195

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

หวขอเรอง 1. การหาคาความเคนทเกดขนในคาน 2. ความสมพนธระหวางความเคนดดกบโมเมนตดด สาระส าคญ 1. การพจารณาหาคาความเคนทเกดขนในคาน ใหตดสวนหนงของคานออก ผวดานบนจะเกดความเคนอด สวนดานลางจะเกดความเคนดง ระหวางสวนบนกบสวนลางจะมชนทไมเกดแรงดงและแรงอดเรยกวา แนวแกนสะเทน การหาคาความเคนทเกดขนในคานหาไดจาก สตร

Ey

2. เมอคานเกดความเคนดดคานกจะเกดโมเมนตดดเกดขนดวย จงเกดความสมพนธระหวางความเคนดดกบโมเมนตดดขน ดงนนการหาคาความเคนดดและโมเมนตดด สามารถหาไดจาก

สตร Z

M

วตถประสงค 1. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนทเกดขนในคานไดอยางถกตอง 2. เพอใหผเรยนสามารถค านวณหาคาความเคนดดและโมเมนตดดโดยใชความสมพนธระหวางความเคนดดกบโมเมนตดดไดอยางถกตอง

196

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

เนอหาสาระ 1. ความเคนดดในคาน ( Bending stress in beam ) เมอคานถกแรงภายนอกมากระท าหรอคานรบน าหนกไว จะท าใหเกดมแรงตานทานเกดขนในคานนน ผลของแรงภายนอกและแรงคควบทมากระท ากบคาน โดยทวไปจะท าใหเกดแรงปฏกรยาดงน

1) ความเคนดด (bending stress) เกดขนทหนาตดของคานทตงฉากกบแกนตาม ความยาวของคานนน 2) ความเคนเฉอน (shearing stress) กจะเกดขนทหนาตดของคานทตงฉากกบตามความยาวของคานนนดวย

3) การโกงของคาน (defection) ซงจะกระท าตงฉากตามความยาวของคานนน 1.1 ความเคนดดลวน (Pure bending) ความเคนดดลวน คอคานหรอสวนของคานทถกกระท าดวยแรงคควบหรอโมเมนตดดทปลายทงสองขางโดยไมมแรงอนเลย จะท าใหแรงเฉอนมคาเปนศนยตลอดทงคาน ซงจะท าใหเกดความเคนดดเพยงอยางเดยว ดงรปท 1

รปท 1 ความเคนดดลวน

197

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

1.2 ความเคนดดธรรมดา ( Ordinary bending ) ความเคนดดธรรมดา คอคานทรบแรงหรอน าหนกตามแนวตงฉากกบแนวของคานนน ซงจะมผลท าใหเกดทงความเคนดดและความเคนเฉอนในคาน เนองจากวามทงแรงเฉอนและโมเมนตดดเกดขนทหนาตดของคานนน ดงรปท 2

รปท 2 ความเคนดดธรรมดา

ขอสมมตฐานทใชในการหาคาความเคนดดทเกดขนในคาน

1. กอนทจะมแรงมากระท ากบคานนน คานจะตองมลกษณะตรงอยเสมอตลอดคาน 2. คานทใชจะตองท ามาจากวสดทเปนเนอเดยวกนตลอดทงคาน 3. ความเคนทเกดขนในคาน จะตองมขนาดไมเกนคาขดจ ากดความยดหยนของคานทจะ

รบได 4. คาโมดลสของความยดหยน ทงทดานรบความเคนดงและรบความเคนอดในคาน

จะตองมคาเทากนเสมอระนาบหนาตดของคานทงกอนและหลงการพจารณา จะตองเปนระนาบหนาตดเดมเสมอ 5. ความโกงของคานทเกดขนจะตองมคานอยมากเมอเทยบกบความยาวของคานนน

198

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

ใหพจารณาคานตรงทมคาโมเมนตดดมากระท าทปลายคานทง 2 ขาง ซงจะท าใหคาน

เกดการโคงงอขน ถาตองการหาคาของความเคนดดทเกดขนในคานใหท าการดดสวนหนงของคานออกมายาวเทากบ dx ดงรป เนองจากผลของการดดจะท าใหผวดานบนของคานเกดความเคนอด สวนผวทางดานลางจะเกดความเคนดง ในระหวางดานบนและดานลางของคานจะมชนทไมยดตวและหดตว ซงความเคนทเกดขนในชนนจะมคาเปนศนย เราเรยกแนวทความเคนมคาเปนศนยนวา แนวแกนสะเทน (neutral axis) ในทนกคอคาแนว ab ซงมคาเทากบความยาวของ dx ก าหนดให p เปนรศมของความโคงของคานทถกดดจากแนวแกนสะเทน และใหพจารณาคานทชนใด ๆ ce ซงอยหางจากแนวแกนสะเทนเปนระยะทาง y ลากเสน bd ขนานกบ oc จะไดวา ab=cd=dx

สวนทยดออกของคานในชนนกคอ de

ความเครยด dx

de)(

แต ddx และ ddbe ydde

y

d

yd

แตความเครยด E

y

E หรอ

E

y

Ey

รปท 3 ความเคนทเกดขนในคาน

199

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

ตอไปพจารณาหนาตดของคานดงรปท 3 ความเคนบนหนาตดทระยะ y จาก แนวแกนสะเทน

yE

ถาให เปนพนทเลก ๆ ซงอยหางจากแนวแกนสะเทนเปนระยะทาง y เนองจาก รปท 6-4 แรง = ความเคน พนท

dAyE

dAdF

โมเมนตของแรงนรอบแกนสะเทน

dAy

EydAy

ErdFM 2

dAy

EM 2

IE

M

เมอ dAyI 2 เปนโมเมนตของความเฉอย (moment of inertia) ของรปหนาตด

ของคานรอบแกนสะเทนนน โมเมนตของแรงนรอบแกนสะเทน

dAy

EydAy

ErdFM 2

dAy

EM 2

dAy

EM 2

200

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

IE

M

เมอ dAyI 2 เปนโมเมนตของความเฉอย (moment of inertia) ของรปหนา

ตดของคานรอบแกนสะเทนนน แต y

E

ฉะนน yI

M ; y

I

M

ถาให c เปนระยะจากแนวแกนสะเทนของหนาตดนน ไปยงขอบบนสดและลางสด ของหนาตดของคานนน เรากจะไดความสมพนธวา

c

IM

หรอ c

I

M

คาของ c

I ในสตรขางตนเรยกวา โมดลสหนาตดและใชสญลกษณเปน Z

จะไดสมการ z

M

สรปเนอหา ความเคนดดลวน (Pure bending) ความเคนดดลวน คอคานหรอสวนของคานทถกกระท าดวยแรงคควบหรอโมเมนตดดทปลายทงสองขางโดยไมมแรงอนเลย จะท าใหแรงเฉอนมคาเปนศนยตลอดทงคาน ซงจะท าใหเกดความเคนดดเพยงอยางเดยว ความเคนดดธรรมดา (Oridinary bending) ความเคนดดธรรมดา คอคานทรบแรงหรอน าหนกตามแนวตงฉากกบแนวของคานนน ซงจะมผลท าใหเกดทงความเคนดดและความเคนเฉอนในคาน เนองจากวามทงแรงเฉอนและโมเมนตดดเกดขนทหนาตดของคานนน

201

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

คานเมอถกโมเมนตดดกระท าจะเกดความเคนดดขนในคาน เรยกวา Bending Stress มทงความเคนดงและความเคนอด

สตรทใชพจารณาความเคนนคอ I

Mc เรามขนตอนการวเคราะหดงน

1. หาคาโมเมนตภายใน ท าการตดหนาตดสวนทตงฉากกบแกนความยาวของคาน ณ ต าแหนงซงเกดการดด เราตองรของต าแหนงแกน N.A. เราใชไดอะแกรมของโมเมนตดด หาคาโมเมนตดดสงสดทใชส าหรบหาความเคนดดสงสด

2. ค านวณหาคาโมเมนตความเฉอยของพนทหนาตดรอบแกนสะเทน

หาคาความเคนดดสงสดจากสตร I

Mc

ตวอยางท 1 คานแบบชวงเดยวมความยาว 3 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง 100 มลลเมตร สง 150 มลเมตร มแรงกระท า 45 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบขางหนง 1 เมตร จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกดขนในคาน

วธท า 0MA ; 1*45R3 B

153

45R B kN

301545RA kN

301*301*RM Amax mkN

จากสตร I

Mcmax

9-6

202

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

เมอ 752

150

2

hc mm 28125000150100

12

1bh

12

1I 33 4mm

แทนคา28125000

751030 6

max

80 2mmN

ตอบ ความเคนดดสงสดในคานเทากบ 80 นวตน / ตารางมลลเมตร

ตวอยางท 2 คานยนอนหนงมความยาว 2 เมตร รบน าหนกแบบกระจายสม าเสมอ Wกโลนวตน / เมตร ตลอดทงคานเปนรปวงกลมมเสนผาศนย 35 มลลเมตร ถาคานท าดวยเหลกทมคาความเคน ทยอมใหไมเกน 80 2mm

N จงหาขนาดของแรงกระจาย (W) นทคานจะรบได

วธท า

2

wLM

2

max

m.wkN22

2w 2

เมอ mm5.172

35c,mm7574.73661)3(

64d

64I 442

จากสตร

I

Mc

เมอ 2mm

N80

7574.73661

5.1710w280

6

5.17102

7574.7366180w

6

203

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

mkN16836.0

mN36.168

ตอบ ขนาดของแรงกระจาย

mN36.168

204

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

กจกรรมการเรยนการสอน

ขนตอนการสอนหรอกจกรรมของคร

ขนน า 1. กลาวทกทายนกศกษาแลวน าภาพของคานแบบตาง ๆ และแรงทมากระท ากบคานแบบตาง ๆ มาใหนกศกษาดแลวถาม ขนสอน 1. แจงจดประสงครายวชา หวขอทจะตองเรยน การวดการประเมนผล ขอตกลงตาง ๆ แกนกศกษา 2. บรรยายเนอหาประกอบแผนใสในหนวยท 7 3. สาธตหลกการค านวณประกอบแผนใสตวอยางท 1 และ 2 4. เปดโอกาสใหนกศกษาถาม และใหนกศกษาท าแบบทดสอบหนวยท 7 ขนสรป 1.ใหนกศกษาชวยกนสรปเนอหา งานทมอบหมายหรอกจกรรม 1. ใหศกษาเอกสารประกอบการเรยนในเรอง ทจะสอนตอไป

2. ใหไปศกษาทบทวนเรองทเรยน และท าแบบฝกหด

สอการเรยนการสอน 1. เอกสารประกอบการสอนหนวยท 7 2. รปภาพ 1, 2 และ 3

205

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

การวดผลและประเมนผล 1. สงเกตความสนใจผเรยน 2. ความรบผดชอบตองานทมอบหมาย 3. การใหความรวมมอในการท ากจกรรมระหวางเรยน 4. ใหท าแบบทดสอบ

206

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

แบบฝกหด

1. คานยน A-B มความยาว 3 เมตร รบน าหนกแบบกระจายสม าเสมอ F กโลนวตน / เมตร ตลอดทงคานเปนรปวงกลมมเสนผาศนย 48 มลลเมตร ถาคานท าดวยเหลกทมคาความเคนไมเกน 75 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) นทคานจะรบได

2. คานดงรปมความยาว 3 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง85 มลลเมตร สง100 มลลเมตร มแรงกระท า 50 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบ จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกดขนในคาน

F kN/m

A B

3 m

48 mm

50 kN

1 m 2 m

85 mm

100 mm

207

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

เฉลยแบบฝกหด

1. คานยน A-B มความยาว 3 เมตร รบน าหนกแบบกระจายสม าเสมอ F กโลนวตน / เมตร ตลอดทงคานเปนรปวงกลมมเสนผาศนย 48 มลลเมตร ถาคานท าดวยเหลกทมคาความเคนไมเกน 75 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) นทคานจะรบได

วธท า

2

FLM

2

max

m.FkN22

2F 2

เมอ mm962

48c,mm26.260576)48(

64d

64I 442

จากสตร

I

Mc

เมอ 2mm

N75

26.260576

9610w275

6

96102

26.26057675w

6

mkN10178.0

mN79.101

ตอบ ขนาดของแรงกระจายเทากบ

mN79.101

F kN/m

A B

3 m

48 mm

208

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

2. คานดงรปมความยาว 3 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง85 มลลเมตร สง100 มลลเมตร มแรงกระท า 50 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบ จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกดขนในคาน วธท า 0MA ; 150R3 B

67.163

50R B kN

33.3367.1650RA kN

33.33133.331RM Amax mkN

จากสตร I

Mcmax

เมอ 502

100

2

hc mm 33.708333310085

12

1bh

12

1I 33 4mm

แทนคา33.7083333

501033.33 6

max

27.235 2mmN

ตอบ ความเคนดดสงสดในคานเทากบ 235.27 นวตน / ตารางมลลเมตร

50 kN

1 m 2 m

85 mm

100 mm

209

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

แบบทดสอบ

1. คานดงรปมความยาว 5 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง120 มลลเมตร

สง170 มลลเมตร มแรงกระท า 68 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบ จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกดขนในคาน

2. คานยน A-B มความยาว 4เมตร รบน าหนกแบบกระจายสม าเสมอ F กโลนวตน / เมตร ตลอดทงคานเปนรปวงกลมมเสนผาศนย 35 มลลเมตร ถาคานท าดวยเหลกทมคาความเคนไมเกน 68 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) นทคานจะรบได

68 kN

2 m 3 m

120 mm

170 mm

F kN/m

A B

4 m

35 mm

210

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

เฉลยแบบทดสอบ

1. คานดงรปมความยาว 5 เมตร มหนาตดของคานเปนสเหลยมผนผากวาง120 มลลเมตร

สง170 มลลเมตร มแรงกระท า 68 กโลนวตน กระท าทจดหางจากจดรองรบ จงค านวณหาความเคนดดสงสดทเกดขนในคาน

วธท า 0MA ; 268R5 B

2.275

136R B kN

8.402.2768RA kN

6.8128.402RM Amax mkN

จากสตร I

Mcmax

เมอ 852

170

2

hc mm 49130000170120

12

1bh

12

1I 33 4mm

แทนคา49130000

85106.81 6

max

18.141 2mmN

ตอบ ความเคนดดสงสดในคานเทากบ 141.18 นวตน / ตารางมลลเมตร

68 kN

2 m 3 m

120 mm

170 mm

211

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

2. คานยน A-B มความยาว 4เมตร รบน าหนกแบบกระจายสม าเสมอ F กโลนวตน / เมตร ตลอดทงคานเปนรปวงกลมมเสนผาศนย 35 มลลเมตร ถาคานท าดวยเหลกทมคาความเคนไมเกน 68 N/mm2 จงหาขนาดของแรงกระจาย (F) นทคานจะรบได

วธท า

2

FLM

2

max

m.FkN82

4F 2

เมอ mm5.172

35c,mm76.73661)35(

64d

64I 442

จากสตร

I

Mc

เมอ 2mm

N68

76.73661

5.1710F868

6

5.17108

76.7366168w

6

mkN03578.0

mN78.35

ตอบ ขนาดของแรงกระจายเทากบ

mN78.35

F kN/m

A B

4 m

35 mm

212

แผนการสอน หนวยท 7 ชอวชา ความแขงแรงของวสด สอนครงท 12 ชอหนวย ความเคนดดในคาน จ านวน 3 ชวโมง

บนทกหลงการสอน ผลการใชแผนการสอน..................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ผลการเรยนของนกเรยน................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ผลการสอนของคร............................................................................................................................ .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... .......................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................