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97Capítulo 8
ENERGIA MECÂNICA
1. Introdução
Nos capítulos anteriores, estudamos problemas que po-diam ser resolvidos com a aplicação das leis de Newton. Nes-sas situações, a aceleração escalar dos corpos se apresentavaconstante e os demais cálculos decorrentes foram resolvidoscom as fórmulas do MUV. Em muitos casos, a aceleração é va-riável e as fórmulas utilizadas até aqui não são mais válidas.Várias dessas questões são resolvidas com base nos conceitosde trabalho e energia que serão estudados a seguir.
2. Trabalho de uma força constante
Consideremos uma força F→
, cujo ponto de aplicação sedesloca de A para B, sendo d
→ o vetor deslocamento corres-
pondente. Seja θ o ângulo formado entre os vetores F→
e d→
.Define-se trabalho da força F
→ no deslocamento d
→ pela
fórmula:τ � F � d � cos θ
O trabalho é uma grandeza escalar.Em função do ângulo θ, o
trabalho pode ser positivo, ne-gativo ou nulo. d
→
F→
�A B
98Capítulo 8
F→
d→A B
0 � 90°� � 0
trabalho motor
�
F→
d→A B
� � 90°� � 0
trabalho nulo
F→
d→A B
� 090° � 180°
trabalho resistente
�
F→
60°
Quando o trabalho é positivo, devemos chamá-lo motor;quando negativo, resistente; quando a força F
→ for perpendi-
cular ao deslocamento d→
, o trabalho da força F→
será nulo.
No SI, a unidade de trabalho é o joule (J).
1 J � 1 N � m
Exemplos
a) Um homem arrasta uma mesa aplicando uma força de intensidade250 N utilizando uma corda, que forma um ângulo de 60° com ahorizontal. Qual será o trabalho da força para um percurso de 8 m?
Solução
τ � 250 � 8 � cos 60° ⇒⇒ τ � 1.000 J
O trabalho desta força é motor.
99Capítulo 8
Fat
→
�→
d→
F→
Ft
→�
origem A
b) Uma peça desliza sobre uma superfície plana e sofre a ação deuma força de atrito de intensidade 2 N. Qual será o trabalho daforça de atrito para um deslocamento de 2 m?
Solução
τ � 2 � 2 � cos 180° ⇒⇒ τ � �4 J
O trabalho dessa força é resistente.
c) Qual o trabalho necessário para erguer uma carga de 200 kg a 2 m
de altura? Considere g � 9,8ms2 .
Solução
Os vetores força aplicada e deslocamento têm mesmo sentido e di-reção; logo, o ângulo entre os vetores é nulo.
τ � m � g � d � cos θ ⇒ τ � (200 � 9,8) � 2 � cos 0 ⇒⇒ τ � 3.920 J
3. Trabalho de uma força qualquer
Já vimos que o trabalho de uma força F→
no deslocamentod→
vale τ � F � d � cos θ.
Considere a figura a seguir, onde a componente Ft→
da for-ça F
→ na direção do deslocamento d
→é denominada compo-
nente tangencial.
Assim, o trabalho da for-ça F
→no deslocamento de-
finido pelo vetor d→
podeser escrito como:
τ � Ft � d
100Capítulo 8
Ft
→
AO B xd
A
200 400 600 800
1.100
x (m)
F(N)
1.000 1.200
�4,0 � 106
2,0 � 106
No caso de uma força variá-vel, o cálculo do trabalho podeser feito pelo método gráfico.
Considere o gráfico cartesia-no da força tangencial Ft em fun-ção da posição x ao longo dodeslocamento. O trabalho da for-ça F
→ entre duas posições A e B
quaisquer é numericamente igualà área determinada entre a curvae o eixo horizontal.
Exemplo
a) Uma composição ferroviária se desloca sob a ação de uma forçamotriz, conforme o gráfico a seguir. Determine o trabalho total daforça motriz no trecho de 0 a 1.200 m.
Solução
Para x entre 0 e 200 m, temos:
A1 �
200 2 0 102
6� �,� 2,0 � 108 J
Para x entre 200 e 1.000 m, temos MU; logo, o trabalho é nulo.
Para x entre 1.000 e 1.100 m, temos:
A2 �
100 4 0 102
6� � �( , )� 2,0 � 108 J
A � |τ| (numericamente)
101Capítulo 8
F
→
F→
situaçãoinicial
x
0
F
A
x deslocamento
força
Para x entre 1.100 e 1.200 m, temos:A3 � 100 � (�4,0 � 106) � �4,0 � 108
Portanto, o trabalho da força motriz no trecho de 0 a 1.200 m édado por:τ � A1 � A2 � A3
τ � 2,0 � 108 � (�2,0 � 108) � (�4,0 � 108) ⇒ τ � �4,0 � 108 J
4. Trabalho de uma força elástica
A deformação de uma mola é dita elástica quando, retira-da a ação da força que produziu a deformação, ela volta à po-sição inicial.
Nessas condições, aplicando-se uma força F→
, a mola res-
ponde com uma força reativa dita elástica Fel.→
, que se opõe à
deformação, tendendo a trazer a mola para a posição inicial.
Pela lei de Hooke, temos:
Fel. � k � x
onde k é a constante elástica da mola. A unidade de k no SI é Nm
.
Sendo a intensidade da força elástica variável, o trabalho écalculado pelo método gráfico:
Calculando a área A, temos:
τ �
�k x2
2
102Capítulo 8
O trabalho da força é motor quando restitui a mola à posi-ção inicial, e resistente quando a mola é alongada ou compri-mida pela ação de outra força.
Exemplos
a) Uma mola tem k � 150 Nm
. O comprimento natural da mola é
0,25 m. Determine o trabalho da força elástica quando a mola éalongada até o comprimento 0,35 m.
Solução
τ
150 (0,10)2
�� �
2⇒ τ � �0,75 J , trabalho resistente
b) Supondo que da mola do exercício anterior seja retirada a ação daforça que a alongou, qual será o trabalho da força elástica que arestitui ao comprimento original?
Solução
τ � 0,75 J , trabalho motor
5. PotênciaConsideremos uma força F
→ que realiza um trabalho τ em
um intervalo de tempo �t. Define-se potência média Pm daforça F
→, no intervalo de tempo �t, como a relação entre o tra-
balho e o intervalo de tempo,
P
tm ��τ
Outra maneira de representar a potência média é a seguinte:
Pm �
τ�
��
�tF d
t⇒ Pm � F � vm
No SI, a potência é medida em watt (W):
1 W � 1 Js
O múltiplo quilowatt (kW) é muito usado na prática:1 kW � 1.000 W � 103 W
103Capítulo 8
10 30
100
P (w)
t (s)
Em um gráfico cartesiano da potência em função do tem-po, a área da figura formada entre a curva da potência e oeixo dos tempos é numericamente igual ao valor absoluto dotrabalho realizado. Esta propriedade vale para potências cons-tantes ou não, ao longo do tempo.
Exemplos
a) Calcule a potência média de uma força que realiza um trabalho de2.000 J em 40 s.
Solução
P
tm ��
�τ 2 000
40. ⇒ Pm � 50 W
b) Um corpo sobe um plano inclina-do sem atrito, puxado por uma for-ça F
→ paralela ao plano. A potên-
cia da força em função do tempo édada pelo gráfico ao lado. Deter-mine o trabalho realizado pela for-ça no intervalo de tempo 30 s.
Solução
Considere A, a área formada pela figura entre a curva representa-tiva da força e o eixo dos tempos.
τ � �A�, A � 100 � 10 �
100 202� ⇒ τ � 2.500 J
1. (UFSC) Um homem ergue um bloco de 100 N a uma altura de2,0 m em 4,0 s, com velocidade constante. Qual a potência, emwatts, desenvolvida pelo homem?
2. Um motor de 50 kW de potência aciona um veículo durante umahora. O trabalho desenvolvido pelo motor é de:
a) 5 kW c) 5 � 104 J e) 1,8 � 108 J
b) 50 kW d) 1,8 � 105 J
104Capítulo 8
0
2
4
1 2 3 4 5 6 7 8 9
10
F (N)
E (dm)
3. (UFSE) Um balde cheio d’água é deslocado para cima, em movi-mento vertical, por uma força resultante F
→, cuja intensidade va-
ria com o deslocamento, conforme o gráfico abaixo:
Durante o deslocamento de zero dm a 10,5 dm, o trabalho exe-cutado pela força que atua sobre o balde, é, em joules, igual a:
a) 28 b) 19 c) 14 d) 2,8 e) 1,4
6. Energia
Energia é o trabalho que pode ser obtido de um sistema. Aenergia pode ser classificada em vários tipos. Em mecânica, temosa energia cinética, que é associada ao movimento do corpo, e aenergia potencial, que é associada à posição que o corpo ocupaem relação a um referencial. Se um corpo está em repouso a umaaltura h qualquer, ele possui energia potencial; ao ser abandona-do, essa energia se transforma em energia cinética, de movimento.
A unidade de energia é a mesma do trabalho.
7. Conservação da energia
A energia nunca é criada ou destruída. Ela se transformade um tipo em outro ou outros. Em um sistema isolado, o totalde energia existente antes de uma transformação é igual aototal de energia obtido depois da transformação. Esse é o cha-mado princípio de conservação da energia.
105Capítulo 8
Uma pilha transforma energia química em elétrica; ummotor a combustão, energia química em mecânica; um freio,energia mecânica em térmica etc.
8. Energia cinética
A energia cinética é a energia associada a um corpo emmovimento. Sendo m a massa do corpo e v sua velocidadenum determinado instante, a energia cinética do corpo édada por:
Ec �12
m � v2
A HidreletricidadeA hidreletricidade é a energia gerada a partir do aproveita-mento da energia mecânica de grandes porções de água, oque pode ser observado no esquema a seguir.
Nesse caso, em particular, temos a energia potencial gravi-tacional da água acumulada na represa sendo transformadaem energia cinética à medida que ela é conduzida peloduto até a turbina.Atualmente, a maior usina hidrelétrica do mundo é a deItaipu, no Rio Paraná.
106Capítulo 8
8.1. Teorema da energia cinéticaO trabalho da força resultante sobre um corpo num deter-
minado deslocamento é igual à variação da energia cinéticado corpo neste deslocamento.
Se o corpo se moveu do ponto A para o ponto B e a forçaresultante realizou um trabalho τ neste deslocamento, temos:
τ �EcB � EcA
5 10 15 20 S (m)
1
2
3
�1
�2
�3
F (N)
Exemplos
a) Um corpo de massa m � 5 kg desloca-se com velocidade inicial de
20 ms
. Sob a ação de uma força, sua velocidade passa a 50 m/s.Determine o trabalho realizado por essa força durante o tempo desua atuação.
Solução
τ � E Ec cB A� ⇒ τ �12
� 5 � 502 �12
� 5 � 202 ⇒
⇒ τ � 5.250 J
b) O gráfico ao lado representa aação de uma força sobre um cor-po de massa 3 kg que se moveem linha reta. Na posição S � 0,ele está em repouso. Calcule suavelocidade em S � 20 m.
Solução
O trabalho total será a soma das áreas no gráfico. Logo:
AT � 2 � 10 �
2 52
2 52
��
� ⇒ AT � 20 ⇒ τ � 20 J
τ � Ec2� Ec1
⇒ 20 � 12
� 3 � v2 �12
� 3 � 02 ⇒
⇒ v � 3,6 ms
107Capítulo 8
9. Forças conservativas
Força conservativa é aquela cujo trabalho depende unica-mente dos pontos de partida e chegada, independentementeda trajetória realizada entre os pontos.
Como exemplo de forças conservativas, temos a forçagravitacional (peso), a força elástica e a força elétrica.
10. Energia potencial
Consideremos um corpo sob a ação de uma força conser-vativa F
→, posicionado em um ponto A. Um outro ponto, O, é
considerado referencial para a medida da energia potencial;logo, no ponto O a energia potencial é nula. Caso o corpo sedesloque de A até O, haverá um trabalho τ realizado pela for-ça F
→. Assim, o trabalho que se pode obter depende de A. De-
pendendo do ponto onde o corpo se encontra, a força conser-vativa poderá realizar mais ou menos trabalho, tomando Ocomo referencial. O trabalho que fica armazenado no siste-ma, enquanto o corpo está na posição A, denomina-se energiapotencial.
10.1. Energia potencial gravitacionalConsideremos o trabalho da força peso na figura abaixo.
v0 � 0
h
A
B
m
Na posição A, o corpo não possui energia cinética, e sim acapacidade potencial de tê-la. Dessa maneira, na posição A ocorpo tem uma energia, relacionada à sua posição, ainda não
108Capítulo 8
transformada em cinética. Ela é chamada de energia potencialgravitacional e é medida pelo trabalho realizado pelo pesoquando o corpo passa da posição A para a posição B:
Ep � m � g � h
10.2. Energia potencial elásticaUma mola apresenta um comprimento natural. Comprimida
por uma força F→
, sofre uma deformação x. O trabalho realiza-do para deformar a mola é dado por:
τ �
k x2
2�
Este trabalho representa a energia potencial armazenadana mola. Tomando como referência a mola em sua posiçãonatural, temos:
Ep �
k x2
2�
Exemplos
a) Uma caixa d’água localizada no décimo andar de um prédio está a32 m de altura. Quando cheia, a caixa tem 4.500 � de água. Calcu-le a energia potencial da porção de água em relação ao solo.
Solução
Ep � m � g � h ⇒ Ep � 4,5 � 103 � 10 � 32 ⇒ Ep � 1,44 � 106 J
b) Distendendo uma mola de constante elástica k � 80Nm em 5 cm,
qual será o valor da energia potencial elástica armazenada por
essa mola?
Solução
Ep �
k x2
2� ⇒ Ep �
80 0 052
2� ( , ) ⇒ Ep � 1,0 � 10�1 J
109Capítulo 8
A
h1h2B
C
11. Sistemas conservativos
Quando nos referimos a um sistema, estamos falando deuma porção do Universo que está sob observação. Os sistemasem questão são conjuntos de corpos que interagem entre si.
Nos sistemas conservativos, somente forças conservativasrealizam trabalho. Nesse tipo de sistema, toda a diminuiçãode energia potencial corresponde a um aumento de energiacinética, e vice-versa. Dessa maneira, a soma da energia ciné-tica com a energia potencial é constante.
Chamamos de energia mecânica a soma da energiacinética com a energia potencial de um determinado corpo.
Em � Ec � Ep
Em um sistema conservativo, a energia mecânica é sempreconstante.
Exemplos
a) Na montanha-russa esquematizada abaixo, o carrinho parte do re-pouso no ponto A. Determine a velocidade do carrinho nos pontosB e C. Dados: g � 10 m
s2 , h1 � 25 m e h2 � 10 m. Considere o sis-tema conservativo.
SoluçãovA � 0 ⇒ EmA
� EcA� EpA
⇒ EmA� EpA
� m � g � h1 ⇒⇒ EmA
� EmB
EmB
� EcB� EpB
⇒ 0 ⇒ m � g � h1 �
m v2
B2� ⇒
⇒ vB2 � 2g � h1 � 2 � 10 � 25 ⇒ vB � 22,4
ms
5002
� 10 � 10 � vc2
2⇒ vc � 17,3
ms
110Capítulo 8
h
A
B
3,0 m/s
mv→
b) Uma esfera é lançada vertical-mente para cima, com veloci-
dade de 3,0ms a partir do pon-
to A, como indica a figura aolado. Considere o sistema conser-
vativo e g � 10 ms2 . Qual será a
altura atingida pela esfera?
Solução
E Em mB A
� , vA � 3,0ms , vB � 0
E Em pB B
� � m � g � h ⇒ E Em cA A
�
m g h
m vh
vg
hA A � � ��
� ��
2 2 2
2 23 02 10
⇒ ⇒ ⇒,
h � 0,45 m
c) Um corpo de massa m atingeuma mola com velocidade v,como mostra a figura ao lado.Determine a deformação damola até o corpo parar. O siste-ma é conservativo para a cons-tante elástica da mola k.
Solução
Situação A → inicial,
Situação B → final, v � 0 e mola comprimida
E E E E E E m v k xc p c p c pA A B B A B
� � � ��
��0 0 2 2
2 2⇒ ⇒ ⇒
⇒ x v m
k� �
111Capítulo 8
4. (UFRRJ) Um goleiro chutauma bola que descreve umarco de parábola, comomostra a figura ao lado.No ponto em que a bolaatinge sua altura máxi-ma, pode-se afirmar que:a) a energia potencial é
máxima;b) a energia mecânica é nula;c) a energia cinética é nula;d) a energia cinética é máxima.e) nada se pode afirmar sobre as energias, pois não conhecemos
a massa da bola.
5. Qual será o trabalho realizado por uma força que age em um cor-
po de massa 2,0 kg, que teve sua velocidade alterada de 1,0ms
para 5,0ms ?
a) 4,0 J b) 8,0 J c) 26,0 J d) 12,0 J e) 24,0 J
6. (Unesp-SP) Um bloco de ma-deira de massa 0,40 kg, manti-do em repouso sobre uma su-perfície plana, horizontal eperfeitamente lisa, está com-primindo uma mola contrauma parede rígida, como mos-tra a figura.
Quando o sistema é liberado, a mola se distende, impulsiona obloco e este adquire, ao abandoná-la, uma velocidade final de
2,0ms . Determine o trabalho da força exercida pela mola, ao se
distender completamente:
a) sobre o bloco; b) sobre a parede.
112Capítulo 8
B
A
C0,1 m
0,4
m
C A B
7. (Cesgranrio-RJ) Três corpos idênticos de massa M deslocam-se en-tre dois níveis, como mostra a figura: A caindo livremente, B des-lizando ao longo de um tobogã e C descendo uma rampa, sendoque em todos os movimentos, as forças dissipativas podem serdesprezadas. Com relação ao trabalho (W) realizado pela forçapeso dos corpos, pode-se afirmar que:
a) WC � WB � WA d) WC � WB � WA
b) WC � WB � WA e) WC WB � WA
c) WC � WB � WA
8. Na figura, representamos uma pista em que o trecho final ABC éum arco de circunferência. Larga-se o carrinho no topo da pista.
Admitindo-se g � 9,8 ms2
e a massa do carrinho 1 kg, determine:
a) a energia cinética no ponto A;
b) o trabalho realizado pelo peso no percurso de A até B.
9. (UFPI) Ao colidir com uma mola ideal de constante elástica k � 100Nm ,
em repouso, sobre uma superfície horizontal, um corpo de massa igual
a 2 kg possui velocidade de 4ms . Após comprimir a mola em 50 cm,
113Capítulo 8
x � 50 cm
x � 0V � 1,0 m/s
→
V0 � 4,0 m/s→
5,0
m
P
Q
sua velocidade é reduzida para 1ms . Supondo ásperas as superfícies
de contato e g � 10 ms2
, o valor do coeficiente de atrito cinético entre
as partes em contato corresponde a:
a) 50 J e 15 ms d) 3.500 J e 10
ms
b) 350 J e 5,0 ms e) 3.500 J e 20
ms
c) 700 J e 10 ms
a) 0,25 b) 0,30 c) 0,35 d) 0,40 e) 0,60
10. (UFMG) Um esquiador de massa m � 70 kg parte do ponto P edesce pela rampa mostrada abaixo. Suponha que as perdas de
energia por atrito sejam desprezíveis e considere g � 10 ms2
.
A energia cinética e a velocidade do esquiador quando ele pas-sa pelo ponto Q, que está 5,0 m abaixo do ponto P, são, res-pectivamente:
