1. Equilíbrio de corpos rígidos - IPB

Mecânica Aplicada I Cap. 4- Equilíbrio de corpos rígidos

Luis Mesquita Pág. 45

1. Equilíbrio de corpos rígidos

No capítulo anterior foi referido que as forças exteriores que actuam num

corpo rígido podem ser reduzidas a um sistema equivalente força/binário.

Quando a força e o binário são nulos o corpo rígido está em equilíbrio.

Desta forma as condições necessárias e suficientes para o equilíbrio de

um corpo rígido serão:

�� == ��

�

das quais resultam seis equações algébricas

��

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��

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=

=

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��

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=

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Diagrama de corpo livre:

Para se proceder ao traçado do diagrama de corpo livre, devem ser

tomados os seguintes passos:

1. Separar o corpo rígido em análise de todos os outros

2. Identificar as forças exteriores no corpo rígido

3. Representar a intensidade, direcção e sentidos das forças

exteriores.

as forças exteriores a representar são as de reacção dos corpos

em contacto com o de análise.



2. Equilíbrio 2D

Considerando o equilíbrio de estruturas bidimensionais, as forças que

actuam na estrutura estão contidas no plano da figura.

As reacções exercidas sobre a estrutura também estão contidas no

mesmo plano e podem ser divididas em 3 grupos, correspondentes a três tipos

de apoios, consoante o n.º de incógnitas que representam.

Quando o sentido de uma força ou binário é desconhecido, este deve ser

arbitrado. O sinal algébrico da incógnita indicará se este é positivo ou negativo.

Habitualmente arbitra-se segundo as direcções dos sistemas de eixos

considerados.

Considerando o equilíbrio em 2D as condições de equilíbrio serão:

�� === ��



Uma grua fixa tem massa igual a 1000 Kg e é utilizada para levantar uma

caixa de 2400 Kg. O centro de massa da grua está no ponto G. Determine as

reacções.

A estrutura da figura suporta parte de um telhado de um parque de

exposições. Sabendo que a tracção no cabo é de 150 KN, determine a reacção

no estremo fixo E.

A grua de uma carrinha de 4300 Kg é usada para elevar uma caixa de

1600Kg. Determine a reacção nas duas rodas traseiras e dianteiras.

Duas crianças encontram-se paradas numa prancha de 65Kg. Sabendo

que as massas das crianças C e D são de 29 e 40 Kg, determine a reacção em

A e B.



A barra AB é sujeita a uma força vertical de 300N aplicada em B.

determine a reacção em C e a força no cabo.

o valor máximo admissível em cada uma das reacções é de 360N.

desprezando o peso da viga, determine a gama de valores da distancia d, para

que a viga se encontre segura.



Exemplo: Treliça - Estrutura composta por nós e barras

Estrutura isostática, o número de equações é igual ao número de

incógnitas.

3. Problemas estaticamente indeterminados

Hiperstáticos

Uma estrutura é considerada hiperstática

quando o n.º de incógnitas é maior do que o n.º

de equações.

As reacções estaticamente indeterminadas

poderão ser calculadas através da

compatibilidade das deformações, abordada no

domínio da resistência dos materiais.

Hipostáticos

Quando o n.º de incógnitas é menor que o

n.º de equações.

O equilíbrio pode não se verificar.



4. Análise de estruturas reticuladas – TRELIÇAS

Uma treliça é uma estrutura composta por elementos estruturais,

BARRAS, cujas extremidades são ligadas entre si através de NÓS.

Geralmente são elementos esbeltos, obrigando, devido à baixa resistência a

cargas laterais, a que as cargas sejam aplicadas nos nós.

�

�

�

��

��

�

� �

�

Tipos de estruturas:



Método das secções

As forças aplicadas nas várias barras podem ser obtidas pelo método

dos nós. Deve-se iniciar pelo cálculo do valor das reacções, em que a treliça é

tratada como um corpo rígido. Representar o DCL de cada nó, representando

as forças aplicadas, e atendendo às condições de equilíbrio de uma partícula

obter o valor das forças desconhecidas e avançar para o nó seguinte.

Exemplo:

A partir do diagrama de corpo livre da estrutura, calcular o valor das

reacções.

Localizar um nó que faça a ligação de duas barras. Representar o DCL

desse mesmo nó.



Nó D

Repetir a metodologia até se calcularem as forças em todas as barras.



Método das secções:

O método das secções é usualmente preferível quando se pretende obter

o valor da força numa barra, ou em poucas barras.

Após o cálculo das reacções, e para determinar a força na barra BD da

treliça mostrada, passa-se uma secção pelas barras BD, BE e CE, e analisar

uma das porções da treliça, esquerda ou direita, como um corpo livre.

Exemplo:

Usando o método das secções, determine a força instalada nas barras

FH, FI e GI.

A partir do diagrama de corpo livre, calcular as reacções.



Passar uma secção pelas barras desejadas.

Pelas condições de equilíbrio estático, determinar o valor das forças

instaladas nas barras.

��

��

�

==

−=⇔

��

��

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=

=

��

��

��

��

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�

�

��

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�

��

��

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�

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Exercícios:

Determinar, pelo método dos nós e das secções, as forças nas barras BD,

CD e CE da treliça ilustrada. Indique o seu estado.

Determine as forças nas barras LN, KN e KO da treliça ilustrada. Indique

o seu estado.



Para a treliça representada na figura seguinte, determine:

a) as forças que actuam nas barras BC, KCe KJ, usando o método dos

nós;

b) as forças que actuam nas barras DE, JE e JI, usando o método das

secções.


a) as forças que actuam nas barras AI, AB e JI, usando o método dos nós;

b) as forças que actuam nas barras HD, HG e CD, usando o método das

secções.


a) as forças que actuam nas barras BC, BK e LK, usando o método dos

nós;

b) as forças que actuam nas barras KJ, CJ e CD, usando o método das

secções.



5. Equilíbrio de um corpo submetido à acção de duas forças

Um corpo submetido à acção de duas forças está em equilíbrio se as

duas forças têm a mesma intensidade, a mesma linha de acção e sentidos

opostos.

6. Equilíbrio de um corpo submetido à acção de três forças

O corpo está em equilíbrio se as linhas de acção das três forças são

concorrentes num mesmo ponto.

Com estes fundamentos, certos problemas podem ser resolvidos

simplesmente por aplicação trigonométrica.



7. Equilíbrio 3D

No caso tridimensional são necessárias seis equações escalares para

exprimir as condições de equilíbrio:

��

�

��

�

�

=

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

��

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��

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�

=

=

=

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

�

Estas equações podem ser resolvidas para um máximo de seis incógnitas

que representam reacções nos apoios ou ligações.





Exercícios:

Uma escada de 20Kg é suportada por duas rodas A e B apoiadas numa

guia e por uma outra em C, apoiada contra a parede. Um homem de 80Kg

encontra-se na escada e desloca-se ligeiramente para a direita. O peso

combinado do homem e da escada, W, tem uma linha de acção que intersecta

o ponto D. determine as reacções em A, B e C.

Uma tampa de raio r=240 mm e de massa 30 Kg é mantido na posição

horizontal pelo cabo CD. Assumindo que a chumaceira, em B, não exerce uma

força axial, determine a tensão no cabo e as reacções em A e B.

A haste AC é suportada por uma junta esférica em C e pelo cabo

mostrado. Sabendo que a distancia BC é de 0.9 mm, determine a reacção em

C e a força no cabo.



Uma haste de 3m suporta uma força de 4KN. Determine a tensão em

cada cabo e as reacções na junta esférica em A.

A placa rectangular mostrada tem de massa 15Kg. Assumindo que a

dobradiça B não exerce uma reacção axial, determine a tensão no cabo e as

reacções em A e B.

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