المعادالت: 8-2 حل � بيانيا التربيعية

سبق فيما

التربيعية المعادالت حل درست

. العوامل إلى بالتحليل

واآلن

التربيعية • المعادالت أحل. بيانيا�

حلول • أقدرالتربيعية المعادالت

البياني تمثيلها . من

المفردات

المكرر الجذر

لماذا؟

المسار عن يعبرقدم لكرة المنحنىملعب داخل كلت ر9

ص = - 2س0.005بالدالة( 5س+ + س ) حيث ؛

التي األفقية المسافةباألقدام، الكرة قطعتها ) فوق) الكرة ارتفاع ص

باألقدام األرض .سطح

لماذا؟

استعمال ويمكنالسينية المقاطع

لهذه البياني للتمثيلالمسافة لتحديد الدالة

ستقطعها التي األفقيةتلمس حتى الكرة

.األرض

بالتمثيل التربيعية المعادلة حلالقياسية: الصورة البياني

: هي التربيعية للمعادلة

ج + + = 2أس س يساوي 0ب ال أ حيث ،صورة 0 على التربيعية الدالة ولكتابة ،

) بصفر، ) س د أو ص استبدل معادلة،جذورها أو المعادلة حلول أن وتذكر

السينية المقاطع بإيجاد تحديدها يمكنالمرتبطة، للدالة البياني للتمثيلحالن التربيعية للمعادلة ويوجد

ال أو واحد، حقيقي حل أو حقيقيان. حقيقية حلول لها يوجد

مفهوم Sأساسي

التربيعية المعادالت حلول

حقيقيان حالن

مختلفان

مفهوم Sأساسي

التربيعية المعادالت حلول

وحيد حقيقي حل

مفهوم Sأساسي

التربيعية المعادالت حلول

حلول يوجد ال

حقيقية

مثال1

مختلفان حقيقيان جذران

س المعادلة 0 = 8س – 2 – 2حل� ( = .بيانيا س ) س د الدالة س 2 – 2مثل

–8. � بيانيا بالمعادلة المرتبطةالسينية المقاطع تظهر

عند - البياني . 4، 2للتمثيلهي - فالحلول .4، 2لذا

بالتعويض تحقق: حل كل صحة من تحققاألصلية المعادلة .في

األصلية 0 = 8 – س2 – 2س – 2س المعادلة 4أوس =2س = - 0 = 8 – (2)- 2 – 2 (2)- 0 = 8 – س2

(4) 2 – 2 (4) – 8 = 0 √ 0 = 0 بسط √ 0 = 0

حل المعادالت التربيعيةموضوع الدرس \ يانيا ب

حلي المعادلة التالية بيانيا :س \

0 = 3س + 4ـ 2س( 1

000000000000000000000000000000 00000000000000000000000000000000000000000000000000000000

16 س – 8= - 2س (2

م \ نجالء ابراهيم

0

عمـــــــــــــل ورقة

فهمك من تحقق

س( 1 0 = 3س + 4 – 2ب

الحـــــــــــــــــــل

س = • التماثل 2محور

ــ 2الرأس ) • ،1 )

جـ = = • الصادي 3المقطع

البياني التمثيل

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

} 3، 1 { ح =

التحقق : 0 = 3س + 4ــ 2س

أو اما0 = 3( + 3)4ــ( 3 )0=3(+1)4ــ (1)

2 2

مثال في المعادلة حلول

1

إال مختلفان، حقيقيان عددان

هما الجذران يكون � حياناأ أنه

عندها وي9سمى نفسه، العدد

� مكررا � جذرا.

تنبيه:

مثال2

: مكرر جذر

: س المعادلة بيانيmا 9س = -6- 2حلالمعادلة : 1الخطوة كتابة أعد

. القياسية بالصورةاألصلية 9س = -6- 2س المعادلةكال 9أضف 0= 9س + 6- 2س إلى

الطرفين

: س المعادلة بيانيmا 9س = -6- 2حل( = : 2الخطوة س ) د المرتبطة الدالة مثoل

9س + 6 – 2س

للتمثيل : 3الخطوة السيني المقطع حددهو المكافئ القطع رأس أن والحظ البياني،

فإن لذا للدالة، الوحيد السيني المقطعهو وحيدا� حال� .3للمعادلة

فهمك من تحقق

س( 2 س10 = 25 + 2أ

5

المعادلة جذور أن كما

� أعدادا � حياناأ تكون التربيعية

.

حقيقية غير

: حقيقية جذور يوجد ال

: س المعادلة بيانيmا 9س = -6- 2حل

( = : 2الخطوة س ) د المرتبطة الدالة مثoل9س + 6 – 2س للتمثيل : 3الخطوة السيني المقطع حدد

هو المكافئ القطع رأس أن والحظ البياني،فإن لذا للدالة، الوحيد السيني المقطع

هو وحيدا� حال� .3للمعادلة

:3مثال

بالصورة : 1الخطوة المعادلة كتابة أعدالقياسية

القياسية بالصورة مكتوبة المعادلة

للعدد عوامل يوجد 10الغير 3مجموعها - فالعبارة لذا ،

أي العوامل، إلى للتحليل قابلة � حلوال للمعادلة يوجد ال أنه

حقيقية.

فهمك من تحقق

5س = 3 – 2س أ( –3

الحـــــــــــــــــــل

ــ = • س التماثل 1 , 5محور

ــ ) • (2، 7ــ , 1 , 5الرأس

ــ = = • جـ الصادي 5المقطع

البياني التمثيل

الحـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــل

ح = الى التحقق : بالتحليل المعادلة العدد حل 8 عوامل

6ومجموعهم للعدد عوامل يوجد ال 6مجموعهما = 8ال انه أي

حقيقية حلول للمعادلة يوجد

Φ

الحـــــــــــــــــــــــل

Φح =

إرشادات للدراسة: إرشادات للدراسة:

: األصفار مواقعدوال التربيعية الدوال أن بما

صفر يوجد أن يجب لذا متصلة،يقابلهما اللتين س قيمتي بين

في متعاكستان قيمتان . ص من اإلشارة

: الحلول تقديرللمعادالت وجدت التي الجذور تمثoلجذور أن إال صحيحة، أعدادا� السابقة

� دائما ليست التربيعية المعادالتالحاالت هذه في ويستعمل كذلك،لجذور تقريبية قيم إليجاد التقدير

المعادلة.

ير قد

ت

ل: حلو

ير القد

ت

ل: حلو

ال

مثال4

:

الجدول باستعمال الجذور تقدير

س المعادلة vوإذا 0 = 6س + 6 + 2حل بيانيmا،فقدرها صحيحة، أعدادا� الجذور تكن لم

. عشرة من جزء ألقرب

= ) س ) س د المرتبطة الدالة 6س + 6 + 2مثلبيانيmا.

بين - السينيان المقطعان وبين -4، -5يقع ـ -2،1

طوله بتدريج جدوال� لقيم 0.1أنشئبين - تقع التي وبين -4، 5س ،2- ،1

قيم إشارات في التغير عن وابحثإلى األقرب الدالة قيمة وتعد الدالة،لصفر األفضل التقريب هي الصفر

الدالة.

س

ص

-4,8 -4,9-4,7-4,5 -4,6-4,4-4,2 -4,3-4,1

0,610,24-0,11-0,44-0,75-1,04-1,31-1,56-1,79

س

ص

-1,8 -1,9-1,7-1,5 -1,6-1,4-1,2 -1,3-1,1

1,791,56-1,31-1,04-0,75-1,44-0,11-1,24-0,61

إلى األقرب الدالة قيمة أن بماكال في اإلشارة تغير عند الصفر

هي فإن 0,11-الجدولين لذا ، : هما التقريبيين -، 4,7-الجذرين

1,3

فهمك من تحقق

المعادلة( 4 س – 6 + 2س2حل3 = 0 . تكن لم وإذا بيانيmا

فقدoرها صحيحة، أعداد الجذور . عشرة من جزء ألقرب

0,4- ،3,4

فهمك من تحقق

المقطعين تقريب oي9عدالبياني للتمثيل السينيين

في مفيدا� التربيعية للدوال . الحياة واقع من تطبيقات

مثال5

الحياة واقع من

:

: البيانية الحاسبة باستعمال الجذور تقديراألرض من واحدة قدم ارتفاع من بقدمه الكرة سميح قذف

بسرعة األعلى / = -65إلى ع الدالة وتمثل ثانية، + 2ن16قدمتبقى 1ن + 65 فكم ثانية، ن بعد باألقدام ع الكرة ارتفاع

تقريبا�؟ الهواء في الكرةالمعادلة - جذور استعمل 0 = 1ن + 65 + 2ن16إليجاد ،

- = ) س ) د المرتبطة الدالة تمثيل في البيانية 2ن16الحاسبةهو 1ن + 65+ للتمثيل الموجب السيني المقطع أن 4بما

بقيت الكرة فإن لذا . 4تقريبا�، الهواء في تقريبا� ثوان

من( 5 الكرة سميح قذف إذاإلى األرض من قدمين ارتفاع

بسرعة . 55األعلى / ثانية قدمالهواء في الكرة تبقى فكم

تقريبا�؟

تأكدفيما معادلة كل حل

: بيانيmا يأتي

0= 10س- 3 + 2س( 1

|) ( {= س= د المدى ، ح المجال≤) س) {2د

|) ( {= س= د المدى ، ح المجال≤) س) {2د

وحل تدرب،المسائل:

فيما معادلة كل vحل : بيانيmا يأتي

= 24س – 2 + 2س( 90

4- ،6

لتحديد العوامل إلى التحليل استعملالتمثيل فيها يقطع التي المرات عدددالة كل في السينات محور البياني : منها كل أصفار حدد ثم يأتي، مما

س( = 15 س + 8 – 2ص16

4؛1

وحل تدرب،المسائل:

لتحديد العوامل إلى التحليل استعملالتمثيل فيها يقطع التي المرات عدددالة كل في السينات محور البياني : منها كل أصفار حدد ثم يأتي، س( = 17مما س + 12 + 2ص

32

8، -4؛ -2

وحل تدرب،المسائل:

الدرس انتهى