-
3/31/2014
1
STATISTIKA U MJERITELJSTVU
-
3/31/2014
2
Numerikaobradaempirijskihpodataka
MJERESREDNJEVRIJEDNOSTIMJERE CENTRALNE
TENDENCIJEMJERERASIPANJA
Aritmetika sredina Raspon
Medijan Standardno odstupanje
Mod Varijanca
Geometrijska sredina Interkvartil
HarmonijskasredinaKvantili
Koeficijentkvartilne devijacijeKoeficijentvarijacije
Aritmetikasredina
21
3 4 6 75=x
7 8 4=x
1 3
Suma svih elemenata podijeljena sa brojem elemenata
(ravnotea).
n
x
nxxx
n
ii
nx
== =+++ 121 ...
xfxfxfxf
n
iii
+++ 12211 Ponderirana (vagana) aritmetika sredina
Za ne grupirani niz podataka: n,...,,ix,...,x,x,x ni 2121 =
n,...,,if,...,f,f,fn,...,,ix,...,x,x,x
ni
ni
2121
21
21
==Za grupirane podatke:
nf....ffxf...xfxf i
nnnx =++
+++ == 1212211
if - frekvencija i-tog podatka (broj pojavljivanja i-tog
podatka)
Nedostatak:Znaajan utjecaj ekstremnih numerikih vrijednosti
Ponderirana (vagana) aritmetika sredina
-
3/31/2014
3
MedijanMe
Medijan je podatak u sredini rastueg ili padajueg niza. U jednom
dijelu niza se nalaze elementi koji imaju vrijednost numerikog
obiljeja
)x;x~( 50
jednaku ili manju od medijana, dok se u drugom dijelu nalaze oni
elementi koji imaju vrijednost numerikog obiljeja jednaku ili veu
od medijana.
Neparni broj podataka 12 += kn
1~
+= kxx
Parni broj podataka kn 2=
21~ ++= kk xxx
Medijanzagrupiranepodatke(obiljejaurazredima)
L1 donja granica medijalnog razreda (medijalni razredL1
donjagranicamedijalnograzreda(medijalnirazred
razredsnajveomfrekvencijom)
f1 kumulativnafrekvencijadomedijalnograzredafMe
frekvencijamedijalnograzredai veliinamedijalnograzredan
sumafrekvencija
-
3/31/2014
4
Unizovimagdjearitmetikasredinanijeprikladnazbogpostojanja
ekstremnih vrijednosti medijan je bolja
Aritmetikasredinaimedijan
postojanjaekstremnihvrijednosti,medijanjeboljamjeracentralnetendencije.
Primjer:
12345678910Me =5,5
12345678920Me =5,5
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100 M 5 5
55,x =56,x =514x123456789100Me =5,5
7
514,x =
Mod
Mod jerezultatakojiimanajveufrekvenciju.
Unimodalna raspodjela Bimodalna raspodjela Multimodalna
raspodjela
-
3/31/2014
5
Mod za grupirane podatke (obiljeja u razredima)
L1 donjagranicamodalnograzreda(modalnid d j f k ij )razred
razred snajveomfrekvencijom)
a - frekvencijaispredmodalnograzredab
frekvencijamodalnograzreda
c frekvencijapostmodalnograzreda
i veliinamodalnograzredag
Odnosaritmetikesredine,medijanaimoda:
Kodsimetrinihdistribucija:
Kodpozitivnoasimetrinedistribucije
MODMex ==
MODMex >>
Kodnegativnoasimetrinedistribucije:
MODMex >>
MODMex
-
3/31/2014
6
Geometrijskasredina
Primjenjujeseuanalizivremenskihnizovazaraunanjeprosjenebrzinenekihpojava(prosjeanporastbrojastanovnitvauvremenskomperiodu).
nniG x....x....xxx = 21n,...,,ix,...,x,x,x ni 2121 =
Harmonijskasredina
n,...,,ix,...,x,x,x ni 2121 ==
= n
i ix
nHx
1
1 0ix
Upotrebljava se za izraunavanje sredine relativnih brojeva s
istim brojnicima.
Kvantili
Vrijednostinumerikevarijablekojinizureenpoveliini dijele na
jednakobrojne dijeloveveliinidijelenajednakobrojne dijelove.
Kvantili kojinizdijelena: etirijednakadijelazovusekvartili
(kvantili 4.reda),
desetjednakihdijelovazovusedecili (kvantili 10.reda),
j d kih dij l ili (k ili 100 d ili
stojednakihdijelovazovusepercentili(kvantili
100.redailipercentili).
-
3/31/2014
7
Kvartili Dijelepodatkeuetirijednakobrojne skupine.
Prviilidonjikvartiljebrojodkojegje25%podatakamanjeili
njemu jednakonjemujednako.
Drugikvartiljemedijan.
Treiiligornjikvartiljebrojodkojegje75%podatakamanje
ilijenjemujednako.
Donjikvartil
Gornjikvartil
Medijan
Mjere rasipanjaRaspon R je razlika najvee i najmanje vrijednosti
rezultata.
minmax xxR =
Procijenjeno standardno odstupanje s
Standardno odstupanje (devijacija) prosjeno odstupanje svakog
podatka od aritmetike sredine.
21
22
+=
=
=
N
)x(n
ii
Varijanca 2 prosjeno kvadratno odstupanje svakog podatka od
aritmetike sredine.
- oekivanje
Procijenjeno standardno odstupanje s
( )
11
2
== n
xxn
ii
s
-
3/31/2014
8
Koeficijent varijacije V Relativna mjera rasipanja. Meusobno
usporeivanje varijabilnosti pojava ili svojstava.
sProsjeno odstupanje vrijednosti varijable od aritmetike sredine
izraeno u %.
100=xsV
Interkvartil (IQR)Raspon varijacija sredinjih 50 % lanova niza
ureenih podataka.
IQ = Q3 - Q1 = qU - qL
Koeficijent kvartilne devijacije VKoeficijentkvartilne
devijacijeVQRelativna mjera rasipanja koja se izraunava pomou
kvartila
Kvalitativnevarijable(Intervalne,Omjerne)
Ordinalna varijabla Nominalnavarijabla
MOD,MEDIJAN, MODIMEDIJAN MOD
Skupna tablica
, ,ARITMETIKASREDINAGEOMETRIJSKASREDINAHARMONIJSKA SREDINA
RASPON,STANDARDNO ODSTUPANJEKOEFICIJENTKVARTILNE
DEVIJACIJE
RASPON,KOEFICIJENTKVARTILNE
DEVIJACIJE
RASPON
16
-
3/31/2014
9
MJERE OBLIKA STATISTIKOG SKUPAKoeficijent asimetrije
(Skewness)
mjera nagnutosti distribucije na lijevu ili desnu stranu1
n 3)(
31
1
33
=
==
=n
1i
2in
1i
3in
)x(x
)x(x
3 M
+ 3
|3| :0 0,25 zanemariva asimetrija0,25 0,50 slaba asimetrija0,50
0,75 srednja asimetrija0,75 jaka asimetrija
negativna asimetrija 30nema asimetrije 3= 0 g j 3p j 3j 3
Koeficijent spljotenosti (Kurtosis)Mjera spljotenosti
(zaobljenosti) distribucije
14
n 4
in )x(xM M
Normalna spljotenost 4=3 (4=0)
Spljotenost 40)
41
44
=
===n
1i
2in
1in
)x(x4
M
4 3' 44 -M
= normiranje na nulu
(jednostavnije oitavanje)
-
3/31/2014
10
Grafikoprikazivanjepodataka
omoguujenamdautvrdimopremakojojseg j p j
jraspodjelipodaciponaaju
omoguujenamdaprikaemopodatkenasaetijinainiutvrdimotrendove
grafikiprikazanipodatcisulakerazumljivi
Prikazivanjekvalitativnihpodataka
Barchart(stupastidijagram)Pie chart (strukturnikrug)
Kvalitativne varijable se najee zadaju tablinim prikazom
distribucija frekvencija i grafiki prikazuju bar chartom ili pie
chartom
010002000300040005000
Bolnikipacijentipoodjelima Bolnikipacijentipoodjelima
Kardiologija Hitna Intenzivnanjega
Poroajni odjel Kirurgija
Paretov dijagram
-
3/31/2014
11
Prikazivanjekvantitativnihpodataka
HistogramP li f k ij Poligonfrekvencija
Boxandwhisker (prikazkutija brkovi) Stemandleaf (prikazstabljika
list)
Histogram koristisezaprikazfrekvencijakontinuiranihvarijabli
prikazprekorazredapodatakaukojeklasificiramoizmjerenepodatke
utehniciseradisarazredimajednakeveliine(irine)
izhistogramajevidljivoblikiraspodjelapodataka,topomaekodprovedbestatistikeanalize
-
3/31/2014
12
Ako je broj podataka n nekoliko desetaka tada je broj razreda G
6 do 8
Ako je broj podataka n od 100 do 200 tada je broj razreda G
n
Smjernice za grupiranje podataka u intervalne razrede
Ako je broj podataka n od 100 do 200 tada je broj razreda G
n
Ako je broj podataka n nekoliko stotina i vie tada je broj
razreda G do 15
irina razreda i1
=
Gxxi minmax
i2minixDg =Donja granica prvog razreda gD
Sturgesovo pravilo za grupiranje podataka G 1 + 3,3 log N
Gxxi minmax =
Primjerizradehistograma
12 10 8 6 8 9 11 8 10 1311 9 8 13 10 12 12 12 13 11
Rezultati mjerenja odstupanja od krunosti, m
9 12 10 9 11 12 14 10 11 9
Razredi SredinaRazredaxi
Frekvencijafi
3,75 6,25 5 1
6,25 8,75 7,5 4
8,75 11,25 10 15
11,25 13,75 12,5 9
13,75 16,25 15 1
-
3/31/2014
13
Poligonfrekvencija
Linijskidijagramkojipovezujetokeijesukoordinateodreenesredinamarazredaifrekvencijama.
estoseprikazujezajednoshistogramom.Poligon frekvencija
Boxandwhisker prikaz
Pomourazmakaizmeurazliitihdijelovakutije,uoavasestupanjdisperzijeiasimetrinostipodatakateseutvrujuodstupanja.
Prikazjemoguekreiratiurazliitimverzijama(sredinjatokamedijan/aritmetikasredina,podjelapopercentilima/intervalimapovjerenja...).
Jednostavnadijagnostikaproblematinihpodataka.j g p p
Mogunostprikazivanjadvailivieuzorakaparalelnotebrzodijagnosticiranjenjihovihrelacijaikarakteristika.
-
3/31/2014
14
5 2
Boxplot of C1
Box-and-whisker prikaz
5,2
5,0
4,8
4,6
4,4
C1
xmax
Q2
Q1
Q3
4,2
4,0xmin
Q
Boxandwhisker prikaz Steam and leafprikaz
-
3/31/2014
15
StemandLeafprikaz83, 65, 52, 74, 56, 75, 77, 67, 68, 51, 74, 66,
99, 57, 73, 61, 61, 64, 66, 52, 67, 60, 56, 53, 70, 66, 58, 61, 66,
67, 65, 35, 77, 53
Stem-and-leaf3 545 2617263836 5786114670616757 45643078 39 9
StemLeaf
