离散型随机变量的期望值和方差离散型随机变量的期望值和方差

高三数学备课组 尹国文

一、基本知识概要：一、基本知识概要： 11 、期望的定义：、期望的定义： 一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量 ξξ 的分布列为 的分布列为

…… PPnn …… PP33 PP22 PP11 P P

…… xxnn …… xx33 xx22 xx11 ξξ

则称则称 Eξ=XEξ=X11PP11+X+X22PP22+X+X33PP33+…+X+…+XnnPPnn++

…… 为为 ξξ 的数学期望或平均数、均值，简称期的数学期望或平均数、均值，简称期望。望。它反映了它反映了 :: 离散型随机变量取值的平均水平。离散型随机变量取值的平均水平。

若若 η=aξ+b(aη=aξ+b(a 、、 bb 为常数为常数 )) ，则，则ηη 也是随机变量，且也是随机变量，且Eη=aEξ+bEη=aEξ+b 。 。 E(c)= c E(c)= c

特别地，若特别地，若 ξξ ～～ B(nB(n ，， P)P) ，，则则

Eξ=nP Eξ=nP

22 、方差、标准差定义： 、方差、标准差定义：

Dξ=(XDξ=(X11-Eξ)-Eξ)22··PP11+(X+(X22-Eξ)-Eξ)22··PP22+…++…+

(X(Xnn-Eξ)-Eξ)22··PPnn+…+… 称为随机变量称为随机变量 ξξ 的方差。的方差。

DξDξ 的算术平方根 的算术平方根 ==δξδξ 叫做随机变量的叫做随机变量的标准差。 标准差。

D

随机变量的方差与标准差都反映了随机变量的方差与标准差都反映了 :: 随机随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 度。 且有且有 D(aξ+b)=a2Dξ,D(aξ+b)=a2Dξ, 可以证明可以证明Dξ=Eξ2- (Eξ)2Dξ=Eξ2- (Eξ)2 。 。

若若 ξξ ～～ B(nB(n ，， p)p) ，，则则 Dξ=npqDξ=npq ，，其中其中q=1-p. q=1-p.

33 、特别注意、特别注意：在计算离散型随机变量的期：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 提高运算速度和准确度。

二、例题： 二、例题： 例例 11 、（、（ 11 ）下面说法中正确的是 ）下面说法中正确的是 ( ( ))

AA ．．离散型随机变量离散型随机变量 ξξ 的期望的期望 EξEξ 反映了反映了 ξξ取值的概率的平均值。 取值的概率的平均值。 BB ．．离散型随机变量离散型随机变量 ξξ 的方差的方差 DξDξ 反映了反映了 ξξ取值的平均水平。 取值的平均水平。 CC ．．离散型随机变量离散型随机变量 ξξ 的期望的期望 EξEξ 反映了反映了 ξξ取值的平均水平。 取值的平均水平。 DD ．．离散型随机变量离散型随机变量 ξξ 的方差的方差 DξDξ 反映了反映了 ξξ取值的概率的平均值。 取值的概率的平均值。

CC

例例 11 、、（（ 22 ）（）（ 20012001 年高考题）一个年高考题）一个袋子里装有大小相同的袋子里装有大小相同的 33 个红球和个红球和 22 个黄个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是数的数学期望是 。。说明说明：近两年的高考试题与《考试说明》：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解……，会……”的要求一致，中的“了解……，会……”的要求一致，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，此部分以重点知识的基本题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。性质应用错误等，导致解题错误。

1.2 1.2

例例 22 、设 是一个离散型随机变量，其分布、设 是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求列如下表，试求 E E 、、 DD

1 － 2 P

100－－ 11 2q

2

1 q

剖析剖析：应先按分布列的性质，求出 的值后，：应先按分布列的性质，求出 的值后，再计算出再计算出 E E 、、 D D 。 。

q

说明说明：解答本题时，应防止机械地套用期望：解答本题时，应防止机械地套用期望和方差的计算公式，出现以下误解：和方差的计算公式，出现以下误解：E E ＝ 。 ＝ 。

2

11)21(0

2

1)1( 22 qqq

练习练习：已知：已知 ξξ 的分布列为的分布列为

P P

1100-1 -1 ξξ

2

13

1

6

1

(1) (1) 求求 Eξ,Eξ, Dξ,Dξ, δξδξ ，，

(2) (2) 若若 η=2ξ+3,η=2ξ+3, 求求 Eη,DηEη,Dη

例例 33 、人寿保险中（某一年龄段），在一、人寿保险中（某一年龄段），在一年的保险期内，每个被保险人需交纳保险年的保险期内，每个被保险人需交纳保险费费 元，被保险人意外死亡则保险公司赔付元，被保险人意外死亡则保险公司赔付 33万元，出现非意外死亡则赔付万元，出现非意外死亡则赔付 11 万元，经万元，经统计此年龄段一年内意外死亡的概率是 ，统计此年龄段一年内意外死亡的概率是 ，非意外死亡的概率为 ，则 需满足什么条件，非意外死亡的概率为 ，则 需满足什么条件，保险公司才可能盈利？保险公司才可能盈利？

a1p

2p

a

剖析剖析：要使保险公司能盈利，需盈利数 的期：要使保险公司能盈利，需盈利数 的期望值大于望值大于 00 ，故需求，故需求 E E 。。

说明说明：（：（ 11 ）离散型随机变量的期望表征）离散型随机变量的期望表征了随机变量取值的平均值了随机变量取值的平均值

（（ 22 ）本题中）本题中 D D 有什么实际意义？有什么实际意义？

例例 44 ：把：把 44 个球随机地投入个球随机地投入 44 个盒子中去，个盒子中去，设设 表示空盒子的个数，求表示空盒子的个数，求 E E 、、 DD

剖析剖析：每个球投入到每个盒子的可能性是相：每个球投入到每个盒子的可能性是相等的，总的投球方法数为 ，空盒子的个数等的，总的投球方法数为 ，空盒子的个数可能为可能为 00 个，此时投球方法数为个，此时投球方法数为 ；；空盒子的个数为空盒子的个数为 11 时，此时时，此时投球方法数为 ，投球方法数为 ， 。。

44

64

6

4

!4)0(,!4

444 PA

33

24

14 ACC

)3(),2(,64

36)1( PPP 同样可分析

例例 55 、已知两家工厂，一年四个季度上缴、已知两家工厂，一年四个季度上缴利税如下：（单位：万元）利税如下：（单位：万元）季度季度 一一 二二 三三 四四 季平均值季平均值 甲厂甲厂 7070 5050 8080 4040 6060

乙厂乙厂 5555 6565 5555 6565 6060

试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。 试分析两厂上缴利税状况，并予以说明。 说明说明：本题考查利用离散型随机变量的方：本题考查利用离散型随机变量的方差与期望的知识，分析解决实际问题的能差与期望的知识，分析解决实际问题的能力。力。

例例 66 、、 (1)(1) 设随机变量设随机变量 ξξ 具有分布列为具有分布列为P(ξ=k)= P(ξ=k)=

(k=1(k=1 ，， 22 ，， 33 ，， 44 ，， 55 ，， 6)6) ，， 求求

EξEξ 、、 E(2ξ+3)E(2ξ+3) 和和 DξDξ 。。

6

1

(2) (2) 设随机变量设随机变量 ξξ 的分布列为的分布列为 P(ξ=k)= P(ξ=k)=

(k=1(k=1 ，， 22 ，， 33 …， ，…， ， n)n) ，， 求求 EξEξ 和和

DξDξ 。。n

1

(3)(3) 一次英语测验由一次英语测验由 5050 道选择题构成，每道选择题构成，每道有道有 44 个选项，其中有且仅有一个是正确个选项，其中有且仅有一个是正确的，每个选对得的，每个选对得 33 分，选错或不选均不得分，选错或不选均不得分，满分分，满分 150150 分，某学生选对每一道题的分，某学生选对每一道题的概率为概率为 0.70.7 ，求该生在这次测验中的成绩，求该生在这次测验中的成绩的期望与方差。的期望与方差。

说明说明 ：可根据离散型随机变量的期望和方：可根据离散型随机变量的期望和方差的概念、公式及性质解答。差的概念、公式及性质解答。

三、课堂小结：三、课堂小结：11 、利用离散型随机变量的方差与期望的知、利用离散型随机变量的方差与期望的知识，可以解决实际问题。利用所学知识分析识，可以解决实际问题。利用所学知识分析和解决实际问题的题型，越来越成为高考的和解决实际问题的题型，越来越成为高考的热点，应予重视。热点，应予重视。22 、常生产生活中的一些问题，我们可以、常生产生活中的一些问题，我们可以转化为数学问题，借助于函数、方程、不转化为数学问题，借助于函数、方程、不等式、概率、统计等知识解决。同时，要等式、概率、统计等知识解决。同时，要提高分析问题和解决问题的能力，必须关提高分析问题和解决问题的能力，必须关注生产和生活。注生产和生活。

四、布置作业：四、布置作业：教材教材 P195P195 页闯关训页闯关训

练练