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数学史概论数学史概论————复变函数论复变函数论

0505 数教 数教 4343 号 周玢婷号 周玢婷

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复变函数理论的创立复变函数理论的创立• 1919 世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是世纪数学最独特的创造是复变函数理论的创立，它是 1188 世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。世纪人们对复数及复函数理论研究的延续。

• 18501850 年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、魏尔斯特年以前，柯西、雅可比、高斯、阿贝尔、魏尔斯特拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于拉斯已对单值解析函数的理论进行了系统的研究，而对于多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。多值函数仅有柯西和皮瑟有些孤立的结论。

• 复变函数论产生于十八世纪，全面发展于十九世纪，当时复变函数论产生于十八世纪，全面发展于十九世纪，当时的数学家们公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称的数学家们公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称之为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最之为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。和谐的理论之一。

•      柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯是公认的复变函数论的主要奠基人。奠基人。

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复变函数论复变函数论• 数学的一个分支学科。数学的一个分支学科。• 研究定义域与值域均为复数集的函数 。研究定义域与值域均为复数集的函数 。• 复数是形如复数是形如aa＋＋ ibib的数，其中的数，其中a a ，，bb是任意实数，是任意实数， ii称为虚单位，表示 ，即满足关系式称为虚单位，表示 ，即满足关系式 i2i2＝－＝－11，复数，复数与平面上的点（与平面上的点（aa，，bb）具有一一对应关系。）具有一一对应关系。

• L.L.欧拉欧拉在初等函数中引进了复变数，并给出了著名的欧拉公式在初等函数中引进了复变数，并给出了著名的欧拉公式eieixx＝＝cosxcosx＋＋ isinxisinx，欧拉公式揭示了三，欧拉公式揭示了三角函数与指数函数的关系。欧拉和角函数与指数函数的关系。欧拉和J.L.R.J.L.R.达朗贝尔达朗贝尔在研究水力学时引用了一般的复变函数在研究水力学时引用了一般的复变函数 ff（（zz）＝）＝uu（（xx，，yy）＋）＋ iviv（（xx，，yy），并提出），并提出ff（（zz）在域）在域DD可导的充要条件是可导的充要条件是uu，，u u 可微且满足条件可微且满足条件

         这一条件后来被称为柯西这一条件后来被称为柯西 --黎曼黎曼。。

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复变函数论的内容复变函数论的内容• 以复数作为自变量的函数叫做复变函数，而以复数域上的解析函数为主要研究对象的数学分支就是复变函数论。以复数作为自变量的函数叫做复变函数，而以复数域上的解析函数为主要研究对象的数学分支就是复变函数论。• 复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。复变函数论主要包括单值解析函数理论、黎曼曲面理论、几何函数论、留数理论、广义解析函数等方面的内容。• 如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数。如果当函数的变量取某一定值的时候，函数就有一个唯一确定的值，那么这个函数解就叫做单值解析函数。• 黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。黎曼曲面理论是复变函数域和几何间的一座桥梁，能够使我们把比较深奥的函数的解析性质和几何联系起来。

• 复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论 。复变函数论中用几何方法来说明、解决问题的内容，一般叫做几何函数论 。• 留数理论是复变函数论中一个重要的理论，留数也叫做残数 。留数理论是复变函数论中一个重要的理论，留数也叫做残数 。

黎曼曲面黎曼曲面

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柯西柯西———— 复变函数论的奠基人之一复变函数论的奠基人之一

• 柯西（柯西（CauchyCauchy，，1789-18571789-1857），十九世纪前半世），十九世纪前半世         纪的法国数学家。证明了复变函数论的主要定理纪的法国数学家。证明了复变函数论的主要定理         以及在变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。以及在变数和复变数的情况下微分方程解的存在定理。•   A.-L.A.-L.柯西柯西定义了复变函数的积分，建立了复积分的理论，他证明了柯西积分定理 。定义了复变函数的积分，建立了复积分的理论，他证明了柯西积分定理 。•    用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点 用复变函数的积分计算实积分，这是复变函数论中柯西积分定理的出发点 。。• 柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。柯西最重要和最有首创性的工作是关于单复变函数论的。        1818世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没世纪的数学家们采用过上、下限是虚数的定积分。但没         有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这有给出明确的定义。柯西首先阐明了有关概念，并且用这        种积分来研究多种多样的问题 。种积分来研究多种多样的问题 。

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黎曼黎曼————    复变函数论的奠基人之一复变函数论的奠基人之一  • 黎曼，黎曼，1919世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。黎曼世纪最富有创造性的德国数学家、数学物理学家。黎曼18261826年年99月月 1717日生日生于汉诺威的布列斯伦茨，于汉诺威的布列斯伦茨，18661866年年77月月 2020日卒于意大利的塞那斯加，终年日卒于意大利的塞那斯加，终年 4040岁。 岁。 

• 18511851年，在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文 。年，在高斯的指导下完成题为《单复变函数的一般理论的基础》的博士论文 。• 在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。 在黎曼对多值函数的处理中，最关键的是他引入了被后人称“黎曼面”的概念。 • 经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的经黎曼处理的复函数，单值函数是多值函数的待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值待例，他把单值函数的一些已知结论推广到多值函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极函数中，尤其他按连通性对函数分类的方法，极大地推动了拓扑学的初期发展。 大地推动了拓扑学的初期发展。 

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魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯————复变函数论的奠基人之一复变函数论的奠基人之一• 魏尔斯特拉斯，魏尔斯特拉斯，KK．．WW．．TT．．(Weierstrass(Weierstrass，，Karl WilhelmTheodor)1815Karl WilhelmTheodor)1815年年1010月月3131日生于德国威斯特伐利亚地区的日生于德国威斯特伐利亚地区的奥斯登费尔特；奥斯登费尔特； 18971897年年22月月 1919日卒于柏林．数学．日卒于柏林．数学．

• 在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数 在魏尔斯特拉斯的早期论文中，已引进多复变量幂级数 • 与复与复nn维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数维空间中的一些拓扑概念，定义了多复变量幂级数的收敛多圆柱，他还通过系数估计得到由幂级数表示的函数..

        所确定的隐函数所确定的隐函数zv=hv(zm+1zv=hv(zm+1，…，，…，zn)zn)        (v=1(v=1，…，，…，m)m)可展开为幂级数的定理． 可展开为幂级数的定理． • 魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，魏尔斯特拉斯对多复变函数论的最大贡献，      是他于是他于18601860年讲课中提出并于年讲课中提出并于18791879年发表年发表        的“预备定理”的“预备定理”