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第 4 课时 三角函数的单调性、奇偶性、周期性

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1. 单调性 (1)y=sinx 的单调增区间是 [2kπ-π/2 ， 2kπ+π/2](k Z)∈ ，减区间是 [2kπ+π/2 ， 2kπ+3π/2](k Z) ∈(2)y=cosx 的单调增区间是 [2kπ+π ， 2kπ+2π](k Z)∈ ，减区间是 [2kπ ， 2kπ+π](k Z) ∈(3)y=tanx 的单调增区间是 (kπ-π/2 ， kπ+π/2)(k Z) ∈

2.奇偶性 y=sinx,y=cosx,y=tanx 在各自定义域上分别是奇函数、偶函数、奇函数 .

3. 周期性 (1) 定义 对于函数 y=f(x) ，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时， f(x+T)=f(x) 都成立，则 y=f(x)叫周期函数， T 叫这个函数的周期 (2) 所有周期中的最小正数叫最小正周期

(3)y ＝ sinx,y=cosx 的最小正周期 T=2π ； y=tanx,y=cotx 的最小正周期 T=π

(4) y=Asin(ωx+φ)+k 的周期为 T=2π/ω(ω ＞ 0) y=Atan(ωx+φ)+k 的周期为 T=π/ω(ω ＞ 0)

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课 前 热 身1. 下列函数中，在区间 (0,π/2) 上为增函数且以 π 为周期的是 ( )

(A)y=sin(x/2) (B)y=sin2x (C)y=-tanx (D)y=-cos2x

2. 将函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A ＞ 0 ， ω ＞ 0) 的图像向左平移 2 个单位，图像关于原点对称，那么一定有 ( )

(A)f(x+2) 是奇函数 (B)f(x+2) 是偶函数

(C)f(x-2) 是奇函数 (D)f(x-2) 是偶函数

3. 已知函数 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4 ，当 f(2001)=5时， f(2002)=( )

(A)1 (B)3 (C)5 (D)7

D

A

B

4. 函数 y=2sin2x+sin2x 是 ( ) (A) 以 2π 为周期的奇函数 (B) 以 2π 为周期的非奇非偶函数 (C) 以 π 为周期的奇函数 (D) 以 π 为周期的非奇非偶函数

5. 下列命题中正确的是 ( ) (A) 若 α ， β 是第一象限角，且 α ＞ β ，则 sinα ＞ sinβ (B) 函数 y=sinx·cotx 的单调递增区间是 (2kπ-π/2 ， 2kπ+π/2) ， k Z ∈(C) 函数 y=(1-cos2x)/sin2x 的最小正周期是 2π (D) 函数 y=sinxcos2φ-cosxsin2φ 的图象关于 y 轴对称，则 φ=kπ/2+π/4 ， k Z ∈

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D

D

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【解题回顾】判断函数的奇偶性时，有些学生往往只注意： f(-x)=-f(x) ，或 f(-x)=f(x). 而不考虑该函数定义域是否关于原点对称，这是造成解题错误的重要原因 .

1. 判断下列函数的奇偶性：

x

xxy

cos1

cotsin)1(

xxy 2sin1sinlg)2(

xx

xxy

cossin1

cossin1)3(

2.2. 判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存判断下列函数是否为周期函数；若是，判断其是否存在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期： 在最小正周期，若存在，求出它的最小正周期：

264

tan

sin13

4sin3

1

yx

y

xyxy

④③

②①

【解题回顾】若三角函数 y=f(x) 的最小正周期为 T ，则f(ωx+φ) 的最小正周期就是 T|ω| ；另外，周期函数的图像必然呈现一种“周而复始”的规律特征，反之亦然，所以判断函数的周期性的一个有效方法是作图

【解题回顾】将函数 y=f(x) 化成 y=Asin(ωx+φ) 的形式 ( 即单一形式 ) ，才能研究其图象及性质 .

3. 已知函数

(1) 求 f(x) 的最小正周期； (2) 求 f(x) 的单调区间； (3) 求 f(x) 图象的对称轴，对称中心

Rxxxxxf 32

5cos35cossin5 2

【解题回顾】函数的单调性，必须在它的定义域内讨论 复合函数的增减性，可按增减为减、增增为增、减减为增的法则判断．

4. 已知函数 f(x)=log(1/2)(sinx-cosx) ，(1) 求它的定义域和值域； (2) 求它的单调区间； (3) 判定它的奇偶性； (4) 判定它的周期性，若是周期函数，求出它的最小正周期

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【解题回顾】若要求求出 x R∈ 时， f(x) 的解析式，又该怎样做 ?

5. 设 f(x) 是 (-∞ ， +∞) 上的函数，且 f(x+2)=-f(x) 对任意x R∈ 成立．若 x [-1∈ ， 1] 时， f(x)=x3 ；①求 x [1∈ ， 5] 时， f(x) 的解析式； ② 求 f(-5) 的值

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1. 判断三角函数的奇偶性，若不先关注定义域是否关于原点对称，常常会得出错误的结论

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2. 对于形如 y=2sin(π/3-2x) 的单调区间，常因为没有注意到 x 的系数为负，从而得出相反的结论

3. 对于函数 y=Asin(ωx+φ) 的周期，如果说是 2π/ω ，则没有考虑 ω 的正负