26.1 二次函数图象和性质（ 2 ）

1 、已知抛物线 y=ax2 经过点 A （ -2 ， -8 ）。 （ 1 ）求此抛物线的函数解析式； （ 2 ）判断点 B （ -1 ， - 4 ）是否在此抛物线上。 （ 3 ）求出此抛物线上纵坐标为 -6 的点的坐标。

解（ 1 ）把（ -2 ， -8 ）代入 y=ax2, 得-8=a(-2)2, 解出 a= -2, 所求函数解析式为y= -2x2.

（ 2 ）因为 ，所以点 B （ -1 ， -4 ）不在此抛物线上。

2)1(24

（ 3 ）由 -6=-2x2 , 得 x2=3, 所以纵坐标为 -6 的点有两个，它们分别是

3x

)6,3()6,3( 与

例 1： 已知函数 ， ， ，的图象如图所示。 （ 1 ）抛物线①②③④分别对应哪个函数？

2

2

1xy 2xy 2

2

1xy 2xy

x

y①

②

③

④

2xy

2

2

1xy

2

2

1xy

2xy

y ＝ ax2 a>0 a<0

图象

开口

对称性

顶点

增减性

二次函数 y=ax2 的性质二次函数 y=ax2 的性质

开口向上 开口向下a 的绝对值越大，开口越小

关于 y 轴对称顶点坐标是原点（ 0 ， 0 ）

顶点是最低点 顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增

在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减

4－ 2 2

2

4

6

－ 4

8

10

－ 2

例 2 在同一直角坐标系中，画出二函数

的图象．x ··· － 3 － 2 － 1 0 1 2 3 ···

y = x2 ＋1 ··· ···

y = x2 －1 ··· ···

1xy1,xy 22

10 5 2 1 2 5 10

8 3 0 －1

0 3 8

y = x2 ＋ 1

y = x2 － 1

2xy

1 2 3 4 5 x

123456789

10y

o-1-2-3-4-5

(1) 抛物线 y=x2+1,y=x2 － 1 的开口方向、对称轴、顶点各是什么 ?

抛物线 y=x2+1: 开口向上 ,顶点为 (0,1).对称轴是 y 轴 ,

抛物线 y=x2 － 1: 开口向上 ,

顶点为 (0, － 1).对称轴是 y 轴 ,

y=x2+1y=x2 －1

4－ 2 2

2

4

6

－ 4

8

10

－ 2

y = x2 ＋ 1

y = x2 － 1

4－ 2 2

2

4

6

－ 4

8

10

－ 2

y = x2 ＋ 1

y = x2 － 1

如右图所示

2xy 2xy

(2) 抛物线 y=x2+1,y=x2 － 1 与抛物线 y=x2 有什么关系 ?

抛物线 y=x2+1,y=x2 － 1 与抛物线 y=x2 的关系 :

1 2 3 4 5 x

123456789

10y

o-1-2-3-4-5

y=x2+1

抛物线 y=x2

抛物线 y=x2 －1

向上平移1个单位

抛物线 y=x2 向下平移1个单位

y=x2 －1

y=x2

抛物线 y=x2+1

把抛物线 y = 2x2 向上平移 5 个单位，会得到哪条抛物线？向下平移 3 ．4 个单位呢？

22y x

　－ 2 2

2

4

6

4－ 4

8

－ 2

－ 4

52 2 xy

4.32 2 xy

在同一直角坐标系中，画出下列二处函数的图象：

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方

向、对称轴及顶点．你能说出抛物线

的开口方向、对称轴及顶点吗？它与抛物线

有什么关系？

2 2 21 1 1, 2, 2

2 2 2y x y x y x

21

2y x k

21

2y x

练习

一般地 , 抛物线 y=ax2+k 有如下特点 :(1) 当 a>0 时 , 开口向上 ;当 a<0 时 , 开口向

下 ;(2) 对称轴是 y 轴 ;

(3) 顶点是 (0,k).

1 2 3 4 5 x

123456789

10y

o-1-2-3-4-5

抛物线 y=ax2+k 可以由抛物线 y=ax2 向上或向下平移 |k| 得到 .

(k>0, 向上平移 ;k<0 向下平移 .)

y ＝ ax2+k a>0 a<0

图象

开口

对称性

顶点(0,k)

增减性

二次函数 y=ax2+k 的性质二次函数 y=ax2+k 的性质

开口向上 开口向下a 的绝对值越大，开口越小

关于 y 轴对称

顶点是最低点 顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增

在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减

（ 1 ）抛物线 y= −2x2+3 的顶点坐标是 , 对称轴是 ，在 ___ 侧， y 随着 x 的增大而增大；在 侧， y 随着 x 的增大而减小，当 x= _

____ 时，函数 y 的值最大，最大值是 , 它是由抛物线 y= −2x2 线怎样平移得到的 __________.

（ 2 ）抛物线 y= x²-5 的顶点坐标是 ____ ，对称轴是 ____, 在对称轴的左侧， y 随着 x 的 ；在对称轴的右侧， y 随着 x 的 ，当 x=____ 时，函数 y 的值最 ___ ，最小值是 .

1 、按下列要求求出二次函数的解析式：（ 1 ）已知抛物线 y=ax2+c 经过点（ -3 ，2 ）（ 0 ， -1 ）求该抛物线线的解析式。

（ 2 ）形状与 y=-2x2+3 的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（ 0 ， 1 ）的抛物线解析式。

（ 3 ）对称轴是 y 轴，顶点纵坐标是 -3 ，且经过（ 1 ， 2 ）的点的解析式，

做一做：

2 、在同一直角坐标系中，一次函数 y=ax+c 和二次函数 y=ax2+c 的图象大致是如图中的（ ）

x

y

o

A

x

y

o

C

x

y

o

B

xo

y

D