123tailieu.com Tai Lieu Mon Nguyen Ly Truyen Thong Chuong 2

8/17/2019 123tailieu.com Tai Lieu Mon Nguyen Ly Truyen Thong Chuong 2

1/41

Nguyên lý truyền thông

GV : Trần Duy Cường 49

Hình 3.1: Moâhình heäthoáng thoâng tin

Nguoàn t in:

+ Laøtaäp hôïp caùc tin, HT3 duøng ñeålaäp caùc baûn tin khaùc nhau trong söïtruyeàn.

+ Nguoàn tin ñöôïc moâhình hoaùtoaùn hoïc baèng boán quaùtrình sau:

- Quaùtr ình ngaãu nhieân lieân tuïc: Nguoàn tieáng noùi, aâm nhaïc, hình aûnh.

- Quaùtr ình ngaãu nhieân r ôøi r aïc: Moät quaùtrình ngaãu nhieân l ieân tuïc sau khi ñöôïclöôïng töûhoùa theo möùc (tín hieäu ñ ieän t ính, ñieàu khieån l eänh …).

- Daõy ngaãu nhieân lieân tuï: Nguoàn lieân tuïc giaùn ñoaïn theo thôøi gian (PAM, PPM)-khoâng bòlöôïng töûhoùa.

- Daõy ngaãu nhieân rôøi r aïc: Trong heäthoáng thoâng tin xung coùlöôïng töûhoùa nhö PCM.

Keânh t in: Laønôi dieãn ra söïtruyeàn lan cuûa tín hieäu mang tin vaøchòu taùc ñoäng cuûa nhieãu.

+ Tín hieäu vaøo & : tín hieäu ra cuûa keânh tin

+ : Ñaëc tröng cho nhieãu nhaân, nhieãu coäng.

Trong thöïc teá: ; ñaëc tính xung cuûa keânh.

Nhaän t in: Laøñaàu cuoái cuûa HT3 laøm nhieäm vuïkhoâi phuïc tin töùc ban ñaàu.

Si(t) S0(t)

Nhieãu

Nguoàntin

K eânhtin

Nhaäntin

Nguoàn tin

Maõhoùa nguoàn

Maõhoùa keânh

Boäñieàu cheá

Phaùt cao taàn

Nhaän t in

Keânh tin Thu cao taàn

Giaûi ñieàu cheá

Giaûi maõkeânh

Giaûi maõnguoàn

Hình 3.2: Heäthoáng truyeàntin soá(r ôøi r aïc)


2/41



+ Vaán ñeàhieäu suaát, noùi caùch khaùc laøtoác ñoätruyeàn tin cuûa heäthoáng.

+ Vaán ñeàñoächính xaùc, noùi caùch khaùc laøkhaûnaêng choáng nhieãu cuûa heäthoáng.

Mô tả trạng thái truyền tin có nhiễu

Giả sử, một thông báo đượ c truyền đi trên một kênh truyền nhị phân rời rạc. Thông báocần truyền đượ c mã hóa thành dãy số nhị phân (0,1) và có độ dài đượ c tính theo đơn vị bit.Giả sử 1 bit truyền trên kênh nhiễu với xác suất 1/4 (hay tính trung bình cứ truyề n 4 bit thì có thể nhiễu 1 bit).

Minh họa kỹ thuật giảm nhiễu

Trong k ỹ thuật truyền tin, ngườ i ta có thể làm giảm sai lầm khi nhận tin bằng cách truyềnlặp lại 1 bit vớ i số lẻ lần.

Ví dụ: truyền lặp lại 3 cho 1 bit cần truyền (xác suất nhiễu 1 bit bằng 1/4). Khi nhận 3bit liền nhau ở cuối k ếnh đượ c xem như là 1 bit. Giá trị của bit này đượ c hiểu là 0 (hay 1)nếu bit 0 (bit 1) có số lần xuất hiện nhiều hơn trong dãy 3 bit nhận đượ c liền nhau (hay giảimã theo nguyên t ắc đa số). Ta cần chứng minh với phươ ng pháp truyền này thì xác suấttruyền sai thật sự < 1/4 (xác suấ t nhiễu cho trướ c của k ênh truyền).

Sơ đồ truyền tin:

Bit truyền Tuyền lặp 3 lần Nhận 3 bit Giải mã0

1

000000

000

000

000

000

000

000

111

111

111111

111

111111

111

000001

010

100

101

011

110

111

000

001

010100

011

110111

111

00

0

0

1

1

1

1

0

0

00

1

11

1

Giả sử Xi xác định giá trị đúng hay sai của bit thứ i nhận đượ c ở cuối kênh truyền với Xi=1 nếu bit thứ i nhận đượ c là sai và Xi =0 nếu bit thứ i nhận đượ c là đúng. Theo giả


3/41



thiết ban đầu của kênh truyền th ì phân phối xác suất của Xi có dạng Bernoulli b(1/4):

Xi 1 0

P 3/4 1/4

Gọi Y ={X1 + X2 + X3 } là tổng số bit nhận sai sau 3 lần truyền lặp cho 1 bit. Trong

trườ ng hợ p này Y tuân theo phân phối Nhị thức B(p,n), với p=1/4 (xác suất truyền sai mộtbit) và q =3/4 (xác suất truyền đúng 1 bit): Y ~ B(i,n)Hay

a. Löôïng ño tin töùc: Nguoàn A coùm tín hieäu ñaúng xaùc suaát, moät tin do nguoàn A hìnhthaønh laømoät daõy x goàm n kyùhieäu ai baát kyø(a i A) .

Chuùng ta seõxaùc ñònh löôïng tin chöùa trong moät ti n. Nhö vaäy, tröôùc tieân ta phaûi tìmlöôïng tin chöùa trong moät tin ai

- Khi m kyùhieäu cuûa nguoàn tin coùxaùc suaát khaùc nhau vaøkhoâng ñoäc laäp thoáng keâvôùi nhau thì

(3.1)

- Löôïng tin chöùa trong moät daõy x goàm n kyùhieäu: n laàn löôïng tin cuûa 1 kyùhieäu (vìñaúng xaùc suaát).

(3.2)

Ñôn vòlöôïng ño thoâng tin thöôøng ñöôïc choïn laøcô soá2.

- Löôïng ti n chöùa trong moät a i baát kyø, do ñaúng xaùc suaát neân moãi tin ai ñeàu coùxaùcsuaát laøp(ai)=1/m:

(3.3)

Löôïng trò rieâng: Ñoái vôùi moãi tin xi cuûa nguoàn x ñeàu coùmoät löôïng tin rieâng ñöôïcñaùnh giaùbaèng:

(3.4)

Löôïng tin coøn laïi cuûa x i sau khi ñaõnhaän ñöôïc y j ñöôïc xaùc ñònh baèng xaùc xuaát haäunghieäm.

)(log) / ( j

i

ii y

x p y x I (3.5)


4/41



Löôïng t in töông hoã:Ñeåxaùc ñònh löôïng tin veàxi chöùa trong y i chuùng ta caàn phaûi bieát löôïng tin ban ñaàucuûa xi vaølöôïng tin coøn laïi cuûa xi sau khi ñaõnhaän ñöôïc y i , löôïng tin töông hoåseõlaøhieäu cuûa hai löôïng tin naøy.

)(log) / ()() / (

i

j

i

iiiii x p

y

x p

y x I x I y x I

(3.6)

Löôïng tin tr ung bình: laølöôïng tin töùc trung bình chöùa trong m kyùhieäu baát kyøcuûanguoàn ñaõcho (t r òt rung bình theo taäp hôïp) .

n

i

ii x p x p X I 0

)(log)()( (3.7)

10 , x x X vôùi xaùc xuaát 01,0)(,99,0)( 10 xP xP

081,0)01,0(log01,0)99,0(log99,0)( 22 X I [ bi t/ kyùhi eäu]

trong khi ñoùlöôïng tin cuûa x1 khaùlôùn: 5,6)01,0(log)( 21 x I [ bi t/kyùhi eäu]

Löôïng t in töông hoãtrung bình:

XY x p

y x p y x pY X I

)(

) / (log),(),( (3.8)

Löôïng tin r ieâng tr ung bình coùñieàu k ieän:

XY

x y y x p X Y I ) / log(),() / ( (3.9)

b. Entroâpi nguoàn rôøi r aïc (Löôïng tin trung bình): laømoät thoâng soáthoáng keâcô baûn

cuûa nguoàn. Veàyùnghóa vaät l yùñoäbaát ngôøvaølöôïng thoâng tin traùi ngöôïc nhau, nhöngveàsoáño chuùng baèng nhau:

)(log)()()( x p x p X I X H (3.10)Ví dụ về entropy

Trướ c hết, ta cần tìm hiểu một ví dụ về khái niệm độ do của một lượ ng tin dựa vào cácsự kiện hay các phân phối xác suất ngẫu nhiên như sau:

Xét 2 biến ngẫu nhiên X và Y có phân phối

X={1, 2, 3, 4, 5} có phân phối đều hay p(X=i) = 1/5. Y={1, 2} cũng có phân phối đều hayp(Y=i) = 1/2.

Bản thân X và Y đều mang một lượ ng tin và thông tin về X và Y chưa biết do chúng làngẫu nhiên. Do đó, X hay Y đều có một lượ ng tin không chắc chắn và lượ ng tin chắc chắn,tổng của 2 lượng tin này là không đổi và thực tế nó bằng bao nhiêu thì ta chưa thể biết.Lượ ng tin không chắc chắn của X (hay Y) đượ c gọi là Entropy.

Tuy nhiên, nếu X và Y có tươ ng quan nhau thì X cũng có một phần lượ ng tin không chắcchắn thông qua lượ ng tin đã biết của Y (hay thông tin về Y đ ã đượ c biết). Trong trườ ng hợpnày, một phần lượ ng tin không chắc chắn của thông qua lượ ng tin đã biết của Y đượ c gọilà Entropy có điều k iện.


5/41



Nhậnxétvề đ ộ đo lượng tin

Rõ ràng, ta cần phải xây dựng một đại lượ ng toán học rất cụ thể để có thể đo đượ c lượ ng tinchưa biết từ một biến ngẫu nhiên. Một cách trực quan, lượ ng tin đó phải thể hiện đượ c cácvấn đề sau:

Một sự kiện có xác suất càng nhỏ thì sự kiện đó ít xảy ra, cũng có ngh ĩ a là tính không chắcchắn càng lớn. Nếu đo lượ ng tin của nó th ì nó cho một lượ ng tin không biết càng lớn.Một tập hợp các sự kiện ngẫu nhiên (hay Biến ngẫu nhiên) càng nhiều sự kiện có phân phốicàng đều thì tính không chắc chắn càng lớn. Nếu đo lượ ng tin của nó thì sẽ đượ c lượ ng tinkhông biết càng lớn. Hay lượ ng tin chắc chắn càng nhỏ.

Một phân phối xác suất càng lệch nhiều (có xác xuất r ất nhỏ và r ất lớn) thì tính khôngchắc chắn càng ít và do đó sẽ có một lượ ng tin chưa biết càng nhỏ so với phân phối xácsuất đều hay lượ ng tin chắc chắn của nó càng cao.

Vậy Entropy là một đại lượ ng toán học dùng để đo lượ ng tin không chắc (hay lượ ng ngẫu

nhiên) của một sự kiện hay của phân phối ngẫu nhiên cho trướ c. Hay một số tài liệutiếng anh gọi là Uncertainty Measure.

Ñaëc tính cuûa Ent roâpi H (X):

+ H(X) 0: luoân luoân döông hoaëc baèng 0.

+ H(X) = 0 khi nguoàn tin chæcoùmoät kyùhieäu (moät kyù hieäu xuaát hieän hoaøi01log;1)( i x p )

+ H(X)max khi xaùc suaát xuaát hieän caùc kyùhieäu cuûa nguoàn baèng nhau.

10 , x x X coù2 tin vaøcoùxaùc xuaát laø 10 , PP

Vaäy theo luaät phaân boáxaùc xuaát : 0110 11 PPPP

)1log()1(logloglog)( 00001100 PPPPPPPP X H

1,00)( 10 PP X H

12log)(2

1)( 2max10max X H PP X H

Entroâpi ñoàng thôøi: laøñoäbaát ñònh trung bình cuûa moät caëp (x,y) baát kyøtrong tích.

XY

y x p y x p XY H ),(log),()( (3.11)

Entroâpi coùñieàu k ieän:

XY

y x p y x pY X H ) / (log),() / ( (3.12)

Toác ñoäthieát laäp tin cuûa nguoàn:


6/41



Vd: Con ngöôøi vì keát caáu cuûa cô quan phaùt aâm haïn cheáneân 1 giaây chæphaùt aâm ñöôïc töø5

ñeán 7 kyùhi eäu aâm t ieát tr ong lôøi noùi thoâng thöôøng, tr ong khi ñoùmaùy ñ ieän baùo coùtheåtaïo

ra töø50 tôùi 70 kyùhi eäu tr ong 1 g iaây.

) [bps] (3.13)

+ H (X): Entroâpi cuûa nguoàn.+ n 0 : Soákyùhieäu ñöôïc laäp trong moät ñôn vò thôøi gian (t ốc độ symbol).

Thoâng löôïng cuûa keânh C laølöôïng thoâng tin toái ña keânh cho qua ñi trong moät ñôn vòthôøi gian maøkhoâng gaây sai nhaàm. C[bps]

Thoâng thöôøng R < C, ñeåR tieán tôùi gaàn C ta duøng pheùp maõhoaùthoáng keâtoái öu ñeåtaêng Entroâpi .

3.2.1 Thoâng löôïng keânh r ôøi r aïc khoâng nhieãu:

C = R max = n 0 . H(X) max [bps] (3.14)

Ñoädö cuûa nguoàn:

max)(

)(1

X H

X H r (3.15)

Duøng phöông phaùp maõhoùa toái öu ñeågiaûm ñoädö cuûa nguoàn ñeán khoâng hoaëc söûduïngñoädö cuûa nguoàn ñeåxaây döïng maõhieäu choáng nhieãu.

3.2.2 Thoâng löôïng keânh r ôøi r aïc coùnhieãu:

Toác ñoälaäp tin cöïc ñaïi trong keânh coùnhieãu:

Cô soácuûa maõm laøsoácaùc kyùhieäu khaùc nhau trong baûng chöõcuûa maõ. Ñoái vôùi maõnhòphaân m = 2.

Ñoädaøi cuûa maõn laøsoákyùhieäu trong moät töømaõ. Neân ñoädaøi caùc töømaõnhö nhau ta

goïi laømaõñeàu, ngöôïc laïi laømaõkhoâng ñeàu. Ñoädaøi trung bình cuûa boämaõ:

N

i

ii n x pn1

)( (3.18)

+ p(x i ): xaùc suaát xuaát hieän tin x i cuûa nguoàn X ñöôïc maõhoùa.

+ n i : ñoädaøi töømaõtöông öùng vôùi tin x i .


7/41



+ N : Toång soátöømaõtöông öùng vôùi toång soácaùc tin cuûa x i

Toång hôïp caùc toåhôïp maõcoùtheåcoùñöôïc: N0=2n vôùi m= 2, neáu:

+ NN0 ta goïi laømaõñaày.

Ñieàu kieän chung cho caùc loaïi maõlaøquy luaät ñaûm baûo söïphaân taùch caùc toåhôïp maõ.

Ñieàu kieän rieâng cho caùc loaïi maõ:

+ Ñoái vôùi maõthoáng keâtoái öu: ñoädaøi trung bình toái thieåu cuûa maõ.+ Ñoái vôùi maõsöûa sai: khaûnaêng phaùt hieän vaøsöûa sai cao.

Khái niệm về bảng mã không tách được

Bảng mã không tách đượ c là bảng mã mà khi mã hóa thông báo Msg ta sẽ nhận đượ c một

dãy các từ mã ws, và khi giải mã dãy các từ mã ws thì ta có thể nhận đượ c nhiều thôngbáo Msg khác nhau.

Ví dụ: Xét biến ngẫu nhiên X={x1, x2, x3, x4} có bảng mã W={w1=0, w2=1, w3=01,w4=10}.

Giả sử thông báo nguồn có nội dung: x1x2x3x4x3x2x1. Khi đó dãy mã tươ ng ứng viết từW có dạng: 0101100110.

Nếu giải mã tuần tự từ trái qua phải ta nhận k ết quả: x1x2x1x2x2x1x1x2x2x1. Nhưng nếubằng phươ ng pháp khác ta có thể nhận đượ c k ết quả: x3x3x4x3x4 và nhiều thông báo khác

nữa.Nhận xét: Bảng mã giải mã không tách đượ c là bảng mã mà trong đó tồn tại ít nhất mộttừ mã này là mã khóa của một hay nhiều từ mã khác trong bộ mã (ví d ụ t ừ mã w1=0 hayw2=1 là mã khóa của w3).

Bảng mã tách được

Bảng mã tách đượ c là bảng mã mà khi mã hóa thông báo Msg ta sẽ nhận đượ c dãy các từmã ws, và khi giải mã dãy các từ mã ws thì ta chỉ nhận đượ c một thông báo duy nhất là Msg

ban đầu.

Ví dụ: Xét biến ngẫu nhiên X={x1, x2} có bảng mã tươ ng ứng W={w1=0, w2=01}.

Phươ ng pháp giải mã đượ c sử dụng như sau: chỉ giải mã khi nào đã nhận đượ c đoạn mãvới độdài bằng độ dài của từ mã dài nhất.

Giả sử dãy mã nhận đượ c (cần giải mã) là:0010000101001.

Sử dụng phươ ng pháp giải mã trên ta nhận đượ c duy nhất dãy thông báo gốc:


8/41



x1x2x1x1x1x2x2x1x2.

Có thể chi tiết hóa các bướ c giải mã dãy từ mã trênnhư sau:

Nhận được đoạn 00 -> Giải ra x1 , còn lại 0.Nhận tiếp 1 ->01 -> Giải ra x2.Nhận tiếp 00 -> Giải ra x1, còn lại 0.Nhận tiếp 0 -> 00 -> Giải ra x1, còn lại 0.Nhận tiếp 0 -> 00 -> Giải ra x1, còn lại 0.Nhận tiếp 1 -> 01 -> Giải ra x2.Nhận tiếp 01 -> Giải ra x2.Nhận tiếp 00 -> Giải ra x1, còn lại 0.Nhận tiếp 1 -> 01 -> Giải ra x2.Kết quả dãy thông báo là:

x1x2x1x1x1x2x2x1x2.

Kết luận: Bảng mã tách đượ c là bảng mã mà trong đó không tồn lại từ mã này là mã khóatừ mã khác, tuy nhiên vẫn có thể tồn tại từ mã này là tiền tố (phần đầu) của từ mã kia.

Caùc baûng maõ:

a1 a2 a3 a4 a5 00 01 100 1010 1011

Maët taïo ñoämaõ:

n

K

K

K imab

1

1 hay

1

0

n

K

K

K imab

aK : tròrieâng cuûa caùc kyùhieäu thöùk keåtöøtraùi sang phaûi vôùi nhòphaân aK= 0 hay 1;

k: soáthöùtöïcuûa kyùhieäu trong töømaõ.

m: laøco soácuûa maõ(nhòphaân m=2 ).

trong soátöømaõnhòphaân coù4 kyùhieäu: 1011

1321212021 3210 b

Moãi töømaõseõhoaøn toaøn xaùc ñònh khi ta xaùc ñònh ñöôïc caëp (n,b) cuûa noù. Nhö vaäy moãi töømaõñöôïc bieåu dieãn 1 caëp toïa ñoä(n,b) duy nhaát.

Ñoàhình maõ:

Cho pheùp trình baøy goïn hôn caùc baûng maõ, ñoàng thôøi noùcho ta thaáy roûcaùc tín chaátquan troïng cuûa maõhieäu moät caùch tröïc quan hôn.

Caây maõvôùi boämaõ: 00, 01, 100, 1010, 1011.


9/41



Hình 3.3: Caây Maõ

Haøm caáu truùc cuûa maõ:

2 Khi ni = 2G(ni) = 1 Khi ni = 3

2 Khi ni = 4

ª Ñieàu kieän ñeåmaõphaân taùch ñöôïc :

Maõcoùtính Preâphic (Pref ix) .

- Baát kyødaõy caùc töømaõnaøo cuûa boämaõcuõng khoâng ñöôïc truøng vôùi phaàn ñaàn moät daõy

töømaõkhaùc cuûa cuøng boämaõ.- Maõcoùtính preâphi c neáu baát kyøtoåhôïp maõnaøo cuõng khoâng phaûi laøpreâphic cuûa moät

toåhôïp naøo khaùc cuøng boämaõ. Ñieàu kieän ñeåmaõcoùtính preâphic :

n

j

j jG1

1)(2 (m=2) (3.19)

Maõheäthoáng coùtính pheâphic ñöôïc xaây döïng töømoät maõpreâphic naøo ñoùbaèng caùchlaáy moät soátoåhôïp cuûa maõpreâphic goác laøm toåhôïp sô ñaúng vaøcaùc toåhôïp coøn laïi laømtoåhôïp cuoái. Gheùp caùc toåhôïp sô ñaúng vôùi nhau vaønoái moät trong caùc toåhôïp cuoáivaøo thaønh toåhôïp maõmôùi goïi laømaõheäthoáng coùtính preâphic.

Laáy boämaõpreâphic 1, 00, 010, 011 - Caùc toåhôïp sô ñaúng: 1, 00, 010

- Moät toåhôïp cuoái: 011

Goïi :

- n1, n2,…, ni laøñoädaøi caùc toåhôïp sô ñaúng

- 1, 2,…, k laøñoädaøi caùc toåhôïp cuoái

1 2

3

4

0

0 0

0

0

1

1

1

1

a1(00)a2(01)

a3 (100)

a4(1010) a5(1011)


10/41



- Soácoùtheåcoùñöôïc caùc daõy gheùp baèng caùc toåhôïp sô ñaúng coùñoädaøi n j baèng :

g(n j) = g(n j-n1) + g(n j-n2) + …+ g(n j-ni) (3.20)

Trong ñoù: n j 1; g(0) = 1 ; g(n j < 0) = 0

Neáu chæduøng moät toåhôïp cuoái , haøm caáu truùc maõseõlaø:

G(n j) = g(n j- ) (3.21)

+ Töø(3.20) vaø(3.21) ta coùcoâng thöùc truy chöùng tính G(n j)

G(n j) = G(n j-n1) + G(n j-n2) + …+ G(n j-ni) (3.22)

Trong ñoù: n j +1; G(n j = ) = 1; G(n j


11/41



g(1) = g(0) + g(-1) = 1 1daõy :1

g(2) = g(1) + g(0) = 2 2 daõy :11 vaø00

g(3) = g(2) + g(1) = 3 3 daõy :111, 100, 001

g(4) = g(3) + g(2) = 5 5daõy :1111, 0000, 1100, 0011, 1001

+ Töø(3.21) ta coù:G(n j) = 2g(n j-3) trong ñoùn j 4; G(3) =1; G(


12/41



ii n

i

nu p

12)(2 (3.27)

Böôùc 5: Töømaõ(ni, bi) seõlaøni kyùhieäu nhòphaân (keåtöøsoáleûtr ôûñi ) cuûa soánhòphaân Pi

laäp maõcho nguoàn U coùsô ñoàthoáng keâ:

Ui U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7pi 0,34 0,23 0,19 0,1 0,07 0,06 0,01

Ui pi pi Soánhòphaân Pi ni TöùmaõU1 0,34 0 0,0000 2 00U2 0,23 0,34 0,0101 3 010U3 0,19 0,57 0,1001 3 100U4 0,1 0,76 0,1100 4 1100U5 0,07 0,86 0,11011 4 1101U6 0,06 0,93 0,11101 5 11101U7 0,01 0,99 0,1111110 7 1111110

+ Pi ñöôïc tính theo böôùc 2: i = 1 P1 = p0 = 0 i = 2 P2 = p1 = 0,34 i =3 P3 = p1 + p2 = 0,57

+ Ñoåi Pi sang soánhòphaân:

Pi = 0,34 x 2 0,68 0 x 2

1,36 1- 1

0,36 x 2 0,72 0 x 2

1,44 1Khi ñoùPi = 0,34 0,0101

Pi = 0,86 x 2

1,72 1- 1

0,72

x 2 1,44 1

- 1 0,44 x 2

0,88 0 x 2

1,76 1- 1

0,76

x 21,52 1

Khi ñoù Pi = 0,86 0,11011

+ Tính ni theo (3.27)

ni = 1 2-1 = 0,5 > pi=0,34 bòloaïi


13/41



ni = 2 2-2 = 0,25 < pi=0,34 < 3

1-2=0,5 thoûa maõn vaäy ta laáy ni = 2 suy ra töømaõ: 00ni = 3 2

-3 = 0,125 < pi=0,23


14/41



p3 = 0,19p4 + p5 + p6 + p7 = 0,24Ñoächeânh leäch : -0,05

- Caùch 2:

p3 + p4 = 0,29p5 + p6 + p7 = -0,14Ñoächeânh leäch : 0,15

Vaäy ta choïn caùch thöùnhaát.

n= 41,2501,0506,0407,031,0219,0223,0234,07

1

x x x x x x xn pi

ii

p = 98,041,2

37,2)(

n

U H

Coùtheåveõcaây maõcho TKTÖ Fano.

Nhaän xeùt veàmaõthoáng keâtoái öu Fano:

Öu: Vôùi caùch chia nhoùm ñoàng xaùc suaát, söï laäp maõthống keâtoái öu ñoàng thôøi cuõng laømaõpreâphic.

Khuyeát: Khoâng cho pheùp laäp maõduy nhaát, nghóa laøcoùnhieàu maõtöông ñöông veàtính kinhteá.

Ví duï: Ñoái vôùi nguoàn tin döôùi ñaây ít nhaát coùhai caùch chia coùtính kinh teánhö sau:

Ui pi Caùch

chia 1

Töømaõ Caùch chia

2

Töømaõ

U1 0,19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0U2 0,19 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1U3 0,19 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1U4 0,19 1 0 1 0 1 0 1 0U5 0,08 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0U6 0,08 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1U7 0,08 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7

1

1

i

iin pn (0,19x2)+(0,19x3)+(0,19x3)+(0,19x2)+(0,08x3)+(0,08x4)+(0,08x4)=2,46

7

1

2

i

iin pn (0,19x3)+(0,19x3)+(0,19x2)+(0,19x2)+(0,08x4)+(0,08x4)+(0,08x3)=2,46

Cuøng moät boämaõneân H(u 1 ) = H (u 2 ) suy ra 1 = 2 . Ñeåkhaéc phuïc nhöôïc ñieåm cuûa maõthoáng keâtoái öu Fano ta nghieân cöùu maõthoáng keâ

toái öu Huffman.


15/41



0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

u1 u2

u3 u4

u5 u6

u7

Caùch chia 2 Caùch chia 1Hình 3.4: Caây maõtheo maõthoáng keâtoái öu Fano

Theo Huffman ñeåcoùmoät boämaõPreâphic coùñoädaøi töømaõtoái thieåu, ñieàu kieän caàn vaøñuûlaøthoûa maõn 3 tính chaát sau:

1- Tính thöùtöïñoädaøi caùc töømaõ: p i p j vôùi i


16/41



Töømaõñöôïc ñoïc ngöôïc töøñaàu ra veàñaàu vaøo. Cuõng coùtheåduøng caây maõñeåxaùc ñònhmaõHuffman:

0

0

0 1

1

10

0,42

1

0,42

0

0 1

1

0,14

0,07

u1(0,34) u2(0,23)u3(0,19)

u4(0,1)

u5(0,07)

u6(0,06) u7(0,01)

Hình 3.5: Caây maõtheo maõthoáng keâtoái öu Huffman

Tính kinh teá: = 0,98Maëc duøtoái öu hôn so vôùi maõSannon vaøFano , nhöng khi boämaõnguoàn coùnhieàu tin thì

boämaõtrôûneân coàng keành. Khi ñoùngöôøi ta keát hôïp 2 phöông phaùp maõhoùa: MaõHoáp man +maõñeàu.

ui Pi MaõHoáp man Maõñeàu Töømaõu1 0,5 0 0u2 0,25 0 0,5

110

u3 0,0315 1 1 00 11000u4 0,0315 0,125 01 11001u5 0,031 0 10 11010u6 0,031 11 11011

u7 0,0157 0,25 000 111000u8 0,0157 001 111001u9 0,0157 010 111010u10 0,0157 0,125 011 111011u11 0,0156 1 100 111100u12 0,0156 101 111101u13 0,0155 110 111110u14 0,0155 111 111111

H(u) =

4

1 2

logi

ii p p -[0,5log20,5 + 0,25log20,25 + 0,125log20,125]

4

1i

ii n pn (0,5x1) +(0,25x2) + ((0,125x5) +0,125x6 = 0,5 +0,5+0,625+0.75

n

u H )(


17/41



Bài tập chương

Câu 1:

Tính Entropy cho một nguồn mã ASCII gồm 128 symbol. Giả sử xác suất xuất hiệncủa các symbol này là bằng nhau và độc lập thống k ê với nhau.

Câu 2:

Tìm entropy, độ dư nguồn và tốc độ nguồn cho một nguồn tin gồm có 4 symbol (A, B,C, D) phát ra với tốc độ symbol là 1024 baud. Biết xác suất xuất hiện các symbol nhưsau :

Trong điều kiện nguồn k hông có nhớ (memoryless) ngh ĩa là các symbol xuất hiện độclập không phụ thuộc.

Câu 3:

Cho bộ mã: 00, 010, 100, 1100, 1101, 11101a. Bộ mã này thuộc loại mã gì? (Đều, không đều, đầy, vơi).

b. Biểu diễn mã theo phương pháp: cây mã & đồ h ình k ết cấu.c. Tính:

n

1 j

jG(j)m

Và k ết luận mã có tính Prefic không?

d. Lấy 00, 010, 1101, 1100 làm tổ hợp sơ đẳng; 100 và 11101 làm tổ hợp gốc.Tính G(8) , G(9) và liệt k ê các từ mã.

Câu 4: Cho nguồn tin U có 10 lớp tin có xác suất tương ứng:P(u1) = 0.25; P(u2) = 0.12; P(u3) = 0.03; P(u4) = 0.1; P(u5) = 0.04;

P(u6) = 0.15; P(u7) = 0.05; P(u8) = 0.17; P(u9) = 0.01; P(u10) = 0.08;

a. Lập mã thống k ê tối ưu theo Fano.

b. Lập mã thống k ê tối ưu theo Huffman.c. Và tính tính kinh tế của hai mã trên.

Câu 5: Cho nguồn tin “ can kiem liem chinh chi cong vo tu “a. Lập mã thống k ê tối ưu theo mã đều và Huffman.

b. Và tính tính kinh tế của hai mã trên.

Symbol Probability

A 0.5

B 0.2

C 0.2

D 0.1


18/41



(M aõphaùt hieän vaøsöûa sai )

Daïng sai laàm cuûa maõhieäu ñöôïc truyeàn tuyøthuoäc tính chaát thoáng keâcuûa keânh:- Sai ñoäc laäp daãn ñeán sai ngaãu nhieân: 1 hoaëc 2 sai.

- Sai töông quan daãn ñeán sai chuøm (sai cuïm).

Ngöôøi ta thoáng keâ: sai ngaãu nhieân xaåy ra 80%, sai chuøm xaûy ra 20%.

Xaùc suaát xuaát hieän moät töømaõn kyùhieäu coùt sai baát kyø:

p(n,t) = Cntps

t(1-ps)n-t (4.1)

Soátöømaõcoùtheåcoù: N0 = 2n. (m= 2)

Soátöømaõmang tin: N = 2k.

Soátöømaõkhoâng duøng ñeán: 2n –2k (soátoåhôïp caám)

Ñeåmaïch coùtheåphaùt hieän heát i loãi thì phaûi thoûa maõn ñieàu kieän:

E

nk

1

22 (4.2)

Trong ñoù

E = E1 + E2+ . . . + Ei (4.3)

E 1 , E 2 , . . E i laøtaäp hôïp caùc vector sai 1, 2 . . .i loãi.

Ñeåphaùt hieän vaøsöûa heát sai 1 loãi ta coù:

1

22 n

nk

(4.4)

Troïng soáHamming cuûa vector t : kyùhieäu, w(t) ñöôïc xaùc ñònh theo soácaùc thaønhphaàn khaùc khoâng cuûa vector.

: t 1 = 1 0 0 1 0 1 1 w(t 1 ) = 4

Khoaûng caùch giöõa 2 vector t 1 , t 2 : kyùhieäu, d(t 1 , t 2 ) ñöôïc ñònh nghóa laøsoácaùc thaønhphaàn khaùc nhau giöõa chuùng.

t 2 = 0 1 0 0 0 1 1 d(t 1 , t 2 ) = 3 chuùng khaùc nhau ôûvòtrí 0, 1 vaø3.

Khoaûng caùch Hamming giöõa 2 vector maõt 1 , t 2 baèng troïng soácuûa vector toång t 1 t 2 :d(t 1 , t 2 )=w(t 1 t 2 ) .

t1 = 1 0 0 1 0 1 1 t2 = 0 1 0 0 0 1 1

t 1 t 2 = 1 1 0 1 0 0 0 w(t 1 t 2 ) = 3 = d(t 1 , t 2 )

Ñieàu kieän ñeåmoät maõtuyeán tính coùtheåphaùt hieän ñöôïc t sai:d t+1 (4.5)


19/41



t = 1 d 2; t = 2 d 3; t = 5 d 6

Ñieàu kieän ñeåmoät maõtuyeán tính coùtheåphaùt hieän vaøsöûa ñöôïc t sai:

d 2t + 1 (4.6)

t = 1 d 3; t = 2 d 5; t = 5 d 11

ñoái vôùi boämaõ(5,2) coùtroïng soáHamming w =2 ta xaùc ñònh ñöôïc heäsoásai khoâng

phaùt hieän ñöôïc:

p’ = C21pqC3

1 pq2 + C22p2C3

2p2q (4.7)

neáu p = 10-3 p’ 6p2 = 6.10-6 nghóa laøcoù10 6 bit truyeàn ñi, 10 3 bit bòsai thì coù6 bitsai khoâng phaùt hieän ñöôïc.

- Goïi töømaõphaùt ñi laøT.

- Goïi töømaõnhaän ñöôïc laøR.

- Goïi töømaõsai do ñöôøng truyeàn gaây ra laøE .

phöông trình ñöôøng truyeàn: R = T E

T = R E (4.8)E = T R

Ñoái vôùi maõnhòphaân 3 phöông trình treân töông ñöông nhau.

Vector sai: (4.9)

: E = (1 0 0 1 0 1 0) sai ôûvòtrí 0, 3, 5

Trong caùc heäthoáng truyeàn soálieäu coù2 cô cheásöûa loãi:

Cô cheáARQ: cô cheáyeâu caàu phaùt laïi soálieäu moät caùch töïñoäng (khi phaùt hi eän sai ). cô cheánaøy coù3 daïng cô baûn:

- Cô cheáARQ döøng & chôø(stop and wai t ARQ)

- Cô cheáARQ quay ngöôïc N vector (N go back ARQ).

- Cô cheáARQ choïn löïa vieät l aëp laïi.

Caùc cô cheánaøy ñaõñöôïc hoïc trong moân “Truyeàn soálieäu” .

Cô cheáFEC (Forward Error Control): phaùt hieän vaøtöïsöûa sai söûduïng caùc loaïi maõsöûa loãi.

- Khi coùsai ñôn (1 sai) ngöôøi ta thöôøng duøng caùc l oaïi maõnhö: maõkhoái tuyeán tính ,maõHamming , maõvoøng …

- Khi coùsai chuøm (> 2 sai) ngöôøi ta thöôøng duøng caùc loaïi maõnhö: maõBCH , maõtích chaäp , maõTr el l is , maõTubor , maõTubor Block , maõtoång hôïp GC …


20/41



Giaûsöûñaàu ra cuûa moät nguoàn tin laømoät daõy caùc bit nhòphaân 0 vaø1. trong tröôøng

hôïp maõkhoái daõy thoâng tin nhòphaân ñöôïc chia thaønh daõy caùc thoâng tin coùchieàu daøi coáñònh. Thöôøng ñöôïc goïi laømessage. Moãi message, kyùhieäu laøu goàm coùk bi t thoâng tin. Vaäytoång coäng coù2 k message khaùc nhau vaøchuùng coùtheåñöôïc theåhieän laøcaùc boäVector thaønh

phaàn, trong ñoùmoãi thaønh phaàn vector laø0 hay 1. Boäphaän maõhoùa theo moät quy luaät naøoñoùseõaùnh xaïmessage u thaønh moät vector n thaønh phaàn v (n>k), v ñöôïc goïi laøtöømaõ(codeword) cuûa message u . öùng vôùi 2 k töømaõnaøy ñöôïc goïi laømoät maõkhoái. Ñeåmaõkhoái höõuhieäu, 2 k töømaõluoân laøcaùc töømaõphaân bieät. Do ñoùseõcoùmoät aùnh xaï1:1 giöõa moät messageu vaømoät töømaõv .

Ñoái vôùi moät maõkhoái coùhai töømaõvaømoãi töømaõcoùchieàu daøi n , vieäc löu laïi baûngmaõñeåphuïc vuïcho vieäc giaûi maõseõgaây khoùkhaên khi 2 k lôùn. Do ñoùcoùmoät loaïi maõkhoái coùcô cheáhoaït ñoäng deãdaøng hôn, coùtheåaùp duïng vaøo thöïc teá, ñoùlaømaõkhoái tuyeán tính. Vôùicaáu truùc cuûa maõkhoái tuyeán tính. Söïphöùc taïp cuûa quaùtrình maõhoùa vaøgiaûi maõgiaûm ñi raátnhieàu.

Khi caùc bits mang tin vaøcaùc bits kieåm tra ñöôïc phaân thaønh töøng khoái taùch baïch, söïmaõhoùa & giaûi maõcoùtheåtieán haønh theo töøng khoái baèng caùc töømaõrieâng reõ& söûduïng caùc pheùp tính cuûa ñaïi soátuyeán tính.

Ñònh nghóa: maõkhoái ñoädaøi n & k bi ts mang tin ñöôïc goïi laømaõkhoái tuyeán tínhC(n,k) neáu vaøchæneáu 2 k töømaõlaäp thaønh khoâng gian vector n chieàu 2 n treân tröôøngGalois sô caáp GF(2).

Vì maõkhoái tuyeán tính C(n,k) coùkhoâng gian con tuyeán tính k chieàu cuûa khoâng gian

vector n chieàu, neân toàn taïi k töømaõñoäc laäp tuyeán tính g 0 , g 1 , …, g k-1 trong C , sao chomoãi töømaõtrong C laøtoåhôïp tuyeán tính cuûa k töømaõñoù:

v=t = u 0 g 0 + u 1 g 1 + …+ u k-1 g k-1 (4.10)

Trong ñoùu i = 0 hoaëc 1 vôùi 1 i k-1

Goïi G laøma traän sinh cuûa C :

g0 g00 g01 . . . g0,n-1g1 = g10 g11 . . . g1,n-1… . . . .. . .

gk-1 gk-1,0 gk-1,1 . . . gk-1,n-1

Trong ñoù: gi = (gi0, gi1, …., gi,n-1,) vôùi 0 i k-1

Goïi u laøthoâng baùo caàn maõhoùa:

u = u0 , u1,. …, uk-1 , (4.12)

Vôùi ui = 0 hoaëc 1 vaø0 i k-1

Goïi t laøtöømaõphaùt ñi : t = t 0 t 1 ….t n-1 (4.13)

G(k,n) = (4.11)


21/41



Vôùi t j = 0 hoaëc 1 vaø0 j k-1

Khi bieát ma traän sinh G ta coùtheåtaïo ñöôïc töømaõphaùt ñi :

t = u.G = [u0 u1 …uk-1]

1

1

0

.

..

k g

g

g

(4.14)

Töømaõphaùt ñi t töø(4.14) chöa phaûi laømaõkhoái tuyeán tính.

1000101

0100111

0010110

0001011

3

2

1

0

g

g

g

g

G

Neáu u=(1101) laøthoâng tin seõñöôïc maõhoùa, töømaõtöông ñöông cuûa noùtheo (4.14).

3210 .1.0.1.1 ggggv

v = t =1101000 + 0110100 + 0000000 + 1010001 = 0001101

Maõkhoái tuyeán t ính heäthoáng coùcaáu t r uùc:

Phaàn theâm vaøo ñeåkieåm tra n-k bits Phaàn mang tin k bits

Khi ñoùta caàn tìm ma traän sinh daïng chính taéc G:

),(~ nk G

g0g1

…

gk-1

=

P00 P01 … P0,n-k-1 1 0 … 0P10 P11 … P1,n-k-1 0 1 …0

………

Pk-1 Pk-1,1 …Pk-1,n-k-1 0 0 …1

Trong ñoùp ij = 0 hoaëc 1 vaø

Goïi I k laøkyùhi eäu cuûa ma tr aän ñôn vòk× k xaùc ñònh. Khi ñoù:G(k,n) = [ p(k,n-k),I K] (4.16)

Khi ñoùt = u.~G seõlaømaõhoùa khoái tuyeán tính. (4.17)

Theo (4.15) & (4.17) caùc soáhaïng cuûa t laø:

tn-k+i = ui vôùi 0 i k -1 (4.18)

t j = u0p0j + u1p1j + u2p2j + …+ uk-1pk-1,j (4.19)

Töø(4.18) ta thaáy k bits beân phaûi cuûa töømaõt truøng vôùi k bits thoâng t in u0, u1, …, uk-1vaø (n-k) bi ts beân traùi laøcaùc bits kieåm tra.

Xeùt maõkhoái tuyeán tính C(7,4) coùthoâng baùo caàn maõhoùa u = (u 0 , u 1 , u 2 , u 3 ) & töømaõphaùt ñi töông öùng

t = (t 0 , t 1 , t 2 , t 3 , t 4 , t 5 , t 6 ). Kh i ñoù:

Cho G(4,7) daïng khoâng chính taéc ta ñi tìm G(4,7) daïng chính taéc:

(4.15)


22/41



G(4,7)=

1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 0 1 00 0 0 1 1 0 1

(1)(2)(3) )7,4(

~G =

(4)

1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 01 1 1 0 0 1 01 0 1 0 0 0 1

1’=12’=23’=1+34’=1+2+4

Cho tin caàn phaùt ñi: u = (u0, u1, u2, u3) = (1 0 1 1) ta tìm töømaõphaùt ñi theo 2 coângthöùc (4.14) & (4.17) töøñoùruùt ra nhaän xeùt

Gut . (u0, u1, u2, u3)

1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 0 1 00 0 0 1 1 0 1

t0 = u0.1 + u1.0 + u2.0 + u3.0 = u0 = 1t1 = u0.1 + u1.1 + u2.0 + u3.0 = u0 + u1= 1+0 = 1t2 = u0.0 + u1.1 + u2.1 + u3.0 = u1 + u2= 0+1 = 1

t3 = u0.1 + u1.0 + u2.1 + u3.1 = u0 + u2 + u3= 1+1 + 1 = 1t4 = u0.0 + u1.1 + u2.0 + u3.1 = u1 + u3= 0+1 = 1t5 = u0.0 + u1.0 + u2.1 + u3.0 = u2= 1t6 = u0.0 + u1.0 + u2.0 + u3.1 = u3= 1

Vaäy ta coùtöømaõphaùt ñi t = (1 1 1 1 1 1 1) khoâng coùdaïng maõkhoái tuyeán tính.

~~

.Gut (u0, u1, u2, u3)1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 01 1 1 0 0 1 01 0 1 0 0 0 1

t0 = u0.1 + u1.0 + u2.1 + u3.1 = u0+ u2 + u3 = 1 + 1 +1 = 1

t1 = u0.1 + u1.1 + u2.1 + u3.0 = u0 + u1 + u2 = 1+ 0 + 1 = 0t2 = u0.0 + u1.1 + u2.1 + u3.1 = u1 + u2 + u3 = 0+1+ 1 = 0t3 = u0.1 + u1.0 + u2.0 + u3.0 = u0 = 1t4 = u0.0 + u1.1 + u2.0 + u3.0 = u1 = 0t5 = u0.0 + u1.0 + u2.1 + u3.0 = u2= 1t6 = u0.0 + u1.0 + u2.0 + u3.1 = u3= 1

Vaäy ta coùtöømaõphaùt ñi: ~t ( 1 0 0 1 0 1 1) coùdaïng maõkhoái tuyeán tính.

Cho u = 0 0 0 0 1 1 1 1 ta seõlaäp ñöôïc toåhôïp 16 maõphaùt ñi töông öùng vôùi caùc tincaàn phaùt.

Vôùi moïi ma traän G(k,n) vôùi k haøng ñoäc laäp tuyeán tính sao cho moïi vector thuoäckhoâng gian coùcô sôûlaøhaøng cuûaG tröïc giao vôùi H vaøngöôïc laïi, nghóa laø

G.H T =0 (4.20)

H chính laøma traän kieåm tra.

Ñònh l yù: Vector t goàm n soáhaïng laømoät töømaõcuûa maõkhoái tuyeán tính C(n,k) sinh ra bôûi H neáu vaøchæneáu

t.H T = 0 (4.21)


23/41



Khi ñoùma traän H daïng chính taéc seõcoùdaïng:

T k n P I xnk n H )(~

1 0 ... 0 p00 . . . pk-1,00 1 ... 0 p01 . . . pk-1,1.. . . .. .

0 0 ... 1 p0, n-k-1 . pk-1,n-k-1

Töømaõphaùt ñi töông öùng daïng maõkhoái tuyeán tính seõlaø:

t = [t0 t1 . . . tn-k-1 u0 u1 . . . uk-1] (4.23)neân töø(4.21) ta coù:

t j + u0p0j + u1p1j + . . . + uk-1pk-1,j = 0vôùi 0 j n-k-1 (4.24)

: TöøG(4,7) ta hoaùn vòhaøng thaønh coät ta seõñöôïc ma traän kieåm tra daïng chínhtaéc:

7,3~

H 1 0 0 1 0 1 10 1 0 1 1 1 00 0 1 0 1 1 1

Xaùc ñònh ma traän sinh G hoaëc P, hoaëc ma traän kieåm tra H hoaëc ma traän PT.

Döïa vaøo coâng thöùc t = U.G hoaëc t.H T = 0 ñeåthieát laäp caùc töømaõtöông öùngvôùi caùc thoâng baùo u ñaõbieát.

Ta coùsô ñoàmaõhoùa, maõkhoái tuyeán tính döïa treân phöông trình (4.18) vaø(4.19) nhösau:

u0 u1 uk-1

p00 p01

+

p01 p11

+ +

t0 t1 tn-k-1

....

...

pk-1,0

P0,n-k-1

Pk-1,1P1,n-k-1

Pk-1,n-k-1

1

2

ñeán keânh truyeàn

: Thanh ghi dòch+

: Boäcoäng Modulo Kñaàu vaøo

p11

pij =1 : Ngaén maïchpij =0 : hôûmaïch

Thoâng baùo u = (u 0 u 1 . . . u k-1 ) ñöôïc dòch vaøo thanh ghi thoâng tin ñoàng thôøi ñöôïc ñöa ñeánkeânh truyeàn (khoùa K ôûvò trí 1 t rong k nhòp) . Sau khi thoâng baùo ñöôïc dòch toaøn boävaøo

(4.22)

Input u


24/41



thanh ghi thoâng tin, (n-k) bi ts kieåm tra cuõng ñöôïc taïo ra töøngoõra cuûa (n-k) boäcoäng modulo-2 nhieàu ñaàu vaøo. Sau ñoùôûnhòp thöù(k+1) khoùa K ôûvòtrí 2 , neân caùc bits kieåm tracuõng ñöôïc dòch noái tieáp theo caùc bi ts thoâng baùo ra keânh truyeàn. Phöùc taïp cuûa boämaõhoùa tyûleävoái ñoädaøi cuûa töømaõ.

u0 u1 u3

+ + +

t0 t1 t2

u2

1

2

k

Ñeán keânh truyeàn

u

Hình 4.2:

+ Goïi töømaõphaùt ñi : t = (t0 t1 . . . . tn-1)

+ Goïi töømaõthu ñöôïc: r = (r0 r1 . . . . rn-1)

+ Vector sai : e = (e0 e1 . . . en-1)

Trong ñoùe i = 1 neáu t i r i vaøe i = 0 neáu t i = r i

Ñeåphaùt hieän sai ta duøng thuaät toaùn thöûSyndrome:

(4.25)goàm thaønh phaàn

+ S=0 neáu vaøchæneáu r laøtöømaõphaùt (r t) hoaëc laøtoåhôïp tuyeán tính cuûa caùc töømaõ(goïi l aøvector sai khoâng phaùt hi eän ñöôïc) .

+ S 0 thì r khoâng phaûi laøtöømaõphaùt ñi (r t) vaødo ñoùcoùsai (e 0).

Töøma traän kieåm tra ),(~

nk n H thaønh phaàn cuûa Syndrome nhö sau:

S0 = r 0 + r n-kp00 + r n-k-1p10 + . . . + r n-i pk-1,0S1 = r 1 + r n-kp01 + r n-k-1p11 + . . . + r n-i pk-1,1

…………… (4.26)Sn-k-1 = r n-k-1 + r n-kp0,n-k-1 + r n-k+ip11 + .+ r n-i pk-1,n-k-1Töø(4.26) töông töïnhö maïch maõhoùa, ta coùmaïch tính Syndrome nhö sau:


25/41



r 0 r 1 r n- k

p 0 0

+

p 0 1

+ +

....

p k-1,0P k-1,1

P k-1,n-k-1

P 0,n-k-1

r n- 1

s o s 1 s n-k-1

...

Hình 4.3: Maïch tính Syndrome Tính Syndrome cuûa maõkhoái tuyeán tính vôùi ma traän H ñaõcho vôùi vector thu

1 0 00 1 00 0 11 1 00 1 11 1 11 0 1

= (S0 S1 S2)

r 0 r 1 r 3

+ + +

r 5

so s1 s2

r 2 r 4 r 6

Khi xaùc ñònh ñöôïc moät giaùtròSyndrome S = (S 0 , S 1 . . . . S n-k-1 ) ta coùñeán 2 k vector sai

töông öùng, nhöng ta chæchoïn caùc vector sai naøo coùtroïng soánhoûnhaát laøvector sai coùnhieàukhaûnaêng nhaát. Trong thöïc teákhi tìm ñöôïc Syndr ome ta thaáy S tr uøng vôùi coät naøo cuûama t raän kieåm t ra H thì coùsai ôûvòt r í t öông öùng. “ 1 1 1” truøng vôùi coät thöùsaùu tínhtöøtraùi sang cuûa ma traän H, ta keát luaän vector nhaän ñöôïc r sai ôûvòtrí r 5. ta chævieäc ñoåi tròsoácuûa töø0 sang 1 hoaëc ngöôïc laïi laøñöôïc vector nhaän ñöôïc ñuùng


26/41



r = 1 0 0 1 0 0 1 e = 0 0 0 0 0 1 0

t = 1 0 0 1 0 1 1

Böôùc 1: Tính Syndrome

Böôùc 2: Tìm phaàn töûdaãn truøng vôùi , phaàn töûdaãn naøy ñöôïc giaûthieát laøvector saigaây bôûi keânh truyeàn.

Böôùc 3: Giaûi maõtín hieäu thöùr :

+ + +

to t1 t2

Boäñeám cho caùc vector thöùr

Maïch tính Syndrome

Maïch toåhôïp tính vector sai

r

r 0 r 1

. . . r n-1

s0 s1 sn-k-1. . .

r 0

e0r 1

e1r n-1

en-1

Hình 4.5: Boägiaûi maõtoång quaùt cho maõkhoái tuyeán tính

Maõhamming laølôùp maõkhoái ñaàu tieân nhaém vaøo vieäc söûa sai maõkhoái vaøcaùc bieántheåcuûa noùñöôïc söûduïng roäng raõi trong vieäc truyeàn thoâng soáhoùa vaølöu tröõsoálieäu.

Vôùi moïi soánguyeân döông m 3 , toàn taïi maõHamming vôùi caùc thoâng soásau:

- Chieàu daøi töømaõ: .

- Chieàu daøi phaàn tin: .

- Chieàu daøi phaàn kieåm tra:

- Khaûnaêng söûa sai:

- Ma traän kieåm tra vôùi caùc coät laømoät vector chieàu khaùc khoâng.

Döôùi daïng caáu truùc heäthoáng

Trong ñoù laøma traän ñôn vò vaøma traän goàm coät, moãi coät laøvector chieàu coùtroïng soálaø hoaëc lôùn hôn.


27/41



vôùi , ma traän kieåm tra cuûa maõ ñöôïc vieát döôùi daïng.

1 0 0 1 0 1 10 1 0 1 1 1 00 0 1 0 1 1 1

Trong thöïc teáñeåvieäc taïo vaøgiaûi maõHamming

moät caùch ñôn giaûn ngöôøi ta ñoåi vòtrí caùc coät trong ma traän . Khi ñoùcaùc bi t kieåm tra xen keõvôùi caùc bi t mang tin chöùkhoâng coøn tính chaát khoái, töø(1*) ta coù:

0 0 0 1 1 1 10 1 1 0 0 1 11 0 1 0 1 0 1

Ñeåvieäc taïo maõñôn giaûn ta choïn caùc bit kieåm tra ôûcaùc vòtrí töông öùng vôùi , nghóa laøcaùc vòtrí thöùnhaát, thöùhai & thöùtö cuûa caùc kyùhieäu töømaõ:

(3*)

Ñeåtaïo maõ:

0

111

011

101

001

110

010

100

),,,,,,(. 3210

uuu zu y x H t T

Tin caàn phaùt ñi :

Vaäy töømaõphaùt ñi seõlaø: khoâng coùdaïng maõkhoái.

Sô ñoàtaïo maõ töông töïnhö sô ñoàtaïo maõkhoái tuyeán tính nhöngñôn giaûn hôn.

(1*)

(2*)


28/41



r 0 r 1 r 3

+ + +

r 2

x y u0 z u1 u2 u3

Tin caàn phaùt

Giaûi maõ cuõng gioáng nhö giaûi maõ nhöng ñôn giaûn hôn nhôøsöûduïng ma traän kieåm tra coùdaïng 2. Khi ñoùvieäc xaùc ñònh vòtrí kyùhieäu sai töôngñoái thuaän tieän.

Phía thu nhaän ñöôïc töømaõ: ta tính Syndrome :

),,(

111

011

101

001

110

010

100

),,,,,,(. 2106543210 S S S r r r r r r r H r s T

r 0 r 1 r 3

+ + +

r 5r 2 r 4 r 6

Tín hieäuthu r

maïch chuyeån ñoåi soánhòphaân ra thaäp phaâni

s2s1 s0

1 2 3 4 5 6 7


29/41



Tín hieäu thu ñöôïc:

neáu ñoåi ra thaäp phaân l aø6 . ta nhaän thaáy S truøng vôùi coät soá6 cuûa ma traän H ,coùnghóa kyùhieäu sai laøkyùhieäu thöù6(r) ñaàu ra thöù6 cuûa sô ñoàgiaûi maõseõcoùi=1 . Ta chæcaàn ñaûo bit thöù6 theo thuaät toaùn:

r ir ir ..

r =

r neáu i = 1 r neáu i = 0

r =1

i = 1

0

0

r =0

(ñaõñaûo bi

Hình 4.8

Maõvoøng naèm trong hoïmaõkhoái tuyeán tính, ñöôïc söûduïng roäng raõi do coù2 öu ñieåm noåi

baät:

- Vieäc maõhoùa vaøtính toaùn Syndrome coùtheåñöôïc thöïc hieän moät caùch deãdaøng quacaùc thanh ghi dòch coùnoái voøng hoài tieáp.

- Caáu truùc ñaïi soácuûa maõvoøng cho pheùp söûduïng nhieàu phöông phaùp ñeåthöïc hieänmaõhoùa.

Ñònh nghóa: Moät maõkhoái tuyeán tính ñöôïc goïi laømaõvoøng. Neáu moãi khi dòch

voøng moät vector maõtrong C thì vector môùi taïo thaønh cuõng laømoät vector maõthuoäcC .

Ña thöùc maõvoøng.

(4.27)

Tr ong ñoù: vector maõ

- Neáu ≠ thì baäc cuûa laø


30/41



- Neáu thì baäc cuûa nhoûhôn

Moãi ña thöùc maõ trong moät maõvoøng coùtheåñöôïc bieåu dieãn döôùi daïng:

(4.28)

Ña thöùc sinh cuûa maõvoøng laømoät thöøa soácuûa:

(4.29)Moät maõvoøng goàm nhieàu ña thöùc sinh:

: Maõvoøng coù

Coùhai ña thöùc sinh:

Böôùc 1: (4.30)

Böôùc 2: Tính phaàn dö töø: (4.31)

Tr ong ñoù: (4.32)

Böôùc 3: Vector maõphaùt ñi:

(4.33)

Nghóa laø: (4.34)

Khi ñoù:

Töømaõphaùt ñi coùdaïng khoái tuyeán tính.

Xeùt maõvoøng öùng vôùi ña thöùc sinh: vaøtin caàn maõhoùa:

Suy ra:

:

Tìm phaàn dö

Nghóa laøtöømaõphaùt ñi trong ñoù laøcaùc bits kieåm tra.


31/41



Ma traän sinh ñöôïc taïo ra töøña thöùc sinh baèng caùch dòch voøng:

G(k,n)=

g0 g1 …gn-k 0 0 … 00 g1 …gn-k-1 gn-k 0 …0

. . .. . .0 0 …g0 g1 g2 …gn-k

Xeùt maõvoøng coù ta coùma traän sinh

G(k,n)=

1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 00 0 1 1 0 1 00 0 0 1 1 0 1

(1)(2)(3)(4)

~

G (k,n)=1 1 0 1 0 0 00 1 1 0 1 0 01 1 1 0 0 1 01 0 1 0 0 0 1

(1’) 1(2’) 2(3’) 1+3(4’) 1+2+4

Tính

Trong ñoù:

+ laøphaàn dö coùdaïng:

Taïo caùc ña thöùc maõ:

Saép xeáp ña thöùc maõnaøy thaønh haøng cuûa moät ma traän ta ñöôïc moät ñathöùc sinh coùdaïng chính taéc nhö sau:

~G (k,n)=

b00 b01 ... b0,n-k-1 1 0 0 ... 0b10 b11 ... b1,n-k-1 0 1 0 ... 0. . .. . .

bk-1,0 bk-1,0 ... bk-1,n-k-1 0 0 0 …1 (4.37)

Xeùt maõvoøng coùma traän sinh , l aäp ma traän sinh G daïngchính taéc theo nguyeân taéc treân.

Maõvoøng suy ra neân laàn löôït laø: ,chia laàn löôït cho ta ñöôïc:

(4.35)

(4.36)


32/41



x3 x3+x+1 x3+x+1 1=0 +x +1=

x4 x3+x+1

x4+x2+x x=0 +x2 +x=

x5 x3+x+1 x5+ x3+x2 x2+1=0 + x3 +x2

x3 + x+1 0 + x2 +x+1 =

x6 x3+x+1

x6+ x4+x3 x3+ x+1=)0 + x4 + x3

x4 + x2+x0 + x3 +x2+x

x3 +x+1 0 +x2 + 1=

Saép xeáp 4 ña thöùc maõnaøy thaønh 4 haøng cuûa ma traän sinh ta seõñöôïc matraän sinh daïng chính taéc.

suy ra:

1010001

1110010

0110100

1101000

)7,4(~

G

Goïi

laøma traän kieåm tra ta coù

, theo

ta coù

cho neân neáuta bieát ta seõ tìm ñöôïc Maët khaùc: neân ta coù vì baäc cuûa laø hoaëc nhoûhôn neân khoâng xuaát hieän trong . Neáu chuùng ta môûroäng sang traùi thì caùc heäsoácuûa phaûi baèng khoâng. Do ñoùta coù:

k

oi

jini ot h vôùi k n j 1 (4.38)


33/41



Vì neân töøma traän , ta coùtheåxaùc ñònh ma traän kieåm tra daïng chính taéc nhösau:

),(~

nk n H

1 0 0 . . . 0 b00 b01 … bk-1,0

0 1 0 . . . 0 b01 b10 … bk-1,1

. . . .0 0 0 . . . 1 b0,n-k-1 b1,n-k-1 …bk-1,n-k-1

Hay (4.40)

~

G (4,7)=

110 1000 011 0100 111 0010 101 0001

100 1011

)7,3(~

H 010 1110

001 0111

Ta coùtheåxaùc ñònh ma traän kieåm tra daïng chính taéc töøma traän ñoái ngaãu cuûa laø ñöôïc ñònh nghóa nhö sau:

(4.41)

Chuùng ta deãdaøng nhaän ra raèng cuõng laømoät haøm cuûa Khi ñoùseõtaïo ra moät maõvoøng

vôùi ma traän gioáng nhö ma traän sinh hk hk-1 hk-2 ………h0 0 0

= 0 hk hk-1 ………. h1 h0 0 (4.42)0 0 0 ………. hk hk-1 h0

Xeùt maõvoøng vôùi ña thöùsinh Ña thöùc kieåm tra laø:

11

1

)(

1)(

24

3

77

x x x x x

x

xg

x xh

Suy ra:

Töø(4.42) ta coù:

H(3,7)=1 0 1 1 1 0 00 1 0 1 1 1 00 0 1 0 1 1 1

(1)(2)(3)

(4.39)


34/41



)7,3(~

H

1 0 0 1 0 1 10 1 0 1 1 1 00 0 1 0 1 1 1

1’ = 1+32’ = 23’ = 3

Vaäy töø(4.42) ta cuõng xaùc ñònh ñöôïc ma traän kieåm tra H coùkeát quaûnhö ñöôïc xaùcñònh töøma traän sinh chính taéc

~

G .

4.4.4 Sô ñoàmaõhoùa maõvoøng:

a) Maõhoùa theo ña thöùc sinh

Ñeåmaõhoùa maõvoøng theo daïng chuaån chính taéc ta tieán haønh theo caùc böôùc sau;

Nhaân tin

Tính phaàn dö töø:

)()()()(.

)(

)(. xb xg xa xu x

xg

xu x k nk n

Thieát laäp töømaõphaùt ñi :

Caùc böôùc naøy thöïc hieän baèng moät maïch chia goàm moät thanh ghi dòch taàng coùvoøng hoài tieáp döïa treân bieåu thöùc sinh:

Coång

g1 g2

b0 + + + +b1 b2 bn-k-1

gn-k-1

1

2

U(x)

TöømaõG

bi : taàng thöùi cuûathanh ghi dòch

gi : keát noái haykhoâng keát noái

gi =0 : khoâng keátnoái

gi =1: noái

gn-k=1

taàng thöù cuûa thanh ghi dòch keát noái hay khoâng keát noái

gi = 0 khoâng noáigi ≠ 0 noái Coäng modulo-2

Hoaït ñoäng cuûa maïch maõhoaù:

khi môûcoång (K hoùa G ôûvòtr í 1) , k bit tin u0, u1, u1,…, uk-1 (öùng vôùi ña thöùc maãu:u0 + u1 x+ …. + uk-1x

k-1 ) ñöôïc dòch vaøo maïch töøñaàu cöïc phaûi töông ñöông vôùi vieäc nhaân

g0=1


35/41



u(x) vôùi xn-k . Ngay sau khi dòch xong k bi t tin vaøo maïch, noäi dung thanh ghi trôûthaønhphaàn dö cuûa pheùp chænh xn-k.u(x) cho g(x). Noùi caùch khaùc (n-k) bi ts cuûa thanh ghi chínhlaøcaùc bits kieåm tra.

Ngaét ñöôøng hoài tieáp baèng caùch ñoùng coång (Khoùa G chuyeån sang vòtr í 2).

Dòch caùc bi ts kieåm tra ra vaøgöûi vaøo keânh truyeàn. (n-k) bits cuûa thanh ghi chínhlaøcaùc bits kieåm tra naøy (töùc laøb0, b1, …., bn-k-1) phoái hôïp vôùi k bi ts tin, seõtaïo ra thaønhmoät vector maõ.

Maõhoùa maõvuøng vôùi ña thöùc sinh giaûsöûcaàn maõhoùa tin u, vôùi ucoùdaïng sau Khi caùc bit tin ñöôïc dòch vaøo thanh ghi, noäi dung thanh ghi laàn löôïtnhö baûng sau (noái ñöôøng hoài tieáp vaømôûcoång khoùa G ôûvòtr í 1).

Sau 4 laàn dòch noäi dung cuûa thanh ghi laø Nhö vaäy vector maõñöôïc thieát laäp coùdaïng öùng vôùi ña thöùc maãu laø

Coång

b0 + +b1 b2

1

2

GTöømaõphaùt ñi

U(x)

1 0 1 1

g0 =1 g1 =1 g2 =1 g3 =1

Hình 4.10

Soálaàn

Input Noäi dung thanhghi

Noäi dung thanh ghi keátieáp

dòch b0 b1 b2 b’ 0=b2 u b’1=b0 ub 2 b

’2=b1

0 0 0 0 0 0 01 1 0 0 0 1 1 02 1 1 1 0 1 0 13 0 1 0 1 1 0 04 1 1 0 0 1 0 0

Phöông phaùp naøy söûduïng thanh ghi taàng.Ta bieát moãi vector maõcoùdaïng Do & neân töø

k

i

jin jt h

0

0 vôùi

Ta coùtheåvieát:


36/41



1

0

.k

i

jini jk nt ht vôùi (4.43)

Ñoái vôùi moät maõvoøng ôûdaïng chính taéc caùc thaønh phaàn cuûa moãi vectormaõchính laøcaùc bit tin. Öùng vôùi k bits tin ta seõcoù bits kieåm tra

Döïa vaøo phöông trình (4.43) ta xaây döïng ñöôïc sô ñoàmaïch maõhoùa:

Coång 2

t n- k

+ +

t n-k-1 t n- 2Coång 1 t n-1

+ +

h k- 1 h k- 2 h 2 h 1

U(x)

. . .

. . .

Ngoõra ñeán keânhtr uy eàn

h 0 =1

h k =1

Caùc ñöôøng hoài tieáp döïa theo caùc heäsoá trong caùc ña thöùc kieåm tra vôùi .

Ban ñaàu coång 1 môû& coång 2 ñoùng, k bi ts tin cuûa

ñöôïc dòch ñoàng thôøi vaøo thanh ghi vaøra keânh truyeàn.

Ngay sau khi dòch xong k bits tin vaøo thanh ghi , coång 1 ñoùng vaøcoång 2 môû.Taïi ñieåm P xuaát hieän bi t kieåm tra ñaàu tieân

(4.44)

Dòch thanh ghi moät laàn nöõa bi t kieåm tra ñaàu ñöôïc dòch ra keânh truyeàn,ñoàng thôøi ñöôïc dòch vaøo thanh ghi . L uùc naøy taïi ñieåm P xuaát hieän bit kieåm tra thöù

Tieáp tuïc laëp laïi cho ñeán khi bi ts kieåm tra ñöôïc hình thaønh vaøñöôïcdòch ra keânh truyeàn. Sau ñoùmôûcoång 1 & ñoùng coång 2 ñeåmaõhoùa tin keátieáp.

Ñoái vôùi maõcoùsoábi t kieåm tra nhieàu hôn soábi t tin, duøng phöông phaùp maõhoùadöïa treân coùtính kinh teáhôn. Ngöôïc laïi ta duøng phöông phaùp maõhoùa döïa treân

Xeùt maõvoøng C(7,4) coùña thöùc sinh , khi ñoùña thöùc kieåm tra coùdaïng:

42

3

7

11

1)( x x x x x

x xh

Vector maõtruyeàn ñi:

Töø(4.43) ta coù jii

i t h 7

3

0

.

Suy ra:


37/41



Giaûsöûtin caàn maõhoùa: khi ñoù + Bit kieåm tra ñaàu tieân töông öùng vôùi j = 1 laø:

+ Bit kieåm tra thöù2 töông öùng j=2 laø:

+ Bit kieåm tra thöù2 töông öùng j=3 laø:

Nhö vaäy vector maõvoøng vôùi tin laø

Coång 2

t3

+ +

t4 t5Coång 1 tn-1

Data

Ngoõra ñeán keânhtruyeàn

h2 =1 h1 =1 h0 =1

Hình 4.124.4.5. Giaûi maõvoøng

Böôùc 1: Tính Syndrome

Böôùc 2: Doøsai & söûa sai.

a- Tính Syndrome:

Vector thu nhaän ñöôïc: (4.45)

Maët Khaùc: (4.46)

Syndr ome S(x) laøphaàn dö cuûa pheùp chia r(x) cho g(x) , noùlaøbaäc nhoûhôn hoaëc baèng (n - k-1) vaøgoàm (n-k) phaàn töû.

Maïch tính Syndrome töông töïnhö maïch maõhoùa (n-k) taàng, chækhaùc laør(x) ñöôïcdòch vaøo ñaàu cöïc traùi cuûa thanh ghi. Tröôùc khi dòch r(x) vaøo caùc taàng cuûa thanh ghiñöôïc ñaët veàkhoâng. Ngay sau khi toaøn boär(x) ñaõñöôïc dòch heát vaøo thanh ghi, noäidung cuûa thanh ghi chính laøSyndrome S(x).

Coång

S0+ +S1 Sn-k-1+ +

g1 g2

gn-k-1

gn-k=1

. . .

g0=1


38/41



Tính cuûa maõvoøng coùña thöùc sinh

Coång

S0+ S1 S2+

g0 =1g1 =1 g2 =1

Ta seõso saùnh keát quaûtính Syndrome töøcoâng thöùc tính vôùi keát quaûbieåu hieän treâncaùc thanh ghi dòch.

Giaûsöûvector thu ñöôïc

101

111

011

110

001

010

100

Ta laäp baûng traïng thaùi thanh ghi dòch:

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1

0 1 1 1 1 0 1

Vaäy keát quaûtính theo hai phöông phaùp laønhö nhau.

Goïi laøtöømaõphaùt ñi vaø

(4.47)laømaãu sai , khi ñoùña thöùc thu coùdaïng:


39/41



Do (4.48)

Neáu s(x) =0 thì e(x) =0 hoaëc truøng vôùi moät vector maõ. Neáu truøng vôùi vector maõthì ñoùlaøsai khoâng phaùt hieän ñöôïc. Khi thì töø coùtheåñoái chieáu vôùi baûng

phaùt hieän & söûa sai doøra Trong ví duï treân khi truøng vôùi trong ma traän kieåm tra thöùtöï, khiñoù nghóa laø vaäy töømaõnhaäñuùng laø:

+

Thanh ghi ñeäm

Thanh ghi Syndrome

Maïch doømaãu sai

Coång

Coång

Coång

Coång

+

Coång

Vector thñaõsöûa sai

r(x)

. . .

. . .

+

Boägheùpkeânh +

Coång

r(x)

Coång

S0 S1 S2+

Coång

Ngoõvaøo

Ngoõra

t(x)=t(x)

Caáu truùc voøng laøm cho maïch giaûi maõtrôûthaønh ñôn giaûn. Tuy nhieân maïch giaûi maõMeggitt toán nhieàu thôøi gian ñeågiaûi maõxong 1 vector, vì vieäc giaûi maõñöôïc thöïc hieän tuaàn


40/41



töï cho töøng digi t. Vaäy khi muoán caáu hình maïch caøng ñôn giaûn thì phaûi chaáp nhaän toác ñoälaøm vieäc caøng chaäm vaøngöôïc laïi.

Bài tập chương

Câu 1:Cho mã vòng (7,4) có đa thức sinh g(x) = 1 + x 2 + x 3. Tin cần mã hóa u = (0110).

Hãy thực hiện mã hóa theo ma trận H(3,7).

Vẽ sơ đồ và lập bảng biểu thị nội dung thanh ghi .

Câu 2:

Cho mã vòng (7,4) có đa thức sinh g(x) = 1 + x2 + x3. Cho vecto thu r = 0110111. Tính

Syndrome của mã vòng với g(x) = 1 + x2 + x3 & lập bảng biểu thị nội dung thanh ghi hiện tại

& thanh ghi k ế tiếp theo r.

Câu 3:Thiết lập mã Hamming có m=3 :

Hãy tạo từ mã phát đi biết u= (1011).

Phía thu nhận đựơc từ mã r = (1011011) đúng hay sai.Từ mã đúng là g ì?

Câu 4:

Cho mã vòng (7,4) có đa thức sinh g(x) = 1 + x + x3. Tin cần mã hóa u = (1110).

Hãy thực hiện mã hóa theo dạng không chính tắc và chính tắc.

Lập bảng biểu thị nội dung thanh ghi hiện tại và thanh ghi k ế tiếp

Câu 5:Cho mã vòng (7,4) có đa thức sinh g(x) = 1 + x + x3.

Tìm đa thức kiểm tra H dạng không chính tắc và chính tắc.

Cho vecto thu r = 1011011. Tính Syndrome của mã vòng với

g(x) = 1 + x+ x3 & lập bảng biểu thị nội dung thanh ghi hiện tại & thanh ghi k ế tiếp theo r.


41/41


2_

t

2_

t

Documents

123tailieu.com Tai Lieu Mon Nguyen Ly Truyen Thong Chuong 2