CENTRO DE INVESTIGACION Y ESTUDIOS AVANZADOS

DEL I. P. N.

H I S T O R I A D E L e A L e u L o

GUILLERMINA WALDEGG

.

?" .

SECCION DE MATEMATICA EDUCATIVA f Mxico 1982. CINVESTAV IPN

Autor: Guillermina Waldegg Sec. Mat. Educ. CIEA del IPN

Mecanografa: Jos Luis Margarita

Ga 1ser P. Br4t o

Dibujo:

Impresin:

Enrique Oaxaca Rebeca Mora Hctor Mares

Octavio Corts

1 1 1

Jos Luis Hermosillo Juan Hermosillo

Mxico, 1982.

Seccin de Matemtica Educativa del Centro de Investigacin y Estudios Avanzados del IPN.

I

N D C E

Introduccin

I. Isaac Newton

I.1 Primeras Ideas Sobre la Variacin. I.2 Ideas Generales sobre los Momentos I. 3 I.4 I. 5 I. 6 I. 7 I.8

Fluentes y Fluxiones . . 1

Deter111inacin de Mr ximos y Mnimos Trazar Tangentes a

1 Curvas

La Cicloide. Tang ~ nte y Cuadratura Un tratado del Mtodo de Series y Fluxiones Teorema del Binomio

II. El Clculo de Leibniz

I I. l I I. 2 I I. 3

I I. 4 I l. 5 I l. 6 I I. 7

I I. 8

Los Orgenes - Sumas y Diferencias El Tringulo Caracterstico Transmutacin y la Cuadratura Aritmtica del Crculo La Invencin del Clculo Analtico La primera Publicacin del Clculo Diferenciales de Orden Superior . El Significado de los Infinitesimales de Leibniz Leibniz y Newton

III. La Epoca de Euler

I I l. 1 II I. 2

I I I . 3 II I. 4 I II. 5

El Concepto de Funcin Funcin Exponencial y Funcin Loga-rtmica Funciones Trigonomtricas Diferenciales de las Funciones Elementales Descubrimiento por Analoga

P~g.

1

2 7

18 24 30

. 35 42 45

55

57 61

68 77 85

. 89

93 95

98

98

99 103 105 108

IV. La Teorfa de las Funciones Analfticas de Lagrange Oerivacin de la Frmula de Taylor .

V. El Clculo de Acuerdo de Cauchy, Riemann y Weierstrass . V.1 Funciones y Continuidad V.2 Fourier y la Discontinuidad V.3 Golzano, Cauchy y la Continuidad V.4 El Clculo Diferen ~ ial de Cauchy V .5 La Integral de Cau 4hy . I V.6 La Integral de Rie~ann y sus Reformulaci?nes

1

1 1

VI. El Desarrollo del Concepto de Integral. Henri Lebesgue .

A p n d c e

r-P .l g. 1

110

115 115 119 124 133 140 149

158

167

I N T R o o u e e I o N

El Descubrimiento del Clculo

Difcilmente podemos pensar que alguna rama de las matemticas sea el producto del trabajo individual. La Geometrfa Analftica de Descartes y Fermat no es, solamente, el resultado de sus propias investigaciones, si-

1

no que fue surgiendo a travs de muchos intentos que !convergieron en los siglos XVI y XVII. Los trabaj Js de Apolonio, Oresme ~ Vi eta y muchos otros, fueron detenni nantes en leste trayecto.

Del mismo modo, el desarrol lo del clculo no lo 8odemos reducir al trabajo de dos personas: Newton y Leibniz, puesto q~e los primeros inte~ tos por resolver problemas relacionados con esta disciplina se remontan a las especulaciones filosficas de los antiguos griegos. Nombres como

Eratstenes y Arqumedes y, posteriormente, Kepler, Cavalieri, Fermat, Wallis, 13arrow y otros, jugaron un papel importante en el proceso de 1na-duracin de las ideas del clculo.

Decir que Newton y Leibniz descubrieron el Clculo en el siglo XVII no significa solamente que descubrieron mtodos efectivos para la solu-cin de problemas que involucraban tangentes y cuadraturas (o, en tenni-nologa moderna, derivacin e integracin), ya que estos problemas ha-ban sido estudiados con xito desde la antigUedad. El mrito indudable de estos dos genios radica en la diferencia entre el mero descubrimiento de un hecho importante y el reconocimiento de que este hecho es importan-~. es decir, que nos da las bases de progresos posteriores.

La contribucin de Newton y Leibniz, por la que propiamente se les acredita como descubridores del Clculo, no es solamente el reconocimien to del 11 teore111a fundamental del clculo 11 corno un hecho matemtico, sino el haberlo empleado para derivar, de la rica amalgama de tcnicas infini tesimales ya existentes, un poderoso instrumento algortmico para el cl culo sistemtico.

Iniciaremos pues, estas notas de Historia del Clculo con el trabajo de Newton y Leibniz pero subrayando el hecho de que esta historia comien-za muchos siglos atras.

ISAAC NEWTON

Newton naci el da de Navidad de 1642, pero nada de lo que conocemos de su juventud y primeros estudios parece anunciar el hecho de que su vi-da y su trabajo marcaran una nueva etapa en la historia intelectual de la humanidad. Ingres en Cambridge en 1661 y en 1669 ocup la ctedra Lucasiana al retirarse Garrow, puesto que desempe hasta 1696, cuando d~ j Londres para servir como custodio de la Casa de Moneda. Tras su muer-te en 1727 fue sepultado en la Abada de Westminster con tal pompa que Voltaire escribi "He visto u ~ profesor de matemti t as, slo porque fue grande en su vocacin, sepult f do como un rey que ha l hech~ bien a sus sub-ditos". 1 1

Aparentemente, Newton ini i sus estudios serio~ de matemticas - co-menzando con los Elementos de Euclides y la Geometrta de Descartes- en el verano de 1664. Durante 1665 y 1666 cuando Cambridge fue cerrada a causa de una plaga, Newton regres a su casa en Lincolnshire, y ah sen-

'

t las bases para los tres grandes logros de su carrera cientfica: el clculo, la naturaleza de la luz y la teora de la gravitacin.

Los "Principia Mathematica" de 1687 y la "Opticks" de 1704 detallan sus contribuciones a la mecnica y a la ptica. Sin embargo sus contribu ciones a la matemtica pura (incluido el clculo) permanecieron sin publj_ car durante mucho tiempo.

A su muerte, Newton dej una gran cantidad de manuscritos matemticos inditos, algunos de los cuales haban circulado entre sus contemporneos o servido de base para sus infrecuentes publicaciones matemticas. Estos manuscritos han sido organizados sistemticamente y publicados por Cam-bridge en "The Mathematical Papers of Isaac Ne1-vton 11 editado por D. T. Whiteside.

A continuacin presentaremos algunas de las nociones fundamentales que Newton maneja en sus trabajos sobre el clculo, as como algunos problemas especficos reproducidos en su forma original.

.

I.l PRIMERAS IDEAS SOBRE LA VARIACIN, Vamos a suponer que las cantidades varia~les crecen o decrecen en

forma continua a medida que t ranscurre ("fluye") el tiempo. 1

Para iniciar nuestra discusin sobre la 1

idea de "va ri ac i 6n 11 vamos 1 1

a tomar un ejemplo, estudiado 1

inicialmente por Gal iileo. Se trata de un m6

vil que se desplaza rectilneamente con velocidad constante k . La canti

dad variable que tomaremos en cuenta es el espacio recorrido por el mvil.

Podemos representar dicho espacio (= distancia recorrida) como un rea:

Cuando haya transcurrido un tiempo t, el espacio recorrido A se r igual a k t.

A = kt -------------------------------(!)

1

Tambin podemos representarnos esta rea como generada por el mo

vimiento continuo de una recta de longitud k (la ordenada):

~ 1 -Pi

1 1.

__J 1 ~ 1 1 1 1 ti 1

_.J I -..' :1 1

1 -1 !>

1

Cuando transcurre un tiempo infinitesimal ("muy pequeo") dt la

3

ordenada se desplaza tambin una dtstancia infinitesimal. Entonces, en

ese tiempo se producir un incremento infinitesimal "del rea, que deno tamos dA, SegOn 1 a f6rmul a ( l) tendremos 1

dA = k dt

que podemos interpretar diciendo que la variacin del rea es directa

mente proporcional a la variacin del tiempo.

El cociente ("razn de cambio") de dA entre dt nos produce la ve-locidad con la cual cambia el rea. Es decir,

dA dt

representa el cambio de rea por unidad de tiempo.

El hecho que dA/dt = k constante, quiere decir que el rea cam

bia (se incrementa) con velocidad uniforme. Consideremos ahora una situacin ms interesante:

Supongamos que el mvi1 se desplaza con velocidad uniformemente

acelarada. Entonces en el plano tiempo-velocidad esto lo repres~ntamos as:

4

V

Las ordenadas representan las velocidades en los tiempos correspo.!:!_

En un determinado tiempo t, el rea barrida por la ordenada hasta

t, representa el espacio (distancia) recorrido por el m6vil en ese tiem po t.

Si v = at (a = constante) representa la relaci6n entre las orde nadas y el tiempo, entonces el espacio total recorrido despus de trans

currido un tiempo t es:

A = 1 at 2 -2-

Supongamos que el tiempo t recibe un incremento infinitesimal dt.

V

'~ (A, .... ~ ...... .. -~------------------- ____ ...:._ ___ _\:'-"""-~-----------------------

Entonces el correspondiente incremento dA (= espacio recorrido du rante el tiempo dt) es:

dA = a t d t + -} a ( d t) 2

Podemos ignorar la contribucin hecha al incremento dA por+ a

(dt) 2, argumentando en nuestro modelo (conceptual) geomtrico-fsico diremos: i

5

11 E 1 1 : ~ 1 t. I 1 . d d t El ne instante t, e, Fuerpo mov1 1ene una ve oc1 a v =a . ' 1 1

incremento que recibe esta velocidad al transcurr{r el tiempo dt es un 1 1

incremento infinitesimal, podremos pues considerar que durante el tiempo

dt la velocidad del mvil permanece constante. Por lo tanto dA = at dt 11

Es decir, ignoramos 1a contribucifl hecha por +a (dt) 2 a dA.

Otra forma de presentar este hecho es comparar la contribucin hecha por

el sumando +a (dt) 2 con la hecha por el sumando at. dt. Para ello, consideremos la razn:

-

1- a (dt) 2 2 at.(dt)

= 1 dt 2 t

que es infinitamente pequeRa. Esto quiere decir que comparando con t,

d t es 11 corno si fu es e n u 1 o 11

Afirmamos pues

dA = at dt ---------------------------(2)

Resumiendo nuestra discusin tendremos:

(a) Si A - kt entonces dA = k dt (b) Si A = + at 2 entonces dA = at dt .

donde, en ambos casos, A representa el espacio recorrido por un mvil

en el tiempo t que indican las frmulas.

.,

! 1,

. '

' ' ' ' 1, ;\

6

Vamos a tratar el ejemplo anterior desde un punto de vista ms abstracto, referido al modelo geomtrico-ffsico del que hemos estado hablando en las pginas anteriores:

Supongamos dado un tringulo ABC que est generado por el despl.?_

zamiento uniforme de BC:

Entonces, al fluir uniformemente la base AB, sta adquiere un i~

cremento BD y en consecuencia el tringulo ABC adquiere el incremento

BDEFC. De este incremento, el tringulo EFC es consecuencia de la ac~

leracin del movimiento (NO del movimiento de BC, que fluye uniformemen te, sino del mvil cuya velocidad v = BC).

Por lo tanto, si BD es infinitamente pequeo, durante ese tiempo

el incremento de la velocidad (del mvil) es EF que es tambin infini tamente pequeo. De allf que la variacin instantnea del tringulo

ABC este representada por el rectngulo BDEC.

y

y

7

I ,2 :DEAS GENERALES SOBRE LOS MOMENTOS

Como en la seccin anterior, seguiremos considerando que las

cantidades variables crecen 6 decrecen por un movimiento (flujo) con tinuo.

El incremento instantneo (en un determinado instante) de una variable x lo denotaremos dx y se

1 llama su 11 momento 11 6 su "diferencial".

1

Este momento puede ser positivo 6 negativo, pero ro es finito: es una cantidad infinitesimal.

1

Segn la terminolog1a empleada por Newton, los momentos son

principios nacientes de cantidades finitas. Como los momentos son ma~ nitudes infinitesimales, entonces,., en lugar de referirnos a su "tama

o 11 nos interesa rns estudiar sus razones de cambio, es decir, sus ve

locidades.

El desarrollo que sigue est construfdo sobre el contenido del

lema II del libro II, de los Principia de Newton.

Consideremos ahora el producto de dos cantidades variables

(que pueden 6 no coincidir) y calculemos sus momentos (es decir, sus 11 dHerencias 11 segn Leibniz 6 11 diferenciales 11 segn el uso actual). Geomtricamente, las expresiones de este tipo corresponden a reas,

bien sea de rectngulos 6 cuadrados (si coinciden las variables).

X

X

-~,,__ __________________ __, _________ Damsll ____________________ ___

8

Cuando estas variables se incrementan (siempre dependiendo del tiempo, es decir, en 11 funci6n 11 del tiempo) entonces el producto xy 6 2

x sufre un incremento que se puede calcular asf:

Si el 11 momento 11 de un lado x es dx entonces el rea del cuadra

do x2 se incrementa en x dx a causa del momento dx.

~ XdX -h., t1 1 t 1 111 1 1 U.ll.U . ..l.Ut 1 1 11 1111 t 111 1 ::im

1

..._,_.,

rlx Si se incrementa la otra dimensi6n, tambin produce un aumento

x ~ dx en el rea. Por lo tanto 2x dx es el incremento total del rea

x2 por los incrementos independientes (~simultneos) de las dos di mensiones.

lQu suceder si las dos dimensiones se incrementan simultnea mente?

...

T 1 l ----------rf L:x ~

1 l '' ''-

--= a --

'

l r 1 1

f

~

9

En tal caso el incremento del rea /\ = x2 es: dA = 2x dx + ( dx) 2

el sumando (dx) 2 corresponde al cuadrito rayado en la figura de la de recha p que se produce debido al incremento simultneo de las dos dimen

si ones. 1

En la seccin anterior presentamos varios /argumentos para jus 1 -

1

tificar el que los 11 momentos ," ( diferenciales si !as se prefiere) ele 1 -

va do s al cuad r ado se pueden :ignorar frente a 1 os 111momentos 1; nea 1es 11 ) !

En efecto, nuevamente: 1

(dx) 2 dx , que es infinitamente pequeo, por lo

2x dx 2x

cual (dx) 2 se puede despreciar frente a 2x . dx quedando entonces:

dA = d(x 2) = 2x. dx Esta manera de 11 demos t ra r " el resultado puede parecernos 11 impr!E_

cisa 11 Pero recordemos que se apoya en un argumento fsico y en una

se r ie de ideas de la geometr a infinitesimal.

Es bueno recordar en este momento que la matemtica del siglo

XVII pre sen t a un marcado contraste con la matemtica clsica de los

gr-iegos en el aspecto del rigor. Las consideraciones sobre los 11 momen

tos" (que no son cantidades finitas sino infinitesimales) y su corres pondi en te manipulacin como si fuesen cantidades ordinarias necesit,

sin duda, de la audacia propia del visionario .

Decir que dx es una cantidad in f initesimal, es decir

que dx es distinta de cero pero que es ms pequea

que cualquier cantidad .ordinaria (finita)

1Pf V t

~ 1 L

10

E~ pensarni en t o de Newton a est.e respecto, ya 1 o hemos visto, e~

t marcado intensamente por consideraciones fsicas. Por eso l no

habla de la 11 diferencia 11 (como Leibniz) de dos cantidades que estn in f'initamente prximas sino que habla de "momentos". Para l, una varia

ble es una cantidad que fluye y, entonces, eso que es, en el instante

mismo en que empieza a fl ,uir, es el "momento" de dicha cantidad: se 1 1

af irmaba pues que una cantidad infinitesimal era una entidad discreta

~e preservaba cualidades de lo continuo. 1 1

En el lema II (libr,o II) de los Principia, Newton da las reglas para calcular los momentos (diferenciales) de los productos y potencias de distintas variables. Si denotamos A, B, e las variables y dA, dB,

dC sus respectivos momentos, entonces

Si la expresin es su diferencial es:

AB d(AB) =A dB + BdA

A d (A n ) == nA n-l . dA

n :::_1 == -- A rn . dA

m

y as sucesivamente.

Si denotamos a, b, c etc. las diferenciales (6 momentos) de las cantidades variables A, B, C etc., entonces

d(AB) == aB + bA n -1

d (An ) = nA m .. a

= _n_ m

n -1 a. A; etc.

11

Cas.Q_.J:.. Consideremos el rectngulo AB aumentado por un flu-jo continuo.

+--a-f

T B

I l l

Tomemos el instante en el que los lados son iguales a

A - 1/2 a y B - 1/2 b, respectivamente, siendo a el "mome_!l

to" de A y b el "momento" de B ; el rea del rectngulo en ese instante ser:

Area inicial = (A - 1/2 a) (B - 1/2 b) = AB - 1/2 aB - 1/2 bA + 1/4 ab

Pero tan pronto como los lados se incrementan en sus "mamen-

tos", se transforman en A+ 1/2 a y B + 1/2 b , por lo que el rea ser:

Area final = (A+ 1/2 a) (B + 1/2 b) = AB + 1/2 aB + 1/2 bA + 1/4 ab

Restando el rea final menos la inicial, tendremos el "momen-to" del rea:

Area final Area inicial = AB + 1/2 aB + 1/2 bA + 1/ 4 ab

-AB + 1/2 aB + 1/2 bA - 1/4 ab

"momento" de AB = aB + bA

--

12

c aso 2. Ahora calculemos el "momento" d e l volumen ABC cuan-

do sus lados se incrementan en a, b y c respectivamente.

Consideremos el rea de la base AB = G como una sola varia-

ble, entonces el volumen ser:

ABC = GC

Como se demostr en el caso 1, el "momento" 1de GC es:

cG + ge

en donde g es el "momento" de G = AB que, por el mismo ca

so 1, es igual a:

' g = aB + bA

por tanto, sustituyendo de nuevo los valores de g y G, ten-

dremos que e 1 "momento" de ABC es:

CG + ge = c ( AB) + (a B + bA) e

'( Momento de ABC = cAB + aBC + bAC

Caso 3. Supongamos ahora que A=B=C y a=b=c. En ton

ces el "momento" de A , segn el caso 1, e s:

Momento de A = Momento de AA = aA + aA = 2aA

y, por el caso 2, el "momento" de A3 ser:

Momento de A3 = Momento de AAA = aA + aA + aA e: 3aA

Sabemos que

A(.l) =l A

13

entonces, el "momento" de l/A multiplicado por A ms el

"momento" de A multiplicado por l/A debe ser igual al 11 mo-

mento" de 1, que es cero, ya que l es constante

Y, en general, como

entonces:

(momento 1

1 1 A )A+ a A

momento de l A

(momento de

es decir:

momento de

Caso 5. Como:

o bien

A

1

= !o

es decir:

r 14

entonces , por el c aso 3:

2(momento de = a

de donde:

momento de

y, en general, haciendo

tenemos que

por lo tanto, calculando los "momentos" en ambos lados de la

igualdad:

de donde

pero

Caso 6.

b =

y b = momento de B

momento de

entonces:

m aA 1Il::!l.. n n

Por lo tanto, el momento de cualquier expresin del

1 ~

~ 1 l f .~ ,,

e s decir:

momento de AmBn e (momento de Am) Bn + (momento de Bn)Am

1

1

momento de A~Bn = (maAm-i )Bn + i (nbBn-1 )Am

15

y esto es vlido para exponentes m y n enteros, fracciona-

rios, positivos o negativos. Y el razonamiento es el mismo

cuando se tienen ms variables.

Q.E.D.

Comentario final sobre la proposicin d (AB) =A dB + B dA

Analizando la demostracin del lema II, vemos que todas las conclusiones dependen de la proposicin

d (AB) = A dB + B dA ---------- ( l)

Pero, c6mo se ha demostrado (l)? Para llegar a este resulta-do, uno de los mtodos utilizados fue el siguiente:

Incrementamos las variables A y B mediante sus incre-mentos instantneos (sus diferenciales) dA y dB, respecti-vamente. Entonces obtenemos para el producto de las variables

el valor:

(A + dA) ( B + dB) e AB +A dB + B dA dB

'

Restando a este valor el valor inicial del producto AB (es decir, efectuando la diferencia (l)), o~tenemos el valor de la dife rencial de (AB) :

d (AB) = A dB + B dA + dA dB

B

A

t

'

Ahora, el producto dA dB

El postulado 1 del L ' Hopi tal

d (AB)

es infinitamente pequefto.

asegura que dos cantida-

des que estn infintamente cercanas entre s (esto es, que di-fieran por un infinitesimal), pueden considerarse iguales. co-mo en el caso presente, las cantidades

A dB + B dA + dA dB

A dB + B dA

difieren por la cantidad infinitesimal dA dB , pueden, en consecuencia, considerarse como iguales. Ntese que este cri-terio puede reformularse diciendo que dos cantidades son "igua les" si: lo son en el sentido ordinario del trmino o si difie

ren en una cantidad infinitesimal. Para captar el significado

del post,ulado 4 , enunciado por L 'Hpi tal en su lib:i;o "An-

i k t t

17

lisis de los Infinitesimales", c onviene recordar que en su po

ca los postulados eran considerados como hechos em2ricos, a

partir de los cuales se obtenan otros hechos empricos, me-

diante un proceso deductivo. De modo que podemos concluir que

L 1 Ho~pital estaba convencido de la existencia real de las can-tidades infinitesimales, cuyo comportamiento estaba regulado

por el postulado l.

1

Tanto los proponentes como los adversarios de la teora i

de los infinitesimales estaban motivados por consideraciones

tcnicas y filosficas. Pero en el fondo, la posicin de los

adversarios estaba apoyada en el hecho de que "no haba lugar" '

para los infinitesimales en sus sistemas filosficos basados

en la percepcin.

18

1.3 FLUENTES Y FL.UX IONES

En su obra Principia Mathematica (1687), Newton no emplea de manera explcita los algoritmos del c~lculo. Lo ms parecido a un de

sarrollo algortmico en dicha obra est concentrado en el lema II, que

se discuti6 en la seccin anterior; all aparecen los infinitesimales 1 '

como 11 momentos 11 , como pri ~ci pi os generadores de\ cantidades finitas. Ms adelante,en su libro sobre 6ptica (1704), Newton publica una expo

1 1 -

sicin ms elaborada del clculo. En ella, se ~nfatiza el empleo de ' 1

1 os l fmites -en una forma que hoy 11 ama darnos "vaga 11 - y 1 as f1 uxiones

(derivadas) y casi no se habla de los infinitesimales. En esta nueva

obra, que Newton intitul 11 Cuadratura de Curvas", las cantidades se con

sideran como generadas por el movimiento continuo por oposicin a los

infinitesimales que sugieren siempre un tratamiento discreto -con cier

tas dosis de continuidad, segn vimos en la seccin I.2. As por eje~

plo, una curva se genera por el movimiento continuo de un punto, una

superficie, por el movimiento continuo de una lnea

/{ /l

1

l l 1 l 1

\

I

/ ~ ~ I \

~ \ --4 ~~~ ___ \__

y un slido por el movimiento continuo de una superficie.

Los ngulos , por rotaci 6n de l ados:

/

y asf otras cantidades.

/

/ /

/ /

/

/

..

/ /

/

Estos procesos realmente suceden en la Naturaleza y se pueden

ver a diario en el movimiento de los cuerpos. Por tanto, concuerdan

con nuestra idea intuitiva de continuidad.

Si consideramos tiempos iguales, las cantidades generadas en

esos t iempos son mayores (6 menores) si son mayo res (6 menores) las ve loc idades de los movimientos que las generan. El mtodo que aquf se

propone, permite determinar l as cantidades a partir de las velocidades

de los movimientos con los cuales son generadas. Por ejemplo, con.Q_ ciendo la rapidez de cambio del rea, podremos determinar el rea

dA (conocida -d-=-x- podremos conocer A).

Llamaremos fluentes a las cantidades generadas por movimientos

con t inuos y las fluxiones sern las velocidades de dichos movimientos.

Las fluxiones son -muy aproximada me nte- proporcionales a los

l

: l 1 11~

!"

(i

J

1

1

1

li

20

les pe ro muy pequelos y. para habl ar can e~a ct i t ud , est~n en 1a pr ~ mara raz6n de los aumen t os nac i entes (en el l imite) .

As , si en la si guiente figura con si deramo s el rea AEC

H

K

1 -------1E

1 1 1

1 l b

descrita por la ordenada SC movindose sobre la base AS con un movimien

to uniforme, la fluxi6n de esta rea ser proporcional a la ordenada BC

y puede ser representada por esta ordenada porque sta es proporcional

al aumento en el rea (es decir ~~-~~ = y) [Teorema Fundamental]

En la misma figura, avancemos la ordenada SC hacia una nueva

pos icin be, completemos el paralelog ramo BCEb y tracemos la recta

VTH tangente a la curva en C. Sea V el punt0 de intersecci6n de esta

~ 1 t;

t

l

t ~

: 1'\ ., . '

' ~; ! J

21

tangente con la recta AB y T el que tiene con be. Entonces, Bb es el

incremento de la abscisa AB y Ec es el incremento de la ordenada BC.

Si estos incrementos ocurren en tiempos pequeos, los iados del trin

gulo CET estarn (en el inicio del movimiento -en el l~~ite-) en la misma raz6n que las fluxiones de AB y BC y podrn ser representadas

por. estos lados 6, lo que es lo mismo, por los lados del tringulo VBC !

que es semejante al tringulo CET. !

En este razonamiento podemos reconocer e 11 mtodo que emp 1 eamos

actualmente para el clculo de la tangente ya que

BC = pendiente de la tangente en C (=m) entonces, VB

variaci6n de BC (=y) variaci6n de A-S- (=x)

'

= Ec Bb

en el inicio del movimiento (en el lmite):

BC m = _,.-=---VB = 1 im _t:._y_ 6X_,.O 6 X

Si ahora trazamos la recta k uniendo C y c, y retrocedemos la

ordenada be hasta BC, cuando los puntos c y e coincidan, la secante CK

coincidir con la tangente CH. Es decir, la tangente en un punto, se

puede considerar como la 11 ltima razn'' de la secante (6 el Hmite de la secante cuando el arco de curva tiende a cero).

Mediante estos argumentos, se puede visualizar fcilmente que

la derivaci6n y la integracin son procesos inversos: al.avanzar la

ordenada BC con un movimiento continuo, generamos el rea ABC (integr2_ ci6n). Cuando retrocedemos la ordenada be hasta su posici6n original, generamos 1 a tangente en C ( deri vac i 6n ):. Es te razonamiento nos permite ver el significado geomtrico del Teorema Fundamental.

22

Cuando se conoce la fluente, la fluxi6n se calcula directamente

incrementndola. Por ejemplo, supongamos que queremos calcular la fl~ xi6n de la fluente xn comparndole con la cantidad x que fluye uniforme

mente:

En el mismo tiempo en el que la cantidad x 11 fluye 11 hasta x +o,

la cantidad n . x viene a s1er (x + o)n que, por ~l Teorema del nos da:

(x + o)n xn n-1 n2 - n of n-2 + = + nox + X .... 2

El incremento en x es:

Llx = (x + o) - (x) = p

mientras que el incremento de n ser X

n (x + o)n (xn) AX =

n-1 2 02 n-2 + n - n + = nox 2 X

Comparando estos dos incrementos tendremos:

AX n-1

= nx + n2

- n 2

n-2 ox + .....

Binomio

Ahora, hagamos tender este incremento a cero, y su "ltima ra

z6n" -su lmite- ser:

1 im =

D.x-o D.x d dx

n-1 = nx

1 '

23

Si se tienen las fluxiones, el problema de encontrar las fluentes es mucho ms complicado pero si empre ~ solucin ~ equivalente ~ ~ cua-dratura de curvas.

Por ejemplo: Consideremos el rea ABC de la siguiente figura, en donde BC es la ordenada rectangular y AB la abscisa:

Pro 1 onguemos CB hasta E de tal manera que BE = 1 , y comp l eternos el paralelogramo ABDE; las fluxiones de las reas

r~n en la misma proporcin que las ordenadas BC y

entonces:

o bien,

S = rea ABC

s = rea ABDE = AB l

variacin S variacin s =

BC 1

variacin S -~-~-- = BC variacion AB

ABC y BE

0 1 escrito en el lenguaje moderno, con AB = x y BC =y .}

dS - =y dx

ABDE esta-

p. 1

,J'

' ' l 'I

entonces, si conocemos la fluxin dS (y = dx) ' encontrar la fluente (S) equivale a encontrar el rea bajo la curva definida por la ordena-da (y).

En lo que sigue, denotaremos las cantidades fluentes por las letras . . .

s, t, u, v, x, y, z~ y sus fluxiones respectivas por s, t, u, etc.

.'I.4 1 1 :

DETERMINACIN DE ~XIMOS Y MfNIMOS. :

Consideremos una variable que crece o decrece continuamente. En el instante en que alcanza su valor mximo (o mfnimo), su flujo no crece ni decrece, porque si creciera (o decreciera) significara que no haba al-canzado su mximo (o mnimo). Entonces, para hallar el valor mximo o mnimo de una variable, se encuentra su fluxin y se iguala a cero.

Ejemplo 1 . Se desea encontrar el valor mximo de x en la ecuacin 3 2. ?i

x - ax + axy - y = O

Se calculan las fluxiones x y y por medio de la regla dada en el le-ma 11 del libro II

3 . 2 2 3" 2 o xx - axx + axy + axy - yy =

entonces, si se quiere que x tome su valor mximo, hacemos obtenemos

2 axy - 3y y = O

o sea

x = o , y

Al resolver el sistema de ecuaciones que se forman con esta expresin Y la inicial, encontramos el valor de y para el cual x toma su valor

n

2

3

mximo, y ste valor mximo de x.

Por este mtodo se pueden resolver problemas como los siguientes:

l. En un tringulo dado o en un segmento de curva dado, inscribir el el rectngulo de rea mxima:

2. Trazar la recta mxima (o mnima) desde un pur1to a una curva dada.

25

En otras palabras, trazar la normal a una curva desde un punto dado. p

3. Desde un punto interior a una curva dada, trazar la cuerda mxima (o mfoima).

4. Desde un punto exterior a una curva dada. trazar la recta que corta a la curva con un ngulo mximo (o mnimo)

, M

i d 5. Determinar los puntos mximos, mnimos y de inflexin de una curva dada.

6. Encontrar los puntos de una curva de curvatura mxima (o mnima).

7. De entre todas las elipses que pasan por cuatro puntos dados. defi-nir la de rea mnima o la que ms se aproxima a un crculo.

O bien problemas de carcter fsico. como:

8. Determinar el ancho de la superficie esfrica tal que la luz que 11! ga desde el infinito, despus de refractarse en un hemisferio, ilumi na el otro.

Como un ejemplo de la forma en que se usara este mtodo, resolvamos el ej emp 1 o l.

~En un segmento de parbola OAA' inscribir el rectngulo con base en la recta AA' y que tenga rea mxima

A

o

y= 2QB' (L-x)

pero, por las propiedades de la parbola 2

27

(os) = kx (k constante) entonces el rea queda

y= 2;:;: (L-x) Una vez planteada la ecuacin, debemos encontrar las fluxiones:

y= -2 fkix + _k_ (L- x)x {kx1 Como buscamos el rea y mxima, hacemos y= O, es decir,

2 Jk? x = _k_ (L - x)x . ,fkx1

de donde: 2(kx) = k(L - x)

o sea:

2x + x = L

L X = 3

Entonces, el rectngulo buscado es aquel que tiene altura igual a 2/3 L.

Y el ejemplo 2 -trazar la normal a una curva desde un punto exte-1

rior- lo resolveramos de la siguiente forma:

Sea f(x,y) la curva, y P(x 1 ,y1 ) un punto dado exterior a ella. Llamemos z a la longitud de un segmento de recta cualquiera, desde P hasta la curva. Entonces:

2. 2. z2.;:; (x-x 1 ) + (y-y1 )

donde (x,y) es un punto sobre la curva.

Si calculamos las fluxiones en esta ecuacin, tendremos:

2zi = 2(x-x 1 )x + 2(y-y )y

Como z es la variable que queremos hacer mnima, tomamos donde obtenemos:

(x-x 1 )x = - (y - y )y l

.

z = o , de

29

de donde

.

X -1 = - --y = y/x

el primer miembro de esta expresin es la pendiente de la recta buscada (la mnima) y el segundo es el recproco negativo de la tangente a la curva en el punto de interseccin de la curva con la recta buscada; esto

~ 1 significa que la recta cuy~ distancia es mfnima,

1debe ser perpendicular

a la tangente. es decir, es1 la normal a la curvai

Veamos el siguiente ejemplo concreto:

Hallar el punto de la curva 2y = x 2 ms cercano al punto

Calculemos las fluxiones en la ecuacin z 2y =X

entonces

entonces

X =

2y = 2xX

y_ = X X

ya que la ecuacin inicial nos dice que X 'l

y= T

4 - X x20 - - 1 2 .

entonce~ x2. x(z--1) = 4-x

y, resolviendo esta ecuacin en x, tenemos: ~

x - 2x = 8 - 2x

~ X = 8

(4,1).

y 2

X y= T = 2

I.5 TRAZAR TANGENTES A CURVAS.

X

El punto (2,2) es e l p i de l a norma 1 a la parbola tra-zada desde P(4,l)

Hay var1os mtodos para trazar tangentes a una curva y la eleccin del mtodo se hace de acuerdo al tipo de coordenadas en las que est expres! da la ecuacin de la curva.

ler. Mtodo:

p

T

I / ' I I

I / I 1

I /

e b

31

Sea Ed 1 a curva considerada y re trazar la tangente. Y sean

D el punto (sobre ella) donde se quie-AB y BD la abscisa y la ordenada del

punto O (no necesariamente ortogona 1 es).

Moyamos la ordenada BD un espacio indefinidamente pequeo a la P,2 sici n bd. Asi ., el 11 momento 11 de la ordenada es cd, mientras que el 11 momento 11 de la abscisa es B b= De .

Prolonguemos Dd hasta intersectar la recta AB en T. Como Dd es un arco indefinidamente pequeo, entonces Dd se puede considerar CQ mo un segmento de recta indefinidamente pequeo. Y los tringulos TBD y Dcd son semejantes (lados paralelos), as que:

pero De Ccf

TB 80 =

De Ccr

es precisamente la razn de los "momentos" de las coordena-" das. Entonces, si se co11oce la relacin entre la ordenada BD y la ab~

cisa AB que determina la curva, se busca la relacin de las fluxiones (que es la misma que la de los momentos) y se encuentra el punto T so-bre AB, talque

TB = BD ( Qf_ ) cd

Por ejemplo: llamemos x a AB y y a BD, en la relacin

! ! t

, l.... . ......,' _,_,___ - -- -

3 2. 2> x - ax + axy - y = O

La ecuacin de fluxiones ser

de aqu~

de donde:

2.. 2 3x x - 2axx + ayx + axy - 3y y = O

. 2 .J;_ = 3x - 2ax + ay x 3yl - ax

1 1

BD = BT

1

i

BT = 3 3y - axy

3xl. - 2ax +ay

(=y)

32

Consecuentemente, dado el punto D(x,y), la longitud BT queda d~ terminada por la relacin anterior y, por lo tanto, queda tambin deter-minada 1 a tangente DT .

t ,~t .11

1 Como otro ejemplo de este mtodo, tomemos la Conchoide de Nicomedes*. 1

Sea ED la Conchoide con polo G, asntota AT y distancia E1 ..... LD(=cte.)

, :r; ' \ ' ' t I \ , '... .,,,

*La Concoide o Conohoide de Nioomedes, se define como el lugar geomtri-co de loD puntos D tales que DL = ate . Donde C es un punto fijo llamado polo, AT es una recta fija a una distancia AG del polo y l es una reata cualquiera trazada desde G que intersecta a AT e11 el punto L.

1

33

Llamemos x=AB y y=BD, GA=b y LD==c. Los tringulosADBL Y 6.GMD son semejantes, ya que MOL= BLD tpor alternos internos), y DBL= o'MG = 90 ;

entonces

LB DM = BD MG

pero = ~ cz. - Yl 1 LB BD = y

DM = X

~ y MG = b+y

entonces

X

*

b+y ' .

llamemos

entonces tendremos las dos ecuaciones

bz + yz = xy y 2. 2 '2. z = e - y

y buscando las fluxiones de x, y y z, obtenemos:

bi + yi + zy . . = xy + yx y 2zi = -2yy

el iminando . z de las dos ecuaciones, tendremos:

b 2.. :..EYt - LJ!... + yz = xy + yx

z z

de donde

; l

. '

'1 \' '

1

por lo que: .

:t_ BD = = BT X z -~-~ X -z z

pero como BD =y 2

BT = z -

.t?i_ - L - X z z

pero

z = BL X = AB

z - X = -AL

adems : y = BD = M-1

b +y = GM

entonces, el punto T quedar determinado mediante la relacin:

-BT =AL+ (BDGM) BL ;

f itf

en donde el signo (-) indica que el punto T debe ser tomado del lado de 1 B opuesto a A.

El mtodo anterior se usa cuando la curva est referida a un :y

de coordenadas recti1 neas ya sean ortogonales o no. Pero algunas curvas .~~;, simplifican mucho su ecuacin cuando se usa un siste~a

vi lneas. En la pr6xima seccin, dedicada bsicamente a la cicloide,~

tudiaremos otro mtodo para calcular tangentes. p

l

. "

UI .....

~s

35

1.6 LA CICLOIDE, TANGENTE Y CUADRATURA

El mtodo que estudiaremos a continuacin, nos permite encontrar

la t ngente a una curva cuando se conoce la relacin entre ella y otra

curva de referencia dada.

Estudiaremos este mtodo en el caso particular de la cicloide en

donde, como se ver, se simpl 1fica mucho el problema. 1

Sea ABF una curva dada que usaremos como referencia Y sea Bt su !

tangente en un punto B y BC id ordenada de B (con un cierto ~ngulo con AC).

Supongamos que la curva DE (a la ~ual queremos trazar la tangente) se puede expresar por medio de una relacin entre el segmento BD (prolo.!l

........

gaci6n de la ordenada) y el segmento de curva AB. Movamos la qrdenada BD un espacio indefinidamente pequeo a la

- 11 " posi cin bd, y sea Oc un arco paralelo -a Bb. Entonces, e 1 "momento" de ......-..

la ordenada BD ser cd, mientras que el "momento" de la "abscisa" AB se

ra Bb. "" Prolonguemos Dd hasta que se intersecte con Bt en T. Como Dd es

~~arco indef inidamente pequelo , entonces se puede considerar como un

,,

~ y . ,

1 2o.

1 1 J 1 1 1 .

1, 1 o

,

'1

segmento de la tangent!:_ a la curva DE en O. """ Y,como Bb es un 1 t,

g~ _f} r:!i dmente pequeo, entonces se puede coris i derar como un segmento je la tangente a la curva ABF en B.

Los tri~ngulos ~TDB y ~Ddc son semejantes (lados paralelos) l entonces:

BT De Bb -- = = BD Cd Cd

Asi que el punto T se puede

los 11 momentos 11 Bb/cd.

1

1 1

d 1 e terminar 1

conoci er.do 1 a razn ept 1

Como un ejemplo de este mtodo encontremos la tangente a la ci '; '

cloide (*): 1 t., 1 f (*) La cicloide se define como el lugar geomtrico descrito por un p

to fijo P de una circunferencia que rueda, sin resbalar, ta fija. La ecuaci6n rectangular de la cicloide es:

x = a are cos a - Y a

de donde a es el radio del crculo generador. Y sus

mtricas son:

x = a(Q - senQ) y = a(l - cosQ)

\To.. X

- --- -------------------~

37

Consideremos el cfrculo fijo ABF (el cfrculo generador de la cicloide en el centro de sta).

Sea O el punto de la cicloide en donde se quiere trazar la tan

gente. Tracemos DB//OF (la recta fija de la cicloide). Como O est sobre la cicloide

00' = x = a(Q - senQ)

Donde O' es el pie de la perpendicular al eje x desde O y. de acuerdo -a-la figura

OB' = OF + FB'

con B' pie de la perpendicular al eje x desde B. Pero OF = 1ra la semicircunferencia. ya que el cfrculo ha roda

do sin resbalar.

y

entonces

3 FB' = a cos(Q - - 2- r )

OB' = 11" a + a cos ( g - - 3- 1r ) 2 .

De la figura vemos que:

pero

entonces

es decir

OB = OD' OB' i "'a(Q - senQ) - ar - a cos(Q

cos(Q - - 3- 7 ) ::::-senQ 2

OB = aQ - a " - a senQ + a senQ ,....

DB .. aQ - a 7r .. AB

- _3_ r ) 2

r

l

d ' " '

' 1

.\

Entonces la ecuaci6n de la cicloide referida al c~rculo fijo FAB es:

r--. OB = AB

-Si llamamos AB = x y 08 =y la ecuaci6n ser

X =y 1

Y, calculando las fluxiones: 1

x = y

38

Entonces, si BT es la tangente al crculo fijo en B, la tangente en o a la cicloide es DT donde T es un punto que cumple

o sea

BT 80 = X y

= 1

Para el caso de la cuadratura, la cicloide nos permitir 'tambin

ilustrar un mtodo interesante en el que, por otra parte, podremos

conocer el mtodo de integraci6n por sustitucin. El problema es:

- Encontrar curvas cuyas reas se relacionen de cierta forma con

el rea de una curva dada (por ejemplo, que sean iguales).-

Solucin.-Sea FDH la curva dada y GE! la curva buscada en la figura sigui~

te:

s

d

e

s

f1

su

8

ente

nbin

re

a con

iguie!!_

"' . lae

39

y

A 1 . e

\... ..... --.... ~ ..J )'.

y DB y EC sus ordenadas respectivas, que avanzan sobre las bases AB y AC.

Los incrementos y, por tanto, las fluxiones de las reas barridas

sern proporcionales a estas ordenadas multiplicadas por la velocidad

de avance, esto es, por las fluxiones de sus bases respectivas, es de cir, de acuerdo con la notaci6n en la figura:

. s vx --

t yz

Si ahora que x . suponemos = 1 y V = s , y e t/z

De acuerdo con esto, si conocemos la relaci6n entre las reas

s y t y 1 a re 1aci6n entre 1 as bases x y z podremos encontrar 1 as

fluxiones s y t y 1 a curva buscada ser y = t,; .

Si las reas son iguales, t enemos el mtodo de integracin por sust ituc i 6n :

~ , 1

n ri i

1

1~ '. . "

;t, i

l .

. 40

Sea s = t =} s = t = V por lo tanto y = v/z. Es decir, en notaci 6n moderna: J

V = f (x) z = ~(x), X = 'l' (z)

y(z) = f (x) = f('l'(z)) pero 1 Y''(x) Y' 1 ( 'lt(z))

1 ~ ('l'(Z)

1

1

' po r 1 o tanto y = f('Jl(Z) )~(z) o sea, Jf(x) f x = Jf( 'l'(z) ) q,'(z) _ 1\ 1 11

1 t 5

Ahora, apliquemos este ~todo al caso de la cicloide:

.........

... ...

... ...

......

... ,, ....... l..

F

V

Tomamos AB como 1a abscisa x y completamos el rectngulo ABDG.

Busquemos la superficie complementaria AGD concibindola como

descri ta por el movimiento de la ordenada v = AG. La fluxin de esta

rea se r

s = XV

. t

~

y

e

d

e

s

F\

1 (t)

a

41

Ahora, como AL es paralela a la tangente DT (ver Apndice) se tiene que

. BL A8

V :: -.--

X

pero si x = 1, se tiene

v = -L AB

y, consecuentemente,

s = BL

(pendiente de la tangente)

es decir, el rea ADG es descrita con la misma razn de cambio que el

~rea del crculo ALB entonces, estas dos reas son iguales. (Ver Ap!J. di ce).

La siguiente seccin corresponde a un problema tomado de los Prin

c1pia que nos parece interesante porque muestra el tratamiento de una

situaci6n fsica -ya no slo geomtrica como en las secciones anteriores-

en donde est presente una gran parte de la algoritmia del clculo dise Ha do. por Newton.

,'

' 1 . :

I .7 UN TRATADO DEL METODO DE SERIES Y FLUXIONES Issac Newton {1671)

42

Observando que la mayora de los matemticos, con un desprecio casi completo por el mtodo sinttico de la antigedad, se han dedicado al es tudio del Anlisis con la ayuda del cual han superado dificultades formi dables agotando, virtualmente, todo aquello fuera de cuadratura de curvas

1 1

y algunos tpicos cuya n~turaleza no ha sido cpmpletamente dilucidada: Decid, para satisfacci6p de los estudiantes, ~edactar el peque~o tratado siguiente con el cual se : amplan las fronteras! del Anlisis y se avanza

' 1

en el estudio de las curyas. Como las operaciones del clculo con nmeros y con variables, son

muy semejantes - de hecho no hay dife rencia entre ellas excepto que unas son definidas y las otras, ind~finidas -, me sorprende que no se le haya ocurrido a nadie (exceptuando a Mercator con su cuadratura de la hiprb~ la) ajustar la teora, recientemente establecida, de los nmeros decima les, en forma semejante a las variables, especialmente porque este camino est abierto a las ms notables consecuencias. Este tratamiento tendr~ con el Algebra la misma relacin que la teora de los nmeros decimales tiene con la Aritmtica comn; las operaciones de suma, resta, multiplic! ci6n, divisin y extraccin de raz, se pueden aprender fcilmente de sta ltima. As, el lector puede ser experto en ambas, Algebra y Aritmtica, y apreciar la correspondencia entre nmeros decimales y series infinitas de trminos algebraicos. Y as como la ventaja de los decimales consiste en que, una vez reducidas las fracciones y races a ellos, pueden ser tr! ta das como enteros; asimismo, 1 a ventaja de 1 as series infinitas es que las expresi ones complicadas (como fracciones cuyos denominadores son ca~ tidades complicadas, races de cantidades complicadas, etc .) pueden ser reducidas a series infinitas de trminos ms simples . Consecuentemente, primero mostrar como reducir ciertas cantidades a trminos ms simples, revelando mtodos menos familiares y, entonces, aplicar este anlisis a la resolucin de problemas.

Las reducciones por divisin y extraccin de rz sern ms claras, a partir de los siguientes ejemplos, comparando los mtodos, tan simila res, de operar con decimales en Aritmtica.

-- - ---- --------------------......

o

y

. '

SE!

s

o

)

no

ca

sta

:a'

1S

;te :ra

:ir1

r

e,

s,

a

as,

a

43

Ejemplo de reducci6n por divisi6n: 2 Si se propone la reduccin de "li-::::-x , divdase a2 entre b+x de la si

guiente manera:

a2/b - a2xzb2 + a2x2/b3 a2x3/b4 + ... b + X 1 a2

a2 + aL;b arx/b

1

- a~x/b - a2x2;b2 a2x2/b2

a2x2/b2 T a2x3;b3 ' a2x3/b3

y el resultado es la serie

2 -b- - + + ..

que, continuada hasta el infinito, es equivalente a b + X

O bien, si se ordena el divisor como x + b, la serie equivalente ser:

. --- + ..... X

1 De la misma manera, la fracci6n ---1 + x2 se reduce a

1 - X + x2 - x6 8 + X - .

o a

y la fracci 6n 2x .J/2 x3/ 2

1 +x112 3x

se reduce a 2x112 - 2x + 7x 3 12 - 13x2 + 34x5/ 2 + .. .

'

1,

\ 1

' 1

'i

'

44

Ejemplo de reduccin por extraccin de rafz: Si se propone reducir ~a 2 + x2 1 , se extrae la rafz de la siguiente

manera:

2 X

x2 + x4 /4a 2 - x4/4a 2

x4/4a 2

2a+x2/2a

"

x6/sa4 - x8/64a 6 2a + x2 /a - x4/4a3 + x6/!6a~ " '; x6/sa4 + x8/16a 6 - x10/64a8+ ..

entonces, la rafz de a 2 + X 2 equivalente a 1 a serie es

a + x2 x4 + x6 2a Sa3 16a5

y, si ordenamos los trminos como x2 + 2 a , la serie equivalente ser:

X + 2 4 + 6 2x sx3 16x5

Ca lcu 1 ando de 1 a misma forma, la rafz de x - x2 es

xl/2 1 x3/2 __ l_ XS/2 1 7/2 + - -2- --X 8 16

Y 1 a raz de 2 + bx 2

- X es:

+~ 2 b2 x3 X + a ----

Sa 3 .....

2a 2a

t.

ci lo te

t

er

(16a5

I.8 TEOREMA DEL BINIMIO Isaac Newton

(Carta de Junio 13, 1676 a Oldenburg)

45

Las fracciones se reducen a series infinitas por divisin, y los radj_ cales, por extraccin de races, llevando estas operaciones con smbolos has ta donde, comunmente, son llevadas con nmeros decimales. Estos son los fun ~mentas de estas reducciones; pero la extraccin de races es mucho ms cor

1 \ 1

ta con el siguiente teorema:

(P + PQ)m/n = pm/n + ~ 4o + 1

m-n 2n

BQ + m-2n 3n 1 CQ + ....

Donde P + PQ es la cantidad cuya raz, o potencia, o raz de una pote~ cia se qui ere encontrar. P representa e 1 primer trmino de 1 a expresin; Q

' los trminos restantes divididos entre el primero, y m/n el negativo expone.Q_ te , entero o fraccionario, negativo o positivo. Finalmente, A es el primer

t~rmino pm/n , B, el segundo (m/n) AQ, etc. Por ejemplo para calcular J(c 2 + x2) 1 [== (c 2 + x2) 1/2] P == c2 ; Q 2 2 == x /c ; m == 1 n =2

B == [(m/n)AQ = (l/2c) x2;c2J == ~~ 1-2 2 2 4 C = [ ~ BQ (+) ( X ) J -X ::; = 8c3 2n 4 -;z

entonces,

(c2 +x2)1/2 2 4 x6 X _x_+ ::; c+-- -16c5 2c sc3

JUSTIFICACION DEL TEOREMA DEL BINOMIO Isaac Newton

(Carta de Octubre 24, 1676 a 01 denburg)

etc.

5x8 + .... 128c7

En el inicio de mis estudios matemticos, cuando me encontr con los tra bajos de nuestro celebrado Wallis, observando las series que, al intercalarlas,

' '

,l.

'

''

lf :

cy. JI ,

. '

46

le permitieron cho de que, en

calcular la serie

el de

rea del crculo y la hiprbola, consider el h~, curvas cuya base comn o eje es x y cuyas ordena

das son :

Curvas

(1 - x2)0/2

(1 /)1/2

(1 - x2)2/2

(1 - x2 )3/2 ( 1 x2)4/2

( 1 _ x2)5/2

( 1 _ x2)6/2

Areas

X

1 3 X - - X 3

x __ 2_ x3 + _1_ x5 3 5

x __ 3_ x3 + _3_ x5 __ 1_ x7 1 3 5 7 1

si las reas conocidas de estas curvas (2da. columna) pudieran ser interpQ ladas, deberamos tener las reas intermedias, la primera de las cuales

(1 - x) 112 es el rea del crculo. Para interpolar estas series, not que, en todas ellas, el

. l d t . t . t o 3 1 3 2 3 mino era x y e segun o rmrno era, respec 1vamen e, - 3-x - 3-x , - 3-x,

_3_ x3 3 , que vara en progresin aritmtica; entonces, los primeros

dos trminos de las series a intercalar, deberan ser:

1 X - - 3

1 (-5- x3) X - -3- 2

etc.

1

r

e

a

r

47

Para encontrar los otros trminos de las series, encontr que los denE_ mi nadores 1, 3, 5, 7, etc., estn en progresin aritmtica, as que slo necesitaba investigar los coeficientes numricos de los numeradores. Pero en 1as reas alternadas dadas, estos coeficientes, eran los dgitos de las pote!.!_ cias de 11, es decir 110, 11 1 , 11 2 113. 11 4 , ... esto es, el primero 1; de~ pus 1,1; el tercero 1,2,l; el cuarto 1,3,3,1; el quinto 1,4,6,4, l, etc. Y as empec a preguntarme cmo los nmeros restantes en estas series podran deri varse de los dos primeros \ numeradores y encontr\ que, llamando mal segu.!.!_ do , los restantes seran prodcidos por multipl icac1iones sucesivas de los tr

' 1

minos de la serie siguiente:

m-0 1

X m-1 2

X m-2 3

X m-3 4

X m-4 5

X

Por ejemplo, sea m " = 4, entonces

4-1 4x--=6 2

4-2 6x-- = 4 3

4 x-1::]__ = 1 4

lx_H_ =O 5

para el 3er. numerador,

para el 4o. numerador

para el So. numerador

para el 60. numerador

en cuyo trmino, para este caso, la serie termina. De acuerdo con esto, apliqu esta regla para interpolar las series en

tre las series y entonces, para el caso del crculo, cuyo segundo trmino es 1 1 3 1

- 3- (-2- x ) , le corresponde m = - 2- y los coeficientes de los numeradores restantes sern:

1 1 1 -2- - 1 -2- X 2 = -8 para el 3er. numerador

1 2 1 -2- -- 1

--x 2 -15 8 para Pl 4o. numerador

1'

1 1 -2- 3

16 X --4-:--- -5 =--128 y as hasta el infinito.

para el 5o. numerador

Entonces, el rea del segmento circular ser:

X - (1/2) x3 3 (1/8) x5

5 (1/16) x7

7 (5/128) x9

9

48

- ....

Y, por el mismo razonamien1o, se pueden curvas.

intercal r las reas de las otras

Esta fue mi primera ~ntroduccin en estos d sto, inmediatamente em~ec a considerar que

(1 - x2)0/2 = 1

(1 - x2)2/2 = 1 - x2

(1 _ x2)4/2 =

2 4 1 - 2X + X

(1 - x2) 6/2 = 1 - 3x2 + 3x4 - x6

r

1

rstud1os, pero cuando apre~ los trminos !

podran ser interpolados de la misma manera en que lo habrn sido las reas generadas por ellos, y que, para este propsito, slo se requera omitir los denomina dores 1, 3, 5, 7, etc. que son los trminos que expresan las reas; esto sigifica que, los coeficientes de los trminos de las expresiones

ca l adas, es decir de (1 - x2)112 o (1 - x2)312 o, en general, (1 - /)m provienen de las multiplicaciones sucesivas de los trminos de esta serie:

mx m-1 m-2 m-3 m-4 2 X 3 X 4 X 5 X ....

As, por ejemplo:

(1 x2)1/2 = 1 _l_ x2 _l_ x4 1 6 - - - --X 2 8 16

,,

'

:n

as

1 os as; ter

49

(1 - x2)3/2 1 3 2 + _3_ x4 + _l_ x6 = - -X 2 8 16

(1 - /)1/3 1 1 2 1 4 5 6 = - -X - -x - ---gr- X 3 9

As f entonces, conoc la reduccin general de radicales en series infinitas, despus de estar familiarizado con la extraccin de races. Pero una vez conocido lo primero, lo segundo no podia permanecer mucho tiempo oculto para mi.

Pa ra probar este proceso, multipliqu .

1 __ 1_ x2 __ 1_ x4 __ 1_ x6 _ 2 8 16

por s mismo y obtuve 1 - x2 y ttmi nos res tan tes que se hacen cero si se continua hasta el infinito. Y an

1 2 1 - - 3- X 1 4 5 6

- - 9- X - ---gr- X

mu lti plicada dos veces por si misma produce 1 - x2. Y como sta no era, por s ~ sola, una prueba de estas conclusiones, trat de extraer las races de

l - x2 de una manera aritmtica, lo cual result correcto. Esta es la forma como trabaj con races cuadradas:

2 1 - X

_1_ 2 0 - X

2 4 2 - X - X /8

- x4/4 + x6 /8 + x16 /64

O - x6/8- x16/64 2 - x2 - x4/4 - x6/16

-~X:~:~.-. --r- - ---1

1

l! '

1,' '

. !

...

50

Ejemplo de reducci6n por medio de la resoluci6n de ecuaciones.

Como la dificultad aquf se encuentra enteramente en la tcnica de lucin, dar primero un ejemplo del mtodo en una ecuaci6n numrica.

Supongamos que y3 - 2y - 5 = O es la ecuacin que se quiere resolver ~ y supongamos que, por algn mtodo, hemos encontrado que la raz de la ecua ci 6n difiere en menos 1/10 de 2 ( *) entonces: hagamos y = 2 + p, 1 a ecuacin queda entonces: 1

p3 + 6p2 +1 lOp - 1 :: o 1 1

' Como p es menor que tllO, podemos aproximarla (despreciando las pote~ cias 2 y 3) por la ecuacin

lOp - 1 ~O o sea p ~ 0.1

esto significa que p = 0.1 + q (ton lql < 0.01) ecuacin dada queda:

Con este valor de p la

q3 + 6.3 q2 + 11.23 q + 0.061 :: o

De nuevo, como q es menor que 1/100, podemos aproximarla despreciando los trminos en q2 y q3, entonces:

11.23 q + 0.061 ~o ==} q ~ - 0.0054 entonces podremos escribir q =-0.0054 + r (con Ir/ O > f(2.0) entonces, por

f ( 2 . p) = o con O < p < 0.1

e

p

ob

01

-(*) ( **

r,

,,

., '

51

Por mtodos no muy diferentes se pueden resolver ecuaciones de dimensio nes mayores, teniendo cuidado, como se hizo aqu, de omitir el primer trmino en cada paso.

Yb no se si este mtodo de resolver ecuaciones.es ampliamente conocido o no , pero ciertamente, en comparacin con otros es simple y fcil de practj_ car . Su prueba es evidente a partir del modo de operacin de l mismo, y en consecuencia facilmente puede ser recordado cuando se necesita. Con l se pu~ den resolver ecuaciones completas o incompletas de la misma forma.

1

Supongamos ahora que queremos resolver la ecu1cin algebrica:

2a~ + axy x3 = O 1

Primero, busquemos el valor de y cuando x = O, es decir, resolvamos la ecuacin

2a 3 = O

que nos da la raz y = a Entonces, supongamos que y = a + p en la ecuacin original: (*)

(a + p) 3 + a2(a + p) - 2a 3 + ax(a + p) - x3 = O

x3 = O

x3 = O

Ah . d l . , 4 2 2 l l l . b l ora cons1 eremos a expres1on a p + a x en a cua as varia es p y x estn en su menor potencia, entonces aproximando (**)

obtenemos p :::: - _1_ X 4

1 + p = - --X q 4

o bien

(*) Para obtener una expansin de y en potencias de x alrededor de x O. (**) Porque x ==O entonces sus potencias son muy pequeas.

52

Sustituyendo esta expresin en la ecuacin original tendremos:

1 3 1 2 2 1 1 2 3 (--4-x+q) +3a (- 4 x+q) +4a (- 4 x+q)+ax(- 4 x+q)+ax-x =O .

es decir:

1 3 3 2 3 2 3 3 2 3 2 - 64 x + 16 x q - 4 xq + q + l6 ax - 2 axq + 3aq +

i -a2x + 4a2q - -1 ax2 + axq + a2 x

4 1

De esto tomemos la expresin

2 1 2 4a q .,. l6 ax ~

3 - X

'

= o

en la cual las variables q y x (*) estn en su menor potencia y, como esta es cercana a cero obtenemos la aproximacin:

o bien

x2 q ~ 64a

q = x2

64a + r

entonces, sustituyendo esta expresin en la ecuacin original, (despreciando los trminos en q3 y xq2) tendremos:

x2 2 2 x2 1 x2 3 2 x2 1 2 65 3 3a(64a + r) + 4 (64a + r) - yax (64a + r) + 16 x (64a + r) - 16 ax -54x = ~ O sea:

(* ) Porqu e x es c e r cana a cer o

.r t

'.)

53

2 4a r _Jj 3 1 / - 1j

I. ' 1 l '

' ( :1

54

Entonces podremos escribir y con las aproximaciones calculadas, de la siguiente manera:

y=a--x-+ 4 x2

64a + 131 x3 512a2 +

509 x4 16384a3

+ .....

que se puede continuar de la misma forma hasta donde se desee.

de b6

la

n1 y '

can

rea

una

por

)4

, de la sl

55

l l, EL CALCULO DE LEIBNIZ (*)

Una de las mayores preocupaciones de Leibniz, y al mismo tiempo uno de sus mayores triunfos, fue la de proveer al Clculo de un lenguaje sim b61i co como un medio para "guiar la mente a conclusiones correctas". Unos cuantos ejemplos bastarn para resaltar la importancia de lo que la nota

1 -

ci6n Leibniziana significa para el Clculo. ! En la notacin funcional, introducida mucho ms tarde por Lagrange,

la regla de la cadena dice lque si h(x) = f( g(x) 1), entonces 1

= f 1 ( g(x)) g'(x) - - - - (1)

Nada en la notacin de la,expresin (1) sugiere por qu sta es cierta ni tam poco cmo probarla. Pero la notacin diferencial con z = f(y) y y" g(x) transforma la frmula (1) en:

dz dz dX = _d_y_ ~ ~y_ dx - - - - - - - - - - (2)

Esta expresin por el contrario, sugiere su propia validez por la cancel acin de las diferenciales dy's de la derecha como si fueran nmeros rea les. Esta cancelacin simblica de las diferenciales tambin sugiere una prueba lgica de la frmula, reemplazando las diferenciales dx, dy, dz por los incrementos finitos t:.x,t:.y,t:.z y tomando despus lmite.

La versin integral de la regla de la cadena, es la frmula de inte gracin por sustitucin.

ff( g(x)) g' (x)dx = /f(u)du - - - - - - - (3)

() Traduccin del libro "The Historical Developme nt of the Calculus" de C. H. Edwards, Jr. Springer-Verlag, New York Inc., 1979, Captulo IX.

' ' 1

La sustitucin simblica u = g(x) du = g' (x)dx hace cue la frmula (3) parezca inevitable cualquiera que sea su demostracin. Esto viene a ser la invarianza de la forma diferencial f(u)du con respecto a cambios arbi trar ios de variable; uno de los ms importantes descubrimientos de Leibi niz.

Ahora consideremos una superficie generada por la rotacin de la curva y = f(x) alrededor del eje x. Pensando en un segmento infinitesi mal de curva ds como la hipotenusa del 11 tri~ngulo caracterstico 11 con l! dos dx y dy (ver Fig. 1) el teorema de Pitgoras dice que:

ds = J (dx) 2 + (dy) 2 \ ==J 1 +

y

Yi='f(x) \ \

I ' I 1

1 1 1 1

' 1 1

1 1 1 1

1

Fig. 1

Cuando este segmento ds gira alrededor del eje x en un circulo den dio y, genera un rea infinitesimal:

dA = 2 rr y d s = 2 rr y J 1 + ( *) 2 ' dx Sumando estas ~reas infinitesimales obtenemos:

':1 '1 ! 1 '

par4 rre<

En < y li '(qu i do e

anal fini in ve prot tran 1a e sult

II.1

t..eib sion res a

lado de e~

te 111 1 ces i l

i6

. ' !'" .

.:".'' , ..

i-, ''

r. ,,

57

pa ra el rea de la superficie. De esta forma 11 descubrimos 11 la frmula c.2_ rrecta (4) por medio de un sencillo manipuleo de los smbolos de Leibiniz. En contraste, su justificacin rigurosa requerira una detallada discusin y la definicin del concepto de "rea de superficie" seg~ida de una prueba (qu iz en trminos de suma de Riemann) de qL1e la frmula (4) est de acuer do con esta definicin.

Estos sencillos ejemplos ilustran los principales rasgos del clculo analHi co o simblico de Leibn~z - el papel central de las diferencias in f1nite simales (diferenciales) r de las sumas (integrales), y la relacin inversa entre ellas; el tringulo caracterstico como la unin entre los -problemas de tangentes (diferehcial) y los de cuadratura (integral); la transformacin de integrales por medio de sustituciones - y la forma por la cual este clculo gua, de hecho, la mente en la deduccin formal de re sultados correctos.

ll.l LOS ORIGENES - SUMAS Y DIFERENCIAS

En la "Historia et origo calculi defferentialis 11 y en otras obras, Leibniz siempre atribuye su inspiracin a sus primeros trabajos sobre suce siones de sumas y diferencias de nmeros. Cuando estudiante, estuvo inte resado en las propiedades de los nmeros y en 1666 public un ensayo titu lado "Qe Arte Combinatoria 11 en el cual trataba las propiedades elementales de combinaciones y permutaciones.

Poco despus de su llegada a Pars en 1672, Leibniz not un interesa.!!. te hecho en la suma de las diferencias de trminos consecutivos de una su cesin numrica. Dada la sucesin

consideremos la sucesin

de diferencias d. = a. - a. 1 . Entonces l. l. i-

1'

58

Esto es, la suma de las diferencias consecutivas es igual a la dife rencia entre el primer y el ltimo trmino de la sucesin original.

Como un ejemolo de esto, veamos que la suces16n de diferencias de la sucesi6n de cuadrados

O, 1. 4, ... , n2

es la sucesin de nmeros i~pares consecutivos 1, 3, 5, ... , 2n - 1

porque i 2 - (i - 1) 2 = 2i - 1, de aqu se sigue que la suma de los primeros n impares es n2

1 + 3 + 5 + ... + (2n-l) = n2

No mucho tiempo despus de su llegada a Pars, Leibniz llam a Chris tiaan Huygens (1629-1695), quin estaba concluyendo su tratado 11 Horologium oscillatorium 11 (1673) sobre la teora del reloj de pndulo, y era probabl~ mente el ms renombrado cientfico en Europa continental. Cuando Leibniz le destribi sus resultados con sumas de diferencias, Huygens le sugiri que tratara de encontrar la suma de la serie

1 1 1 1 1 -1- + -3- + -6- + 1. + .. + -n ~( n-+-1~) -2- + - - -(6)

de recprocos de los nmeros triangulares. Este problema haba surgido, por alguna razn, en una discusin con Hudde sobre el clculo de probabilj_ dades para ciertos juegos de azar.

El problema de Huygens era especialmente propicio para Leibniz en ese tiempo. Por sus primeros trabajos, l estaba familiarizado con el "tring~ lo aritmtico" de Pascal. Si escribimo el tringulo de la siguiente forma:

---~--~----....... --

imeros

Chris ogium bable bniz ri

(6)

do, abili

en ese

ing~ forma:

El n-simo elemento de cada columna es la suma de los primeros n ele mentos de la columna precedente. Entonces el n-simo nmero triangular, la suma de los primeros n enteros, ~s el n~simo elemento de la tercer columna. El tringulo aritmtico, exhibe as, los nmeros triangulares como sumas de enteros, los piramidales como sumas de triangulares, etc. E inversamente, los nmeros ' triangulares son diferencias de nmeros piramidales consecutj_ vos, etc.

Leibniz vi que la pregunta formulada por Huygens poda contestarse empezando con la sucesin de los recfprocos de los enteros en lugar de los enteros mismos y construyendo despu~s las subsiguientes columnas tomando diferencias en lugar de sumas. De esta forma Leibniz obtuvo el siguiente arregl o, al cual llam el 11 trHngulo armnico 11

1 1 1 -1- /'-2- )"-3-

1 1 1 -3-l/' 12 30 : J1): 6:0

-5- f 30 105

1 -4-

1 20

1 60

1 140

1 -5-

l. 30

1 105

1 -6-

1 42

1 -7-

60

Cada una de las columnas del tringulo armnico es la sucesin de~ ferencias de los trminos consecutivos de la columna precedente. Entonces, la suma de los trminos de cada columna es igual al primer elemento de la co l umna precedente. En particular

_1_ +_1_ +_1_ +_1_ 2 6 12 20 + .

1 1 1 1 1 -3- + 12 +30 + 60 +

i 1 1

1 1 1 1 4 + 20 + 60 + 140 +

- 1 - - - - - - - - - (7) i 1

= + -. --------(8) 1

= -3- - - - - - - - - - (9)

El n-simo elemento de la ~egunda columna del tringulo armnico es

_1_ - _1_ = ~-1~-n n+l n(n+l)

el cual es la. mitad del recproco del n-:-simo nmero triangular n(n+l)/2. Entonces la multiplicacin de la ecuacin (7) por 2 resulta la suma solici tada por Huygens,

1 . 1 1 1 -1-+-3-+-6-+10+ = 2

El tringulo aritmtico de Pascal y el tringulo armnico de Leibniz encierran una cierta relacin inversa con respecto a su forma de construc cin - involucrando sumas en un caso y .diferencias en el otro-. En el tringulo aritmtico cada columna contiene las sumas de los trminos de la columna precedente y las diferencias de los trminos de la columna sigui~ te. En el tringulo armnico, cada columna contiene las diferencias de 101 trminos de la columna precedente.

Estas consideraciones sembraron en la mente de Leibniz una concepci~ que habra de jugar un papel dominante en su desarrollo del clculo -la~ cin de una relacin inversa entre la operacin de tomar difere.ncias y la de f ormar sumas de los elementos de una sucesin-.

I

tr dE

l~ b1 de su

de n 1 e lin

con

Des, mo e

60

~ di 1ces, la

7)

3)

3)

es

12. lici

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;; la uien e los

pci6n la no la

"''

61

11.2 EL TRIANGULO CARACTERISTICO

Leibniz encontr su famoso "tringulo caracterfstico 11 estudiando el trabajo de Pascal. En junio de 1658 Pascal propuso un concurso con fecha de clausura lo. de octubre de 1658 para la solucin de varios problemas r~ lativos a la cicloide -encontrar el rea y el centroide de un segmento ar_ b1trario de cicloide, y encontrar los volmenes y centroides de los slidos de revolucin obtenidos al 9irar dicho segmento alrededor de su base o de su ordenada En 1643 Roberval haba demostrado que el rea de la cicloi

1 -

de completa c;s tres veces la de su crculo generador y que el volmen obte nido por la revolucin de la cicloide alrededor de su base es 5/8 del ci lindro circunscrito (ver Source book - Struik, pgs. 232-238).

la mayora de los principales matemticos de la poca siguieron este concurso con inters y algunos de ellos presentaron posibles soluciones.

4

Oespus de que ninguna de las soluciones presentadas haba sido juzgada CE_ mo completamente aceptable, Pascal public su propio trabajo sobre la cj_ cloide y problemas relativos, bajo el ttulo de 11 Lettres de A. Dettonville 11 (el pseudnimo de Amos Dettonville es un anagrama de Louis, o Lovis de Mon talde, el pseudnimo bajo el cual aparecieron las 11 Lettres provinciales 11 de Pasea l )

En la "Historia et origo 11 Leibniz, refirindose a l mismo en terce N pe~sona, describe su descubrimiento decisivo del tringulo caractersti co como sigue:

"De un ejemplo dado po r Dettonville, surge repentinamente la luz en l (en Leibniz), es extrao decir que el mismo Pascal no se hubiera dado cuenta. Porque cuando l prueba el teorema de Arqumedes para la medida de la superficie de una esfera o partes de ellas, usa un mtodo en el cual la superficie completa del slido formado por una rotacin alrededor de cualquier eje puede ser reducida a una figura plana equivalente. De aqu, nuestro joven amj_ go enunci, por s solo, el siguiente teo rema general. Porciones de una lnea rec ta normal a una curva, intersectadas entre

wf:?~j~'.;~ .. ##iW*

l i

1 1

'I' I ,

la curva y un eje cuando se toman en orden y se aplican en ngulos rectos

.a los ejes, producen una figura equj_ valente al momento de la curva alrede dor del eje 11

La referencia de PaTcal aqu alude a su breve "tratado de senos de un cuadrante de cfrculo 11 , el cual es parte de la , primera carta de Detton ville (~er Struik - Source book, pgs. 239-241)~ En su Proposicin I

1 Pascal demuestra que 11 la suma de los senos (ordenadas) de un arco de un 1

cuadrante (de un cfrculo) :es 1gua1 a la porc16n de la base entre el seno

62

extremo multiplicado por el radio". El uso de la palabra seno para la OJ: denada connota el hecho de que en la suma referida, cada ordenada se mul tiplica por el correspondiente,arco infinitesimal ds del crculo (en l.!:!_ gar de un segmento infinitesimal dx de la base).

Para demostrar la proposicin, Pascal construy el tringulo rect~ gula E1 E2 k con hipotenusa E1 E2 tangente al crculo en un punto tpico O, y entonces advirti que los tringulos E 1E2 k y AD! eran semejantes (ver Fig. 2).

Fig. 2

Entonces

62

e

10

or

u1 u

.tn >i co

~es

63

Entonces, si y= DI, a= AD, tis = E1 E2 ,tix::: R1 R2 , se tiene y tis::: al::)(... Viendoils y Ax como indivisibles y sumndolos, tenemos que el resultado de Pasea l es:

/yds = /adx - - - - - :- - - - - - - - - - - (10) ! 1

Como 2 ~ Y ds es el rea de una zona infinites1imal de la semiesfera de radio a, obtenida por la revolucin de un cuarto de crculo alrededor del

1

eje x, se sigue que el rea de la semiesfera es

A::: /2m'dS =

Entonces la ecuacin (10) da una derivacin infinitesimal de la fr mula del rea A= 411a2 para una esfera de radio a.

La 11 luz que surgi repentinamente 11 en Leibniz consisti en advertir h completa aplicacin general de la construccin del tringulo infinitesj_ ma1 de Pascal en una curva arbitraria, en donde la normal a la curva dada juega el papel del radio del crculo. As, por la semejanza de tringulos que se observa en la figura 3:

y

y

Fi g. 3

l

l

{ I

f ''

,' ' ' 1

:st::' sigue que

ds dx -- :: --

n Y o yds = ndx .

Sumando los infinitesimales tenemos que:

1 1

1

64

- - (11)

Como Leibniz no invent6 su notacin diferenc~al sino hasta finales ' 1

de 1675, tuvo que expresar (11) en forma verbal - el momento de la curva da 1 -

da alrededor del eje x es igual al rea bajo la segunda curva cuya ordenada es la normal n a la curva dada - (ver 11 Historia et Origo 11 }. Multiplicando el momento por 2i se obtiene el rea A = J 21Tyds de la superficie de revol.!!_ ci6n obten i da por rotacin de la eurva original alrededor del eje x. Cua~ do Leibniz mostr este resultado a Huygens ste ltimo 11 confes6 que con la ayuda de este teorema haba encontrado la superficie del conoide parab61ico (paraboloide} y de otras similares, que habtan permanecido sin demostraci6n desde mucho aos antes 11 (1657}.

Al mismo tiempo, Leibniz encontr cmo aplicar el mtodo del tri~n~ lo caracterstico a problemas de rectificaci6n y cuadratura. Dada una e~ va de la cual se pide una longitud de arco, denotemos con t la longitud del segmento de tangente intersectado entre el eje x y una ordenada vert cal de longitud (constante) a. Entonces, por la semejanza de tringulo en la figura 4, se sigue que:

't

"" /1 I 1

I

z Fig. 4

1 a 1 1

e e

VI

do

es 1/t que por

64

t

(11) ~

1a l es :urva da >rdenada 1 i cando revol u it

Cuan con l a

ab61 i co ;traci6n

;ring_!! ma cur

tud vert i ulo

65

~=~ t a o ads = tdy

De donde /ads = f tdy - - - - (12)

As, la rectificacin de una curva dada se reduce a un problema de cuadra tura - e 1 c 1cu1 o, de 1 rea de la reg i 6n, entre el eje y y una segunda

1 1 curva cuya absc1 sa x es 1 a tangente t a la curva dada.

Para la tercera aplicacin del tringulo caracterstico de Leibniz, veamos la semejanza de ~ os tringulos de la figura 3, la cual implica que

_Q,L = ~ V y o vdx = ydy

donde ves la subnormal a la curva dada. De ah

- - - - - - - - - - - - - - (13).

Leibniz advirti6 que, si la curva dada pasa por el origen y su base es el intervalo [o,b], entonces la integral (13) es simplemente el rea 1/2 b2 de un tringulo cuya base y altura son iguales a b - 11 lneas rectas que continuamente se incrementan desde cero, cuando cada una se multiplica por su elemento de incremento, forman un tringulo".

~ As, para encontrar e 1 rea de una fi gu-ra dada1 se busca otra figu~a tal que sus subnormales sean respectivamente igu2_ les a las ordenadas de la figura dada, y entonces esta segunda figura es la cua-

dratriz de la dada; y as, de esta extr~ madamen t e elegante consideraci6n, obt~ nemes la reducci6n de las reas de super_ f i cies descritas po r rotacin a cuadratu ras planas (frmula (11)), asi como 1a recti f icacin de curvas (frmulas (12)); al mismo tiempo, podemos reducir estas

M '

cuadraturas de figuras a un problema inverso de tangentes (frmula (13))".

Como v = y(dy/dx), la frmula (13) dice que:

J y ( ~~-) dx = J y dy

66

Esta fue la primera aparicin de dos ideas que habran de jugar pape 1 -

les centrales en el clculo de leibniz - la transformacin de integrales por medio de sustituciones, y la reduccin de los pro91emas de cuadratura a los del inverso de la tangente, siendo este ltimo la determinacin de

1

una curva a partir del conocimiento de su tangente. Para ilustrar la forma en la cual la expresin (13) reduce las cu~

draturas al problema inverso a la tangente, supongamos que se quiere e~ a

contrar el rea J; xn dx bajo la crva z = xn . Si podemos encontrar una curva y = f (x) con subnormal v = xn , entonces la expresin (13) nos dar

1 2 =2f(a)

asumiendo que f(O) =O . Tratando y= bxk, queremos que

Para esto se requiere que

- 1 [ r/2 k (n+l) y b = + (n+l) - -2-se sigue. que:

J: xn dx - 1 (bak)2 an+l - -2- - . n + 1 En estas investigaciones de 1673, su primer ao de investigaciones s!

rias en matemticas, Leibniz obtuvo pocos resultados realmente nuevos, es~ es, ninguna cuadratura o rectificacin especfica que no hubiera sido

b1ert cf to res" 1

- el 1 resul i Dos di como s

;. ;

66

r pap~

a les atura in de

cua

~ en

trar ) nos

ciones se ~ vos, esto , ido descu

67

b1erta prev1 arnente por otros. Aun su trHngul o caracterstico estaba implf c1to en el trabajo de Pasea 1 (y para ser justos, en 1 as "Geometrical Lect.!:!_ res" de Barrow). Pero el di6 importantes primeros pasos hacia su meta real -el desarrollo de un mtodo algortmico general que unificara los distintos resul tados y tcnicas que encontr en la 1 iteratura matemtica existente. Dos dcadas despus, en una carta a 1 'Hopital, resumi estos primeros pasos como s1 gue:

"[Con el] uso de lo que yo he llamado el tringulo caracterstico, formado con los elementos de las coordenadas y de la cur va, encontr como en un parpadeo, casi to dos los teoremas que despus encontr en los trabajos de Barrow y Gregory. Hasta entonces, yo no'estaba lo suficientemente

v~rsado en el clculo (lgebra) de Desea!'_ tes y no hice uso de las ecuaciones para expresar la naturaleza de las curvas; p~ ro por consejo de Huygens, me puse a tr~ bajar en l, y estuve lejos de arrepenti_c me de hacerlo, porque me di los medios casi inmediatamente para encontrar mi c_!_ culo diferencial. Esto fue como sigue: Yo haba experimentado desde hacia algn tiempo cierto placer por encontrar las S.!:!_ mas de series de nmeros, y para sto h~ ba hecho uso del bien conocido teorema que, en una serie infinita decreciente, el primer trmino es igual a la suma de todas las diferencias. De esto obtuve lo que llamo el tringulo armnico, en oposicin al tringulo aritmtico de Pascal ... Re

' conociendo de esto la gran utilidad de las diferencias y viendo que por el clculo de Descartes las ordenadas de la curva podan ser expresadas numricamente; v que encoD_ trar cuadraturas o las sumas de las ordena

111' ,,! 1

!

t:t "

das era lo mismo que encontrar una ordenada (la de la cuadratiz) de la cual la diferen cia es proporcional a la ordenada dada. Re conoc tambin, casi inmediatamente que en contrar las tangentes no es otra cosa que e~ centrar diferencias, y que encontrar cuadr~ turas no es otra cosa que encontrar sumas, teniendo :en cuenta que uno supone que las dj_ ferencias son incomparablemente pequeas 11

1

II~3 TRANSMUTACION Y LA CUADRATURA ARITMETICA D~L CIRCULO

A finales de 1673 o principios de 1674 Leibniz descubri una 11 transmuta ci6.n 11 general o mtodo de tran~mutaci6n con .el cual poda derivar esencial mente todos los resultados entonces conocidos de cuadraturas planas. En su respuesta a la 11 Epistolar prior 11 de Newton, Leibniz describe sus progresos:

11 Mi mtodo es como un corolario de una teorfa general de transformaciones, con ayuda del cual, cualquier figura, dada por cualquier ecuacin, se reduce a otra figura analtec~ mente equivalente, ... Ms aun, el mtodo g~ neral de transformaciones me parece adecuado para ser considerado entre los ms poderosos mtodos del anlisis, porque no solamente si.!:_ ve para series infinitas y aproximaciones, sj_ no tambin para soluciones geomtricas y un sin fn de cosas, difcilmente manejables de otra forma ... El principio de las transform~ ciones es el siguiente: una figura dada, con innumerables lneas (ordenadas) trazada de a.!_ guna manera (de acuerdo a alguna regla o ley), puede ser resuelta en partes, y las partes - u otras iguales a ellas - , cuando se reacomopan en otra posici6n o en otra forma, componen otra figura, equivalente a la primera o de la misma rea aunque la forma sea totalmente diferente;

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ansmut! ncial

En su resos:

as, se puede obtener la cuadratura de muchas formas ... Estos pasos son tales que los pu~ de encontrar de una vez cualquiera que proc~ da metdicamente bajo la gua de la Natural~ za misma; y contiene el verdadero mtodo de los indivisibles con una concepcin ms gen~ ral y que, hasta donde yo s, hasta ahora no haba sido expuesto con sufici~nte generali dad. Porque, no slo a rectas paralelas o convergenFes, sino a otras lne~s, rectas o curvas, construdas mediante una ley defini da, se les puede aplicar la resolucin (de la figura original en partes que se van a reunir formand otra figura); pero quien hE_ ya probado la universalidad del mtodo, ju~ r lo grande y profundo de los resultados que se pueden obtener. Porque, ciertamente, t2_ das las cuadraturas, absolutas o hipotticas hasta ahora conocidas, no son sino casos pa.!:_ ticulares de sta.

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Aquf Leibniz describe en trminos generales el siguiente principio, 41 cual fue aplicado el trmino 11 transmutaci6n 11 durante el siglo XVII. Sean Ay B dos regiones planas (o del espacio) cada una subdividida en 11 indivisj_ bles 11 , generalmente rectngulos (o prismas) infinitamente pequeos. Si hay un correspondencia uno a uno entre los indivisibles de A y los de B, tal que indivisibles correspondientes tengan igual rea (o volmen),entonces se dice que B se deriva de A por 11 transmutaci6n 11 , y conclumos que A y B tienen !reas (o volmenes) iguales.

Este principio est basado en los clculos de Cavalieri y otros que usaron rectngulos indivisibles. Lo que les permiti llevar a cabo (en una vari edad de casos especiales) lo que .habramos hecho ahora por medio de ca!!! bios de variable e integracin por partes. Aunque l describe las posibilj_ ddes inherentes, de alguna manera ms generalmente en su .carta a Newton,

f 1a principal innovacin de Leibniz en la prctica, fue el uso del tringulo 1ndiv isible en un proceso sistemtico de transformacin.

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Dados dos puntos vecinos P(x,y) y Q(x+dx, y+dy) en la curva y = f{x), x e [a,b], Leibniz considera el tringulo infinitesimal OPQ, donde O es el origen. Sea la tangente determinada por el arco infinitesimal ds que une los puntos P y Q e intersecta el eje y en el punto T(o,z) (ver Fig. 5), donde

._ ___ _

\ . \p

\ \ \

'I

1

Y:f(x)

lag (x)

z

b X

Fi g. 5

d Z = y - X~ - - - - - - - - - - - - - (14)

y denotamos por os el segmento perpendicular de longitud p desde O a la pr~ longaci6n de esta tangente. Entonces el tringulo OST es semejante al tri ngulo caracterstico PRQ, as que se sigue que

dx p

ds = --

z

de donde el rea del tringulo infinitesimal OPQ es:

1 1 a ( OPQ) = - 2- p d s = - 2- z dx - - - - - - (15)

l o

as

ni 1 tre tan par la ple bi1 teg1

fue masa

70

f = f (X ); es el

Je une 5). donde

( 14)

) a la pr.2_ te al tri

- - (15)

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Si consideramos el sector OAB, limitado por el arco AB de y= f(x) y 1os radios OA y OB. como subdividido en tringulos infinitesimales como el O?Q 1 entonces se sigue de ( 15) que

a(OAB) -- 21 Jb z dx - - - - - - - - - - - - (16)

en donde z = g(x) est definida por (14). Pero

1 1 = --;:;-2 b f(b) - - 2- a f(a + a(OAB) l : b (ver Fig. 5) = --}- [xy]a + a(OAB)

u1sesi gue de (16) que:

l b 1 a y dx = -2- ( 17) La frmula (17) es el 11 teorema de transmutacin 11 de Leibniz. Su si_g_

ntt icado [como el de la frmula (13)] es establecer una relacin inversa eD_ tr~ e1 problema de la tangente (ya que z est definida en trminos de la

b ungente) y el problema de cuadratura (del clculo de fa y dx). Por otra {ierte, se introduce una nueva curva z = g(x) que sirve como 11 cuadratiz 11 para h curva original y = f(x), en caso de que J'f z dx sea una integral ms sim

. b p1 en trminos de la cual fa ydx pudiera ser elvaluada. Hay que notar ta_!!! ~i~n que la sustituci6n de z = y - x (dy/dx) en (17) nos da la f6rmula de in l 3r4ci6n por partes f f (b)

= [xy ]b - x dy f {a)

La ms interesaRte aplicaci6n de Leibniz del teorema de transmutacin r11~ la ll amada 11 cuadratura aritmtica del crculo" - la derivaci6n de la fa C!C;.! serie infinita

.1L_ = 1--1-+_1 ___ 1_+ 4 3 5 7 - - - - - (18)

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que ahora lleva su nombre.

y

y:/2x-x2'

,?

ll

Fi g. 6

La mitad superior del crculo unitario tangente al eje y en el origen (Fig. 6) es la grfica de y =.J 2x x \ Como

encontramos que

o bien

~ = 1-x dx y

Z =y - X

2z 2

1 + z2 X =

1 - X y =Jh'

Leibniz entonces aplica la frmula de transmutacin para calcular el rea un cua rto de crculo como sigue:

i gr

72

origen

rea un

-+ [ 1 + ( 1 - o 1x dz ) ] 1

i !

= ~ -11 z2 dz o 1 + z2

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[por (17}]

{ver Fig.7)

(serie geomtrica)

= 1 - e-- z3 - -i- z5 + -i- z7 + ... ]~ (integraci6n trmino a tr-mino)

11 = 1--1-+_1 ___ 1_+ -4- 3 5 7

ignorando la cuestin de convergencia cuando z = l. z

: .. ll

Fi g. 7

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A Leibniz le atrajo la comparaci6n entre la serie

1 1 1 = l.""3+~ + 9.11 + - - - - - - - (19)

y la serie de Mercator en la forma

1 _l 1 1 1 1 1 4 1 og 2 - 4 (1 - -2- + -3- - -4- + -5- - 6 + )

1 1 1 1 1 1 = (4 - -s-) + (--z-- - ~) + ("21) - ~) + ....

+ lag 2 = ---1_ + _1_ + __ 1 __ + ... (20) 2'4 68 1012

Otro logro importante del mtodo de transmutacin fue la cuadratura de un segmento cualquiera de cicloide (el primer problema del concurso de Pas cal). La figura 8 muestra la mitad de un arco de cicloide generado por un crculo de radio a rodando a lo largo de la lnea vertical x = 2a. La longi tud y de la ordenada AQ de un punto cualquiera Q de la cicloide, est~ dada por

y ='u + s

donde u =,)2ax - x2' es la longitud de la ordenada AP del correspondiente punto P del cfrculo generador, y s es la longitud del arco circular OP. E~ to es, la longitud del segmento PQ es igual a la del arco OP, (Probarlo!).

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La semejanza del tringulo caracterfstico del cfrculo y el tringulo ABP implica que:

asi que

entonces

~ = a-x dx u y _iL = __ dx u

_EL_ = ~ ~ _iL = 2a - X dx dx dx u

z Y x * (u + 1) .. .2x; x2 (u + 1) u 1

, ,

, s

~o;----------..1..-,._ ____________ _...,__ __ ~ ______ A B 2a

X

Fig. 8

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El teorema de transmutaci6n da entonces

l"\dx= J:1..dx = 2 c1ydx- x1y1 - - - - - - - (21)

De donde

Pero restando el tri~ngulo ABP del sector circular OBP nos da:

se sigue que

r xSl dx = a U - S (a X ) }o 1 1 - i (22)

Finalmente, el rea del segmento de cicloide en el intervalo [O,x1 ] es, de (21) y (22)

Por eJemplo, con x = 2a y =1a u =O s =1Ta. La frmula (23) 1 'l 'l 'l da 3~a 2/2 para el rea del medio arco de cicloide mostrado en la figura 8.

. ,. ,

.l

1

1

I

ta. de Chi

niz te

log ter1 res

val e

tesi una

piez

usa ne

serva

obvio''

76 77

!l,4 INVENCION DEL CALCULO ANALITICO

) Leibniz relat la invencin de su clculo analtico en una serie de no

~2)

3)

(23)

a 8.

tas aisladas que escribi durante finales de octubre y principios de noviembre de 1675. Nos referiremos. a la traduccin al ingls de estas notas hechas por Chil d.

Dada una curva descrita en trminos de su abscisa y de su ordenada, Lei.Q. niz contempla una sucesin infinita de valores lde y asociada a la correspondie_!! te sucesin de valores de x. La sucesin de ordenadas es de alguna manera an!

loga a una sucesin ordinaria de nmeros, y las abscisas (como subndices) de termina el orden de esta sucesin. Sin embargo, la diferencia entre dos valQ_ res sucesivos de y, se supone infinitesimal, o 11 despreciable 11 comparada con los valores mismos de y.

Al principio Liebniz us. la letra 11 e11 para denotar la diferenciainfini tesimal entre dos valores sucesivos de y y design las sumas por 11 0 m n11 , como una abreviatura del latn omnia. Entonces, en el manuscrito de octubre 29, em pieza con su resultado + y2 = f y dy escrito en forma:

----,,r-2 omn. g =. omn. --~--

2 omn. (! _f__

a - - - - - - - - - - (24)

usando barras en lugar de parentesis e incluyendo la constante a = 1 para pr~ servar la homogeneidad dimensional. As que (24) significa:

Leibniz resalta que "este es un teorema . muy fino, y no es, para nada, obvio 11 Continuando dice:

11 0tro teorema del mismo tipo es: omn . x J.. = x omn R - omn omn ).

- - - - - (25) donde J.._ es un trmino de 1 a progres i 6n (de diferencias), y x es el nmero que expresa la posicin u orden del_.eque le corresponde; o x es el nmero ordinal y.J.. es la cosa ar denada 11

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Despus habla de sucesiones de diferencias de ordenadas. La ecuaci6n (25) viene a ser:

= xy - jY dx En estas primeras notas, Leibniz a menudo 1escriba J y, sin dejar cla

ro si trataba de jY dy o dejy dx . 1 Es realmente en este punto de la discusin que introduce el smbolo de

integral:

11 Ser til escribir j por OMN., j f = omn. l, o 1 suma de i' s.

~I2 =ff J-f-as que

As:

y

fxl = X Je- - jjf 11 - - - - - - - - - - - - (26) Y agrega que todos estos teoremas son ciertos por las series en las que las diferencias de los trminos tienen con los trminos mismos unaraz6n que es menor que cualquier cantidad asignable 11 (es decir, es infinitesimal).

Habiendo introducido el smbolo J(evidentemente una S alargaga de 11 suma"), procedi a investigar sus reglas de operacin. Por ejemplo, con i= dx en la primera