1. 线性特性 2. 共轭对称特性 3. 对称互易特性
4. 展缩特性 5. 时移特性 6. 频移特性
7. 时域卷积特性
8. 频域卷积特性 9. 时域微分特性 10. 积分特性 11. 频域微分特性 12. 能量定理
2.4 傅里叶变换的基本性质
,;若 )()( )()( 2211 jXtxjXtx FF
)()()()( 2121 bXaXtbxtax 则
其中 a和 b均为常数。
1. 线性特性
2.奇偶虚实性
x(t) 的付氏变换式 X(f) 可由实部虚部组成:
如果 x(t) 是实偶函数 ,则 X(f) 为实偶函数。如果 x(t) 是实奇函数 ,则 X(f) 为虚奇函数。
同理 :如 x(t) 是虚偶函数, X(f) 也为虚偶函数;
如 x(t) 是虚奇函数, X(f) 为实奇函 .
)()( jXtx 若 0t-j0 )()( ejXttx 则
式中 t0 为任意实数
证明: dtettxttxF tj-00 )()]([
令 u= t-t0 ,则 du=dt ,代入上式可得
dueuxttxF )ut(j-0
0)()]([
0t-j)( ejX
信号在时域中的时移,对应频谱函数在频域 中产生的附加相移,而幅度频谱保持不变。
3 . 时移特性
0
A
2
t
2
)(tf
0
A
t
)(1 tf
T
[ 解 ] 无延时且宽度为的矩形脉冲信号 f(t) 如右图,
)2
()( SaAjX
Tj1 )()( -ejXjX
)()(1 Ttxtx
Tj-)2
( eSaA
因为 故,由延时特性可得
其对应的频谱函数为
[例 1] 试求图示延时矩形脉冲信号 x1(t) 的频谱函数 X1(jw) 。
若
则
)()( jXtx
)]([)( 0j 0 jXetx t
dteetxetxF ttt j-jj 00 )(])([
式中ω0 为任意实数
证明:由傅立叶变换定义有
dtetx t)-j(- 0)(
)]([ 0 jX
4. 频移特性(调制定理)
证明:
)()( jXtx 若 )(1
)(ajX
aatx
则
dteatxatxF tj-)()]([
)(1
)(1
)]([u
aj-
ajX
adueux
aatxF
令 u=at ,则 du=adt ,代入上式可得
时域压缩,则频域展宽;展宽时域,则频域压缩。
5. 展缩特性
0
A2
)2(2 F
0
A
)(F
2
2
)2( tf
t
A
4
4
)(2
1 tf
t 0
)(tf
t
2
2
0
A2
1
)2
1(
2
1 F
4
4
)(tf
2
2
0
A
t
E
)(F
2
4
2
4
6
t
2)(tF
2
0A
)(f
20
2
00
A
)()( jXtx 若 )(2)( xtX则
6. 互易对称特性
]cos)([ 0ttxF ] )([2
1])([
2
100 j-j tt etxFetxF
信号 x(t) 与余弦信号 cosw0 t 相乘后,其频谱是将原来信号频谱向左右搬移 w0 ,幅度减半。
]sin)([ 0ttxF
)]([2
1)]([
2
100 jXjX
)]([2
)]([2 00 jX
jjX
j
同理] )([
2
1])([
2
100 j-j tt etxF
jetxF
j
)2
()( SaAjX
]cos)([ 0ttxF )]([2
1)]([
2
100 jXjX
应用频移特性可得
[解 ] 已知宽度为的矩形脉冲信号对应的频谱函数为
]}2
([]
2
([{
2
1 )0)0
SaASaA
[ 例 2] 试求矩形脉冲信号 x(t) 与余弦信号 cosw0 t 相乘后信号的频谱函数。
0
)( jF
0 00
)( jF
0
A
2/t
2/
)(tf
2/
A
t2/
ttf 0cos)(
若 则
)()( jXtx
)()( jXjdt
dx
)()( jXjdt
xd nn
n
7. 时域微分特性
[ 解 ]
)2
()2
()(' tAtAtx
2j
2j
)]('[ -
AeAetxF
)()()]('[ jXjtxF
)2
()2
sin(2
)(
SaA
AjX
由上式利用时域微分特性,得
)2
sin(2jA
因此有
)2
sin(2jA
0
(A )
2/t
2/
)(' tf
( A )
)(tf
2
2
0
A
t
[ 例 3] 试利用微分特性求矩形脉冲信号的频谱函数。
若信号不存在直流分量即 X(0)=0
)()( jXtx 若
)()0()(1
)(
XjXj
dxt
则
)(1
)(
jXj
dxt
则
8. 积分特性
若 )()( jXtx
n
nnn
d
jdXjtxt
)(
)(
dtetxjX t j-)()(
dtetxjtdted
dtx
d
jdX tt
j-j- )]()[()(
)(
dtetxtd
jdXj t
j-)]([
)(
将上式两边同乘以 j得
证明:
d
jdXjtxt
)()( 则
9. 频域微分特性
)()( )()( 2211 jXtxjXtx 若
)()()()( 2121 jXjXtxtx 则
dtedtxxtxtxF tj2121 ])()([)]()([
ddtetxx ])()[( tj21
)()( 21 jXjX
证明:
dejXx j-
21 )()(
10. 时域卷积特性
证明:
)()( )()( 2211 jXtxjXtx 若
)]()([2
1)()( 2121
jXjXtxtx 则
dtetxtxtxtxF
tj-
2121 )]()([)]()([
dtdejXetx ])(2
1[)( tj
1tj
2
])([)(2
1 t)-j(-21 dtetxdjX
])]([)(
2
121 djXjX
)]()([
2
121
jXjX
11. 频域卷积特性 (调制特性 )
1. 线性特性 2. 对称互易特性 3. 展缩特性 4. 时移特性 5. 频移特性 6. 时域卷积特性 7. 频域卷积特性
8. 时域微分特性 9. 积分特性 10. 频域微分特性
)(2)( fjtF
)(1
)(ajX
aatx
0t-j0 )()( ejXttx
)]([)( 0j 0 jFetx t
)()()()( 2121 jXjXtxtx
)]()([2
1)()( 2121
jXjXtxtx
)()( jXjdt
xd nn
n
)()0()(1
)(
XjXj
dxt
n
nnn
d
jdXjtxt
)(
)(
)()()()( 2121 bXaXtbxtax
傅立叶变换性质一览表