vv

z

ay

xo

A

Ba

AB aa

Cinemática dos Corpos RígidosTodos os pontos têm, em cada instante, a mesma aceleração evelocidade.

rAB = constante

rB = rA + rAB

vB = vAaB = aA

Cinemática dos Corpos RígidosConclusões: Quando um corpo rígido está em movimento de translação

todos os seus pontos possuem a mesma velocidade e amesma aceleração instantâneas.

Na translação curvilínea, a velocidade e aceleração variamtanto em direção como em módulo todo instante.

Na translação retilínea, todos os pontos materiais do corpose deslocam segundo retas paralelas, e sua velocidade eaceleração conservam a mesma orientação durante todomovimento.


Rotação em torno de um eixo fixo: Ocorre quando os pontos materiais que formam o corpo

rígido se deslocam em planos paralelos ao longo decircunferências, cujos os centros estão sobre uma mesma retafixa.

Cinemática dos Corpos RígidosDefinições Importantes: Deslocamento Angular é a mudança da

posição angular, que pode ser medida comoum vetor infinitesimal dθ;

Vetor tem módulo dθ medido emradianos (SI) ou revoluções (rev),onde 1 rev = 2∏rad;

Movimento ocorre em torno de umeixo fixo, a direção de dθ é sempreao longo do eixo;

Sentido é determinado pela regrada mão direita.

Cinemática dos Corpos RígidosDefinições Importantes: Velocidade Angular é a taxa de variação da

posição angular (w = dθ/dt );

Vetor desse módulo é medidousualmente em rad/s ou em rev/s;

Direção é sempre a do eixo derotação;

Sentido é determinado pela regrada mão direita.

Cinemática dos Corpos RígidosDefinições Importantes: Aceleração Angular mede a taxa temporal de

variação da velocidade angular ( α = dw/dt );

Vetor desse módulo é medidousualmente em rad/s2;

Direção é a mesma da velocidadeangular – w;

Sentido depende se w cresce oudecresce. Se w decresce, então α édenominada desaceleração angular etem sentido oposto a velocidadeangular.


Estudo do Movimento de rotação do ponto P nocorpo rígido em torno de um eixo fixo :

Consideremos um corpo rígido que giraem torno de um eixo de referência fixoAA’.Premissas: O sistema tem seu centro em O sobre

AA’ e coincide com o eixo z; Seja B a projeção de P sobre AA’,

como P deve permanecer a umadistância constante de B, tem‐se umacircunferência de centro B e raio BP =r.senФ.



Velocidade escalar (módulo):

O vetor v também pode serobtido utilizando‐se oproduto vetorial de w e rp.

)(senrwrwv p

prwV



Aceleração:

normal) o(aceleraçã a

l)otangencia(aceleraçã :

2n rw

raOnde

aaa

t

nt


Dois casos particulares de movimento derotação são freqüentemente encontrados:

1. Movimento de Rotação Uniforme – este caso se caracterizapor uma aceleração nula. Assim, a velocidade angular éconstante, e a coordenada angular é dada pela expressão:

wto


Dois casos particulares de movimento derotação são frequentemente encontrados:2. Movimento de Rotação Uniformemente Variado – neste caso

a aceleração angular é constante. Abaixo são mostradas asequações que relacionam velocidade angular, coordenadaangular e tempo.

atwW o

2

2atwoo aww o 222


Cinemática dos acoplamentos:


Rodas acopladas a um mesmo eixo têm mesma velocidadeangular, mesmo período e mesma frequência.

21 ww

2

2

1

1

rV

rV

2

1

2

1

rr

VV


Para rodas acopladas por correia, as velocidades lineares dospontos das rodas, em contato com a correia, têm o mesmo valor;as velocidades angulares são inversamente proporcionais aosrespectivos raios.

21 VVV

2211 rwrw

1

2

2

1

rr

ww


Exercício 1:Os discos A e B estão no plano xy e rodam em torno de eixos perpendicularesa esse plano e que passam pelos seus centros. Sabendo que a velocidadeangular do disco B é constante, ωB = 30 rad/s, e que não existeescorregamento no ponto de contato dos discos, determine:(a) a velocidade angular do disco A;(b) as acelerações dos pontos dos discos que estão em contato.


Exercício 2:Usa‐se um motor para girar uma roda com suas pás no interior doequipamento como ilustrado na figura abaixo. Se a polia A conectada aomotor inicia o seu movimento a partir do repouso, com uma aceleraçãoangular αA = 2 rad/s2, determine os módulos da velocidade e da aceleraçãono ponto P da roda B, após esta ter completado uma revolução. Suponha quea correia de transmissão não escorregue na polia nem na roda.

Cinemática dos Corpos RígidosExercício 3:O peso B esta ligado a uma polia dupla por um dos dois cabos inextensíveismostrados na figura. O movimento da polia é controlado pelo cabo C, que temuma aceleração constante de 0,229 m/s2 e uma velocidade inicial de 0,305m/s, ambas para a direita. Determine (a) o número de revoluções executadaspela polia em 2 s, (b) a velocidade e a variação da posição do peso B depois de2 s e (c) a aceleração do ponto D na periferia da polia interna, no instanteinicial.

Cinemática dos Corpos RígidosExercício 4:O bloquinho B repousa sobre a placa horizontal que gira em torno de um eixofixo. A placa parte do repouso, em t=0, e acelera à razão constante de 0,5rad/s2. Sabendo‐se que r = 200 mm, determinar o módulo da aceleração totaldo bloco quando (a) t = 0 s, (b) t = 1 s e (c) t = 2 s.

Cinemática dos Corpos RígidosExercício 5:Considere as engrenagens A e B mostradas na figura ao lado. Se A parte dorepouso e tem aceleração angular constante αA = 2 rad/s2, determine o temponecessário para B atingir uma velocidade angular WB = 50 rad/s .

Cinemática dos Corpos RígidosExercício 6:A operação de “ré” para umatransmissão automotiva detrês marchas estaesquematizada na figura aolado. Se o eixo G esta girandocom velocidade angular de 60rad/s, determine a velocidadeangular do eixo de saída H.Cada engrenagem gira emtorno de um eixo fixo. Observeque as engrenagens A e B, C eD e E e F estão engatadas. Asdemais informações estão aolado.

Cinemática dos Corpos RígidosExercício 7:Partindo do repouso quando s = 0,a polia A tem aceleração angularαA = 6 rad/s2. Determine avelocidade do bloco B quando eleatinge a posição s = 6 m. A poliatem um cubo interno D que estáfixo em C e gira com ela.

Cinemática dos Corpos RígidosExercício 8:Um moinho usa um arranjo de polias ecorreias para transmissão de potência.Quando t = O, um motor elétrico estágirando a polia A com velocidadeangular wa = 5 rad/s. Se a polia estásujeita a uma aceleração angular de 2rad/s2, determine a velocidadeangular da polia B após esta terexecutado 6 revoluções. O cubo em Destá rigidamente conectado à polia.

Prof. André Felipe Leite SoaresEngenheiro Mecânico

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